PETR KULHÁNEK
FEL ČVUT
TTTFFF111::: TTTEEEOOORRREEETTTIIICCCKKKÁÁÁ MMMEEECCCHHHAAANNNIIIKKKAAA
STUDIJNÍ TEXT PRO DOKTORSKÉ STUDIUM
PRAHA 2011, 2. doplněné vydání
Mechanika
(1687)
Teoretická
mechanika
(1788)
Speciální
relativita
(1905)
Kvantová
mechanika
(1905)
Teorie
elmg. pole
(1873)
Elektrické
jevy
Magnetické
jevy
Kvantová
elektrodynamika
(1949)
Obecná
relativita
(1916)
3 4
Kvantová
teorie pole
(60.léta)
Teorie
slabé interakce
(30. léta)
Teorie
silné interakce
(30. léta)
Teorie elektroslabé
interakce
(1967)
GUT
(velké sjednocení)
TOE
(Theory Of Everything)
1
2
OBSAH
1. TEORETICKÁ MECHANIKA 7
1.1 INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY 7
1.1.1 ZÁKLADNÍ POJMY Z MECHANIKY 7
1.1.2 INTEGRÁLNÍ PRINCIPY 8
1.1.3 HAMILTONŮV PRINCIP NEJMENŠÍ AKCE 9
1.1.4 LAGRANGEOVY ROVNICE 10
1.1.5 JEDNODUCHÉ PŘÍKLADY 12
1.1.6 DALŠÍ PŘÍKLADY 13
1.2 ZÁKONY ZACHOVÁNÍ V PŘÍRODĚ 16
1.2.1 TEORÉM EMMY NOETHEROVÉ 16
1.2.2 ZÁKON ZACHOVÁNÍ HYBNOSTI 16
1.2.3 ZÁKON ZACHOVÁNÍ ENERGIE 18
1.3 HAMILTONOVY KANONICKÉ ROVNICE 21
1.3.1 HAMILTONOVY ROVNICE 21
1.3.2 HARMONICKÝ OSCILÁTOR 23
1.3.3 POISSONOVA FORMULACE HAMILTONOVÝCH ROVNIC 26
1.3.4 NUMERICKÉ ŘEŠENÍ HAMILTONOVÝCH ROVNIC 27
1.4 VYBRANÉ ÚLOHY Z TEORETICKÉ MECHANIKY 29
1.4.1 POHYB NABITÉ ČÁSTICE V ELEKTROMAGNETICKÉM POLI 29
1.4.2 POHYB V ROTUJÍCÍ SOUSTAVĚ 32
1.4.3 PROBLÉM DVOU TĚLES, KEPLEROVA ÚLOHA 36
1.4.4 LAGRANGEOVY BODY 41
1.4.5 DISIPACE ENERGIE 45
1.4.6 INVERZNÍ ÚLOHA 47
1.4.7 ADIABATICKÉ INVARIANTY 50
1.4.8 KANONICKÉ TRANSFORMACE 53
1.5 NELINEÁRNÍ DYNAMICKÉ SYSTÉMY 56
1.5.1 MATICE STABILITY A FÁZOVÝ PORTRÉT SYSTÉMU 58
1.5.2 METODA POTENCIÁLU 62
1.5.3 BIFURKACE 64
1.5.4 LJAPUNOVSKÁ STABILITA, LIMITNÍ CYKLUS, ATRAKTOR 66
1.5.5 EVOLUČNÍ ROVNICE 73
1.6 LAGRANGEOVY ROVNICE PRO POLNÍ PROBLÉMY 77
1.6.1 LAGRANGEOVY ROVNICE, SKALÁRNÍ POLE 77
1.6.2 KANONICKY SDRUŽENÉ POLE 80
1.6.3 MAXWELLOVY ROVNICE, ELEKTROMAGNETICKÉ POLE 81
DODATEK A – EINSTEINOVA SUMAČNÍ KONVENCE 86
A1 EINSTEINOVA SUMAČNÍ KONVENCE 86
A2 DÉLKOVÝ ELEMENT 88
DODATEK B – LIEOVA ALGEBRA 90
B1 VEKTOROVÝ PROSTOR 90
B2 LIEOVA ALGEBRA 90
B3 STRUKTURNÍ KOEFICIENTY LIEOVY ALGEBRY 91
Teoretická mechanika Úvod
4
DODATEK C – TENZORY 93
C1 KOVARIANTNÍ A KONTRAVARIANTNÍ INDEXY 93
C2 SKALÁRNÍ SOUČIN, ZVYŠOVÁNÍ A SNIŽOVÁNÍ INDEXŮ 94
C3 ČTYŘVEKTORY, MINKOWSKÉHO METRIKA 95
DODATEK D – KUŽELOSEČKY 97
D1 ELIPSA 97
D2 HYPERBOLA 98
D3 PARABOLA 98
REJSTŘÍK OSOBNOSTÍ 100
LITERATURA 104
Teoretická mechanika Úvod
5
PŘEDMLUVA
Tento text představuje sylabus přednášky „Teoretická fyzika 1“. Důraz je kladen zejména na
pochopení fyzikálních zákonitostí a jejich matematického popisu. Potřebná matematika je
přesunuta do dodatků. Tyto kapitoly je třeba chápat jen jako nutný přehled, který si neklade
nároky na matematickou přesnost ani úplnost. Text je první částí čtyřdílného sylabu:
1. teoretická mechanika, 2. kvantová teorie, 3. statistická fyzika, 4. teorie plazmatu.
Fyzika 20. století je poznamenána vznikem dvou oddělených fyzikálních směrů – obecné
teorie relativity a kvantové teorie. Každý z těchto směrů popisuje svým způsobem pojem síly
ve fyzice. V současné době známe čtyři silové interakce – gravitační, elektromagnetickou,
silnou a slabou.
Obecná teorie relativity (geometrická teorie gravitace) popisuje gravitační interakci za
pomoci zakřivené geometrie prostoru a času:
 každé těleso svou přítomností zakřivuje prostoročas kolem sebe;
 každé těleso se v tomto zakřiveném prostoročase pohybuje po nejrovnějších možných
drahách – tzv. geodetikách (reprezentují skutečné trajektorie gravitačně ovládaných
těles).
Kvantová teorie pole s úspěchem popisuje interakci elektromagnetickou, silnou a slabou za
pomoci intermediálních (výměnných) částic:
[1] Každá částice kolem sebe vysílá oblak intermediálních částic, které si může vyměňovat
s ostatními částicemi a tím mezi nimi dochází k vzájemnému silovému působení.
Tato výměna nesplňuje Heisenbergovy relace neurčitosti, proto je nepozorovatelná a
příslušné výměnné částice nazýváme při procesu interakce virtuální. Intermediální částice
jsou :
elektromagnetická interakce foton
silná interakce gluony (8 druhů)
slabá interakce W
+
, W
–
, Z o.
Pro gravitační interakci předpokládá kvantová teorie existenci zatím hypotetických
intermediálních částic: gravitonů.
Elektromagnetická interakce působí jen na částice s elektrickým nábojem, silná interakce
působí na hadrony (hadros = silný) – hadrony dělíme na mezony složené z kvarku
a antikvarku a baryony složené ze tří kvarků. Slabá interakce působí na leptony a hadrony.
Gravitační interakce působí na všechny částice bez výjimky.
V průběhu let dochází ve fyzice ke vzniku mnoha nových odvětví, fyzika se diferencuje.
Současně však probíhá integrační proces – snaha o jednotný popis fyzikálních jevů. Tak byla
v minulém století pochopena společná podstata jevů elektrických a magnetických (Öersted,
Faraday, Maxwell) a vnikla teorie elektromagnetického pole. Po vzniku kvantové teorie se
objevila příslušná kvantová analogie – kvantová elektrodynamika a kvantová teorie
elektromagnetického pole. V době relativně nedávné se podařilo „spojit“ elektromagnetickou
a slabou interakci v teorii elektroslabé interakce (Weinberg, Salam). Nyní probíhají
intenzivní pokusy připojit k teorii elektroslabé interakce ještě interakci silnou (tzv. velké
sjednocení) a gravitační (teorie všeho). Následuje přehled významných objevů a událostí ve
fyzice, které přispěly k tomuto integračnímu procesu.
Teoretická mechanika Úvod
6
INTEGRAČNÍ TENDENCE VE FYZICE
Isaac Newton (1643–1727) základní zákony optiky a mechaniky (1676)
Joseph Louis Lagrange (1736–1813) analytická mechanika (1788)
Hans Christian Öersted (1777–1851) elektrický proud má magnetické účinky (1820)
Michael Faraday (1791–1867) jev elektromagnetické indukce (1831)
James Clerk Maxwell (1831–1879) teorie elektromagnetického pole (1873)
Max Planck (1858–1947) záření absolutně černého tělesa (1901)
Albert Einstein (1879–1955) fotoelektrický jev (1905)
speciální teorie relativity (1905)
obecná teorie relativity (1916)
Niels Bohr (1885–1962) planetární model atomu (1913)
Louis de Broglie (1892–1987) dualismus vln a částic
Erwin Schrödinger (1887–1961) vlnová kvantová mechanika (1926)
Wolfgang Pauli (1900–1958) teorie spinu - Pauliho rovnice
1. teorie slabé interakce (30. léta)
Paul Adrien M. Dirac (1900–1984) Diracova rovnice, předpověď pozitronu (1928)
kvantová elektrodynamika (1949)
spoluautor kvantové teorie pole
Werner Heisenberg (1901–1976) maticová kvantová mechanika (1925)
relace neurčitosti
Hideki Yukawa (1907–1981) 1. teorie silné interakce (30. léta)
Richard Philips Feynman (1918–1988) spoluautor kvantové teorie pole
Feynmanovy diagramy
dráhový integrál v kvantové mechanice
Steven Weinberg (1933) teorie elektroslabé interakce (1967)
Abdul Salam (1926) teorie elektroslabé interakce
Rubbia, Wheeler, Hawking, Thorne, Misner,…
Sylabus, který se právě chystáte číst je čtvrtým vydáním. V textu přibyla kapitola věnovaná
Lagrangeovým rovnicím spojitých systémů, zejména pro elektromagnetické pole. Budu
vděčný za všechny připomínky a objevené chyby a nedostatky. Objevíte-li cokoli, co Vám
vhání adrenalin do žil, napište mi na adresu: kulhanek@aldebaran.cz. Na tuto adresu směřujte
i Vaše dotazy a ostatní připomínky. Některé zajímavé informace naleznete na adrese
http://www.aldebaran.cz. Zde je také možné stáhnout poslední aktuální verzi tohoto sylabu.
Přeji hodně radosti z objevených zákonitostí přírody, pocitu moci, pochopíte-li hloubku úvah
Vašich předchůdců a pocitu bezmoci, který Vás bude pohánět kupředu v okamžicích váhání.
Těm studentům a pedagogům, kteří zjistí, že na této škole nemají co dělat, blahopřeji
k bystrému úsudku a přeji důstojný odchod.
Petr Kulhánek, v Praze 21. 3. 2010
Teoretická mechanika Integrální principy
7
S
r

SL
1. TEORETICKÁ MECHANIKA
1.1 INTEGRÁLNÍ PRINCIPY MECHANIKY
V teoretické mechanice a vlastně v celé teoretické fyzice se používá Einsteinova sumační
konvence, pojem diferenciálu a Lagrangeova věta o přírůstku. Pokud s těmito matematickými
základy čtenář není seznámen, měl by si nejprve důkladně pročíst Dodatek A.
1.1.1 Základní pojmy z mechaniky
Mechanický systém: jakákoli soustava částic nebo těles, které se rozhodneme popisovat
(elektron, atom, Zeměkoule, planetární systém,…).
Kartézské souřadnice: pro souřadnice a síly používáme označení:
x ≡ r ≡ (x1, x2, x3) ≡ (x, y, z), resp. F ≡ (F1, F2, F3) ≡ (Fx, Fy, Fz ).
Pohybová rovnice hmotného bodu má tvar m d 2x /dt2 = F.
Zobecněné souřadnice: jakékoli parametry popisující pohyb (úhly,
vzdálenosti, plochy). Označujeme je q = (q1 , q2 ,…).
Příklad 1: Pohyb planety kolem Slunce
q1 = r(t) – vzdálenost od Slunce;
q2 = φ (t) – úhel průvodiče a zadané polopřímky;
q3 = S(t) –plocha opsaná průvodičem.
Zobecněné rychlosti: časové změny zobecněných souřadnic
Příklad 2: vr = dr/dt radiální rychlost,
vφ = dφ/dt úhlová rychlost,
vS = dS/dt plošná rychlost,
vx = dx/dt x-ová složka rychlosti.
Vazby: těleso nebo některé jeho části se nemusí pohybovat zcela libovolně. Pak říkáme, že
v systému jsou vazby. Příklad vazeb je na následujícím obrázku:
Těleso na nakloněné rovině Dvě tělesa spojená tyčí Kyvadlo
Stupeň volnosti: počet nezávislých údajů (parametrů), kterými lze zcela popsat pohyb
systému (značíme f ).
Příklad 3: volný hmotný bod f = 3
N volných hmotných bodů f = 3N
hmotný bod na nakloněné rovině f = 2
2 hmotné body spojené tyčí f = 5
prostorové kyvadlo f = 2
rovinné kyvadlo f = 1.
Pro systém N hmotných bodů s R vazbami platí f = 3N–R. Zobecněné souřadnice volíme
vždy jako množinu nezávislých parametrů, které zcela popisují systém, tj. je jich právě f :
q ≡ (q1 , q2 , ...qf ).
Teoretická mechanika Integrální principy
8
Konfigurační prostor: f – rozměrný prostor, do kterého zobrazujeme hodnoty zobecněných
souřadnic. Bod konfiguračního prostoru nazýváme konfigurací. Časový vývoj konfigurace
systému q(t) nazýváme trajektorie.
Stav systému: v klasické mechanice je v daném čase t0 stav systému zcela určen konfigurací
q ≡ (q1 , q2 , ... qf ) a tendencí (zobecněnými rychlostmi) v ≡ (v1 , v2 , ..., vf ).
Reálná a virtuální trajektorie:
reálná trajektorie,
trajektorie skutečně
realizovaná v přírodě
trajektorie virtuální
(nerealizovaná) - proč?
t0
q
1
q2
t1
1.1.2 Integrální principy
Příklad 4: Představme si, že v rybníku se topí člověk. Mezi zachráncem a rybníkem je
bažinatý pás, ve kterém se velmi těžko pohybuje, pás oraniště a pole. Zachránce musí volit
optimální cestu, aby se k tonoucímu dostal co nejrychleji (takovou cestou nemusí být
nejkratší spojnice mezi tonoucím a zachráncem):
Celkový čas, po který se bude pohybovat zachránce, určíme takto:
2 2 2
1
.
( , ) ( , )
B B B
A A A
t t x
t t x
dl dl
dt
dt
dx dy ydl
T dx
x y x y
   
 
    
v
v
v v v
Předpokládáme, že známe prostorovou závislost rychlosti v (x, y). Ta je dána typem terénu
(pole, oraniště, bažina). Nyní hledáme takovou křivku y (x), aby předchozí integrál měl
minimální hodnotu. Řešením úloh tohoto typu se zabývá variační počet.
Teoretická mechanika Integrální principy
9
Příklad 5: Brachystochrona
Řešme následující úlohu. Těleso má klouzat po nakloněné rovině
obecného tvaru mezi dvěma body A a B, které jsou v různé výšce.
Úkolem je nalézt rovnici tvaru nakloněné roviny tak, aby se těleso
do bodu B dostalo za nejkratší čas.
Výpočet je obdobný předchozímu:
2 2 2
1
.
( ) ( ) ( )
B B B
A A A
t t x
t t x
dl dl
dt
dt
dx dy ydl
T dx
y y y
   
 
    
v
v
v v v
Rychlost určíme ze zákona zachování energie
21
2
mgy m mgH v
Výsledná doba pohybu je
2
1
.
2 ( )
B
A
x
x
y
T dx
g H y


 (1.1)
Nyní je nutné nalézt křivku y(x), pro kterou nabývá integrál (1.1) svého minima – jde opět
o typickou úlohu variačního počtu. Dokončení řešení naleznete na konci kapitoly 1.2.3.
Variačně lze zformulovat i základní zákony mechaniky, teorie elektromagnetického pole
i dalších fyzikálních disciplín. V této kapitole se budeme zabývat jedním z integrálních
principů mechaniky – tzv. Hamiltonovým principem.
1.1.3 Hamiltonův princip nejmenší akce
Oba dva úvodní příklady vedly na optimalizaci integrálu typu
 ( , ) , ( ), ( )
B
A
x
A B
x
T x x F x y x y x dx  . (1.2)
Integrand je funkcí nezávislé proměnné x, hledané funkce y(x) a její první derivace y'(x).
Výsledkem optimalizace by měla být hledaná trajektorie či křivka y(x). V úvodním příkladu
zachránce volil trajektorii tak, aby celkový čas byl nejkratší. Všechny ostatní trajektorie (tzv.
virtuální – nerealizované) jsou sice v principu možné, ale zachránce se po nich bude
pohybovat delší dobu. Obdobně je tomu v příkladu s klouzajícím tělesem. Integrály výše
uvedeného typu se nazývají funkcionály. Funkcionál je zobrazení, při kterém funkci
přiřadíme číslo (v našem případě celkový čas).
Základní myšlenka integrálních principů mechaniky je velmi podobná. Ze všech možných
trajektorií systému se realizovala jen ta, která je nějakým způsobem výhodnější než ostatní.
Hledisko výhodnosti se uvažuje obdobné úvodnímu příkladu, jen je ale nezávislou
proměnnou čas, protože hledáme křivku q(t):
Hamiltonův princip:
Budeme předpokládat , že existuje funkce času t, zobecněných souřadnic a jejich prvních
derivací (tj. stavu)
),,,,,,( 11 ff qqqqtL 
Teoretická mechanika Integrální principy
10
taková, že ze všech možných závislostí qk (t) = fk (t) se v přírodě realizuje ta, pro kterou má
integrál
1 1( , ) ( , , , , , , )
B
A
t
A B f f
t
S t t L t q q q q dt     (1.3)
extrém (minimum). Funkci L(t , q , dq/dt) nazýváme Lagrangeova funkce (lagranžián)
a integrál S(tA , tB) integrál akce.
1.1.4 Lagrangeovy rovnice
Zaveďme virtuální posunutí
,virt ,real
virt real
( ) ( ) , resp.
( ) ( )
k k kq q t q t
t t


 
 q q q
(1.4)
jako infinitezimální rozdíl virtuální (myšlené) trajektorie a reálné (uskutečněné) trajektorie.
Body na obou trajektoriích si odpovídají ve stejném čase (tzv. isochronní variace). Uveďme
základní vlastnosti virtuálních posunutí:
1) ( ) ( ) 0 ,A Bt t  q q (1.5)
2) .
d
dt
 q q
(1.6)
První vlastnost vyjadřuje, že virtuální i reálné trajektorie začínají a končí ve stejném bodě
konfiguračního prostoru. Druhá vlastnost vyjadřuje záměnnost operací derivace d/dt
a variace δ.
Poznámka: Vazby jsou v daném systému zahrnuty volbou zobecněných souřadnic – jejich celkový
počet je roven počtu stupňů volnosti. Virtuální posunutí jsou posunutí ve shodě s vazbami v daném
čase.
Odvoďme nyní nutné podmínky extremálnosti integrálu akce:
( , , ) 0
( , , ) 0
0 ,
B
A
B
A
B
A
t
t
t
t
t
k k
k kt
L t dt
L t dt
L L
q q dt
q q


 
 
 
  
  
  



q q
q q




Teoretická mechanika Integrální principy
11
kde jsme z důvodu isochronnosti vynechali diferenciaci podle času. Druhý člen nyní za
pomoci (1.6) integrujeme per partes:
0 .
BB
AA
tt
k k k
k k k tt
L d L L
q q dt q
q dt q q
  
      
             
  
Poslední člen je vzhledem k (1.5) nulový, a proto
0 .
B
A
t
k
k kt
L d L
q dt
q dt q

  
  
  
 
Tato rovnost musí platit pro každé dva časy tA, tB a pro každé virtuální posunutí δqk.
Vzhledem k tomu, že δqk jsou nezávislá (počet zobecněných souřadnic je roven počtu stupňů
volnosti systému), musí být závorka v předchozím vztahu pro každé k nutně nulová, tj.
.,,1;0 fk
q
L
q
L
dt
d
kk








(1.7)
Tyto rovnice představují nutné podmínky extremálnosti integrálu akce a nazývají se
Lagrangeovy rovnice. Z matematického hlediska jde o obyčejné diferenciální rovnice
druhého řádu pro extremální trajektorii qk (t); k = 1 ... f , která je realizována v přírodě.
Poznámky:
1) Lagrangeovy rovnice jsou pohybovými rovnicemi našeho systému v zobecněných souřadnicích.
Jejich tvar nezávisí na volbě souřadnicové soustavy. Newtonovy rovnice musí být speciálním
případem v kartézském souřadnicovém systému.
2) Rovnice je třeba doplnit o počáteční podmínky
0 0
0 0
( ) ,
( ) ,
k k
k k
q t q
q t q

 
(1.8)
tj. zadat stav v nějakém počátečním čase t0 .
3) Lagrangeova funkce není jednoznačně určitelná, liší-li se například dvě Lagrangeovy funkce
o úplnou časovou derivaci libovolné funkce, potom pro obě Lagrangeovy funkce vyjdou stejné
rovnice a tedy i stejné fyzikální řešení:
 
