Střední průmyslová škola sdělovací techniky
Panská 3
Praha 1
© Jaroslav Reichl, 2009
Jaroslav Reichl
inspirováno přednáškami
doc. RNDr. Jiřího Podolského, CSc., DSc.
OBSAH
1. Úvod..................................................................................................................................... 4
1.1 Základní pojmy___________________________________________________________ 4
1.2 Newtonovy zákony ________________________________________________________ 5
1.3 Základní přístupy mechaniky _______________________________________________ 5
1.3.1 Popis gravitace ................................................................................................................................ 5
1.3.2 Význam alternativních popisů......................................................................................................... 6
2. Pohyb hmotných bodů podrobených vazbám .................................................................... 7
2.1 Úvodní úvahy ____________________________________________________________ 7
2.2 Klasifikace vazeb__________________________________________________________ 7
2.3 Lagrangeovy rovnice I. druhu _______________________________________________ 8
2.4 Zobecnění Lagrangeových rovnic na N hmotných bodů a v vazeb ________________ 11
2.5 d’Alembertův princip_____________________________________________________ 11
2.6 ***Jourdainův a Gaussův princip___________________________________________ 14
3. Lagrangeův formalismus ................................................................................................. 16
3.1 Základní pojmy__________________________________________________________ 16
3.2 Konfigurační prostor _____________________________________________________ 16
3.2.1 Motivační příklad.......................................................................................................................... 16
3.2.2 Zobecněné souřadnice................................................................................................................... 17
3.2.3 Počet zobecněných souřadnic ....................................................................................................... 18
3.2.4 Zobecněné rychlosti ...................................................................................................................... 19
3.2.5 ***Zenonovy paradoxy................................................................................................................. 21
3.3 Odvození dynamického zákona _____________________________________________ 22
3.3.1 Pohyb jedné částice po úsečce ...................................................................................................... 22
3.3.2 Pohyb N hmotných bodů ve více dimenzích................................................................................. 23
3.4 Lagrangeovy rovnice II. druhu ve speciálních případech________________________ 25
3.4.1 Konzervativní síly......................................................................................................................... 25
3.4.2 ***Přesné řešení matematického kyvadla..................................................................................... 27
3.4.3 Síly, které mají zobecněný potenciál............................................................................................. 30
3.5 Postup pro sestavení Lagrangeových rovnic __________________________________ 31
3.6 Pohyb hmotného bodu v centrálním silovém poli ______________________________ 31
3.7 Metody řešení Lagrangeových rovnic________________________________________ 34
3.8 Pohyb hmotného objektu v poli centrální cíly _________________________________ 36
3.9 Pohyb planet kolem Slunce aneb Keplerova úloha _____________________________ 37
3.9.1 Obecné odvození........................................................................................................................... 37
3.9.2 První Keplerův zákon.................................................................................................................... 39
3.9.3 Druhý Keplerův zákon.................................................................................................................. 40
3.9.4 Třetí Keplerův zákon .................................................................................................................... 40
3.10 Metoda efektivního potenciálu _____________________________________________ 41
3.10.1 Newtonovský efektivní potenciál.................................................................................................. 41
3.10.2 Efektivní potenciál obecné teorie relativity................................................................................... 43
3.11 Rozptyl nabitých částic____________________________________________________ 44
3.12 Problém dvou těles _______________________________________________________ 47
3.13 Problém tří těles _________________________________________________________ 48
4. Hamiltonův formalismus.................................................................................................. 50
4.1 Úloha o brachistochroně - motivace variačního principu________________________ 50
4.2 Definice akce ____________________________________________________________ 50
4.3 Hamiltonův variační princip _______________________________________________ 51
4.4 Eulerovy - Lagrangeovy rovnice ____________________________________________ 54
4.5 Úloha o brachistochroně __________________________________________________ 54
4.6 Invariance Lagrangeovy funkce a zákony zachování ___________________________ 57
4.6.1 Obecné pojmy ............................................................................................................................... 57
4.6.2 Homogenita prostoru..................................................................................................................... 58
4.6.3 Izotropie prostoru.......................................................................................................................... 58
4.6.4 Homogenita času........................................................................................................................... 59
4.6.5 Lokální symetrie............................................................................................................................ 59
4.7 Kalibrační transformace a kalibrační symetrie ________________________________ 59
4.8 Hamiltonovy rovnice______________________________________________________ 60
4.8.1 Kanonická hybnost........................................................................................................................ 60
4.8.2 Fázový prostor............................................................................................................................... 61
4.8.3 Hamiltonova funkce...................................................................................................................... 62
4.8.4 Formulace a důkaz Hamiltonových kanonických rovnic.............................................................. 63
4.9 Ilustrace použití Hamiltonových kanonických rovnic___________________________ 64
4.9.1 Harmonický oscilátor.................................................................................................................... 64
4.9.2 Třírozměrný pohyb částice v poli potenciální energie .................................................................. 65
4.9.2.1 Popis pohybu částice v kartézských souřadnicích..................................................................... 65
4.9.2.2 Popis pohybu částice v cylindrických souřadnicích.................................................................. 65
4.9.2.3 Popis pohybu částice ve sférických souřadnicích ..................................................................... 66
4.9.3 Nabitá částice v elektromagnetickém poli..................................................................................... 67
4.9.4 Hamiltonián v dalších oborech fyziky .......................................................................................... 67
4.10 Poissonovy závorky_______________________________________________________ 68
4.10.1 Definice a matematické vlastnosti................................................................................................. 68
4.10.2 Fundamentální Poissonovy závorky.............................................................................................. 68
4.11 Kanonické transformace __________________________________________________ 70
4.11.1 Definice a základní vztahy kanonických transformací.................................................................. 70
4.11.2 Vlastnosti kanonických transformací............................................................................................ 72
4.11.3 Ověřování kanoničnosti transformace........................................................................................... 73
4.12 Hamiltonova - Jacobiho teorie______________________________________________ 75
4.12.1 Hamiltonova - Jacobiho rovnice ................................................................................................... 75
4.12.2 Postup řešení Hamiltonovy - Jacobiho rovnice............................................................................. 76
5. Tuhé těleso ........................................................................................................................ 78
5.1 Kinematika tuhého tělesa__________________________________________________ 78
5.1.1 Tuhé těleso a popis jeho pohybu................................................................................................... 78
5.1.2 Zavedení úhlové rychlosti............................................................................................................. 80
5.1.3 Rotace s pevnou osou.................................................................................................................... 83
5.1.4 Skládání rotací a vektorů úhlových rychlostí................................................................................ 83
5.1.5 Popis rotace tuhého tělesa - Eulerovy kinematické rovnice.......................................................... 84
5.2 Dynamika tuhého tělesa ___________________________________________________ 86
5.2.1 Motivace........................................................................................................................................ 86
5.2.2 Tenzor setrvačnosti ....................................................................................................................... 86
5.2.3 Moment setrvačnosti ..................................................................................................................... 89
5.2.4 Eulerovy dynamické rovnice......................................................................................................... 92
5.2.5 Bezmomentový setrvačník............................................................................................................ 93
Text je psán pomocí několika zvláštních stylů:
Běžný text, odvozování vztahů, výsledné vztahy, …
DE F I N I C E DŮL E ŽI T Ý C H F Y ZI KÁ L N Í C H P OJ M Ů , ZÁ KONŮ , ROVNIC , …
Komentář, který probíranou látku rozšiřuje, upřesňuje či doplňuje.
Zjednodušená tvrzení pro lepší pochopení, která jsou tedy z fyzikálního hlediska nepřesná, ale která
mohou napomoci k lepšímu pochopení probírané látky.
Zadání a řešení úloh zařazených přímo do přednášky.
1. ÚVOD
1.1 Základní pojmy
Mechanika se zabývá popisem objektů v určitém stavu, které se pohybují v prostoru a čase. Proto je
nutné tyto pojmy vymezit:
1. prostor - je spojitý, trojdimenzionální, euklidovský, homogenní a izotropní. Homogenní prostor
znamená, že je všech bodech stejný, izotropní je takový prostor, jehož vlastnosti se nemění
v závislosti na směru (je tedy ve všech směrech stejný).
Místo toho, že prostor je spojitý, můžeme říct, že se jedná o diferencovatelnou varietu.
2. čas - je spojitý, jednorozměrný, rovnoměrný, jednosměrný, synchronizovaný a absolutní;
3. objekty - jsou idealizovány soustavou rozlišitelných hmotných bodů;
Hmotné body mají tedy svojí identitu - lze je očíslovat, pojmenovat, …
4. stav hmotného bodu - je plně a jednoznačně popsán polohovým vektorem r a vektorem hybnosti
p (viz obr. 1). Na základě tohoto popisu lze jednoznačně zkonstruovat trajektorii pohybu
hmotného bodu a tím je zaručena rozlišitelnost jednotlivých hmotných bodů.
obr. 1
Žádná z výše uvedených charakteristik prostoru, času, objektů nebo stavů hmotných bodů neplatí obecně:
1. Prostor z hlediska teorie relativity sám o sobě nemá smysl - je součástí obecnějšího prostoročasu.
Ten je v okolí velmi hmotných těles neeuklidovský - tj. je zakřivený. Těleso se pak pohybuje
v tomto zakřiveném prostoročasu bez působení vnější síly po geodetice. Ale např. ve Sluneční
soustavě je toto zakřivení malé - proto lze např. k výpočtům trajektorií kosmických sond použít
klasickou mechaniku.
Pohyb bez působení vnější síly je dán právě zakřivením prostoročasu - těleso se pohybuje v dolíku, který
prostoročas vytváří.
2. Z hlediska teorie relativity je čas každého pozorovatele jiný - závisí na pohybovém stavu
pozorovatele, na tom, v jakém gravitačním poli se nachází, … Při pohybu rychlostí, jejíž velikost
je zanedbatelná vzhledem k velikosti rychlosti světla ve vakuu, a ve velkých vzdálenostech od
hmotných objektů lze opět použít klasickou mechaniku.
3. Z hlediska kvantové mechaniky jsou objekty, které zkoumá (elektrony, atomy, …), navzájem
nerozlišitelné.
4. Stav hmotného bodu (tj. jeho polohu a hybnost) lze měřit jen s určitou nepřesností, jak vyplývá
z Heisenbergových relací neurčitosti. Stav objektů (elektrony, atomy, …) je popsán pomocí
pravděpodobnosti a pomocí vlnové funkce.
Newtonova mechanika je tedy pouze modelem reality, ale ukazuje se, že v řadě případů se jedná o model
velmi dobrý a pro většinu výpočtů i dostatečně přesný. Ačkoliv vývoj fyziky během 20. století otřásl základy
Newtonovské mechaniky a ukázal, že je vlastně „jen“ jakýmsi mezním případem pro pohyby, jejichž velikosti
rychlostí jsou zanedbatelné ve srovnání s velikostí rychlosti světla ve vakuu, pro pohyby, které se dějí velmi
daleko od velmi hmotných objektů, …, zůstává Newtonovská mechanika oborem, který je pro moderní obory
(teorie relativity, kvantová mechanika, …) základem.
Zakladatelem klasické mechaniky je sir Isaac Newton (1643 - 1727), který v roce v roce 1686 publikoval
Philosophie naturalis principia mathematica (Matematické principy přírodních věd). V tomto díle položil
základy nejen mechaniky, ale i jejího matematického popisu založeného na diferenciálním počtu a integrálním
počtu. Na první pohled by se mohlo zdát, že mechanika je v současné době překonaným oborem a že problémy,
kterými se zabývá, již byly vyřešeny. Ve skutečnosti se ale řada fyziků k mechanice v současné době vrací,
neboť s rozvojem výpočetní techniky a matematických programů lze simulovat a propočítávat ty jevy, které není
možné analyticky vyřešit, nebo zahrnovat do jednodušších jevů komplikovanější podmínky (tření, odporové
síly, nelinearitu, …).
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
5
1.2 Newtonovy zákony
Newtonovy zákony lze kromě klasické formulace formulovat i jinak.
PR V N Í NE W T ONŮ V ZÁ KON: EXI S T U J E S O UŘ A D N Ý S Y S T É M (NAZÝVANÝ
I N E R C I Á L N Í ), V ŮČI N Ě M U Ž S E K A ŽD Ý I ZO L O V A N Ý H M O T N Ý B O D P O H Y B U J E
ROVNOM Ě RNĚ PŘÍ M OČAŘE .
IZOL O V A N Ý H M O T N Ý B O D J E P ŘI T OM B OD , N A K T E R Ý N E P Ů S O B Í ŽÁ D N É S Í L Y .
Izolovaný bod je tedy odstíněn od všech „pravých“ sil - tj. vždy lze provést experiment tak, abychom
dané rušivé silové působení odstranili. Jedinou silou, kterou odstínit nelze, je gravitace - i to lze ovšem
experimentálně provést: budeme experimentovat ve velkých vzdálenostech od hmotných těles.
Bude-li foukat vítr, budeme experimentovat v zavřené místnosti, bude-li experiment rušit elektrostatické
pole, provedeme experiment ve Faradayově kleci, …
Tato formulace je silnější než běžná formulace prvního Newtonova zákona, protože je vlastně existenční
větou pro inerciální systém. Z této formulace také vyplývá fakt, že inerciálních systémů existuje celá řada a jsou
navzájem propojeny Galileovou transformací. V těchto systémech pak lze dobře formulovat druhý Newtonův
zákon.
DRUHÝ NE W T ONŮV ZÁ KON: PR O K A ŽD Ý H M O T N Ý B O D E XI S T U J E K O N S T A N T A m A
VEKTOROVÁ FUNKCE F T AKOVÁ, ŽE J E HO POHYB VŮČI D A N É M U I N E R C I Á L N Í M U
S Y S T É M U J E P O P S Á N D I F E R E N C I Á L N Í R O V N I C Í F mr
⋅⋅
= .
Tato formulace druhého Newtonova zákona je vlastně implicitní definice setrvačné hmotnosti a síly.
Mechanika se nezabývá původem sil - pracuje s nimi obecně. Hledat původy a příčiny působení sil je
předmětem zájmu jiných oborů fyziky:
1. teorie gravitace popisuje gravitační sílu gF : 1 2
g 02
m m
F G r
r
= ;
2. teorie elektromagnetického pole popisuje sílu působící na nabitou částici, která se pohybuje
v magnetickém poli: ( )F q E v B= + × ;
3. …
Při popisu sil je rozumné klást jisté požadavky na jejich charakter. Síly by měly:
1. splňovat princip akce a reakce;
2. být závislé na okamžitém stavu pohybujícího se tělesa (resp. hmotného bodu);
3. splňovat princip superpozice.
Každá z výše uvedených charakteristik je splněna pouze v rámci klasické mechaniky (Newtonovské
mechaniky).
Princip akce a reakce spolu se závislostí na aktuálním stavu může být problematický v nestacionárních
polích, princip superpozice neplatí v silných gravitačních polích (popsaných obecnou teorií relativity).
1.3 Základní přístupy mechaniky
Mechanika při matematicko - fyzikálním popisu jevů a dějů, kterými se zabývá, uplatňuje dva základní
přístupy:
1. vektorová mechanika - vyučuje se na základních školách a středních školách a při tomto popisu se
využívají vektory, s nimiž pracoval už Newton, ačkoliv nebyly tehdy popsány matematicky;
2. analytická mechanika - základními veličinami, kterými se mechanika popisuje, jsou práce,
kinetická energie, …obecně tedy skaláry. Pohybové rovnice získáme derivováním skalárů podle
vhodných souřadnic. Tento přístup uplatňovali Leibnitz, Euler, Lagrange, Hamilton a další.
1.3.1 Popis gravitace
Různé přístupy k popisu fyzikálních jevů a dějů lze ilustrovat na popisu gravitace. Tu lze popsat pomocí:
1. gravitační síly - popis provedl Newton a vychází z faktu, že na těleso o hmotnosti m, které se
nachází ve vzdálenosti r od silového centra o hmotnosti M působí gravitační síla gF daná
vztahem g 02
Mm
F G r
r
= (viz obr. 2);
2. pole potenciálu - pomocí pole potenciálu ϕ popsal gravitaci poprvé Poisson na základě hustoty
hmoty ρ (viz obr. 3), pro kterou platí: 4 Gϕ π ρΔ = ;
Symbol ϕΔ znamená operátor laplace aplikovaný na potenciál ϕ .
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
6
3. pole metriky - tímto způsobem popsal gravitaci Einstein svými tenzorovými rovnicemi:
( )μν αβ μν4
8 G
G g T
c
π
= (viz obr. 4).
Přirozený přechod mezi uvedenými přístupy k popisu gravitace přitom lze udělat mezi přístupem
Poissonovým a Einsteinovým, neboť oba tyto přístupy mají společnou koncepci. Poissonovu rovnici a
Einsteinovy rovnice lze chápat tak, že určitý operátor aplikován na veličinu popisující v daném přístupu
gravitaci (tj. ϕΔ resp. ( )μν αβG g ) je roven zdrojům gravitace (tj. 4 Gπ ρ resp. μν4
8 G
T
c
π
).
Newtonův přístup a Einsteinův přístup jsou od sebe koncepčně velmi daleko.
obr. 2
obr. 3
obr. 4
1.3.2 Význam alternativních popisů
Alternativní popisy mechaniky (tj. ty, které nevycházejí z Newtonova popisu) mají význam pro další
studium fyziky:
1. otvírají cestu k popisu nemechanických oborů fyziky, protože tyto alternativní přístupy lze
zobecnit snáze než klasické přístupy;
2. jsou mohutnějšími nástroji pro řešení problémů - lze na základě nich odvodit rychlejší a
efektivnější postupy;
3. využívají metody pokročilé matematiky;
4. jsou krásné a elegantní.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
7
2. POHYB HMOTNÝCH BODŮ PODROBENÝCH VAZBÁM
2.1 Úvodní úvahy
Podle druhého Newtonova zákona (viz odstavec 1.2) lze psát
F mr= , (1)
kde F představuje vtištěnou sílu (pravou sílu).
Síly definované vztahem (1) se většinou nazývají inerciální síly.
Touto silou může být:
1. síla gravitační popisující homogenní gravitační pole: g 02
Mm
F G r
r
= ;
2. síla elektrostatická popisující homogenní elektrostatické pole: eF qE= ;
3. síla magnetická popisující homogenní magnetické pole: mF qv B= × ;
4. síla modelující tření: tF vα= − ;
5. …
V rovnici (1) zatím není žádná omezující podmínka, a proto jí řešíme obecně v 3
.
Neznámými jsou složky polohového vektoru závislé na čase, tj. ( ) ( ) ( ) ( )( ), ,r t x t y t z t= .
Gravitační síla popisuje volný pád. Pokud přidáme vhodnou vazbu, získáme popis např. matematického
kyvadla. Hmotný bod se už nebude pohybovat po trajektorii ve tvaru úsečky, ale jeho pohyb bude nějak omezen
- v tomto případě na část kružnice.
Příklad: Matematické kyvadlo
Na obr. 5 je zobrazeno matematické kyvadlo. Na hmotný bod působí gravitační síla gF . Podmínka, která omezí
pohyb hmotného bodu tak, aby pohyb odpovídal pohybu matematického kyvadla, je: hmotný bod má konstantní
vzdálenost od místa upevnění závěsu délky a. Tedy vazba ( ), ,x y zϕ je ( ) 2 2 2 2
, , 0x y z x y z aϕ = + + − = .
obr. 5
obr. 6
Příklad: Nakloněná rovina
Pohyb tělesa po nakloněné rovině je způsoben také gravitační silou (viz obr. 6). Omezení pouze na trajektorii ve
tvaru úsečky po nakloněné rovině, lze provést zavedením vazby ( ), tg 0x z z xϕ α= − = .
Obecně lze každou plochu popsat implicitní funkcí ( ) ( ), , 0x y z rϕ ϕ= = . Tato rovnice plochy pak
představuje vazbu, která může být závislá na různých parametrech (viz odstavec 2.2).
2.2 Klasifikace vazeb
Vazby lze rozdělit do tří základních skupin, které lze dále ještě dělit:
1.
a) vazba oboustranná - popsaná rovnicí ( ) 0rϕ = ;
b) vazba jednostranná - popsaná nerovnicí ( ) 0rϕ ≥ ;
2.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
8
a) vazba skleronomní - je vazba, která nezávisí na čase: ( )rϕ ϕ= ;
b) vazba reonomní - je vazba, která závisí na čase: ( ),r tϕ ϕ= ;
3.
a) vazba holonomní - je vazba, která nezávisí na rychlosti: ( )rϕ ϕ= ;
b) vazba neholonomní - je vazba, která závisí na rychlosti: ( ),r vϕ ϕ= .
Tuhé těleso je soustava hmotných bodů s dostatečným počtem vazeb typu ( ) 0rϕ = .
Jednotlivé typy vazeb lze navzájem kombinovat - např. vazba popisující matematické kyvadlo (viz
odstavec 2.1) je vazba oboustranná, skleronomní, holonomní.
Pozor! Ne každá vazba závislá na rychlosti je vazba neholonomní. Neholonomní je jen taková vazba,
v níž nelze rychlost vyintegrovat.
Pokud se lze tedy rychlosti v předpisu vazby zbavit, jedná se o vazbu holonomní.
Příklad: Nakloněná rovina s obručí
Po nakloněné rovině se valí bez podkluzování obruč o poloměru a (viz obr. 7). V určitém čase se odvalila o
dráhu s a obruč se tedy otočila o úhel α . Vazba je tedy 0s aϕ α= − = . Tato podmínka je ovšem ekvivalentní
podmínce 0s aϕ α= − = (druhá podmínka vznikne integrací první podmínky).
První podmínka vyplývá z úvah o rovnosti rychlosti, kterou se posouvá po nakloněné rovině bod dotyku obruče
s nakloněnou rovinou, a obvodové rychlosti obruče. Druhá podmínka (zitegrovaná) vyplývá z úvah o rovnosti
dráhy, kterou opsala obruč na nakloněné rovině, a dráhy, o kterou se obruč pootočila.
obr. 7
Vazba, která je neholonomní (tj. závisí na rychlosti), je vazba popisující např. valení mince bez
podkluzování na vodorovné podložce.
2.3 Lagrangeovy rovnice I. druhu
Na základě praxe lze vyslovit axiom:
VA ZB O V É S Í L Y R HOL ONOM NÍ CH VAZE B ( ), 0r tϕ = PŮ SOBÍ VŽDY KOLMO NA
PLOCHU POPSANOU ROVNICÍ 0ϕ = .
obr. 8
obr. 9
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
9
Pokud by vazbové síly působily na plochu jinak, než kolmo (viz obr. 8), zahrneme do vazbových sil
pouze složky kolmé na danou plochu. Ostatní složky vazbových sil zahrneme do vtištěných sil (pravých sil).
Tento poznatek je plně ve shodě s praxí: budeme-li uvažovat ideální situace bez třecích sil, bude mít
vazbová síla vždy směr kolmý k dané ploše.
Rovnici (1) můžeme tedy přepsat ve tvaru
F mr R= + . (2)
Na základě obr. 9 lze psát
R nλ= , (3)
kde n je normálový vektor plochy dané rovnicí 0ϕ = a λ ∈ .
Vztah (3) říká, že vektor vazbové síly R je násobkem normálového vektoru n plochy, což znamená, že
tyto dva vektory jsou vzájemně rovnoběžné. Vzhledem k tomu, že vektor n je kolmý k tečné rovině sestrojené
k dané ploše v uvažovaném bodě (tj. „je kolmý k ploše“), „je kolmý k ploše“ i vektor R (což požadujeme).
Další z matematických vlastností plochy dané rovnicí 0ϕ = lze zapsat ve tvaru
gradn ϕ= . (4)
Vlastnost (4) lze dokázat matematicky jednoduchou úvahou. Předpokládejme, že na ploše jsou dány dva
body [ ]1 2 3, ,A x x x= a [ ]1 1 2 2 3 3d , d , dB x x x x x x= + + + (viz obr. 10). Oba tyto body leží na ploše popsané
rovnicí ( ) 0rϕ = . Proto platí ( )A 0rϕ = a ( ) ( )B A d 0r r rϕ ϕ= + = , přičemž ( )A 1 2 3, ,r x x x= a
( )B A 1 1 2 2 3 3d d , d , dr r r x x x x x x= + = + + + . Rozdíl ( ) ( )A Ad 0r r rϕ ϕ+ − = lze rozepsat podle Taylorova
rozvoje: ( )
( )
( )
3
A
A i A
ii 1
.d ... 0
r
r x r
x
ϕ
ϕ ϕ
=
∂
+ + − =
∂∑ . Zanedbáme-li členy vyšších řádů, dostaneme:
( )3
A
i
ii 1
.d 0
r
x
x
ϕ
=
∂
=
∂∑ , což lze přepsat ve formě skalárního součinu ( )Agrad .d 0r rϕ = . Skalární součin dvou
nenulových vektorů je nulový tehdy, jsou-li uvažované nenulové vektory na sebe kolmé. Vzhledem k tomu, že
při uvažovaných vzdálenostech bodů A a B od sebe, leží vektor dr v ploše popsané rovnicí ( ) 0rϕ = , má
vektor ( )Agrad rϕ směr normály k dané ploše v bodě A. Proto obecně platí, že gradn ϕ= .
obr. 10
Dosadíme-li vztahy (3) a (4) postupně do vztahu (2), dostaneme: gradF mr R mr n mrλ λ ϕ
⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅
= + = + = + .
LAGRANGEOVY ROVNICE I. DRUHU JSOU ROVNICE VE TVARU
gradF mr λ ϕ
⋅⋅
= +
(5)
A
( ), 0r tϕ = . (6)
Koeficient λ vystupující v Lagrangeových rovnicích, které francouzský fyzik Joseph Louis Lagrange
(1736 - 1813) publikoval v roce 1775, se většinou nazývá Lagrangeův multiplikátor.
Lagrangeovy rovnice jsou vlastně 4 rovnice (rovnici (5) lze rozepsat ve třech souřadnicích) o čtyřech
neznámých: ( ) ( ) ( ) ( )( ), ,r t x t y t z t= a λ .
Lagrangeovy rovnice lze aplikovat při řešení řady úloh.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
10
Příklad: Odtržení hmotného bodu do balonu
Na povrchu balonu o poloměru a, který se nachází v homogenním gravitačním poli, je v jeho nejvyšším bodě
hmotný bod o hmotnosti m. Hmotný bod se začne bez tření pohybovat po povrchu balonu. V jaké výšce nad
povrchem podložky, na níž je balon položen, se hmotný bod od balonu odtrhne?
Řešení: Situace je zobrazena na obr. 11. Vazbu, která popisuje danou plochu, by bylo možné definovat jako
jednostrannou, ale lépe je vazba oboustranná: lze vyjít z analogie, v níž se hmotný bod pohybuje v trubičce
(která je na povrchu balonu). Hmotný bod se odtrhne právě tehdy, když bude velikost vazbové síly nulová, tj.
0R = .
obr. 11
Na základě rovnic (5) a (6) a obr. 11 lze psát:
( ) 2 2 2
, 0
mx
x
my mg
y
x y x y a
ϕ
λ
ϕ
λ
ϕ
∂
=
∂
∂
= − +
∂
= + − =
Tyto rovnice lze s využitím rovnice vazby přepsat:
( ) 2 2 2
2
2
, 0
mx x
my mg y
x y x y a
λ
λ
ϕ
=
= − +
= + − =
Další postup řešení provedeme pomocí dvou „triků“. Prvním z nich je vyjádřit první derivaci a druhou derivaci
rovnice vazby ϕ podle času: 2 2 0xx yyϕ = + = a 2 2 2 2xx xx yy yyϕ = + + + . Úpravou druhé derivace postupně
dostáváme: ( ) ( ) ( )2 2 2
2 2 2 2 0xx yy x y xx yy vϕ = + + + = + + = . Tedy 2
xx yy v+ = − .
Lagrangeovy rovnice upravíme na tvar
2
2
2
2
mxx x
myy mgy y
λ
λ
=
= − +
a sečteme: ( ) ( )2 2
2m xx yy mgy x yλ+ = − + + . Do
levé strany dosadíme výraz, který jsme získali úpravou druhé časové derivace vazby, do pravé strany rovnice
dosadíme z rovnice vazby. Tak získáme: 2 2
2mv mgy aλ− = − + . Z této rovnice by bylo možné vyjádřit λ
v závislosti na y a v a dosadit do Lagrangeových rovnic. Integrováním bychom získali ( )x t a ( )y t .
Lze ovšem postupovat i jinak. Potřebujeme mít ovšem další vztah, který bude svazovat polohu a rychlostí - a to
je druhý „trik“. Tímto vztahem je zákon zachování mechanické energie ve tvaru: 21
2
E mv mgy mga= + = , kde y
je vzdálenost podložky od místa odtržení hmotného bodu od balonu.
Do rovnice 2 2
2mv mgy aλ− = − + dosadíme ze zákona zachování mechanické energie a získáme:
( ) 2
2 2 2mga mgy mgy aλ− − = − + . Odtud lze psát: 2
3 2
2
y a
mg
a
λ
−
= . Hmotný bod se od balonu odtrhne, je-li
0R = , z čehož vyplývá 0λ = . Tedy
2
3
y a= .
Hmotný bod se tedy od balonu odtrhne ve výšce
2
3
y a= nad podložkou, na níž balon leží.
Zákon zachování mechanické energie použitý při řešení předchozí úlohy vyplývá z pohybových rovnic,
tj. z Lagrangeových rovnic I. druhu použitých při řešení úlohy.
Rovnice
2
2
mx x
my mg y
λ
λ
=
= − +
lze přepsat do tvaru
2
2
mxx xx
myy mgy yy
λ
λ
=
= − +
a sečíst je. Tak získáme rovnici
( ) ( )2m xx yy mgy xx yyλ+ = − + + , kterou lze přepsat ve tvaru ( ) ( ) ( )2 2 2 2 21
2
m x y mgy x y aλ
⎡ ⎤
+ = − + + −⎢ ⎥
⎣ ⎦
i
ii
.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
11
S využitím první časové derivace rovnice vazby lze psát ( ) ( )2 21
0
2
m x y mgy
⎡ ⎤
+ = − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
i
i
a po integrování
21
2
mv mgy konst= − + . Tedy 21
2
mv mgy konst+ = , což je formulace zákona zachování mechanické energie.
Analogicky lze zákon zachování mechanické energie z Lagrangeových rovnic I. druhu odvodit vždy,
když tyto rovnice budou obsahovat skleronomní holonomní vazby (viz odstavec 2.2). Pokud by rovnice vazby
ϕ byla závislá na čase, její první derivace podle času nebude nulová. To by znamenalo, že energii je nutné
během uvažovaného děje dodávat nebo odebírat. Zákon zachování mechanické energie by již neplatil.
Vazbové síly jsou kolmé k vazbě (viz vztahy (3) a (4)) a hmotný bod se pohybuje po vazbě. To znamená,
že vazbové síly jsou kolmé ke směru pohybu hmotného bodu, a tedy práce, kterou vazbové síly vykonají, je
nulová.
2.4 Zobecnění Lagrangeových rovnic na N hmotných bodů a v vazeb
V odstavci 2.3 byly odvozeny Lagrangeovy rovnice I. druhu popisující pohyb jednoho hmotného bodu.
Nyní tyto rovnice zobecníme na pohyb N hmotných bodů a v vazeb.
LAGRANGOVY ROVNICE I. DRUHU PRO N HMOTNÝCH BODŮ A v V A ZE B J S O U
R O V N I C E V E T V A R U
v
k
i i i k i
k 1
m x F
x
ϕ
λ
=
∂
= +
∂
∑
(7)
A
( )i
k , 0x tϕ = pro 1, 2, ...,k v= , (8)
KDE
1 2 3 4 5 6 3N
, , , , , , ...,x x x x x x x J S OU KA R T É ZS KÉ S OU ŘA D N I C E N HMOTNÝCH BOD Ů.
Rovnice (7) a (8) tvoří soustavu 3N + v rovnic o stejném počtu neznámých: i
x pro 1, 2, ..., 3i N= a kλ
pro 1, 2, ...,k v= . Tyto rovnice by bylo možné zobecnit i na neholonomní vazby (viz odstavec 2.2), ale pouze
takové, které závisí na rychlosti lineárně.
Psaní indexů nahoru nebo dolů za příslušnou proměnnou vyžaduje hlubší studium diferenciální
geometrie, během kterého se ukáže rozdíl mezi varietou, formou, vektorem, … Na úrovni teoretické mechaniky
a v euklidovském prostoru by bylo možné psát všechny indexy dole.
Souřadnice 1 2 3 4 5 6 3N
, , , , , , ...,x x x x x x x jsou řazeny tak, že souřadnice 1 2 3
, ,x x x určují polohu prvního
hmotného bodu, souřadnice 4 5 6
, ,x x x určují polohu druhého hmotného bodu, … Analogicky jsou indexovány
složky vektoru síly.
V uvedeném systému indexování pak platí 1 2 3 prvního hmotného bodum m m m= = = ,
4 5 6 druhého hmotného bodum m m m= = = , …
Analogický popis soustavy hmotných bodů, jejichž pohyb je omezen vazbami, lze udělat i pomocí jedné
rovnice. Tím ovšem přecházíme od vektorové mechanice k analytické mechanice (viz odstavec 1.3).
2.5 d’Alembertův princip
Autorem tohoto principu je Jean Le Rond d’Alembert (1717 - 1783), který tento princip publikoval
v roce 1742.
SY S T É M N HMOTNÝCH BOD Ů S E V Y V Í J Í T A K O V Ý M ZP ŮS OB E M , ŽE PL AT Í :
( )
3N
i
i i i
i 1
0m x F xδ
=
− =∑ ,
(9)
KDE
i
xδ J S OU SL OŽKY T ZV . VIRTUÁLNÍHO POSUNUTÍ .
Rovnicí (9) tak vlastně d’Alembert přeformuloval Newtonovu mechaniku pomocí nového přístupu.
Základní představa byla taková, že virtuální posunutí jsou nekonečně malá posunutí, která jsou v souladu
s vazbami ( )i
k , 0x tϕ = . Složka i
xδ virtuálního posunutí tak vlastně odpovídá změně polohy hmotného bodu,
tj. odpovídá změně souřadnice i
x .
Pokud tedy rovnice (9) platí pro všechna i
xδ , odpovídají složky sil iF složkám zrychlení ix a pohyb
hmotného bodu lze uskutečnit. Na základě ix můžeme určit polohu hmotného bodu v čase a můžeme tak
konstruovat jeho trajektorii implicitním způsobem.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
12
Rovnice (9) je tedy splněna tehdy, pokud složky sil iF a složky zrychlení ix jsou vzájemně dobře
nastaveny.
Virtuální posunutí se složkami i
xδ je pojem, který zavedl d’Alembert a jeho kolegové. Z hlediska
současné interpretace lze na virtuální posunutí nahlížet jako na tečný vektor v , který je sestrojen v daném bodě
P plochy k této ploše, po níž se hmotný bod pohybuje. Jedná se o tzv. konfigurační prostor Q, který je popsán
rovnicí 0ϕ = . Všechny uvažované tečné vektory pak leží v tečné rovině PQT sestrojené v bodě P (viz obr. 12).
Proto platí ( ) ( )1 2 3 3N 1 2 3 3N
, , , ..., , , , ...,v v v v v x x x xδ δ δ δ= = .
obr. 12
Každý bod konfiguračního prostoru Q (viz odstavec 3.2) má svůj tečný prostor - tečnou rovinu PQT .
Konfigurační prostor tedy je plochou vazby popsané rovnicí 0ϕ = . V něm leží ty body, v nichž se může
pohybující se hmotný bod nacházet.
V rovnici (9) tedy testujeme výchylku hmotného bodu z bodu, v němž se právě nachází, do všech tečných
směrů popsaných tečnými vektory v ležícími v PQT .
D ’AL E M B E R T Ů V P R I N C I P J E E K V I V A L E N T N Í LA G R A N G E O V Ý M R O V N I C Í M I. DRUHU
(V I Z R O V N I C E (7) A (8) V O D S T A V C I 2.4) A T E D Y J E E K V I V A L E N T N Í I NE W T O N O V Ý M
R O V N I C Í M S (HOL ONOM NÍ M I ) V A ZB A M I .
Toto tvrzení lze dokázat.
Nejdříve dokážeme implikaci, že z Lagrangeových rovnic I. druhu (tj. ze vztahů (7) a (8) v odstavci 2.4)
vyplývá d’Alembertův princip (vztah (9)).
Rovnici
v
k
i i i k i
k 1
m x F
x
ϕ
λ
=
∂
= +
∂
∑ upravíme na tvar
v
k
i i i k i
k 1
m x F
x
ϕ
λ
=
∂
− =
∂
∑ a vynásobíme složkou
virtuálního posunutí i
xδ a sečteme: ( )
3N 3N v
i ik
i i i k i
i 1 i 1 k 1
m x F x x
x
ϕ
δ λ δ
= = =
∂
− =
∂
∑ ∑∑ . Nyní zaměníme pořadí sčítání na
pravé straně rovnice ( )
3N v 3N
i ik
i i i k i
i 1 k 1 i 1
m x F x x
x
ϕ
δ λ δ
= = =
∂
− =
∂
∑ ∑ ∑ . Pokud uvědomíme, že k
i
x
ϕ∂
∂
je složka gradientu ϕ
a i
xδ je složka tečného vektoru, můžeme psát ( )
3N v
i
i i i k k
i 1 k 1
gradm x F x vδ λ ϕ
= =
− =∑ ∑ i . Gradient plochy ϕ má
ovšem směr normály k této ploše (viz vztah (4)) a je tedy kolmý k tečně (resp. k tečné rovině) v daném bodě. Je
tedy kolmý i k tečnému vektoru v a jejich skalární součin je nulový. Proto ( )
3N
i
i i i
i 1
0m x F xδ
=
− =∑ .
Důkaz obrácené implikace, tj. že ze vztahu (9) vyplývají vztahy (7) a (8) provedeme úvahou. Uvážíme
dva případy:
1. neexistuje vazba - to znamená, že složky virtuálního posunutí 1 2 3 3N
, , , ...,x x x xδ δ δ δ jsou
navzájem nezávislé a tedy i i i 0m x F− = pro všechna i od 1 do 3N;
2. existují vazby - to znamená, že složky virtuálního posunutí 1 2 3 3N
, , , ...,x x x xδ δ δ δ obecně nejsou
navzájem nezávislé. Metodou Lagrangeových multiplikátorů lze dokázat, že musí existovat systém
3N + v rovnic, které splňují podmínky (7) a (8).
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
13
Fakt, že složky 1 2 3 3N
, , , ...,x x x xδ δ δ δ nejsou obecně nezávislé si lze představit následující úvahou:
když jdeme ze schodů, jdeme dopředu, ale zároveň jdeme dolů. Tj. díky existenci vazby (schody) nemůže naše
rychlost mířit libovolným směrem. Složky 1 2 3 3N
, , , ...,x x x xδ δ δ δ jsou složkami tečných vektorů. A vektor
rychlosti je k dané ploše vždy tečný.
Metoda Lagrangeových multiplikátorů se používá v matematické analýze při hledání vázaných extrémů
funkcí více proměnných.
Rovnice (9) platí jen pro vratná virtuální posunutí i
xδ , tj. taková posunutí, že k posunutí i
xδ existuje
také posunutí i
xδ− . V případě oboustranných vazeb (viz odstavec 2.2) jsou všechna posunutí vratná. V případě
jednostranných vazeb by vratná posunutí byla jen dvě - viz obr. 13, na kterém jsou zakreslena vratná posunutí
1r a 2r . (Obrázek je schématický a platí i pro zakřivené vazbové plochy nikoliv jen pro rovinu.)
obr. 13
Pokud bychom v případě jednostranných vazeb uvažovali i nevratná virtuální posunutí, změnil by se tvar
d’Alembertova principu (9) na tvar
( )
3N
i
i i i
i 1
0m x F xδ
=
− ≤∑ .
(10)
Na základě vztahu (9) lze najít i dva speciální případy d’Alembertova principu:
1. není žádná vazba - to znamená, že složky virtuálního posunutí 1 2 3 3N
, , , ...,x x x xδ δ δ δ jsou
libovolné a na sobě navzájem nezávislé. Vztah (9) pak lze psát ve tvaru
i i 0m x F− = (11)
pro všechna 1, 2, ..., 3i N= . Získáme tak 3N na sobě nezávislých Newtonových rovnic.
2. není žádný pohyb - to znamená, že i 0x = pro všechna 1, 2, ..., 3i N= a tedy platí
3N
i
i
i 1
0F xδ
=
=∑ .
(12)
Občas je vhodné takovou situaci (tj. silové působení bez pohybu) studovat: stabilita mostů, statické
konstrukce (např. vysílačů, stožárů vysokého napětí, …) a podobně.
VZT AH (12) D E F I N U J E P R I N C I P V I R T U Á L N Í P R Á C E , K T E R Á B Y S E V Y K O N A L A ,
K D Y B Y S E H M O T N Ý B O D V Y C H Ý L I L ZE SVÉHO ROVNOVÁŽNÉHO STAVU .
Tento poznatek odvodil Johann Bernoulli (1667 - 1748) v roce 1717, ale základy principu virtuální práce
byly známy již od starověku.
Na základě vztahu (12) lze právě rovnovážný stav poznat: vztah (12) totiž v rovnovážném stavu musí
platit pro všechna virtuální posunutí.
Je-li těleso v rovnovážném stavu (viz obr. 14), tak ať ho vychýlíme jakýmkoliv směrem, který vazby
systému umožňují, tak se vždy vrátí do rovnovážného stavu. V případě nerovnovážného stavu (viz obr. 15) to
neplatí.
V případě určitého typu sil se situace zjednoduší. Tyto síly se nazývají konzervativní síly (viz odstavec
3.4.1).
Pro konzervativní síly platí
0Vδ = . (13)
To ovšem znamená, že potenciální energie může mít extrém - existují tedy tři možnosti:
1. potenciální energie nabývá minima - jedná se o stabilní rovnovážnou polohu (viz obr. 14);
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
14
2. potenciální energie nabývá maxima - jedná se o labilní rovnovážnou polohu (viz obr. 15);
3. potenciální energie nemá extrém - jedná se o indiferentní rovnovážnou polohu (viz obr. 16).
Podmínka (13) udává podmínku rovnováhy, ale není možné usoudit o jaký z právě uvedených tří
možných případů se jedná.
obr. 14 obr. 15 obr. 16
Symbol Vδ se používá z historických důvodů a lze místo něj psát totální diferenciál dV .
Příklad: Rovnováha tyčky mezi stěnou a hranou
Homogenní tyč délky 2l je umístěna mezi stěnou a hranou, které jsou ve vzájemné vzdálenosti a. Při jaké poloze
bude tyč v rovnovážné poloze?
Řešení: K řešení využijeme d’Alembertův princip v jeho speciální podobě podle vztahu (12). Hledáme
rovnovážnou polohu, tj. stav systému (tyče) bez rotace a posunutí - budeme tedy uvažovat pouze jedinou sílu,
která na tyč působí: gravitační sílu gF (viz obr. 17). Na základě této úvahy a vztahu (12) lze psát
3
i
i
i 1
0F xδ
=
=∑ ,
tj. x y z 0F x F y F zδ δ δ+ + = a po dosazení: 0 0 0mg yδ− + = . Odtud získáme 0yδ = . To znamená, že
rovhovážná poloha nastává tehdy, pokud se y-ová souřadnice polohy těžiště nemění.
Představíme-li si pohyb tyče v souladu s danými vazbami, tak se její těžiště bude pohybovat po části
kružnice. V místě, kde nastává rovnováha, se y-ová souřadnice jeho polohy skutečně nemění.
Polohu tyče je dobré popsat pomocí úhlu ϑ , který svírá tyč s kladnou částí osy x. Pak lze pro y-ovou souřadnici
těžiště, která je závislá na úhlu ϑ , psát: sin tgy l aϑ ϑ= − . Proto 2
d
cos
d cos
y a
y lδ δϑ ϑ δϑ
ϑ ϑ
⎛ ⎞
= = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Vzhledem k tomu, že má platit 0yδ = pro všechna δϑ , musí být 2
cos 0
cos
a
l ϑ
ϑ
− = . Odtud získáme, že
3cos
a
l
ϑ = .
Tyč je v rovnovážné poloze, svírá-li s vodorovným směrem úhel ϑ , který je dán vztahem 3cos
a
l
ϑ = .
obr. 17
2.6 ***Jourdainův a Gaussův princip
Kromě d’Alembertova principu (viz vztah (9) v odstavci 2.5) existují ještě dva další, které se ovšem
v praxi příliš nepoužívají:
1. Jourdainův princip vyjádřený vztahem
( )
3N
i
i i i
i 1
0m x F xδ
=
− =∑ ;
(14)
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
15
2. Gaussův princip vyjádřený vztahem
( )
3N
i
i i i
i 1
0m x F xδ
=
− =∑ .
(15)
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
16
3. LAGRANGEŮV FORMALISMUS
3.1 Základní pojmy
Lagrangeův formalismus je zobecněním Newtonova popisu mechaniky. Výhody Lagrangeova
formalismu jsou zejména:
1. snadný popis systému bez nutnosti hledat rozklady sil;
2. poskytuje návod na samotné řešení sestavených rovnic (tzv. integrály pohybu - viz odstavec 3.7);
3. lze ho relativně snadno zobecnit v dalších oborech fyziky (teorie elektromagnetického pole a
Maxwellovy rovnice, …).
K popisu Lagrangeova formalismu je nutné:
1. zavést efektivnější popis systému než dosud - zavedeme tzv. konfigurační prostor zobecněných
souřadnic (viz odstavec 3.2);
2. odvodit dynamický zákon - tzv. Lagrangeovy rovnice II. druhu (viz odstavce 3.3.1 a 3.3.2).
Tento dynamický zákon bude ekvivalentním popisem systému, jaký poskytovaly např. Newtonovy
rovnice. Tento popis je ale obecnější a má výše uvedené výhody.
3.2 Konfigurační prostor
Vytvoření konfiguračního prostoru se řídí několika základními pravidly:
1. místo kartézských souřadnic ( )1 2 3 3N
, , , ...,x x x x se používají zobecněné souřadnice
( )1 2 3 n
, , , ...,q q q q - viz odstavec 3.2.2 (význam konstanty n je vysvětlen v odstavci 3.2.3);
2. používá se jen tolik zobecněných souřadnic, kolik je nezbytně nutných (viz odstavec 3.2.3);
3. konfigurační prostor sám o sobě nestačí - musíme zavést ještě prostor rychlostí (viz odstavec
3.2.4).
3.2.1 Motivační příklad
Příklad: Pohyb planet
Nalezněte tvar trajektorie, po které se pohybují planety kolem Slunce.
Řešení: Planety se pohybují v rovině pod vlivem centrální gravitační síly gF , která je dána vztahem:
g 02 2 3
Mm Mm r Mm
F G r G G r
rr r r
= = = . Tato síla je silou, která uděluje tělesu o hmotnosti m zrychlení
( ), ,a r x y z= = . Proto můžeme v jednotlivých složkách kartézského systému souřadnic psát:
( )
( )
3
2 2 2
3
2 2 2
0
Mmx
mx G
x y z
Mmy
my G
x y z
mz
= −
+ +
= −
+ +
=
. Úpravou těchto rovnic získáme
( )
( )
3
2 2 2
3
2 2 2
0
Mx
x G
x y z
My
y G
x y z
z
= −
+ +
= −
+ +
=
, což je stále velmi
komplikovaný výraz pro další výpočet.
V polárních souřadnicích lze zadaný problém popsat jednodušeji pomocí rovnic:
( )
( )
2
2
2
0
0
Mm
m r r G
r
r
m
r
mz
ϕ
ϕ
− = −
=
=
i
, které lze upravit na tvar
( )
2
2
2
0
0
M
r r G
r
r
r
z
ϕ
ϕ
− = −
=
=
i
. Ze druhé rovnice okamžitě vyplývá, že
2
.r K konstϕ = = a tedy 2
K
r
ϕ = . Dosazením do první rovnice získáme rovnici
2
3 2
K M
r G
r r
= − , jejímž řešením
je
1 cos
p
r
ε ϕ
=
+
, kde
2
k
p
GM
= .
Rovnice
1 cos
p
r
ε ϕ
=
+
přitom vyjadřuje rovnici kuželosečky v polárních souřadnicích. V závislosti na
parametru ε získáme jednotlivé typy kuželoseček:
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
17
1. pro 0ε = se jedná o kružnici;
2. pro ( )0;1ε ∈ se jedná o elipsu;
3. pro 1ε = a zároveň cos 1ϕ = − se jedná o parabolu;
4. pro 1ε > se jedná o hyperbolu.
Z uvedeného příkladu je zřejmé, že popis problému v jiných než kartézských souřadnicích je výhodnější
a snadněji se řeší. Proto se zavádějí zobecněné souřadnice (viz odstavec 3.2.2).
Podrobněji je pohyb planet řešen v odstavci 3.9.
3.2.2 Zobecněné souřadnice
ZOB E C N Ě N É S O U Ř A D N I C E J S O U L I B O V O L N É P A R A M E T R Y , KT E R É J E D N OZNA ČNĚ
P O P I S U J Í V Š E C H N Y M O ŽN É K O N F I G U R A C E D A N É H O S Y S T É M U .
Všechny možné konfigurace, které zobecněné souřadnice popisují, jsou tvary trajektorií, polohy
hmotných bodů, …
Slovo konfigurace je použito záměrně - zobecněné souřadnice totiž nepopisují stav! Abychom získali
popis stavu hmotného bodu, je nutné ještě „něco přidat“ (viz odstavec 3.2.4).
Zobecněnými souřadnicemi mohou být kartézské souřadnice, polární souřadnice, úhly, … Volíme je tak,
aby jednoznačně popisovaly konfiguraci daného systému a přitom tento popis byl co možná nejvýhodnější pro
další výpočty.
obr. 18
obr. 19
Použití zobecněných souřadnic bude ukázáno na několika příkladech:
1. kyvadlo (viz obr. 18) - zobecněnou souřadnicí je úhel ϕ , který popisuje výchylku hmotného bodu
z rovnovážné polohy, tj. 1
q ϕ= . Konfiguračním prostorem je kružnice 1
S .
2. eliptické kyvadlo (viz obr. 19) - je realizováno tělesem o hmotnosti M, které se může bez tření
pohybovat po úsečce po vodorovné podložce a k němuž je zavěšeno na vlákně zanedbatelné
hmotnosti těleso o hmotnosti m. Těleso o hmotnosti m se pohybuje vždy proti pohybu tělesa o
hmotnosti M, což vyplývá ze zákona zachování hybnosti (těžiště soustavy zůstává na místě). Proto
se těleso o hmotnosti m pohybuje po elipse. Vhodnými zobecněnými souřadnicemi jsou poloha
tělesa o hmotnosti M a výchylka tělesa o hmotnosti m z rovnovážné polohy - tedy 1
q x= a
2
q ϕ= . Konfiguračním prostorem je válcová plocha - tj. prostor 1
S× .
Souřadnice x může nabývat hodnot z určitého intervalu reálných čísel - těleso o hmotnosti M se pohybuje
po úsečce. Souřadnice ϕ omezuje pohyb tělesa o hmotnosti m na kružnici.
3. dvě spojené pružiny (viz obr. 20) - pružiny kmitají jen v jednom směru (na podložce, na které
leží). Pro popis systému se nabízí několik souřadnic: vzdálenosti těles upevněných na pružinách
od místa upevnění první pružiny k nehybné stěně, délky pružin, … Nejvhodnější na popis jsou ale
výchylky pružin od rovnovážné polohy. Proto 1
1q x= a 2
2q x= .
1x a 2x jsou konkrétní čísla, nikoliv označení souřadnic - proto mají index dole.
4. činka (viz obr. 21) - při popisu se omezíme jen na pohyb v rovině. Optimální popis lze udělat
pomocí souřadnice polohy těžiště (popisuje translační pohyb těžiště) a úhlu natočení činky
(popisuje rotační pohyb). Proto 1
q x= , 2
q y= a 3
q ϑ= .
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
18
Po zobecnění na pohyb v prostoru a nahrazení tyčky pružinkou získáme velmi dobré přiblížení pro popis
dvouatomových molekul. Kromě translačního pohybu a rotačního pohybu mohou atomy tvořící molekuly ještě i
vibrovat.
obr. 20
obr. 21
3.2.3 Počet zobecněných souřadnic
Při popisu systému je vhodné používat jen tolik souřadnic, kolik je nezbytně nutné - více souřadnice je
zbytečné zavádět, neboť se tím řešení pohybových rovnic zkomplikuje. V tomto smyslu byly zaváděny
zobecněné souřadnice u příkladů popsaných v odstavci 3.2.2.
Ve fyzice se takovému zjednodušování situace říká princip Occamovy břitvy (Ockhamovy břitvy) na
počest anglického františkána Williama Ockhama (1290 - 1349), který jako první formuloval i zákon
setrvačnosti a vzepřel se tak Aristotelově logice. „It is vain to do with more, what can be done with fewer.“ („Je
zbytečné používat více tam, kde vystačíme s méně.“)
Tento princip vyzdvihoval i anglický filosof a logik sir Bertrand Arthur William Russell (1872 - 1970) ve
svých logických úvahách: „Shledal jsem toto býti nejplodnějším principem logické analýzy.“
Počet zobecněných souřadnic, které je nutné k jednoznačnému popisu systému použít, je roven počtu
stupňů volnosti n daného systému. Platí
3n N v= − , (16)
kde N je počet hmotných bodů systému a v je počet vazeb, které omezují jejich pohyb.
Vztah (16) lze popsat též takto: počet hmotných bodů krát dimenze prostoru mínus počet vazeb je roven
počtu stupňů volnosti. Každá vazba totiž sníží počet stupňů volnosti o jeden - zabrání hmotnému bodu, aby se
mohl v daném směru pohybovat.
Tedy zobecněné souřadnice lze zapsat symbolicky ve tvaru
{ } ( )j 1 2 3 n
, , , ...,q q q q q= , (17)
kde 1, 2, ...,j n= .
V případě neholonomních vazeb by byly popis systému i zobecněné souřadnice komplikovanější, protože
by bylo nutné popsat i rychlosti hmotných bodů.
Aby byl popis systému pomocí zobecněných souřadnic dobře definovaný, je nutné definovat regulární
vztahy mezi kartézskými souřadnicemi a zobecněnými souřadnicemi, tj. musí existovat funkce
( )i i j
x x q= (18)
pro 1, 2, ..., 3i N= a 1, 2, ...,j n= .
Příklad: Pohyb hmotného bodu po povrchu koule
Pohybuje-li se hmotný bod po povrchu koule (tj. po sféře 2
S ) o poloměru a je vhodné jeho pohyb popsat
pomocí sférických souřadnic, tj. 1
q ϑ= a 2
q ϕ= . Přitom mezi kartézskými souřadnicemi a sférickými
souřadnicemi existují převodní vztahy, které lze psát podle obr. 22:
1
sin cosx a ϑ ϕ= ;
2
sin sinx a ϑ ϕ= ;
3
cosx a ϑ= .
Tyto vztahy odpovídají vztahům (18) a splňují podmínky vazby 2 2 2 2
0x y z a+ + − = . Pro každý úhel ϕ a ϑ
jsou tedy definovány přípustné souřadnice ( )1 2 3
, ,x x x bodů, v nichž se může hmotný bod nacházet. Opačně to
neplatí - souřadnice ( )1 2 3
, ,x x x nelze volit libovolně a hledat pro ně zobecněné souřadnice. Např. pro
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
19
1 2 3
0x x x= = = nedostáváme smysluplnou polohu hmotného bodu, protože bod o souřadnicích [ ]0, 0, 0 neleží
na sféře, po níž se hmotný bod pohybuje.
obr. 22
Konfigurační prostor je dán zobecněnými souřadnicemi. Jinými slovy je možné říci, že konfigurační
prostor je vymezen vazbami daného systému. Vazby systému a zobecněné souřadnice systému jsou navzájem
ekvivalentní popisy daného systému. Navíc každá vazba systému snižuje počet zobecněných souřadnic, které je
nutné k popisu daného systému zavést, o jednu (viz vztah (16)).
Konfigurační prostor je obecně varieta a zobecněné souřadnice jsou parametry, které tuto varietu
popisují.
3.2.4 Zobecněné rychlosti
Konfigurační prostor (konfigurační varieta) Q popsaný zobecněnými souřadnicemi (17) není prostorem
fyzikálních stavů daného systému.
Konfigurační prostor nepopisuje stavy systému, protože není možné počítat rychlosti, hybnosti,
zrychlení, … hmotných bodů. Proto je nutné něco doplnit.
Aby konfigurační prostor popisoval stavy systému, je nutné doplnit tzv. zobecněné rychlosti
{ } ( )j 1 2 3 n
, , , ...,q q q q q= (19)
pro 1, 2, ...,j n= .
Jedná se o dodatečné (rychlostní) parametry, které jsou zcela nezávislé na poloze popsané zobecněnými
souřadnicemi (17). Značení j
q neznamená časovou derivaci zobecněné souřadnice - jedná se o historické
označení zobecněných rychlostí, které se zobecněnými souřadnicemi nemají žádnou souvislost. Zobecněné
souřadnice j
q a zobecněné rychlosti j
q jsou tedy navzájem nezávislé. Libovolný bod tedy může mít libovolnou
rychlost. Je proto důležité odlišovat označení zobecněných rychlostí od časové derivace zobecněné souřadnice.
Formálně je nutné odlišit následující zápisy:
1.
i
i
jj
q
q
δ
∂
=
∂
, kde i
jδ je tzv. Kroneckerovo delta;
2.
i
j
0
q
q
∂
=
∂
;
3.
i
i
jj
q
q
δ
∂
=
∂
4.
i
j
0
q
q
∂
=
∂
Pro libovolný bod P v konfiguračním prostoru jsou dány zobecněné souřadnice (17), které jednoznačně
popisují jeho polohu. Prostor rychlostí v daném bodě je tečná rovina (tečný prostor) PQT sestrojený v tomto
bodě ke konfiguračnímu prostoru Q. Pro popis systému jsou tedy nutné dva prostory (viz obr. 23):
1. prostor poloh - je popsán zobecněnými souřadnicemi (17) a popisuje polohu hmotného bodu P
v konfiguračním prostoru Q;
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
20
2. prostor rychlostí - popisuje rychlost hmotného bodu v daném bodě P. Vektor rychlosti v leží
v tečném prostoru PQT a složky tohoto vektoru v určité zvolené bázi jsou zobecněné rychlosti
(19).
obr. 23
Lze tedy zavést prostor dimenze 2n, v němž jsou definovány jak zobecněné souřadnice (17), tak
zobecněné rychlosti (19). Tento prostor už popisuje všechny možné stavy hmotných bodů, neboť kromě
konfigurací popsaných zobecněnými souřadnicemi, obsahuje i prostor rychlostí. Tomuto prostoru se říká fázový
prostor.
Jiné označení tohoto prostoru je také tečný bandl.
V prostoru PQT jsou tedy definovány všechny možné rychlosti daného hmotného bodu (resp. soustavy
hmotných bodů) ve všech bodech Q.
obr. 24
obr. 25
Příklad: Fázový portrét harmonického oscilátoru
Zakreslete vývoj harmonického oscilátoru v tzv. fázovém prostoru, tj. sestrojte graf v diagramu, na jehož
vodorovnou osu se nanáší zobecněná souřadnice a na svislou zobecněná rychlost.
Řešení: Harmonický oscilátor může být realizován např. pružinou, na které je zavěšen hmotný bod o hmotnosti
m (viz obr. 24). Zobecněná souřadnice popisuje výchylku oscilátoru v závislosti na čase: ( ) cosq t A tω= .
Rychlost oscilátoru je dána vztahem ( ) sinq t A tω ω= − . Nyní sestrojíme požadovaný graf - v diagramu na obr.
25 jsou znázorněny dva grafy, které se liší amplitudou výchylky harmonického oscilátoru. Libovolný bod, který
leží na vybrané křivce má souřadnice ( ) ( );q t q t⎡ ⎤⎣ ⎦ , tj. poloha hmotného bodu zavěšeného na pružině
v libovolném čase je dána skutečně souřadnicí polohy a rychlosti. Svislá osa fázového prostoru je pojmenována
q a je to zobecněná rychlost.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
21
Oscilátor, který je v klidu, je ve fázovém prostoru popsán bodem [ ]0; 0 , v němž se nachází v každém časovém
okamžiku.
Každým bodem fázového prostoru prochází právě jedna křivka, pomocí níž lze rekonstruovat trajektorii
hmotného bodu. Každý bod fázového prostoru totiž určuje polohu a rychlost daného hmotného bodu (resp.
systému hmotných bodů) v konkrétním čase. Analýzou všech bodů lze sestrojit trajektorii, po níž se hmotný bod
pohyboval (resp. po níž se bude pohybovat, zůstane-li jeho rychlost stálá). Souřadnice ( ) ( );q t q t⎡ ⎤⎣ ⎦ každého
bodu fázového prostoru tedy tvoří výchozí parametry pro řešení příslušných diferenciálních rovnic.
Trajektorie hmotného bodu ve fázovém prostoru je vždy uzavřená (viz obr. 26). Za uzavřenou se
považuje i trajektorie částice, která přilétne z nekonečna a zase se vrátí zpět (viz obr. 27).
obr. 26
obr. 27
3.2.5 ***Zenonovy paradoxy
Zenon z Eleje (490 - 430 př. n. l.) (viz obr. 28) a jeho učitel Parmedines svými logickými úvahami
dospěli k tomu, že pohyb neexistuje.
obr. 28
Zenon se narodil v jižní Itálii v řecké osadě Eleji a byl žákem tamního filosofa Parmenida. Zenonovy
práce se nezachovaly - vše, co o něm víme lze najít u Platona a Aristotela, kteří s jeho paradoxy polemizovali. O
jeho životě se více podrobností neví, známější jsou jeho názory. Neměl rád pythagorejce, protože neuznával
jejich názory. Podle atomové teorie, která byla vyslovena již dříve, ale která je známa zejména od Demokrita
z Abdér, existují nejmenší, dále nedělitelné kousky hmoty (atomy) a jejich rozměr tedy odpovídá nejmenšímu
existujícímu číslu.
A právě v tom byla podstata tzv. Zenonových paradoxů:
1. Achilles a želva - Achilles, který závodí se želvou, dá želvě náskok. Za dobu, za kterou Achilles
doběhne na místo, kde stála na počátku závodu želva, želva poodejde dále. Než stihne Achilles
tuto vzdálenost urazit, želva se opět posune dále. A tak Achillovi pokaždé chybí kousek, aby želvu
dohonil Celý pohyb se takto rozdělí nejen v prostrou, ale i v čase na nekonečně mnoho malých
kousků, které mají nenulovou délku a jejichž součet tedy bude nekonečný.
2. Vystřelený šíp se nepohybuje - v každém časovém okamžiku je šíp na přesně daném místě
v prostoru, nikoli na nějakém úseku. Proto se na tomto místě nachází stále a nemůže se tedy
pohybovat. Jinými slovy neexistuje rozdíl mezi letícím šípem a šípem, který je v klidu.
Všechny Zenonovy paradoxy jsou v podstatě stejné - jsou jen jinak přeformulovány. A ve všech z nich
vychází podstata zdůvodnění ze stejného předpokladu: neexistuje libovolně malé kladné číslo (libovolně malá
vzdálenost). Vzhledem k tomu, že není možné čísla libovolně zmenšovat, musí být součet nekonečně mnoha
těch nejmenších možných nekonečný. A přitom to tak není - čísla lze dělit libovolně a získávat tak stále menší a
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
22
menší. Pokud by tato malá čísla (vzdálenosti, …) měla nulovou hodnotu, byl by jejich součet nulový a jako
řešení uvedených úloh tedy nepoužitelný.
Zenon a eleaté věděli, jak létají šípy, jak běhají želvy, …, ale zkušenost nepovažovali za důkaz toho, že
se objekty pohybují. Svými paradoxy chtěli ukázat, že v řecké představě o číslech je něco v nepořádku.
To je ostatně obecná vlastnost paradoxů: ukázat, že v určitém oboru je něco v nepořádku nebo není
definováno korektně.
Tím, že Řekové ztotožnili čísla s rozměry, ztotožnili je příliš těsně s hmotou. Čísla přitom, jakkoliv
přesně hmotu popisují, hmota nejsou.
Až matematická analýza v 17. století ukázala, jak popsat mechanický pohyb a jak zacházet s nekonečně
malými veličinami a nekonečně velkými veličinami.
Z hlediska mechaniky spočívá problém letícího a ležícího šípu v tom, že k plnému popisu nestačí pouze
konfigurační prostor: ten je pro oba šípy stejný. Ale prostor rychlostí už ne! Letící šíp je v prostoru PQT (viz
odstavec 3.2.4) reprezentován nenulovým vektorem, zatímco stojící šíp je v tomtéž prostoru reprezentován
nulovým vektorem. K popisu pohybu tedy jsou nutné oba prostory: jak konfigurační prostor, tak prostor
rychlostí.
3.3 Odvození dynamického zákona
3.3.1 Pohyb jedné částice po úsečce
Při odvozování pohybového zákona, který využívá zobecněné souřadnice v konfiguračním prostoru (viz
odstavec 3.2), začneme nejjednodušším případem: pohybem jedné částice (jednoho hmotného bodu) o hmotnosti
m po úsečce (viz obr. 29). Tento systém bude obecně popsán holonomními reonomními vazbami (viz odstavec
2.2).
obr. 29
Trajektorii hmotného bodu tedy popíšeme obecně funkcí
( ) ( )( ),x t x q t t= . (20)
Místo vektorů, které používala při popisu pohybu hmotného bodu Newtonova mechanika, použijeme
skalární fyzikální veličiny. Jednou z vhodných skalárních veličin je kinetická energie hmotného bodu, která je
definována vztahem
21
2
T mv= .
(21)
Vztah (21) lze přepsat ve tvaru
2
1 d
2 d
x
T m
t
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Uvědomíme-li si, že souřadnice popisující polohu
hmotného bodu závisí na čase podle vztahu (20), můžeme kinetickou energii psát ve tvaru
2
1 d
2 d
x q x
T m
q t t
⎛ ⎞∂ ∂
= +⎜ ⎟
∂ ∂⎝ ⎠
(22)
a pro další výpočty je důležité si uvědomit, že kinetická energie je závislá na čase. Nyní ovšem vyšetříme
chování této funkce v určitém vybraném čase 0t . Tento čas je ale vybrán libovolně, takže následující úvaha platí
pro libovolný čas t. Přepíšeme vztah (22) přesněji:
( ) ( )( ) ( )( )
2
0 0 0 0 0
1
, , , ,
2
x x
T q q t m q t t q q t t
q t
⎛ ⎞∂ ∂
= +⎜ ⎟
∂ ∂⎝ ⎠
,
(23)
kde ( )0q q t= je okamžitá poloha hmotného bodu a ( )0
d
d
q
q t
t
= je okamžitá rychlost, kterou se hmotný bod
v čase 0t pohybuje. Vztahem (23) jsme přešli od ( )0
d
d
q
q t
t
= k q , tj. od časové derivace zobecněné souřadnice
k zobecněné rychlosti. Od této chvíle jsou tedy q a q nezávislé parametry.
Právě provedenou úvahu se „zastavením času“ si lze představit tak, že z pohybu, který natočíme na film,
nás bude zajímat jen jedno políčko vyvolaného filmu. A bude to právě to políčko, které bylo zaznamenáno
v čase 0t .
Nyní určíme výrazy
T
q
∂
∂
a
T
q
∂
∂
:
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
23
1
.2
2
T x x x x x x
m q m q
q q t q q t q
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(24)
a
1
.2 . .
2
T x x x x x x x x
m q q m q q
q q t q q t q t q q t
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
(25)
Pro jednoduchost jsme ve výrazech (24) a (25) nepsali argumenty u zadaných funkcí. Vztahy (24) a (25)
jsou platné v každém časovém okamžiku, platí podél celé trajektorie, po níž se hmotný bod pohybuje. Proto nyní
můžeme opět přejít k rovnicím, které závisí na čase. Symboly q a q tedy opět změní svůj význam a vrátí se ke
svým původním významům: ( )q q t= bude znamenat okamžitou polohu hmotného bodu v libovolném čase a
( )
d
d
q
q t
t
= bude znamenat okamžitou rychlost hmotného bodu v libovolném čase.
To tedy znamená, že místo jednoho políčka filmu budeme opět sledovat celý promítaný film.
Vztah (24) tedy můžeme psát ve tvaru
( )
d d
d d
T x q x x x x
t m m
q q t t q t q
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + =⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(26)
a vztah (25) ve tvaru
( )
d d d d
. .
d d d d
T x q x x q x x x
t m m
q q t t q q t t t q t
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞
= + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
(27)
Nyní vyčíslíme výraz ( ) ( )
d
d
T T
t t
t q q
⎛ ⎞∂ ∂
−⎜ ⎟
∂ ∂⎝ ⎠
a s využitím vztahů (26) a (27) získáme výraz
( ) ( )
2
2
d d d d d d
. .
d d d d dd
T T x x x x x x
t t m m m
t q q q t t q t q tt
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞
− = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
. Vzhledem k tomu, že platí
d d
d d
x x
t q q t
⎛ ⎞∂ ∂ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠
, dostáváme
( ) ( )
2
2
d d
d d
T T x x x
t t m F
t q q q qt
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂
− = =⎜ ⎟
∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
.
(28)
Na základě vztahu (28) je možné definovat tzv. zobecněnou sílu, která udává průmět síly působící na
hmotný bod do směru zobecněné souřadnice.
ZOB E C N Ě N Á S Í L A Q J E D E F I N O V Á N A V ZT A H E M
x
Q F
q
∂
=
∂
.
(29)
Zobecněná síla nemusí být silou v pravém slova smyslu. Pokud bude mít q význam vzdálenosti, pak
[ ] N
x
Q F
q
⎡ ⎤∂
= =⎢ ⎥∂⎣ ⎦
a Q je přímo síla. Zobecněnou souřadnicí q ovšem může být i např. úhel nebo jiná fyzikální
veličina. V tom případě je význam Q jiný (moment sil, …).
Nyní můžeme již formulovat Lagrageovu rovnici II. druhu.
LAGRANGEOVA ROVNICE II. DRUHU , KT E RÁ POPI SUJ E POHYB J E DNOHO
HM OT NÉ HO B ODU O HM OT NOST I m PO ÚSE ČCE , SE NAZÝVÁ ROVNICE
d
d
T T
Q
t q q
⎛ ⎞∂ ∂
− =⎜ ⎟
∂ ∂⎝ ⎠
,
(30)
T J E KI NE T I CKÁ E N E R GI E HM OT NÉ HO B ODU , q J E ZOB E C NĚ NÁ SOUŘA D N I C E A q J E
ZOB E C N Ě NÁ RYCHLOST .
3.3.2 Pohyb N hmotných bodů ve více dimenzích
Budeme uvažovat N hmotných bodů, které jsou podrobeny silám a vazbám a jejichž pohyb je popsán
zobecněnými souřadnicemi (17). Tyto zobecněné souřadnice jsou svázány s kartézskými souřadnicemi vztahy
(18). Odvození Lagrangeových rovnic druhého druhu pro soustavu hmotných N bodů bude velmi podobné jako
odvození Lagrangeovy rovnice druhého druhu pro jeden hmotný bod (viz odstavec 3.3.1). Proto bude odvození
zde komentováno již méně.
Trajektorie hmotných bodů bude obecně popsána funkcemi
( ) ( )( )i i j
,x t x q t t= (31)
pro 1, 2, ..., 3i N= a 1, 2, ...,j n= .
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
24
Kinetickou energii dané soustavy hmotných bodů lze psát ve tvaru
23N i
i
i 1
1 d
2 d
x
T m
t=
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ,
(32)
který lze dále rozepsat do tvaru
23N n i k i
i k
i 1 k 1
1 d
2 d
x q x
T m
t tq= =
⎛ ⎞∂ ∂
= +⎜ ⎟
⎜ ⎟∂∂⎝ ⎠
∑ ∑ .
(33)
Stejně jako v odstavci 2.4 pro hmotnosti platí, že 1 2 3 prvního hmotného bodum m m m= = = ,
4 5 6 druhého hmotného bodum m m m= = = , …
Nyní přepíšeme vztah (33) pro kinetickou energii soustavy hmotných bodů v konkrétním čase 0t a
provedeme formální záměnu časové derivace funkce
k
d
d
q
t
za zobecněnou rychlost k
q . Dostaneme tak
( ) ( )( ) ( )( )
23N n i i
j j j k j
0 i 0 0 0 0k
i 1 k 1
1
, , , ,
2
x x
T q q t m q t t q q t t
tq= =
⎛ ⎞∂ ∂
= +⎜ ⎟
⎜ ⎟∂∂⎝ ⎠
∑ ∑ .
(34)
Analogicky jako v odstavci 3.3.1 nyní určíme výrazy j
T
q
∂
∂
a j
T
q
∂
∂
. Dostáváme
3N n i i i
k
ij k j
i 1 k 1
T x x x
m q
tq q q= =
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂
= +⎜ ⎟
⎜ ⎟∂∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∑ ∑
(35)
a
3N n ni i i i
k k
ij k j k
i 1 k 1 k 1
.
T x x x x
m q q
t tq q q q= = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ .
(36)
Vztahy (35) a (36) byly odvozeny pro konkrétní čas 0t , nicméně tento čas byl vybrán libovolně. Proto
tyto vztahy platí pro libovolný čas t a je možné přejít opět ke vztahům, které jsou závislé na čase. Vztahy (35) a
(36) tedy lze vyjádřit ve tvarech
( )
3N i i
ij j
i 1
d
d
T x x
t m
tq q=
∂ ∂
=
∂ ∂
∑
(37)
a
( )
3N i i
ij j
i 1
d d
.
d d
T x x
t m
t tq q=
⎛ ⎞∂ ∂
= ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠
∑ .
(38)
Vyčíslením výrazu ( ) ( )j j
d
d
T T
t t
t q q
⎛ ⎞∂ ∂
−⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
(pro 1, 2, ...,j n= ) dostáváme
( ) ( )
3N 2 i i i i i i
ij j 2 j j j
i 1
d d d d d d
.
d d d d dd
T T x x x x x x
t t m
t t t t tq q t q q q=
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− = + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ a po úpravě (analogické jako
v odstavci 3.3.1) získáme
( ) ( )
3N 2 i i
ij j 2 j
i 1
d d
d d
T T x x
t t m
t q q t q=
⎛ ⎞∂ ∂ ∂
− =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∑ .
(39)
Na základě vztahu (39) můžeme definovat tzv. zobecněnou sílu.
ZOB E C N Ě N Á S Í L A jQ J E D E F I N O V Á N A V ZT A H E M
3N i
j i j
i 1
x
Q F
q=
∂
=
∂
∑
(40)
PRO 1, 2, ...,j n= .
Zobecněné síly jQ nemusí být síly v pravém slova smyslu (viz komentář v odstavci 3.3.1).
Nyní je již možné napsat Lagrangeovy rovnice druhého druhu.
LAGRANGEOVY ROVNICE II. DRUHU , K T E R É P O P I S U J Í P O H Y B S O U S T A V Y N
HMOTNÝCH BOD Ů , S E N A ZÝ V A J Í R O V N I C E
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
25
jj j
d
d
T T
Q
t q q
⎛ ⎞∂ ∂
− =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
(41)
PRO 1, 2, ...,j n= . PŘI T OM T J E K I N E T I C K Á E N E R G I E S O U S T A V Y H M O T N Ý C H B O DŮ , j
q
J S OU ZOB E C N Ě NÉ SOU Ř A D N I C E A
j
q J S OU ZOB E C N Ě N É R Y C H L O S T I .
Tyto rovnice jsou tedy pohybovými rovnicemi, které popisují pohyb dané soustavy hmotných bodů.
Rovnice (41) vyjadřují Lagrangeovy rovnice II. druhu v nejobecnějším tvaru, který lze v určitých speciálních
případech zjednodušit (viz 3.4).
Rovnice (41) tvoří soustavu n obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu pro neznámé funkce
( )j j
q q t= (pro 1, 2, ...,j n= ).
Na první pohled by se mohlo zdát, že to jsou rovnice parciální, protože v rovnicích (41) vystupují
parciální derivace. Zápis j
T
q
∂
∂
resp. j
T
q
∂
∂
představuje ovšem jen návod (pomůcku) na získání derivace kinetické
energie. Samotné neznámé funkce ( )j j
q q t= jsou závislé jen na čase, takže v upravených rovnicích (tj. už po
provedení naznačených parciálních derivací) vystupují jen totální derivace j
q podle času.
3.4 Lagrangeovy rovnice II. druhu ve speciálních případech
Lagrangeův formalismus (tj. zobecněné souřadnice (viz odstavec 3.2.2), zobecněné rychlosti (viz
odstavec 3.2.4) a Lagrangeovy rovnice 2. druhu (viz odstavec 3.3)) byl zaveden proto, abychom nemuseli
vyšetřovat rozklady sil a mohli pracovat pouze se skalárními veličinami (kinetická energie). Přesto je ale
v Lagrangeových rovnicích druhého druhu (vztah (41)) pravá strana rovna zobecněné síle, která je definovaná
pomocí sil (viz vztah (40)). Tím jsou tedy i Lagrangeovy rovnice stále závislé na působících silách.
V řadě úloh (a to i ve fyzikálně velmi důležitých případech - např. pohyb hmotného bodu v poli centrální
síly popsaný v odstavci 3.6) lze Lagrangeovy rovnice druhého druhu přepsat tak, že jejich pravá strana bude
nulová.
Tento přepis provedeme v závislosti na typu sil, které popisují fyzikální situaci, tj. zda se jedná o:
1. síly konzervativní (viz odstavec 3.4.1);
2. síly, k nimž existuje zobecněný potenciál (viz odstavec 3.4.3).
3.4.1 Konzervativní síly
V případě konzervativních sil bude možné Lagrangeovy rovnice 2. druhu (vztah (41)) přeformulovat
jednodušeji. Nejdříve je nutné vědět, co jsou to konzervativní síly.
SÍ L Y J S O U K O N ZE R V A T I V N Í , J E S T L I ŽE P R Á C E S I L M E ZI D V Ě M A D A N Ý M I B O D Y
N E ZÁ V I S Í N A T R A J E K T O R I I , P O KT E R É S E HM OT N Ý B OD P OHYB U J E .
Právě uvedenou definici konzervativních sil lze přepsat i jinak:
SÍ L Y J S O U K O N ZE R V A T I V N Í , J E S T L I ŽE P R Á C E S I L P O U ZA V ŘE N É KŘ I V C E , PO
KT E R É S E HM OT N Ý B OD P OHY B U J E , J E R O V N A N U L E .
Konzervativní síly jsou tedy ty síly, které mají potenciál (resp. pro které je definována potenciální
energie).
Pro konzervativní sílu F pak platí
gradF V= − , (42)
kde V je potenciál (přesněji potenciální energie). Zavedením potenciální energie vztahem (42) tak získáme
ekvivalentní popis systému pomocí jedné skalární veličiny V místo vektorové veličiny F .
Aplikujeme-li na vztah (42) diferenciální operátor rotace, získáme rot rot gradF V= − . Pravá strana této
rovnice je identicky rovna nulovému vektoru, takže platí
rot F o= . (43)
Tento vztah poskytuje návod, jak poznat, že dané pole je konzervativní.
S využitím (42) lze zobecněnou sílu jQ definovanou vztahem (40) přepsat ve tvaru
3N i
j i j
i 1
V x
Q
x q=
∂ ∂
= −
∂ ∂
∑ .
(44)
Vzhledem k tomu, že ( )( )i j
V V x q= , lze vztah (44) přepsat na základě vztahu pro derivaci složené
funkce ve tvaru
j j
V
Q
q
∂
= −
∂
.
(45)
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
26
Vzhledem k tomu, že potenciální energie V nezávisí na zobecněných rychlostech j
q , je j
0
V
q
∂
=
∂
a tedy i
j
d
0
d
V
t q
⎛ ⎞∂
=⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠
. Lze tedy formálně psát
j j j
d
d
V V
Q
t q q
⎛ ⎞∂ ∂
= −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
.
(46)
Tím jsme získali výraz, je formálně velmi podobný levé straně Lagrangeových rovnic druhého druhu (41)
a lze jej do těchto rovnic tedy dosadit. Můžeme proto psát j j j j
d d
d d
T T V V
t tq q q q
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂
− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
a s využitím vztahu
pro derivaci součtu dvou funkcí jen upravit na tvar ( ) ( )j j
d
0
d
T V T V
t q q
⎛ ⎞∂ ∂
− − − =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
. Lagrangeovy rovnice
druhého druhu lze nyní přepsat v zjednodušeném tvaru.
LAGRANGEOVY ROVNICE II. DRUHU POPISUJÍCÍ POHYB SOUSTAVY N HMOTNÝCH
B ODŮ V P O L I K O N ZE R V A T I V N Í C H S I L J S O U R O V N I C E V E T V A R U
j j
d
0
d
L L
t q q
⎛ ⎞∂ ∂
− =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
(47)
PRO 1, 2, ...,j n= . PŘI T OM
( )j j
, ,L q q t T V= − (48)
J E LAGRANGEOVA FUNKCE (R E S P. T ZV . LAGRANGIÁN ), j
q J S OU ZOB E C N Ě N É
SOU ŘA D N I C E A
j
q J S OU ZOB E C N Ě N É R Y C H L O S T I .
Získali jsme opět soustavu n obyčejných diferenciální rovnic druhého řádu s neznámými funkcemi
( )j j
q q t= (pro 1, 2, ...,j n= ), ale tentokráte (na rozdíl od (41)) vyjádřenou pomocí Lagrangeovy funkce L. L je
funkce definovaná na varietě PQT (viz 3.2.4) a jedná o tzv. invariant, tj. hodnota této funkce se nezmění při
transformaci soustavy souřadnic.
Funkce L tedy „žije“ na varietě PQT a je definovaná v každém bodě. Symbol j
L
q
∂
∂
přitom popisuje změnu
funkce L při změně souřadnice j
q .
Použití rovnic (47) ukážeme na jednoduchém příkladu.
obr. 30
Příklad: Matematické kyvadlo
Najděte úhlovou frekvenci kmitání matematického kyvadla, které je tvořeno hmotným bodem o hmotnosti m
zavěšeným na vlákně zanedbatelné hmotnosti délky l.
Řešení: Matematické kyvadlo (viz obr. 30) popíšeme jednou zobecněnou souřadnicí a to úhlem ϕ , který svírá
vlákno závěsu se svislým směrem (tj. s rovnovážnou polohou kyvadla). Postupně určíme kinetickou energii T,
potenciální energii V a lagrangián L:
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
27
( )221 1
2 2
T mv m lϕ= = , cosV mgy mgl ϕ= − = − a tedy ( )21
cos
2
L T V m l mglϕ ϕ= − = + . V tuto chvíli zvolíme
libovolný časový okamžik a v něm určíme derivace lagrangiánu, které vystupují v Lagrangeových rovnicích
druhého druhu (vztah (47)). Symbol ϕ tedy znamená zobecněnou rychlost (viz odstavec 3.2.4).
To znamená, že „vypneme“ čas a určíme příslušné derivace.
2L
ml ϕ
ϕ
∂
=
∂
a sin
L
mgl ϕ
ϕ
∂
= −
∂
. Nyní přejdeme od konkrétního časového okamžiku, v němž jsme určili derivace
lagrangiánu, k libovolnému času t. To znamená, že symbol ϕ bude nyní vyjadřovat časovou derivaci úhlu ϕ , tj.
( )d
d
t
t
ϕ
ϕ = .
Nyní tedy opět „zapneme“ plynutí času. Od teď dále jsou funkce ϕ i ϕ závislé na čase. Doteď tomu tak
nebylo - ϕ jsme nederivovali jako složenou funkci!
Proto 2d
d
L
ml
t
ϕ
ϕ
⎛ ⎞∂
=⎜ ⎟
∂⎝ ⎠
a tedy po dosazení do Lagrangeovy rovnice druhého druhu získáme
2
sin 0ml mglϕ ϕ+ = . Tuto rovnici lze přepsat ve tvaru sin 0
g
l
ϕ ϕ+ = , což je poměrně složitá diferenciální
rovnice, neboť neznámá funkce se vyskytuje i v argumentu goniometrické funkce. Pokud se spokojíme
s řešením pro malé výchylky ϕ lze rovnici s využitím Taylorova rozvoje přepsat ve tvaru 0
g
l
ϕ ϕ+ = .
Tato rovnice popisuje harmonické kmitání s úhlovou frekvencí
g
l
ω = .
3.4.2 ***Přesné řešení matematického kyvadla
Přesné řešení pohybové rovnice matematického kyvadla vyžaduje hlubší znalosti z matematiky a použití
některých speciálních substitucí a integrálů.
Pohybovou rovnici matematického kyvadla lze odvodit různými způsoby: pomocí lagrangiánu (viz
odstavec 3.4.1) a nebo pomocí zákona zachování mechanické energie. Nebudeme-li uvažovat vnější síly, přejde
zákon zachování mechanické energie na zákon zachování energie (jiné formy než mechanické nebude energie
mít) a bude tedy platit
.T V E konst+ = = (49)
Kinetickou energii T a potenciální energii V lze psát s využitím obr. 31, ve kterém je vyznačena
maximální výchylka (počáteční výchylka) matematického kyvadla popsaná úhlem 0ϕ a okamžitá výchylka
popsaná úhlem ϕ . Kinetická energie je 2 2 21 1
2 2
T mv ml ϕ= = , potenciální energie je cosV mgy mgl ϕ= − = − .
Celková energie je rovna potenciální energii na začátku pohybu matematického kyvadla, tj. 0cosE mgl ϕ= − .
Znaménko mínus je ve vztahu pro potenciální energii proto, že při zvětšování výchylky kyvadla musí růst
jeho potenciální energie. Okamžitá výchylka y, která ve vztahu pro potenciální energii vystupuje, by ovšem
s rostoucím úhlem ϕ bez použití znaménka mínus klesala.
obr. 31
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
28
Dosazením do vztahu (49) získáme rovnici
2 2
0
1
cos cos
2
ml mgl mglϕ ϕ ϕ− = − ,
(50)
z níž lze vyjádřit časovou derivaci ϕ ve tvaru
( )02 cos cos
g
l
ϕ ϕ ϕ= − .