/ ; ( , )
0 ( ) ( ) 0 .
B B B
A A A
t t t B
t t t A
L L df dt f f q q
df
Ldt Ldt dt df f B f A
dt
    
   
         
 

(1.9)
Tedy splňuje-li Hamiltonův variační princip původní Lagrangeova funkce, splňuje ho i
nová (posunutá o df/dt). Toho lze využít při úpravě hledaného L (viz kapitola 1.4.6)
4) Hamiltonův princip v uvedené podobě platí jen pro nedisipativní systémy, tj. systémy ve kterých
nedochází k tepelným ztrátám.
5) Lagrangeovy rovnice jsou jen nutnými podmínkami extremálnosti integrálu akce, nikoli
postačujícími.
6) V případě úvodních dvou příkladů, kdy nejde o hledání časové závislosti trajektorie, ale obecné
řešení extremálnosti funkcionálu (1.2), jsou nutnými podmínkami Eulerovy rovnice
0 .
d F F
dx y y
 
 
 
Teoretická mechanika Integrální principy
12
7) V matematice se nutné podmínky minima funkcionálu nazývají Eulerovy rovnice, ve fyzice nutné
podmínky extremálnosti integrálu akce Lagrangeovy rovnice. Někdy se těmto rovnicím jednoduše
říká Eulerovy-Lagrangeovy rovnice.
Nejdůležitější úlohou daného vědního oboru je volba správné Lagrangeovy funkce. Zvolímeli
určitý tvar Lagrangeovy funkce, můžeme řešit příslušné Lagrangeovy rovnice a tato řešení
porovnat s experimentálním průběhem trajektorií. Nesouhlasí-li, je vybraná Lagrangeova
funkce špatná. Volba Lagrangeovy funkce patří mezi základní axiomy budované teorie.
Zpravidla se za L vybírá vhodná skalární funkce (její hodnota nezávisí na volbě souřadnic).
Pro jednoduché mechanické problémy známe dvě důležité skalární funkce: kinetickou
a potenciální energii. V nejjednodušším případě by Lagrangeova funkce mohla být jejich
lineární kombinací L = αT + βV. Skutečně lze ukázat, že pro volbu α = 1, β = −1 dostáváme
správné pohybové rovnice, v kartézském souřadnicovém systému rovnice Newtonovy – viz
příklad 6. v následující kapitole. Proto
.),(),(),,( qqqqq tVTtL   (1.10)
Potenciální energie závisí na poloze (potence – poloha). Pro komplikovanější systémy je
rozdělení Lagrangeovy funkce na kinetickou a potenciální energii značně obtížné a navíc
zbytečné. Jedinou úlohou mechaniky je volba správné Lagrangeovy funkce pro daný systém
tak, aby řešení příslušných Lagrangeových rovnic odpovídalo pozorovaným trajektoriím.
Naopak, jak uvidíme později, na základě různých symetrií systému lze za pomoci
Lagrangeovy funkce definovat takové veličiny, jako je energie, hybnost, moment hybnosti
systému, atd.
Vhodnou Lagrangeovu funkci lze nalézt i pro relativistickou mechaniku, pohyby nabitých
částic v elektrických a magnetických polích, pro teorii elektromagnetického pole, pro
obecnou teorii relativity i pro další fyzikální obory. Vždy z ní potom plynou rovnice
popisující daný problém – např. v teorii elektromagnetického pole Maxwellovy rovnice
1.1.5 Jednoduché příklady
Příklad 6: Hmotný bod v potenciálním poli V(x, y, z )
Hmotný bod má tři stupně volnosti, za zobecněné souřadnice zvolíme
q1 = x ; q2 = y ; q3 = z ,
potom
 
 
2 2 2
2 2 2
1
( , , ) ;
2
( , , ) daná funkce ;
1
( , ) ( , , ) .
2
T x y z m x y z
V x y z
L T V m x y z V x y z
  
     x x
    

   
Příslušné Lagrangeovy rovnice mají tvar
.0)(0
;0)(0
;0)(0
z
V
zm
z
V
zm
dt
d
z
L
z
L
dt
d
y
V
ym
y
V
ym
dt
d
y
L
y
L
dt
d
x
V
xm
x
V
xm
dt
d
x
L
x
L
dt
d







































Všechny tři pohybové rovnice můžeme přepsat do běžného tvaru ; .m V  x F F

 
Teoretická mechanika Integrální principy
13
Příklad 7: Rovinné kyvadlo
y
x
l
m

Rovinné kyvadlo má jediný stupeň volnosti. Za
zobecněnou souřadnici zvolíme úhel φ. Potom
.cos
2
1
,cos
,
2
1
)(
2
1
,sin;cos
,)(cos)(;)(sin)(
22
2222





mglmlVTL
mglmgyV
mlyxmT
lylx
tltytltx








Odpovídající Lagrangeova rovnice je
.0sin0 






 l
gLL
dt
d


Pro malé úhly je sin φ ≈ φ a rovnice přechází v běžnou rovnici pro matematické kyvadlo.
Příklad 8: Pohyb po nakloněné rovině
x
z
y
x
s

Pohyb po nakloněné rovině má dva stupně
volnosti. Za zobecněné souřadnice budeme
volit vzdálenosti od hran nakloněné roviny
x(t) a s(t). Standardním postupem máme:
,sin
;)(
2
1
)(
2
1
;sin)()(
;cos)()(
;)()(
22222








mgsmgzV
sxmzyxmT
tstz
tsty
txtx

,sin)(
2
1
),,( 22
 mgssxmVTsxsL 
a pohybové rovnice jsou
.sin0
,00
gs
s
L
s
L
dt
d
x
x
L
x
L
dt
d
















1.1.6 Další příklady
Příklad 9: LC obvod
Za zobecněnou souřadnici budeme volit náboj Q(t) odteklý z kondenzátorové baterie.
Příslušnou zobecněnou rychlostí je elektrický proud I = dQ/dt.
Teoretická mechanika Integrální principy
14
L
C
Označíme-li indukčnost L a kapacitu C, potom Lagrangeova funkce
C
L
22
1
),(
2
2 Q
QQQL  
poskytne správnou rovnici LC obvodu:
.0
1
0 





QQ
Q
L
Q
L
dt
d
CL


Povšimněte si, že první člen v Lagrangeově funkci je energie vázaná v magnetickém poli
cívky a druhý člen energie kondenzátorové baterie.
Příklad 10: Pohyb hmotného bodu po kuželové ploše v gravitačním poli
x
z
– y

r
Pohyb má dva stupně volnosti. Za zobecněné
souřadnice budeme volit vzdálenost
částice od vrcholu kužele r a polární úhel
φ. Využijeme tedy dvě ze sférických
souřadnic, třetí – odklon θ0 od osy z je na
kuželové ploše konstantní. Za použití
(A.5) příp. (A.6) snadno odvodíme
0
0
0
( ) ( )cos ( )sin ,
( ) ( )sin ( )sin ,
( ) ( )cos ;
x t r t t
y t r t t
z t r t
 
 




2 2 2 2
0
0
2 2 2 2
0 0
1
( , , ) ( sin ) ;
2
( ) cos ;
1
( , , ) ( sin ) cos ;
2
T r r m r r
V r mgz mgr
L r r m r r mgr
  

   
 
 
  
   
   
a proto
.0)sin(0
,cossin0
0
22
0
2
0
2



















mr
dt
dLL
dt
d
mgmrrm
r
L
r
L
dt
d
Povšimněte si, že v rovnici pro r na pravé straně vystupuje součet síly odstředivé a příslušné
komponenty síly gravitační. Rovnice pro úhel φ není nic jiného než zákon zachování
momentu hybnosti.
Teoretická mechanika Integrální principy
15
Příklad 11: Rovinné kyvadlo s vodorovně pohyblivým závěsem
Vodorovně pohyblivý závěs můžeme realizovat
např. vozíčkem na kolejničce.
Systém má dva stupně volnosti. Za zobecněné
souřadnice zvolíme vodorovnou
polohu x(t) vozíčku a úhel φ(t) kyvadla.
Kartézské souřadnice vozíčku budeme
značit indexem a a kartézské souřadnice
kyvadla indexem b. Další postup je již
standardní:
Ma
Mb
l
x
y

   
 
2 2 2 2
2 2 2 2
( ) ( ) ; ( ) ( ) sin ( ) ,
( ) 0 ; ( ) cos ( ) ;
1 1
( , , )
2 2
1 1
2 cos cos .
2 2
a b
a b
a a a b b b a a b b
a b b
x t x t x t x t l t
y t y t l t
L x M x y M x y M gy M gy
M x M x l lx M gl


 
   
  
  
      
    
    
   
Teoretická mechanika Zákony zachování
16
1.2 ZÁKONY ZACHOVÁNÍ V PŘÍRODĚ
1.2.1 Teorém Emmy Noetherové
Objev každé veličiny, která se v průběhu časového vývoje systému nemění (zachovává) je
pro fyziku velmi důležitý. Tyto veličiny v mechanice nazýváme integrály pohybu.
Připomeňme některé zákony zachování: zákon zachování hybnosti, momentu hybnosti,
energie; v kvantové teorii zákon zachování elektrického náboje, spinu, isospinu, baryonového
čísla, parity, atd.
Je třeba vyjasnit jaká je podstata těchto zákonů zachování a za jakých podmínek jsou splněny.
To se teoreticky podařilo Emmě Noetherové v roce 1916:
S každou symetrií v přírodě souvisí nějaká zachovávající se fyzikální veličina.
Tato veličina je danou symetrií definována a zachovává se jen tehdy, dokud
výchozí symetrie platí.
Při pozorování jevů kolem nás je tedy velmi důležité vyhledávat nejrůznější symetrie.
Uveďme nyní příklady některých symetrií:
1) Na pracovním stole jsme zkonstruovali nějaký mechanický stroj. Stroj spustíme a budeme sledovat
jeho chování. Jestliže stejný experiment provedeme na stejném psacím stole v sousední místnosti,
výsledek bude stejný. Provedeme-li ale tentýž experiment na stole v místnosti o patro výše, může
dopadnout jinak, protože gravitační pole Země má na tomto stole jinou hodnotu. Tato fyzikální
situace je symetrická vzhledem k vodorovnému posunutí, ale není symetrická vzhledem k svislému
posunutí.
2) Vodičem teče konstantní proud. Kolem vodiče se vytvořilo časově neproměnné (stacionární)
magnetické pole. Do tohoto pole vypustíme elektron a budeme sledovat jeho trajektorii. Vypustímeli
elektron o minutu později (počáteční rychlost a poloha elektronu musí být stejná), bude výsledná
trajektorie totožná. Zde hovoříme o symetrii vzhledem k časovému posunutí. Kdyby proud nebyl
konstantní, tato symetrie bude porušena, magnetické pole v různých časech různé a trajektorie
elektronů odlišné.
3) Při silné interakci (drží pohromadě atomové jádro) se neutron i proton chovají stejně, při
elektromagnetické interakci různě (proton je nabitý). Výměna neutronu za proton nebo protonu za
neutron je symetrickou operací při silné interakci, nesymetrickou při elektromagnetické.
4) Příklady dalších symetrií: rotační symetrie; zrcadlová symetrie (záměna levého a pravého);
výsledek experimentů je stejný ve všech souřadnicových systémech pohybujících se vůči sobě
rovnoměrně přímočaře (Lorentzova symetrie).
V teoretické mechanice se seznámíme se zákonem zachování hybnosti, momentu hybnosti a
energie a se symetriemi, které těmto zákonům zachování odpovídají. V kvantové teorii se
seznámíme s celou řadou dalších důležitých symetrií, které vedou k zachování elektrického
náboje, spinu, izospinu, parity, barvy a vůně kvarků a dalších kvantových čísel.
1.2.2 Zákon zachování hybnosti
Představme si, že Lagrangeova funkce nezávisí na některé zobecněné souřadnici, konkrétně
qk :
.0),,,,,,,,,( 1111 


 
k
ffkk
q
L
qqqqqqtLL  (1.11)
Zobecněnou souřadnici, která se nevyskytuje v Lagrangeově funkci, nazýváme cyklickou. Na
qk potom nezávisí ani pohybové rovnice a tím ani výsledek experimentu. Situace je
Teoretická mechanika Zákony zachování
17
symetrická vůči prostorovému posunutí v zobecněné souřadnici qk (viz první příklad
symetrií).
Z pohybové rovnice pro tuto souřadnici qk máme
.00 const











kkkk q
L
q
L
dt
d
q
L
q
L
dt
d

Nalezli jsme tedy příslušnou zachovávající se veličinu.
Definice: Zobecněnou hybností odpovídající zobecněné souřadnici qk nazveme
.,,1, fk
q
L
p
k
k 




 (1.12)
Tato veličina se zachovává, je-li zobecněná souřadnice qk cyklická (nevyskytuje se v L), tj.
fyzikální situace je symetrická vzhledem k prostorovému posunutí v zobecněné souřadnici qk .
Určeme nyní zobecněné hybnosti k příkladům 6 až 11 z kapitol 1.1.5 a 1.1.6.
Příklad 6 (dokončení):
.;; zm
z
L
pym
y
L
pxm
x
L
p zyx 















Zachování či nezachování těchto veličin bude záviset na tvaru potenciální energie
V(x,y,z).
Příklad 7 (dokončení):
2
.
L
p ml 


 



Fyzikální situace není symetrická vzhledem k pootočení o úhel δφ (změní se gravitační
pole), proto se souřadnice φ vyskytuje v L a tato zobecněná hybnost se nezachovává.
Zobecněná hybnost k úhlové proměnné se někdy nazývá moment hybnosti.
Příklad 8 (dokončení):
.; sm
s
L
pxm
x
L
p sx











Situace je symetrická vzhledem k posunutí v souřadnici x, souřadnice x je cyklická
a hybnost px se zachovává. Při posunutí v souřadnici s se mění gravitační pole, L závisí na
s a hybnost ps se nezachovává.
Příklad 9 (dokončení):
.Q
Q
L
pQ


L



Zobecněná hybnost pQ (magnetický indukční tok) se nezachovává, Q není cyklická
souřadnice.
Teoretická mechanika Zákony zachování
18
Příklad 10 (dokončení):
2 2
0; sin .r
L L
p mr p mr
r
 
 
   
 


Radiální hybnost pr se nezachovává (při posunutí v r se mění gravitační pole), moment
hybnosti pφ se zachovává – situace je symetrická vzhledem k pootočení v úhlu φ, φ je
cyklická souřadnice.
Příklad 11 (dokončení):
2
( ) cos ; cos .x a b b b b
L L
p M M x M l p M l M xl
x
   

 
      
 
  

Zachovává se hybnost soustavy px , nezachovává se moment hybnosti pφ . Proč?
1.2.3 Zákon zachování energie
Nechť Lagrangeova funkce nezávisí explicitně na čase (postačí, aby některé z nekonečně
mnoha ekvivalentních vyjádření Lagrangeovy funkce nezáviselo na čase), tj.
.0),,,,,( 11 



t
L
qqqqLL ff
 (1.13)
To odpovídá situaci symetrické vůči časovému posunutí. Najděme úplnou časovou derivaci
Lagrangeovy funkce:
.)( k
k
k
k
q
dt
d
q
L
q
q
L
t
L
dt
dL 

 









Vzhledem k předpokladu je první člen na pravé straně nulový, ∂L/∂qk vyjádříme z Lagrangeovy
rovnice (1.7) a máme
.)( k
k
k
k
q
dt
d
q
L
q
q
L
dt
d
dt
dL 















Členy napravo upravíme za pomoci vztahu pro derivaci součinu dvou funkcí








 k
k
q
q
L
dt
d
dt
dL


a po převedení na jednu stranu rovnosti zjistíme, že
.const0 











Lq
q
L
Lq
q
L
dt
d
k
k
k
k




Opět jsme tedy našli zachovávající se veličinu.
Definice: Zobecněnou energií nazveme
.Lq
q
L
E k
k



 

(1.14)
Tato veličina se zachovává, nezávisí-li Lagrangeova funkce explicitně na čase, tj. je-li
fyzikální situace symetrická vzhledem k časovému posunutí.
Teoretická mechanika Zákony zachování
19
V příkladech 6 až 11 se energie zachovává, Lagrangeovy funkce nezávisí explicitně na čase,
všechny situace jsou symetrické vůči časovému posunutí. Postupně máme:
2 2 2
6
2 2
7
2 2
8
2
2
9
2 2 2 2
10 0
1
( ) ( , , ) ,
2
1
cos ,
2
1
( ) sin ,
2
1
,
2 2
1
( sin ) co
2
L L L
E x y z L m x y z V x y z
x y z
L
E L ml mgl
L L
E x s L m x s mgs
x s
L Q
E Q L Q
Q
L L
E r L m r r mgr
r
  


  

  
       
  

   

 
     
 

   

 
     
 
    
  
 

   
 
 

  

L
C
0
2 2 2 2
11
s ,
1 1
( 2 cos ) cos .
2 2
a b b
L L
E x L M x M x l lx M gl
x

    

 
       
 
     

Povšimněte si, že ve všech těchto jednoduchých příkladech je
E T V  . (1.15)
Tato relace ale platí jen pro speciální tvary Lagrangeovy funkce. V obecném případě nelze
Lagrangeovu funkci ani energii rozdělit na kinetickou a potenciální část. Energie je však
i nadále vždy definována vztahem (1.14).
Uveďme na závěr příklad, kdy se energie nezachovává. Uvažujme kyvadlo, jehož závěs je
velmi pomalu namotáván pomocným motorkem v místě úchytu (jeřáb se zavěšeným
břemenem). Délka závěsu se s časem zkracuje
0l l ct  ,
c je rychlost navíjení. Lagrangeova funkce kyvadla
 cos)()(
2
1
0
22
0 ctlmgctlmL  
nyní explicitně závisí na čase a energie se nezachovává. Rozhoupejme kyvadlo a sledujme
jeho kmity. Udělejme totéž o minutu později. Experiment dopadne jinak, protože závěs se
mezitím poněkud zkrátil. Fyzikální situace není symetrická vzhledem k časovému posunutí.
Důvod nezachování energie je zde zřejmý – přídavný motorek, který není započten do našeho
systému.
Vidíme tedy, že základní zákony zachování v mechanice jsou přímým důsledkem vlastností
prostoru a času kolem nás. Je-li prostor homogenní (stejný ve všech svých bodech),
zachovává se hybnost; je-li prostor isotropní (stejný ve všech směrech), zachovává se
moment hybnosti; je-li prostor neměnný v čase, zachovává se energie.
homogenita prostoru → zachování hybnosti
isotropie prostoru → zachování momentu hybnosti
neměnnost v čase → zachování energie
Teoretická mechanika Zákony zachování
20
Příklad 5 (dokončení): Brachystrochrona
Nyní máme dostatečné matematické znalosti na vyřešení příkladu na brachystochronu
z úvodu kapitoly 1.1.2. Úkolem bylo nalézt křivku mezi dvěma body, po které se těleso
dostane za nejkratší dobu samovolným klouzáním z bodu A do bodu B, jejichž výškový
rozdíl je H. Úloha vedla na hledání minima funkcionálu (1.1)
2
1
.
2 ( )
B
A
x
x
y
T dx
g H y



Nezávislou proměnnou v této úloze není čas, ale prostorová souřadnice x. EulerovyLagrangeovy
rovnice proto budou mít tvar:
2
1
0 ; .
2 ( )
d F F y
F
dx y y g H y
  
  
  
Přímé řešení by bylo značně nevýhodné. Pokud si povšimneme, že nezávislá proměnná x není
ve funkcionálu zastoupena, musí se zachovávat „energie“
2
0
2
1 1
.
2 ( )2 ( ) 1
F y y
E y F y E
y g H yg H y y
  
     
  
Jde o první integrál Eulerových-Lagrangeových rovnic a tedy o diferenciální rovnici prvního
řádu. Povšimněte si, že „energie“ není v tomto případě rozdělitelná na „kinetickou“ část
s derivacemi hledané funkce a „potenciální“ bez derivací. Po jednoduché úpravě máme
2
0 2 ( ) 1 1.E g H y y   
Výraz umocníme na druhou
2 2
0
2 2
0
2 ( )(1 ) 1
1
; .
1 2
E g H y y
K
H y K
y E g
   
  

Nejjednodušší integrace je parametrická, tj. substituce y' = tg φ. Parametrické řešení pro y
potom je
2
2
cos .
1 tg
K
H y y H K 

    

(1.16)
Zbývá nalézt řešení pro x z definičního vztahu pro substituci, dy/dφ vyjádříme z (1.16):
sin sin
tg 2 sin cos
cos cos
dy d d
y K
d dx dx
   
  
  
      .
Separací máme
2
2 cosdx K d  ,
po integraci
(sin 2 )/2x K K L    (1.17)
Integrační konstanty K a L ve vztazích (1.16), (1.17) lze určit z toho, že řešení musí procházet
body (0, H) a (l, 0). Pro naše účely postačí jen obecné řešení, které je částí cykloidy:
2
(sin 2 )/2 ;
cos .
x K K L
y H K
 

  
 
Teoretická mechanika Hamiltonovy kanonické rovnice
21
1.3 HAMILTONOVY KANONICKÉ ROVNICE
V této kapitole se seznámíme s jiným tvarem pohybových rovnic – Hamiltonovými
rovnicemi. Na rozdíl od Lagrangeových rovnic (diferenciální rovnice 2. řádu) jsou
Hamiltonovy rovnice diferenciální rovnice 1. řádu, ale je jich dvojnásobné množství.
1) Pro řešení diferenciálních rovnic prvního řádu je vypracováno velké množství numerických metod
a tak Hamiltonovy rovnice bývají většinou pro numerické řešení vhodnější než rovnice
Lagrangeovy.
2) Za pomoci Hamiltonových rovnic lze snadno zapsat časový vývoj libovolné dynamické proměnné,
tj. nejenom zvolených zobecněných souřadnic.
3) Hamiltonovy rovnice lze přepsat do velmi jednoduchého tvaru s pomocí tzv. Poissonových
závorek, které z matematického hlediska představují Lieovu algebru. Vlastnosti Lieovy algebry
jsou určeny nezávisle na objektech, které ji tvoří. Proto bude možné tuto strukturu snadno přenést
do kvantové mechaniky.
1.3.1 Hamiltonovy rovnice
S pomocí definice zobecněné hybnosti (1.12) můžeme Lagrangeovy rovnice (1.7)
přepsat do tvaru
,0;
k
k
kkk
k
q
L
p
q
L
q
L
dt
d
q
L
p










 

(1.18)
který silně připomíná Newtonovy rovnice v kartézských souřadnicích. Najděme nyní
diferenciál energie za pomoci jejího definičního vztahu (1.14)
.
),,(
k
k
k
k
kkkk
kk
qd
q
L
dq
q
L
dt
t
L
qdpdpqdE
qqtLqpE














V předposledním členu vyjádříme ∂L/∂qk z pohybové rovnice (1.18), v posledním členu
využijeme definici zobecněné hybnosti:
.kkkkkkkk qdpdqpdt
t
L
qdpdpqdE  



Členy s diferenciály zobecněných rychlostí se odečtou a zbývá
.kkkk dpqdqpdt
t
L
dE  


 (1.19)
Funkci, jejíž diferenciál jsme právě nalezli označíme
.),,( pqtHE  (1.20)
Koeficienty v diferenciálu (1.19) musí být příslušné parciální derivace funkce H:
.;;
k
k
k
k
p
H
q
q
H
p
t
H
t
L











  (1.21)
Funkce H se nazývá Hamiltonova funkce. Hamiltonova funkce je energie přepsaná do
proměnných t , qk , pk . V (1.19) se odečetly diferenciály rychlostí, proto lze vždy nalézt
takovou transformaci
,,,,, pqqq tt  (1.22)
Teoretická mechanika Hamiltonovy kanonické rovnice
22
aby energie byla funkcí zobecněných souřadnic a zobecněných hybností. Tato transformace
se nazývá Legendreova duální transformace. Poslední dvě rovnice z relace (1.21) jsou
Hamiltonovy kanonické rovnice (kanos – zákon, souhrn pravidel):
.;
k
k
k
k
q
H
p
p
H
q





  (1.23)
Při řešení problému Hamiltonovými rovnicemi
a) určíme z Lagrangeovy funkce zobecněné hybnosti a zobecněnou energii,
b) ze zobecněné energie vyloučíme zobecněné rychlosti – vyjádříme je za pomoci zobecněných
hybností, tj. provedeme Legendreovu duální transformaci,
c) napíšeme Hamiltonovy rovnice,
d) řešíme je.
Hamiltonovy rovnice jsou rovnice pro určení časového vývoje proměnných qk (t ), pk (t ).
Jsou diferenciálními rovnicemi prvního řádu, je jich ale dvojnásobné množství než
Lagrangeových rovnic 2. řádu. Soustavu Hamiltonových rovnic musíme doplnit počátečními
podmínkami
.)(;)( 0000 kkkk ptpqtq  (1.24)
Příklad 12: Rovinný pohyb planety (hmotnost m) kolem Slunce (hmotnost M).
Předpokládáme M >> m ; tj. Slunce se nepohybuje. Pohyb má dva stupně volnosti, za
zobecněné souřadnice zvolíme polární souřadnice q1 = r (t) ; q2 = φ(t) – vzdálenost planety
od Slunce a úhel spojnice planeta – Slunce od zvolené polopřímky. Z (A.6) a z gravitačního
zákona víme, že
.tj,,)(
2
1 222
r
mM
GVrrmT  
2 2 21
( , ) ( )
2
mM
L r r T V m r r G
r
        . (1.25)
Kdybychom řešili úlohu z Lagrangeových rovnic, měli bychom
.020
,00
2
2
2



















rrr
LL
dt
d
r
M
Grr
r
L
r
L
dt
d
Povšimněme si, že pohybové rovnice nezávisí na hmotnosti sledované planety m. To je pro
gravitaci typické, tělesa se v daném gravitačním poli pohybují po stejných trajektoriích. Proto
je možné gravitaci popisovat za pomoci zakřivených prostorů. Určeme nyní zobecněné
hybnosti a zobecněnou energii systému:
,; 2


 



mr
L
prm
r
L
pr 






.
2
1
2
1 222
VTT
r
Mm
GmrrmL
L
r
r
L
E r 





 





Zachovává se moment hybnosti pφ (φ je cyklická souřadnice) a zobecněná energie E. Energie
se rozpadá na tři členy – radiální kinetickou energii, úhlovou energii (souvisící s oběhem
planety) a potenciální energii. Zobecněné rychlosti vyjádříme ze zobecněných hybností
Teoretická mechanika Hamiltonovy kanonické rovnice
23
2
;
mr
p
m
p
r r 
  
a dosadíme do zobecněné energie (provedeme Legendreovu duální transformaci). Tím
získáme Hamiltonovu funkci
.
22
),,,(
2
22
r
Mm
G
mr
p
m
p
pprH r
r 


Hamiltonovy kanonické rovnice jsou
.0,
,,
2
23
2















 



H
p
mr
p
p
H
r
Mm
G
mr
p
r
H
p
m
p
p
H
r r
r
r


Tyto rovnice je třeba doplnit počátečními podmínkami r(t0), φ(t0), pr(t0), pφ(t0). Jde
o soustavu čtyř diferenciálních rovnic pro funkce r(t), φ(t), pr(t), pφ (t).
Definice: Fázový prostor – 2f rozměrný prostor, do kterého zobrazujeme hodnoty zobecněných
souřadnic a zobecněných hybností. Bod fázového prostoru nám reprezentuje stav
systému. Časový vývoj q(t ), p(t ) stavu systému se ve fázovém prostoru zobrazí jako fázová
trajektorie. Konfigurační prostor je podprostorem fázového prostoru. V dalším paragrafu si
ukážeme fázovou trajektorii harmonického oscilátoru.
1.3.2 Harmonický oscilátor
Harmonický oscilátor je jedním z nejdůležitějších fyzikálních systémů. Lze jím v prvním
přiblížení nahradit chování částice v potenciálním poli s minimem, setkáme se s ním
v kvantové teorii i v kvantové teorii pole. Jak uvidíme později, lze si jakékoli pole (například
elektromagnetické) představit jako soustavu harmonických oscilátorů. Proto se budeme
harmonickým oscilátorem zabývat podrobněji.
Představme si částici v poli potenciální energie s minimem v bodě x0 a hodnotou minima
V0 = V(x0). Proveďme Taylorův rozvoj funkce V(x) v okolí minima do druhého řádu:
.)()(
2
1
)()()()( 2
00000  xxxVxxxVxVxV
V minimu je 0)( 0  xV a proto
.)(,)(
2
1
)()(
2
1
)()( 0
2
00
2
000 xVkxxkVxxxVxVxV  kde (1.26)
Potenciální energii jsme tedy nahradili parabolickou závislostí – viz obrázek.
V
V x( )
x
V k x–x0 0
2
+ 1/2 ( )
Teoretická mechanika Hamiltonovy kanonické rovnice
24
Harmonickým oscilátorem nazýváme systém s parabolickou závislostí potenciální energie
(1.26). Dosti přesně tuto závislost splňuje například těleso zavěšené na pružině v gravitačním
poli. Veličina k ≡ V ″(x0) se nazývá tuhost oscilátoru.
Volme pro jednoduchost souřadnicový systém tak, aby minimum potenciální energie bylo
v počátku (x0 = 0) a zvolme V(x0) = 0 (potenciální energii můžeme změnit o aditivní
konstantu, síla F = − dV/dx se nezmění), průběh potenciální energie je potom V(x) = 1/2 kx2 .
Řešme nejprve harmonický oscilátor za pomoci Lagrangeových rovnic:
.00
2
1
2
1 22






 x
m
k
x
x
L
x
L
dt
d
kxxmL 

 (1.27)
Obecné řešení této rovnice je
m
k
tctctx   kde,sincos)( 21 (1.28)
Pro následující počáteční podmínky plyne řešení:
.cos)(0)0(;)0( tAtxxAx   (1.29)
V okolí minima potenciální energie koná částice kmitavý pohyb úhlovou frekvencí
ω = (k/m)1/2. Jako parametr oscilátoru se častěji používá úhlová frekvence ω než jeho
tuhost k. Lagrangeova funkce potom je
.
2
1
2
1 222
xmxmL   (1.30)
Řešme nyní úlohu za pomoci Hamiltonových rovnic:
.
2
1
2
1
,
222
xmxmLx
x
L
E
m
p
xxm
x
L
p












Po vyloučení rychlosti z E dostáváme Hamiltonovu funkci
22
2
2
1
2
),( xm
m
p
pxH  (1.31)
a Hamiltonovy rovnice
., 2
xm
x
H
p
m
p
p
H
x 





 
Řešení této soustavy se stejnými počátečními podmínkami vede k
.sin)(
,cos)(
xmtAmtp
tAtx




(1.32)
Vyloučíme-li z (1.32) čas (na pravých stranách ponecháme jen trigonometrické funkce,
rovnice umocníme na druhou a sečteme), získáme rovnici trajektorie ve fázových
proměnných x , p:
.1
22












mA
p
A
x
(1.33)
Fázovou trajektorií harmonického oscilátoru je elipsa.
Teoretická mechanika Hamiltonovy kanonické rovnice
25
x
p
– A A
– mA
mA
Na závěr určeme klasickou hustotu pravděpodobnosti w(x) výskytu částice mezi krajními
polohami –A , A. Pro pravděpodobnost, že se částice nachází v okolí Δx bodu x platí:
– A + A0
x
x
2Δ 2Δ ( )
Δ ,
2 ( )
t x x
P x
T x

  
   
v
v
kde T je perioda pohybu a 2Δt je doba, po kterou částice pobývá v okolí bodu x. Okolím
prolétá za periodu T částice dvakrát (tam a zpět), proto je v čitateli 2Δt.
Hustota pravděpodobnosti je
( ) .
( )
dP
w x
dx x


 
v
(1.34)
Závislost v(x) určíme ze zákona zachování energie
2 2 2 2 2 2 21 1 1
( ) .
2 2 2
m m x m A x A x      v v (1.35)
Konečný vztah má tvar
2 2
1
( ) .w x
A x


(1.36)
– 1 – 0.5 0.5 1
1
2
3
w
x /A
Hustota pravděpodobnosti výskytu částice je nejvyšší v bodech obratu – A, A a nejnižší
v místě minima potenciální energie. V kvantové teorii poznáme modifikaci tohoto průběhu
pro částice mikrosvěta. Poznamenejme ještě, že
Celková pravděpodobnost výskytu částice v oblasti (–A , A) je rovna jedné.
.1arcsin
11
)(
22






















A
A
A
A
A
A A
x
dx
xA
dxxw

(1.37)
Teoretická mechanika Hamiltonovy kanonické rovnice
26
1.3.3 Poissonova formulace Hamiltonových rovnic
Uvažujme obecnou dynamickou proměnnou A(q , p), která je funkcí zobecněných souřadnic
a zobecněných hybností (souřadnice, hybnost, potenciální energie, součin potenciální a kinetické
energie…). Její časový vývoj je dán vztahem
,k k
k k k k k k
dA A A A H A H
A q p
dt q p q p p q
     
      
     
   (1.38)
kde jsme časové derivace fázových proměnných q, p vyjádřili z Hamiltonových rovnic.
Definice: Nechť f(q, p) , g(q, p) jsou dvě funkce fázových proměnných q, p . Funkci
kkkk q
g
p
f
p
g
q
f
gf











},{ (1.39)
nazýváme Poissonovou závorkou funkcí f, g.
Časový vývoj (1.38) obecné dynamické proměnné je vzhledem k definici (1.39) dán jako
Poissonova závorka příslušné dynamické proměnné a Hamiltonovy funkce:
.},{ HAA  (1.40)
Poznámka: Pro A = A(t , q , p) bude dA/dt = ∂A/∂t + {A , H}, tento případ je však vzácný.
Vlastnosti Poissonových závorek:
1) { , } { , }
2) { , } { , } { , }; { , } { , }
3) { ,{ , }} { ,{ , }} { ,{ , }} 0
4) { , } { , } { , }
5) { , } { , } { , } .
gf g f
f g h f h g h f h f h
f g h g h f h f g
f g h f g h f h g
f gh g f h f g h
 
 
   
  
 
 
(1.41)
Důkaz všech těchto vztahů je triviální a plyne přímo z definice Poissonovy závorky (1.39).
Poissonovy závorky tvoří Lieovu algebru na prostoru funkcí. Velmi důležité je znát
Poissonovy závorky mezi zobecněnými souřadnicemi a hybnostmi
{ , } 0 0 ,
{ , } 0 0 ,
{ , } .
j ji i
i j ik jk
k k k k
j ji i
i j jk ik
k k k k
j ji i
i j ik jk ij
k k k k
q qq q
q q
q p p q
p pp p
p p
q p p q
p pq q
q p
q p p q
 
 
  
  
       
   
  
       
   
  
      
   
Poissonova závorka je nenulová jedině pro zobecněnou souřadnici a jí odpovídající hybnost,
potom je rovna jedné.
.},{;0},{},{ ijjijiji pqppqq  (1.42)
Těmito relacemi je určena celá Lieova algebra Poissonových závorek. Známe-li jejich
vlastnosti (1.41) a relace (1.42), můžeme řešit problémy mechaniky, aniž bychom potřebovali
definici (1.39).
Teoretická mechanika Hamiltonovy kanonické rovnice
27
Příklad 13: Harmonický oscilátor
2 2
2 2 2 2
2
1 1
, ; ;
2 2 2 2
{ , } ,
{ , } .
p p
T V m x H m x
m m
x H x H H p
x x H
x p p x p m
p H p H H
p p H m x
x p p x x
 

   
    
      
    
    
        
    


Snadno určíme i časový vývoj jakékoli dynamické proměnné, například potenciální energie:
2
{ , } .
V H V H
V V H xp
x p p x

   
     
   

Časový vývoj můžeme ale určit i z vlastností Lieovy algebry Poissonových závorek (1.41)
a (1.42) bez znalosti jejich definice. Ukažme to na příkladu zobecněné hybnosti:
   
2 (1.39.2)
2 2 2 2 2
(4)
2
(1.39.1) (1.40)
2 2 2
{ , } ,
1 1 1
{ , } , { , } { , }
2 2 2 2
1 1
{ , } { , } { , } { , }
2 2
{ , } { , } { , } { , } .
x H x H H p
x x H
x p p x p m
p
p p H p m x p p m p x
m m
p p p p p p m x p x p x x
m
p p
p p m x p x p p m x x p m x
m m
 

  
    
      
    
  
      
  
    
     


Analogicky bychom postupovali u dalších dynamických proměnných. V kvantové teorii
zůstane tato struktura zachována, jen objekty, se kterými budeme pracovat, budou jiné.
1.3.4 Numerické řešení Hamiltonových rovnic
Jen ve výjimečných případech lze nalézt explicitní řešení. Zpravidla jsme odkázáni na
numerické řešení problému. V dosavadním textu jsme se naučili problém zformulovat za
pomoci soustavy diferenciálních rovnic doplněných vhodnými počátečními podmínkami.
Většina matematických programů (např. „Mathematica“, „Reduce“, „Maple“,…) dokáže
takto zformulovanou úlohu numericky a někdy i analyticky vyřešit. Uveďme zde přesto
alespoň jednu numerickou metodu (Runge-Kutta 4. řádu) vhodnou pro numerické vyhledání
řešení.
Označme ξ = (q, p) množinu zobecněných souřadnic a hybností. Nechť množina hledaných
funkcí ξk (t) ; k = 1 , ... 2f splňuje soustavu rovnic
.),(  tfkk 
Časovou osu rozdělíme na dílky s intervalem Δt. Předpokládejme, že známe řešení v nějakém
čase t (například v t0 – počáteční podmínka). Potom určíme
1, 1 2
2, 1 1,1 2 1,2
( , , , ) ,
1 1 1
, ( ) , , ( ) ,
2 2 2
k k f
k k f f
K f t
K f t t t K t t K t
 
 

 
       
 


Teoretická mechanika Hamiltonovy kanonické rovnice
28
 
3, 1 2,1 2 2,2
4, 1 3,1 2 3,2
1 1 1
, ( ) , , ( ) ,
2 2 2
, ( ) , , ( )
k k f f
k k f f
K f t t t K t t K t
K f t t t K t t K t
 
 
 
       
 
      


a přibližné řešení v čase t + Δt dostaneme ze vztahů
.2,,1;)22(
6
1
)()( ,4,3,2,1 fktKKKKttt kkkkkk 
Tím známe řešení v čase t + Δt a postup můžeme opakovat. Otázky přesnosti výpočtu,
konvergence a případně další metody lze nalézt v literatuře. Další metody řešení obyčejných
diferenciálních rovnic jsou uvedeny ve volně navazující učebnici [1].
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
29
1.4 VYBRANÉ ÚLOHY Z TEORETICKÉ MECHANIKY
1.4.1 Pohyb nabité částice v elektromagnetickém poli
Pohyb částic v elektromagnetickém poli je podrobně probrán v učebnici [1], která volně
navazuje na tento učební text. Nyní jen pro úplnost uvedeme základní vztahy v nerelativistickém
případě. Lagrangeova funkce popisující interakci elektromagnetického pole s nabitou
částicí je odvozena v kapitole 1.5. Omezíme na pohyb nerelativistické částice v předem
daném elektromagnetickém poli. Elektrická a magnetická pole můžeme popsat buď
elektrickou intenzitou E a magnetickou indukcí B nebo za pomoci čtyřpotenciálu (ϕ, A).
Převodní vztahy jsou
,
t
 
  
 
A
E
x
(1.43)
.AB rot (1.44)
Předpokládáme, že ϕ(t, x) a A(t, x) jsou předem dané funkce. Problém pohybu nabité částice
v konzervativním elektrostatickém poli je dán Lagrangeovou funkcí ve tvaru L= T − V, tj.
21
2
L m Q v . (1.45)
Pokud je přítomno magnetické pole, systém již není konzervativní (neexistuje potenciální
energie) a Lagrangeova funkce má tvar
21
2
L m Q Q   v A v . (1.46)
První člen je kinetická energie volné částice, zbylé dva členy reprezentují interakci částice
s elektrickým a magnetickým polem. Odvození naleznete v kapitole 1.5. Zde budeme předpokládat,
že jsme správnou Lagrangeovu funkci „uhodli“. Pak ale musíme dokázat, že z ní
plynoucí pohybové rovnice jsou ve shodě s přírodou. Ukážeme, že příslušné Lagrangeovy
rovnice jsou totožné s dobře známou Lorentzovou pohybovou rovnicí. Ve složkách máme
1
( , ) ( , ) ;
2
0 ,
( ) 0 ,
( ) 0 ,
( ) ,
j j j j
i i
j
i i j
i i
j ji i
i j
j i i
j ii
i j
i i j
L m Q t QA t
d L L
dt x
Ad
m QA Q Q
dt x x
dx AA Ad
m Q Q Q Q
dt t x dt x x
A AAd
m Q
dt t x x x




  
 
 
 

   
 
  
    
   
    
      
       
x xv v v
v
v v
v v
v v
( ) rot ,
d
m Q
dt t
  
       
A
v v A
x
 ( ) ,
d
m Q
dt
  v E v B (1.47)
což je známá Lorentzova pohybová rovnice. Nyní standardním postupem odvodíme hybnost,
energii a Hamiltonovu funkci částice:
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
30
L
m Q

  

p v A
v
(1.48)
21
2
L
L m Q

    

v v
v
E (1.49)
Q
m
Q
H 


2
)( 2
Ap
(1.50)
Pozn. 1: Energii v této kapitole značíme E, abychom ji odlišili od intenzity elektrického pole E.
Pozn. 2: Povšimněte si, že E  T + V. Energie nezávisí na vektorovém potenciálu A. To je důsledkem
toho, že magnetické pole nemění energii, ale pouze směr rychlosti. Hybnost již také není rovna
svému mechanickému protějšku, p  mv.
Příklad 14: Konstantní homogenní elektrické pole
Předpokládejme, že na částici působí konstantní homogenní elektrické pole E. Pohybovou
rovnici částice můžeme zapsat ve tvaru
m Qr E . (1.51)
Přímou integrací postupně dostaneme
0( ) ;
Q
t t
m
 v E v (1.52)
2
0 0( ) .
2
Q
t t t
m
  r E v r (1.53)
Na první pohled je patrné, že se rychlost s rostoucím časem zvětšuje nade všechny meze. Pro
vyšší rychlosti je nutné použít relativistickou Lagrangeovu funkci. Výpočet je v [1].
Urychlování probíhá jen ve směru pole, napříč pole se částice pohybuje volně. Pokud pole
míří v ose x, tj. E = (E, 0, 0) a částice je v počátku souřadnic s počáteční rychlostí
v0 = (0, v0, 0), tj. kolmou na pole, má nalezené řešení tvar
2
0, , 0
2
QE
x t y t z
m
  v . (1.54)
Vyloučíme-li z řešení čas, získáme rovnici paraboly:
2
2
02
QE
x y
m

v
. (1.55)
Nabitá částice se v přítomnosti homogenního elektrického pole pohybuje po parabole. Ve
směru pole je pohyb rovnoměrně zrychlený. Pokud bychom provedli relativistický výpočet
(viz [1]), bude skutečnou křivkou hyperbolický kosinus.
Příklad 15: Konstantní homogenní magnetické pole
(0,0,0) ,
(0,0, ) .B