(51)
Rovnici (51) lze formálně odvodit též z rovnice popisující matematické kyvadlo, která byla odvozena na
konci odstavce 3.4.1, tj. z rovnice sin 0
g
l
ϕ ϕ+ = . Vynásobíme-li jí ϕ , získáme . sin . 0
g
l
ϕ ϕ ϕ ϕ+ = , kterou lze
přepsat do tvaru ( )2d 1 d
cos 0
d 2 d
g
t l t
ϕ ϕ
⎛ ⎞
− =⎜ ⎟
⎝ ⎠
. S využitím vlastnosti součtu derivací lze psát
2d 1
cos 0
d 2
g
t l
ϕ ϕ
⎛ ⎞
− =⎜ ⎟
⎝ ⎠
a tedy 2 2
cos .
g
konst
l
ϕ ϕ− = , odkud lze po vhodné volbě konstanty na pravé straně
rovnice vyjádřit ( )0
2
cos cos
g
l
ϕ ϕ ϕ= − . Tato rovnice je shodná s rovnicí (51).
Získali jsme tedy diferenciální rovnici, kterou lze řešit separací proměnných. Můžeme proto psát
( )0
d
2 cos cos
d
g
t l
ϕ
ϕ ϕ= − a odtud
0
d
d
2 cos cos
l
t
g
ϕ
ϕ ϕ
=
−
.
(52)
Řešení rovnice (52) lze nalézt integrováním v mezích od 0 do 0ϕ , čímž získáme čtvrtinu hledané periody
T matematického kyvadla.
Hmotný bod o hmotnosti m, který je zavěšen na vlákně délky l (viz obr. 31), tak opíše trajektorii, která
odpovídá polovině kyvu kyvadla, tj. čtvrtině kmitu.
Tedy
0
00
d
4 2 cos cos
T l
g
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
=
−∫ .
(53)
Nyní je nutné vyřešit pravou stranu rovnice (53). Nejdříve přepíšeme výraz
0cos cosϕ ϕ− (54)
s využitím goniometrického vztahu
2 1 cos
sin
2 2
ϕ ϕ−
= ,
(55)
z něhož vyjádříme 2
cos 1 2sin
2
ϕ
ϕ = − a dosadíme do vztahu (54). Získáme tak
2 20
0cos cos 2 sin sin
2 2
ϕ ϕ
ϕ ϕ− = −
(56)
a zavedeme substituci
0
sin sin .sin
2 2
ϕϕ
ψ= .
(57)
Zavedením této substituce se mění integrační meze ve vztahu (53). Je-li 00;ϕ ϕ∈ , pak na základě
substituce (57) je 0;
2
π
ψ ∈ (uvažujeme-li pouze fyzikální aplikace dané substituce). Zároveň je nutné si
uvědomit, že pro derivaci právě zavedeného substitučního vztahu platí
01
cos d sin .cos .d
2 2 2
ϕϕ
ϕ ψ ψ= .
(58)
Dosazením vztahu (57) do vztahu (56) a následnými úpravami postupně získáme
2 2 2 2 2 20 0 0 0
0cos cos 2 sin sin 2 sin sin sin 2 sin 1 sin
2 2 2 2 2
ϕ ϕ ϕ ϕϕ
ϕ ϕ ψ ψ− = − = − = − , tedy
0
0cos cos 2 sin cos
2
ϕ
ϕ ϕ ψ− = .
(59)
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
29
Všechny úpravy provádíme s ohledem na fyzikální situaci, kterou řešíme. Obecně některé vztahy neplatí
- nejsou splněny všechny matematické podmínky. Fyzikální situace je ovšem taková, že uvažované podmínky
splněné jsou. Např. úprava 2
1 sin cosψ ψ− = provedená ve vztahu (59) není matematicky korektní - správně
by mělo být 2
1 sin cosψ ψ− = , nicméně hodnoty úhlů ψ mimo interval ;
2 2
π π
ψ ∈ − (tj. pro záporné
hodnoty funkce kosinus) nemají v dané situaci fyzikální smysl.
Dosazením vztahů (59) a (58) do vztahu (53) dostáváme
02
0
0
sin .cos .d
2 2
4 2 cos 2 sin cos
2 2
T l
g
π
ϕ
ψ ψ
ϕ ϕ
ψ
= ∫ a po
postupných úpravách získáme
2 2
20 0
1 1
d d
4 cos 1 sin
2 2
T l l
g g
π π
ψ ψ
ϕ ϕ
= =
−
∫ ∫ . Po dosazení ze vztahu (57) a
vynásobení rovnice čtyřmi tedy máme
2
2 200
1
4 d
1 sin sin
2
l
T
g
π
ψ
ϕ
ψ
=
−
∫ ,
(60)
kde
2
0
2 200
1
sin d
2
1 sin sin
2
K
π
ϕ
ψ
ϕ
ψ
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
∫
(61)
je úplný eliptický integrál prvního druhu. Řešení těchto typů integrálů jsou tabelována resp. jsou doporučené
další postupy při jejich řešení.
Řešení integrálu (61) spočívá v rozepsání integrandu pomocí Taylorova rozvoje ve tvaru
( ) 2m
0
m
2 20 m 1
2 1 !!1 1
1 sin sin
! 22
1 sin sin
2
m
m
ϕ
ψ
ϕ
ψ
∞
=
− ⎛ ⎞
= + ⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
∑ ,
(62)
kde ( ) ( )2 1 !! 1.3..... 2 1m m− = − . Rozvoj (62) je možné dále rozepsat ve tvaru
2 4 6
0 0 0
2 20
1 1 3 15
1 sin sin sin sin sin sin ...
2 2 8 2 48 2
1 sin sin
2
ϕ ϕ ϕ
ψ ψ ψ
ϕ
ψ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−
.
(63)
V integrálu (61) tedy dostaneme součet výrazů z rozpisu (63), v nichž vystupují integrály
2
2m
0
sin d
π
ψ ψ∫
pro 1, 2, ...m = . Z tabulek získáme
( )
( )
2
2m
0
2 1 !!
sin d
2 2 !!
m
m
π
π
ψ ψ
−
=∫ ,
(64)
kde ( ) m
2 !! 2.4.6.....2 2 !m m m= = .
Po dosazení řešení (64) do vztahu (63) a následně do vztahu (61) a do vztahu (60) získáme
2 4 62
0 0 0
0
1 3 15
4 1 sin sin sin sin sin sin ... d
2 2 8 2 48 2
l
T
g
π
ϕ ϕ ϕ
ψ ψ ψ ψ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∫ a tedy
2 4 60 0 09 25
4 sin sin sin ...
2 8 2 128 2 512 2
l
T
g
ϕ ϕ ϕπ π π π⎛ ⎞
= + + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
(65)
Vytkneme-li ve výrazu (65)
2
π
, získáme
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
30
2 4 60 0 01 9 25
2 1 sin sin sin ...
4 2 64 2 256 2
l
T
g
ϕ ϕ ϕ
π
⎛ ⎞
= + + + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
(66)
První člen výrazu (66) odpovídá periodě matematického kyvadla pro malé výchylky. Ostatní členy je
možné v tomto kontextu chápat jako opravy periody pro konkrétní počáteční výchylku (maximální výchylku)
popsanou úhlem 0ϕ . Graf závislosti periody na počáteční výchylce popsané úhlem 0ϕ je na obr. 32.
obr. 32
3.4.3 Síly, které mají zobecněný potenciál
Nyní budeme předpokládat, že
( )j j
, ,V V q q t= , (67)
tj. potenciální energie V závisí i na zobecněné rychlosti a na čase (na rozdíl od pole konzervativních sil, které je
popsané v odstavci 3.4.1). Přitom V je taková funkce, že splňuje vztah (46), ale v tomto případě obecně
j
0
V
q
∂
≠
∂
. Potom opět platí Lagrangeovy rovnice druhého druhu ve tvaru (47) a
( ) ( ) ( )j j j j j j
, , , , , ,L q q t T q q t V q q t= − . (68)
Tato situace, v níž platí závislost (67), je v přírodě realizována pouze v případě elektromagnetismu.
Zobecněný potenciál má Lorentzova síla působící na částici s elektrickým nábojem e, která se pohybuje
rychlostí v v elektromagnetickém poli, jehož elektrická intenzita je E a magnetická indukce je B .
PRO LOR E N T ZOV U S Í L U
( )F e E v B= + × (69)
E XI S T U J E ZOB E C N Ě N Ý P O T E N C I Á L V E T V A R U
( ).V e v Aϕ= − , (70)
KDE ϕ J E P OT E N C I Á L E L E KT R I C KÉ HO P OL E A A J E V E K T O R O V Ý P O T E N C I Á L . PR O T Y T O
P O T E N C I Á L Y PŘI T OM P L A T Í
grad
A
E
t
ϕ
∂
= − −
∂
a rotB A= .
(71)
Důkaz tvrzení, že zobecněný potenciál Lorentzovy síly lze definovat vztahem (70), spočívá v rozepsání
rychlosti a vektorového potenciálu v kartézských souřadnicích a dosazení do vztahu (46). Výsledný vztah by
měl popisovat Lorentzovu sílu danou vztahem (69).
Veličiny ϕ a A je nutno chápat jako pomocné veličiny, které nejsou jednoznačné, protože je možné je
přeškálovat a volit tak, aby počítání s nimi bylo pokud možno co nejjednodušší. Pokud se tyto veličiny dobře
zvolí, zjednoduší se i výpočty v tom smyslu, že budeme mít méně rovnic k řešení. Měřitelnými veličinami jsou
veličiny E a B .
Velmi snadnou úpravou vztahů (71) lze získat vyjádření dvou Maxwellových rovnic. Platí totiž
( )rot rot grad rot grad rot 0 rot
A A B
E A
t t t t
ϕ ϕ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂
= − − = − − = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
a také div divrot 0B A= =
(identicky). Takže jsme získali dvě z Maxwellových rovnic: rot
B
E
t
∂
= −
∂
a div 0B = .
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
31
Maxwellovy rovnice elektromagnetického pole jsou tak obecné, že je možné s nimi počítat i ve speciální
teorii relativity i v obecné teorii relativity bez výraznějších změn. Newtonův popis mechaniky takto obecný není
a pro fyzikální popis v rámci teorie relativity je naprosto nevhodný a nepoužitelný.
3.5 Postup pro sestavení Lagrangeových rovnic
Lagrangeovy rovnice druhého druhu (47) jsou velmi užitečné při řešení řady úloh, které mají své
praktické důsledky. Proto je nutné umět tyto rovnice správně sestavit. Doporučený postup je tento:
1. zavést zobecněné souřadnice j
q pro 1, 2, ...,j n= (viz odstavce 3.2.2 a 3.2.3);
2. nalézt vztahy mezi těmito zobecněnými souřadnicemi a kartézskými souřadnicemi ( )i i j
x x q=
(pro 1, 2, ..., 3i N= a 1, 2, ...,j n= );
3. určit
i
d
d
x
t
pro 1, 2, ..., 3i N= ;
4. určit kinetickou energii T ve tvaru
23N i
i
i 1
1 d
2 d
x
T m
t=
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ;
5. určit potenciální energii V tak, že do funkce ( )i
V V x= dosadíme ( )i j
x q a získáme funkci ve
tvaru ( )j
,V V q t= resp. ( )j j
, ,V V q q t= pro 1, 2, ..., 3i N= a 1, 2, ...,j n= ;
6. vypočítáme lagrangián daného systému a jeho derivace podle zobecněných souřadnic a podle
zobecněných rychlostí;
7. napíšeme Lagrangeovy rovnice druhého druhu.
Tento postup ukážeme na příkladu, který má velký význam nejen pro teoretickou mechaniku a který je
řešen v odstavci 3.6.
3.6 Pohyb hmotného bodu v centrálním silovém poli
V centrálním silovém poli (viz obr. 33) se nachází hmotný bod o hmotnosti m. Vzhledem k tomu, že se
jedná o centrální pole, je síla F , která na hmotný bod působí, centrální síla (radiální síla). Tato síla proto nemá
tečnou složku, a popisovaná situace je tedy sféricky symetrická. To znamená, že k popisu systému lze užít
sférické souřadnice (viz obr. 34).
obr. 33 obr. 34
Zobecněnými souřadnicemi, které budou popisovat náš systém, tedy budou tři sférické souřadnice
1
q r= , 2
q ϑ= a 3
q ϕ= , kde je r je poloměr uvažované sféry. Tři plně postačují k popisu, neboť vyšetřujeme
pohyb jednoho hmotného bodu v trojrozměrném prostoru a tento pohyb není omezen žádnou vazbou (viz 3.2.3).
Vztahy mezi zobecněnými souřadnicemi a kartézskými souřadnicemi vyplývají z obr. 34:
1
sin cosx x r ϑ ϕ= = ;
2
sin sinx y r ϑ ϕ= = ;
3
cosx z r ϑ= = .
Tyto souřadnice závisí na čase. Nyní určíme jejich první derivace podle času:
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
32
1
d
sin cos cos cos sin sin
d
x
x r r r
t
ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ ϕ ϑ ϕ= = + − ;
2
d
sin sin cos sin sin cos
d
x
y r r r
t
ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ ϕ ϑ ϕ= = + + ;
3
d
cos sin
d
x
z r r
t
ϑ ϑ ϑ= = − .
Nyní můžeme určit kinetickou energii hmotného bodu, který se nachází v centrálním silovém poli:
( )2 2 21
2
T m x y z= + + . Dosazením z přechodních vztahů a následnou úpravou získáme vztah
( )2 2 2 2 2 21
sin
2
T m r r rϑ ϕ ϑ= + + ,
(72)
který popisuje kinetickou energii hmotného bodu ve sférických souřadnicích vždy, bez ohledu na další
charakteristiky konkrétní úlohy.
Kinetická energie hmotného bodu vždy musí obsahovat všechny zavedené zobecněné rychlosti j
q (pro
1, 2, ...,j n= ), ale nemusí obsahovat nutně všechny zobecněné souřadnice j
q . Tyto souřadnice, které nejsou ve
vztahu pro kinetickou energii (resp. ve vztahu pro lagrangián) obsaženy, usnadňují další výpočty (viz odstavec
3.7).
Jednotlivé členy, které vystupují v závorce vztahu (72) přitom mají svůj fyzikální význam - jedná o
rychlosti, příslušející dané zobecněné souřadnici:
1. člen rv r= určuje velikost radiální rychlosti, tj. rychlosti jakou se těleso o hmotnosti m přibližuje
(resp. vzdaluje) hmotnému centru;
2. člen v rϑϑ = odpovídá velikosti rychlosti ve směru souřadnice ϑ ;
Na povrchu Země se jedná o velikost rychlosti, kterou se hmotný bod pohybuje v severojižním směru.
3. člen sinv rϕ ϑϕ = odpovídá velikosti rychlosti ve směru souřadnice ϕ .
Na povrchu Země se tedy jedná o velikost rychlosti, kterou se hmotný bod pohybuje ve směru východ západ.
sinr ϑ je poloměr kružnice, po níž se hmotný bod v tomto směru pohybuje (tj. poloměr dané
rovnoběžky, po níž se hmotný bod pohybuje) a ϕ je velikost úhlové rychlosti, s jakou se mění úhel ϕ .
To tedy znamená, že vektory rv , vϑ a vϕ definují lokální kartézský systém na sféře.
V právě řešené úloze by bylo možné určit kinetickou energii (resp. celkovou velikost rychlosti hmotného
bodu) na základě geometrického rozboru situace. Ale v obecném případě geometrický rozbor nemusí být tak
zřejmý a názorný jako v tomto speciálním případě.
Ve vztazích pro velikosti rychlostí ve směru jednotlivých zobecněných souřadnic lze v tomto případě
najít tzv. Laméovy koeficienty: 1, r a sinr ϑ .
Jsou to ty koeficienty, kterými se násobí derivace příslušné zobecněné souřadnice.
Každé centrální pole je konzervativní, neboť síla v něm působí radiálně a je závislá pouze na vzdálenosti
(ne na funkci vzdálenosti) od hmotného centra daného centrálního silového pole. Proto má toto pole potenciální
energii V, která je závislá pouze na vzdálenosti hmotného bodu od hmotného centra pole. Podle vztahu (42) je
x
V
F
r
∂
= −
∂
, y
V
F
ϑ
∂
≈ −
∂
a z
V
F
ϕ
∂
≈ −
∂
.
Úměra místo operátoru „=“ je ve vztazích pro yF a zF proto, že ve výpočtu chybí Laméovy koeficienty.
Vzhledem k tomu, že úlohu vyšetřujeme v centrálním poli, jehož potenciální energie závisí jen na
vzdálenosti od hmotného centra, je 0
V V
ϑ ϕ
∂ ∂
= =
∂ ∂
. A tedy
( ) ( )
d
d
V
F r r
r
= − .
(73)
Nyní můžeme psát Lagrangeovu funkci (48) ve tvaru
( ) ( )2 2 2 2 2 21
sin
2
L m r r r V rϑ ϕ ϑ= + + − .
(74)
Pro jednotlivé derivace, které jsou nutné pro sestavení Lagrangeových rovnic druhého druhu, dostaneme:
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
33
L
mr
r
∂
=
∂
a ( )2 2 2 d
sin
d
L V
mr mr r
r r
ϑ ϕ ϑ
∂
= + −
∂
;
2L
mr ϑ
ϑ
∂
=
∂
a 2 2
sin cos
L
mr ϕ ϑ ϑ
ϑ
∂
=
∂
;
2 2
sin
L
mr ϕ ϑ
ϕ
∂
=
∂
a 0
L
ϕ
∂
=
∂
.
Tyto derivace byly určeny za „vypnutého času“ a tedy parametry r, ϑ , ϕ , r , ϑ a ϕ byly navzájem
nezávislé parametry. Nyní čas zapneme a bude platit ( )
d
d
r
r t
t
= , ( )
d
d
t
t
ϑ
ϑ = a ( )
d
d
t
t
ϕ
ϕ = .
Časové derivace derivací lagrangiánu derivovaného již podle zobecněných rychlostí r , ϑ a ϕ jsou:
d
d
L
mr
t r
∂⎛ ⎞
=⎜ ⎟
∂⎝ ⎠
;
2d
2
d
L
mr mrr
t
ϑ ϑ
ϑ
∂⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
∂⎝ ⎠
( )2 2d d
sin
d d
L
mr
t t
ϕ ϑ
ϕ
⎛ ⎞∂
=⎜ ⎟
∂⎝ ⎠
- důvod, proč tento výraz zapisujeme jen symbolicky, vyplyne po sepsání
Lagrangeových rovnic druhého druhu.
Nyní již můžeme napsat Lagrangeovy rovnice druhého druhu pro uvažovanou situaci. Dosadíme tedy do
(47) a získáme:
( )2 2 2 d
sin 0
d
V
mr mr mr r
r
ϑ ϕ ϑ− − + = ,
(75)
2 2 2
2 sin cos 0mr mrr mrϑ ϑ ϕ ϑ ϑ+ − = (76)
a
( )2 2d
sin 0
d
mr
t
ϕ ϑ = .
(77)
Z rovnice (77) vyplývá, proč jsme časovou derivaci lagrangiánu derivovaného podle zobecněné rychlosti
ϕ pouze naznačili. Rovnice (77) zapsaná v této podobě je snadno řešitelná a jejím řešením je
2 2
sin .mr konstϕ ϑ = (78)
Rovnice (78) je matematickým vyjádřením zákona zachování momentu hybnosti v centrálním silovém
poli.
Na základě pozorování lze tvrdit:
POHYB V K A ŽDÉ M C E N T R Á L N Í M P O L I J E N U T N Ě POHYB ROVINNÝ.
Pokud se povede toto dokázat, pak lze k popisu pohybu hmotného bodu v centrálním poli použít pouze
dvě souřadnice, tj. lze přejít od sférických souřadnic k polárním souřadnicím.
obr. 35
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
34
Zvolme bez újmy na obecnosti počáteční podmínky pohybu tak, že ( )0
2
t
π
ϑ = a ( )0 0tϑ = . Polohový
vektor r a vektor počáteční rychlosti 0v pohybu hmotného bodu jsou kolineární a určují tedy rovinu σ .
(Pokud by kolineární nebyly, vybrali bychom jednu z rovin, v níž oba leží.) Kartézskou soustavu souřadnic lze
volit libovolně - proto (bez újmy na obecnosti) ji zvolíme tak, že osy x a y leží v rovině σ a osa z je k této
rovině kolmá (viz obr. 35). Tedy tak, že ( )0
2
t
π
ϑ = .
Nyní je zřejmý význam veličiny ( )tϑ - určuje velikost rychlosti nárůstu odchylky pohybujícího se
hmotného bodu od roviny σ . Jestliže jsme zvolili ( )0 0tϑ = pak to znamená, že v čase 0t zůstává hmotný bod
v rovině σ .
Přepsáním rovnice (76) v čase 0t získáme 2 2 2
2 .0 sin cos 0
2
mr mrr mr
π
ϑ ϕ ϑ+ − = , tedy 2
0mr ϑ = .
Dostáváme tak 0ϑ = , což znamená, že velikost zrychlení hmotného bodu ve směru mimo rovinu σ je nulové.
Hmotný bod tedy zůstává v rovině σ , což je tzv. rovina ekliptiky.
Tedy
2
π
ϑ = v každém časovém okamžiku.
Řešením rovnice (77), jak bylo již uvedeno, je vztah (78), který představuje zákon zachování momentu
hybnosti. Jestliže se ale moment hybnosti zachovává (tj. nemění se ani jeho velikost, ani jeho směr), pak je
pohyb hmotného bodu nutně rovinný. A navíc směr momentu hybnosti je kolmý k rovině, v níž se hmotný bod
pohybuje.
Proto lze místo sférických souřadnic r, ϑ , ϕ použít polární souřadnice r, ϕ , čímž získáme Lagrangeovu
funkci (74) ve tvaru
( ) ( )2 2 21
2
L m r r V rϕ= + − ,
(79)
kde r představuje velikost radiální rychlosti (tj. velikost rychlosti vzdalování od hmotného centra centrální
pole) a rϕ je velikost tečné rychlosti, tj. velikost rychlosti pohybu hmotného bodu po křivce v rovině.
Je důležité si uvědomit, že přechod z třírozměrného popisu systému do dvourozměrného popisu systému,
tj. přechod od lagrangiánu ve tvaru (74) k lagrangiánu ve tvaru (79) není obecně triviální a je jistější přepočítat
celou úlohu (kinetickou energii, potenciální energii, …) znovu. V námi vyšetřované úloze to bylo možné,
protože jsme používali kartézské souřadnice a z geometrického náhledu byla situace jasná.
3.7 Metody řešení Lagrangeových rovnic
Lagrangeovy rovnice druhého druhu (41) resp. (47) jsou obyčejné diferenciální rovnice druhého řádu,
které je možno řešit různými způsoby:
1. numericky pomocí počítače - výpočet je ale nutné pečlivě kontrolovat, abychom získali skutečně
správná řešení rovnic i z fyzikálního hlediska;
2. použitím zjednodušujících aproximací (většinou linearizace problému a tedy i řešených rovnic) nutno
provádět pouze za určitých předpokladů a fyzikálně korektně (např. řešení pohybových
rovnic matematického kyvadla - viz odstavec 3.4.1);
3. exaktní řešení pomocí tzv. prvních integrálů (integrálů pohybu).
Lagrangeovy rovnice často samy dávají návod, jak je řešit. Pokud zavedeme integrály pohybu,
zjednodušíme si řešení rovnic.
Každý integrál pohybu se totiž pomůže zbavit jedné tečky v derivaci funkce.
IN T E G R Á L P O H Y B U J E V Ý R A Z T V A R U
( )j j
, , .f q q t konst= , (80)
K T E R Ý V K A ŽD É M O K A M ŽI K U N A B Ý V Á S T E J N É H O D N O T Y (KONSTANTNÍ HODNOTY), KDYŽ
HO VYČ Í S L Í M E P OD É L L I B OV OL N É T R A J E KT OR I E P OP S A N É R OV N I C Í ( )j j
q q t= (PRO
1, 2, ...,j n= ), K T E R Á ŘEŠÍ POHYBOVÉ ROVNICE .
Do vztahu (80) tedy dosadíme skutečné funkce ( )j j
q q t= a ( )j j
q q t= a hodnota tohoto výrazu pak
bude tedy pořád stejná, tj. ( ) ( )( )j j
, , .f q t q t t konst= Jinými slovy ( )
d
0
d
f
t
t
= platí pro každou trajektorii, která
je dána svými počátečnými podmínkami.
Podél jiné trajektorie bude výraz (80) nabývat také konstantní hodnoty, ale bude to jiná konstanta, než u
předešlé trajektorie.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
35
Před dalším tvrzením, které usnadní výpočty Lagrangeových rovnic druhého druhu, zavedeme pojem
cyklická souřadnice.
ZOB E C N Ě NÁ SOUŘA D N I C E , N A K T E R É N E ZÁ V I S Í LAGRANGEOVA FUNKCE (48), S E
NAZÝVÁ CYKLICKÁ SOU ŘA D N I C E .
A nyní již uvedeme zmiňované tvrzení.
POKUD LAGRANGEOVA FUNKCE (48) N E ZÁ V I S Í N A N Ě KT E R É ZOB E C NĚ N É
SOU ŘA D N I C I
i
q , PAK VÝRAZ
i
L
q
∂
∂
J E I N T E GR Á L E M P OHY B U .
Důkaz tohoto tvrzení je snadný: z 1, 2, ..., 1, , 1, ...,j i i i n= − + Lagrangeových rovnic druhého druhu
vezmeme i-tou rovnici i i
d
0
d
L L
t q q
⎛ ⎞∂ ∂
− =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
. Podle předpokladu tvrzení nezávisí Lagrangeova funkce na
souřadnici i
q , tedy i
0
L
q
∂
=
∂
. Po dosazení do i-té Lagrangeovy rovnice získáme i
d
0
d
L
t q
⎛ ⎞∂
=⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠
a tedy
i
.
L
konst
q
∂
=
∂
Proto i
L
f
q
∂
=
∂
, kde f je integrál pohybu (80).
Příklad: Určete integrály pohybu v langrangiánu ( ) ( )2 2 21
2
L m x y z V z= + + − .
Řešení: Lagrangián závisí v tomto případě na kartézských souřadnicích x, y a z. Ovšem na x a na y nezávisí
explicitně (závisí na časových derivacích těchto souřadnic). Proto jsou souřadnice x a y cyklické souřadnice a
tedy máme dva integrály pohybu:
L
x
∂
∂
a
L
y
∂
∂
, pro které platí .
L
mx konst
x
∂
= =
∂
a .
L
my konst
y
∂
= =
∂
Tedy x-ová a
y-ová složka hybnosti se zachovává.
Dalším integrálem pohybu je tzv. zobecněná energie.
POKUD LAGRANGEOVA FUNKCE (48) N E ZÁ V I S Í E XP L I C I T N Ě NA ČA S E t , PAK VÝRAZ
( )
n
j
j
j 1
, ,
L
h q q t q L
q=
∂
= −
∂
∑ ,
(81)
K T E R Ý S E N A ZÝ V Á ZOB E C N Ě N Á E N E R GI E (JACOBIHO INTEGRÁL ), J E I N T E GR Á L E M
POHYB U.
Má-li být výraz (81) integrálem pohybu, pak podle podmínky (80) musí platit
( )
n
j
j
j 1
, , .
L
h q q t q L konst
q=
∂
= − =
∂
∑ Tuto rovnost nyní dokážeme. Pokud má být ( ), , .h q q t konst= , musí být
d
0
d
h
t
= . Proto nyní určíme úplnou časovou derivaci vztahu (81). Získáme:
n n
j j j j
j j j j
j 1 j 1
d d
d d
h L L L L L
q q q q
t t tq q q q= =
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= + − + ∂ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ ∑ , kde
n
j j
j j
j 1
d
d
L L L L
q q
t tq q=
⎛ ⎞∂ ∂ ∂
= + ∂ +⎜ ⎟⎜ ⎟∂∂ ∂⎝ ⎠
∑ . Po úpravě
získáme
n
j
j j
j 1
d d
d d
h L L L
q
t t tq q=
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂
⎜ ⎟= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ . Uvědomíme-li si, že platí
n
j j
j 1
d
0
d
L L
t q q=
⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂
− =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ (jedná se o
Lagrangeovy rovnice druhého druhu (viz (47)) a že 0
L
t
∂
=
∂
(podle předpokladu definice zobecněné energie
(81)), pak
d
0
d
h
t
= .
Příklad: Určete integrály pohybu v langrangiánu ( ) ( )2 2 21
, ,
2
L m x y z V x y z= + + − .
Řešení: Vzhledem k tomu, že napsaný lagrangián nezávisí explicitně na čase, můžeme definovat zobecněnou
energii pomocí vztahu (81):
L L L
h x y z L
x y z
∂ ∂ ∂
= + + −
∂ ∂ ∂
. Po dosazení a po postupných úpravách dostaneme:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 21 1
, , , ,
2 2
h mx my mz m x y z V x y z m x y z V x y z T V= + + − + + + = + + + = + .
V tomto SPECIÁLNÍM PŘÍPADĚ jsme tedy získali .h T V konst= + = , tj. zákon zachování mechanické
energie. Obecně ovšem zobecněná energie nemusí být vyjádřením zákona zachování energie. V tomto případě je
to důsledek speciální podoby lagrangiánu.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
36
Přesto je zobecněná energie h v některých případech rovna celkové mechanické energii systému.
ZOB E C N Ě N Á E N E R G I E D E F I N O V A N Á V ZT A H E M (81) J E ZÁ K O N E M ZA C H O V Á N Í
M E C HA N I C KÉ E N E R GI E T E HD Y , KDYŽ SE JEDNÁ O POHYB HMOTNÉHO BODU V P O L I
K O N ZE R V A T I V N Í C H S I L (V I Z O D S T A V E C 3.4.1), KT E R É J S OU OM E ZE NY HOL ONOM NÍ M I A
S K L E R O N O M N Í M I V A ZB A M I (V I Z O D S T A V E C 2.2).
Reonomní vazby totiž energii systému dodávají nebo odebírají.
Důkaz tohoto tvrzení provedeme rozpisem kinetické energie T a následným dosazením do vztahu (81).
Pro kinetickou energii soustavy N hmotných bodů platí:
23N 3Ni i i
i i
i 1 i 1
1 d 1 d d
2 d 2 d d
x x x
T m m
t t t= =
⎛ ⎞
= =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑ .
Vzhledem k tomu, že ( )( )i i j
x x q t= (podle podmínky (31)) pro 1, 2, ..., 3i N= a 1, 2, ...,j n= (n je počet
stupňů volnosti), můžeme psát
3N n ni i
r s
i r s
i 1 r 1 s 1
1
2
x x
T m q q
q q= = =
∂ ∂
=
∂ ∂
∑ ∑ ∑ . Po úpravách, při kterých zaměníme také pořadí
sčítanců, dostaneme
3N n n n n 3Ni i i i
r s s r
i ir s r s
i 1 r 1 s 1 r 1 s 1 i 1
1 1
2 2
x x x x
T m q q m q q
q q q q= = = = = =
∂ ∂ ∂ ∂
= =
∂ ∂ ∂ ∂
∑ ∑∑ ∑∑∑ . Označíme-li
3N i i
rs i r s
i 1
1
2
x x
A m
q q=
∂ ∂
=
∂ ∂
∑ , můžeme pro kinetickou energii můžeme psát:
n n
s r
rs
r 1 s 1
T A q q
= =
= ∑∑ . Nyní už lze na
základě vztahu (81) psát zobecněnou energii:
n n
j j
j j
j 1 j 1
L T
h q L q T V
q q= =
∂ ∂
= − = − +
∂ ∂
∑ ∑ .
V poslední sumě se derivuje pouze kinetická energie T, protože potenciální energie V nezávisí na žádné
zobecněné rychlosti j
q .
Dosazením z rozepsané kinetické energie získáme:
( )
n n n n n nr s
s r j r s r s j
rs rs rs j rs jj j
j 1 r 1 s 1 j 1 r 1 s 1
q q
h A q A q q T V A q A q q T V
q q
δ δ
= = = = = =
⎛ ⎞∂ ∂
= + − + = + − + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∑∑∑ ∑∑∑
( ) ( )
n n n n n n
r j s r s j r s r s
rs j rs j rs rs
j 1 r 1 s 1 j 1 r 1 s 1
A q q A q q T V A q q A q q T Vδ δ
= = = = = =
= + − + = + − +∑∑∑ ∑∑∑ . S využitím zavedené
kinetické energie lze tedy psát: .h T T T V T V E konst= + − + = + = =
Tím je důkaz ukončen.
3.8 Pohyb hmotného objektu v poli centrální cíly
Jak bylo ukázáno v odstavci 3.6, pohyb hmotného bodu v poli centrální síly je pohyb rovinný. To
znamená, že pohyb hmotného bodu (resp. hmotného objektu) o hmotnosti m v tomto poli můžeme popsat
pomocí polárních souřadnic r a ϕ . Lagrangián tedy lze psát ve tvaru (79), tj. ( ) ( )2 2 21
2
L m r r V rϕ= + − .
Lagrangeova funkce ovšem nezávisí na souřadnici ϕ - tj. ϕ je cyklická souřadnice (viz odstavec 3.6). Můžeme
tedy psát první integrál pohybu ve tvaru
2
.
L
mr l konstϕ
ϕ
∂
= = =
∂
,
(82)
kde l je moment hybnosti. Vztah (82) tedy vyjadřuje zákon zachování momentu hybnosti.
Lagrangián (79) nezávisí ovšem přímo ani na čase, a proto můžeme psát zobecněnou energii h pro pohyb
hmotného objektu v poli centrální síly ve tvaru
( ) ( )2 2 21
.
2
h m r r V r E konstϕ= + + = = ,
(83)
neboť se nacházíme v poli konzervativních sil (viz odstavec 3.4.1). Ze vztahu (82) můžeme vyjádřit
2
l
mr
ϕ = ,
(84)
čímž jsme získali vyjádření časové změny úhlu v závislosti na vzdálenosti od centrálního tělesa a na hmotnosti
uvažovaného hmotného objektu.
Získali jsme tedy velikost úhlové rychlosti pohybu daného objektu, tj. velikost rychlosti, s níž se tento
objekt pohybuje kolem centrálního tělesa. V této rychlosti není zahrnut radiální pohyb (tj. přibližování nebo
oddalování od centrálního tělesa)!
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
37
Dosazením vztahu (84) do rovnice (83) získáme rovnici ( )
2
2 2
2 4
1
2
l
m r r V r E
m r
⎛ ⎞
+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
, odkud můžeme
vyjádřit 2
r ve tvaru ( )( )
2
2
2 2
2 l
r E V r
m m r
= − − , který lze upravit na tvar
( )
2
2
2
2
2
l
r E V r
m mr
⎛ ⎞⎛ ⎞
= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
.
(85)
S tímto vztahem nyní budeme pracovat dále, neboť naším cílem je popsat pohyb, tj. nalézt závislost
souřadnice r (resp. ϕ ) na čase. Proto vztah (85) odmocníme a přepíšeme do tvaru vhodného pro další výpočet
( )
2
2
d 2
d 2
r l
E V r
t m mr
⎛ ⎞⎛ ⎞
= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
. Pomocí separace proměnných bychom získali rovnici
( )
2
2
d
d
2
2
r
t
l
E V r
m mr
=
⎛ ⎞⎛ ⎞
− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
, kterou by bylo možné řešit integrací a získali bychom
( )
( )
2
2
d
2
2
r
t g r
l
E V r
m mr
= =
⎛ ⎞⎛ ⎞
− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
∫ a tedy ( )1
r g t−
= . Výpočet funkce ( )g r je ovšem technicky velmi
zdlouhavý. Proto je lepší nevyšetřovat závislosti ( )r t (resp. ( )tϕ ), ale najít rovnou tvar trajektorie, tj. hledat
závislost ( )r ϕ .
Pro snadnější výpočet zavedeme funkci u proměnné ϕ předpisem
( )
( )
1
u
r
ϕ
ϕ
= .
(86)
Potom můžeme psát
( ) ( )( ) ( )( )2 2
d d 1 d 1 1 d d 1 d
d d d d d d
r u u
r
t t u t tu t u t u
ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕϕ ϕ
⎛ ⎞⎛ ⎞
= = = = − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
. Po dosazení
ze vztahu (84) dostaneme
2
2 2 2
1 d 1 d d
d d d
u l u lu l u
r
m mu mr uϕ ϕ ϕ
= − = − = − a dosadíme do (85). S využitím (86) tedy
získáme ( )
22 2 2
2
d 2
d 2
l u l u
E V u
m mm ϕ
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞
= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
a odtud již snadnou úpravou získáme
( )( )
2
2
2
d 2
d
u m
u E V u
lϕ
⎛ ⎞
+ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
(87)
Derivací obou stran rovnice (87) podle proměnné ϕ získáme
( )2
2 2
dd d d 2 d
2 2
d d d dd
V uu u u m u
u
ulϕ ϕ ϕϕ
+ = − . Bez
újmy na obecnosti lze tuto rovnici vydělit výrazem
d
2
d
u
ϕ
, čímž získáme vztah
( )2
2 2
dd
dd
V uu m
u
ulϕ
+ = − ,
(88)
což je tzv. Binetův vzorec pro trajektorie pohybujících se objektů v poli centrální síly.
S využitím dvou „triků“ (substituce (86) a derivace rovnice (87)) jsme získali důležitý vztah (88), který
má význam nejen v (teoretické) mechanice, ale také např. i v atomové fyzice (viz odstavec 3.11).
3.9 Pohyb planet kolem Slunce aneb Keplerova úloha
3.9.1 Obecné odvození
Potenciální energie tělesa (např. planeta) o hmotnosti m, které se pohybuje kolem centrálního tělesa
(např. Slunce) o hmotnosti M ve vzdálenosti r, je dána vztahem
GMm
V
r r
α
= − = − ,
(89)
kde G je gravitační konstanta.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
38
Tvar trajektorie tělesa, které se pohybuje v poli centrální síly, získáme pomocí Binetova vzorce (88).
S využitím substituce (86) můžeme psát V uα= − a tedy
d
d
V
u
α= − . Dosazením do (88) získáme rovnici pro
neznámou ( )u t
2
2 2
d
d
u m
u
l
α
ϕ
+ = ,
(90)
která má řešení ve tvaru 0 p 2
cos
m
u u u C
l
α
ϕ= + = + . S využitím substituce (86) tedy dostáváme
2
2
2
1
cos cos 1
l
mr
m l CC
l m
α
α
ϕ ϕ
α
= =
+ +
, což můžeme zapsat v zjednodušeném tvaru
1 cos
p
r
ε ϕ
=
+
,
(91)
kde
2 2
2
l l
p
m GMmα
= = .
(92)
Je důležité si uvědomit, že r, u a ϕ jsou funkce závislé na čase.
Konstantu ε určíme tak, že dosadíme řešení (91) s využitím substituce (86) do rovnice (87). Předtím
vyjádříme
1 cos
u
p
ε ϕ+
= a
d sin
d
u
p
ε ϕ
ϕ
= − . Po dosazení do (87) dostaneme
2 2 2 2
2 2 2
sin 1 2 cos cos 2 1 cosm
E
pp p l
ε ϕ ε ϕ ε ϕ ε ϕ
α
⎛ ⎞+ + +
+ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Dále můžeme psát
( )
2
2
2 2
2 2
1 2 cos 1 cos
mp m p
E
l l
α
ε ε ϕ ε ϕ+ + = + + a s využitím vztahu (92) upravit na tvar
( ) ( )
2
2
2
2
1 2 1 cos 2 1 cos
mp
E
l
ε ε ϕ ε ϕ− + + = + + , odkud
2 2 2
2
2 2 2 2 3
2 2 2
1
mp l l
E E E
l m G M m
ε
α
− = = = .
(93)
obr. 36
Rovnice (91) spolu s podmínkami (92) a (93) vyjadřuje rovnici kuželosečky v polárních souřadnicích.
Parametr p přitom určuje velikost kuželosečky, zatímco parametr ε , který se nazývá numerická excentricita,
určuje celkovou mechanickou energii tělesa, která se díky platnosti zákona zachování mechanické energie
zachovává. V závislosti na parametru ε lze přitom získat jednu ze čtyř kuželoseček (viz obr. 36):
1. pro 0ε = kružnici - což je křivka, po níž se pohybuje těleso s minimální energií, kterou je možné
odvodit ze vztahu (93):
2 2 3
min 2
2
G M m
E
l
= − ;
(94)
2. pro ( )0;1ε ∈ elipsu, přičemž 0ϕ = popisuje perihélium trajektorie daného tělesa a ϕ π=
odpovídá aféliu dané trajektorie (viz obr. 37). Energie, kterou má pohybující se těleso, je záporná.
3. pro 1ε = parabolu, protože pro ϕ π= se trajektorii otvírá. Energie tělesa je nulová.
4. pro 1ε > hyperbolu, trajektorie se otvírá dříve než při ϕ π= a těleso má kladnou energii.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
39
Typ kuželosečky v závislosti na energii tělesa je detailně rozebrán pomocí efektivního potenciálu
v odstavci 3.10.
Z obr. 36 je vidět, že kuželosečky lze získat i tak, jak vyplývá z jejich názvu: lze „seknout“ kužel
rovinou, která má pro každou kuželosečku určitou speciální polohu.
obr. 37
Při odvozování obecného tvaru trajektorie jsme se mohli omezit na popis pomocí dvou souřadnic, neboť
pohyb v poli centrální síly je vždy pohyb rovinný (viz odstavec 3.6). Navíc popis pomocí lagrangeových rovnic
vede na dva integrály pohybu (viz odstavec 3.7) - v našem konkrétním případě se zachovává moment hybnosti l
a celková mechanická energie E.
Na základě obecného odvození a na základě geometrického významu řešení (91) lze nyní formulovat
Keplerovy zákony, které popisují pohyb planet ve Sluneční soustavě.
Autorem Kepleových zákonů je německý matematik Johannes Kepler (1571 - 1630). Odvodil je na
základě pozorování, která prováděl dánský astronom Tycho Brahe. První a druhý Keplerův zákon byly
publikovány v Astronomia nova (Nová astronomie) vydané v roce 1609 v Praze, třetí Keplerův zákon pak v roce
1619 v Linci v díle Harmoniae mundi (Harmonie světa).
3.9.2 První Keplerův zákon
PL A N E T Y OB Í HA J Í KOL E M SL U N C E P O E L I P S Á C H, V J E J I C HŽ S POL E ČNÉ M OHNI S KU
J E SL U N C E .
Na základě obr. 38 a Pythagorovy věty lze pro délku hlavní poloosy a elipsy a délku vedlejší poloosy b
elipsy psát
2 2 2
b e a+ = , (95)
kde e je excetricita definovaná vztahem
e aε= . (96)
obr. 38
S využitím vztahů (95) a (96) můžeme psát
2
1b a ε= − .
(97)
Na základě obr. 38 lze také určit minimální vzdálenost minr planety od Slunce ve tvaru, který lze též
vyjádřit s využitím vztahu (96)
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
40
( )min 1r a e a ε= − = − . (98)
S využitím řešení (91) a geometrického rozboru situace (viz odstavec 3.9.1) lze psát
min
1
p
r
ε
=
+
.
(99)
Srovnáním vztahů (98) a (99) dostaneme
2
1
p
a
ε
=
−
(100)
a po dosazení ze vztahů (92) a (93) máme
2
2
2
2 2 3
2
l
GMma
l
E
G M m
= . Po úpravě tedy vychází
2
GMm
a
E
= ,
(101)
což je délka hlavní poloosy elipsy, po níž se pohybuje planeta s energií E.