E
B
počáteční podmínky:
0
(0) (0, 0, 0) ,
(0) (0, , 0) .


x
v v
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
31
Uvažujme nyní druhou nejjednodušší situaci – pohyb nabité částice v homogenním
magnetickém poli. Pro určitost budeme předpokládat, že pole míří v ose z a částice má
počáteční rychlost ve směru osy y (viz obrázek). Pohybovou rovnici mdv/dt = Q v×B
rozepíšeme do složek:
,
,
0 .
mx QB y
my QB x
mz

 

 
 

(1.56)
Řešení třetí rovnice je jednoduché, v případě našich počátečních podmínek nulové, tj. pohyb
se bude dít jen v rovině (x, y). Soustavu prvních dvou rovnic budeme řešit v komplexním
oboru. První rovnici budeme chápat jako reálnou část, druhou jako imaginární:
i i .mx my QB y QB x     
Tato operace je vratná, kdykoli můžeme oddělit reálnou a imaginární část a dostat zpět
původní rovnice. Po jednoduché úpravě a označení kombinace QB/m jako ωc (později
zjistíme význam této veličiny) dostaneme
c ci i ( i ) ; .
QB
x y x y
m
         (1.57)
Nyní zavedeme komplexní polohu ξ ≡ x + i y, pro kterou má rovnice jednoduchý tvar
ci 0 ; i .x y        (1.58)
Samozřejmě bude kdykoli možné se vrátit k původním proměnným x a y. Řešení této lineární
rovnice bez pravé strany budeme hledat v exponenciálním tvaru exp(λt). Po dosazení získáme
charakteristickou rovnici
2
c 1 2 ci 0 ; 0 ; i .           (1.59)
Obecné řešení je lineární kombinací obou nalezených modů:
c
c
i
1 2
i
2 c
( ) e ;
( ) i e .
t
t
t c c
t c



 


 
 
(1.60)
Integrační konstanty nalezneme snadno z počátečních podmínek
0
(0) (0) i (0) 0 ;
(0) (0) i (0) i .
x y
x y


  
     v
(1.61)
Dosadíme-li tyto počáteční podmínky do rovnic (1.60), dostaneme
1 2 1 0 c
2 c 0 2 0 c
0 ; / ;
i i , / .
c c c
c c

 
   

   
v
v v
(1.62)
Výsledné řešení má proto tvar
ci
L L L 0 c 0( ) e ; / / .t
t R R R m QB
 
   v v (1.63)
Po oddělení reálné a imaginární části získáme obě souřadnice pohybující se částice
L L c
L c
( ) cos ,
( ) sin .
x t R R t
y t R t


 
 (1.64)
Rovnici trajektorie nalezneme po vyloučení času z (1.64):
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
32
2 2 2
L L( )x R y R   . (1.65)
Vidíme, že pohyb se děje po kružnici s poloměrem |RL|, se středem S = [ RL, 0 ] a s úhlovou
frekvencí oběhu ωc. Veličinu RL nazýváme Larmorův (gyrační) poloměr RL a veličinu ωc
cyklotronní (gyrační) frekvence. Podle náboje částice může mít Larmorův poloměr kladnou
i zápornou hodnotu, stejně tak může mít obě znaménka cyklotronní frekvence (záporná
hodnota znamená oběh proti směru hodinových ručiček).
Magnetické pole nepůsobí na pohyb částice ve směru podél pole. Kolmo na směr pole působí
Lorentzova síla, která zakřivuje trajektorii částice na kružnici. Při nenulové počáteční
rychlosti vz(0) je pohyb částice složen z rovnoměrného přímočarého pohybu podél pole
a Larmorovy rotace (gyrace), tím vzniká pohyb po šroubovici.
Samotné elektrické pole naopak nepůsobí na pohyb částice napříč pole (v nerelativistickém
případě) nebo jen velmi málo (v relativistickém případě). Ve směru pole dochází
k urychlování.
v0
Q < 0 Q > 0
y
x
– |R |L |R |L
v0y
v0z x
y
z
Q > 0
Složitější případy pohybů nabitých částic v elektrických a magnetických polích jsou řešeny
(z Hamiltonových rovnic) v navazující učebnici [1].
1.4.2 Pohyb v rotující soustavě
K nalezení pohybové rovnice v neinerciální rotující soustavě potřebujeme znát některé
vektorové identity:
( ) ( ) ( ) ,       a b c b c a c a b (1.66)
( ) ( ) ( ) ,     a b c b a c c a b (1.67)
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) .        a b c d a c b d a d b c (1.68)
Jejich odvození je snadné za pomoci definice vektorového součinu přes Leviho-Civitův
tenzor (viz dodatek A2 v [1]). První identita ukazuje, že v součinu (a×b)·c lze jednotlivé
součinitele cyklicky zaměňovat. Druhá identita je známé „bác cáb“ pravidlo. Důkaz třetí
identity lze provést (stejně jako u prvních dvou) pouhým rozepsáním levé strany z definice
vektorového součinu přes Leviho-Civitův tenzor.
Pro určitost předpokládejme, že budeme sledovat pohyby na rotující Zemi. Jedna
souřadnicová soustava je pevná v prostoru (inerciální) a druhá rotuje spolu se Zemí (rotující,
neinerciální). Obě soustavy mají počátek ve středu Země a polohový vektor sledovaného
tělesa je v obou soustavách shodný, tj.
in rot r r r (1.69)
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
33
Rychlosti tělesa o hmotnosti m (viz obrázek) budou v obou soustavách různé, budou se lišit
o rychlost v0 způsobenou rotací Země. Ta je úměrná velikosti úhlové rychlosti, vzdálenosti
od středu Země a sinu polárního úhlu θ (na pólu je rychlost nulová, na rovníku maximální), tj.
0 sinr v . (1.70)
Směr této rychlosti je kolmý na vektory ω i r, tedy platí
0  v r . (1.71)
Mezi rychlostí tělesa v inerciální a rotující soustavě proto platí jednoduchý vztah
in rot  v v r , (1.72)
To je vše, co potřebujeme vědět k sestavení Lagrangeovy funkce. V inerciální soustavě bude
Lagrangeova funkce rovna
2
in in
1
( )
2
L m V v r . (1.73)
Do vztahu dosadíme za rychlost z (1.72) a za polohový vektor z (1.69)
 2
rot
1
( )
2
L m V   v r r . (1.74)
Rychlost v rotující soustavě, která nás zajímá, přeznačíme na v. Výsledná Lagrangeova
funkce pro pohyb v neinerciální rotující soustavě je
21
( ) ( )
2
L m V   v r r . (1.75)
K nalezení hybnosti, energie a k sestavení pohybové rovnice budeme potřebovat parciální
derivace ∂L/∂ r, ∂L/∂ v. Za tím účelem najdeme diferenciál Lagrangeovy funkce (úhlovou
rychlost předpokládáme konstantní). U prvního členu budeme diferencovat nejprve vnitřní
funkci a poté derivovat kvadratickou funkci:
1
d (d d ) 2( ) d
2
d d ( ) d ( d ) ( d ) ( ) d .
V
L m
V
L m m m m

        


             

v r v r r
r
v v r v r v r r r
r
 
   
Za pomoci vektorových identit (1.67) a (1.68) přeskupíme třetí a čtvrtý člen tak, aby
diferenciál dr stál samostatně ve skalárním součinu:
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
34
2
d d ( ) d ( ) d d ( )( d ) d .
V
L m m m m m

              

v v r v v r r r r r r
r
   
Čtvrtý a pátý člen na pravé straně upravíme za pomoci vektorové identity (1.67):
d d ( ) d ( ) d ( ) d d .
V
L m m m m

             

v v r v v r r r r
r
   
Vzhledem k tomu, že dL = (∂L/∂ r)·dr + (∂L/∂ v)·dv, snadno nalezneme hledané derivace:
( ) ( )
L V
m m
 
     
 
v r
r r
   , (1.76)
( )
L
m m

  

v r
v
 . (1.77)
Nyní již můžeme vypočítat hybnost a energii v neinerciální soustavě
( )
L
m m

   

p v r
v
 , (1.78)
2 21 1
( ) ( )
2 2
L
E L m m V

      

v v r r
v
 . (1.79)
Hybnost se skládá z klasické mechanické hybnosti mv a neinerciálního rotačního členu
mω×r. Energie je součtem kinetické energie, rotační energie a potenciální energie. Rotační
energie je z hlediska pozorovatele v inerciální soustavě záporná. Pro predikci pohybu těles je
nejdůležitější znát pohybovou rovnici, kterou nyní již snadno odvodíme:
 
0
( ) ( ) ( ) 0
d L L
dt
d V
m m m m
dt
 
  
 
 
          
 
v r
v r v r
r
   
2 ( ) ( )
dm V
m m
dt

      

v
v r
r
   . (1.80)
Rovnice (1.80) je hledaná pohybová rovnice tělesa pohybujícího se v rotující neinerciální
soustavě. Nalevo je časová změna mechanické hybnosti, první člen napravo je síla působící
na částici (v potenciálním poli), druhý člen je Coriolisova síla a třetí odstředivá síla.
Coriolisova síla je zodpovědná za směr roztáčení víru ve výlevce (na každé polokouli je jiný),
za stáčení roviny kyvadla i za další jevy. Coriolisova síla nepůsobí na tělesa pohybující se
paralelně se zemskou rotační osou. Odstředivá síla je nulová na pólech a maximální na
rovníku, kde dosáhne hodnoty mrω2
.
Příklad 16: Padající kámen
Představte si, že pustíte kámen z výšky 65 metrů (odpovídá Petřínské rozhledně). Jakou odchylku
od kolmice bude mít kámen po dopadu na zem vlivem Coriolisovy síly? Jakým směrem
se kámen odchýlí od kolmice při pádu? Počítejte pro Prahu (zeměpisná šířka λ = 50°).
Řešení: Budeme řešit pohybovou rovnici s tíhovou a Coriolisovou silou
2 ( )
dm
m m
dt
  
v
g v  .
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
35
Druhý člen na pravé straně je podstatně menší než první a můžeme ho chápat jako malou
poruchu. Řešení budeme hledat iterační metodou, tj.
( 1)
( )
2 ( )
k
kdm
m m
dt

  
v
g v  .
Zvolíme nějaké řešení v(0)
, které dosadíme do pravé strany a vypočteme v(1)
. Poté dosadíme
v(1)
do pravé strany a vypočteme v(2)
atd. Pro počáteční nulové řešení máme posloupnost
(0)
(1)
(2) 2
0 ;
;
( ) .
t
t t


  
v
v g
v g g 
První iterační řešení v(1)
je volný pád neovlivněný Coriolisovou silou. Druhé iterační řešení
v(2)
již v sobě zahrnuje vliv Coriolisovy síly. Vzhledem k tomu, že považujeme Coriolisovu
sílu za malou poruchu, můžeme iteraci po druhém členu ukončit. Při integraci jsme použili
nulovou počáteční rychlost, tedy jednoduchý volný pád. V případě nenulové počáteční
rychlosti v0 by bylo v(1)
= v0+gt. Pro volný pád postačí nalezené řešení bez počáteční
rychlosti. Integrace iteračního řešení nám dá polohu kamene:
2 3
(2)
0( ) ( ) ( ) .
2 3
t t
t t    r r r g g  (1.81)
Zvolme nyní konkrétní souřadnicový systém na povrchu Země (řešení posuneme ze středu
Země k povrchu, poloha vystupuje jen v prvním členu na pravé straně). Osa z bude mířit
svisle, osu x orientujeme na východ a osu y na sever. Jde o pravotočivý souřadnicový systém,
což ve výsledku zajišťuje správná znaménka vektorových součinů. Na posledním obrázku je
θ polární úhel a λ = 90°−θ zeměpisná šířka. Jednotlivé vektory v řešení (1.81) budou:
(0)
(0,0, ) ;
(0,0, ) ;
(0, cos , sin ) .
H
g
   

 

r
g

(1.82)
Volný pád kamene je tedy po rozepsání vektorového součinu popsán vztahy
3
2
cos ;
3
0 ;
.
2
g t
x
y
gt
z H



 
(1.83)
Kámen se bude při pádu odchylovat vlivem Coriolisovy síly ve směru osy x, tedy na východ.
Nyní zbývá určit velikost odklonu. Položíme li v třetí rovnici (1.83) z = 0, zjistíme dobu, za
kterou kámen dopadl. Tu dosadíme do vztahu pro x a máme výslednou vzdálenost
3/2
fin 0
2
cos 7 mm
3
g H
x x x
g


 
     
 
. (1.84)
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
36
1.4.3 Problém dvou těles, Keplerova úloha
Mějme dvě tělesa, která na sebe vzájemně působí silou (gravitační, elektrostatickou nebo
jinou silou působící na spojnici obou těles). Jejich pohybové rovnice jsou:
1 1 12
2 2 21
;
.
m
m


r F
r F

 (1.85)
Ze zákona akce a reakce platí:
12 21 12 21 0 .    F F F F (1.86)
Od polohových vektorů r1 a r2 přejdeme k jiné šestici souřadnic – poloze těžiště a relativní
poloze druhého tělesa vzhledem k prvnímu:
1 1 2 2
T
1 2
2 1
;
.
m m
m m



 
r r
r
r r r
(1.87)
Z rovnic (1.85) snadno nalezneme pohybové rovnice v nových proměnných:
12 21
T
1 2
0
m m

 

F F
r ;
21 12
2 1 21
2 1 2 1
1 1
m m m m
 
      
 
F F
r r r F   .
V nových proměnných mají tedy pohybové rovnice velmi jednoduchý tvar
T
21
0 ;
,


r
r F

 (1.88)
kde μ je tzv. redukovaná hmotnost daná vztahem
1 2
1 2
m m
m m
 

. (1.89)
Z první rovnice (1.88) je vidět, že těžiště soustavy se může pohybovat jen konstantní
rychlostí. Z druhé rovnice je zřejmé, že pohyb dvou těles lze řešit jako pohyb jediného tělesa
s redukovanou hmotností μ, které se pohybuje vzhledem k prvnímu z obou těles. Pokud je
hmotnost prvního tělesa podstatně větší než hmotnost druhého tělesa, je redukovaná hmotnost
přibližně rovna hmotnosti menšího z obou těles. Velké těleso se v tomto přiblížení vůbec
nepohybuje. Jde například o pohyb planet kolem Slunce. Obíhající planety ovlivní pohyb
Slunce minimálně. Není bez zajímavosti, že pohyb dvou těles, které na sebe působí silami na
jejich spojnici, je vždy rovinný. Vyplývá to ze zákona zachování momentu hybnosti:
 0 0 0
0 .
d d
m m m
dt dt
m
         
  
L
r v v v r a
r a a r
(1.90)
Zrychlení, kterým na sebe tělesa působí leží na jejich spojnici. Pokud pohyb probíhá v nějaké
rovině, zrychlení nikdy nemůže působit mimo tuto rovinu, a proto se pohyb bude konat pouze
v této rovině.
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
37
■ Keplerova úloha
Řešme nyní pohyb planety o hmotnosti m kolem Slunce s hmotností M (m << M). Pokud by
hmotnosti obou těles byly souměřitelné, můžeme úlohu snadno převést na relativní pohyb
tělesa o redukované hmotnosti kolem druhého z těles. Naše úloha je rovinná. Při řešení proto
použijeme polární souřadnice, v nichž má Lagrangeova funkce tvar (1.25)
2 2 21
( , , ) ( )
2
mM
L r r m r r G
r
      . (1.91)
V soustavě se budou zachovávat moment hybnosti a energie:
2L
b mr 


 



, (1.92)
2
2 2 2 2
2
1 1
( )
2 2 2
L L mM b mM
E r L m r r G mr G
r r rmr
 

 
        
 
   

. (1.93)
V zákonu zachování energie jsme časovou změnu úhlu φ vyjádřili ze zákona zachování
momentu hybnosti. Namísto řešení pohybových rovnic, které jsou druhého řádu, můžeme
integrovat zákony zachování, které jsou prvního řádu. Z obou zákonů zachování vypočteme
časové derivace zobecněných souřadnic:
2
d b
dt mr

 , (1.94)
2
2
2
2
dr b mM
E G
dt m rmr
 
    
 
. (1.95)
Jde o soustavu diferenciálních rovnic pro proměnné r(t) a φ(t). V Keplerově úloze nás
nezajímá časový vývoj souřadnic, ale jen tvar dráhy planety, tj. závislost r(φ). Proto vydělíme
druhou rovnici první:
2
2
2
2
2
/
b mM
E G
m rmrdr
d b mr
 
   
 
 . (1.96)
Tuto rovnici pro r(φ) je možné řešit přímo separací a následnou integrací. Zvolme ale
poněkud jiný postup. Rovnici umocníme na druhou a upravíme do tvaru
 
2 2
2
4 2
2 2
b b GmM
r E
rmr mr
   
Čárka označuje derivaci podle proměnné φ. Zvolíme substituci
2
1 1
;r r 
 
    , (1.97)
po které dostaneme
 
2 2
2 2
2 2
;
2 2
b b E
GmMGm M Gm M
      . (1.98)
Pokud rovnici ještě jednou derivujeme, získáme
 
2 2
2 2
2
2
0 ;
1.
b b
Gm M Gm M
b
Gm M
   
 
     
 
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
38
2
2
1/ ;
b
p p
Gm M
    (1.99)
Jde o lineární diferenciální rovnici druhého řádu s pravou stranou Partikulární řešení je 1/p,
homogenní řešení můžeme zapsat ve tvaru cos(φ‒φ0). Celkové řešení tedy bude
0
1
cos( )c
p
     . (1.100)
Řešení má dvě integrační konstanty φ0 a c. Konstanta φ0 určuje počátek odečtu polárního
úhlu. Vhodným pootočením souřadnicové soustavy můžeme zvolit φ0 = 0. Konstantu c
určíme tak, aby nalezené řešení splňovalo původní rovnici (1.98), tj. rovnici před
derivováním (derivování je neekvivalentní úprava):
2
2 1E
c
GmMp p
  . (1.101)
Konstantu c dosadíme do řešení (1.100) a vrátíme se k původní proměnné r:
2
1 1 cos
p
r
Ep
GmM


 
  
 
.
Výsledné řešení má tedy tvar
2
2
2
; 1 ; .
1 cos
p Ep b
r p
GmM Gm M

 
   

(1.102)
Jde o obecnou rovnici kuželosečky (viz dodatek D) s excentricitou ε. V gravitačním poli
centrálního tělesa se tedy budou jiná tělesa pohybovat po kuželosečkách. Pro E < 0 je ε < 1
a pohyb se koná po elipse. Záporná energie znamená vazbu obou těles. Tento případ platí pro
planety sluneční soustavy. Pro E = 0 je ε = 1 a pohyb je parabolický. Pro E > 0 je ε > 1
a těleso se pohybuje po hyperbole. Minimální a maximální vzdálenost oběhu bychom ve
všech případech dostali hledáním extrémů závislosti (1.102).
■ Efektivní potenciál
Energie pohybujícího se tělesa je z Lagrangeovy funkce dána formulí (1.93)
2 2 21 1
2 2
mM
E mr mr G
r
   . (1.103)
Energie se skládá z radiální kinetické energie, úhlové složky kinetické energie a potenciální
energie. Výrazy se zobecněnými rychlostmi tvoří kinetickou energii a výraz obsahující jen
polohu potenciální energii. Pokud ale vyjádříme druhý člen za pomoci zákona zachování
hybnosti (1.92), dostaneme
2
2
2
1
2 2
b mM
E mr G
rmr
   . (1.104)
Druhý člen je nyní závislý pouze na poloze a můžeme ho proto přiřadit k potenciálu.
Interpretace členu jako kinetického nebo potenciálního je tedy relativní a závisí na úhlu
našeho pohledu. Zaveďme tzv. efektivní potenciál:
2
eff
2
eff 2
1
( ) ;
2
( ) .
2
E mr V r
b mM
V r G
rmr
 
 

(1.105)
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
39
Z první rovnice snadno určíme radiální rychlost tělesa
 eff
2
( )r E V r
m
  (1.106)
Je zjevné, že pohyb se může konat jedině v takových oblastech efektivního potenciálu, kde
platí
eff ( )E V r . (1.107)
Průběh efektivního potenciálu je znázorněn na obrázku. Z něho je patrné, že pro E > 0 je
pohyb neomezený, r  <rmin, ), pohyb se koná po hyperbole. Naopak pro E < 0 je pohyb
omezený, r  <rmin, rmax> a pohyb se koná po elipse. Limitními případy jsou E = 0 (pohyb po
parabole) a E = Emin (pohyb po kružnici r = r0).
Příklad 17: Země jako oscilátor
Pohyb Země kolem Slunce lze chápat jako pohyb v efektivním potenciálu v okolí minima.
Takový pohyb je přibližně harmonický (radiální vzdálenost Země od Slunce periodicky
kolísá). Potenciál lze nahradit v okolí minima parabolickou závislostí. Předpokládejte, že
moment hybnosti Země je b = 2.7×1040
kg m2
s−1
. Určete minimum efektivního potenciálu a
periodu oběhu Země kolem Slunce.
Řešení: Standardním postupem (viz kapitola 1.3.2) určíme minimum efektivního potenciálu
(1.105) a tuhost oscilací. Z tuhosti pak již snadno nalezneme periodu pohybu:
2
6
0 2
4 7 4
eff 0 6
3
2 3 24 6 4 6
150 10 km ;
( ) ;
2 2 2 2
365 dní .
/ /
b
r
Gm M
G m M
k V r
b
b
T
k m G m MG m M b
   