Trajektorie, po kterých se pohybují planety ve Sluneční soustavě, jsou uzavřené, což plyne z tvaru
Newtonovského potenciálu (89). Podle tzv. Bertrandova teorému existují pouze dva typy potenciálu, které
vedou na uzavřené trajektorie: Newtonovský potenciál ve tvaru (89) a potenciál, který je úměrný 2
r .
3.9.3 Druhý Keplerův zákon
SP O J NI C E SL U N C E A P L A N E T Y (T ZV . PRŮ VODI Č ) OPI S U J E ZA S T E J N É ČA S O V É
I N T E R V A L Y S T E J N É P L O C H Y (V I Z OB R. 39).
obr. 39
Tento zákon je vlastně geometrickým důsledkem zákona zachování momentu hybnosti, který je
definován vztahem (82).
Vztah (82) je jedním z integrálů pohybu (viz odstavec 3.7), neboť souřadnice ϕ vystupující
v lagrangiánu (74) je cyklická souřadnice (viz odstavec 3.7).
Přírůstek plochy elipsy dS, kterou opíše průvodič planety při jejím pohybu, změní-li planeta svojí polohu
o úhel dϕ , je 21
d d
2
S r ϕ= . Plošná rychlost je tedy pak definována vztahem
2 2d 1 d 1
d 2 d 2
S
r r
t t
ϕ
ϕ= = .
(102)
S využitím vztahu (82) lze tedy psát
2
2
d 1
d 2 2
S l l
r
t mmr
= = ,
(103)
což je výraz, který nabývá konstantní hodnoty. Moment hybnosti l se totiž zachovává a m je hmotnost planety
obíhající kolem Slunce. A ta se také nemění.
3.9.4 Třetí Keplerův zákon
PR O V Š E C H N Y P L A N E T Y SL U N E ČN Í P L A N E T Y P L A T Í
2
3
.
T
konst
a
= , PŘ I ČE M Ž T J E
PERIODA OB Ě HU P L A N E T Y KOL E M SL U N C E A a J E D É L K A H L A V N Í P O L O O S Y J E J Í
T R A J E KT OR I E .
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
41
Druhý Keplerův zákon lze matematicky psát ve tvaru (103), odkud dostáváme
T
0
d
2 2
l l
S t T
m m
= =∫ .
Plocha elipsy je dána vztahem S abπ= , kde a resp. b je délka hlavní poloosy elipsy resp. vedlejší poloosy
elipsy, která je trajektorií pohybu planety kolem Slunce. Podle vztahu (97) lze psát 2 2
1S aπ ε= − . Dostáváme
tedy 2 2
1
2
l
a T
m
π ε− = , odkud ( ) ( )
2 2 4 2 2 3
2 2 2
2 2
4 4
1 1
m a m a
T a
l l
π π
ε ε= − = − . S využitím vztahu (100)
dostáváme
2 2 3
2
2
4 m a
T p
l
π
= a na základě vztahu (92) máme
2 2 3 2 2 3
2
2 2
4 4m a l a
T
GMl GMm
π π
= = . Odtud již plyne
2 2
3
4T
GMa
π
= .
(104)
Poměr druhé mocniny oběžné doby planety a třetí mocniny hlavní poloosy její trajektorie je tedy
konstantní a je dán pouze hmotností Slunce, kolem něhož planeta obíhá (π a G jsou univerzální konstanty).
3.10 Metoda efektivního potenciálu
V odstavci 3.9 byl odvozen přesný tvar trajektorie tělesa, které se pohybuje v centrálním poli Slunce, a
Keplerovy zákony, který tento pohyb popisují. Odvození bylo provedeno na základě potenciální energie zapsané
ve speciálním tvaru (89), který vyplývá z Newtonovské mechaniky (z Newtonova gravitačního zákona). Tento
vztah pro výpočet potenciální energie je natolik jednoduchý, že umožňuje analyticky vyjádřit trajektorie, po níž
se těleso pohybuje. V případě složitějšího vyjádření potenciální energie (např. potenciální energie vyplývající
z obecné teorie relativity) není analytické řešení jednoduché. A přitom často stačí kvalitativní předpověď
pohybu těles.
To znamená, že stačí určit obecně např. tvar trajektorie, po níž se těleso pohybuje bez nutnosti znát její
přesné parametry (např. stačí určit, že jde o elipsu, aniž bychom specifikovali polohu ohnisek, délky poloos, …).
Pro další úvahy je dobré, zavést tzv. efektivní potenciál ( )efV r na základě vztahu (85) ve tvaru
( ) ( )
2
ef 2
2
l
V r V r
mr
= + .
(105)
Ze vztahu (85) jsme tedy za efektivní potenciál označili vnitřní závorku.
Člen
2
2
2
l
mr
je úměrný druhé mocnině velikosti obvodové rychlosti 2 2
r ϕ (na základě úvah o obvodové
rychlosti byl vztah (85) sestaven), a proto se nazývá odstředivý člen. Pokud se totiž těleso přibližuje k centru,
kolem kterého se pohybuje, roste velikost rychlosti pohybu tohoto tělesa a tedy roste i velikost odstředivé síly,
která na těleso působí. A právě pomocí členu
2
2
2
l
mr
jsou tyto efekty do potenciální energie započítávány.
Na základě označení (105) lze vztah (85) psát ve tvaru
( )( )2
ef
2
r E V r
m
= − ,
(106)
z něhož lze určit podmínky, za kterých se může pohyb tělesa vůbec uskutečnit. Levá strana rovnice (106) je
zapsána jako druhá mocnina jisté funkce (časová derivace polohy tělesa); levá strana rovnice je tedy nezáporný
výraz. To znamená, že nezáporný výraz musí být i na pravé straně rovnice. Musí tedy platit
( )efE V r≥ . (107)
Tato podmínka tedy určuje omezení na přípustný interval radiálních vzdáleností r od centrálního tělesa
uvažovaného centrálního pole. A tuto podmínku lze přitom najít velmi jednouše v grafickém vyjádření závislosti
potenciální energie na vzdálenosti r (viz obr. 40).
Z podmínky (107) lze určit interval přípustných radiálních vzdáleností r proto, že potenciální energie
závisí právě jen na radiální vzdálenosti. Takže určením přípustných hodnot potenciální energie máme vlastně již
určeny přípustné radiální vzdálenosti.
Metodu efektivního potenciálu lze použít v případě libovolného průběhu závislosti efektivního potenciálu
na vzdálenosti od centra daného centrálního pole. Ukážeme dva případy:
1. Newtonovský efektivní potenciál (viz odstavec 3.10.1);
2. relativistický efektivní potenciál (viz odstavec 3.10.2).
3.10.1 Newtonovský efektivní potenciál
Nejjednodušší je vyšetřování Newtonovského efektivního potenciálu.
Na obr. 40 je zobrazen průběh Newtonovského efektivního potenciálu popsaného vztahem
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
42
( )
2
ef 2
2
GMm l
V r
r mr
= − +
(108)
a celkové mechanické energie E, kterou má těleso pohybující se kolem centra daného centrálního pole. Na
základě podmínky (107) je zřejmé, že přípustné hodnoty potenciální energie pohybujícího se tělesa leží vždy
buď na přímce konstantní celkové mechanické energie nebo pod ní. Z obrázku je též zřejmé, že existuje
minimum efektivního potenciálu (108).
obr. 40
Newtonovský efektivní potenciál zapsaný ve tvaru (108) má pro malá r (malé vzdálenosti od centra
uvažovaného centrálního pole) průběh odpovídající funkci ( ) 2
1
f r
r
= a pro velká r průběh odpovídající funkci
( )
1
g r
r
= − . Proto existuje minimum efektivního potenciálu.
Pro malá r je ve vztahu (108) dominantním členem člen úměrný 2
1
r
, protože člen úměrný
1
r
− je
zanedbatelný ( 2
1
r
pro malá r roste rychleji než
1
r
− ). Pro velká r je tomu naopak: 2
1
r
klesá velmi rychle a tedy
se uplatní (tj. ve vztahu „zbude“) pouze člen
1
r
− .
V grafu na obr. 40 je zobrazena i tzv. zakázaná oblast, v níž se pohybující těleso nemůže nikdy nacházet.
To ovšem znamená, že těleso, které se pohybuje kolem centra pole umístěného v bodě [ ]0; 0 grafu, do tohoto
centra nikdy nemůže spadnout. Ovšem pouze za předpokladu, že:
1. uvažujeme pouze bodové částice - kdybychom uvažovali např. pohyb kolem Slunce, pak by
zakázaný pás byl ve směru osy r posunut o takovou vzdálenost, která odpovídá poloměru Slunce.
2. neuvažujeme radiální pohyby - tj. předpokládáme pouze oběžný pohyb kolem centra pole.
obr. 41
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
43
Radiální pohyb je popsán efektivním potenciálem ( )ef
GMm
V r
r
= − (moment hybnosti je nulový) a
závislost efektivního potenciálu na vzdálenosti je zobrazena na obr. 41.
Na základě grafu závislosti efektivního potenciálu na vzdálenosti lze klasifikovat pohyby. Nedostaneme
sice přesné tvary rovnic popisující trajektorii pohybujícího se objektu, získáme ovšem velmi rychle dobrou
kvalitativní předpověď studovaného pohybu. Podle obr. 42 lze tedy popsat pohyb tělesa v centrálním poli
v závislosti na hodnotě celkové mechanické energie:
1. 0E > - těleso se pohybuje po hyperbole a bod 1A odpovídá periheliu jeho trajektorie;
2. 0E = - těleso se pohybuje po parabole a bod 2A odpovídá periheliu jeho trajektorie;
Tyto dva případy popisují např. trajektorie komet. Ty přiletí do grafu na obr. 42 zprava (z velkých
vzdáleností od Slunce), proletí perihéliem a opět se vrací do velkých vzdáleností.
3. 0E < - těleso se pohybuje po elipse, přičemž bod 3A odpovídá periheliu a bod 3A′ aféliu jeho
trajektorie;
Perihélium 3A je ke Slunci blíže než afélium 3A′ .
4. minE E= - těleso má nejmenší možnou zápornou celkovou mechanickou energii (viz vztah (94)) a
pohybuje se po kružnici o poloměru, který je dán souřadnicí r bodu 4A .
Těleso má tedy během svého pohybu konstantní vzdálenost od centra daného pole - tj. např. od Slunce.
Body 1A , 2A , 3A , 3A′ a 4A se nazývají body obratu a platí pro ně 0r = .
V bodech obratu se tedy nemění v závislosti na čase radiální vzdálenost pohybujícího se tělesa od centra
pole. V těchto bodech tak skutečně nastává „obrat“ pohybu tělesa: vzdalování se začíná měnit na přibližování
(v aféliu) nebo přibližování se mění na vzdalování (v periheliu).
obr. 42
3.10.2 Efektivní potenciál obecné teorie relativity
Metoda efektivního potenciálu a způsob získání kvalitativních předpovědí o trajektoriích těles
pohybujících se v centrálním poli kolem centra tohoto pole byly popsány v odstavci 3.10.1 na příkladu
Newtonovského efektivního potenciálu zapsaného ve tvaru (108). Efektivní potenciál, který popisuje pohyb
tělesa v rámci obecné teorie relativity je podobný, ale přesto jsou při interpretaci grafického zobrazení jisté
rozdíly.
Závislost efektivního potenciálu vypočteného v rámci teorie relativity na vzdálenosti je zobrazena na obr.
43. Nebudeme uvádět vztah, pomocí kterého se efektivní potenciál počítá, ale upozorníme na rozdíly oproti
Newtonovskému potenciálu. Základním rozdílem je skutečnost, že v rámci teorie relativity může těleso, které se
pohybuje v gravitačním poli jiného tělesa, spadnout do singularity.
V Newtonovském potenciálu bylo Slunce (centrum pole) chráněno před případným pádem obíhajícího
tělesa v zakázané oblasti. Za předpokladu, že se těleso nebude pohybovat radiálně (tj. po spojnici těleso Slunce),
nikdy by nemohlo do Slunce spadnout. V obecné teorii relativity to možné je - singularita není
chráněna zakázanou oblastí.
Bod A na obr. 43 odpovídá tzv. Schwarzschildovu poloměru černé díry (tzv. horizont událostí). Dostaneli
se těleso k singularitě (např. černá díra) do vzdálenosti menší než je tento poloměr, bude zničeno, protože není
možné se z této oblasti dostat zpět. Ve vzdálenosti 1r od singularity nabývá efektivní potenciál svého lokálního
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
44
maxima. Tato hodnota efektivního potenciálu (resp. tato vzdálenost) odpovídá nestabilní orbitě. Těleso, které se
v této vzdálenosti nachází, se může pohybovat po kružnici a nebo může spadnout do singularity.
Těleso se tedy nachází v labilní rovnovážné poloze a buď spadne do singularity a nebo se zachrání a
„sklouzne do údolí grafu“ vpravo od kritické vzdálenosti 1r .
Úsečka BC odpovídá kvazielipse, po níž se těleso pohybuje. Tato trajektorie se stále stáčí a není
uzavřená, má ale podobné vlastnosti jako elipsa.
Pokud má pohybující se těleso větší energii, než je hodnota efektivního potenciálu ve vzdálenosti 1r od
centra gravitačního pole, padá těleso do singularity, která se v centru pole nachází.
obr. 43
3.11 Rozptyl nabitých částic
Dalším případem pohybu v centrálním poli je pohyb částice o hmotnosti m a s nábojem 2Q
v elektrostatickém poli buzeném částicí s nábojem 1Q o hmotnosti M. Bez újmy na obecnosti budeme uvažovat
dvě kladně nabité částice, z nichž ta s nábojem 1Q má výrazně vyšší hmotnost ve srovnání s částicí s nábojem
2Q , tj.
M m . (109)
Tato podmínka umožní řešit úlohu tak, že budeme uvažovat částici s nábojem 2Q , která bude přilétat
z velké vzdálenosti k částici s nábojem 1Q , která je v klidu.
Vzhledem k podmínce (109), lze považovat částici s nábojem 1Q za nehybnou. Na obě částice sice
působí stejně velká elektrostatická síla, ale vlivem své větší hmotnosti má částice s nábojem 1Q ve srovnání
s druhou částicí zanedbatelné zrychlení. Proto jí lze považovat za nehybnou. V praxi to znamená, že např. na
jádro zlata bude nalétávat jádro helia. Tento experiment na začátku 20. století prováděl Rutherford.
Potenciální energie vyplývající z Coulombova zákona má tvar
( ) 1 2
04
Q Q
V r
r r
α
πε
= − = ,
(110)
který je formálně podobný Newtonovské potenciální energii v gravitačním poli (viz vztah (89)) a ve kterém
1 2
04
Q Q
α
πε
= − .
(111)
Coulombická potenciální energie je ovšem kladná, neboť interakce mezi dvěma kladně nabitými
částicemi je odpudivá (na rozdíl od přitažlivé gravitační síly působící mezi tělesem obíhajícím kolem centra
gravitačního silového pole a tímto centrem).
Energie částice s nábojem 2Q je kladná, ale trajektorie, po níž se bude v silovém poli částice s nábojem
1Q pohybovat, bude splňovat vztah (91). Částice s nábojem 2Q se tedy pohybuje po kuželosečce. Vzhledem ke
kladné energii částice je touto kuželosečkou hyperbola. Pro popis trajektorie bude důležitý úhel odklonu ϑ
částice s nábojem 2Q v poli částice s nábojem 1Q (viz obr. 44). To znamená, že nás zajímá směr vstupní
asymptoty a výstupní asymptoty hyperboly, po níž se částice pohybuje. Vzhledem k tomu, že částice s nábojem
2Q přilétá z velké vzdálenosti a po odchýlení své trajektorie zase odlétá do velké vzdálenosti, můžeme
asymptoty charakterizovat podmínkou r → ∞ . Ze vztahu (91) pak vyplývá
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
45
1
cosϕ
ε
= − ,
(112)
kde ϕ je úhel určující polohu pohybující se částice s nábojem 2Q (viz obr. 44). Úhel odklonu ϑ je dán
vztahem
a
2 2
π ϑ
ϕ = + ,
(113)
kde aϕ je směrový úhel výstupní asymptoty.
obr. 44
S využitím vztahů (113) a (112) můžeme psát
a a
a
2 2
a a
2
1
cos cos 1
tg tg
2 2 sin 11 cos 11
ϕ ϕϑ π εϕ
ϕ ϕ ε
ε
⎛ ⎞
= − = − = − = =⎜ ⎟
⎝ ⎠ − −−
. Po dosazení ze vztahu (93) dostáváme
2
2
tg
2 2
m
l E
ϑ α
= .
(114)
Nyní je nutné vyjádřit celkovou energii E částice s nábojem 2Q a její moment hybnosti l. Tyto
zachovávající se fyzikální veličiny stačí určit v místech trajektorie, v nichž jsou snadno určitelné.
Celková energie E částice i moment hybnosti l jsou v centrálním silovém poli integrály pohybu (viz
odstavec 3.7), proto platí jejich zákony zachování.
Částice s nábojem 2Q přilétá z velké vzdálenosti s počáteční rychlostí o velikosti v∞ . Pro vzdálenost
r → ∞ je potenciální energie V částice (na základě (110)) nulová. Takže celková energie E je rovna kinetické
energii částice, tedy
21
.
2
E T mv konst∞= = =
(115)
Analogicky získáme i moment hybnosti částice ve vzdálenosti r → ∞ :
l mv b∞= , (116)
kde b je tzv. záměrná vzdálenost (impaktní parametr) určující vzdálenost vstupní asymptoty od částice
s nábojem 1Q (která je v klidu).
Dosazením ze vztahů (111), (115) a (116) do vztahu (114) postupně získáme
1 2
2 0
1
tg
12 42
2
Q Qm
l mv bvmv
ϑ α
πε ∞ ∞
∞
= = , takže
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
46
1 2
2
0
tg
2 4
Q Q
mv b
ϑ
πε ∞
= .
(117)
Fakt, že uvedený vztah je kvalitativně správný v závislosti na záměrné vzdálenosti b, lze ověřit na dvou
význačných hodnotách vzdálenosti b:
1. pro b → ∞ (tj. částice nalétává na stojící částici ve velké vzdálenosti) je tg 0
2
ϑ
= a tedy 0ϑ =
(pohybující se částice není částicí v klidu ovlivněna);
2. pro 0b → (tj. částice nalétává přímo na stojící částici) je tg
2
ϑ
→ ∞ a tedy ϑ π= (pohybující se
částice se od částice nabité nábojem stejného znaménka, která je v klidu, odráží zpět do směru,
odkud přiletěla).
Ve skutečnosti, pokud se provádějí tyto experimenty, nalétává velké množství částic najednou na větší
množství center a zkoumá se vzájemná interakce všech nalétávajících částic s centry. Nalétávající částice mají
různé hodnoty záměrné vzdálenosti b a proto je rozumné zkoumat závislost záměrné vzdálenosti na úhlu, do
kterého se tyto částice rozptýlí. Jsou-li záměrné vzdálenosti N nalétávajících částic v intervalu ( ); db b b+ ,
rozptýlí se dN těchto částic do úhlu ( ); dϑ ϑ ϑ+ (viz obr. 45). Je-li plošná hustota center n, můžeme definovat
účinný průřez dσ vztahem
d
d
N
nN
σ = ;
(118)
přitom [ ] 2
d mσ = .
Účinný průřez udává plochu, jakou si navzájem nastavují nalétávající částice a centra, která jsou v klidu.
Účinný průřez lze vysvětlit i na příkladu člověka, na kterého je veden útok míčem. Stojící člověk má větší
plochu a tedy i větší pravděpodobnost zásahu míčem (tj. má větší účinný průřez). Stočí-li se do „klubíčka“, jeho
plocha, kterou nastavuje letícímu míči, se zmenší a tedy se zmenší i jeho účinný průřez.
obr. 45
Letící částice, které se rozptýlí do úhlu ( ); dϑ ϑ ϑ+ , nalétávají z mezikruží, jehož účinný průřez je
d 2 db bσ π= . (119)
Účinný průřez má význam plochy - proto je účinný průřez v tomto případě roven ploše mezikruží.
Plocha mezikruží ohraničená kružnicemi s poloměry r a dr r+ je 1 2dS S S= − . Po dosazení tedy máme
( ) ( )( )2 22 2 2
d d 2 .d d 2 .dS r r r r r r r r r rπ π π π= + − = + + − pro d 0r → .
Ze vztahu (117) můžeme vyjádřit 1 2
2
0
cotg
24
Q Q
b
mv
ϑ
πε ∞
= a dosadit do vztahu (119). K tomu je ještě nutné
vyjádřit diferenciál 1 2
2
20
1 1
d d
2 4 sin
2
Q Q
b
mv
ϑ
ϑπε ∞
= . Po dosazení tedy máme
1 2 1 2
2 2
20 0
1 1
d 2 cotg . d
2 24 4 sin
2
Q Q Q Q
mv mv
ϑ
σ π ϑ
ϑπε πε∞ ∞
= , takže dostáváme
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
47
2
1 2
2
30
cos
2d d
4 sin
2
Q Q
mv
ϑ
σ π ϑ
ϑπε ∞
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
(120)
Vztah (120) je Rutherfordův vztah pro rozptyl kladných částic na kladných centrech. Zkoumání tohoto
rozptylu se stalo významným na počátku 20. století, kdy bylo na základě podobných experimentů objeveno
jádro atomu. V roce 1911 se o to zasloužil Ernst Rutherford a jeho kolegové. Tím byla odstartována další část
vývoje fyziky. V současné době se tyto rozptylové experimenty provádějí i na urychlovačích částic, neboť
s rostoucí energií, kterou pohybující se částice má, roste velikost její rychlosti. Po vzájemných srážkách takto
urychlených částic lze studovat hmotu do větších detailů.
Dodáním větší energie stojící částici se tato částice rozletí na více menších částic a tyto menší částice je
možné dále studovat.
Při pečlivé analýze uvedeného experimentu je nutné vzít do úvahy, že se ve skutečnosti pohybují obě
částice - jak ta, která nalétává, tak i centrum, na které druhá částice nalétává. Pokud ovšem platí podmínka
(109), lze úlohu studovat výše uvedeným postupem.
Pokud podmínka (109) nebude splněna, je nutné situaci popisovat analogicky jako se popisuje problém
dvou těles (viz odstavec 3.12).
3.12 Problém dvou těles
Uvažujme nyní pohyb dvou těles o srovnatelných hmotnostech 1m a 2m , jejichž polohy jsou popsány
polohovými vektory 1r a 2r (viz obr. 46).
Takovými tělesy může být např. dvojice Země - Měsíc, Pluto - Cháron, dvojhvězda, …
obr. 46
Systém má celkem 6 stupňů volnosti (na každé těleso připadají 3 stupně volnosti) a budeme uvažovat
pouze vzájemné silové působení (nebudeme tedy započítávat např. vliv centra uvažovaného centrálního pole).
Tři stupně volnosti připadající na každé těleso odpovídají tomu, že každé z těles se může pohybovat ve
třech navzájem nezávislých směrech.
Můžeme tedy napsat lagrangián této situace ve tvaru
2 2
1 2
1 1 2 2
1 2
1 1
2 2
Gm m
L m r m r
r r
= + +
−
i i
.
(121)
Tento tvar lagrangiánu ale není příliš vhodný pro další výpočty - zobecněné souřadnice 1r a 2r nejsou
zvoleny nejlépe. Lepší volba by byla zvolit relativní souřadnice R a r , kde R je poloha těžiště systému
uvažovaných těles a r je relativní poloha těles vůči sobě (viz obr. 47). Převodní vztahy tedy jsou
1 1 2 2
1 2
m r m r
R
m m
+
=
+
a 1 2r r r= − .
(122)
obr. 47
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
48
Na základě vztahů (122) (tj. řešením soustavy rovnic pro neznámé 1r a 2r ) získáme:
2
1
1 2
m
r R r
m m
= +
+
a 1
2
1 2
m
r R r
m m
= −
+
.
(123)
Dosazením rovnic (123) do lagrangiánu ve tvaru (121) dostaneme lagrangián ve tvaru
( )
2 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 1
2 2
m m Gm m
L m m R r
m m r
= + + +
+
i i
,
(124)
který nezávisí na zobecněné souřadnici R. To ovšem znamená, že
( )1 2.
.
L
m m R konst
R
∂
= + =
∂
i (125)
je integrál pohybu (viz odstavec 3.7). Konkrétně vztah (125) je vyjádřením zákona zachování hybnosti. Jestliže
se ovšem zachovává hybnost, nepůsobí na uvažovanou soustavu těles okolní tělesa silou a soustava sama se
pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem. Proto se rovnoměrně přímočaře pohybuje i těžiště T soustavy
uvažovaných těles. Bez újmy na obecnosti tedy můžeme vyšetřovat pohyb těles o hmotnostech 1m a 2m
v těžišťové soustavě. To ovšem znamená, že R o= .
V těžišťové soustavě se totiž těžiště nepohybuje.
Skutečnost, že si můžeme zvolit libovolnou vztažnou soustavu, v níž budeme pohyb vyšetřovat, vyplývá
z relativnosti pohybu a Galileiho transformace mezi dvěma soustavami souřadnic.
Vyjádření (123) původních vektorů 1r a 2r v závislosti na nově zvolených zobecněných souřadnicích R
a r se tedy zjednoduší:
2
1
1 2
m
r r
m m
=
+
a 1
2
1 2
m
r r
m m
=
+
.
(126)
Tím se podařila redukce původní úlohy na úlohu jednodušší, jejíž lagrangián bude mít tvar
2
1 21
2
Gm m
L r
r
μ= +
i
,
(127)
kde
1 2
1 2
m m
m m
μ =
+
(128)
je tzv. redukovaná hmotnost. Tím jsme získali úlohu, která je analogická jako Keplerova úloha (viz odstavec
3.9): jedná se o pohyb tělesa s hmotností μ v centrálním silovém poli tělesa o hmotnosti 1 2m m+ (viz obr. 48).
Platí tedy i závěry vyplývající z řešení Keplerovy úlohy (tj. např. Keplerovy zákony - viz odstavce 3.9.2 až
3.9.4), ale je nutné vše přeformulovat pomocí nových proměnných, pomocí nových hmotností μ a 1 2m m+ .
obr. 48
Skutečnost, že máme dvě tělesa o hmotnostech μ a 1 2m m+ , vyplývá z lagrangiánu zapsaného ve tvaru
(127), do jehož druhého členu můžeme též dosadit ze vztahu (128). Dostaneme tak
( )
2
1 21
2
G m m
L r
r
μ
μ
+
= +
i
.
(129)
3.13 Problém tří těles
Problém tří těles, která na sebe navzájem silově působí, je analyticky neřešitelný. Přitom z hlediska
matematiky a teorie diferenciálních rovnic je řešení příslušných rovnic zaručeno a je jednoznačné. Příčiny
nemožnosti nalezení analytického řešení spočívají zejména:
1. ve složitosti řešení - pro daný systém rovnic není k dispozici dostatečný počet integrálů pohybu,
které by řešení zjednodušily (viz odstavec 3.7);
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
49
2. ve velmi citlivé závislosti na počátečních podmínkách - to vede ke vzniku chaotického chování
systému. Toto chování je sice předvídatelné, ale po relativně krátkém čase učiněné předpovědi
neodpovídají chování systému - v systému vzniká deterministický chaos.
Citlivá závislost na počátečních podmínkách provází řadu vědních oborů - meteorologii, jadernou fyziku
(neexistence termojaderných elektráren vyplývá právě z chaotického chování termojaderné reakce, což je pro
stavbu elektrárny nepřijatelné), …
obr. 49
Na obr. 49 je zobrazena počítačová simulace průběhu potenciální energie pro tři pohybující se objekty.
V bodech 1M a 2M jsou umístěna dvě ze tří těles, která mají ve srovnání s třetím tělesem větší hmotnost, a třetí
se pohybuje v poli, jehož potenciální energie je zobrazena na obrázku.
Může to tedy být případ např. soustavy Země - Měsíc, v níž obíhá družice.
Obrázek je nutno chápat trojrozměrně, neboť pohyb tří těles již není omezen na rovinu. V bodě B je tzv.
sedlový bod a v bodech 1M a 2M má potenciální energie minimum.
To znamená, že pokud půjdeme z bodu B ve směru kladné části osy y, půjdeme do kopce, v opačném
směru půjdeme také do kopce. Půjdeme-li ovšem směrem k bodu 1M nebo 2M , půjdeme z kopce.
V bodech A, C, D a E jsou tzv. librační body, tj. body, v nichž jsou navzájem vykompenzovány
gravitační síly a odstředivé síly. Pro správnou představu popisovaného pohybu je nutné si uvědomit, že soustava
zobrazená na obr. 49 rotuje kolem počátku soustavy souřadnic, což znamená, že třetí těleso (těleso s nejmenší
hmotností) se pohybuje v neinerciální soustavě. V této soustavě na toto těleso působí setrvačné síly (odstředivá
síla, Coriolisova síla) a přesto poloha libračních bodů je stabilní.
Ani v tomto, poměrně speciálním případě, nejsou soustavy rovnic popisující daný pohyb analyticky
řešitelné.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
50
4. HAMILTONŮV FORMALISMUS
Hamiltonův formalismus rozvíjí Lagrangeův formalismus jistým směrem. Je to další z přístupů k popisu
mechaniky, který je ještě více obecnější než Lagrangeův formalismus.
4.1 Úloha o brachistochroně - motivace variačního principu
Irský matematik, fyzik a astronom sir Rowan Hamilton (1805 - 1865) formuloval svůj formalismus pro
popis mechaniky v 19. století. Už v roce 1696 ovšem Johann Bernoulli (1667- 1748) formuluje úlohu, která se
stala základem Hamiltonova formalismu. Při řešení Bernoulliho úlohy byly navíc použity některé myšlenky a
postupy, které dále rozvinul právě Hamilton.
Zadání úlohy bylo jednoduché: Dva body A a B, které se nacházejí v různých polohách v gravitačním
poli, ovšem ne na stejné svislé přímce, se mají spojit takovou křivkou, aby pohyb hmotného bodu z bodu A do B
trval minimální čas. Sám Bernoulli zkoušel body spojit úsečkou, částí kružnice a dalšími křivkami, ovšem jako
správné řešení se nakonec ukázala křivka, které se nazývá brachistrochrona a která (jak vyplývá z nalezeného
řešení - viz vztahy (154)) je cykloidou.
Řešení této úlohy poměrně brzy po jejím zveřejnění našli německý matematik Leibnitz, bratři Jacob a
Johann Bernoulliové, francouzský matematik a fyzik l’Hospital a v Anglii Newton.
Hledáme tedy minimum (extremální hodnotu) času, který závisí na tvaru trajektorie, po níž se pohybuje
hmotný bod mezi body A a B. To znamená, že hledáme extrém funkce ( )( )f y x , kde ( )y x je funkce popisující
trajektorii pohybujícího se hmotného bodu.
Tato a podobné úlohy byly předzvěstí později vybudovaného Hamiltonova variačního principu (viz
odstavec 4.3), který je součástí Hamiltonova formalismu.
Řešení úlohy o brachistochroně je uvedeno v odstavci 4.5.
4.2 Definice akce
Hamiltonův variační princip, který je dále popsán v odstavci 4.3, vychází z následujícího tvrzení:
POHYB SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ V ČA S O V É M I N T E R V A L U 1 2;t t S E DĚ J E T A K,
ŽE PL AT Í
0Sδ = , (130)
KDE S J E T ZV . FUNKCIONÁL Č A S U D E F I N O V A N Ý V ZT A H E M
( ) ( )( )
t t2 2
j j
t t1 1
d , , dS L t L q t q t t t= =∫ ∫
(131)
PRO 1, 2, ...,j n= (KDE n J E POČE T S T U PŇŮ V O L N O S T I D A N É S O U S T A V Y ). L J E PŘI T OM
LAGRANGEOVA FUNKCE POPI S U J Í C Í D A N O U S O U S T A V U .
Ve vztahu (131) symbol ( )j
q t znamená časovou derivace j-té zobecněné souřadnice, tj. ( )
( )j
j d
d
q t
q t
t
= .
Dále je nutné si uvědomit, že do vztahu (131) se dosazuje konkrétní průběh jedné trajektorie, čímž se převede
langrangeova funkce L, která obecně závisí na časovém průběhu zobecněné souřadnice ( )j
q t , na časovém
průběhu zobecněné rychlosti ( )j
q t a na čase, na funkci jedné proměnné - času.
Tedy místo ( ) ( )( )j j
, ,L q t q t t po dosazení konkrétní trajektorie, tj. průběhu ( )j
q t , získáme ( )L t .
S je tzv. funkcionál, tedy jakési zobrazení přiřazující dané hladké funkci reálné číslo.
Do výpočtu tedy vstupuje průběh závislosti polohy na čase popisující trajektorii (tj. funkce ( )j
q t ) a
výsledkem je číslo uložené v proměnné S.
Význam vztahu (130) je nutno chápat takto:
1. Variace akce je nulová.
Variace („změna“) je označena symbolem δ , akce je pak označena symbolem S.
2. Skutečná trajektorie, po níž se soustava pohybuje a jejíž tvar hledáme, je taková, že akce S pro
tuto trajektorii nabývá stacionární hodnotu. To znamená, že první derivace S je nulová. Této
hodnotě první derivace odpovídá buď extrém (lokální minimum nebo lokální maximum) a nebo
inflexní bod (viz obr. 50).
Různým trajektoriím (různým funkcím ( )j
q t ) jsou přiřazeny různé hodnoty S. Z těchto různých
(hypotetických) trajektorií vybíráme tu skutečnou trajektorii, která má extremální hodnotu proměnné S.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
51
Pro variační princip a z něj plynoucí výpočty je důležité, aby se průběh studované veličiny (akce S) na
„chvilku zastavil“ - to se v ve všech případech zobrazených na obr. 50 skutečně stane.
obr. 50
Reálné děje v přírodě se tedy vyvíjejí tak, že mají stacionární hodnoty akcí.
Příroda tedy vybírá takové stavy, které jsou: nejmenší, největší nebo podobné ostatním (tomuto stavu
odpovídá inflexní bod).
Trajektorie, které nalezneme pomocí variačního principu, jsou přitom ty, které vyplývají
z Lagrangeových rovnic (47) nebo z Newtonových rovnic.
Je zajímavé si všimnout jednotky akce S: [ ] J.sS = . Stejnou jednotku přitom má i Planckova konstanta h.
To není náhoda - pro Feynmanovský popis kvantové fyziky je důležitá veličina
S
h
odpovídající jakési fázi, pro
kterou tak platí 1
S
h
⎡ ⎤
=⎢ ⎥
⎣ ⎦
.
Právě definovaný přístup k řešení úloh není omezen jen na mechaniku. Tento princip lze aplikovat i na
řešení úloh z elektromagnetického pole, z části kvantové fyziky a další polní teorie (obecná teorie relativity jako
teorie gravitace, popis chování bosonů, popis chování fermionů, …). Základní princip popisu a hledání řešení
zůstává stejný, mění se konkrétní veličina, pomocí níž je akce definována.
4.3 Hamiltonův variační princip
Pro další výklad je nezbytné pochopit pojmy variace funkce ( )q tδ a variace funkcionálu Sδ . Tyto
pojmy vysvětlíme na příkladu, v němž budeme uvažovat pohyb jedné částice po přímce. Závislost zobecněné
souřadnice q na čase t je zobrazena na obr. 51. Je to jedna z mnoha závislostí, které mohou popisovat daný
pohyb. Funkce ( )q t je hladká funkce, která vstupuje jako parametr lagrangiánu do vztahu pro akci S (vztah
(131)). Hodnota funkce ( )q t v časech 1t a 2t (tj. poloha bodů A a B) je daná - jsou to počáteční podmínky
řešené úlohy.
obr. 51
Nyní sestrojíme funkci ( ) ( )q t q tδ+ tak, že v každém časovém okamžiku v intervalu ( )1 2;t t přičteme
k funkční hodnotě funkce ( )q t hodnotu ( )q tδ . Vzhledem k tomu, že hodnoty funkce ( )q t v časech 1t a 2t
jsou dány, platí
( ) ( )1 2 0q t q tδ δ= = . (132)
Vytvoříme tedy trajektorii, která se od té původní „o trošku“ liší, a budeme hledat tu správnou (v přírodě
realizovanou) trajektorii, která má minimální, maximální nebo „skoro stejnou“ akci.
Výše popsaným způsobem jsme provedli tzv. izochronní variaci.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
52
IZOC H R O N N Í V A R I A C E J E T A K O V Á V A R I A C E , PŘ I N Í Ž K FUNKČNÍ HODNOT Ě FUNKCE
q V B ODĚ t (T J . K ( )q t ) PŘI ČT E M E HOD N OT U ( )q tδ A ZÍ S K Á M E F U N KČ NÍ HODNOTU
FUNKCE ( ) ( )q t q tδ+ V ČA S E t .
To znamená, že křivku ( )q t „přišpendlíme“ v bodech A a B (dle obr. 51) a tuto křivku „deformujeme“
jen tak, že jí natahujeme ve směru osy q. Nenatahujeme jí ve směru osy t - takové deformování by už nebyly
izochronní variace.
Funkci ( )q t přiřadíme akci ( )S q t⎡ ⎤⎣ ⎦ a funkci ( ) ( )q t q tδ+ akci ( ) ( )S q t q tδ+⎡ ⎤⎣ ⎦ a můžeme definovat
variaci akce, která přísluší funkci ( )q t a variaci funkce ( )q tδ :
( ) ( ) ( )S S q t q t S q tδ δ= + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (133)
Protože hledáme funkci ( )q t tak, aby 0Sδ = pro každé ( )q tδ , musíme pro funkce blízké funkci ( )q t
získat podobné hodnoty akce S. To znamená, že ( )q tδ nebude tak velké, jak je ilustrováno na obr. 51. Většinou
lze psát
( ) ( ).q t tδ ε η= , (134)
kde 0ε → . Potom ovšem Sδ je lineární diferenciál (tzv. Frechetův diferenciál).
( )q tδ je tedy infinitezimálně malé.
Popisuje-li funkce ( )q t trajektorii pohybu dané soustavy a mění-li se akce S při přechodu od funkce
( )q t k funkci ( ) ( )q t q tδ+ , pak ( )q t popisuje trajektorii, která je sice možná, ale není to skutečná trajektorie,
po níž se daný systém skutečně pohybuje.
Příroda prostě takové trajektorie, u kterých se při jejich malé změně mění S, nemá ráda.
Nutná podmínka pro splnění vztahu (130) je skutečnost, že funkce ( )q t musí řešit Eulerovy Lagrangeovy
rovnice. Tyto rovnice jsou obecné diferenciální rovnice druhého řádu a jsou popsány v odstavci
4.4. Speciální volbou funkce přecházejí na Lagrangeovy rovnice druhého druhu (47). Proto nyní dokážeme, že
z podmínky (130) plyne existence Lagrangeových rovnic druhého druhu.
Vyjdeme ze vztahu (133), do kterého dosadíme z definičního vztahu akce S (131). Důkaz provedeme
rovnou pro j zobecněných souřadnic ( 1, 2, ...,j n= , kde n je počet stupňů volnosti). Dostaneme tak
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )
t2n n
j j j j j j j j j
j 1 j 1 t1
, , , , dS S q t q t S q t L q t q t q t q t t L q t q t t tδ δ δ δ
= =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − = + + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑∫ .
Důležité je, že symbolem ( )j
q t (resp. ( )j
q tδ ) rozumíme časovou derivaci zobecněné souřadnice (resp. variace
funkce), tj. ( )
( )j
j d
d
q t
q t
t
= (resp. ( )
( )( )j
j
d
d
q t
q t
t
δ
δ = ).
Nyní provedeme Taylorův rozvoj lagrangiánu, který je závislý na variaci funkce ( )q tδ . Z důvodu vyšší
přehlednosti již nebudeme vypisovat argumenty lagrangiánu L. Získáme tedy
( ) ( ) ( )( )
t2n
2j j j
j j
j 1 t1
d
L L
S L q t q t O q t L t
q q
δ δ δ δ
=
⎛ ⎞∂ ∂ ⎛ ⎞= + + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∂ ∂⎝ ⎠
∑∫ , kde ( )( )
2j
O q tδ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
je chyba, která vzniká při
zanedbání členů obsahujících vyšší mocninu variace funkce ( )q tδ . Vzhledem k tomu, že variace funkce je
definovaná vztahem (134), je chyba vzniká použitím Taylorova rozvoje malá. Dostáváme tedy
( ) ( )
t2n
j j
j j
j 1 t1
d
L L
S q t q t t
q q
δ δ δ
=
⎛ ⎞∂ ∂
= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∑∫ .
(135)
Vzhledem k tomu, že jsme provedli pouze izochronní variace, není v právě provedeném Taylorově
rozvoji výraz
L
t
t
δ
∂
∂
, neboť 0tδ = .
Je dobré si uvědomit, že derivace podle času popisují změny v čase (tj. podél osy t na obr. 51), zatímco
variace ( )q tδ popisují změny funkce ( )q t (tj. změny podél osy q).
Z izochronní variace funkce ( )q t také vyplývá platnost identity
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
53
( )
j
j jd d
d d
q
q t q
t t
δ δ δ= = .
(136)
Vztah (136) říká, že časové a prostorové variace jsou při izochronní variaci na sobě nezávislé (změny
provedené v času a změny provedené v prostorové souřadnici jsou tedy libovolné).
Dosadíme-li identitu (136) do vztahu (135) dostaneme výraz
( ) ( )
t2n
j j
j j
j 1 t1
d
d
d
L L
S q t q t
tq q
δ δ δ
=
⎛ ⎞∂ ∂
= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∑∫ ,
(137)
ve kterém je člen ( )j
j
d
d
L
q
tq
δ
∂
∂
. Ten můžeme upravit, pokud rozepíšeme časovou derivaci součinu j
j
L
q
q
δ
∂
∂
.
Platí ( )j j j
j j j
d d d
d d d
L L L
q q q
t t tq q q
δ δ δ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂
= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, odkud
( )j j j
j j j
d d d
d d d
L L L
q q q
t t tq q q
δ δ δ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂
= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
(138)
Nyní dosadíme vyjádření (138) do vztahu (137) a integrál součtu dále rozepíšeme na součet dvou
integrálů. Dostaneme tak
( ) ( )
tt 22n n
j j
j j j
j 1 j 1t t1 1
d
d
d
L L L
S q t q t t
tq q q
δ δ δ
= =
⎡ ⎤ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂
= + −⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎝ ⎠
∑ ∑∫ .
(139)
První člen výrazu (139) lze psát ve tvaru ( )
( )
( )
( )
( )
t2n
j j j
2 1j j j
2 1j 1 t1
t t
t t
L L L
q t q q
q q q
δ δ δ
=
⎡ ⎤∂ ∂ ∂
= −⎢ ⎥
∂ ∂ ∂⎣ ⎦
∑ .
Vzhledem k platnosti podmínky (132) je tento člen nulový. Proto můžeme výraz (139) přepsat ve tvaru
( )
t2 n
j
j j
j 1t1
d
d
d
L L
S q t t
tq q
δ δ
=
⎛ ⎞∂ ∂
= −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∑∫
(140)
Výraz (140) má být nulový, protože požadujeme splnění podmínky (130). Ta má ale platit pro všechny
variace funkce ( )j
q tδ (pro 1, 2, ...,j n= ), což znamená, že musí platit
n
j j
j 1
d
0
d
L L
tq q=
⎛ ⎞∂ ∂
− =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
∑ ,
(141)
což je zápis Lagrangeových rovnic druhého druhu.