  
 
    
■ Keplerovy zákony
1) Planety se pohybují kolem Slunce po elipsách, Slunce je v jednom z ohnisek.
2) Plošná rychlost průvodiče planety (spojnice planety se Sluncem) je konstantní.
3) Poměr druhé mocniny oběžné doby planety a třetí mocniny její velké poloosy je
konstantní:
2 2
3
4
( )
T
G m Ma



(1.108)
Malým m značíme hmotnost planety, velkým M hmotnost Slunce.
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
40
Ad 1). Pohyb po elipse plyne okamžitě ze vztahu (1.102).
Ad 2). Jde o jednoduchý důsledek zákona zachování momentu hybnosti. Změnu plochy při
pohybu planety můžeme zapsat za pomoci vektorového součinu
1
2
d d S r r .
Pro plošnou rychlost potom máme
1 1
2 2 2
d
m
dt m m
    
S b
r v r v . (1.109)
Zákon zachování plošné rychlosti je tedy jen jinou formulací zákona zachování momentu
hybnosti planety.
Ad 3). V relativních souřadnicích podle vztahu (1.88) pro problém dvou těles platí
2 2
( )mM mM m m M
G m G
m M r rr r


    

r r
r F r r   .
V relativních souřadnicích u problému dvou těles vystupuje namísto hmotnosti Slunce součet
hmotností obou těles, jinak je pohybová rovnice identická s rovnicí pro centrální gravitační
pole. Integrujme nyní velikost vztahu (1.109) pro plošnou rychlost
2 2 2
dS b b b
S T ab T
dt m m m
      .
2 abm bT  (1.110)
V odvození jsme použili vztah (D.5) pro plochu elipsy S = πab¸ který je uveden v dodatku E.
Veškeré veličiny se pokusíme převést na charakteristiky eliptické dráhy. Za moment hybnosti
dosadíme ze vztahu (1.102), na rozdíl od centrálního pole zde bude ale hmotnost Slunce
vystupovat v součtu s hmotností planety, tj.
2
2
.
( )
b
p
Gm m M


(1.111)
Po dosazení za b ze vztahu (1.111) do vztahu (1.110) dostaneme
2 2 2 2 2
2 ( ) 4 ( )abm pGm m M T a b Gp m M T      .
Veškeré parametry elipsy nyní převedeme na velkou poloosu a excentricitu. Využijeme
vztahy (D.4) z dodatku E, tj. b2
= a2
(1–ε2
); p = a(1–ε2
). Výsledkem je hledaný vztah
2 2
3
4
( )
T
G m Ma



.
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
41
1.4.4 Lagrangeovy body
Problém tří těles, které na sebe vzájemně gravitačně působí, není v plné šíři analyticky
řešitelný. V případě tzv. restriktivního kruhového problému tří těles lze v okolí dvou
vzájemně obíhajících těles nalézt pět rovnovážných bodů. Pokud do nich vložíme malé
testovací tělísko, budou v rovnováze gravitační síly od obou těles s odstředivou silou pohybu
v daném místě. Tyto body poprvé nalezl francouzsko-italský matematik Joseph Lagrange a
nesou jeho jméno.
Předpoklady:
1) jde o tzv. restriktivní problém, tj. dvě tělesa jsou velká a jedno je malé, testovací. Toto
testovací tělísko neovlivní gravitační potenciál v daném místě.
2) jde o cirkulární problém, tj. dvě velká tělesa kolem sebe vzájemně obíhají tak, že se
nemění jejich vzdálenost. Relativní pohyb jednoho vůči druhému probíhá po kružnici.
Přibližně takovou soustavou jsou například dvojice Země-Měsíc, Země-Slunce nebo
Jupiter-Slunce.
■ Formulace úlohy
Předpokládáme, že dvě hmotná tělesa o hmotnostech M1, M2 obíhají kolem společného těžiště
takovým způsobem, že jejich vzájemná vzdálenost R zůstává konstantní, tj. jedno těleso obíhá
kolem druhého po kružnici (na grafu efektivního potenciálu jde o minimum). Hledáme takové
polohy testovacího tělíska o malé hmotnosti m (m << M1, M2), ve kterých jsou veškeré síly
(gravitační, odstředivá) nulové a tělísko se nepohybuje (tím je nulová i Coriolisova síla).
Problém budeme formulovat v souřadnicové soustavě, která má počátek v těžišti a rotuje
spolu s oběma tělesy úhlovou rychlostí danou třetím Keplerovým zákonem (1.108)
2 1 2
1 23
( )
;
G M M
R r r
R


   . (1.112)
Úhlová rychlost jako vektor míří kolmo na rovinu oběhu obou těles (například v ose z).
Spojnice obou těles tvoří jednu ze souřadnicových os naší soustavy (například osu x). Jde
o neinerciální souřadnicovou soustavu, ve které je pohyb testovacího tělíska dán Lagrangeovou
funkcí – viz (1.75)
1 22
1 2
1
( )
2
mM mM
L m G G    
 
v r
r r r r
 (1.113)
Lagrangeovu funkci lze zapsat za pomoci efektivní potenciální energie ve tvaru
eff ;L T V  (1.114)
21
,
2
T m v (1.115)
1 22
eff
1 2
1
( ) ( ) .
2
mM mM
V m m G G       
 
v r r
r r r r
  (1.116)
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
42
Silové působení na naše testovací tělísko (resp. pohybová rovnice) má tvar (1.80), který jsme
odvodili pro neinerciální souřadnicovou soustavu:
   1 2
1 23 3
1 2
2 ( ) ( )
mM mMdm
m m G G
dt
        
 
v
v r r r r r
r r r r
   (1.117)
Napravo jsou jednotlivé silové členy (Coriolisova síla, odstředivá síla a gravitační síly
působící od obou těles. Souřadnicovou soustavu volíme tak, že osa x leží na spojnici obou
těles, osa y je kolmá na osu x (v rovině oběhu) a osa z je kolmá na rovinu oběhu. Při hledání
rovnovážných bodů můžeme postupovat dvojím způsobem. První možností je hledání
extrémů efektivního potenciálu (1.116). První člen bude nulový, protože hledáme jen
rovnovážné body, ve kterých se testovací tělísko nepohybuje (v = 0). Tento postup je vhodný
pro grafické řešení – ekvipotenciály funkce Veff můžeme vykreslovat vhodným softwarem
(například v programu MATHEMATICA).
Ekvipotenciály efektivního potenciálu soustavy Slunce‐Země. 
Šipkami je znázorněn směr „z kopce do údolí“. NASA/WMAP. 
Druhou možností je řešit podmínku na nulovou sílu (1.117). V rovnovážných bodech se
testovací těleso nehýbe, jeho rychlost je vůči naší souřadnicové soustavě nulová, a proto je
nulový i první člen (Coriolisova síla). Jde tedy pouze o rovnováhu gravitační a odstředivé
síly. Coriolisova síla má ale podstatný vliv na stabilitu nalezených Lagrangeových bodů.
■ Lagrangeovy body
Lagrangeovy body hledáme z rovnice
   1 2
1 23 3
1 2
( ) 0 ,
mM mM
m G G      
 
r r r r r
r r r r
  (1.118)
která vyjadřuje rovnováhu odstředivé síly a gravitačních sil. Polohové vektory r1 a r2 jsou
v námi zvolené souřadnicové soustavě známé, do (1.118) dosadíme:
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
43
 
 
2
1 2
1 2
1
2 1
1 2
2 1 2
3 3
, 0, 0 , 0, 0 ;
, 0, 0 , 0, 0 ;
(0,0, ) ;
( )
;
( , ,0) , ( , ,0) ( / , / ,0),
M
R R
M M
M
R R
M M
G M M GM
R R
x y x y x R y R




 
    
 
 
    
 


 
  
r
r
r r
 (1.119)
kde jsme označili bezrozměrné proměnné
1 2
1 2 1 2; ; ;
;
M M
M M M
M M
x y
x y
R R
    
 
(1.120)
Konstanty μ1, μ2 jsou relativní hmotnosti (vyjadřují, jakou část z celkové hmotnosti má první
resp. druhé těleso. Proměnné x , y jsou bezrozměrné souřadnice Lagrangeova bodu
v jednotkách vzdálenosti mezi oběma tělesy. Výsledkem je soustava dvou rovnic pro dvě
neznámé souřadnice Lagrangeova bodu:
1 2 2 1
3/2 3/22 2 2 2
2 1
1 2
3/2 3/22 2 2 2
2 1
( ) ( )
0 ;
( ) ( )
0 .
( ) ( )
x x
x
x y x y
y y
y
x y x y
   
 
 
 
 
  
      
   
  
      
   
(1.121)
Z druhé rovnice plyne okamžitě jedno z řešení, a to y = 0. Jde o Lagrangeovy body
nacházející se na ose x, tedy na přímce procházející oběma tělesy. Po dosazení y = 0 do první
rovnice máme
1 2 2 1
2 2
2 1
sgn( ) sgn( )
0 .
( ) ( )
x x
x
x x
   
 
 
  
 
(1.122)
Jde o rovnici pátého stupně, která má tři reálná řešení (Lagrangeovy body L1, L2, L3).
V rovnici ponecháme menší z obou parametrů, například hmotnost μ2:
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2( ) ( 1 ) (1 )( 1 ) ( ) 0 .x x x x x               (1.123)
Možné kombinace znamének u druhého a třetího členu jsou + − (L1); + + (L2) a − − (L3).
Řešení je možné najít buď numericky nebo provést rozvoj do nejnižšího řádu podle μ2.
Například pro soustavu Slunce-Země je μ2 ≈ 3×10–6
a provedení rozvoje podle tohoto
parametru je korektní. Výsledné polohy jsou
1/3 1/3
2 2 2
1 2 3L 1 , 0 ; L 1 , 0 ; L 1 5 , 0 .
3 3 12
R R R
          
                         
(1.124)
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
44
Pro soustavu Slunce-Země je vzdálenost R je rovna jedné astronomické jednotce, tj. přibližně
150×106
km. Lagrangeovy body L1 a L2 jsou vzdáleny od Země zhruba 1,5×106
km.
K nalezení řešení pro y ≠ 0 se vrátíme k rovnicím (1.121). Můžeme využít symetrie
problému podél osy x. Řešení lze nalézt v tomto případě analyticky:
1 2 1 2
4 5
3 3
L , ; L , .
2 2 2 2
R R
       
      
   
(1.125)
Lagrangeovy body L1, L2. Oba tyto body leží na přímce procházející oběma tělesy.
V případě soustavy Slunce-Země leží bod L1 ve vzdálenosti 1,5×106
km směrem ke Slunci a
bod L2 ve stejné vzdálenosti směrem od Slunce. Bod L1 je velmi výhodný pro pozorování
Slunce. Poprvé zde byla umístěna sonda ISEE-3 v roce 1978. Později se bod L1 stal
domovem jedné z nejslavnějších slunečních sond SOHO. V bodě L1 je rychlost oběhu Slunce
větší než v místě, kde je Země. Gravitační tah Země ale sondu v L1 brzdí na stejnou úhlovou
rychlost. Naopak v bodě L2, který je dále od Slunce, jsou umístěny sondy pro výzkum
vzdáleného vesmíru – americká WMAP a evropská Planck. Sondy by zde obíhaly Slunce
pomaleji, ale gravitační tah Země jim uděluje správnou rychlost. Z hlediska stability jsou L1
i L2 sedlové body, při vychýlení v jednom směru působí na sondu vratná síla, při vychýlení
v druhém směru se sondy začnou exponenciálně vzdalovat s charakteristickou konstantou
τ ≈ 23 dní, což znamená, že porucha roste jako exp(t/τ). Sondy v těchto bodech musejí vždy
po několika měsících provádět korekce dráhy.
Lagrangeův bod L3. Bod leží pro soustavu Slunce-Země na opačné straně Slunce, nepatrně
dále, než je oběžná dráha Země. Jakékoli těleso v tomto bodě je pro nás trvale
nepozorovatelné, protože je za slunečním kotoučem. To vedlo k domněnkám, že by se v bodě
L3 mohla nacházet pro nás trvale neviditelná planeta, která dostala název planeta X.
Lagrangeův bod L3 je opět sedlovým bodem, je nestabilní s charakteristickou konstantou
τ ≈ 150 let. Jakákoli dlouhodobější existence planety v tomto místě je proto zcela vyloučena.
Lagrangeovy body L4, L5. Tyto body neleží na spojnici obou těles, ale tvoří s nimi
rovnostranné trojúhelníky. Vzdálenost bodů L4 a L5 k oběma tělesům jsou stejné a rovny R,
tj. vzdálenosti těles samotných. Oba body leží v maximech efektivního potenciálu, a proto by
se mohlo na první pohled zdát, že jsou nestabilní. Při jakémkoli vychýlení ale začne působit
na testovací těleso Coriolisova síla, která ho bude vracet zpět. Výsledkem je oběh bodů L4
a L5, pro soustavu Slunce–Země s periodou 89 dní. Tělesa nacházející se v Lagrangeových
bodech L4 a L5 se nazývají Trojané. Nejznámější jsou Trojané soustavy Slunce-Jupiter.
Lagrangeovy body soustavy Slunce‐Země. 
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
45
1.4.5 Disipace energie
Lagrangeovy rovnice v podobě, ve které jsme je odvodili, platí pro nedisipativní systémy,
tedy pro systémy, ve kterých se nepřeměňuje část energie nevratně na teplo. To je výhodné
pro všechny základní interakce v přírodě. Nicméně pro techničtější využití je někdy třeba
tepelné ztráty do výpočtu zahrnout. Stačí, aby v elektrickém obvodu byl přítomný elektrický
odpor nebo aby se pohybující těleso třelo o okolní vzduch. V těchto případech se
v pohybových rovnicích vždy vyskytují členy úměrné zobecněné rychlosti. Jako příklad může
posloužit pohybová rovnice pro letící kámen:
d m
m
dt
 
v
g v . (1.126)
První člen napravo je tíhová síla a druhý je síla odporu vzduchu. Ta je úměrná rychlosti a má
opačný směr než pohyb. Jiným příkladem může být jednoduchý obvod, kde jsou v sérii
zapojeny všechny tři základní prvky, tj. kondenzátor, cívka a odpor. Součet napětí na všech
prvcích musí dát nulu, tedy
0
dI Q
I
dt
  L R
C
. (1.127)
Zobecněnou proměnnou (viz kapitola 1.1.6, LC obvod) je náboj. „Pohybová“ rovnice má tvar
0
Q
Q Q   L R
C
. (1.128)
Druhý člen je opět úměrný zobecněné rychlosti a představuje v systému disipaci energie.
Pokud chceme zobecnit Lagrangeovy rovnice i pro případ disipace energie, budou mít tvar
0l l
k k
d L L
c q
dt q q
 
  
 


. (1.129)
V posledním členu jsme použili Einsteinovu sumační konvenci. To nás vede k reformulaci
Lagrangeových rovnic do tvaru
;
1
.
2
k k k
kl k l
d L L R
dt q q q
R q q
  
  
  

 
 
(1.130)
Derivacemi kvadratické funkce na pravé straně vzniknou disipativní členy, které jsou lineární
v zobecněných rychlostech. Tato funkce se nazývá Rayleighova disipační funkce. V případě
disipace tak pro správnou formulaci úlohy musíme „uhodnout“ dvě funkce: Lagrangeovu
funkci a Rayleighovu disipační funkci. Pokud mají obě funkce správný tvar, získáme rovnice,
které jsou ve shodě s přírodními ději.
Příklad 18: RLC obvod
Rovnici (1.128) získáme z Lagrangeových rovnic (1.130), pokud zvolíme
2
2 21 1
( , ) ; ( )
2 2 2
Q
L Q Q Q R Q RQ     L
C
. (1.131)
Lagrangeova funkce má obdobný tvar jako v mechanice (členy připomínají rozdíl kinetické
a potenciální energie). Rayleighova disipační funkce je úměrná ztrátě energie ze systému za
jednotku času, protože dE/dt = UI = RI 2
= R(dQ/dt)2
.
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
46
Hybnost a energii definujeme v případě disipativních procesů stejným způsobem jako
obvykle, tj.
;k
k
L
p
q



(1.132)
.k
k
L
E q L
q

 



(1.133)
Energie se ale v případě disipace nebude zachovávat, ani když Lagrangeova funkce nezávisí
explicitně na čase. Najděme v tomto případě změnu energie s časem:
2
k k k k k
k k k k k
k k k k
k k k k k
dE d L d L L L L
q L q q q q
dt dt q dt q q q q
d L L d L L R
q q q q R
dt q q dt q q q
       
         
          
        
           
            
    
   
   
  
V posledním kroku jsme použili Eulerovu větu o derivaci homogenních funkcí, která pro
kvadratickou funkci f(x) má tvar xdf /dx = 2f (důkaz je triviální, jde jen o derivaci kvadrátu).
Získaný výsledek
2
dE
R
dt
  . (1.134)
jasně dává do souvislosti Rayleighovu disipační funkci se ztrátou energie ze systému za
jednotku času. Vztah (1.134) lze zapsat jako zákon zachování energie takto:
0
2 const
t
E R dt  . (1.135)
Provedeme-li transformaci od proměnných (q, dq/dt) k proměnným (q, p) v zobecněné energii,
získáme Hamiltonovu funkci H(q, p). Ukažme nyní, jak budou vypadat Hamiltonovy
rovnice v případě disipace energie. Zřejmě platí
 
( )
.
k k
k k
k k k k
k
k k k k k k
k
k k k k k k
k
k k k k
k
L L
dL dq dq
q q
R
dL p dq p dq
q
R
dL p dq d p q q dp
q
R
d p q L p dq q dp
q
R
dH p dq q dp
q
 
  
 
 
    
 
 
     
 
 
      
 
 
    
 


 

  

  

 

Při úpravě prvního vztahu jsme využili Lagrangeovy rovnice ve tvaru (1.130) a definici
hybnosti (1.132). Vzhledem k tomu, že hamiltonián H je pouze funkcí zobecněných
souřadnic a hybností, musí být koeficienty u příslušných diferenciálů rovny odpovídajícím
parciálním derivacím, tj.
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
47
; .k k
k k k
R H H
p q
q q p
   
    
   
 

Odsud již snadno získáme Hamiltonovy pohybové rovnice pro případ disipace energie:
;
.
k
k
k
k k
H
q
p
H R
p
q q



 
  
 



(1.136)
Člen / kR q   musíme vyjádřit pomocí zobecněných poloh a hybností, tj. jako funkci (q, p).
1.4.6 Inverzní úloha
Velice zajímavou úlohou je hledání Lagrangeovy funkce pro daný problém. Pokud nevíme
vůbec nic, snažíme se Lagrangeovu funkci odhadnout jako nějakou kombinaci skalárů
v teorii. Pokud dostaneme jako výsledek pohybové rovnice, které souhlasí s experimentem,
bylo naše úsilí korunováno úspěchem. K dané úloze existuje nekonečné množství
Lagrangových funkcí, které se mohou lišit o úplnou časovou derivaci libovolné funkce.
Jinými slovy, pokud k nalezené Lagrangeově funkci přičteme (nebo od ní odečteme) df/dt,
kde f = f (t, q, dq/dt), dostaneme stejné Lagrangeovy rovnice. Toho se využívá k následné
úpravě nalezené Lagrangeovy funkce do co možná nejjednoduššího tvaru.
Mnohdy ale nehledáme Lagrangeovu funkci na „zelené louce“, ale známe pohybové rovnice
a k nim hledáme vhodnou Lagrangeovu funkci. Označme levé strany pohybových rovnic εk:
0k
k k
d L L
dt q q

 
  
 
(1.137)
Inverzní úlohou rozumíme nalezení Lagrangeovy funkce ze známých diferenciálních rovnic
ve tvaru εk = 0. Tato úloha nemusí mít vždy řešení, tedy k některým soustavám rovnic
Lagrangeova funkce neexistuje a variační formulace není možná. Italský teoretický fyzik
Enzo Tonti v roce 1969 odvodil postačující podmínky pro existenci Lagrangeovy funkce [5]:
Pokud levé strany diferenciálních rovnic splňují podmínky
2
2
0 ;
2 ;
k l
l k
k l l
l k k
k l l l
l k k k
q q
d
q q dt q
d d
q q dt q qdt
 
  
   
 
 
 
  
 
  
      
      
         
 
  
 
(1.138)
pro každé k, l, potom jsou rovnice εk = 0 variační, tj. existuje Lagrangeova funkce L a platí
1
0
( , , , )k kL q t q q q d         . (1.139)
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
48
Ve vztahu (1.139) platí sumační konvence. Znaménko minus je zde jen proto, aby pohybové
rovnice vyšly ve tvaru (1.137). Při opačném znaménku bychom získali rovnice −εk = 0.
Nejsou-li splněny Tontiho podmínky variačnosti (1.138), je možné hledat funkce fk tak, aby
byly existovala Lagrangeova k rovnicím
0k k kf   . (1.140)
V tomto vztahu se přes k nesčítá, tj. každou z rovnic odděleně vynásobíme nějakou funkcí fk.
V případě, že nevariačnost rovnic způsobují členy lineární v zobecněných rychlostech dqk/dt,
rozdělíme rovnice na dvě části tak, aby
;k k kl l kl lkq q    
   . (1.141)
V systému probíhající disipační procesy lze popsat Rayleighovou funkcí
1
2
kl k lR q q   . (1.142)
Inverzní variační problém lze řešit tak, že najdeme Lagrangeovu funkci k rovnicím ε*
k = 0
a systém pak splňuje Lagrangeovy rovnice ve tvaru (1.130) s Rayleighovou disipační funkcí
.
k k k
d L L R
dt q q q
  
  
   
(1.143)
Příklad 19: Pohyb příčky
Na dvě vodorovné elektrody je napříč položena kovová příčka o hmotnosti m. Na počátek
elektrod přivedeme napětí U0 z kondenzátorové baterie. Příčkou začne téct elektrický proud
a tím vznikne magnetické pole, které začne příčku posouvat. Za zobecněné proměnné
zvolíme polohu příčky x(t) a náboj proteklý od počátku obvodem Q(t).
Předpokládejme, že (například z experimentu) známe rovnice popisující problém:
2
1
1
;
2
mx Q x  L (1.144)
0 1 1 0( )
Q
x Q Q xQ U      L L R L
C
. (1.145)
Z elektrického hlediska jde o obvod s kapacitou kondenzátorové baterie C, odporem R a proměnnou
indukčností L = L0 + L1x. Poslední člen na levé straně rovnice (1.145) popisuje
vzájemnou vazbu mezi mechanickou a elektrickou částí. Z mechanického hlediska je příčka
urychlována silou L1(dQ/dt)2
/2 a brzděna třecí silou –β dx/dt. Označme
2
1
1
;
2
x mx Q x    L (1.146)
0 1 1 0( )Q
Q
x Q Q xQ U        L L R L
C
. (1.147)
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
49
Tontiho variační podmínky jsou splněny jen, pokud je β = 0 a R = 0. To je celkem přirozené,
neboť jde o koeficienty disipativních členů (odpor obvodu a tření příčky). Zavedeme proto
Rayleighovu disipační funkci
2 21 1
2 2
R Q x  R (1.148)
a Lagrangeovu funkci budeme hledat jen pro levé strany rovnic bez disipativních členů
2
1
1
;
2
x mx Q
   L (1.149)
0 1 1 0( )Q
Q
x Q xQ U
     L L L
C
. (1.150)
Tyto rovnice již splňují Tontiho podmínky a Lagrangeovu funkci vypočteme ze vztahu
1 1
0 0
( , , , , , ) ( , , , , , )x QL x x Q x Q x Q d Q x Q x Q x Q d                
          . (1.151)
Po dosazení a jednoduché integraci máme Lagrangeovu funkci
2
0 1 0 1 1
0
2 6 2 3 3 2
m x Q Q xQ xQ Q
L x Q U
   
         
  
  
    L L L L
C
. (1.152)
Lagrangeova funkce (1.152) spolu s Rayleighovou funkcí (1.148) dá sice správné výchozí
rovnice, ale Lagrangeova funkce je značně nepřehledná. Využijeme toho, že se rovnice
nezmění, pokud k Lagrangeově funkci přičteme (nebo od ní odečteme) úplnou derivaci
jakékoli funkce podle času. Členy s druhými derivacemi upravíme takto:
2
2
( ) ;
( ) ;
( ) ( ) .
d
xx xx x
dt
d
QQ QQ Q
dt
d d
QxQ QxQ Q Qx
dt dt
 
 
 
  
  
  
Tato vyjádření dosadíme do Lagrangeovy funkce a vynecháme úplné derivace, které
pohybové rovnice neovlivní. Výsledek je nyní mnohem přehlednější:
2
2 2
0 1 0
1 1
( )
2 2 2
Q
L mx x Q QU     L L
C
. (1.153)
Interpretace této Lagrangeovy funkce je zřejmá. První člen je kinetická energie částice, druhý
je energie na indukčnosti, třetí je energie souvisící s kapacitou soustavy (má význam
potenciální energie, proto má znaménko minus) a poslední člen je souvisí s definicí proměnné
Q (celkový náboj proteklý od počátku obvodem). Pokud bychom za zobecněnou proměnnou
volili náboj na kondenzátorové baterii, byl by tento člen nulový. Lagrangeova funkce (1.153)
spolu s Rayleighovou funkcí (1.148) jsou přirozeným řešením naší úlohy. Podrobnější řešení
pro případ, kdy příčku tvoří plasma v kolejnicovém urychlovači nalezne čtenář v [12].
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
50
1.4.7 Adiabatické invarianty
■ Přesný periodický pohyb
Představme si systém, který se periodicky pohybuje. Příkladem může být kyvadlo, Země
obíhající kolem Slunce nebo elektron odrážející se mezi magnetickými zrcadly. Ve fázovém
prostoru (na osách jsou zobecněné souřadnice a hybnosti) tvoří takový pohyb uzavřenou
křivku, po které se systém pohybuje znova a znova. Předpokládejme že je pohyb periodický
v určité zobecněné proměnné q, které přísluší kanonicky sdružená zobecněná hybnost p.
Fázová trajektorie uzavírá v rovině (q, p) oblast Ω, jejíž je hranicí. Hranici oblasti zapisujeme
v matematice symbolicky takto: γ = Ω (čteme „křivka γ je hranicí množiny Ω“). Plochu
uzavřenou fázovou trajektorií označíme J, její číselnou hodnotu lze snadno určit jako integrál
J p dq

  . (1.154)
Pokud by měla fázová trajektorie opačný směr než na obrázku, dostali bychom minus plochu
uzavřenou fázovou trajektorií. Při periodickém pohybu se velikost této plochy nemění. Stejně
tak se zachovává energie
H p q L  . (1.155)
Lagrangeovu funkci můžeme vyjádřit jako
L p q  . (1.156)
Ve výrazu jsme vynechali konstantu pohybu H, která nezmění pohybové rovnice. Integrál
akce počítaný přes periodu je
t T t T t T
t t t
dq
S Ldt pqdt p dt p dq J
dt 
  
         . (1.157)
Plochu J uzavřenou fázovou trajektorií tak můžeme chápat jako akci systému počítanou přes
jednu periodu. Veličiny J a H se při periodickém pohybu nemění. Pokud budeme sledovat
systém s vyšší energií (více rozkývané kyvadlo), zvětší se J i H. Obě veličiny jsou závislé,
( ); ( )J J H H H J  . (1.158)
Již jsme nalezli dva významy veličiny J: plocha uzavřená fázovou trajektorií a integrál akce
přes periodu. Veličinu J má ale další důležitý význam. Můžeme ji chápat jako nějakou
zobecněnou hybnost soustavy. Jí odpovídající kanonicky sdruženou souřadnici označíme θ.
Nová souřadnice θ musí splňovat Hamiltonovu rovnici
d H
dt J
 


. (1.159)
Vzhledem k tomu, že ∂H/∂J je pro systém s danou energií konstanta (lze ukázat, že je rovna
převrácené hodnotě periody pohybu), roste nová zobecněná proměnná θ lineárně s časem.
Může tak symbolizovat například narůstající úhel při oběhu systému po fázové trajektorii.
Touto proměnnou můžeme snadno parametrizovat fázovou trajektorii (hranici množiny Ω).
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
51
Pro časové derivace libovolné veličiny na hranici γ = Ω proto můžeme psát (θ je jediným
parametrem, který jednoznačné určuje polohu na hranici)
df f d f H
dt dt J

 
  
 
  
. (1.160)
Vidíme, že nové kanonicky sdružené proměnné J a θ jsou nesmírně užitečné. Hybnost J je
integrálem pohybu, který vypovídá o velikosti plochy uzavřené fázovou trajektorií a souřadnice
θ umožňuje jednoznačně parametrizovat hranici této plochy (fázovou trajektorii) a
převést úplné časové derivace na hranici na parciální.
■ Adiabatické přiblížení
Předpokládejme nyní, že se při periodickém pohybu pomalu mění nějaký parametr λ. Může jít
o délku závěsu u kyvadla nebo o magnetické pole u elektronu, který obíhá po kružnici kolem
siločar magnetického pole. Za jednu periodu je změna zanedbatelná, tj. platí
d
dt T
 
 , (1.161)
za mnoho period ale může být změna podmínek podstatná. Takovým změnám říkáme
adiabatické změny. Energie se v tomto případě nezachovává. Změna energie je úměrná změně
parametru λ. Obě měnící se veličiny lze zkombinovat do nové proměnné, která zůstává i při
adiabatických změnách konstantní, tj. existuje veličina A(H, λ), že platí
( , ) constA H   . (1.162)
Takovou veličinu nazýváme adiabatický invariant. Dokažme nyní, že adiabatickým
invariantem je plocha fázové trajektorie, tj. zobecněná hybnost J daná vztahem (1.154). Tato
veličina se při adiabatických změnách na rozdíl od energie zachovává. Nalezněme proto
časovou změnu J, při které využijeme parametrizaci křivky kanonicky sdruženou proměnnou
θ k zobecněné hybnosti J:
2
0
2
0
dJ d d q
pdq p d
dt dt dt
dp q d q
p d
dt dt






 

  

  
  
  
 


.
Časové derivace na hranici oblasti nahradíme podle vztahu (1.160), tj.
2
0
.
dJ H p q q
p d
dt J


   
     
  
     

V druhém členu provedeme integraci per partes
2 2
00
0 .
dJ H p q p q q
d p
dt J
 

    
        
              

První člen na pravé straně je zjevně nulový, druhý člen můžeme považovat za nulový, pokud
platí adiabatické přiblížení. Nalezli jsme tedy adiabatický invariant, pro který při
adiabatickém přiblížení platí
constJ pdq  . (1.163)
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
52
Příklad 20: Harmonický oscilátor
Předpokládejme, že se z nějakého důvodu adiabaticky pomalu mění frekvence harmonického
oscilátoru (například měníme délku závěsu matematického kyvadla nebo tuhost pružiny, na
které se kýve těleso). Fázová trajektorie oscilátoru je elipsa
2
2 21
2 2
p
m x E
m
   (1.164)
Poloosy naší elipsy odečteme z úsekového tvaru
2 2
2
2
1; ; 2 .
x p E
a b mE
a b m
   
      
   
(1.165)
Nyní již snadno určíme náš adiabatický invariant jako plochu elipsy o poloosách a a b:
2
const
E
J pdx ab



    . (1.166)
Energie i frekvence se sice pomalu mění s časem, ale jejich podíl je i po mnoha periodách
konstantní.
Příklad 21: Proměnné magnetické pole
Předpokládejme, že elektron koná Larmorovu rotaci v pomalu proměnném magnetickém poli.
Za souřadnici zvolíme úhel φ, který určuje pozici na Larmorově kružnici. Příslušnou
zobecněnou hybností je moment hybnosti obíhajícího elektronu:
2 2
e e
0 0
2 .L LJ p d m R d m R
 
       v v
Po dosazení za Larmorův poloměr ze vztahu (1.63) máme
2 2 2
e
2 .
m
J
QB B
 
v v
Při pohybu se pomalu mění magnetické pole. S tím se mění rychlost obíhající částice tak, že
podíl v2
/B je konstantní. Jde o tzv. první adiabatický invariant v magnetickém poli. Zpravidla
se za něho volí kombinace s poněkud odlišnými konstantami (na těch ale nezáleží)
2
e
1 const .
2
J
B
 
m v
(1.167)
Podrobněji se o adiabatických invariantech pro nabitou částici pohybující se v magnetickém
poli dozvíte v [1].
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
53
1.4.8 Kanonické transformace
Ne vždy se nám podaří zvolit napoprvé optimální zobecněné souřadnice, ve kterých bude
řešení co možná nejjednodušší. Od nějaké množiny zobecněných souřadnic a hybností (q, p)
můžeme vždy přejít k jiné soustavě nových souřadnic a hybností (Q, P). Pokud požadujeme,
aby i nové proměnné byly navzájem kanonicky sdružené, tj. platilo
 
 
, ;
, ,
k l kl
k l kl
p q
P Q




(1.168)
hovoříme o tzv. kanonické transformaci. Chceme-li automaticky zajistit, aby nová sada
proměnných (Q, P) byla kanonická, můžeme použít k jejímu generování jednoduchý
mechanizmus vytvořující funkce, který si nyní popíšeme. Předpokládejme, že chceme přejít
od
1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , , , , , , , , ,
( , , ) ( , , ) ,
f f f fq q q p p p Q Q Q P P P
H t q p H t Q P


   
(1.169)
kde jsme označili H Hamiltonovu funkci v nových proměnných. Samozřejmě chceme, aby
pro nové i staré souřadnice platily Hamiltonovy rovnice, tj. platil Hamiltonův princip, ze
kterého byly odvozeny:
( ) 0 ;
( ) 0 ;
B B
A A
B B
A A
t t
k k
t t
t t
k k
t t
Ldt p q H dt
Ldt P Q H dt
 
 
  
  
 
 


Mají-li obě rovnice platit současně, mohou se integrandy lišit o úplnou derivaci libovolné
funkce starých a nových proměnných V (t, q, Q).
;
( , , )
k k k k
d
p q H P Q H
dt
t q Q
   


V
V V
. (1.170)
Je to proto, že platí (variace starých i nových souřadnic jsou na koncích trajektorie nulové)
  0
BB
B
A
AA
tt
t
k kt
k k tt
d
dt q Q
dt q Q
   
  
    
  

V V V
V .
Proveďme nyní derivaci funkce V (t , q, Q) ve vztahu (1.170)
0 .
k k k k k k
k k
k k k k
k k
p q H P Q H q Q
t q Q
p q H H P Q
q t Q
  
      
  
      
          
      
  

V V V
V V V
Tuto rovnost splníme jednoduchými požadavky:
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
54
; ; .k k
k k
p P H H
q Q t
  
    
  
V V V
(1.171)
Funkci V nazýváme vytvořující funkce. Jde o libovolnou funkci času, starých proměnných q
a nových proměnných Q, tj. V (t , q, Q). Pokud budou platit relace (1.171), tj. spočítáme
podle tohoto předpisu nové hybnosti, budou v nových proměnných platit Hamiltonovy
rovnice a navíc budou takto vytvořené nové proměnné kanonicky sdružené, tj. {Qk, Pk} = δkl.
■ Hamiltonova-Jacobiho rovnice
Pomocí vytvořující funkce si můžeme vymýšlet nejrůznější transformace k novým proměnným.
Vytvořující funkce je totiž libovolnou funkcí starých a nových souřadnic. V principu by
mohla být i funkcí starých souřadnic a nových hybností, starých hybností a nových souřadnic
nebo starých hybností a nových hybností. Rozdíly mezi souřadnicemi a hybnosti se
v Hamiltonově teorii stírají. Transformační vztahy (1.171) by byly jen nepatrně odlišné.
Samozřejmě se nabízí otázka, jak volit vytvořující funkci tak, aby řešení v nových
proměnných bylo co nejjednodušší. Můžeme dokonce požadovat, aby řešení v nových
souřadnicích i hybnostech bylo konstantní, tj. Hamiltonovy rovnice měly nulovou pravou
stranu:
const 0 ;
const 0 .
k k
k
k k
k
H
Q Q
P
H
P P
Q

    


    



(1.172)
V tomto případě budou nové zobecněné souřadnice a hybnosti cyklické, tj. nebudou se
vyskytovat v Hamiltonově funkci. Můžeme požadovat, aby Hamiltonova funkce v nových
proměnných byla přímo nulová. Vytvořující funkci, která vede na konstantní zobecněné
souřadnice a hybnosti, označujeme S a nazýváme ji hlavní (principiální) Hamiltonova funkce.
Transformační rovnice (1.171) nyní budou:
;
;
0 ( , , ) .
k
k
k
k
k k
S
p
q
S
P
Q
S
H t q p
t




 


 

(1.173)
První rovnici dosadíme do Hamiltonovy funkce ve třetí rovnici. V druhé rovnici využijeme,
že nové souřadnice a hybnosti jsou konstanty αk a βk:
( , , ) 0 ( , , )k k k
k
S S
H t q S t q
t q

 
  
 
(1.174)
( , , )
( , , ) ;k k
k k k k k
k
S t q
q q t

  


   

(1.175)
Rovnice (1.174) se nazývá Hamiltonova-Jacobiho rovnice. Postup řešení je tedy následující:
1) V nějakých zobecněných souřadnicích a hybnostech zkonstruujeme Hamiltonovu funkci
(tj. energii vyjádřenou za pomoci zobecněných souřadnic a hybností).
2) V této Hamiltonově funkci nahradíme všechny výskyty hybností pk výrazem ∂S/∂qk
a sestavíme Hamiltonovu-Jacobiho rovnici (1.174) pro vytvořující funkci S.
Teoretická mechanika Vybrané úlohy z teoretické mechaniky
55
3) Řešíme Hamiltonovu-Jacobiho rovnici. Řešením je vytvořující funkce S(t, qk, αk), ve které
jsou αk integrační konstanty. Tyto konstanty mají význam nových zobecněných souřadnic.
4) Víme, že transformace (1.175) daná vytvořující funkcí S vede na nové hybnosti, které
jsou také konstantní, proto je označíme βk. Tyto transformační vztahy obsahují nové
zobecněné souřadnice αk (konstanty), nové zobecněné hybnosti βk (konstanty) a čas. Proto
z nich můžeme vyjádřit původní souřadnice qk jako funkce času a nalezených konstant.
Tím jsme se vrátili k řešení problému v původních souřadnicích.
Poznámka 1: Vytvořující funkce S, která vede na konstantní zobecněné souřadnice a hybnosti má
význam integrálu akce:
( , , ) .k k k k
k
dS S S
S S t q q H pq L S Ldt
dt t q

 
         
   
Poznámka 2: Hamiltonova-Jacobiho rovnice má úzký vztah ke Schrödingerově rovnici v kvantové
teorii. Je to patrné ze struktury rovnice. V kvantové teorii nahrazujeme hybnosti ve vztahu pro energii
operátory podle předpisu pk → –iħ∂/∂qk , v Hamiltonově-Jacobiho rovnici výrazem ∂S/∂qk. I první
časová derivace hledané funkce je shodná v obou rovnicích.
Příklad 22: Volný pád
Řešit volný pád z výšky h za pomoci Hamiltonovy-Jacobiho rovnice je podobně šílené, jako
lovit vrabce za pomoci dělostřeleckého kanónu. Nicméně jako cvičení, při kterém se
seznámíte s s Hamiltonovou-Jacobiho rovnicí, je tento postup užitečný. Předpokládejme, že
osa y míří vzhůru. Lagrangeova funkce a Hamiltonova funkce budou mít tvar (krok 1)
2
21
; .
2 2
p
L m mgy H mgy
m
   v (1.176)
Nyní sestavíme Hamiltonovu-Jacobiho rovnici (krok 2):
2
1
0
2
S S
mgy
t m y
  
   
  
(1.177)
Jde o parciální diferenciální rovnici, kterou budeme řešit separací: S(t, y) = S1(t) +S2(y).
Vzhledem k tomu, že čas je jen v prvním členu, musí být S1(t) lineární v čase, tj. například
S1 = −αt. Po dosazení do Hamiltonovy-Jacobiho rovnice dostaneme
2
2
2
1
0 ( ) 2 ( )
2
dS
mgy S y m mgy dy
m dy
 
 
        
 

2 3/2
2
(2 2 )
( , , )
3
m m gy
S t y t
m g

 

   . (1.178)
Nalezli jsme tedy S, které je funkcí času, staré zobecněné proměnné y a nové zobecněné
proměnné Q = α, která je konstantní. To je výsledkem třetího kroku. Nyní provedeme
poslední krok – transformaci k nové hybnosti P = β, která je také konstantní:
2
2
( , , ) 2 2 1
( )
2 2
S t y y
t y g t
g gmg
  
  


         

.
Z počáteční podmínky y(t0) = h odvodíme α/2g = h, β = t0, tedy
21
2
y h gt  (1.179)
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
56
1.5 NELINEÁRNÍ DYNAMICKÉ SYSTÉMY
Hamiltonovy rovnice popisující mechanické systémy vedou na soustavu diferenciálních
rovnic prvního řádu pro proměnné q, p. Označme ξ = (q, p) množinu hledaných fázových
proměnných systému. Diferenciální rovnice vzniklé z Hamiltonových rovnic potom mají tvar:
,),,,,(
),,,,(
),,,,(
21
2122
2111
NNN
N
N
tf
tf
tf










(1.180)
neboli
.,,1,),( Nktfkk    (1.181)
Počet rovnic N nemusí být nutně sudý (souřadnice a jim odpovídající hybnosti), rovnice pro
zachovávající se proměnné ze soustavy vyškrtneme a neřešíme je. Na pravých stranách
většinou není explicitně obsažen čas – takové soustavy rovnic se nazývají autonomní.
V dalším textu se budeme zabývat jen autonomními soustavami rovnic
.,,1,)( Nkfkk    (1.182)
Nejjednodušší je případ lineárních rovnic tvaru
.,
,
11
11111
NNNNN
NN
aa
aa







(1.183)
neboli
. A (1.184)
Řešení lineárních rovnic je jednoduché. Nalezneme vlastní čísla a vektory matice A:
.)()( l
l
l
 A (1.185)
Úpravou rovnice (1.185) dostaneme (A – λ1)η = 0. Tato rovnice bude mít netriviální řešení
jen, je-li
det (A – λ 1) = 0 , (1.186)
což je rovnice pro vlastní čísla λ. Z tvaru (1.185) potom dopočteme vlastní vektory. Řešením
soustavy lineárních diferenciálních rovnic je každý výraz
ξ = η exp(λt) ,
protože
d
exp( ) exp( ) .
d
t t
t
    