Dokázali jsme tedy, že z podmínky (130) vyplývají Lagrangeovy rovnice druhého druhu (viz vztah
(141)). Můžeme tedy říci, že platnost rovnic (141) je nutnou podmínkou pro to, aby platil vztah (130). Vzhledem
k tomu, že Lagrangeovy rovnice druhého druhu jsou ekvivalentním popisem mechaniky jako Newtonovy
rovnice (Newtonovy rovnice jsou speciálním případem Lagrangeových rovnic), lze i Newtonovy rovnice
odvodit z Hamiltonova formalismu a z podmínky (130).
Hamiltonův formalismus vzbudil v době jeho zavedení i později řadu i teologických sporů. Zdálo se
zvláštní, že někdo zná počáteční bod pohybu i koncový bod pohybu a na základě toho vybírá trajektorii, po níž
se hmotný bod pohybuje. Ve skutečnosti se jedná ovšem jen o další efektivní popis reality (mechaniky, elektřiny
a magnetismu, částí obecné teorie relativity, …).
Skutečnost, že je dán počáteční a koncový bod pohybu, vyplývá z podmínky (132) na variaci funkce
( )q tδ .
Právě popsaný princip lze zobecnit i např. na pohyb tekutiny, na děje v elektromagnetickém poli a do
dalších oborů fyziky. Obecně lze tento princip zobecnit i na nekonečný počet stupňů volnosti - tj. na spojité
kontinuum. Hamiltonův princip lze tedy zobecnit i pro teorie pole.
Základní idea zobecnění variačního principu na nekonečně mnoho stupňů volnosti spočívá v přechodu od
diskrétního rozložení zobecněných souřadnic ( )j
q t , kde j ∈ , ke spojitému rozložení ( )x
q t , kde x∈ .
Zobecněné souřadnice ve spojitém prostředí zapisujeme většinou ve tvaru ( ),q t x , který lze chápat jako spojitou
limitu ( )j
q t , a který lze považovat za zápis funkce dvou proměnných t a x. Analogicky můžeme pokračovat se
souřadnicemi y a z a získat tak popis fyzikálního pole pomocí veličiny ( ), , ,t x y zΦ . V závislosti na tvaru
zápisu této fyzikální veličiny lze odlišit různé typy polí:
1. ( ) ( )μ
, , ,t x y z xΦ = Φ - popisuje skalární pole;
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
54
2. ( ) ( )μ
ν, , ,t x y z A xΦ = - popisuje vektorové pole v rámci elektromagnetického pole;
3. ( ) ( )μ
αβ, , ,t x y z g xΦ = - popisuje tenzorové pole v rámci obecné teorie relativity.
Pro každý z těchto případů platí podmínka (130).
V roce 1890 našel německý matematik a fyzik Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (1821 - 1894)
akci S, pro kterou z podmínky (130), vycházejí Maxwellovy rovnice popisující elektromagnetické pole.
Existují i speciální akce, na základě kterých dostaneme popis geodetik v rámci obecné teorie relativity.
4.4 Eulerovy - Lagrangeovy rovnice
Eulerovy - Lagrangeovy rovnice jsou rovnice, které umožňují nalézt extrém funkcionálu a které se
používají obecně při optimalizaci. Ve fyzice jsou vhodné pro odvození pohybových rovnic pohybujících se
hmotných bodů či těles. Jejich odvození je analogické jako odvození Lagrangeových rovnic: tj. vychází se
z platnosti nulové variace akce (vztah (130)), jak je ukázáno v odstavci 4.3. Rozdíl spočívá v tom, že se nehledá
rovnice, které řeší Lagrangeova funkce ( ) ( )( )j j
, ,L q t q t t , ale rovnice, které řeší obecná funkce
( ) ( )( )j j
, ,F y x y x x′ pro 1, 2, ...,j n= , kde ( )
( )j
j d
d
y x
y x
x
′ = .
Řešením jsou pak rovnice ve tvaru
n
j j
j 1
d
0
d
F F
xy y=
⎛ ⎞∂ ∂
− =⎜ ⎟⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠
∑ .
(142)
Tyto rovnice mají formálně stejný tvar jako Lagrangeovy rovnice (47).
Rovnice (142) lze upravit do dalšího tvaru, který je pro řešení úloh občas výhodnější. Začneme tím, že
tyto rovnice vynásobíme výrazem
j
j d
d
y
y
x
′ = . Dále si uvědomíme, že
j
j j
j j j
d d d
d d d
F y F F
y y
x x xy y y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞′∂ ∂ ∂
′ ′= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′ ′∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
(143)
Nyní postupně vynásobíme rovnice (142) výrazem
j
j d
d
y
y
x
′ = a upravíme s využitím identity (143).
Postupně dostaneme
n n j
j j j j
j j j j j
j 1 j 1
d d d
0
d d d
F F F F y F
y y y y
x x xy y y y y= =
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂
′ ′ ′ ′= − = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ ∑ . Uvědomíme-li si,
že platí
j
j
j j
d d
d d
F F F F y
y
x x xy y
′∂ ∂ ∂
′= + +
∂ ′∂ ∂
,
(144)
můžeme pokračovat v úpravách
n
j
j
j 1
d d
0
d d
F F F
y
x x x y=
⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂
′= − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ′∂⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ . Poslední úprava, kterou provedeme,
vyplývá z vlastnosti derivace součtu. Získáme tak rovnice
n
j
j
j 1
d
0
d
F F
F y
x xy=
⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂
′− − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂′∂⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ ,
(145)
což je další z podob Eulerových - Lagrangeových rovnic.
Rovnice (145) lze dále přepsat do jednoduššího tvaru, pokud budeme vyšetřovat pohyb jednoho
hmotného bodu s jedním stupněm volnosti a pokud navíc funkce F nebude explicitně záviset na souřadnici x.
V tom případě totiž 0
F
x
∂
=
∂
a rovnice (145) přejdou do tvaru
d
0
d
F
F y
x y
⎛ ⎞∂
′− =⎜ ⎟′∂⎝ ⎠
, odkud plyne
.
F
F y konst
y
∂
′− =
′∂
(146)
V této podobě je rovnice občas užitečná pro řešení úloh.
4.5 Úloha o brachistochroně
Úloha o brachistochroně sehrála v historii fyziky důležitou úlohu. Nejen, že stála u zrodu diferenciálního
počtu a integrálního počtu, ale stala se také motivační úlohou pro formulaci Hamiltonova formalismu (viz
odstavce 4.1 a 4.3).
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
55
Zadání této úlohy je následující: Dva body A a B, které se nacházejí v různých polohách v gravitačním
poli, ovšem ne na stejné svislé přímce (viz obr. 52), se mají spojit takovou křivkou, aby pohyb hmotného bodu
z bodu A do B trval minimální čas.
Při řešení je nutné si uvědomit, že přírůstek času, přispívající k celkovému času t, po který se hmotný bod
po hledané křivce pohybuje, je
d
d
l
t
v
= , kde dl je přírůstek dráhy, kterou hmotný bod urazí. Pro celkový čas t
tedy platí
2
1
d
x
x
l
t
v
= ∫ . Přírůstek dráhy dl je možné vyjádřit na základě obr. 52 ve tvaru
( ) ( )
2
2 2 2d
d d d 1 d 1 d
d
y
l x y x y x
x
⎛ ⎞
′= + = + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
(na obr. 52 jsou vzdálenosti kvůli názornosti přehnaně velké).
Pro velikost rychlosti v závislosti na souřadnici y ze zákona zachování mechanické energie vyplývá vztah
( ) 2v y gy= . Pro čas t tedy dostáváme
2 2
1
1 1
d
2
x
x
y
t x
yg
′+
= ∫ .
(147)
A tento čas má být podle zadání úlohy minimální. To ovšem znamená najít extrém funkce t (definované
vztahem (147)) v závislosti na průběhu funkce ( )y x .
obr. 52
Řešení úlohy lze nalézt pomocí Eulerových - Lagrangeových rovnic, které jsou popsány v odstavci 4.4;
pro účely této úlohy bude vhodný konkrétně tvar (146). Pro funkci F přitom platí: ( )
2
1
,
y
F y y
y
′+
′ = . Podle
rovnice (146) tedy můžeme psát
2
2
1 1
1
y y
y K
y y y
′ ′+
′− =
′+
a tuto rovnici dále postupně upravovat.
Levou stranu rovnice rozšíříme a získáme rovnici
( )
( ) ( )
22 2
2 2
1
1 1
y y
K
y y y y
′+ ′
− =
′+ ′+
, v níž částečně
odmocníme levou stranu. V získaném tvaru rovnice
( ) ( )
2 2
2 2
1
1 1
y y
K
y y y y
′ ′+
− =
′ ′+ +
převedeme levou stranu
rovnice na společného jmenovatele
( )2
1
1
K
y y
=
′+
a zapíšeme v přehlednějším tvaru ( )2
11y y C′+ = , kde
1 2
1
.C konst
K
= =
Důležité je si uvědomit, že hledáme vyjádření funkce y - tj. křivku, po níž se hmotný bod pohybuje.
Nyní zavedeme substituci ve tvaru
cotg
2
y
ϕ
′ =
(148)
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
56
a můžeme pokračovat v dalších úpravách.
Do posledního tvaru rovnice dosadíme substituční vztah (148) a získáme 2
11 cotg
2
y C
ϕ⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Nyní
rozepíšeme funkci kotangens podle její definice:
2
1
2
cos
21
sin
2
y C
ϕ
ϕ
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+ =⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Dále převedeme na společného
jmenovatele a s využitím známé goniometrické identity získáme rovnici 1
2
1
sin
2
y C
ϕ
= , kterou můžeme psát ve
tvaru 2
1 sin
2
y C
ϕ
= .
Použitím goniometrického vzorce získáme rovnici
1
1 cos
2
y C
ϕ−
= .
(149)
Nyní si připravíme několik dílčích výpočtů, které nám umožní najít řešení snadněji. Jednak na základě
substituce (148) můžeme psát
1
d d
cotg
2
x y
ϕ
=
(150)
a dále diferencováním rovnice (149) dostaneme
1
sin
d d
2
y C
ϕ
ϕ= .
(151)
Dosazením vyjádření (151) do vztahu (150) postupně získáme
2
1 1 1
sin 2sin .cos
1 sin 2 2 2d . d d sin d
2 2 2cotg cos
2 2
x C C C
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
= = = , takže dostáváme vztah
1
1 cos
d d
2
x C
ϕ
ϕ
−
= , jehož řešení můžeme psát ve tvaru ( )1
1 cos d
2
C
x ϕ ϕ= −∫ . Řešení tedy můžeme psát ve
tvaru
( ) 0sinx C xϕ ϕ= − + , (152)
kde 1
2
1
.
2 2
C
C konst
K
= = =
Ze vztahu (151) můžeme vyjádřit sin dy C ϕ ϕ= ∫ a dostaneme
0cosy C yϕ= − + . (153)
Konstanty 0x a 0y vystupující ve vztazích (152) a (153) určíme na základě počátečních podmínek úlohy.
Má-li bod A, který leží na cykloidě řešící zadanou úlohu, souřadnice [ ]A A;x y (viz obr. 53), můžeme vztahy
(152) a (153) psát ve tvaru ( )A 00 sin 0x C x= − + a zároveň A 0cos0y C y= − + . Dosadili jsme také 0ϕ = ,
protože cykloida v bodě A začíná. Po úpravě dostáváme 0 Ax x= a 0 Ay C y= + . Vztahy (152) a (153) můžeme
tedy psát ve tvaru
( ) Asinx C xϕ ϕ= − + a ( ) A1 cosy C yϕ= − + , (154)
což jsou parametrické rovnice cykloidy. Trajektorie, po níž se musí pohybovat hmotný bod mezi dvěma
zadanými body, aby se pohyboval nejkratší čas, leží tedy na cykloidě.
Pro vykreslení cykloidy mezi uvažovanými dvěma body A a B je nutné znát hodnotu konstanty C a
maximální hodnotu mϕ úhlu ϕ , v závislosti na kterém se cykloida vykresluje. Tyto hodnoty lze získat pomocí
koncového bodu cykloidy B, který má souřadnice [ ]B B;x y . Bodu B přitom odpovídá hodnota úhlu mϕ ϕ= ,
kterou dosadíme do rovnic (154). Vzhledem ke tvaru parametrických rovnic cykloidy (154) je zřejmé, že řešení
nebude možné získat analyticky. Budeme muset použít numerické řešení rovnic. Nicméně před numerickým
řešením se vyplatí provést několik úprav rovnic (154).
Do rovnic (154) tedy dosadíme souřadnice bodu B a vyloučíme z nich parametr C, čímž dostaneme jednu
rovnici ve tvaru ( )( ) ( )( )B A m B A m m1 cos sinx x y yϕ ϕ ϕ− − = − − . Dále rovnici upravíme do tvaru
( ) ( ) ( )B A B A m B A m B A mcos sinx x y y x x y yϕ ϕ ϕ− − − = − − − . (155)
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
57
Podle obr. 53 lze pro úhel 0ϕ psát
( ) ( )
B A
0
2 2
B A B A
sin
x x
x x y y
ϕ
−
=
− + −
a
( ) ( )
B A
0
2 2
B A B A
cos
y y
x x y y
ϕ
−
=
− + −
(156)
a proto vztah (155) přepíšeme v takovém tvaru, do kterého později snadno dosadíme vztahy (156):
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2 B A m B A m
B A B A m B A B A
2 2 2 2
B A B A B A B A
cos sinx x y y
x x y y x x y y
x x y y x x y y
ϕ ϕ
ϕ
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟− − − = − + − −
⎜ ⎟⎜ ⎟− + − − + −⎝ ⎠
.
obr. 53
Po dosazení ze vztahů (156) dostaneme rovnici
( )
( ) ( )
B A B A m
0 m 0 m
2 2
B A B A
sin cos cos sin
x x y y
x x y y
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
− − −
= −
− + −
, kterou můžeme s využitím goniometrických vztahů
psát ve tvaru
( )
( ) ( )
( )B A B A m
m 0
2 2
B A B A
sin
x x y y
x x y y
ϕ
ϕ ϕ
− − −
= −
− + −
.
(157)
Získali jsme tedy rovnici, na základě níž je možné numericky určit hodnotu úhlu mϕ . Poté je možné určit
hodnotu parametru C pomocí jednoho ze vztahů
B A B A
sin 1 cos
x x y y
C
ϕ ϕ ϕ
− −
= =
− −
.
(158)
Tím je cykloida, která hraje ve fyzice velmi důležitou úlohu, jednoznačně popsána.
S cykloidou se fyzikové setkávají často: popisuje rozpínání vesmíru, nizozemský matematik, fyzik a
astronom Christian Huygens sestrojil cykloidální kyvadlo, jehož frekvence nezávisí na počáteční výchylce, …
4.6 Invariance Lagrangeovy funkce a zákony zachování
4.6.1 Obecné pojmy
Geometrická symetrie Lagrangeovy funkce souvisí se zákony zachování ve fyzice. Poprvé si tuto
skutečnost uvědomila německá matematička Amalie Emmy Neetherová (1882 - 1935). V roce 1918 formuluje
princip, který ve svých důsledcích změnil fyziku 20. století. Tento princip se stal východiskem např. pro
kvantovou fyziku právě proto, že dával do souvislosti geometrické symetrie a zákony zachování.
MÁ -L I S Y S T É M A T E D Y I J E HO P ŘÍ S L U Š N Á LAGRANGEOVA FUNKCE L NĚ J A KOU
S Y M E T R I I , P A K E XI S T U J E J Í OD P OV Í D A J Í C Í F Y ZI KÁ L N Í V E L IČI N A , K T E R Á S E
ZACHOVÁVÁ.
Zachovávající se veličinou je integrál pohybu (viz odstavec 3.7).
Tuto obecnou formulaci lze přepsat v konkrétnějším tvaru.
POKUD
d dS L t= (159)
N E M Ě N Í S V ŮJ T V A R PŘI I N F I N I T E ZI M Á L N Í C H T R A N S F O R M A C Í C H Č A S U A ZOB E C N Ě NÝCH
SOU ŘADNIC POPSANÝCH VZTAHY
t t ε′ = + Θ a j j j
q q Qε′ = + (160)
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
58
PRO 1, 2, ...,j n= , KDE ε J E M A L Ý R E Á L N Ý P A R A M E T R ( 0ε → ) A Θ A
j
Q L I B OV OL N É
HLADKÉ FUNKCE PŮ VODNÍCH SOU ŘA D N I C (T J . ( )j
,t qΘ A ( )j j
,Q t q ), PAK SE ZACHOVÁVÁ
V E L I ČI N A
( )
n
j j
j
j 1
L
Z q Q L
q=
∂
= Θ − − Θ
∂
∑
(161)
A Z J E I N T E GR Á L P OHY B U , T E D Y
d
0
d
Z
t
= .
Funkce Θ a j
Q jsou generátory symetrie a obecně to jsou prvky Lieovy grupy.
Důkaz lze provést na základě geometrického rozboru dané problematiky s využitím variet, Lagrangeova
pole, … Ten ovšem provádět nebudeme.
Existují tři hlavní globální symetrie, které určují vlastnosti prostoru a času:
1. translace prostoru - vyplývá z homogenity prostoru;
Popis systému se nezmění, jestliže se posuneme posuvným pohybem do jiného místa prostoru.
2. rotace prostoru - vyplývá z izotropie prostoru;
Popis systému se nezmění, jestliže se nakloníme, uděláme stojku, … a budeme popisovat systém
z pohledu takto otočené soustavy.
3. translace času.
Popis systému se tedy nezmění, jestliže hodiny, pomocí nichž měříme čas při určitém ději, zapneme o
chvíli později.
Na základě těchto symetriích, které aplikujeme na prostor a čas v Newtonovské fyzice, lze získat tři
zákony zachování (viz odstavce 4.6.2 až 4.6.4), které lze využít při řešení úloh. Newtonovský prostor má tedy
pro řešení úloh velmi pěkné vlastnosti.
4.6.2 Homogenita prostoru
Z homogenity prostoru vyplývá invariance popisu systému vůči translaci v prostoru. To znamená, že
Lagrangeova funkce L se nezmění, posuneme-li se v prostoru ve směru i-té zobecněné souřadnice.
Transformační vztahy (160) tak přejdou na vztahy
t t′ = a i i
x x ε′ = + , (162)
odkud vyplývá, že 0Θ = , i
1Q = a j
0Q = pro 1, 2, ..., 1, 1, ...,j i i n= − + . Po dosazení do definičního vztahu
zachovávající se veličiny (161) tedy máme
i
L
Z
x
∂
= −
∂
,
(163)
což je vyjádření zákona zachování hybnosti. Zákon zachování hybnosti je tedy důsledkem homogenity
prostoru (Newtonovského prostoru).
Ve vztahu (161) zůstal tedy jediný člen odpovídající nenulovému i
Q .
Příklad: Volná částice
Pro volnou částici, jejíž lagrangián je ( ) ( ) ( )
2 2 21 2 31
2
L m x x x⎛ ⎞= + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
, je i
i
L
Z mx
x
∂
= − = −
∂
pro 1, 2, 3i = .
4.6.3 Izotropie prostoru
Izotropie prostoru je svázána s invariancí popisu daného systému vůči rotaci v prostoru.
Uděláme stojku, nakloníme se, otočíme se, … a budeme pořád dostávat stejný popis systému, jako když
jsme systém popisovali před změnami naší polohy.
To tedy znamená, že lagrangián se nemění při posunutí v libovolném úhlovém směru ϕ . Vztahy (160)
tedy přejdou na tvar
t t′ = a ϕ ϕ ε′ = + , (164)
což znamená, že 0Θ = , φ
1Q = a ostatní j
Q jsou nulová. Po dosazení do (161) tedy dostaneme
L
Z
ϕ
∂
= −
∂
.
(165)
Vztah (165) je vyjádřením zákona zachování momentu hybnosti, který je důsledkem izotropie
prostoru.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
59
Příklad: Centrální pole
Lagrangeova funkce hmotného bodu, který se pohybuje v centrálním poli, je ( ) ( )2 2 21
2
L m r r V rϕ= + − .
Lagrangián přitom není závislý na úhlu otočení ϕ - to znamená, že při změně ϕ se lagrangián nezmění.
Jestliže lagrangián nezávisí na nějaké zobecněné souřadnici (zde ϕ ), pak se tato zobecněná souřadnice
nazývá cyklická souřadnice (viz odstavec 3.7). Skutečnost, že ϕ je cyklická souřadnice, vyplývá tedy
z izotropie prostoru.
Jinými slovy: ϕ je dobře zvolená zobecněná souřadnice.
4.6.4 Homogenita času
Homogenita času souvisí s invariancí popisu systému vůči translaci času.
To znamená, že popis systému bude stejný nezávisle na tom, v jaké fázi pohybu zmáčkneme stopky a
začneme měřit časové závislosti.
V Newtonovském prostoru čas není možné rotovat, takže nemůžeme mluvit o izotropii času. Tyto
operace lze ale provádět např. v rámci teorie relativity. Pro jisté typy úloh je vhodné zavést dva na sobě
nezávislé časy, o jejichž izotropii je pak možné mluvit.
Transformační vztahy (160) přejdou tedy na vztahy
t t ε′ = + a j j
q q′ = , (166)
tedy 1Θ = a j
0Q = (pro 1, 2, ...,j n= ). Po dosazení do (161) dostaneme
n
j
j
j 1
L
Z q L
q=
∂
= −
∂
∑ ,
(167)
což je zobecněná energie (viz odstavec 3.7). Z homogenity času (tj. z invariance popisu systému vůči translaci
času) tedy vyplývá zákon zachování zobecněné energie.
Vzhledem k tomu, že pro holonomní vazby a skleronomní vazby při pohybu tělesa v poli konzervativních
sil přechází zobecněná energie na celkovou mechanickou energii (viz tvrzení v odstavci 3.7), přechází za těchto
podmínek také zákon zachování zobecněné energie na zákon zachování mechanické energie.
4.6.5 Lokální symetrie
Kromě globálních symetrií (viz odstavec 4.6.1) existují i lokální symetrie, které se uplatňují zejména
v teoriích pole. Existují veličiny, na kterých je závislá Lagrangeova funkce L, a přitom při změně této veličiny se
Lagrangeova funkce nezmění. Taková veličina se pak (v dané teorii poli) zachovává.
Např. v teorii elektrického pole je touto veličinou náboj - platí tedy zákon zachování elektrického náboje.
4.7 Kalibrační transformace a kalibrační symetrie
Kalibrační transformace a kalibrační symetrie jsou důležité nejen pro řešení úloh, ale také pro budování
fyzikálního aparátu jako takového. Dříve, než ukážeme konkrétní použití, vyslovíme a dokážeme tvrzení.
PO H Y B O V É R O V N I C E P O P I S U J Í C Í D A N Ý S Y S T É M S E N E ZM Ě NÍ , PŘI P OČT E M E -L I
K LAGRANGEOVĚ FUNKCI L ÚPLNOU Č A S O V O U D E R I V A C I L I B O V O L N É F U N K C E ( )f q
(KDE q J E ZOB E C N Ě NÁ SOU ŘA D N I C E ).
Při důkazu vyjdeme z uvedeného tvrzení. Kromě lagrangiánu L budeme předpokládat, že existuje
lagrangián 1L definovaný (podle tvrzení) vztahem
( )( )
1
d
d
f q t
L L
t
= + .
(168)
Pro akci 1S odpovídající lagrangiánu 1L můžeme podle vztahu (131) psát
( )( ) ( )( )
( )( )
t t t t2 2 2 2
t2
1 1 t1
t t t t1 1 1 1
d d
d d d d
d d
f q t f q t
S L t L t L t t S f q t
t t
⎛ ⎞
⎡ ⎤= = + = + = +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ ∫ ∫ . Dostáváme tedy
( )( ) ( )( )1 2 1t tS S f q f q= + − . (169)
Pohybové rovnice (resp. popis systému) získáme pomocí vztahu (130). Dosadíme-li tedy do vztahu (130)
odvozenou akci popsanou vztahem (169), dostaneme
( )
( )
( )
( )1 2 10 t t
f q f q
S S q q
q q
δ δ δ δ
∂ ∂
= = + −
∂ ∂
.
(170)
Vzhledem k platnosti podmínky (132) ze vztahu (170) plyne
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
60
10 S Sδ δ= = . (171)
Tím je důkaz ukončen: pro oba uvažované lagrangiány (tj. pro lagrangián L i lagrangián ve tvaru (168))
je variace akce nulová (viz výsledek (171)). Oba lagrangiány dávají tedy stejný popis daného systému.
Právě dokázané tvrzení se využívá u kanonických transformací systému v Hamiltonově formalismu (viz
odstavec 4.11).
Příklad: Nabitá částice v elektromagnetickém poli
Lagrangián nabité částice s nábojem e a s hmotností m, která se pohybuje v elektromagnetickém poli popsaném
veličinami E a B , je: 21
.
2
L mv e ev Aϕ= − + , neboť potenciální energie V je dána vztahem (70).
Lagrangián 1L , který je dán vztahem (168), dává podle dokázaného tvrzení stejné řešení. Takže můžeme psát:
2
1
1 d
.
2 d
f
L mv e ev A
t
ϕ= − + + . Funkce f obecně závisí na prostorových souřadnicích a na čase (tj. ( )i
,f x t ), takže
s postupně prováděnými úpravami lze lagrangián 1L psát ve tvaru
3
2 i 2
1 i
i 1
1 1 1
. . .grad
2 2
f f f
L mv e ev A x mv e ev A v f
t e tx
ϕ ϕ
=
∂ ∂ ∂⎛ ⎞
= − + + + = − − + + =⎜ ⎟
∂ ∂∂ ⎝ ⎠
∑
2 21 1 1 1
. grad .
2 2
f
mv e ev A f mv e ev A
e t e
ϕ ϕ
∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞
′ ′= − − + + = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
Získali jsme tak tvar lagrangiánu, který dává stejné výsledky jako původní lagrangián, jestliže platí
1 f
e t
ϕ ϕ
∂
′ = −
∂
a
1
gradA A f
e
′ = + .
Změnili jsme tedy dvě polní veličiny a lagrangián je vzhledem k této změně invariantní. Jedná se tedy o
zvláštní případ lokální symetrie (viz odstavec 4.6.5). V tomto případě mluvíme o tzv. kalibrační transformaci,
vůči níž je lagrangián invariantní.
Maxwellovy rovnice zůstávají v platnosti a mají stejný tvar jako pro lagrangián L. Veličiny, které
můžeme měřit (tj. veličiny E a B ) jsou také stejné (jak vyplývá z Mawellových rovnic).
Např. pro B , A a A′ platí:
1 1
rot rot grad rot rot grad rotA A f A f A B
e e
⎛ ⎞′ = + = + = =⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Podobným postupem fyzika vytváří nové teorie. Dbá se nejen na to, aby daná teorie odpovídala
experimentálním měřením, ale také na to, aby splňovala kalibrační transformace. Tím se zjednoduší popis
daného systému v různých soustavách a teorie bude pro řešení úloh jednodušší.
4.8 Hamiltonovy rovnice
Hamiltonovy rovnice (viz odstavec 4.8.4) jsou dalším zobecněním Lagrangeových rovnic 2. druhu (viz
odstavec 3.3). Hamiltonovy rovnice ovšem mají oproti Lagrangeovým rovnicím výhodu. Zatímco Lagrangeovy
rovnice jsou soustavou n obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu pro n neznámých (neznámými jsou
časové průběhy zobecněných souřadnic ( )j
q t pro 1, 2, ...,j n= , kde n je počet stupňů volnosti dané soustavy),
jsou Hamiltonovy rovnice soustavou 2n obyčejných diferenciálních rovnic pouze prvního řádu pro 2n
neznámých. Neznámými v Hamiltonových rovnicích jsou zobecněné souřadnice ( )j
q t a kanonické hybnosti
( )jp t (viz odstavec 4.8.1) pro 1, 2, ...,j n= .
Hamiltonových rovnic je sice více než Lagrangeových, ale jsou to rovnice prvního řádu, což je větší
úspora práce při jejich řešení, než fakt, že neznámých je dvojnásobné množství.
Skutečnost, že indexy zobecněných souřadnic jsou horní indexy a indexy kanonických hybností jsou
dolní indexy, vyplývá z toho, že zobecněné souřadnice ( )j
q t jsou složky vektorů, zatímco kanonické hybnosti
( )jp t jsou složky forem. Při běžném počítání se tento rozdíl neprojeví, ale pro geometrickou interpretaci je to
rozdíl podstatný.
Před vlastním odvozením Hamiltonových rovnice je nutné se seznámit s několika základními pojmy:
1. kanonická hybnost - viz odstavec 4.8.1;
2. fázový prostor - viz odstavec 4.8.2;
3. Hamiltonova funkce (hamiltonián) - viz odstavec 4.8.3.
4.8.1 Kanonická hybnost
KA N O N I C K Á H Y B N O S T J E D E F I N O V Á N A V ZT A H E M
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
61
j j
L
p
q
∂
=
∂
(172)
PRO 1, 2, ...,j n= .
To tedy znamená, že každé zobecněné souřadnici ( )j
q t lze přiřadit kanonickou hybnost ( )jp t , kterou
získáme derivací lagrangiánu podle příslušné zobecněné rychlosti.
Pozor! Kanonická hybnost je veličinou, která doplňuje popis systému získaný pomocí zobecněných
souřadnic, ale sama kanonická hybnost se definuje jako derivace lagrangiánu pomocí zobecněné rychlosti!
Zobecněná souřadnice a kanonická hybnost tak tvoří tzv. kanonicky sdružené veličiny (kanonicky
sdružené páry). Pomocí těchto veličin lze plně popsat stav fyzikálního systému.
Příklad: Volná částice
Určete kanonickou hybnost volné částice.
Řešení: Lagrangián volné částice lze psát ve tvaru 21
2
L mx= . Na základě vztahu (172) lze pak kanonickou
hybnost psát ve tvaru
L
p mx
x
∂
= =
∂
.
Pro volnou částici je tedy kanonická hybnost rovna hybnosti, ale není to tak obecně. Kanonická hybnost
může mít význam momentu hybnosti, modifikované hybnosti, …
Prostor, ve kterém jsou definovány zobecněné souřadnice a kanonické hybnosti, se nazývá fázový prostor
(viz odstavec 4.8.2).
4.8.2 Fázový prostor
FÁ ZO V Ý P R O S T O R J E P R O S T O R P O P S A N Ý S Y S T É M E M N E ZÁ V I S L Ý C H ZOB E C N Ě NÝCH
SOU ŘA D N I C ( )j
q t A KANONICKÝCH HYBNOSTÍ ( )jp t PRO 1, 2, ...,j n= , KDE n J E POČE T
S T U PŇŮ VOLNOSTI DANÉHO FYZI KÁLNÍHO SYSTÉMU . DI M E NZE FÁZOVÉ HO PROST ORU J E
ROVNA 2n .
Z hlediska geometrie se jedná o tzv. kotečný bandl konfigurační variety *
T Q , pro který jsou zobecněné
souřadnice a kanonické hybnosti parametry.
Fázový prostor je prostor fyzikálních stavů daného systému. To znamená, že každý bod fázového
prostoru jednoznačně určuje stav uvažovaného systému. Každým bodem fázového prostoru tedy prochází jedna
trajektorie popisující časový vývoj daného systému, který se nachází v daném bodě fázového prostoru. Všechny
body fázového prostoru tedy určují všechny možné stavy, do kterých se systém může dostat. Je to tedy jakási
vizualizace vývoje systému.
Každý bod fázového prostoru je popsán zobecněnou souřadnicí ( )j
q t a kanonickou hybností ( )jp t . To
znamená, že máme informace o poloze i rychlosti (ta je „ukrytá“ v hybnosti) daného systému.
Fázový prostor je tedy pro popis systému dostačující, na rozdíl od konfiguračního prostoru (viz odstavec
3.2.4), který obsahoval informace pouze o souřadnicích (zobecněné souřadnice), ale neobsahoval informace o
rychlostech. V konfiguračním prostoru tedy nebylo možné vysvětlit tzv. Zenonovy paradoxy (viz odstavec
3.2.5).
Např. stojící šíp a šíp, který právě prolétá kolem stojícího šípu, jsou v konfiguračním prostoru popsány
naprosto stejně. K jejich odlišení je nutné mít informace o rychlosti, kterou v konfiguračním prostoru nemáme.
A proto tedy dostáváme pro oba šípy v konfiguračním prostoru stejný popis.
Příklad: Harmonický oscilátor
Určete vývoj harmonického oscilátoru ve fázovém prostoru.
Řešení: K popsání vývoje systému ve fázovém prostoru potřebujeme znát zobecněné souřadnice a kanonickou
hybnost. Musíme tedy nejdříve napsat lagrangián uvažovaného systému: 2 21 1
2 2
L mx kx= − . Zobecněná
souřadnice je dána takto: ( )0sinq x A tω ϕ= = + . Zobecněnou hybnost určíme na základě lagrangiánu:
L
p mx
x
∂
= =
∂
. Po dosazení dostaneme ( )0cosp Am tω ω ϕ= + . Ve fázovém prostoru tedy získáme vývoj daného
systému, který bude reprezentován elipsou (viz obr. 54).
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
62
Skutečnost, že se jedná o elipsu lze dokázat tak, že z rovnic pro x a pro p vyjádříme goniometrické funkce a
jejich druhé mocniny sečteme. Dostaneme tedy:
2 2
1
x p
A Amω
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
. Délky poloos dané elipsy tedy jsou A a
Amω a jsou dány energií, kterou uvažovaný oscilátor má.
Bod [ ]0; 0 z obr. 54 odpovídá harmonickému oscilátoru, který je v klidu.
Budeme-li sledovat jen vývoj na ose q (tj. budeme-li se dívat na obr. 54 „zespodu“), získáme představu o
změně souřadnice oscilátoru. Při sledování změn pouze na ose p získáme informaci o změně velikosti hybnosti
resp. rychlosti oscilátoru. Tím, že sledujeme celý fázový prostor, máme informace jak o časovém vývoji
souřadnice, tak i o časovém vývoji velikosti hybnosti resp. velikosti rychlosti.
Pro tlumený oscilátor pak dostáváme jeho vývoj v čase podle obr. 55. Oscilátor začíná kmitat v nulovém
čase, ve kterém má nulovou výchylku (bod A) a největší velikost kanonické hybnosti, která je v tomto případě
hybností. To znamená, že v bodě A má oscilátor největší velikost rychlosti. Vzhledem k útlumu nedosáhne
během každé periody stejné amplitudy výchylky - ta bude postupně klesat a oscilátor se za určitý čas zastaví (tj.
křivka ve fázovém prostoru skončí v bodě [ ]0; 0 .
obr. 54 obr. 55
Právě popsaný postup, který byl vysvětlen na případu harmonického oscilátoru, se velmi často používá
k vizualizaci vývoje systému. Bohužel velmi často se jedná o funkce více proměnných, které není možné
rozumně zobrazit ani v počítači. Proto se dělají tzv. Poincarého řezy, pomocí nichž sledujeme daný fázový
prostor jen v určité rovině. Na základě těchto řezů lze poznat základní charakteristiky vývoje systému, lze
rozhodnout o chaotickém chování či o deterministickém chování systému, …
4.8.3 Hamiltonova funkce
Hamiltonova funkce slouží k popisu daného systému a vystupuje v Hamiltonových rovnicích (viz
odstavec 4.8.4).
HA M I L T O N O V A F U N K C E (T ZV . H A M I L T O N I Á N ) D A N É H O F Y ZI K Á L N Í H O S Y S T É M U J E
S K A L Á R N Í F U N K C E D E F I N O V A N Á V E F Á ZOV É M P R O S T O R U P ŘE D P I S E M
( ) ( )( )
n
j i
j i
i 1
, ,H q t p t t p q L
=
= −∑ .
(173)
Z hlediska vyšší matematiky se jedná o tzv. Legendrovu duální transformaci.
Hamiltonián je závislý na čase pouze pro reonomní vazby (viz odstavec 2.2).
Na první pohled je definiční vztah hamiltoniánu složitý, ale tento způsob zavedení přinese výhody při
řešení úloh, neboť se zjednoduší zápis Hamiltonových rovnic. Předpis (173) se stává hamiltoniánem až tehdy,
když dosadíme za i
q , neboť na zobecněné rychlosti hamiltonián nezávisí. Vyjádření i
q existuje vždy, i když ne
vždy je jednoduché a analyticky řešitelné, a lze je získat invertováním definičního vztahu kanonické hybnosti
(172). To ovšem znamená, že je nutné dosadit i do lagrangiánu, který v hamiltoniánu vystupuje také.
Hamiltonián závisí na zobecněných souřadnicích, kanonických hybnostech a případně na čase, ale ne
zobecněných rychlostech!!!
Nyní je možné formulovat Hamiltonovy kanonické rovnice.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
63
4.8.4 Formulace a důkaz Hamiltonových kanonických rovnic
HA M I L T O N O V Y K A N O N I C K É R O V N I C E J S O U R O V N I C E V E T V A R U
j
j
d
d
q H
t p
∂
=
∂
a
j
j
d
d
p H
t q
∂
= −
∂
(174)
PRO 1, 2, ...,j n= , KDE n J E POČE T S T U PŇŮ VOLNOSTI DANÉHO SYSTÉMU .
Na základě vhodně zavedeného hamiltoniánu ve tvaru (173) jsou Hamiltonovy kanonické rovnice
jednoduché a symetrické. Tyto rovnice, které Ir sir Rowan Hamilton odvodil v roce 1834, jsou soustavou 2n
obyčejných diferenciálních rovnic s neznámými ( )j
q t a ( )jp t pro 1, 2, ...,j n= . Uvedený tvar rovnic vyplývá
ze symplektické struktury fázového prostoru, která zaručuje jednoznačný popis systému, správná znaménka
v rovnicích, …
Přesto, že se v zápise Hamiltonvých rovnic objevují parciální derivace, jsou to rovnice obyčejné, tj. po
úpravách budou obsahovat jen totální („normální“) derivace. Symbol
j
H
p
∂
∂
resp. j
H
q
∂
∂
dává jen návod na
sestavení pravé strany příslušné Hamiltonovy rovnice.
Nyní rovnice dokážeme; důkaz přitom provedeme dvakrát - jednou podle definice hamiltoniánu a
podruhé pomocí Hamiltonova variačního principu, který je detailně vysvětlen v odstavci 4.3.
Začneme důkazem první Hamiltonovy rovnice, který provedeme na základě definice hamiltoniánu (173).
Pravou stranu první Hamiltonovy rovnice tedy rozepíšeme podle definice hamiltoniánu (173) s vyznačením
proměnných, na nichž závisí zobecněná rychlost a lagrangián:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )
n
i k j i k
i k k
j j i 1
, , , , , ,
H
p q q t p t t L q t q q t p t t t
p p =
⎛ ⎞∂ ∂
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠
∑ . Nyní provedeme naznačenou derivaci
a argumenty funkcí kvůli větší přehlednosti již vypisovat nebudeme:
n i i
ii
i i
j j j ji 1
pH q L q
q p
p p p pq=
⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂
= + −⎜ ⎟
⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂∂⎝ ⎠
∑ .
Derivace lagrangiánu podle jp je rovna součinu derivace lagrangiánu podle i
q a derivace i
q podle jp ,
protože jp je „schovaná“ právě v i
q ( i
q závisí na jp ). Proto lagrangián derivujeme jako složenou funkci.
S využitím definice kanonické hybnosti (172) můžeme pokračovat v úpravách:
n ni i j
ji i ji
i i i
j j j ji 1 i 1
d
d
pH q q q
q p p q q
p p p p t
δ
= =
⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂
= + − = = =⎜ ⎟
⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
∑ ∑ a tím je platnost první Hamiltonovy kanonické
rovnice dokázána.
Analogicky můžeme pokračovat v důkazu druhé Hamiltonovy rovnice:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( )
n
i k j i k
i k kj j
i 1
, , , , , ,
H
p q q t p t t L q t q q t p t t t
q q =
⎛ ⎞∂ ∂
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟∂ ∂ ⎝ ⎠
∑ . Po provedení derivace dostaneme
rovnici, v níž opět už nebudeme vypisovat argumenty funkcí:
n ni i
ij j j i j
i 1 i 1
H q L L q
p
q q q q q= =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∑ ∑ . Opět
s využitím vztahu (172) můžeme postupně psát
n ni i
i ij j j j j
i 1 i 1
H q L q L
p p
q q q q q= =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − − = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∑ ∑ . Vztah
j j
H L
q q
∂ ∂
= −
∂ ∂
(175)
je sice zajímavý, ale zatím to není ten vztah, jehož platnost jsme měli dokázat. Navíc zatím jsme využívali pouze
matematické úpravy výrazů bez fyzikálního náhledu. Ten využijeme nyní: pravou stranu rovnosti (175)
vyjádříme pomocí Lagrangeových rovnic druhého druhu (47). Dostaneme tak
j
j j
dd
d d
pH L
t tq q
⎛ ⎞∂ ∂
= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
(druhá
úprava byla provedena na základě definice kanonické hybnosti (172)). Tím jsme dokázali i druhou Hamiltonovu
kanonickou rovnici.
Ve druhém kroku dokážeme Hamiltonovy kanonické rovnice pomocí Hamiltonova variačního principu.
Důkaz nebudeme provádět v Lagrangeově formalismu, ale v Hamiltonově formalismu. Definiční vztah
hamiltoniánu (173) upravíme na tvar
n
j
j
j 1
L p q H
=
= −∑ .
(176)
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
64
Vyjdeme z podmínky (130). V ní vystupuje akce S, kterou vyjádříme pomocí definice (131)
s přihlédnutím k lagrangiánu ve tvaru (176). Dostaneme tedy
t t2 2 n
j
j
j 1t t1 1
0 d dS L t p q H tδ δ δ
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟= = = −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑∫ ∫ . Výraz
t2 n
j
j
j 1t1
dp q H tδ
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟−
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑∫ přitom můžeme interpretovat tak, že se zajímáme o změnu integrálu při změně funkcí,
které integrujeme. Proto můžeme dále pokračovat v úpravách. Začneme diferencováním a dostaneme
t2 n
j j j
j j jj
jj 1t1
0 d
H H H
S p q p q q p t t
p tq
δ δ δ δ δ δ
=
⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂ ∂
⎜ ⎟= = + − − −⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂∂⎝ ⎠⎝ ⎠
∑∫ .
(177)
Člen
H
t
t
δ
∂
∂
ve výrazu (177) je nulový, protože jsme se omezili na izochronní variace (viz odstavec 4.3).
Dále upravíme výraz
t2 n
j
j
j 1t1
dp q tδ
=
∑∫ , který je též částí výrazu (177). S využitím identity (136) a následným
použitím metody per-partes můžeme psát: ( ) ( )
t t t2 2 2n n n
t2 jj j j j
j j j
t1
j 1 j 1 j 1t t t1 1 1
dd
d d d
d d
p
p q t p q t p q t q t
t t
δ δ δ δ
= = =
⎡ ⎤= = −⎣ ⎦∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫ .
Vzhledem k tomu, že uvažujeme izochronní variace s pevnými konci, platí podmínka (132) a tedy
t t2 2n n
jj j
j
j 1 j 1t t1 1
d
d d
d
p
p q t q t
t
δ δ
= =
= −∑ ∑∫ ∫ . Nyní dosadíme do výrazu (177) a dostaneme
t2 n
jj j j
j jj
jj 1t1
d
0 d
d
p H H
p q q q p t
t pq
δ δ δ δ
=
⎛ ⎞∂ ∂
= − − −⎜ ⎟
⎜ ⎟∂∂⎝ ⎠
∑∫ . Po úpravě tedy máme
t2 n
jj j
j j
jj 1t1
d
0 d
d
pH H
q p q t
p t q
δ δ
=
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂
⎜ ⎟= − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
∑∫ .
(178)
Všechny variace j
qδ a jpδ pro 1, 2, ...,j n= ze vztahu (178) jsou dovolené a navzájem nezávislé. To
ovšem znamená, že vztah (178) je splněn pouze tehdy, když j
j
0
H
q
p
∂
− =
∂
a
j
j
d
0
d
p H
t q
∂
− − =
∂
pro 1, 2, ...,j n= .
To je ovšem vyjádření Hamiltonových kanonických rovnic (174), jejichž platnost jsme chtěli dokázat.
Na základě podmínky (130) jsme tedy odvodili další pohybové rovnice. V odstavci 4.3 jsme odvodili
z podmínky (130) Lagrangeovy rovnice druhého druhu, nyní ze stejné podmínky Hamiltonovy kanonické
rovnice. Podmínka (130) má tedy hlubší význam.
4.9 Ilustrace použití Hamiltonových kanonických rovnic
4.9.1 Harmonický oscilátor
Harmonický oscilátor je velmi důležitý pojem nejen pro teoretickou fyziku a mechaniku, ale i pro další
obory fyziky. Pomocí harmonického kmitání lze totiž modelovat řadu fyzikálních jevů, protože pohyb
harmonického oscilátoru je jednoduchý, je popsán relativně jednoduchými rovnicemi a přitom jej lze použít
k velmi přesnému modelování složitějších fyzikálních jevů a dějů (přenos tepla, vysvětlení měrné tepelné
kapacity látek, odvození vlnové rovnice, kmity atomů resp. částic popisovaných v rámci kvantové fyziky, …).
Chceme-li napsat Hamiltonovy kanonické rovnice (viz odstavec 4.8.4) popisující harmonický oscilátor, je
nutné nejdříve napsat jeho lagrangián. Ten má tvar 2 21 1
2 2
L mx kx= − a z něj vyplývající kanonická hybnost je
dána vztahem
L
p mx
x
∂
= =
∂
. Pro výpočet hamiltoniánu je nezbytné vyjádřit všechny zobecněné rychlosti
pomocí kanonických hybností, proto si připravíme vyjádření
p
x
m
= . Hamiltonián můžeme psát na základě jeho
definice (173) ve tvaru
2 2 2 2
2 2 2 2
2
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
p p p p
H px L mx kx m kx kx
m m mm
= − = − + = − + = + . Výraz
2
2
p
m
má
jednotku
2 2 2 2
2 2kg .m .s
kg.m .s N.m J
2 kg
p
m
−
−⎡ ⎤
= = = =⎢ ⎥
⎣ ⎦
a tedy platí alternativní vyjádření
2
2
p
T
m
= . Hamiltonián je
tedy roven H T V E= + = a vyjadřuje celkovou mechanickou energii systému.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
65
Vztah H E= neplatí obecně, ale pouze tehdy, nezávisí-li hamiltonián explicitně na čase. A tato
podmínka je splněna ve většině vyšetřovaných případů.
Nyní můžeme napsat Hamiltonovy rovnice pro harmonický oscilátor tak, že dosadíme do vztahů (174).
Dostaneme tedy
d
d
x H p
t p m
∂
= =
∂
a
d
d
p H
kx
t x
∂
= − = −
∂
. Máme tedy dvě lineární rovnice
d
d
x p
t m
= a
d
d
p
kx
t
= − .
Zderivujeme-li první z nich podle času, dostaneme:
2
2
d 1 d
dd
x p
m tt
= a dosadíme do ní z druhé Hamiltonovy
rovnice. Získáme tedy rovnici
2
2
d
d
x kx
mt
= − a po úpravě
2
2
d
0
d
x kx
mt
+ = , což je známá rovnice popisující pohyb
harmonického oscilátoru. Její řešení lze psát ve tvaru ( )0sinx A tω ϕ= + , kde A je amplituda výchylky,
k
m
ω = je úhlová frekvence kmitání harmonického oscilátoru a 0ϕ je počáteční fáze kmitání.
4.9.2 Třírozměrný pohyb částice v poli potenciální energie
Pohyb částice v prostoru v poli, v němž je definována potenciální energie, jsme již vyšetřovali (viz např.
odstavec 3.8). Nyní jí vyřešíme znovu a pokusíme se napsat hamiltonián pohybující se částice v různých
souřadných systémech:
1. v kartézských souřadnicích - viz odstavec 4.9.2.1;
2. v cylindrických souřadnicích - viz odstavec 4.9.2.2;
3. ve sférických souřadnicích - viz odstavec 4.9.2.3.
4.9.2.1 Popis pohybu částice v kartézských souřadnicích
Lagrangeova funkce popisující pohyb částice v kartézských souřadnicích má tvar
( ) ( )2 2 21
, ,
2
L m x y z V x y z= + + − .
(179)
Jednotlivé kanonické hybnosti, které odpovídají souřadnicím x, y a z, získáme derivací Lagrangeovy
funkce podle zobecněné rychlosti příslušející dané souřadnici. Takže postupně dostáváme
x
L
p mx
x
∂
= =
∂
, y
L
p my
y
∂
= =
∂
a z
L
p mz
z
∂
= =
∂
.
(180)
Z kanonických hybností můžeme vyjádřit příslušné zobecněné rychlosti a získáme
xp
x
m
= ,
yp
y
m
= a zp
z
m
= .
(181)
Hamiltonián můžeme v tomto případě psát ve tvaru x y zH p x p y p z L= + + − . Po dosazení ze vztahů
(179), (180) a (181) postupně pro hamiltonián uvažované pohybující se částice dostaneme
( ) ( ) ( )
2 2 22 2 2 2 2 2
y y y2 2 2x z x z x z
2 2 2
1 1
, , , ,
2 2
p p pp p p p p p
H m x y z V x y z m V x y z
m m m m m m m m m
⎛ ⎞
⎜ ⎟= + + − + + + = + + − + + +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Takže
hamiltonián je roven
( ) ( )2 2 2
x y z
1
, ,
2
H p p p V x y z
m
= + + +
(182)
a je nezávislý na čase. Tedy platí H E= .
Další výpočet pomocí Hamiltonových rovnic není možný, protože neznáme konkrétní průběh potenciální
energie ( ), ,V x y z .
4.9.2.2 Popis pohybu částice v cylindrických souřadnicích
Lagrangeova funkce popisující pohyb částice v kartézských souřadnicích je dána vztahem (179). Do
cylindrických souřadnic jí přepíšeme pomocí následujících transformačních vztahů:
cosx R= Φ ;
siny R= Φ ;
z z= .
Tyto souřadnice závisí na čase. Vzhledem k tomu, že v dalším výpočtu budeme potřebovat jejich časové
derivace, určíme je:
cos sinx R R= Φ − Φ Φ ;
sin cosy R R= Φ + Φ Φ ;
z z=
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
66
Nyní dosadíme do lagrangiánu (179), zjednodušíme a dostaneme
( ) ( )2 2 2 21
, ,
2
L m R R z V R z= + Φ + − Φ .
(183)
Kanonické hybnosti odpovídající souřadnicím R, Φ a z získáme derivací Lagrangeovy funkce podle
zobecněné rychlosti příslušející dané souřadnici. Takže postupně dostáváme
R
L
p mR
R
∂
= =
∂
, 2L
p mRΦ
∂
= = Φ
∂Φ
a z
L
p mz
z
∂
= =
∂
.
(184)
Z předpisu pro kanonické hybností můžeme vyjádřit příslušné zobecněné rychlosti a získáme
Rp
R
m
= , 2
p
mR
Φ
Φ = a zp
z
m
= .
(185)
Hamiltonovu funkci nyní můžeme psát ve tvaru R zH p R p p z LΦ= + Φ + − . Po dosazení ze vztahů (183),
(184) a (185) pro Hamiltonovu funkci pohybující se částice postupně dostaneme
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2R z R z R z
2 2 4
, , , ,
2 2
p p p p p p p R p pm m
H R R z V R z V R z
m m m m m m mm m R
Φ Φ Φ
⎛ ⎞
= + + − + Φ + + Φ = + + − + + + Φ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
Takže hamiltonián je roven
( )
2
2 2
R z2
1
, ,
2
p
H p p V R z
m R
Φ
⎛ ⎞
= + + + Φ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
(186)
a je nezávislý na čase. Proto tedy platí H E= .
Další výpočet pomocí Hamiltonových rovnic není možný, protože neznáme konkrétní průběh potenciální
energie ( ), ,V R zΦ .
4.9.2.3 Popis pohybu částice ve sférických souřadnicích
Lagrangeova funkce popisující pohyb částice v kartézských souřadnicích je zapsána ve tvaru (179). Do
sférických souřadnic jí přepíšeme pomocí následujících transformačních vztahů:
sin cosx r ϑ ϕ= ;
sin siny r ϑ ϕ= ;
cosz r ϑ= .
Tyto souřadnice závisí na čase. Proto nejdříve určíme jejich první derivace podle času:
sin cos cos cos sin sinx r r rϑ ϕ ϑ ϑ ϕ ϕ ϑ ϕ= + − ;
sin sin cos sin sin cosy r r rϑ ϕ ϑ ϑ ϕ ϕ ϑ ϕ= + + ;
cos sinz r rϑ ϑ ϑ= −
Nyní dosadíme do lagrangiánu (179), zjednodušíme a dostaneme
( ) ( )2 2 2 2 2 21
sin , ,
2
L m r r r V rϑ ϕ ϑ ϑ ϕ= + + − .
(187)
Kanonické hybnosti odpovídající souřadnicím r, ϑ a ϕ získáme derivací lagrangiánu podle zobecněné
rychlosti příslušející dané souřadnici. Takže postupně dostáváme
r
L
p mr
r
∂
= =
∂
, 2L
p mrϑ ϑ
ϑ
∂
= =
∂
a 2 2
sin
L
p mrϕ ϕ ϑ
ϕ
∂
= =
∂
.
(188)
Z předpisu pro kanonické hybností můžeme nyní vyjádřit příslušné zobecněné rychlosti ve tvarech
rp
r
m
= , 2
p
mr
ϑ
ϑ = a 2 2
sin
p
mr
ϕ
ϕ
ϑ
= .
(189)
Hamiltonovu funkci nyní můžeme psát ve tvaru rH p r p p Lϑ ϕϑ ϕ= + + − . Po dosazení ze vztahů (187),
(188) a (189) můžeme pro Hamiltonovu funkci uvažované pohybující se částice postupně psát
( ) ( )
222
2 2 2 2 2 2r 1
sin , ,
2
ppp
H m r r r V r
m m m
ϕϑ
ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ= + + − + + + =
( )
2 2 2 22 2 22 2
r r
2 2 4 2 4 4
sin1
, ,
2 sin
p r pp r pp p
m V r
m m m m m r m r
ϕ ϕϑ ϑ
ϑ
ϑ ϕ
ϑ
⎛ ⎞
⎜ ⎟= + + − + + +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Takže hamiltonián je roven
( )
22
2
r 2 2 2
1
, ,
2 sin
pp
H p V r
m r r
ϕϑ
ϑ ϕ
ϑ
⎛ ⎞
⎜ ⎟= + + +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
(190)
a je nezávislý na čase. Proto tedy platí H E= .
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
67
Další výpočet pomocí Hamiltonových rovnic není možný, protože neznáme konkrétní průběh potenciální
energie ( ), ,V r ϑ ϕ .
4.9.3 Nabitá částice v elektromagnetickém poli
Další ilustrací použití Hamiltonových rovnic je jejich aplikace na vyšetřování pohybu částice s nábojem
e, která se pohybuje v elektromagnetickém poli charakterizovaném skalárním potenciálem ϕ a vektorovým
potenciálem A .
Lagrangeova funkce popisující pohyb nabité částice v elektromagnetickém poli (vzhledem ke vztahu
(70), který definuje potenciální energii částice) má tvar
( )21
.
2
L mv e v Aϕ= − − ,
(191)
který je možné přepsat ve složkách vektorů v a A ve tvaru
( ) ( )2 2 2
x y z
1
2
L m x y z e xA yA zAϕ= + + − − − − .
(192)
Kanonické hybnosti, které odpovídají souřadnicím x, y a z, získáme derivací Lagrangeovy funkce podle
zobecněné rychlosti příslušející dané souřadnici. Takže postupně dostáváme
x x
L
p mx eA
x
∂
= = +
∂
, y y
L
p my eA
y
∂
= = +
∂
a z z
L
p mz eA
z
∂
= = +
∂
.
(193)
Z kanonických hybností můžeme vyjádřit příslušné zobecněné rychlosti a získáme
x xp eA
x
m
−
= ,
y yp eA
y
m
−
= a z zp eA
z
m
−
= .
(194)
Hamiltonián můžeme v tomto případě psát ve tvaru x y zH p x p y p z L= + + − . Po dosazení ze vztahů
(192), (193) a (194) postupně pro hamiltonián uvažované částice pohybující se v elektromagnetickém poli máme
( ) ( )2 2 2 2 2 2
x y z x y z
1
2
H mx exA my eyA mz ezA m x y z e xA yA zAϕ= + + + + + − + + + − − − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 22 2 2 2
y y y yx x z z x x z z
2 2 2
1
2
p eA p eAp eA p eA p eA p eA
m e
m m m m m m
ϕ
⎛ ⎞− −− − − −⎜ ⎟= + + − + + + =
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) ( ) ( )( )22 2
x x y y z z
1
2
p eA p eA p eA e
m
ϕ= − + − + − + . Takže hamiltonián lze psát ve tvaru
( )
21
2
H p eA e
m
ϕ= − +
(195)
a i v tomto případě je nezávislý na čase, takže H E= .
4.9.4 Hamiltonián v dalších oborech fyziky
Hamiltonián je velmi důležitý pro kvantovou fyziku, kde se z něho stává operátor, je důležitý pro
statistickou fyziku, pro teorii relativity, …
V kvantové mechanice je pohybovou rovnicí, pomocí níž se vyšetřuje řada úloh, Schrödingerova rovnice
ve tvaru
i H
t
ψ
ψ
∂
=
∂
,
(196)
kde i je imaginární jednotka,
2
h
π
= je tzv. redukovaná Planckova konstanta, H je Hamiltonův operátor a ψ
je vlnová funkce, jejíž druhá mocnina udává pravděpodobnost výskytu dané částice, pro níž se Schrödingerova
rovnice řeší. Hamiltonův operátor má v kvantové fyzice tvar
21
2
H V= − Δ + ,
(197)
kde symbol Δ označuje Laplaceův operátor.
Další fyzikální teorií, která využívá Hamiltonovu funkci, je kvantová teorie pole. Je to teorie, v níž se
kvantuje celé pole rozložením do rovinných vln. Interakce jednotlivých vln se pak znázorňují pomocí tzv.
Feynmanových diagramů.
Hamiltonovy rovnice jsou důležité i pro statistickou fyziku, která tvoří přechod mezi mechanikou a
termodynamikou. Vzhledem k tomu, že se zabývá systémy, které obsahují řádově 23
10 částic, není možné
popisovat jednotlivé částice. Proto se hledají a počítají ve fázovém prostoru fyzikální veličiny, u nichž lze určit
střední hodnoty charakterizující celý uvažovaný systém. Tak získáme informace o teplotě, vnitřní energii, …
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
68
4.10 Poissonovy závorky
4.10.1 Definice a matematické vlastnosti
Francouzský matematik a fyzik Siméon Denis Poisson (1781 - 1840) zavedl v roce 1809 symboliku,
která se používá dodnes. Říká se jí Poissonovy závorky.
MĚ J M E D V Ě FUNKCE ( )j
j, ,f q p t A ( )j
j, ,g q p t D E F I N O V A N É V E F Á ZOV É M P R O S T O R U.
PA K L ZE V E F Á ZOV É M P R O S T O R U D E F INOVAT NOVOU FUNKCI STEJNÝCH PROM Ě NNÝCH
J A K O M A J Í F U N K C E f A g PŘE D P I S E M
{ }
n
j j
j jj 1
,
f g f g
f g
p pq q=
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠
∑ ,
(198)
KDE
j
q J S OU ZOB E C NĚ NÉ SOU ŘA D N I C E , jp JSOU KANONICKÉ HYBNOSTI (PRO 1, 2, ...,j n= )
A n J E POČE T S T U PŇŮ V OL N OS T I . FUNKCE { },f g S E N A ZÝ V Á POISSONOVA ZÁVORKA
FUNKCÍ f A g .
Poissonovy závorky je tedy označení pro operaci, která se provádí se dvěma funkcemi a jejímž
výsledkem je opět funkce.
V literatuře se Poissonovy závorky občas značí symbolem [ ],f g , případně se definují s opačným
znaménkem.
Počítání s Poissonovými závorkami se řídí těmito pravidly:
1. Poissonovy závorky jsou antisymetrickou operací, tj. platí
{ } { }, ,f g g f= − ; (199)
2. Poissonovy závorky jsou lineární, tj. pro 1 2,c c ∈ platí
{ } { } { }1 1 2 2 1 1 2 2, , ,c f c f g c f g c f g+ = + ; (200)
Tento vztah tedy ukazuje, že Poissonovy závorky jsou lineární v prvním argumentu. Z antisymetrie
závorek vyplývá, že závorky jsou lineární i ve druhém argumentu.
3. Poissonovy závorky splňují tzv. Jacobiho identitu
{ }{ } { }{ } { }{ }, , , , , , 0f g h g h f h f g+ + = ; (201)
4. Poissonovy závorky lze aplikovat i na součin funkcí
{ } { } { }, , ,fg h f h g f g h= + . (202)
Tento vztah vyplývá ze vztahu pro derivaci součinu dvou funkcí (tzv. Leibnitzovo pravidlo). Vzhledem
k tomu, že výsledkem Poissonových závorek je funkce, lze např. člen { },f h g psát i ve tvaru { },g f h , protože
násobení funkcí je komutativní.
Ze vztahů (199), (200) a (201) vyplývá, že Poissonovy závorky definované na fázovém prostoru vztahem
(198) tvoří tzv. Lieovu grupu (jsou to bilineární operace na vektorovém prostoru).
V kvantové mechanice se Poissonovy závorky stávají operátory a obecně už komutativní nejsou.
4.10.2 Fundamentální Poissonovy závorky
Dříve, než uvedeme speciální Poissonovy závorky a jejich fyzikální aplikace, připomeneme platnost
jedné identity.
PRO FUNKCI ( )j
j, ,f q p t D E F I N O V A N O U V E F Á ZOV É M P R O S T O R U P L A T Í
{ }, 0f f = . (203)
Důkaz vztahu (203) vyplývá ze vztahu (199). Poissonovy závorky jsou antisymetrickou operací
aplikovanou na dvě funkce (v tomto případě na dvě identické funkce f). Existuje jediné číslo (a to číslo 0), které
se rovná svému opačnému číslu. Podle vztahu (199) se totiž při změně pořadí funkcí, na které aplikujeme
Poissonovy závorky, mění jejich znaménko. Proto { } { }, , 0f f f f= − = .
Dosadíme-li nyní za obecné funkce f a g, pro které jsme vztahem (198) definovali Poissonovy závorky,
zobecněné souřadnice ( )j
q t a kanonické hybnosti ( )jp t můžeme vyslovit tvrzení.
PRO POISSONOVY ZÁVORKY APLIKOVANÉ NA ZOBECN Ě N É S O U ŘA D N I C E ( )j
q t A NA
KANONICKÉ HYBNOSTI ( )jp t P L A T Í T Y T O V ZT A HY
{ }i j
, 0q q = , { }i j, 0p p = a { }i i
j j,q p δ= (204)
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
69
PRO , 1, 2, ...,i j n= , KDE n J E POČE T S T U PŇŮ VOLNOSTI DANÉHO SYSTÉMU .
Důkaz prvních dvou částí tvrzení je snadný: zobecněné souřadnice ( )j
q t a kanonické hybnosti ( )jp t
jsou (pro všechny možné kombinace přípustných indexů) navzájem nezávislé. Uvědomíme-li si, že v definici
Poissonových závorek (198) vystupují parciální derivace jak podle zobecněné souřadnice, tak podle kanonické
hybnosti, je jasné, že výsledkem musí být nula.
Při derivaci funkce podle proměnné, na které daná funkce nezávisí, dostáváme nulu, neboť v dané
proměnné (podle níž derivujeme) je funkce konstantní. A derivace konstanty je nula. Proto i derivace zobecněné
souřadnice podle kanonické hybnosti (resp. naopak) je nulová.
Důkaz posledního ze vztahů (204) vyplývá z definice Poissonových závorek (198):
{ }
n ni i i i i
j j j j ji i
j jk k k j i
k k k j ik 1 k 1
, 0
p p p p pq q q q q
q p
p p p p pq q q q q
δ
= =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − = − = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑ .
Z definičního vztahu Poissonových závorek tedy zůstane jen první člen (druhý je identicky roven nule).
A v závislosti na tom, zda budeme mít zobecněné souřadnice (resp. kanonické hybnosti) stejné či různé, získáme
výsledek jedna nebo nule, což zapíšeme symbolem i
jδ (Kroneckerovo delta).
Této vlastnosti Poissonových závorek sestavených ze zobecněných souřadnic a kanonických hybností se
využívá v kvantové mechanice. Pomocí zobecněných souřadnic a kanonických hybností se definují příslušné
operátory a získáme vztah analogický Poissonovým závorkám: i i
j j,q p i δ⎡ ⎤ =
⎢ ⎥⎣ ⎦
. Z tohoto vztahu pak také
vyplývá principiální nemožnost měřit současně libovolně přesně polohu a hybnost částice, což popisují tzv.
Heisenbergovy relace neurčitosti.
Na základě Poissonových závorek lze dokázat následující tvrzení. Toto tvrzení i jeho důsledky pomohou
při řešení řady úloh.
PRO SKUTE ČN Ý P O H Y B P L A T Í
{ }
d
,
d
f f
f H
t t
∂
= +
∂
,
(205)
KDE ( ) ( )( )j
j, ,f q t p t t (PRO 1, 2, ...,j n= ) J E L I B O V O L N Á F U N K C E D E F I N O V A N Á N A F Á ZOV É M
PROSTORU A H J E HA M I L T O N I Á N U V A ŽO V A N É H O S Y S T É M U .
Fráze „pro skutečný pohyb“ znamená, že funkce f splňuje Hamiltonovy kanonické rovnice (174).
Důkaz tvrzení provedeme rozepsáním totální derivace funkce ( ) ( )( )j
j, ,f q t p t t podle času. Platí
n k
k
k
kk 1
dd d
d d d
pf f q f f
t t p t tq=
⎛ ⎞∂ ∂ ∂
= + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂∂⎝ ⎠
∑ . S využitím Hamiltonových kanonických rovnic můžeme dále psát
n
k k
k kk 1
d
d
f f H f H f
t p p tq q=
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂∂ ∂⎝ ⎠
∑ a dále upravit s využitím definičního vztahu Poissonových závorek (198).
Takže dostaneme { }
d
,
d
f f
f H
t t
∂
= +
∂
, což je vztah, jehož platnost jsme chtěli dokázat.
Prvním důsledkem právě uvedeného tvrzení je podmínka, za které se funkce f stává integrálem pohybu
(viz odstavec 3.7).
Najít integrál pohybu je důležité, neboť každý integrál pohybu zjednoduší hledání řešení Lagrangeových
rovnic druhého druhu (viz odstavec 3.7).
NE N Í -L I F U N K C E ( ) ( )( )j
j,f q t p t ZÁ V I S L Á N A ČA S E , PAK TATO FUNKCE JE
I N T E GR Á L E M P OHYB U P R Á V Ě T E HD Y , KDYŽ { }, 0f H = .
Funkce f nesmí tedy záviset na čase přímo; na čase ovšem mohou záviset zobecněné souřadnice nebo
kanonické hybnosti, na kterých je závislá funkce f.
Nezávisí-li funkce f explicitně na čase, pak 0
f
t
∂
=
∂
. To ovšem znamená, že na základě vztahu (205)
můžeme psát { }
d
,
d
f
f H
t
= . Dále víme, že funkce f je integrálem pohybu, jestliže platí vztah
d
0
d
f
t
= (viz
odstavec 3.7). V tom případě ale { }, 0f H = .
Tento důsledek poskytuje návod na hledání integrálů pohybu: stačí ověřit, zda pro nějakou funkci f, která
popisuje daný fyzikální systém s hamiltoniánem H, platí { }, 0f H = . Pokud ano, je funkce f integrálem pohybu.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
70
Druhý důsledek vztahu (205) dává návod na určení, kdy sám hamiltonián daného systému je integrálem
pohybu.
ČASOV Ě N E ZÁ V I S L Ý H A M I L T O N I Á N H D A N É H O F Y ZI K Á L N Í H O S Y S T É M U J E
I N T E GR Á L E M P OHYB U .
Na základě vztahu (203) můžeme psát { }, 0H H = a skutečnost, že hamiltonián je nezávislý na čase,
můžeme přepsat podmínkou 0
H
t
∂
=
∂
. Na základě vztahu (205), do kterého dosadíme f H= , pak můžeme psát
{ }
d
, 0
d
H H
H H
t t
∂
= + =
∂
. Podmínka
d
0
d
H
t
= přitom určuje, že hamiltonián H je integrálem pohybu.
Právě uvedený důsledek souvisí s tím, že pokud je lagrangián L daného fyzikálního systému časově
nezávislý, zachovává se zobecněná energie h definovaná vztahem (81) (viz odstavec 3.7). Časová nezávislost
hamiltoniánu H pak souvisí se zákonem zachování mechanické energie E.
Třetí důsledek vztahu (205) udává podmínky, za kterých je integrálem pohybu přímo Poissonova
závorka.
POKUD FUNKCE ( ) ( )( )j
j,f q t p t A ( ) ( )( )j
j,g q t p t J S O U I N T E G R Á L Y P O H Y B U, PAK
{ },f g J E T A KÉ I N T E GR Á L E M P OHY B U .
V argumentech funkcí f a g již neuvádíme jako parametr čas, protože mají-li být funkce f a g integrály
pohybu, pak na čase záviset nesmí!
Při důkazu opět vyjdeme ze vztahu (205), který aplikujeme na Poissonovu závorku { },f g :
{ }( ) { }{ } { }( ) { }{ }
d
, , , , , ,
d
f g f g H f g f g H
t t
∂
= + =
∂
, neboť jestliže jsou funkce f a g nezávislé na čase, je na
čase nezávislá též jejich Poissonova závorka { },f g , tedy { }( ), 0f g
t
∂
=
∂
. S využitím Jacobiho identity (201)
můžeme dále psát { }( ) { }{ } { }{ } { }{ }
d
, , , , , , ,
d
f g f g H g H f H f g
t
= = − − . Jsou-li f a g integrály pohybu, pak
pro ně platí { }, 0f H = a { }, 0g H = , takže { }( ) { } { }
d
, 0, 0, 0
d
f g f g
t
= − − = . To ovšem znamená, že
Poissonova závorka { },f g je integrálem pohybu. A to jsme měli dokázat.
Právě uvedeným způsobem by bylo možné přidávat postupně další funkce, které by byly integrály
pohybu, a tak vytvořit obecně třeba i nekonečně mnoho integrálů pohybu. Ovšem integrálů pohybu, které
pomohou při řešení pohybových rovnic, může být maximálně jen tolik, kolik je stupňů volnosti daného
fyzikálního systému. Metoda Poissonových závorek, kterou jsme právě uvedli, tak totiž generuje i takové
funkce, které jsou sice integrály pohybu, ale jsou lineárními kombinacemi již existujících integrálů pohybu nebo
jsou nulové. A takové integrály pohybu již dále při řešení úloh nepomohou. Ale i přesto je právě uvedená
konstrukce integrálů pohybu velmi důležitá.
4.11 Kanonické transformace
Kanonická transformace je nedílnou součástí Hamiltonova formalismu, protože určuje takovou změnu
souřadnic fázového prostoru, při níž zůstávají v platnosti Hamiltonovy kanonické rovnice (174).
4.11.1 Definice a základní vztahy kanonických transformací
KA N O N I C K Á T R A N S F O R M A C E J E K A ŽD Á ZM Ě NA SOUŘ ADNIC FÁZOVÉHO PROSTORU
(P A R A M E T RŮ FÁZOVÉ HO PROST ORU), KTERÁ ZACHOVÁVÁ STRUKTURU
HAMILTONOVÝCH KANONICKÝCH ROVNIC .
To znamená, že po kanonické transformaci budou mít Hamiltonovy kanonické rovnice (174) stejný tvar
jako před ní.
Označíme-li původní zobecněné souřadnice j
q a původní kanonické hybnosti jp a označíme-li dále
nové zobecněné souřadnice j
Q a nové kanonické hybnosti jP , tak pak požadujeme, aby funkce
( )j j i
i, ,Q Q q p t= a ( )i
j j i, ,P P q p t= (206)
splňovaly Hamiltonovy kanonické rovnice ve tvaru
j
j
d
d
Q H
t P
′∂
=
∂
a
j
j
d
d
P H
t Q
′∂
= −
∂
(207)
pro hamiltonián ( )j
j, ,H H Q P t′ ′= .
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
71
Splnění těchto požadavků není triviální, neboť kanonických transformací je velmi málo. Jsou ale velmi
důležité pro další počítání a pro zobecnění do dalších oborů fyziky.
Při konstrukčním důkazu kanonické transformace vyjdeme ze vztahu (168). Ten definuje Lagrangeovu
funkci 1L , na základě níž lze odvodit stejné pohybové rovnice jako z Lagrangeovy funkce L. Nyní přepíšeme
vztah (168) ve tvaru 1
d
d
F
L L
t
= + , kde F je libovolná hladká funkce, která závisí na původních zobecněných
souřadnicích nebo kanonických hybnostech a na kalibrační transformací nově definovaných proměnných. Jsou
tedy celkem čtyři možnosti, na jakých proměnných může funkce F záviset:
1. ( )j j
1 1 , ,F F q Q t= ;
2. ( )j
2 2 j, ,F F q P t= ;
3. ( )j
3 3 j, ,F F p Q t= ;
4. ( )4 4 j j, ,F F p P t= .
Funkce 1F , 2F , 3F a 4F se nazývají generující funkce kanonické transformace. Pomocí Hamiltonova
variačního principu (viz odstavec 4.3) a s využitím podmínky (130) (variace akce je nulová) lze získat
podmínky, za kterých je transformace popsaná jednou ze čtyř výše uvedených funkcí kanonická. Tímto
způsobem lze pro každou z výše uvedených funkcí získat tzv. podmínky kanoničnosti, tj. nutné a postačující
podmínky, které musí být splněny, aby daná transformace byla kanonická (viz tab. 1).
Třetí sloupec tab. 1 získáme tak, že každou rovnici ze druhého sloupce daného řádku derivujeme podle
proměnné, podle níž se derivuje druhá z rovnic ve druhém sloupci tabulky. Např. pro první řádek derivujeme
rovnici 1
ii
F
p
q
∂
=
∂
podle k
Q a rovnici 1
kk
F
P
Q
∂
= −
∂
podle i
q a získáme: 1 i
k i k
F p
Q q Q
⎛ ⎞∂ ∂∂
=⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
a
1 k
i k i
F P
q Q q
⎛ ⎞∂ ∂∂
= −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
. Při záměnnosti parciálních derivací platí: i k
k i
p P
Q q
∂ ∂
= −
∂ ∂
. Důležité je, aby derivované
proměnné byly vyjádřeny ve správných proměnných, tj. v proměnných, v jakých je vyjádřena v tomto případě
funkce 1F (obecně funkce z daného řádku tabulky).
Generující funkce Podmínky kanoničnosti Podmínky integrability
( )j j
1 1 , ,F F q Q t= 1
ii
F
p
q
∂
=
∂
1
kk
F
P
Q
∂
= −
∂
i k
k i
p P
Q q
∂ ∂
= −
∂ ∂
( )j
2 2 j, ,F F q P t= 2
ii
F
p
q
∂
=
∂
k2
k
F
Q
P
∂
=
∂
k
i
i
k
p Q
P q
∂ ∂
=
∂ ∂
( )j
3 3 j, ,F F p Q t= i3
i
F
q
p
∂
= −
∂
3
kk
F
P
Q
∂
= −
∂
i
k
k
i
Pq
pQ
∂∂
=
∂∂
( )4 4 j j, ,F F p P t= i4
i
F
q
p
∂
= −
∂
k4
k
F
Q
P
∂
=
∂
i k
k i
q Q
P p
∂ ∂
= −
∂ ∂
tab. 1
Derivace ve druhém sloupci tab. 1 se počítají podle proměnných, na kterých závisí daná generující
funkce. Přitom platí: derivace podle jedné původní proměnné je rovna druhé původní proměnné (např.
2
ii
F
p
q
∂
=
∂
) a derivace podle jedné nové proměnné je rovna druhé nové proměnné (např. 3
kk
F
P
Q
∂
= −
∂
). Znaménko
mínus je u původní zobecněné souřadnice a u nové kanonické hybnosti.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
72
Dále platí ( ) ( )j j a
j j, , , ,
F
H Q P t H q p t
t
∂
′ = +
∂
pro 1, 2, 3, 4a = a pro , , 1, 2, ...,i j k n= .
Pro ověření faktu, zda daná transformace je či není kanonická, stačí ověřit vztahy z jednoho řádku tab. 1.
Důkaz vztahů uvedených v tab. 1 lze provést rozpisem lagrangiánu a hamiltoniánu daného fyzikálního
systému. Pro funkci 1F můžeme na základě vztahu (168) psát
( ) ( )
( )j j
1j j
1 j j
d , ,
, , , ,
d
F q Q t
L q p t L Q P t
t
= + .
(208)
Je-li právě uvedeným předpisem lagrangián definovaný v každém čase t a získáme-li variací příslušných
akcí ve fázovém prostoru stejné pohybové rovnice v původních souřadnicích i v nových souřadnicích, je
uvažovaná transformace popsaná generující funkcí 1F kanonická.
Dosazením vztahu (176) (vyjádření lagrangiánu pomocí hamiltoniánu) do vztahu (208) získáme:
( ) ( )
n n n
i j i j i i1 1 1
i j i j i i
i 1 i 1 i 1
, , , ,
F F F
p q H q p t PQ H Q P t q Q
tq Q= = =
⎛ ⎞∂ ∂ ∂
′− = − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂∂ ∂⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ . Přeuspořádáním členů tohoto
výrazu dostaneme
( ) ( )
n
i i j j1 1 1
i i j ji i
i 1
, , , ,
F F F
p q P Q H q p t H Q P t
tq Q=
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂
′− − + = − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ .
(209)
Vztah (209) je identicky splněn, pokud 1
i i
F
p
q
∂
=
∂
, 1
ii
F
P
Q
∂
= −
∂
a ( ) ( )j j 1
j j, , , ,
F
H Q P t H q p t
t
∂
′ = +
∂
, což
jsou vztahy, jejichž platnost jsme měli dokázat.
Důkaz pro funkci 2F je podobný. Analogicky jako pro funkci 1F , můžeme i pro funkci 2F napsat vztah
( ) ( )
n n n
i j i j i2 2 2
i j i j ii
ii 1 i 1 i 1
, , , ,
F F F
p q H q p t PQ H Q P t q P
P tq= = =
⎛ ⎞∂ ∂ ∂
′− = − + + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂∂⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ ,
(210)
ve kterém jsou ve srovnání se vztahem (209) jen jiné parciální derivace funkce 2F , neboť funkce 2F závisí na
proměnných j
q , jP a t. Nyní bychom potřebovali (stejně jako v předchozí části důkazu) porovnat koeficienty u
i
Q a iP . Využijeme tedy toho, že přičtením úplné časové derivace funkce k lagrangiánu se popis systému
nezmění (viz vztah (168)). Určitě platí identita
n n n
i i i
i i i
i 1 i 1 i 1
d
d
PQ PQ PQ
t = = =
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ ,
(211)
kterou můžeme dosadit do vztahu (210) a dostaneme tak
( ) ( )
n n n n
i j i i j i2 2 2
i j i i j ii
ii 1 i 1 i 1 i 1
d
, , , ,
d
F F F
p q H q p t PQ PQ H Q P t q P
t P tq= = = =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂
′− = − − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂ ∂∂⎝ ⎠⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ ∑ a po přerovnání
členů získáme vztah ( ) ( )
n n
i i j j i2 2 2
i i j j ii
ii 1 i 1
d
, , , ,
d
F F F
p q Q P H q p t H Q P t PQ
P t tq= =
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂
′− − − = − + + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑ ,
který je splněn pro 2
ii
F
p
q
∂
=
∂
, i2
i
F
Q
P
∂
=
∂
a ( ) ( )
n
j j i2
j j i
i 1
d
, , , ,
d
F
H Q P t H q p t PQ
t t =
⎛ ⎞∂
′ = + + ⎜ ⎟
⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠
∑ . Poslední rovnost
můžeme s využitím vztahů (168) a (176) psát ve tvaru ( ) ( )j j 2
j j, , , ,
F
H Q P t H q p t
t
∂
′ = +
∂
, čímž jsme získali
sérii vztahů, jejichž platnost jsme chtěli ukázat.
Lagrangián ani hamiltonián daného fyzikálního systému se nezmění, jestliže k němu přičteme úplnou
časovou derivaci funkce. A výraz
n
i
i
i 1
d
d
PQ
t =
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ je úplnou časovou derivací funkce.
Důkazy pro funkce 3F a 4F by byly analogické.
4.11.2 Vlastnosti kanonických transformací
Kanonické transformace mají některé zajímavé vlastnosti, které jsou užitečné i při řešení úloh.
Generující funkce 1F , 2F , 3F a 4F kanonické transformace (viz odstavec 4.11.1) nejsou nezávislé, ale
jsou navzájem svázány Legendreovou duální transformací. Tu odvodil francouzský matematik Adrien-Marie
Legendre (1752 - 1833), který se zabýval hlavně statistikou, teorií čísel, algebrou a matematickou analýzou.
Vzájemná provázanost funkcí 1F , 2F , 3F a 4F , z nichž funkce 1F je dána (resp. určena výpočtem), je
popsána těmito vztahy
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
73
n
i
2 1 i
i 1
F F PQ
=
= + ∑ ,
n
i
3 1 i
i 1
F F p q
=
= − ∑ a
n n
i i
4 1 i i
i 1 i 1
F F PQ p p
= =
= − −∑ ∑ .
(212)
Místo toho, že všechny další funkce budeme vyjadřovat pomocí funkce 1F (vztahy (212)), lze vyjádřit
zbývající funkce např. pomocí funkce 2F .
Na kterém řádku tab. 1 začneme s vyjadřováním, je jedno. Všechny její řádky jsou navzájem
ekvivalentní.
Vztahy (212) jsou analogické vztahům, které v termodynamice popisují přechody mezi jednotlivými
potenciály popisujícími daný fyzikální systém.
Další vlastností, na základě které se práce s kanonickými transformacemi zjednoduší, je skutečnost, že
tyto transformace tvoří grupu.
KA N O N I C K É T R A N S F O R M A C E T V OŘÍ GRUPU.
Jakmile o nějaké struktuře dokážeme, že tvoří grupu, je okamžitě jasné, že musí splňovat základní
vlastnosti, které grupa prostě mít musí. Tak se mnohdy zjednoduší i fyzikální pohled na danou problematiku.
Z faktu, že kanonické transformace tvoří grupu, vyplývá:
1. existence jednotkového prvku;
To je transformace, která nedělá nic - původní zobecněné souřadnice a kanonické hybnosti se nezmění.
2. existence inverzního prvku;
3. možnost skládání kanonických transformací.
Identita je generována funkcí
n
j
2 j
j 1
F Pq
=
= ∑ . Na základě tab. 1 dostáváme 2
ii
F
p
q
∂
=
∂
a k2
k
F
Q
P
∂
=
∂
a
výpočtem derivací podle předpisu funkce 2F máme 2
ii
F
P
q
∂
=
∂
a k2
k
F
q
P
∂
=
∂
. Transformace popsaná funkcí 2F je
tedy kanonická, jestliže platí i ip P= a zároveň k k
q Q= . Neexistuje funkce 1F ani funkce 4F , které by
generovaly identitu. Vztahy (212) sice platí obecně, ale nemusí platit u některých výjimečných kanonických
transformací - např. u identity.
4.11.3 Ověřování kanoničnosti transformace
Existuje několik postupů, jak ověřit, zda daná transformace je či není kanonická transformace. Různé
postupy jsou přitom u různých úloh různě náročné, a proto nelze doporučit jediný nevhodnější postup, který
vede rychle a bez větších technických komplikací ke zdárnému cíli. Náročnost každého z postupů závisí na
konkrétních transformačních vztazích, jejichž kanoničnost se má ověřit.
Z řady postupů uvedeme dva, které se používají nejčastěji:
1. pomocí tab. 1, v níž jsou přehledně sepsány generující funkce kanonických transformací - postup
spočívá v ověření platnosti třetího sloupce (libovolného řádku) tabulky. Funkce, s nimiž
pracujeme, musí být ovšem vyjádřeny ve správné kombinaci poměných j
q , jp , j
Q , jP . Druhý
sloupec téhož řádku tabulky poskytuje návod na nalezení generující funkce F.
Správná kombinace proměnných vyplývá z proměnných, které vystupují v argumentu funkce F na daném
řádku tabulky. Více - viz příklad v tomto odstavci.
2. pomocí Poissonových závorek (viz odstavec 4.10) - transformace je totiž kanonická tehdy, pokud
současně platí vztahy
{ }i i
j j,Q P δ= , { }i j
, 0Q Q = a { }i j, 0P P = . (213)
Použití metody Poissonových závorek může být technicky náročnější: je-li počet stupňů volnosti systému
roven dvěma, znamená to ověřit šest Poissonových závorek (ostatní jsou nulové).
Vztahy (213) jsou analogií ke vztahům (204). Pro identickou kanonickou transformaci platí jak vztahy
(204), tak vztahy (213). Pro ostatní kanonické transformace platí vztahy (213).
Příklad: Kanonická transformace
Uvažujme transformaci danou vztahy Q q pα β= + a P q pγ δ= + , kde , , ,α β γ δ ∈ jsou konstanty. Pro
které kombinace konstant α , β , γ a δ je transformace kanonická?
Řešení: Postup řešení ukážeme na obou výše uvedených postupech.