  A A
Obecné řešení je lineární kombinací řešení pro jednotlivá vlastní čísla:
1 2(1) (2)
1 2( ) e e .
t t
t c c
 
     (1.187)
Jde-li o problém kmitů, λ jsou komplexní (λk = δ + i ωk ). Jednotlivé členy v součtu (1.187)
jsou tzv. vlastní mody kmitů. Počet vlastních frekvencí je menší nebo roven řádu matice A.
Poznámka: Výsledek (1.187) platí jen, jsou-li vlastní čísla matice A, určená z rovnice (1.186),
navzájem různá. Je-li některé vlastní číslo k-násobným kořenem rovnice (1.186), potom odpovídající
koeficient lineární kombinace (1.187) bude polynom stupně k – 1.
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
57
Příklad 23: Harmonický oscilátor
Hamiltonovy rovnice pro harmonický oscilátor mají tvar
2
; .
p
x p m x
m
   
Odhlédneme-li od nepodstatných konstant, je třeba řešit soustavu rovnic typu
1 11 2
2 22 1
0 1d
,
1 0dt
  
  
     
              


ve které ξ1 = x, ξ2 = p. Z rovnice pro vlastní čísla (1.186) snadno určíme vlastní čísla
i2,1 a z rovnice pro vlastní vektory (1.185) odpovídající vlastní vektory
(1) (2)1 1
; .
i i
c c
   
      
   
 
Obecné řešení soustavy tedy je
1 i i
1 2
2
1 1
e e ,
i i
t t
c c



     
              
což pro počáteční podmínky x(0) = ξ1(0) = A; p(0) = ξ2(0) = 0 dá známé řešení
.sin;cos 21 tAptAx  
Příklad 24: Spřažené oscilátory v lineárním přiblížení
Předpokládejme, že dvě stejná matematická kyvadla jsou na konci spojená nehmotnou
pružinou tuhosti k (pokud kyvadla volně visí dolů, není pružina napnutá):
Lagrangeovu funkci napíšeme jako rozdíl všech kinetických energií a všech potenciálních
energií. Potenciální energie kyvadel jsou záporné, potenciální energii pružiny značíme Vp:
1 2 1 2 pL T T V V V     , (1.188)
 22 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 1 1
cos cos
2 2 2
L ml ml mgl mgl k l l            . (1.189)
V posledním členu jsme využili fakt, že matematické kyvadlo má jen malé rozkmity. Pro
malé rozkmity stačí potenciální energie nahradit Taylorovým rozvojem do kvadratického
členu (kvadratičnost na úrovni energií znamená linearitu na úrovni pohybových rovnic).
Konstanty v Lagrangeově funkci můžeme vynechat:
 
2 2
22 2 2 2 21 2
1 2 1 2
1 1 1
2 2 2 2 2
L ml ml mgl mgl kl
 
          . (1.190)
Příslušné Lagrangeovy rovnice budou
   1 1 1 2 2 2 1 20 ; 0 .
g k g k
l m l m
                (1.191)
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
58
První dva členy korespondují s matematickým kyvadlem, poslední člen reprezentuje
pružinovou vazbu mezi oběma kyvadly. Označme nyní přirozenou frekvenci kyvadla ωk
a pružiny ωp:
k p; .
g k
l m
   (1.192)
Hledejme nyní základní módy řešení, tj. řešení se shodnou frekvencí. Mohli bychom je najít
z Hamiltonových rovnic podobně jako v minulém příkladu, tj. přes vlastní čísla a vlastní
vektory matice soustavy. Zvolíme ale nyní nepatrně odlišný postup, přímo do soustavy
Lagrangeových rovnic (1.191) dosadíme vlastní módy s frekvencí ω.
i i
1 1 2 2e ; et t
A A 
   . (1.193)
Po dosazení do Lagrangeových rovnic dostaneme soustavu rovnic pro amplitudy A1, A2:
2 2 2 2
k p p 1
2 2 2 2
2p k p
, , 0
0,
A
A
   
   
           
      
. (1.194)
Jde o lineární rovnici bez pravé strany, která bude mít řešení jen tehdy, pokud bude
determinant soustavy roven nule. Z nulovosti determinantu získáme algebraickou rovnici pro
frekvenci ω, která má dvě řešení:
2 2
1 k 2 k p; 2       . (1.195)
Z rovnice (1.194) dopočteme pro tyto dvě frekvence hodnoty amplitud A1, A2:
1 k 2 1
2 2
2 k p 2 1
: ;
2 : .
A A
A A
 
  
 
   
. (1.196)
Vlastní mody tedy mají dvě možné frekvence. První je nedotčená frekvence matematického
kyvadla. Obě kyvadla kývají synchronně, pružina není napjatá ani stlačená a na kmity nemá
vliv. V druhém případě je frekvence vyšší a závisí i na frekvenci přirozených kmitů pružiny.
Kyvadla kývají proti sobě, tj. pružina se symetricky stlačuje a natahuje. Obecný pohyb
spřažených oscilátorů je dán superpozicí obou těchto řešení.
1.5.1 Matice stability a fázový portrét systému
Je-li soustava diferenciálních rovnic nelineární, může být řešení mnohem komplikovanější
než výsledek (1.187).
Stacionární body řešení: Jde o takové body fázového prostoru, ze kterých se systém
samovolně nevyvíjí. Jsou definovány vztahem dξk /dt = 0. Nalezneme je tak, že pravé strany
soustavy diferenciálních rovnic (1.180) položíme rovny nule:
body.ístacionárnprorovnice0)( kf (1.197)
Poznámka: „Vložíme-li“ systém přesně do stacionárního bodu, (tj. připravíme ho s takovými
počátečními podmínkami), zůstane v tomto bodě fázového prostoru navěky.
Stabilita řešení: Budeme zkoumat, zda stacionární body jsou stabilní vzhledem k malým
poruchám (perturbacím). Můžeme si představit, že systém vložený do stacionárního bodu
nepatrně vychýlíme a zkoumáme, zda se samovolně do stacionárního bodu vrátí (stabilní bod)
nebo zda se od něho bude vzdalovat (nestabilní bod). Hledejme tedy řešení rovnice (1.180) ve
tvaru
,,,1,)(
Nkk
S
kk  
kde ξ(S)
je stacionární bod splňující fk(ξ(S)
) = 0; δξ je malá porucha 1. řádu. Tento tvar
dosadíme do výchozí soustavy rovnic:
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
59
 ( ) ( )d
( )
d
S S
k kk f
t
      
a provedeme Taylorův rozvoj pravé strany do prvního řádu
  ( )
( )d
( ) .
d S
S k
k k l
l
f
f
t
   


  



Vzhledem k stacionaritě )(S
 je první člen na pravé straně nulový a můžeme psát
1 111 1
1
d
,
d
N
N N NN N
a a
t
a a
   
   
    
    
     
    
    

    

(1.198)
kde
)(Sl
k
kl
f
a



 (1.199)
je tzv. matice stability. Jde o parciální derivace pravých stran rovnic (1.180) podle
jednotlivých proměnných ve zkoumaném stacionárním bodě. Soustava rovnic (1.198) pro
malé poruchy  je linearizovaná a její řešení umíme najít pomocí vlastních čísel a vlastních
směrů matice A. Je-li Re(λ) < 0, bude daný mod utlumen (exp(λt )) a řešení je stabilní v
příslušném vlastním směru. Je-li Re(λ) > 0, je mod v daném směru nestabilní. Je-li λ =  i b,
malá porucha systém v okolí stacionárního bodu rozkmitá.
Poznámky:
1) Pro soustavu dvou diferenciálních rovnic bude matice stability rozměru 2×2 mít dvě vlastní čísla
111 ba i a 222 ba i a jsou možné následující situace:
STABILNÍ UZEL
a < 0 ; b = 01,2 1,2
NESTABILNÍ UZEL
a > 0 ; b = 01,2 1,2
NESTABILNÍ SEDLO
a a < 0 ; b = 01 2 1,2
STABILNÍ STŘED
a = 0 ; b = – b 01,2 1 2

NESTABILNÍ OHNISKO
a > 0 ; b = b 01,2 1 2
–
STABILNÍ OHNISKO
a < 0 ; b = b 01,2 1 2
–
2) Ze znalosti stacionárních bodů a vlastních čísel a směrů matice stability jsme zpravidla již
schopni odhadnout fázový portrét soustavy. Ukázky jsou v následujících příkladech.
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
60
Příklad 25: Nelineární oscilátor
Uvažujme soustavu rovnic
.2
112
21






Oproti standardnímu harmonickému oscilátoru je zde navíc nelineární člen s koeficientem
ε. Nejprve určíme z nulovosti pravých stran stacionární body A, B:
]0,1[
]0,0[
0
0
2
11
2







B
A
a zakreslíme je do fázového prostoru. Potom nalezneme matici stability (1.199) v obecném
tvaru:
.
021
10
1
2
2
1
2
2
1
1
1


































ff
ff
A
Tuto matici určíme v stacionárních bodech A a B. Vypočteme vlastní čísla a vlastní
vektory z rovnic (1.185) a (1.186):














































.eporucha,
1
1
,1
eporucha,
1
1
,1
01
10
:
eporuchai
01
10
:
22
11
i
2,1
t
t
t
c
c
B
A





A
A
Do fázového prostoru zakreslíme nalezené typy stability i odpovídající vlastní směry:
x = 1
p = 2
A B x = 1
p = 2
A B
’
r
stabilní
směr
nestabilní
= – 1 = + 1
směr
Ze stacionárních bodů, typů stability v nich a vlastních směrů lze zpravidla odhadnout celý
fázový portrét soustavy:
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
61
x = 1
p = 2
A B
Příklad 26: Částice v periodickém potenciálu (například nabitá částice v krystalové mříži)
Předpokládejme, že se částice pohybuje v poli potenciální energie dané vztahem
.
2
cos)( 0
a
x
VxV


Perioda potenciálu je a a výška V0. Je zřejmé, že částice s celkovou energií E < V0 může
být zachycena v minimech potenciální energie (oscilovat) a částice s energií E > V0 se
může volně pohybovat. Příslušné Hamiltonovy rovnice budou:
.
2
sin
2
},{
},{
2
cos
2 0
0
2
a
x
a
V
x
H
Hpp
m
p
p
H
Hxx
a
x
V
m
p
H













Stejně jako v prvním příkladu odhlédneme od nepodstatných konstant (jsou dány volbou
jednotek a souřadnic) a budeme řešit soustavu rovnic typu
.sin 12
21






V okolí počátku by po nahrazení funkce „sinus“ argumentem tato rovnice vedla na
harmonický oscilátor (v počátku je minimum potenciální energie). Obecně je tato rovnice
díky funkci „sinus“ nelineární. Budeme postupovat tak jako v minulém příkladu.
Stanovíme stacionární body, najdeme v nich matici stability, určíme vlastní čísla a vlastní
vektory a zrekonstruujeme fázový portrét soustavy:
stacionární body: ,2,1,0;]0,[
0sin
0
1
2



kkAk 


matice stability: 






























0cos
10
1
2
2
1
2
2
1
1
1



ff
ff
A
k sudé: ti
2,1 eporuchai
01
10 







 A
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
62
k liché:


































t
t
c
c
eporucha,
1
1
,1
eporucha,
1
1
,1
01
10
22
11




A
Částice s malou energií oscilují v minimech potenciální energie (jsou zachyceny). Částice
s vyššími energiemi se pohybují buď v kladném směru osy x (horní dvě trajektorie) nebo
v záporném směru osy x (dolní dvě trajektorie). Čím vyšší je rychlost částice, tím méně je
její pohyb ovlivněn periodickým potenciálem.
Separatrisa: odděluje trajektorie různého typu (v předchozích příkladech je značena
čerchovaně).
2 rychlost (hybnost)
1
poloha
0  2–  3– 2
V x( )
V0
–V0
x
1.5.2 Metoda potenciálu
Problém stability lze řešit i jinak než výpočtem z matice stability. V některých případech
můžeme nalézt tzv. potenciál soustavy. Jde o funkci ϕ (ξ1, ... ξN) v jejíchž maximech je
soustava nestabilní (analogie kuličky na vrcholu kopce) a v minimech je soustava stabilní
(analogie kuličky v důlku). Známe-li potenciál ϕ (ξ1, ... ξN), můžeme si tuto funkci představit
jako výšku terénu ϕ nad prostorem (ξ1, ... ξN). Kopce, údolí, sedla a ostatní tvary tohoto
terénu odpovídají stejným typům stability jako by měla kulička vložená na dané místo terénu
v gravitačním poli.
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
63
V jednodimenzionálním případě máme jedinou diferenciální rovnici
.)( f (1.200)
Postupem z minulé kapitoly bychom nejprve určili stacionární body z rovnice 0)( f ,
potom jednoprvkovou matici stability a = df /dξ a její hodnotu v nalezených stacionárních
bodech. Pro a > 0 je systém nestabilní a pro a < 0 je systém stabilní (porucha eat ).
Definice:
  df )()( (1.201)
nazýváme potenciál rovnice (1.200). Přímo z definice snadno ukážeme, že platí
ϕ má extrém  dϕ/dξ = 0  f(ξ) = 0  stacionární bod
ϕ má maximum  d2ϕ/dξ2 < 0  a = df /dξ > 0  nestabilita
ϕ má minimum  d2ϕ/dξ2 > 0  a = df /dξ < 0  stabilita.
Ve vícedimenzionálním případě se pro soustavu (1.180) postupuje obdobně. Definujeme
diferenciální formu
NN dfdfdfd  )()()( 2211    (1.202)
a hledáme potenciál ϕ tak, aby kkf   . Výraz (1.202) je potom úplným
diferenciálem funkce ϕ. Není-li diferenciální forma (1.202) integrabilní, lze hledat integrační
faktor μ(ξ) tak, aby byla integrabilní forma
.2211 NN dfdfdfd   
Pro N  3 existuje integrační faktor vždy.
Z tvaru nalezené funkce ϕ již snadno rozhodneme o stabilitě systému. Následující příklad je
pro srovnání vyřešen pomocí matice stability i metodou potenciálu.
Příklad 27: Potenciál „koňakové lahve“
.;0;3
R
td
d
 

(1.203)
ε < 0: stac. bod A: ξs = 0
matice stability 03 2
  Sa  bod A stabilní
ε > 0: stac. body A,B,C: ξs = 0 ;


 S
matice stability





stabilníbodypro
nestabilníbodpro
CB
A
a S
,2
3 2



AC B
0 
A
0 – 
 < 0  > 0
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
64
Řešení metodou potenciálu:
2 4
( ) ( ) .
2 4
f d
 
         
Na obrázku je znázorněn průběh potenciálu pro δ = 1 a různé hodnoty parametru ε.
Vidíme, že pro ε < 0 má ϕ jediné minimum v počátku, ve kterém je stabilní bod A. Pro
ε > 0 se tento bod stává maximem a je nestabilní. Objevují se však dvě minima v bodech
ξ =  √ε/δ, ve kterých je systém stabilní. Vzhledem k charakteristickému tvaru funkce ϕ
pro ε > 0 se tato funkce nazývá „potenciál koňakové lahve“.
-2 -1 1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
 = – 1
 = 1
 = 0
Potenciál
koňakové
lahve = 1


A
B C
1.5.3 Bifurkace
Bifurkací nazýváme náhlou změnu fázového portrétu soustavy při spojité změně některého
řídícího parametru výchozích rovnic.
V příkladu 27 z minulé kapitoly vypadá fázový portrét jinak pro ε < 0 a jinak pro ε > 0. Při
pomalé změně ε se pomalu mění fázový portrét soustavy. Výjimkou je bod ε = 0. Fázové
portréty pro ε < 0 a ε > 0 nejsou topologicky ekvivalentní (nelze je na sebe převést spojitým
zobrazením).

s
stabilní stacionární
body pro potenciál
„koňakové lahve“
Typickým jevem při bifurkaci je větvení řešení. V příkladu 27 je pro ε < 0 jediný stabilní bod
ξs = 0, pro ε > 0 existují dva stabilní body ξs =  √ε/δ , bod ξs = 0 se stává nestabilní.
Podle typu větvení řešení můžeme bifurkace dělit na superkritické, subkritické a transkri-
tické:
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
65
c c c
superkritická bifurkace subkritická bifurkace transkritická bifurkace
Fázové přechody druhého druhu – typická bifurkace
Potenciál koňakové lahve se využívá v teorii fázových přechodů druhého druhu (Landau).
Fázové přechody prvního druhu jsou změny látky, při kterých se skokem mění vnitřní
energie, objem, entropie, atd. (tání, tuhnutí, var). Fázové přechody druhého druhu jsou změny
látky, při kterých se skokem mění až první derivace výše uvedených veličin: měrné teplo,
teplotní roztažnost, modul pružnosti, susceptibilita, atd.
Typickým fázovým přechodem 2. druhu je změna chování feromagnetika při Curieově teplotě
Tc. Uvažujme pro názornost jen jednu nekonečnou řadu spinů σ1, σ2, …, které mohou být
orientovány jen nahoru nebo dolů (tomu budou odpovídat hodnoty σa =  1) s jednoduchou
interakční energií danou vztahem
.


ba
ba
JH


Sumace probíhá přes nejbližší sousedy. Jsou-li tedy dva sousední spiny orientovány
souhlasně, přispějí k celkové energii hodnotou – J, jsou-li orientovány nesouhlasně,
nepřispějí vůbec. Při nízkých teplotách (T < Tc ) mají spiny snahu zaujmout stav s co možná
nejnižší energií, tj. orientují se převážně stejným směrem. Jsou tedy možné dvě typické
konfigurace:                 nebo              
Zvyšujeme-li teplotu, dojde při T = Tc k fázovému přechodu. Při teplotách T > Tc jsou spiny
promíseny náhodně                   a feromagnetické vlastnosti se
ztrácí. Zavedeme-li parametr uspořádání (magnetizaci) jako průměrnou hodnotu spinu
,
1

a
a
N
M 
potom v nízkoteplotní fázi s klesající teplotou M →  1 a ve vysokoteplotní fázi s rostoucí
teplotou M → 0. Potenciál „koňakové lahve“ a s ním souvisící rovnice (1.203) velmi dobře
popisuje právě takový fázový přechod. Veličina ξ odpovídá parametru uspořádání tj. ξ = M
a řídícímu parametru odpovídá veličina ε = Tc – T:

 = M
s = 0 vysokoteplotní
(chaotická) fáze
s  1 uspořádaná
fáze "spiny nahoru"
s  – 1 uspořádaná
fáze „spiny dolů“
vysoké teploty T Tc>
< 0
0T = Tc ( )
Curieova teplota
(fázový přechod)
nízké teploty T Tc<
 0
1
– 1
parametr uspořádání
ve stabilní konfiguraci
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
66
Poznámka: Podobné typy potenciálů jako je potenciál „koňakové lahve“ se uplatňují nejen při popisu
fázových přechodů, ale například v inflačním modelu raných vývojových fází Vesmíru a při popisu
spontánního narušení symetrie v přírodě.
Příklad 28: Hopfova bifurkace
.,0,0;
,)( 2
Rr
rrr






(1.204)
Jde o soustavu rovnic pro pohyb systému v polárních souřadnicích. Řešení pro úhel je
okamžité: φ(t) = φ0 + ωt. V úhlu φ jde tedy o rotační pohyb proti směru hodinových
ručiček s úhlovou frekvencí ω. Zbývá jediná rovnice pro nezápornou radiální vzdálenost
r(t). Snadno nalezneme řešení stacionárních bodů a stability:
ε < 0: stac. body A, B: rs = 0; Sr



matice stability 2
S
pro bod stabilní
3
2 pro bod nestabilní
A
a r
B

 


   

ε > 0: stac. bod A: rs = 0
matice stability 2
S3 0a r       bod A nestabilní.
  