Podle prvního postupu vybereme např. čtvrtý řádek tab. 1, na kterém je generující funkce ( )4 4 ,F F p P=
(zadané transformační vztahy nejsou závislé na čase, a tedy ani generující funkce není závislá na čase). Nyní je
tedy nutné vyjádřit zbývající proměnné (tj. q a Q) pomocí stejných proměnných, na kterých závisí funkce 4F , tj.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
74
pomocí p a P. Ze zadaných transformačních vztahů můžeme psát: ( )
1
q P pδ
γ
= − a dosazením do prvního
vztahu dostaneme ( ) ( )
1
Q P p p P p
α α
δ β βγ δα
γ γ γ
= − + = + − . Podle třetího slupce čtvrtého řádku tabulky
určíme ( )
1 1q
P p
P P
δ
γ γ
⎛ ⎞∂ ∂
= − =⎜ ⎟
∂ ∂ ⎝ ⎠
a ( )
1Q
P p
p p
α βγ αδ
βγ αδ
γ γ γ
⎛ ⎞∂ ∂ −
− = − + − = −⎜ ⎟
∂ ∂ ⎝ ⎠
. Nyní zbývá určit, za
jakých podmínek bude platit
q Q
P p
∂ ∂
= −
∂ ∂
. Je zřejmé, že tato rovnost bude splněná pouze tehdy, pokud
1 βγ αδ
γ γ
−
= − , tj. pokud 1αδ βγ− = . A to je podmínka, za které budou zadané transformační vztahy
popisovat kanonickou transformaci. Kanonických transformací je tedy málo (je to unikátní typ transformace),
protože z velkého počtu možností pro koeficienty α , β , γ a δ kanonické transformaci vyhovují jen ty
možnosti, které splňují podmínku 1αδ βγ− = .
Při ověřování pomocí Poissonových závorek stačí v tomto případě ověřit platnost vztahu { }, 1Q P = , protože
ostatní ze vztahů (213) jsou splněny. Bude-li platit { }, 1Q P = , pak je transformace kanonická. Podle definice
Poissonových závorek (viz odstavec 4.10.1) můžeme psát { },
Q P Q P
Q P
q p p q
∂ ∂ ∂ ∂
= −
∂ ∂ ∂ ∂
. Po dosazení ze zadaných
transformačních vztahů dostáváme: { },Q P αδ βγ= − . Rovnost { }, 1Q P = je splněna pouze tehdy, pokud
1αδ βγ− = , což je stejná podmínka, kterou jsme získali při řešení pomocí tabulky generujících funkcí.
V souvislosti s kanonickými transformacemi platí ještě další dvě důležité věty.
POISSONOVY ZÁVORKY JSOU INVARIANTNÍ V ŮČI K A N O N I C K Ý M T R A N S F O R M A C Í M ,
T J . PRO KAŽDÉ DV Ě FUNKCE ( )j
j, ,f q p t A ( )j
j, ,g q p t FÁZOVÉHO PROSTORU PLATÍ :
{ } { }q, p Q, P
, ,f g f g= , tj.
n n
j j j j
j j j jj 1 j 1
f g f g f g f g
p p P Pq q Q Q= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
− = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑ ∑ .
(214)
Důkaz tohoto tvrzení je zřejmý a vyžaduje ověření rozpisu Poissonových závorek podle jejich definice
(viz odstavec 4.10.1) s přihlédnutím k transformačním vztahům kanonické transformace.
OB J E M F Á ZOV É HO P R OS T OR U S E P ŘI K A N O N I C K É T R A N S F O R M A C I N E ZM Ě NÍ .
Schématicky je situace zobrazena na obr. 56, na kterém je šipkami naznačena transformace systému.
Právě uvedené tvrzení si lze představit tak, že obsah plochy, která je vymezená ve fázovém prostoru, se
kanonickou transformací nezmění. Může se změnit tvar plochy, ale nikoliv její obsah.
obr. 56
Důkaz vychází z výpočtu objemu fázového prostoru pomocí integrálního počtu:
d d d dV Q P J q p
ϑ ϑ
= =∫∫ ∫∫ , kde
Q Q
q p
J
P P
q p
∂ ∂
∂ ∂
=
∂ ∂
∂ ∂
je Jacobiho determinant (tzv. jacobián), který je do výpočtu
integrálu zahrnut proto, že popisuje zobecnění věty o substituci pro vícerozměrné integrály. Pro výpočet
determinantu matice druhého řádu platí:
Q Q
q p Q P Q P
J
P P q p p q
q p
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂
. Na základě definice Poissonových
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
75
závorek můžeme psát { },J Q P= . Pro kanonickou transformaci přitom podle vztahů (213) platí { }, 1Q P = . To
znamená, že jacobián kanonické transformace je roven jedné, tedy d d d d d dV Q P J q p q p
ϑ ϑ ϑ
= = =∫∫ ∫∫ ∫∫ .
Pro plnou korektnost důkazu by bylo nutné rozebrat, jak se mění při kanonické transformaci množina ϑ .
4.12 Hamiltonova - Jacobiho teorie
Hamiltonova - Jacobiho teorie je důležitá aplikace teorie kanonických transformací (viz odstavec 4.11),
která umožňuje napsat další, v rámci teoretické mechaniky poslední, tvar pohybových rovnic. Tentokráte budou
pohybové rovnice zapsány pomocí jediné parciální diferenciální rovnice, která vyplyne z teorie kanonických
transformací.
Skutečnost, že odvozená rovnice bude parciální diferenciální rovnice (tj. budou v ní vystupovat parciální
derivace funkce) je daň za jiné výrazné zjednodušení: rovnice bude jedna jediná! Což je další pokrok ve
srovnání s Lagrangeovými rovnicemi druhého druhu a s Hamiltonovými kanonickými rovnicemi.
Hamiltonových rovnic (viz odstavec 4.8.4) bylo 2n a byly to obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu, což
bylo oproti Lagrangeovým rovnicím druhého druhu (viz odstavec 3.3) zjednodušení. Těch bylo sice jen n, ale
byly to diferenciální rovnice druhého řádu.
4.12.1 Hamiltonova - Jacobiho rovnice
Hamiltonova - Jacobiho teorie vychází z kanonických transformací, a proto připomeneme důležité
vztahy, s nimiž budeme dále pracovat. Vyjdeme např. z generující funkce ( )j j
1 1 , ,F F q Q t= (viz tab. 1) a
z platnosti těchto vztahů:
1
jj
F
p
q
∂
=
∂
,
(215)
1
jj
F
P
Q
∂
= −
∂
,
(216)
( ) ( )j j 1
j j, , , ,
F
H Q P t H q p t
t
∂
′ = +
∂
,
(217)
a z Hamiltonových kanonických rovnic ve tvaru
j
j
d
d
Q H
t P
′∂
=
∂
a
j
j
d
d
P H
t Q
′∂
= −
∂
.
(218)
Na vývoj systému, který chceme popsat, můžeme nahlížet jako na speciální kanonickou transformaci. A
ze všech možných kanonických transformací budeme hledat tu nejjednodušší - takovou, pro níž platí
0H′ = . (219)
Je to podmínka sice velmi přísná, nicméně lze takový vývoj systému najít.
Na základě podmínky (219) budeme nyní hledat speciální generující funkci S, která generuje příslušnou
kanonickou transformaci. Pro tuto funkci, která se nazývá akční funkcionál, platí
( )j j
1, ,S q Q t F= . (220)
S využitím podmínky (219) lze psát Hamiltonovy kanonické rovnice (218) ve tvaru
j
d
0
d
Q
t
= a
jd
0
d
P
t
= .
(221)
Z těchto rovnic okamžitě plyne
j
j .Q konstα= = a j j .P konstβ= − = (222)
Důvod, proč jsme druhou konstantu volili se znaménkem mínus, bude zřejmý z dalších výpočtů.
Písmeny α a β jsme označili konstanty, čísla. Proto píšeme jejich indexy dolů.
To ovšem znamená, že hmotný bod, jehož pohyb sledujeme, by stál na místě. Zatím jsme totiž nevzali
v úvahu další vztahy. S využitím vztahů (220), (216) a (222) můžeme psát
( )j
j
j
j
, ,S q tα
β
α
∂
=
∂
a odtud najdeme
funkci ( )j
j j, ,q t α β inverzí. Funkci S budeme hledat na základě rovnice
( )j
j, , 0
S
H q p t
t
∂
+ =
∂
,
(223)
kterou jsme získali na základě rovnice (217), podmínky (219) a definice funkce S (220).
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
76
Abychom našli skutečně kanonickou transformaci a postup výpočtu byl konzistentní, musíme použít i
vztah (215). To znamená, že platí (s využitím definice funkce S (220)):
jj
S
p
q
∂
=
∂
.
(224)
To znamená, že zobecněné souřadnice j
q a kanonické hybnosti jp nejsou nezávislé.
Dosazením vztahu (224) do rovnice (223) získáme Hamiltonovu - Jacobiho rovnici ve tvaru
j
j
, , 0
S S
H q t
tq
⎛ ⎞∂ ∂
+ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂∂⎝ ⎠
.
(225)
Získali jsme tak skutečně jednu jedinou rovnici, která popisuje vývoj daného fyzikálního systému.
4.12.2 Postup řešení Hamiltonovy - Jacobiho rovnice
Postup řešení Hamiltonovy - Jacobiho rovnice (225) lze popsat v několika základních krocích:
1. určíme Hamiltonovu funkci daného fyzikálního systému: ( )j
j, ,H q p t ;
2. sestavíme Hamiltonovu - Jacobiho rovnici (225) tak, že místo jp v nalezeném hamiltoniánu
píšeme j
S
q
∂
∂
;
Sestavili jsme tak jedinou parciální diferenciální rovnici prvního řádu, v níž vystupují parciální derivace
S
t
∂
∂
a j
S
q
∂
∂
. Neznámou v této rovnici je funkce ( )j
,S q t resp. ( )j
q t , která popisuje vývoj daného fyzikálního
systému.
3. sestavenou rovnici vyřešíme pomocí několika postupů, které lze z fyzikálního hlediska bez
problémů provést
a) je-li hamiltonián nezávislý na čase, pak má funkce S tvar ( ) ( )j j
0,S q t S q Et= − , kde E je
zobecněná energie (viz odstavec 3.7);
b) nezávisí-li hamiltonián na souřadnici c
q , má funkce S tvar
( ) ( )j 1 2 c 1 c 1 n c
c, , ..., , , ...,S q S q q q q q qα− +
= + , kde c .konstα = ;
Nejdříve je tedy nutné vyřešit čas, pak až souřadnice. Souřadnice c
q , na níž nezávisí hamiltonián (a tedy
ani lagrangián) daného systému je cyklická souřadnice (viz odstavec 3.7).
c) pokusit se řešit rovnici, kterou jsme předchozími úpravami získali z rovnice (225), separací
proměnných, čímž získáme řešení ve tvaru: ( ) ( ) ( ) ( )j 1 2 n
1 2 n...S q S q S q S q= + + + ;
4. získali jsme tedy funkci S ve tvaru ( )j
j, ,S q tα , která obsahuje 1n + integračních konstant jα ,
z nichž jedna je ovšem triviálně aditivní;
Konstant jα je 1n + , neboť n jich vznikne při integraci během hledání funkcí j
q a jedna vznikne při
integraci podle času.
Triviálně aditivní je taková konstanta C, která vystupuje v zápise funkce ( )f x ve tvaru:
( ) ( )f x F x C= + , tj. není „zabalená“ uvnitř funkce.
5. derivací podle n netriviálních parametrů iα získáme n rovnic typu i
i
S
β
α
∂
=
∂
, kde iβ je dalších n
libovolných konstant (pro 1, 2, ...,i n= );
6. inverzí získáme hledané řešení úlohy ve tvaru ( )j
i i, ,q t α β , v němž je 2n integračních konstant,
které odpovídají n počátečním podmínkám pro zobecněné souřadnice j
q a n počátečním
podmínkám pro kanonické hybnosti jp .
Počet konstant odpovídajících počtu počátečních podmínek je v pořádku. Každá poloha a každá hybnost
má svoji počáteční podmínku.
Příklad: Volný pád
Vyšetřete pohyb volného pádu tělesa o hmotnosti m v gravitačním poli.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
77
Řešit volný pád pomocí Hamiltonovy - Jacobiho rovnice je trošku jako jít s kanónem na vrabce, ale volný
pád je nejjednodušší pohyb, na kterém lze řešení Hamiltonovy - Jacobiho rovnice ukázat. A jak je dále vidět, tak
i přesto bude řešení poměrně náročné …
Řešení: Budeme postupovat přesně ve shodě s výše uvedeným návodem na řešení Hamiltonovy - Jacobiho
rovnice:
Hamiltonián systému je: ( )
2 2
2 2
p p
H V x mgx
m m
= + = − (vzdálenost x měříme ve směru pádu tělesa).
Nyní vyjádříme hybnost pomocí funkce S ve tvaru
S
p
x
∂
=
∂
, dosadíme do hamiltoniánu:
2
1
2
S
H mgx
m x
∂⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
∂⎝ ⎠
a
sestavíme Hamiltonovu - Jacobiho rovnici:
2
1
0
2
S S
mgx
m x t
∂ ∂⎛ ⎞
− + =⎜ ⎟
∂ ∂⎝ ⎠
.
Pokud závisí funkce S na čase a hamiltonián sám na čase přímo nezávisí (obě podmínky jsou zde splněny),
můžeme psát ( ) ( )0,S x t S x Et= − .
Určíme parciální časovou derivaci funkce S, která vystupuje v Hamiltonově - Jacobiho rovnici:
( )
( )( )0
,S x t
S x Et E
t t
∂ ∂
= − = −
∂ ∂
, neboť ( )0S x je na čase nezávislá.
Nyní tedy budeme řešit Hamiltonovu - Jacobiho rovnici ve tvaru
2
01
0
2
S
mgx E
m x
∂⎛ ⎞
− − =⎜ ⎟∂⎝ ⎠
. Vyjádříme
hledanou derivaci funkce 0S tak, že převedeme ostatní proměnné na druhou stranu rovnice, čímž získáme
rovnici ( )
2
0
2
S
m mgx E
x
∂⎛ ⎞
= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠
. Tu nyní odmocníme a dostaneme ( )0
2
S
m mgx E
x
∂
= +
∂
. Funkci 0S nyní
nalezneme integrací podle proměnné x: ( )0 2 d 2 dS m mgx E x m mgx E x= + = +∫ ∫ .
Zavedeme substituci k mgx E= + a vyjádříme
d
d 22
k mg mg
x kmgx E
= =
+
, odkud dostaneme
2
d d
k
x k
mg
= . Nyní
můžeme pokračovat ve vlastní integraci:
( )
3
32
0
2 2 2 2 2 2 2
2 d d
3 3
k m m k m
S m k k k k C mgx E C
mg mg mg mg
= = = + = + +∫ ∫ . Konstanta C zde přitom
nehraje roli, neboť jí lze zahrnout do konstanty E. Pro funkci S tedy dostáváme
( ) ( ) ( )3
0
2 2
,
3
m
S x t S x Et mgx E Et
mg
= − = + − .
Dále pokračujeme ve výpočtu derivací funkce S podle parametru E. Získáme tedy rovnost
0
2 2 3
.
3 2
S m
t mgx E t
E mg
∂
− = = + −
∂
, přičemž konstanta 0t− má význam konstanty β z návodu na řešení
Hamiltonovy - Jacobiho rovnice.
Z posledního vztahu nyní postupně vyjádříme x.
0
2m
mgx E t t
mg
+ = −
( )02m mgx E mg t t+ = −
( ) ( )22 2
02m mgx E m g t t+ = −
( )22
0
1
2
mgx E mg t t+ = −
Pro funkci x v závislosti na čase t tedy dostáváme ( )2
0
1
2
E
x g t t
mg
= − − . Právě vypočtená závislost je
z fyzikálního hlediska v pořádku, neboť skutečně popisuje volný pád tělesa o hmotnosti m. Konstanta
E
mg
má
význam výšky.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
78
5. TUHÉ TĚLESO
5.1 Kinematika tuhého tělesa
5.1.1 Tuhé těleso a popis jeho pohybu
Úkolem kinematiky tuhého tělesa je najít vhodný popis otáčení tuhého tělesa. Proto začneme tím, že
vymezíme pojem tuhého tělesa.
TU H É T Ě L E S O S I L ZE PŘE D S T A V I T J A KO KR Y S T A L S L OŽE N Ý Z NE KONE ČN Ě M N OHA
HMOTNÝCH BOD Ů , M E ZI NI M I Ž E XI S T UJ Í SKL E RONOM NÍ HOL ONOM NÍ VAZB Y .
Fakt, že silové působení mezi hmotnými body v tuhém tělese je popsáno skleronmními holonomními
vazbami (viz odstavec 2.2), znamená, že se tuhé těleso nedeformuje a nevyvíjí v čase.
Možnost deformace a vývoje v čase připouštíme až v kontinuu.
Tuhé těleso má:
1. tři stupně volnosti popisující translační pohyb - pro jednoduchost se uvažuje translační pohyb
hmotného středu tuhého tělesa;
Tuhé těleso se může pohybovat nahoru - dolů, doleva - doprava a dopředu - dozadu, tedy ve třech
nezávislých směrech.
2. tři stupně volnosti popisující rotační pohyb - uvažuje se rotace kolem okamžité osy otáčení
procházející hmotným středem tuhého tělesa.
Tuhé tělese se může natáčet kolem tří os - představme si např. činku na posilování nebo obecně nějaké
nesymetrické tuhé těleso (automobil padající po nehodě ze skály, …).
Uvažované tři stupně volnosti popisující rotační pohyb, jsou charakterizovány tzv. Eulerovými úhly (viz
odstavec 5.1.5).
obr. 57
Pro popis pohybu tuhého tělesa se zavádějí dvě ortonormální báze:
1. pevná báze { }ie (pro 1, 2, 3i = ) - je to báze, jejíž poloha v prostoru je pevně daná vůči zvolenému
inerciálnímu systému. V případě popisu pohybů skutečných těles (dopravní prostředky, …) je
možné jejich polohu vzhledem k této bázi určit např. pomocí přístroje GPS.
Poloha pevné báze se tedy s časem nemění.
Pohyb tuhého tělesa popisujeme vůči inerciální soustavě proto, že v této soustavě mají pohybové rovnice
jednoduché matematické vyjádření - např. není nutné do nich zahrnovat setrvačné síly.
2. korotující báze { }ie′ (pro 1, 2, 3i = ) - tato báze je spojená s tuhým tělesem, její vektory mají
společný počátek ve hmotném středu tělesa a tato báze se tedy pohybuje společně s daným tuhým
tělesem. Její poloha v prostoru (např. vzhledem ke družicím systému GPS) se tedy mění
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
79
v závislosti na pohybu tělesa. Natočení této korotující báze popisujeme vzhledem k pevné bázi
(referenční bázi).
Poloha této korotující báze se v čase mění. Tuto bázi si lze modelovat tak, že vezmeme bramboru (jako
model tuhého tělesa) a do ní zapíchneme tři na sebe navzájem kolmé stejně dlouhé špejle představující tři
navzájem kolmé jednotkové vektory báze. Hodíme-li bramboru, budou se špejle pohybovat spolu s bramborou.
Polohu brambory (resp. tří špejlí) lze ale popisovat také vůči místnosti (pevná báze), v níž pokus provádíme a
jejíž souřadnice jsme získali pomocí systému GPS.
Popisované báze jsou schématicky zobrazeny na obr. 57.
Poloha tuhého tělesa tedy bude jednoznačně určena, bude-li určeno natočení báze, která rotuje s tělesem
(korotující báze), vůči pevné bázi v prostoru.
Pro kompletní popis pohybu tuhého tělesa je nutné najít transformační vztahy mezi oběma výše
uvedenými bázemi. Báze { }ie a { }ie′ jsou spolu svázány ortogonální maticí přechodu A vztahem
3
i ik k ik k
k 1
e A e A e
=
′ = =∑
(226)
pro 1, 2, 3i = , kde ikA jsou prvky transformační matice A splňující relace ortogonality ve tvaru
ik jk ijA A δ= resp. ki kj ijA A δ= (227)
pro , , 1, 2, 3i j k = .
Matice A tedy zachová při transformaci bází jejich ortogonalitu.
V dalším textu budeme využívat Einsteinovo sumační pravidlo, čímž se zápis vztahů zjednoduší.
Všechny indexy budou nabývat hodnot 1, 2 a 3, neboť popisujeme trojrozměrné tuhé těleso pohybující se
v trojrozměrném prostoru.
Indexy studovaných veličin a matematických objektů budeme v kapitole 5 psát kvůli větší přehlednosti
dolů, což je přípustné, neboť pracujeme v ortogonálních systémech.
Vztahy (227) lze interpretovat též tak, že popisují skalární součin dvou řádků (resp. skalární součin dvou
sloupců) matice A.
Vztahy (227) jsou definičními vztahy ortogonality. To znamená, že zaručují, že matice A převede pomocí
vztahu (226) ortogonální bázi { }ie na ortogonální bázi { }ie′ .
Důkaz vztahů (227) lze provést pomocí jednoduché geometrické vlastnosti a s využitím vztahu (226). Pro
dva ortogonální vektory ie′ a je′ báze { }ie′ platí i j ij.e e δ′ ′ = . S využitím vztahu (226) lze tedy psát
ij i j ik k jl l ik jl k l ik jl kl ik jk. . .e e A e A e A A e e A A A Aδ δ′ ′= = = = = , čím je dokázán první vztah. Při úpravách jsme využili
i vlastnosti vektorů ke a le báze { }ie , pro které platí k l kl.e e δ= . Druhou část vztahu (227) dokážeme
s využitím vlastností transponovaných matic. Platí ( ) ( )
T T T T
ij ji ik jk jk ik kj kiA A A A A Aδ δ= = = = . A tím je dokázána
druhá část vztahu (227).
Pro ortogonální matici A dále platí
T 1−
=A A , (228)
kde 1−
A je inverzní matice k matici A. Vztah (228) přitom vyplývá ze vztahu (226) a z ortogonality vektorů
bází { }ie a { }ie′ .
Matice A má devět složek, které jsou popsány devíti relacemi ortogonality. Nezávislých jich je přitom jen
tolik, kolik je nezávislých složek symetrické matice - a těch je šest. Symetričnost matice A přitom vyplývá
z výše uvedených vlastností ortogonality.
Symetrická matice typu (3, 3) má tři nezávislé prvky na hlavní diagonále a tři nezávislé prvky nad hlavní
diagonálou. Prvky pod hlavní diagonálou už musejí být stejné jako prvky nad hlavní diagonálou, aby matice
byla symetrická.
Každá ortogonální matice (tedy i matice A) má jen tři nezávislé prvky, které odpovídají třem stupňům
volnosti pro rotační pohyb tuhého tělesa. (Všech devět prvků matice A je totiž svázáno šesti relacemi
ortogonality - proto má matice A tři nezávislé prvky.) Budeme tedy hledat tři nezávislé parametry popisující
rotaci tuhého tělesa. Ukáže se, že těmito nezávislými parametry jsou Eulerovy úhly (viz odstavec 5.1.5).
Je nutné si uvědomit, že natočení tuhého tělesa se mění v čase: během rotace tuhého tělesa se mění
natočení vektorů korotující báze { }ie′ spojené s tělesem vzhledem k pevné bázi { }ie . Ta je ovšem pevně
zvolená v prostoru, a proto je na čase nezávislá. To ale znamená, že na čase budou závislé prvky matice A.
Časové změny fyzikálních veličin ale budeme vyšetřovat vůči oběma uvažovaným bázím. Budeme proto
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
80
uvažovat dvě různé (ovšem navzájem ekvivalentní) fyzikální veličiny, které budou popisovat pohyb tuhého
tělesa z hlediska uvažovaných dvou bází. Proto je důležité vždy vědět, vůči jakému systému popisujeme pohyb
daného tuhého tělesa.
To znamená, že např. pohyb technika, který kráčí po rotujícím dětském kolotoči, můžeme popsat
z hlediska vnějšího pozorovatele, který je mimo kolotoč, nebo z hlediska dítěte, které na dětském kolotoči sedí.
Oba pozorovatelé (jak ten vnější, tak dítě na kolotoči) mohou vyšetřovat např. rychlost, kterou se technik
pohybuje - oba přitom zjistí různé časové závislosti a různé velikosti rychlosti kráčejícího technika. A přitom
fyzikální veličiny popisující pohyb technika, které definuje vnější pozorovat i dítě na kolotoči, jsou definované
korektně (viz obr. 58).
obr. 58
5.1.2 Zavedení úhlové rychlosti
Uvažujme libovolný časově závislý vektor ( )w t , který budeme zkoumat jak v pevné bázi { }ie , tak
v korotující bázi ( ){ }ie t′ (viz odstavec 5.1.1).
Korotující báze ( ){ }ie t′ je skutečně závislá na čase, neboť rotuje spolu s tuhým tělesem (viz odstavec
5.1.1).
Souřadnice ( )iw t resp. ( )iw t′ vektoru ( )w t můžeme vyjádřit v obou uvažovaných bázích pomocí
vztahů
( ) ( )i iw t w t e= (229)
resp.
( ) ( ) ( )i iw t w t e t′ ′= . (230)
Ve vztahu (230) se mění v závislosti na čase jak souřadnice uvažovaného vektoru, tak vektory korotující
báze. Pro bázové vektory obou bází přitom platí vztahy
( ) ( )i ik ke t A t e′ = a ( ) ( )k jk je t A t e′= (231)
a dále platí
lk ik liA A δ= . (232)
Vztahy (231) a (232) jsou analogické jako vztahy (226) a (227) jsou jen přepsány ve vhodných indexech
pro další odvozování. Pro časovou změnu vektoru ( )w t vůči pevnému inerciálnímu systému můžeme postupně
psát:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )i i i
i i i
d d d d
d d d d
w t w t w t e t
e e t w t
t t t t
′ ′
′ ′= = + .
(233)
Vektor ( )w t popisujeme vzhledem k pevnému inerciálnímu systému, ale vyjádřili jsme ho jak z hlediska
pevné báze, tak z hlediska korotující báze.
Byly by další dvě možnosti, jak situaci vyšetřovat: definovat vektor vzhledem k soustavě, která se
pohybuje spolu s tuhým tělesem a vyjádřit ho jak v korotující bázi (její vektory by se v čase neměnily), tak
v pevné bázi, jejíž vektory by se tentokráte měnily. Vztažná soustava by se totiž vůči pevné bázi pohybovala.
S využitím obou vztahů (231), můžeme vztah (233) přepsat ve tvaru
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )i ik i ik
i i k i i jk j
d d d d d
d d d d d
w t w t A t w t A t
e t w t e e t w t A t e
t t t t t
′ ′
′ ′ ′ ′ ′= + = + . Dostáváme tedy vztah
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
81
( ) ( )
( ) ( )i
i i ij j
d d
d d
w t w t
e t w t e
t t
′
′ ′ ′ ′= + Ω ,
(234)
v němž jsme označili
ik
ij jk
d
d
A
A
t
′Ω = .
(235)
Vztah (235) lze též zapsat v ekvivalentním tvaru
Td
dt
=
A
Ω A ;
(236)
zavedli jsme tedy matici Ω s prvky ij′Ω definovanými vztahem (235).
Důvod, proč je matice značená bez čárky a její prvky s čárkou, bude vysvětlen později.
Lze vyslovit následující tvrzení:
MA T I C E Ω J E A N T I S Y M E T R I C K Á .
Toto tvrzení snadno dokážeme. Prvky matice Ω splňují relace ortogonality (232), neboť na základě nich
byla matice Ω odvozena. Časovou derivací vztahu (232) dostaneme lk ik
ik lk
d d
0
d d
A A
A A
t t
+ = , odkud vyjádříme
lk ik
ik lk
d d
d d
A A
A A
t t
= − . Vzhledem k symetričnosti matice A můžeme psát lk ik
ik lk
d d
d d
A A
A A
t t
= − a na základě
vztahu (235) dostaneme li il′ ′Ω = −Ω , což znamená, že matice Ω je antisymetrická a má tedy jen tři nezávislé
prvky. Podle právě odvozeného vztahu je zřejmé, že na hlavní diagonále matice Ω jsou nuly, takže zbývá určit
její tři nezávislé prvky. Ostatní tři jsou již jednoznačně určeny - jsou to opačná čísla k číslům vyjadřující ony tři
nezávislé prvky uvažované matice.
Proto můžeme provést tzv. přirozené mapování (přirozené zobrazení, operaci duality), při kterém
antisymetrické matici přiřadíme vektor Ω se složkami:
i ijk jk
1
2
ε′ ′Ω = Ω ,
(237)
kde ijkε je Lewi-Civitův symbol (Lewi-Civitův tenzor). Provedeme-li naznačený součet podle proměnné k,
dostaneme
( ) ( )1 2 3 23 13 12; ; ; ;′ ′ ′ ′ ′ ′Ω = Ω Ω Ω = Ω − Ω Ω . (238)
Pro i-tou složku vektoru Ω můžeme totiž psát
( )i i12 12 i13 13 i21 21 i23 23 i31 31 i32 32
1
2
ε ε ε ε ε ε′ ′ ′ ′ ′ ′ ′Ω = Ω + Ω + Ω + Ω + Ω + Ω , přičemž jsme nepsali ty členy, které rovnou
obsahují dva stejné indexy (např. i22 22ε ′Ω ). Lewi-Civitiův symbol, který má dva indexy stejné, je totiž nulový.
Vektor Ω definovaný vztahem (237) je vektor úhlové rychlosti otáčení tuhého tělesa.
K vektoru Ω je nutné uvést několik poznámek:
1. Ω je duální pseudovektor a to proto, že přirozené mapování provedené vztahem (237) (tj.
definice jednotlivých složek vektoru Ω ) není jednoznačné: při změně levotočivé báze na
pravotočivou bázi (nebo naopak) se změní znaménka jeho souřadnic. Tato změna znamének by ale
neměla nastávat často - ve fyzice se k popisu pohybujících se hmotných bodů a těles používá
levotočivý kartézský systém souřadnic (tj. ten, který má osy x, y a z orientovány podle pravidla
pravé ruky). Skutečnost, že Ω je pseudovektor vyplývá z toho, že i Levi-Civitův symbol ijkε je
pseudovektor.
2. Přiřazení pomocí vztahu (237) lze korektně provést jen ve trojrozměrném prostoru, neboť matice
Ω má tři nezávislé prvky a vektor Ω má také tři nezávislé složky.
V teorii relativity, v teorii elektromagnetického pole a dalších oborech fyziky je nutné popisované
přiřazení provést tak, že matici přiřadíme matici (nikoliv vektor).
3. Vektor Ω má složky definované vůči korotující bázi { }ie′ , proto jsou jeho složky i prvky matice
Ω označeny symboly i′Ω resp. ij′Ω .
Tím je vysvětlen zdánlivý rozpor ve značení ve vztazích (235) a (236).
Analogicky lze vytvořit z vektoru matici, tj. napsat ke vztahu (237) duální vztah ve tvaru
li lik kε′ ′Ω = Ω . (239)
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
82
Ve vztahu (239) ve srovnání se vztahem (237) chybí činitel 0,5. To proto, že na levé straně vztahu (239)
je veličina indexovaná dvěma indexy a existuje tedy jediná možnost přiřazení.
Nyní budeme pokračovat v úpravě vztahu (234), ve kterém nejdříve provedeme záměnu indexů:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )i i
i i ij j i l li i
d d d
d d d
w t w t w t
e t w t e e t w t e
t t t
′ ′
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + Ω = + Ω .
Tato úprava se používá proto, aby se zpřehlednil zápis daného vztahu nebo aby se sjednotilo značení
indexů u veličin, které spolu souvisejí.
Dosazením ze vztahu (239) získáme
( ) ( )
( ) ( )i
i l lik k i
d d
d d
w t w t
e t w t e
t t
ε
′
′ ′ ′ ′= + Ω . Provedením cyklické záměny
indexů Levi-Civitova symbolu dostaneme
( ) ( )
( ) ( )i
i ikl k l i
d d
d d
w t w t
e t w t e
t t
ε
′
′ ′ ′ ′= + Ω . Souřadnici ( )lw t′ vektoru w
můžeme v daném součinu umístit na jakékoliv místo, neboť ( )lw t′ je složka vektoru (tedy číslo). Další úpravou
je využití definice vektorového součinu:
( ) ( )
( ) ( )i
i i
i
d d
d d
w t w t
e t w e
t t
′ ′′ ′= + Ω× .
(240)
Tento vztah popisuje časovou derivaci libovolného vektoru w vzhledem ke zvolenému inerciálnímu
systému v prostoru vyjádřenou v korotující bázi { }ie′ . V právě uvedeném vztahu popisuje člen
( )
( )i
i
d
d
w t
e t
t
′
′
změnu vektoru w , jehož souřadnice jsou definovány vztahy (229) a (230), vůči korotující bázi { }ie′ a člen
( ) i
i
w e
′ ′Ω× odpovídá přechodu mezi dvěma bázemi při popisu uvažovaného tuhého tělesa rotujícího úhlovou
rychlostí Ω .
Platí-li daný vztah mezi určitými vektory v jedné bázi, platí v každé bázi. Proto můžeme psát
( ) ( )tělesod d
d d
w t w t
w
t t
= + Ω×
(241)
bez ohledu na konkrétní bázi.
Tento vztah je velmi důležitý, a proto vyžaduje několik komentářů:
1.
d
d
w
t
a tělesod
d
w
t
jsou dva různé vektory, nikoliv jeden vektor vyjádřený v různých bázích;
2. pokud zvolíme w r= , kde r je polohový vektor popisující polohu objektu na rotujícím tuhém
tělesu, pak člen
d d
d d
w r
t t
= definuje rychlost pohybu hmotného bodu na tuhém tělese vůči vnějšímu
pozorovateli;
3. při stejné volbě pak člen těleso tělesod d
d d
w r
t t
= definuje rychlost pohybu hmotného bodu na tuhém
tělese vůči tomuto tuhému tělesu
obr. 59
Můžeme si představit situaci podobnou ilustračnímu příkladu uvedenému v odstavci 5.1.1 a zobrazenou
na obr. 59. Po kolotoči se pohybuje technik a jeho pohyb pozoruje dítě na kolotoči i pozorovatel mimo kolotoč.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
83
Dítě na kolotoči vnímá pouze vlastní pohyb technika vůči kolotoči (popsaný výrazem těleso tělesod d
d d
w r
t t
= ),
zatímco pozorovatel zvenčí vidí rotační pohyb technika na kolotoči: k tomu, co pozoruje dítě musí přidat ještě
oběžný pohyb kolotoče (člen w rΩ× = Ω× ve výrazu (241)).
Kolotoč zobrazený na obr. 59 představuje speciální otáčení: otáčení s pevnou osou (rotace s pevnou
osou), která je popsána v odstavci 5.1.3.
5.1.3 Rotace s pevnou osou
Rotace s pevnou osou je speciálním případem obecného otáčení, a proto je toto otáčení popsáno i
speciálními maticemi A a Ω definované vztahy (226) a (235).
Speciálnost matic spočívá v tom, že mají jednoduchý tvar - viz definice matice A pomocí vztahu (242).
Matice obsahuje řadu konstantních prvků (nuly a jedničky) právě proto, že popisuje speciálně zvolenou rotaci
tuhého tělesa.
Budeme-li uvažovat rotaci kolem osy z, tj. kolem přímky se směrovým vektorem 3e , bude mít matice A
tvar
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
ϕ ϕ
ϕ ϕ
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
A ,
(242)
neboť otáčení lze popsat funkcí ( )tϕ .
S využitím vztahu (236) můžeme matici Ω psát ve tvaru
sin cos 0 cos sin 0 0 1 0
cos sin 0 . sin cos 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Ω , odkud na základě vztahu (238) vyplývá
( )0; 0;ϕΩ = . (243)
Tento tvar vektoru úhlové rychlosti je z fyzikálního hlediska v pořádku: vektor Ω má velikost i směr,
které odpovídají skutečnosti. Velikost vektoru Ω je ϕΩ = a jeho směr je totožný s osou z (tj. s tou osou, kolem
které se tuhé těleso otáčí).
5.1.4 Skládání rotací a vektorů úhlových rychlostí
OT Á ČE N Í T Ě L E S A N E N Í O B E C N Ě K O M U T A T I V N Í , A L E S K L Á D Á N Í Ú H L O V Ý C H
R Y C H L O S T Í K O M U T A T I V N Í J E: VEKTORY ÚHLOVÝCH RYCHL O S T I S E S K L Á D A J Í
L I N E Á R N Ě .
Úhlové rychlosti se tedy skládají jako „normální“ vektory.
Provedeme důkaz uvedeného tvrzení. Uvažujme první ortogonální matici A, která je maticí přechodu od
báze { }ke k bázi { }ie′ a popisuje první otočení tuhého tělesa. To znamená, že platí transformační vtah (226).
Dále uvažujme druhou ortogonální matici B popisující druhé otočení tuhého tělesa, kterou lze považovat za
matici přechodu od báze { }ie′ k bázi { }je′′ definovanou vztahem
j ji ie B e′′ ′= . (244)
Složením obou otočení získáme
j ji i ji ik k jk ke B e B A e C e′′ ′= = = , (245)
kde matice C je definována vztahem
.=C B A . (246)
Vzhledem k tomu, že násobení matic není obecně komutativní, není obecně komutativní ani skládání
otočení tuhého tělesa.
Nyní dokážeme, že vektory úhlové rychlosti se skládají lineárně. Vyjdeme z definice (236) matice Ω a
pro matici C′′
Ω popisující úhlovou rychlost otáčení tuhého tělesa charakterizovanou maticí C můžeme psát
C Td
dt
′′
=
C
Ω C . S využitím vztahu (246) dále postupnými úpravami dostáváme
( )
( )TC T T T T T Td . d d d d
. . . . . . . . . . .
d d d d dt t t t t
′′ ⎛ ⎞
= = + = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
B A B A B A
Ω B A A B A B A A B B A B . Ze vztahu (228) vyplývá, že
T
. =A A E , kde E je jednotková matice. Proto můžeme dále psát
C T T T B A Td d
. . . . . .
d dt t
′′ ′′ ′
= + = +
B A
Ω B B A B Ω B Ω B . V poslední úpravě jsme využili opět definiční vztah matice
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
84
B′′
Ω resp. A′
Ω . Uvědomíme-li si, že matice A T
. .′
B Ω B popisuje transformaci matice A z báze { }ie′ do báze
{ }ie′′ , můžeme napsat finální vztah ve tvaru
C B A′′ ′′ ′′
= +Ω Ω Ω . (247)
Čárky v indexech u matic konkretizují, v jaké bázi je příslušná matice definována.
Obecně tedy pro vektory úhlové rychlosti popisující otáčení tuhého tělesa kolem různých os platí
C B A
= +Ω Ω Ω . (248)
5.1.5 Popis rotace tuhého tělesa - Eulerovy kinematické rovnice
Pro korektní popis rotace tuhého tělesa (resp. natočení tuhého tělesa) kolem dané osy je nutné zavést tři
nezávislé parametry. Počet těchto parametrů vyplývá ze symetrie matice ortogonality (viz odstavec 5.1.1).
Těmito třemi parametry jsou tzv. Eulerovy úhly, jejichž funkce pak vystupují v matici ortogonality A a v matici
Ω definující úhlovou rychlost otáčení tuhého tělesa. Budeme postupovat tak, abychom dokázali, že libovolné
natočení tuhého tělesa lze složit ze tří otočení kolem vhodných os. A každé z těchto tří otočení je popsáno
jedním z Eulerových úhlů.
obr. 60
obr. 61
obr. 62
Uzlová přímka zobrazená na obr. 62 vyznačuje původní polohu osy x′ z obr. 61.
Švýcarský matematik a fyzik Leonhard Paul Euler (1707 - 1783) se snažil popsat setrvačníky, a proto
volil úhly popisující rotaci setrvačníku (a obecně tuhého tělesa) takto:
1. precesní úhel ϕ - charakterizuje otočení kolem osy z (resp. 3x ) kartézského systému souřadnic a
je z intervalu )0; 2π ;
2. nutační úhel ϑ - charakterizuje otočení kolem osy y′ (resp. 2x′ ), což je nová poloha osy x (resp.
1x ) po předchozích otočeních; je z intervalu )0; π ;
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
85
3. rotační úhel ψ - charakterizuje otočení kolem nové polohy osy z (resp. 3x ) a je z intervalu
)0; 2π .
Úhel ψ charakterizuje vlastní rotaci tuhého tělesa kolem jeho osy, která splývá s osou z. Úhel ϑ
charakterizuje odchylku vlastní osy tuhého tělesa (kolem níž tuhé těleso rotuje) od svislého směru a úhel ϕ
určuje natočení tzv. uzlové přímky. Úhly ϑ a ϕ tak jednoznačně určují polohu osy tuhého tělesa, kolem níž
těleso rotuje.
Úhly ϑ a ϕ mají analogický význam jako sférické souřadnice resp. zeměpisné souřadnice: úhel ϑ
odpovídá zeměpisné šířce (odklon od severního pólu) a úhel ϕ zeměpisné délce.
Postup, kterým ukážeme, že libovolné natočení tuhého tělesa v prostoru lze složit z natočení
charakterizovaných právě zavedenými Eulerovými úhly, aplikujeme ve třech krocích na rotaci kartézského
systému souřadnic 0xyz:
1. rotace kolem osy z (resp. 3x ) o úhel ϕ (viz obr. 60) - tato rotace je popsána maticí D, která má
stejný tvar jako matice daná předpisem (242)
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
ϕ ϕ
ϕ ϕ
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
D ,
(249)
jíž přísluší vektor úhlové rychlosti ve tvaru
( )D
0; 0;ϕΩ = . (250)
2. rotace kolem nové polohy osy y (resp. 2x ) o úhel ϑ (viz obr. 61) - tato rotace je popsána maticí C
ve tvaru
1 0 0
0 cos sin
0 sin cos
ϑ ϑ
ϑ ϑ
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟−⎝ ⎠
C ;
(251)
této matici odpovídá vektor úhlové rychlosti ve tvaru
( )C
; 0; 0ϑΩ = . (252)
3. rotace kolem nové polohy osy z (resp. 3x ) o úhel ψ (viz obr. 62) - tato rotace je popsaná maticí B
ve tvaru
cos sin 0
sin cos 0
0 0 1
ψ ψ
ψ ψ
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= −⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
B ,
(253)
které odpovídá vektor úhlové rychlosti ve tvaru
( )B
0; 0;ψΩ = . (254)
Na základě vztahu (246) můžeme výsledné otočení, které vznikne složením právě popsaných otočeních
v uvedeném pořadí charakterizovaných maticemi (249), (251) a (253), popsat maticí A ve tvaru
. .=A B C D . (255)
V právě uvedeném vztahu závisí na pořadí násobení, protože násobení matic není obecně komutativní. A
ani skládání otočení, které je maticemi popsáno, není obecně komutativní (viz důkaz v odstavci 5.1.4).
Této matici pak odpovídá vektor úhlové rychlosti Ω , který můžeme psát s využitím vztahu (248) ve
tvaru
B C D
. . .Ω = Ω + Ω + ΩB B C , (256)
v němž jsou vektory úhlových rychlostí C
Ω a D
Ω násobeny příslušnými maticemi proto, abychom tyto
vektory vyjádřili ve správné bázi, v níž jsou definovány a mají smysl. Vektor C
Ω je totiž definován v soustavě
souřadnic (v bázi), která vznikne po prvním otočení. Proto jej musíme přepočítat tak, jak by vypadal po třetím
otočení, aby jej bylo možné přičíst k vektoru B
Ω , který je definován v bázi, která vznikne po třetím otočení
daného kartézského systému. Analogicky je nutné vektor D
Ω , který je definován v původní kartézské soustavě,
transformovat do soustavy souřadnic, kterou získáme po dalších dvou otočeních. Po dosazení matic (251) a
(253) a vektorů (250), (252) a (254), které je nutné kvůli operacím s maticemi dosazovat v transponované
podobě, do vztahu (256) dostaneme
x
y
z
0 cos sin 0 1 0 0 0
0 sin cos 0 . 0 0 cos sin . 0
0 0 1 0 0 sin cos
ψ ψ ϑ
ψ ψ ϑ ϑ
ψ ϑ ϑ ϕ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Ω = Ω = + − +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −Ω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
86
Provedením naznačených operací s maticemi získáme vztah
x
y
z
0 cos sin 0 cos sin sin
0 sin cos 0 . sin sin sin cos
0 0 1 cos cos
ψ ψ ϑ ϑ ψ ϕ ϑ ψ
ψ ψ ϕ ϑ ϑ ψ ϕ ϑ ψ
ψ ϕ ϑ ψ ϕ ϑ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ω +⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Ω = + − = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+Ω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
. Tedy můžeme psát
x
y
z
cos sin sin
sin sin cos
cos
ϑ ψ ϕ ϑ ψ
ϑ ψ ϕ ϑ ψ
ψ ϕ ϑ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞Ω +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
Ω = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟+Ω ⎝ ⎠⎝ ⎠
,
(257)
což je maticové vyjádření Eulerových kinematických rovnic v korotující bázi, která rotuje spolu s tělesem.
Vektor Ω má směr okamžité osy otáčení, kolem níž se tuhé těleso otáčí.
5.2 Dynamika tuhého tělesa
5.2.1 Motivace
Dynamika pohybu hmotných bodů je popsána Newtonovými zákony, zejména druhým Newtonovým
zákonem ve tvaru
d
d
v
F m
t
= . Na levé straně vztahu je výslednice sil, které na hmotný bod působí, na pravé
straně vystupují veličiny popisující změny pohybového stavu hmotného bodu vyvolané působícími silami.
Hmotnost m zde popisuje míru odporu hmotného bodu k jeho urychlování (nechuť hmotného bodu
k pohybu). Pro popis tuhého tělesa bychom chtěli zavést analogickou veličinu, která bude popisovat nechuť
tuhého tělesa k jeho urychlování - v tomto případě ale nechuť rotovat.
V případě popisu pohybů tuhého tělesa budeme uvažovat pouze pohyb rotační, neboť translační pohyb
lze popsat analogicky jako pohyb hmotného bodu. Translační pohyb tuhého tělesa proto budeme popisovat jako
pohyb jednoho hmotného bodu, kterým bude těžiště tuhého tělesa.
Tuhé těleso si tedy pro popis translačního pohybu „zmenšíme“ do jednoho bodu (do těžiště tuhého
tělesa), v němž je soustředěna veškerá hmota tuhého tělesa.
Veličinou analogickou k veličině
d
d
v
t
, která vystupuje ve druhém Newtonově zákonu, bude veličina
d
dt
Ω
,
veličinou analogickou k výslednici sil F bude celkový moment sil M , který popisuje míru otáčivých účinků
daných sil na tuhé těleso. Problémem zůstává, jakou veličinu zvolit jako analogii hmotnosti hmotného bodu.
Bylo by možné použít moment setrvačnosti, který má pro rotační pohyb tuhého tělesa podobný význam jako
hmotnost (přesněji setrvačná hmotnost) hmotného bodu při translačním pohybu. Nevýhodou je, že moment
setrvačnosti tuhého tělesa je obecně pro každou osu, kolem které se může tuhé těleso otáčet, jiný a jeho hodnota
závisí na rozložení látky v tuhém tělese vzhledem k dané ose otáčení. Proto je vhodnější zavést jiný popis, který
bude jednodušší a nebude nutné hodnoty přepočítávat v každém časovém okamžiku pro každou osu, kolem níž
se bude tuhé těleso otáčet. Touto veličinou je tenzor setrvačnosti, který je definován v odstavci 5.2.2.
5.2.2 Tenzor setrvačnosti
Tenzor setrvačnosti zavedeme nejdříve bez ohledu na souřadnice; ty určíme až nakonec odvozování.
TE N ZOR S E T R V A ČN O S T I P O P I S U J E S E T R V AČNÉ VL AST NOST I T UHÉ HO T Ě L E S A V ŮČI
R O T AČNÍ M U POHYB U.
Tenzor setrvačnosti tedy udává nechuť tuhého tělesa k rotačnímu pohybu analogicky, jako udává
hmotnost (setrvačná hmotnost) hmotného bodu nechuť k jeho translačnímu pohybu.
Vyjdeme z celkového momentu hybnosti L tuhého tělesa, který je definován vztahem
N
a a
a 1
L r p
=
= ×∑ ,
(258)
ve kterém se sčítá přes všechny body tuhého tělesa, tj. od jedné do N. Každý bod tuhého tělesa je
charakterizován hmotností a
m , polohovým vektorem a
r a hustota objemového elementu je ( )a
rρ - viz obr.
63.
obr. 63
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
87
Vztah (258) můžeme dále upravit s využitím definice hybnosti a s využitím vlastností vektorového
součinu. Dostáváme tak
N N N a
a a a a a a a a
a 1 a 1 a 1
d
d
r
L r m v m r v m r
t= = =
= × = × = ×∑ ∑ ∑ . S využitím vztahu (241) pak
můžeme v úpravách pokračovat:
N a
a a a
a 1
d
d
r
L m r r
t=
⎛ ⎞′
⎜ ⎟= × + Ω×
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ . Platí
a
d
d
r
o
t
′
= , neboť popisujeme pohyb
tuhého tělesa jako jednoho celku a jeho jednotlivé elementy se proto vzhledem k sobě nepohybují. Můžeme tedy
psát
( )
N
a a a
a 1
L m r r
=
= × Ω×∑ .
(259)
Pravdivost rovnosti
a
d
d
r
o
t
′
= je zřejmá v analogii s pohybujícím se dětským kolotočem: koník, autíčko,
… na dětském kolotoči jsou vzhledem ke kolotoči v klidu.
Nyní vezmeme libovolný pomocný vektor ξ , který zatím nemá žádný fyzikální smysl, a do jeho směru
promítneme vektor momentu hybnosti L . Následující úvahy provedeme obecně a teprve až potom dáme vektoru
ξ fyzikální význam. Promítnutí vektoru ξ do směru vektoru L provedeme pomocí skalárního součinu těchto
dvou vektorů. S využitím vztahu (259) dostaneme
( )
N
a a a
a 1
. .L m r rξ ξ
=
= × Ω×∑ .
(260)
Uvědomíme-li si, že absolutní hodnota smíšeného součinu vektorů a , b a c ve tvaru ( ).a b c× určuje
objem rovnoběžnostěnu, jehož tři strany vycházející z jednoho jeho vrcholu jsou reprezentovány vektory a , b
a c , je zřejmé, že uvedený zápis smíšeného součinu můžeme psát v dalších tvarech. Uvedené pořadí násobení
vektorů totiž není jediné - při určování objemu rovnoběžnostěnu nezávisí na tom, v jakém pořadí vynásobíme
délky jeho stran vycházejících z jednoho jeho vrcholu.
Vztah (260) lze tedy přepsat ve tvaru ( ) ( )
N
a a a
a 1
. .L m r rξ ξ
=
= × Ω×∑ a definovat bilineární zobrazení
( ),I ξ Ω předpisem
( ) ( ) ( )
N
a a a
a 1
, .I m r rξ ξ
=
Ω = × Ω×∑ ,
(261)
na které lze nahlížet jako na funkci dvou proměnných ξ a Ω .
Hmotnosti a
m a polohové vektory a
r jsou dány vyšetřovaným tuhým tělesem, vektory ξ a Ω vstupují
do popisu tuhého tělesa „zvenčí“.
Vztah (261) definuje bilineární zobrazení proto, že vztah (261) je lineární v obou argumentech (součet i
součin jsou lineární operace). Dvěma vektorům je tímto zobrazením přiřazeno reálné číslo, což je schéma této
struktury. Matematicky je ovšem tímto předpisem definován tenzor.
Vztahem (261) jsme tedy definovali tenzor druhého řádu - v našem případě to je tenzor setrvačnosti.
Fakt, že se jedná o tenzor druhého řádu vyplývá z toho, že k jeho určení jsou nutné dva vektory.
Ve speciálním případě lze vztah (261) psát ve tvaru
( ) ( ) ( ) ( )
N N N
2a a a a a a a a
a 1 a 1 a 1
, . . 2I m r r m v v m v T
= = =
Ω Ω = Ω× Ω× = = =∑ ∑ ∑ . Kinetickou energii T rotujícího tuhého
tělesa lze tedy psát ve tvaru
( )1
,
2
T I= Ω Ω .
(262)
Dále bychom rádi vyjádřili prvky ijI matice I. K tomu je ale nutné zavést bázi, v níž vyjádříme všechny
vektory v uvažovaném vztahu (v tomto případě vztah (262)). Pro obecný tenzor ( ),T v w platí:
( ) ( ) ( )i i j j i j i j, , ,T v w T v e w e v w T e e= = , odkud vyplývá, že
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
88
( )ij i j,T T e e= . (263)
S využitím vztahu (263) můžeme psát ( ) ( ) ( )ij i j ik k jl l ik jl k l, , ,T T e e T A e A e A A T e e′ ′ ′= = = , takže dostáváme
ij ik jl klT A A T′ = . (264)
Správně bychom měli rozlišovat psaní horních indexů a dolních indexů, ale zde to není nutné, neboť
lokálně pracujeme v kartézských souřadnicích (v kartézské bázi).
Nyní můžeme vyjádřit tenzor I definovaný vztahem (261) ve složkách báze { }ie . Můžeme proto psát
( ) ( ) ( )i i j j i j i j, , ,I I e e I e eξ ξ ξΩ = Ω = Ω a tedy
( ) ij i j,I Iξ ξΩ = Ω . (265)
Matice ( ),I ξ Ω je symetrická matice typu ( )3, 3 , jejíž symetričnost vyplývá přímo z její definice (261):
skalární součin (pomocí kterého je definována) je totiž komutativní. To znamená, že matice má šest nezávislých
prvků.
Dříve než budeme pokračovat v dalších úpravách vztahu (261), si uvědomíme, že každý vektor a
r (tj.
pro všechny přípustné hodnoty a) lze rozepsat pomocí vektorů báze, v níž popisujeme celý pohyb, ve tvaru
a a
k kr x e= , (266)
kde a
kx je k-tá souřadnice a-tého vektoru.
S využitím vztahů (263) a (266) můžeme nyní vztah (261) psát ve tvaru:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
N N N
a a a a a a a a a
ij i j i j i k k j l l k l i k j l
r r
a 1 a 1 a 1
, . . .I I e e m e r e r m e x e e x e m x x e e e e
= = =
= = × × = × × = × ×∑ ∑ ∑ .
Uvědomíme-li si, že výraz ( )i k
r
e e× představuje r-tou složku naznačeného vektorového součinu, můžeme
pokračovat v úpravách:
( ) ( )
N N N N
a a a a a a a a a a a a a a
ij k l ikr jlr k l rik rjl k l ij kl il kj ij kl k l il kj k l
a 1 a 1 a 1 a 1
I m x x m x x m x x m x x x xε ε ε ε δ δ δ δ δ δ δ δ
= = = =
= = = − = −∑ ∑ ∑ ∑ .
Dostáváme tedy
( )
N
a a a a a
ij ij l l i j
a 1
I m x x x xδ
=
= −∑ .
(267)
Pokud si nyní představíme, že tuhé těleso, které popisujeme, je složeno z krychliček (resp. hranolků)
s různou hustotou ( )rρ , můžeme provést spojitou limitu vztahu (267) a získáme
( ) ( )ij ij l l i j
V
dI x x x x r Vδ ρ= −∫ , (268)
což jsou složky tenzoru setrvačnosti popisující spojité prostředí. lx , ix a jx jsou souřadnice polohového
vektoru vyjádřené v bázi, v níž počítáme.
Platí několik základních vztahů pro počítání ve složkách tenzoru setrvačnosti I . První z nich je triviální
a vyplývá přímo ze vztahu (267) resp. (268):
ij jiI I= . (269)
Záměnou indexů se v sumě resp. v integrandu nic nezmění.
S využitím vztahů (260) a (261) můžeme psát ( ). ,L Iξ ξ= Ω . S využitím vztahu (265) můžeme ve
složkách psát i i ij i jL Iξ ξ= Ω a tedy
i ij jL I= Ω . (270)
Dále můžeme vztah (262) s využitím vztahu (265) rozepsat ve složkách báze a získáme
ij i j
1
2
T I= Ω Ω .
(271)
Kinetickou energii T lze vyjádřit v zobecněných souřadnicích, kterými jsou v případě popisu rotace
tuhého tělesa Eulerovy úhly (viz odstavec 5.1.5). Za 1Ω , 2Ω a 3Ω tedy můžeme dosadit z Eulerových
kinematických rovnic (257). Získáme tak vyjádření kinetické energie v zobecněných souřadnicích, můžeme
vypočítat Lagrangeovu funkci definovanou vztahem (48) a řešit Lagrangeovy rovnice druhého druhu (47).
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
89
Matice I je symetrická matice, což znamená, že je možné jí pomocí vlastních čísel a vlastních vektorů
diagonalizovat. Vlastní vektory lze v případě matice tenzoru setrvačnosti volit na osách kartézského systému
souřadnic. Volbou ortogonální báze pak získáme hlavní čísla matice I přímo na její hlavní diagonále. Proto platí
ij j jI v vλ= , (272)
kde v je vlastní vektor matice I a λ vlastní číslo matice I.
Ve vztahu (272) je na levé straně vektor, který má obecně jiný směr a jinou velikost než vektor na pravé
straně tohoto vztahu. A právě vztah (272) určuje podmínku pro nalezení takového vektoru v , jehož směr se
nezmění po aplikaci matice I. Velikost může být jiná - to se případně „dorovná“ koeficientem λ .
Ortogonální báze tvořená vektory 1e , 2e a 3e , které jsou zároveň i vlastními vektory matice I, určují
hlavní osy tuhého tělesa resp. hlavní osy tenzoru setrvačnosti, který lze psát ve tvaru
1
2
3
0 0
0 0
0 0
I
I
I
⎛ ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
I ,
(273)
kde 1I , 2I a 3I jsou vlastní čísla matice I.
Vlastní čísla matice I byla ve vztahu (272) označena symbolem λ , ve vztahu (273) byla označena jako
1I , 2I a 3I . Vztah (272) je „matematická definice“ vlastních čísel a vlastních vektorů matice, zatímco vztah
(273) definuje fyzikální veličinu: tenzor setrvačnosti.
Každé těleso má tedy tři takové osy, pro které má tenzor setrvačnosti tvar daný výrazem (273), tj. má jen
tři nezávislé složky na hlavní diagonále. Tyto tři uvažované osy tuhého tělesa procházejí jeho těžištěm a
nazývají se hlavní osy tuhého tělesa. Proto se zkonkretizuje zápis vztahů (270) a (271), které přejdou na
vztahy:
1 1 1L I= Ω , 2 2 2L I= Ω a 3 3 3L I= Ω (274)
a
( )2 2 2
1 1 2 2 3 3
1
2
T I I I= Ω + Ω + Ω .
(275)
5.2.3 Moment setrvačnosti
Už z úvodní motivace ke studiu dynamiky tuhého tělesa (viz odstavec 5.2.1) je zřejmé, že tenzor
setrvačnosti I souvisí s momentem setrvačnosti. Budeme se tedy snažit nalézt vztah mezi složkami tenzoru
setrvačnosti ijI a momentem setrvačnosti nI .
MOM E N T S E T R V A ČN O S T I nI T UHÉ HO T Ě L E S A B U D E M E U V A ŽO V A T V ŮČI D A N É O S E ,
KOL E M N Í Ž S E T U HÉ T Ě L E S O OT ÁČÍ A K T E R Á J E U R Č E N Á J E D N O T K O V Ý M V E K T O R E M n .
obr. 64
Situace je zobrazená na obr. 64. Na obr. 65 je pak zobrazen detailnější rozbor situace, který budeme
potřebovat pro další odvození. Symbolem r⊥ je označena kolmá vzdálenost elementu tuhého tělesa o objemu
dV (resp. o hmotnosti d dm Vρ= ) od osy otáčení.
Kinetickou energii T tuhého tělesa chceme vyjádřit ve tvaru
2
n
1
2
T I= Ω
(276)
a přitom víme, že platí vztah (271). Na základě vztahu (243), který byl odvozen při vyšetřování rotace tuhého
tělesa kolem pevné osy (viz odstavec 5.1.3), víme, že vektor úhlové rychlosti Ω má směr osy otáčení tuhého
tělesa. V našem případě tedy platí
nΩ = Ω . (277)
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
90
S využitím vztahu (277) lze vztah (271) psát ve tvaru ij i j ij i j
1 1
2 2
T I I n n= Ω Ω = Ω Ω a tedy
2
ij i j
1
2
T I n n= Ω .
(278)
Porovnáním vztahů (276) a (278) dostáváme vyjádření pro moment setrvačnosti nI ve tvaru
n ij i jI I n n= . (279)
Složky tenzoru setrvačnosti jsou definovány integrálem (268), který je vypočítán na základě
charakteristik tuhého tělesa (hmotnost, rozložení látky v tuhém tělese, hustota tuhého tělesa, …). Tenzor
setrvačnosti je tedy určen pouze na základě charakteristik tuhého tělesa a nezávisí na volbě osy, kolem které se
tuhé těleso otáčí. Na volbě této osy závisí až moment setrvačnosti nI definovaný vztahem (279). To je ovšem
velmi příjemné pro praktické počítání.
Spočítáme totiž jeden integrál a momenty setrvačnosti daného tělesa vzhledem k libovolné ose, kolem
které se toto tuhé těleso otáčí, dopočítáme již sčítáním podle vztahu (279).
A nebo lze v případě tuhých těles velmi nepravidelných tvarů, u kterých by byl výpočet tenzoru
setrvačnosti podle vztahu (268) komplikovaný, postupovat obráceně. Experimentálně určit momenty
setrvačnosti tělesa rotujícího podle hlavních os a na základě toho určit tenzor setrvačnosti. Ten pak můžeme
použít k výpočtu momentu setrvačnosti v případě, že tuhé těleso rotuje kolem libovolné osy.
obr. 65
Dosazením definičního vztahu tenzoru setrvačnosti (268) do definičního vztahu momentu setrvačnosti
(279) dostaneme ( ) ( ) ( )
22 2
n ij i j l l i j i j i i l l i i j j
V V V
d d . dI n n x x x x n n V n n x x x n x n V n r r n Vδ ρ ρ ρ⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ ∫ ∫ .
Uvědomíme-li si, že osa rotace je charakterizovaná jednotkovým vektorem n , můžeme pokračovat v rozpisu
vztahu dále (i s využitím obr. 65) ( ) ( )22 2 2 2
n
V V V
.1.cos d sin d dI r r V r V r Vϑ ρ ϑ ρ ρ⊥= − = =∫ ∫ ∫ . Pro moment
setrvačnosti tedy dostáváme
2
n
V
dI r m⊥= ∫ , (280)
což je běžný vztah definující moment setrvačnosti tuhého tělesa.
Abychom získali další souvislosti pro praktické výpočty a praktické použití momentu setrvačnosti,
upravíme definiční vztah (279) momentu setrvačnosti tak, že jej vydělíme momentem setrvačnosti nI . Získáme
tak výraz
ji
ij
n n
1
nn
I
I I
= . Pokud nadefinujeme pomocný vektor ( )1 2 3; ;ξ ξ ξ ξ= vztahem
n
n
I
ξ =
(281)
můžeme psát
ij i j 1I ξ ξ = . (282)
Vektor ξ definovaný vztahem (281) má směr osy rotace tuhého tělesa (ta je daná směrem vektoru n ),
ale jeho velikost je obecně od vektoru n různá (viz obr. 66). V bázi hlavních os tedy můžeme vztah (282)
upravit na tvar 2 2 2
1 1 2 2 3 3 1I I Iξ ξ ξ+ + = . Další matematickou úpravou získáme tvar
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
91
22 2
31 2
1 2 3
1
1 1 1
I I I
ξξ ξ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + =
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
,
(283)
což je rovnice elipsoidu zapsaná v prostoru ( )1 2 3; ;ξ ξ ξ . Tento elipsoid se nazývá elipsoid setrvačnosti a jeho
hlavní poloosy mají délky
1
1
I
,
2
1
I
a
3
1
I
.
Hlavní osy jsou většinou kolmé na roviny symetrie uvažovaného tuhého tělesa.
obr. 66
V každém tuhém tělese tedy existují hlavní osy. To znamená, že každému tuhému tělesu lze abstraktně
opsat elipsoid setrvačnosti, který v nějakém bodě protíná osu, kolem které tuhé těleso rotuje a která je určená
vektorem n . Průsečík elipsoidu setrvačnosti a osy rotace tuhého tělesa má souřadnice [ ]1 2 3; ;ξ ξ ξ , tj. polohový
vektor tohoto průsečíku je vektor ( )1 2 3; ;ξ ξ ξ ξ= . Velikost tohoto vektoru je 2 2 2
1 2 3ξ ξ ξ ξ= + + . S využitím
definice vektoru ξ ve tvaru (281) můžeme psát
n
n
I
ξ = . Vektor n byl ovšem zvolen jako jednotkový, takže
můžeme psát
n
1
I
ξ = a po úpravě dostáváme
n 2
1
I
ξ
= .
(284)
Moment setrvačnosti nI tuhého tělesa, který charakterizuje otáčení tohoto tělesa kolem osy dané
vektorem n , tedy určujeme pomocí průsečíku této osy s abstraktním elipsoidem setrvačnosti. To znamená, že
moment setrvačnosti nI se spojitě mění v závislosti na spojité změně polohy osy rotace tuhého tělesa.
Při změně polohy osy rotace se změní směr vektoru n a tedy se změní průsečík této osy s elipsoidem
setrvačnosti. Změna souřadnic [ ]1 2 3; ;ξ ξ ξ tohoto průsečíku vede (podle vztahu (284)) ke změně momentu
setrvačnosti tělesa.
Je-li osou rotace tuhého tělesa např. první hlavní osa (tj. je-li 1n e= ), lze vztah (284) s využitím
předchozích informací psát ve tvaru n 12 2
1
1
1 1
1
I I
I
ξ
= = =
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Tedy relativně obtížně definovaný tenzor
setrvačnosti nyní přináší velké výhody při jednoduchém a rychlém určování momentu setrvačnosti nI .
Další zjednodušení tenzoru setrvačnosti I (a tedy i následný výpočet momentu setrvačnosti) přinášejí
symetrie tuhého tělesa:
1. tuhé těleso je rotační těleso - pak platí 1 2 3I I I= ≠ a elipsoid setrvačnosti má tvar podobný tvaru
na obr. 67;
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
92
2. tuhé těleso je koule - 1 2 3I I I= = a elipsoidem setrvačnosti je sféra; navíc v tomto případě je
moment setrvačnosti nI konstantní pro všechny osy, které procházejí těžištěm tuhého tělesa (tj.
uvažované koule);
3. tuhé těleso je krychle - ta je symetrická a její hlavní osy jsou kolmé na její stěny. Proto je moment
setrvačnosti nI stejný pro všechny osy krychle procházející jejím těžištěm. Elipsoidem
setrvačnosti krychle je sféra.
obr. 67
5.2.4 Eulerovy dynamické rovnice
Eulerovy dynamické rovnice jsou jakousi analogií Newtonových rovnic (rovnice druhého Newtonova
zákona) pro tuhé těleso. Jejich odvození vychází ze druhé věty impulsové, kterou lze získat velmi jednoduše
z první věty impulsové tvaru
d
d
p
F
t
= tak, že tuto rovnici vektorově vynásobíme polohovým vektorem r . Tak
dostaneme
d
d
p
r r F
t
× = × , což lze psát ve tvaru
d
d
L
M
t
= .
(285)
Vztah (285) je matematickým vyjádřením druhé věty impulsové. V tomto vztahu je M moment
vnějších sil a L je moment hybnosti. Vzhledem k tomu, že M charakterizuje míru otáčivých účinků vnějších
sil na dané tuhé těleso, budeme situaci vyšetřovat z hlediska vnějšího pozorovatele.
Na základě vztahu (241) můžeme tedy pro moment hybnosti psát
prostor těleso
d d
d d
L L
L
t t
= + Ω× ,
(286)
kde moment hybnosti vystupující na pravé straně vztahu je definovaný z hlediska tuhého tělesa.
Změnu momentu hybnosti
těleso
d
d
L
t
tedy naměří dítě, které sedí na rotujícím kolotoči. Změnu momentu
hybnosti
prostor
d
d
L
t
naměří rodič dítěte, který stojí vedle rotujícího kolotoče.
Ze vztahů (285) a (286) vyplývá
těleso
d
d
L
M L
t
= + Ω× .
(287)
Přitom moment hybnosti je definován pomocí tenzoru setrvačnosti a vektoru úhlové rychlosti vztahem
(270). Vzhledem k tuhému tělesu jsou ovšem složky tenzoru setrvačnosti I konstantní, neboť jsou určeny buď
v korotující bázi (ta je vzhledem k danému tuhému tělesu v klidu, protože rotuje spolu s ním) a nebo vzhledem
k hlavním osám tuhého tělesa. Pro moment hybnosti definovaný vůči hlavním osám můžeme napsat jednodušší
podobu vztahu (270) (analogii vztahu (274)):
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
93
x 1 xL I= Ω , y 2 yL I= Ω a z 3 zL I= Ω . (288)
Rozepsáním vektorového součinu ve vztahu (287) a částečným dosazením ze vztahu (288) dostaneme
( )1 x y z z y xI L L MΩ + Ω − Ω =
( )2 y z x x z yI L L MΩ + Ω − Ω =
( )3 z x y y x zI L L MΩ + Ω − Ω = .
(289)
Po dalším dosazení ze vztahu (288) získáme Eulerovy dynamické rovnice, které popisují rotaci tuhého
tělesa z hlediska dynamiky, ve tvaru
( )1 x 2 3 y z xI I I MΩ − − Ω Ω =
( )2 y 3 1 x z yI I I MΩ − − Ω Ω =
( )3 z 1 2 x y zI I I MΩ − − Ω Ω = .
(290)
Tyto rovnice publikoval švýcarský matematik a fyzik Leonhard Paul Euler (1707 - 1783) v roce 1758.
Vektor úhlové rychlosti ( )x y z; ;Ω = Ω Ω Ω , který vystupuje v Eulerových dynamických rovnicích (290),
je popsán pomocí Eulerových úhlů otočení tuhého tělesa (viz odstavec 5.1.5) a s těmito úhly je svázán
Eulerovými kinematickými rovnicemi (257).
Eulerovy dynamické rovnice jsou silně nelineární soustavou obyčejných diferenciálních rovnic prvního
řádu, což je důvod, proč se setrvačníky (jejichž pohyb je těmito rovnicemi popsán) chovají nepředvídatelně.
Tyto relativně složité rovnice poskytují relativně složité řešení, které popisuje složitý pohyb tuhých těles.
Rovnice jsou sice prvního řádu, ale ve většině úloh jsou vektor úhlové rychlosti a složky tenzoru setrvačnosti
vyjádřeny v bázi hlavních os (resp. v korotující bázi tuhého tělesa), zatímco moment sil je vyjádřen z hlediska
vnějšího pozorovatele. Proto je velmi komplikovaný přepočet veličin měřených vnějšími pozorovateli do
korotující báze - průměty momentů sil do jednotlivých os se mění v čase, neboť z hlediska vnějšího
pozorovatele se v čase neustále mění korotující báze resp. báze hlavních os.
Jak vektory korotující báze, tak báze hlavních os jsou pevně spojeny s tělesem a tedy se při pohybu
tuhého tělesa (translace i rotace) z hlediska vnějšího pozorovatele mění. Proto je přepočet mezi pohledem
„zvenčí“ a pohledem „zevnitř“ poměrně komplikovaný.
Při řešení konkrétní úlohy je tedy nutné vyjádřit celkový moment vnějších sil v korotující bázi tuhého
tělesa, tj. pomocí Eulerových úhlů. Poté je nutné dosadit z Eulerových kinematických rovnic do Eulerových
dynamických rovnic, čímž se levá strana rovnic (290) stane velmi komplikovaná, neboť bude obsahovat výrazy
závisející na Eulerových úhlech ϕ , ϑ a ψ a jejich časových derivacích ϕ , ϑ , ψ , ϕ , ϑ a ψ . Získáme tedy
velmi silně nelineární soustavu diferenciálních rovnic druhého řádu pro neznámé ϕ , ϑ a ψ .
Pohyb popsaný takovou soustavou rovnic je silně chaotický a výpočetně stejně problematický a náročný
jako pohyb tří těles (viz odstavec 3.13), pohyb dvojkyvadla, … Přesto se ale aplikace této teorie v praxi
používají - na principu setrvačníků pracují gyroskopy, kterým stále dávají piloti dopravních letadel přednost
před elektronickou navigací (např. systém GPS), používají se i v dalších druzích navigační techniky, … Při
konstrukci takových přístrojů se pak používají různé metody, jak Eulerovy dynamické rovnice zjednodušit:
speciální závěsy setrvačníků, tvar těles, uložení těles, … To vše vede k tomu, že naroste symetrie daného
problému a tedy se zjednoduší popis pohybu daného tělesa: stejné momenty setrvačnosti podél (některých)
hlavních os (viz odstavec 5.2.3), speciální tvar elipsoidu setrvačnosti (nejlépe sféra), …
Typickou aplikací, která je popsána v odstavci 5.2.5, je tzv. bezsilový setrvačník (bezmomentový
setrvačník).
5.2.5 Bezmomentový setrvačník
Bezsilový setrvačník je špatný název pro bezmomentový rotačně symetrický setrvačník, který může
sloužit např. jako model gyroskopu uloženého v tzv. Cardanově závěsu. Dalším velmi dobrým modelem tohoto
typu setrvačníku je Země.
Tento setrvačník je charakterizován nulovým momentem sil (tj. M o= ) a rotační symetrií, ze které pro
momenty setrvačnosti vzhledem k hlavním osám vyplývá 1 2 3I I I= ≠ . Takový setrvačník si lze představit
podobně jako těleso na obr. 68.
Eulerovy dynamické rovnice (290) se tedy zjednoduší na tvar
( )1 x 1 3 y zI I IΩ = − Ω Ω
( )1 y 3 1 x zI I IΩ = − Ω Ω
3 z 0I Ω =
(291)
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
94
Z poslední z Eulerových rovnic (291) dostáváme z .konstΩ = a tuto konstantu označíme z
0ω , takže
máme
z
z 0 .konstωΩ = = (292)
obr. 68
Z první z rovnic (291) můžeme vyjádřit z1 3
x 0 y
1
I I
I
ω
−
Ω = Ω a ze druhé z3 1
y 0 x
1
I I
I
ω
−
Ω = Ω . Označíme-li
z1 3
0 0
1
I I
I
ω ω
−
= ,
(293)
můžeme psát
x 0 yωΩ = Ω a y 0 xωΩ = − Ω . (294)
Derivujeme-li nyní první z rovnic (294) podle času, dostaneme x 0 yωΩ = Ω a po dosazení ze druhé
dostaneme rovnici 2
x 0 xωΩ = − Ω neboli
2
x 0 x 0ωΩ + Ω = , (295)
což je rovnice popisující pohyb harmonického oscilátoru. Proto můžeme její řešení psát ve tvaru
( ) ( )x 0sint A tω δΩ = + , (296)
kde A je amplituda kmitání harmonického pohybu a δ je počáteční fáze kmitání harmonického oscilátoru.
Z hlediska řešení soustavy rovnic (291) to jsou integrační konstanty. Po úpravě první z rovnic (294) a následném
dosazení řešení (296) získáme ( )y x 0 0
0 0
1 1
cosA tω ω δ
ω ω
Ω = Ω = + . Dostáváme tedy
( ) ( )y 0cost A tω δΩ = + . (297)
S využitím částečných řešení (292), (296) a (297) dostáváme pro vektor úhlové rychlosti Ω v závislosti
na čase
( ) ( ) ( )( )z
0 0 0sin ; cos ;t A t A tω δ ω δ ωΩ = + + . (298)
Vektor Ω je tedy vyjádřen v bázi hlavních os a pro jeho velikost platí ( ) 2 2 2
x y ztΩ = Ω + Ω + Ω . Po
dosazení ze vztahu (298) tedy dostaneme
( ) ( )
22 z
0 .t A konstωΩ = + =
(299)
Uvědomíme-li si platnost vztahu (292) je zřejmé, že vektor úhlové rychlosti Ω zapsaný ve tvaru (298)
opisuje plášť rotačního kužele (viz obr. 69) s úhlovou frekvencí 0ω . To znamená, že nutační úhel ϑΩ , který
svírá vektor úhlové rychlosti Ω s osou z, je konstantní a platí
2 2
x y
z
z 0
tg
A
ϑ
ω
Ω
Ω + Ω
= =
Ω
.
(300)
Na obr. 69 je také znázorněna kružnice, ve které protíná rotující vektor Ω dané tuhé těleso.
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
95
obr. 69
Skutečnost, že vektor Ω opisuje plášť kužele, vyplývá z toho, že velikost tohoto vektoru je v čase
konstantní, z-ová složka je konstantní a dále z toho, že x-ová a y-ová složka vektoru Ω opisují kružnici; vztahy
(296) a (297) jsou totiž parametrické rovnice kružnice vyjádřené v polárních souřadnicích.
Ještě je nutné dopočítat Eulerovy úhly ϕ , ϑ a ψ pomocí Eulerových kinematických rovnic (257).
Dosazením do těchto rovnic získáme pro náš vyšetřovaný případ soustavu rovnic
( )0cos sin sin sinA tϑ ψ ϕ ϑ ψ ω δ+ = +
( )0sin sin cos cosA tϑ ψ ϕ ϑ ψ ω δ− + = +
z
0cosψ ϕ ϑ ω+ = .
(301)
Vzhledem k tomu, že koncový bod vektoru Ω opisuje kružnici, je nutační úhel ϑ konstantní, tedy
0ϑ ϑ= . Proto můžeme Eulerovy kinematické rovnice (301) psát v jednodušším tvaru:
( )0 0sin sin sinA tϕ ϑ ψ ω δ= +
( )0 0sin cos cosA tϕ ϑ ψ ω δ= +
z
0 0cosψ ϕ ϑ ω+ = .
(302)
.Je-li totiž 0 .konstϑ ϑ= = , pak je časová změna tohoto úhlu nulová, tj. 0ϑ = .
Řešení soustavy rovnic (302) nalezneme postupnými kroky. Nejdříve umocníme první dvě rovnice
soustavy na druhou a sečteme je. Dostaneme rovnici
( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2
0 0 0sin sin cos sin cosA t tϕ ϑ ψ ψ ω δ ω δ+ = + + + , po jejíž úpravě získáme tvar
( )2 2
0sin Aϕ ϑ = . Odmocněním přejde rovnice na tvar
0sin
A
ϕ
ϑ
= ,
(303)
odkud vyplývá
0
0sin
A
tϕ ϕ
ϑ
= + .
(304)
Ve vztahu (303) je na jeho pravé straně konstanta, proto je integrace podle proměnné t jednoduchá.
Vydělením prvních dvou rovnic soustavy (302) získáme rovnici
( )
( )
00
0 0
sinsin sin
sin cos cos
A t
A t
ω δϕ ϑ ψ
ϕ ϑ ψ ω δ
+
=
+
, která
po úpravě přejde na tvar
( )
( )
0
0
sinsin
cos cos
t
t
ω δψ
ψ ω δ
+
=
+
. Dostáváme tedy rovnici
( )0tg tg tψ ω δ= + . (305)
Derivací rovnice (305) podle času získáme rovnici
( )
02 2
0
1 1
cos cos t
ψ ω
ψ ω δ
=
+
, odkud můžeme vyjádřit
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
96
( )
2
02
0
cos
cos t
ψ
ψ ω
ω δ
=
+
.
(306)
Ze druhé rovnice soustavy (302) můžeme vyjádřit
( )0
0
cos
cos
sin
A tω δ
ψ
ϕ ϑ
+
= .
(307)
Nyní můžeme do vztahu (306) dosadit ze vztahu (307), čímž získáme rovnici
( )
( )
2 2
0
02 2 2
0 0
cos 1
sin cos
A t
t
ω δ
ψ ω
ϕ ϑ ω δ
+
=
+
. Do jejího upraveného tvaru
2
02 2
0sin
A
ψ ω
ϕ ϑ
= dosadíme ze vztahu
(303) a získáme
0ψ ω= . (308)
Odtud již snadno určíme
0tψ ω δ= + . (309)
Dosazením vztahů (303) a (308) do třetí rovnice soustavy (302) dostaneme z
0 0 0
0
cos
sin
A
ω ϑ ω
ϑ
+ = .
Postupnými úpravami získáme rovnici ve tvaru z
0 0
0tg
A
ω ω
ϑ
= − , a tedy můžeme psát 0 z
0 0
tg
A
ϑ
ω ω
=
−
.
S využitím vztahu (293) dostáváme rovnici ve tvaru 1
0 z z z
z z1 3 1 0 1 0 3 0
0 0
1
tg
I AA
I I I I I
I
ϑ
ω ω ωω ω
= =
− − +−
, takže máme
1
0 z
3 0
tg
I A
I
ϑ
ω
= .
(310)
Získali jsme tedy řešení Eulerových kinematických rovnic ve tvaru
0ϑ ϑ= , přičemž 1
0 z
3 0
tg
I A
I
ϑ
ω
= , 0
0sin
A
tϕ ϕ
ϑ
= + a 0tψ ω δ= + .
(311)
Při hledání řešení soustavy rovnic (302) byly prováděny operace, které z hlediska matematiky vyžadují
komentáře a diskusi jejich platnosti (při dělení není možné dělit nulou, …). Z fyzikálního hlediska ovšem
hodnoty goniometrických funkcí nemohou být nulové, tj. jejich argumenty nemohou z fyzikálních důvodů mít
hodnoty 0 nebo
2
π
. Proto jsou všechny provedené úpravy v tomto případě korektní.
U bezmomentového setrvačníku tedy nastává tzv. regulární precese (pravidelná precese), při níž se
poloha osy otáčení (tj. směr vektoru Ω ) mění v čase pravidelně (koncový bod vektoru opisuje kružnici).
V případě rotace Země je tato precese důsledkem pohybů během počátečního vývoje Sluneční soustavy,
dopadem meteoroidů na Zem, … Ve skutečnosti ovšem právě popisovaná precese není takto pravidelná, neboť
na Zemi působí svou gravitační silou Měsíc, působí na ní i Slunce, sama Země není dokonale symetrické těleso
ani to není ideálně tuhé těleso, … Proto vznikají nepřesnosti v tomto precesním pohybu, které mají periodu
427 dní, a zemská osa tedy neprotíná Zemi v jednom bodě (severní pól), ale opisuje kolem severního pólu
kružnici o poloměru asi 4 m.
Tato kružnice je analogická kružnici, která je na obr. 69 znázorněna modrou křivkou.
Právě určený směr úhlové rychlosti Ω (tj. směr osy rotace) byl určen vzhledem k tělesu (vzhledem
k Zemi, vzhledem ke korotující bázi). Určit směr vektoru Ω vzhledem k pevné bázi (vzhledem ke stálicím,
vzhledem k systému GPS, …) není jednoduché. Pro určení pohybu vektoru Ω vzhledem k pevné bázi je nutné
určit jeden vybraný směr. Tímto vybraným směrem může být např. směr vektoru momentu hybnosti L . Moment
hybnosti je totiž veličina, která se v izolované soustavě zachovává.
Bezmomentový setrvačník takovou izolovanou soustavou je. Ostatně ze vztahu (285) pro bezmomentový
setrvačník plyne
d
d
L
o
t
= a tedy .L konst=
S využitím vztahů (288), (292), (296) a (297) můžeme pro složky momentu hybnosti L psát:
( )x 1 x 1 0sinL I I A tω δ= Ω = + , ( )y 2 y 1 0cosL I I A tω δ= Ω = + a z
z 3 z 3 0L I I ω= Ω = (312)
a pro jeho velikost dostáváme ( ) 2 2 2
x y zL t L L L= + + . Po dosazení ze vztahů (312) pak máme
Teoretická mechanika, Jaroslav Reichl, © 2009
97
( ) ( )
22 2 2 z
1 3 0 .L t I A I konstω= + =
(313)
Vektor momentu hybnosti L tedy opisuje také plášť kužele, ale obecně jiný, než opisuje vektor úhlové
rychlosti Ω . Oba ale opisují kužely se stejnou úhlovou frekvencí 0ω . Vektor momentu hybnosti L přitom svírá
s osou z stálý úhel Lϑ , pro který platí
2 2
x y 1 1
L z
z 33 0
tg tg
L L I A I
L II
ϑ ϑ
ω
Ω
+
= = = .
(314)
Úhel Lϑ má přitom stejnou hodnotu jako úhel 0ϑ z řešení (311).
Na základě nalezeného řešení (298) pro vektor úhlové rychlosti Ω a řešení (312) pro vektor momentu
hybnosti L lze psát
( )1 3 1 z zL I I I e= Ω + − Ω , (315)
což znamená, že v každém okamžiku vektory Ω a L a osa z leží v jedné rovině.
Na vztah (315) lze nahlížet jako na parametrické vyjádření roviny, která je dána vektory Ω a ze .
Z hlediska pevné báze (tj. vzhledem ke stálicím, systému GPS, …) má stálý směr v prostoru vektor
momentu hybnosti L a setrvačník (Země) rotuje kolem něj.
Kolem vektoru L tedy rotuje osa z a kolem ní vektor úhlové rychlosti Ω .
Situaci lze znázornit pomocí dvou kuželů, které se kolem sebe valí. Přímka, která je okamžitou dotyčnicí
obou kuželů, určuje směr vektoru úhlové rychlosti Ω . Oba kužely přitom popisují precesi vektoru úhlové
rychlosti Ω - jeden kužel znázorňuje její precesi kolem vektoru momentu hybnosti L , druhý kužel pak precesi
kolem osy z daného kartézského systému.
V závislosti na vzájemné hodnotě momentů setrvačnosti 1I a 3I uvažovaného tělesa mohou nastat dva
případy:
1. 1 3I I< - ze vztahu (314) a z toho, že funkce tangens je rostoucí, vyplývá, že Lϑ ϑΩ< a kužel
spojený s momentem hybnosti L se valí uvnitř kužele spojeného s osou z daného kartézského
systému (viz obr. 70).
2. 1 3I I> - ze vztahu (314) a z toho, že funkce tangens je rostoucí, vyplývá, že Lϑ ϑΩ> a kužel
spojený s momentem hybnosti L se valí vně kužele spojeného s osou z daného kartézského
systému (viz obr. 71).
Vektory na obr. 70 a obr. 71 by měly být správně otočeny tak, aby vektor momentu hybnosti L měl
svislý směr. Bylo by tím lépe naznačeno, že je to právě tento vektor, jehož směr se v prostoru zachovává!
Pro nesymetrický setrvačník je řešení jeho pohybu komplikovanější. Navíc se nezachovává ani směr ani
velikost úhlové rychlosti Ω .
U symetrického se zachovává velikost vektoru úhlové rychlosti Ω .
obr. 70 obr. 71