A
B
A
Pro ε > 0 je počátek souřadnic nestabilní ohnisko. Pro ε < 0 je počátek souřadnic stabilní
ohnisko a „bod“ B s rs = √ |ε|/δ je nestabilní. Ve skutečnosti tvoří B celou množinu bodů v
kartézské souřadnicové soustavě – kružnici. Systémy s počáteční podmínkou r > rs se
budou spirálovitě vzdalovat od středu a systémy s r < rs se budou spirálovitě přibližovat
ke středu. Všechny trajektorie se od množiny B vzdalují. Na obrázku jsou ukázány dvě
trajektorie s blízkými počátečními podmínkami, jejichž vzdálenost s rostoucím časem
exponenciálně narůstá. Jde o tzv. ljapunovskou nestabilitu, kterou se budeme zabývat
v příští kapitole.
1.5.4 Ljapunovská stabilita, limitní cyklus, atraktor
Zkoumejme, jak se budou vyvíjet dvě trajektorie s blízkými počátečními podmínkami 0
a  0 v čase:
Řekneme, že trajektorie je ljapunovsky nestabilní, jestliže existuje trajektorie s blízkou
počáteční podmínkou, která se od zkoumané trajektorie bude s časem exponenciálně
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
67
vzdalovat. Řekneme, že trajektorie je ljapunovsky stabilní, jestliže se všechny trajektorie k ní
v čase t0 blízké budou exponenciálně přibližovat.
Mění-li se v čase vzdálenost obou trajektorií exponenciálně, platí
t
tt 
e~||),(),(|| 00  
a snadno určíme
.||||ln
1
lim
0




 tt

Koeficient λ se nazývá Ljapunovův exponent. Je-li λ > 0 hovoříme o ljapunovsky nestabilní
trajektorii. Je-li λ < 0, o ljapunovsky stabilní trajektorii. Je-li λ = 0 je závislost jiná než
exponenciální, například mocninná, a nelze hovořit o ljapunovské stabilitě či nestabilitě.
Ve vícedimenzionálních úlohách s ),,,( 21 N  Ljapunovův exponent závisí na
způsobu provedení limity 0 . Získáme tak N ljapunovských koeficientů 1. řádu (ve směru
souřadnicových os). Můžeme ale sledovat i celý svazek blízkých trajektorií z dvou nebo
třídimenzionální oblasti:
Potom hovoříme o vícerozměrných ljapunovských exponentech (2. řádu, 3. řádu, ...).
Trajektorie je ljapunovsky stabilní, jsou-li všechny ljapunovské koeficienty λ  0.
Příkladem ljapunovsky nestabilní trajektorie je množina rs = √ |ε|/δ pro ε < 0 v posledním
příkladu na Hopfovu bifurkaci. Trajektorie s r  rs jsou ljapunovsky nestabilní. Trajektorie
s r < rs jsou ljapunovsky stabilní. Jiný příklad ljapunovské nestability je kulečník
s překážkami podle následujícího obrázku:
Dvě blízké trajektorie spolu v pozdějších časech přestávají souviset.
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
68
Příklad 29: Van der Polův oscilátor
.0;)1( 2
2
112
21






(1.205)
V tomto systému se trajektorie s libovolnou počáteční podmínkou blíží k jediné periodické
trajektorii, kterou nazýváme limitní cyklus. Za dosti dlouhou dobu se každá trajektorie
přiblíží libovolně blízko k trajektorii limitního cyklu. Všechny trajektorie z blízkého okolí
limitního cyklu jsou ljapunovsky stabilní. V následujícím obrázku jsou fázové trajektorie
pro různé počáteční podmínky pro van der Polův oscilátor s δ = 1 a ε = 0.1.
-4 0 4 1
-8
-4
0
4
2
Van der Polův oscilátor
Některé základní pojmy z teorie množin
Vzdálenost dvou bodů ρ(A,B):
V tomto učebním textu budeme vzdálenost dvou bodů definovat jako
   .)(),(
1
2



N
k
kk BABA
Tj. vzdálenost je určována z Pythagorovy věty. Pro definici vzdálenosti lze použít i jiný
předpis splňující základní požadavky na pojem vzdálenosti. Vzdálenost dvou bodů často
píšeme také ve tvaru |||| BA  , kde
   .||||
1
2



N
k
kXX
Jde o normu (velikost) rozdílového vektoru A – B.
Vzdálenost bodu a množiny ρ(A,M ):
 minimum vzdáleností od všech bodů množiny, včetně její hranice (M );
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
69
   .),(min),( XAA
X

M
M


ε-okolí bodu Uε (A)
 kruh bez hranice se středem v A a poloměrem ε;
     .),(;)(   XAXAU
Otevřená množina Mo
 kolem každého bodu množiny lze zkonstruovat okolí, které je celé v množině Mo;
 ;)(ke oo U MM  XX 
 zjednodušeně lze říci, že otevřené množiny neobsahují svou hranici.
Uzavřená množina Mu
 nalezneme-li posloupnost bodů z Mu, která v nějakém smyslu konverguje, potom bude
limita z této posloupnosti vždy součástí množiny Mu;
 ;; )()(
u
k
u
k
MM  XXXX
 zjednodušeně lze říci, že uzavřené množiny obsahují svou hranici.
Poznámky:
1) V našem případě fázového prostoru jsou body A, B, X vždy nějaké N-tice (ξ1, ... , ξN ).
2) Uzavřený interval a kruh s hranicí jsou uzavřené množiny; otevřený interval a kruh bez hranice
jsou otevřené množiny; polouzavřený interval není ani otevřená ani uzavřená množina; prázdná
množina a celý prostor R2 jsou ve smyslu předchozích definic otevřené i uzavřené množiny.
A – B
B
A

A
( )A B, ( )A,M U ( ) A
A
Definice z teorie množin vztahující se k řešení soustavy diferenciálních rovnic
Invariantní množina J
 Interpretujeme-li libovolný bod množiny J jako počáteční podmínku soustavy
diferenciálních rovnic (1.180), potom celá následující trajektorie bude ležet v množině
J. Jakmile se tedy systém dostane do množiny J, potom v ní bude setrvávat i ve všech
pozdějších časech.
     .pro)()(; 000 tttt  JJJ  XXX
Hustě pokrytá množina D
 V libovolně malém okolí každého bodu množiny D prochází nějaká fázová trajektorie.
Chaotická množina X
1) každá trajektorie v X je ljapunovsky nestabilní,
2) existuje trajektorie, která X hustě pokryje,
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
70
3) X je invariantní množina.
Atraktor A
1) trajektorie z okolí A jsou k A „přitahovány“, tj s rostoucím časem se k A blíží:
,0)),((limplatí)(, 0 

AA AA tUtU
t
 prože
2) existuje trajektorie, která A hustě pokryje,
3) A je invariantní množina,
4) A je uzavřená množina.
Podivný atraktor S
Podivný atraktor je chaotický atraktor, tj. všechny trajektorie podivného atraktoru jsou
ljapunovsky nestabilní.
Limitní cyklus C
Uzavřená fázová trajektorie, která je atraktor.
Poznámky :
1) Každý stacionární bod je invariantní množinou. Také každá uzavřená trajektorie, například
harmonického oscilátoru, je invariantní množinou.
2) Každá uzavřená trajektorie tvoří automaticky invariantní uzavřenou hustě pokrytou množinu.
Limitní cyklus navíc „přitahuje“ trajektorie z okolí, tj. má první vlastnost atraktoru.
3) Příkladem chaotické množiny je plocha kulečníku na straně 39.
4) Podivný atraktor může vzniknout jen v problému s dimenzí N  3.
5) Pro dvě rovnice platí Benoixonovo kriterium: 2211 xfxf  nemění v jednoduše souvislé
oblasti znaménko  v této oblasti neexistuje uzavřená trajektorie.
Příklad 30: 2D bruselátor
Budeme zkoumat chemickou reakci typu
EX
XYX
DYXB
XA
k
k
k
k




4
3
2
1
32
Rychlosti jednotlivých reakcí jsou označeny k1,  , k4. Koncentrace výchozích látek
a produktů označíme cA, cB, cD, cE . Proměnnými budou koncentrace látek X a Y: ξ1 = cX,
ξ2 = cY. Z tvaru reakcí sestavíme výchozí soustavu diferenciálních rovnic
21
1 2 1 3 1 2 4 1
22
2 1 3 1 2
,
.
A B
B
d
k c k c k k
dt
d
k c k
dt

   

  
   
 
Na pravých stranách jsou jen zapsány způsoby vzniku a zániku látek X a Y. Opustíme-li
nepodstatné konstanty, jde o rovnice typu
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
71
.
,)1(
2
2
11
2
2
2
11
1






dt
d
dt
d
(1.206)
Tyto rovnice poskytují řešení ve tvaru limitního cyklu. Pro hodnoty α = 2 a β = 5.9 a různé
počáteční podmínky jsou fázové trajektorie na následujícím obrázku. Po dosti dlouhém čase
se koncentrace ξ1 a ξ2 periodicky se mění (oscilují) kolem jistých středních hodnot.
2 4 6 8
0
2
4
6
8
2D bruselátor
1 = cX

2
= cY
Příklad 31: 4D bruselátor
Budeme předpokládat, že předchozí reakce probíhá současně ve dvou reaktorech
s možností výměny látky X rychlostí δ1 a látky Y rychlostí δ2. Koncentrace látek X a Y
v reaktorech 1 a 2 označíme takto: ξ1 = cX1, ξ2 = cY1, ξ3 = cX2, ξ4 = cY2.
REAKTOR 1 REAKTOR 2
1
2
Výchozí rovnice budou
21
1 1 2 1 3 1
22
1 1 2 2 4 2
23
3 3 4 1 1 3
24
3 3 4 2 2 4
( 1) ( ) ,
( ) ,
( 1) ( ) ,
( ) .
d
dt
d
dt
d
dt
d
dt

       

     

       

     
     
   
     
   
(1.207)
Jde o soustavu čtyř nelineárních diferenciálních rovnic, jejichž řešení pro některé parametry
je podivný atraktor (dimenze systému je větší než 3). Na následujícím obrázku je část fázové
trajektorie, která by hustě pokryla oblast podivného atraktoru pro α = 2 , β = 5.9, δ1 = 1.21
a δ2 = 12.1.
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
72
1
2
3
2
4
6
2
4
4D Bruselátor

1 1
= c
X

2 1
= c
Y

3 2
= c
X
Příklad 32: Lorenzův atraktor
Jde o nejznámější příklad podivného atraktoru. Výchozí sada rovnic
1
2 1
2
1 3 1 2
3
1 2 3
( ) ,
,
d
dt
d
dt
d
dt

  

    

   
 
   
 
(1.208)
popisuje proudění kapaliny mezi dvěma planparalelními deskami s různými teplotami.
Veličiny ξ1, ξ2, ξ3 mají postupně význam: 1. Fourierova komponenta rychlosti, 1. a 2.
Fourierova komponenta teploty. Na následujícím obrázku je opět zakreslena část fázové
trajektorie, která by hustě pokryla oblast atraktoru. Rovnice byly řešeny pro hodnoty
α = 3, β = 26.5, γ = 1.
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
73
1
0
10
20
30
40
-20
-10
0
10
-20
-10
0
10
Lorenzův atraktor
3
2
1.5.5 Evoluční rovnice
Příklad 33: Elektron-děrové plazma v silném elektrickém poli
V silném elektrickém poli způsobují urychlené elektrony a díry ionizaci nárazem. Při
setkání elektronu s dírou dojde k rekombinaci, tj. zániku nosičů. Označíme-li ξ1 = ne
koncentraci elektronů a ξ2 = nd koncentraci děr, budou mít základní rovnice pro časový
vývoj počtu nosičů tvar:
.
,
2122
2
2111
1






dt
d
dt
d
(1.209)
První členy na pravé straně popisují ionizační procesy (přírůstek nosičů), druhé členy
rekombinační procesy (úbytek nosičů).
Příklad 34: Systém dravec ↔ kořist
Předpokládáme, že dravec se živí kořistí (například vlk a zajíci), kořist má potravy dostatek
(jí například trávu). Označíme-li ξ1 = nd počet dravců v určité oblasti a ξ2 = nk množství
potenciální kořisti, budou mít základní rovnice pro časový vývoj počtu zvířat tvar:
.
,
21222
2
21111
1






dt
d
dt
d
(1.210)
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
74
První člen v první rovnici popisuje úhyn dravců v nepřítomnosti kořisti (ξ2 = 0). První člen
v druhé rovnici popisuje množení se kořisti v nepřítomnosti dravců (ξ1 = 0). Druhé členy
představují požírání kořisti dravci, tzv. „párovou interakci“, díky které počet dravců roste
a množství kořisti se snižuje.
Příklad 35: Dvě sociální skupiny
Popišme nyní dvě skupiny lidí s odlišným názorem na určitý problém (přívrženci dvou
různých postupů, teorií, názorů, politických stran). Označíme-li ξ1 = nA počet přívrženců
názoru A a ξ2 = nB počet přívrženců názoru B, budou mít základní rovnice pro časový
vývoj počtu přívrženců tvar:
1
1 1 1 1 2
2
2 2 2 1 2
d
,
d
d
.
d
t
t

    

    
 
 
(1.211)
Koeficienty β mohou být kladné i záporné, párovou interakci zde tvoří setkání příslušníků
různých skupin, diskuze atd.
Příklad 36: Chemické reakce
Uvažme chemickou reakci typu
DBCA
CBA
k
k


2
1
.
Rovnice pro časový vývoj jednotlivých koncentrací mají tvar:
A
1 A B 2 A C
B
1 A B 2 A C
C
1 A B 2 A C
D
2 A C
d
,
d
d
,
d
d
,
d
d
.
d
n
k n n k n n
t
n
k n n k n n
t
n
k n n k n n
t
n
k n n
t
  
  
  
 
(1.212)
Látka B je katalyzátorem reakce. Je-li A zastoupena v dostatečném množství jako
surovina, lze brát nA = const. a řešit jen tři rovnice.
Všechny rovnice z předchozích příkladů mají společný tvar
d
d
k jl
k j j j lk
t

      (1.213)
a nazývají se evoluční rovnice. Poznamenejme, že přes dvojné indexy se sčítá.
Charakteristická je lineární kombinace různých párových interakcí. Typickými řešeními jsou
oscilace, limitní cykly, ve více než třech dimenzích vznikají chaotické množiny a podivné
atraktory.
Rozeberme nyní řešení soustavy dvou rovnic tvaru
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
75
1
1 1 1 1 2
2
2 2 2 1 2
d
,
d
d
.
d
t
t

    

    
 
 
(1.214)
Standardním postupem zjistíme stacionární body:
.),(;)0,0( 1122
)2()1(
 
Nezapomínejme na význam proměnných ξ. Vesměs jde o počty jedinců nějakého typu. Smysl
tedy mají jen nezáporné hodnoty. Z matice stability určíme, že první stacionární bod
)0,0()1(
 je pro α1 , α2 > 0 nestabilní
α1 , α2 < 0 stabilní
α1α2 < 0 sedlový bod.
V druhém stacionárním bodě
),( 1122
)2(
  je řešení pro
α1 ,α2 > 0 nestabilní v jednom směru.
α1 ,α2 < 0 nestabilní v jednom směru.
α1α2 < 0 (různá znaménka α1 ,α2), jde o oscilace kolem
stacionárního bodu.
Frekvence oscilací jsou
1 2| |.    (1.215)
Tyto oscilace znamenají oscilující rovnováhu mezi jedinci obou typů, jejich počet je
udržován v mezích daných oscilacemi. Právě takový systém je systém dravec a kořist (příklad
34). V systému elektronů a děr v silném elektrickém poli (příklad 33) není možné dosáhnout
oscilující rovnováhy. Počty jedinců dvou sociálních skupin (příklad 35) mohou a nemusí
oscilovat, stejně tak jako koncentrace látek v chemických reakcích (příklad 36).
Doplníme-li na pravých stranách evolučních rovnic regulační členy fk dostaneme tzv.
Volterrovy-Lotkovy rovnice:
d
.
d
k jl
k j j j l kk f
t

       (1.216)
Regulační členy mohou popisovat v systému dravec ↔ kořist například dodávání potravy
zvnějšku nebo vnější regulaci počtu zvířat. Hodnoty fk mohou být konstantní i různé funkce
času (periodický lov). Škála typů řešení Volterrových-Lotkových systémů je velmi bohatá již
i pro dvojdimenzionální případ. V různých oblastech fázového prostoru nacházíme různé
typy řešení – oscilace, stabilní a nestabilní ohniska, stabilní oblasti, nestabilní oblasti, sedla.
Při periodických regulačních členech pozorujeme rezonance, buzení systému. Například
rovnice typu dravec ↔ kořist s regulačním členem
1
1 1 2
2
2 1 2
d
1 4 ,
d
d
d
t
t

  

  
   
  
(1.217)
má v bodě )43,1()(
S
 řešení ve tvaru stabilního ohniska.
Teoretická mechanika Nelineární dynamické systémy
76
Logistická rovnice
Nejjednodušším případem evolučních rovnic je diferenciální rovnice, ve které je časová
změna úměrná samotnému počtu jedinců:
dn
n
dt
 . (1.218)
Řešením je – podle znaménka α –rostoucí nebo klesající exponenciela
( ) (0)e t
n t n 
 . (1.219)
Toto řešení je vždy jen určitým přiblížením reality. Nikdy nemůže nic růst exponenciálně po
dosti dlouhou dobu. Exponenciální řešení popisuje počáteční nárůst nestabilit nebo různá
přechodná řešení. Po určité době převládnou párové procesy, které vedou k saturaci řešení.
Tuto situaci popisuje tzv. logistická rovnice
2dn
n n
dt
   . (1.220)
Ustálené (saturované) řešení snadno nalezneme tak, že dosadíme za dn/dt nulu:
S lim ( ) .
t
n n t


  (1.221)
K vyřešení rovnice (1.220) použijeme substituci
( ) ( )r
n t t



 . (1.222)
Konstanta před řešením reprezentuje saturovanou hodnotu. Mocninu r budeme hledat tak, aby
se diferenciální rovnice co nejvíce zjednodušila. Po provedení substituce dostaneme rovnici
1rd
r
dt

  
  . (1.223)
Je zjevné, že volba r = −1 převede tuto rovnici na lineární rovnici s konstantní pravou
stranou, jejíž řešení již snadno najdeme. Analytické řešení původní logistické rovnice je
 
S
S
S 0 S 0
e
( )
/ 1 1 / 1e e
t
t t
n
n t n
n n n n

 
 
  
. (1.224)
Snadno ověříme, že limita řešení pro t → ∞ dá saturovanou hodnotu (1.221) a limita bez
párové interakce, tj. pro β → 0 (nS → ∞) dá exponenciální funkci (1.219). Logistickou
rovnici popisující omezený exponenciální růst poprvé navrhnul belgický matematik Pierre
Francois Verhulst (1804–1849) v roce 1838.
Teoretická mechanika Lagrangeovy rovnice pro polní problémy
77
1.6 LAGRANGEOVY ROVNICE PRO POLNÍ PROBLÉMY
1.6.1 Lagrangeovy rovnice, skalární pole
Pro studium této kapitoly je nutné umět zacházet s kovariantními a kontravariantními indexy.
Pokud tuto techniku neovládáte, přečtěte si nejprve dodatek C. V klasické mechanice jsme
hledali závislost zobecněných souřadnic qk(t) na čase. U polních problémů budeme hledat
časoprostorovou závislost polí φk(t, x). Namísto Lagrangeovy funkce budeme používat
hustotu Lagrangeovy funkce, která závisí na času, prostoru, polích a jejich derivacích:
1 1 1( , , , , , , / , / , / )N Nt x y z t x z           L L ,
což budeme zkráceně zapisovat ve tvaru
,( , , )k kx
 L L .
Pro integrál akce bude platit
3 4
, ,( , , ) d ( , , )dk k k kS x d t x x 
 
 
     xL L .
Stejně jako v mechanice těles budeme hledat nutné podmínky extremálnosti integrálu akce
a variace polí budou definovány ve stejném čase (ale tentokrát i prostorové souřadnici), což
nám zajistí záměnnost variací a parciálních derivací. Na hranici oblasti ∂Ω požadujeme, aby
variace byly nulové, tedy platí vztahy obdobné vztahům (1.4), (1.5) a (1.6):
,virt ,real( ) ( ) ;
( ) 0 ;
.
k k k
k
k k
x x 
 
  
 
   
 
 
  
(1.225)
Požadujme tedy, aby variace integrálu akce byla nulová:
4
,( , , )d 0 .k kx x


    L
Díky záměnnosti variací a derivací můžeme přejít s variací do integrálu a zapůsobit s ní na
všechny proměnné (s výjimkou xμ
, jde o variace ve stejné události):
4
,
,
d 0 .k k
k k
x

 
 
  
  
   

L L
V posledním členu zaměníme variaci a derivaci: δφk,α = δ∂αφ = ∂αδφ a provedeme integraci
per partes (použijeme Gaussovu větu). Integrál na hranici je vzhledem k (1.225) nulový,
a proto máme:
4
,
d 0 .k
k k
x


 
  
   
   

L L
Vzhledem k tomu, že integrace musí dát nulu pro jakoukoli časoprostorovou oblast Ω, musí
být i integrand nulový (přesněji řečeno skoro všude, tedy až na množiny míry menší než 4):
,
0k
k k



 
  
  
   
L L
. (1.226)
Pokud jsou pole φk nezávislá, budou koeficienty lineární kombinace (1.226) nulové (celý
výraz má tvar Σck δφk = 0), tedy
,
0
k k

 
 
 
 
L L
.
Teoretická mechanika Lagrangeovy rovnice pro polní problémy
78
Výraz upravíme do standardního tvaru Lagrangeových rovnic
,
0 ; 1, ,
k k
k N
 
  
    
   

L L
. (1.227)
Na rozdíl od Lagrangeových rovnic pro hmotné body a pevná tělesa není v prvním členu jen
časová derivace, ale jsou zde derivace podle všech čtyř proměnných. Lagrangeovy rovnice
rozepsané pro jedno jediné pole mají tvar:
       
0
/ / / /t t x x y y z z    
               
           
                       
L L L L L
. (1.228)
Poznámka: Lagrangeova funkce není jednoznačně určena. Funkce K 
   L L vede na stejné
polní rovnice pro libovolný čtyřvektor Kμ
. Této libovůle lze využít ke konstrukci co možná „nejelegantnějšího“
lagranžiánu.
Příklad 37
Nalezněme Lagrangeovy rovnice pro nejjednodušší Lagrangeovu funkci skalárního pole φ,
která obsahuje jen derivace tohoto pole:
  
   L . (1.229)
Řešení:
Lagrangeova funkce je skalárem (to zajišťuje jeden horní a jeden dolní index, při změně
báze/souřadnicové soustavy se výraz nezmění). Pokud Lagrangeovu funkci rozepíšeme,
máme:
22 2 2
2
1
t x y zc
            
          
         
L . (1.230)
Po provedení všech derivací dá Lagrangeova rovnice (1.228)
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 1
2 2 2 0 0 .
c t x y z c t x y z
              
          
       
Nejjednodušší varianta Lagrangeovy funkce skalárního pole tedy vede na vlnovou rovnici.
V Lagrangeově funkci (1.229) se většinou píše koeficient ½:
  1
0
2

      L . (1.231)
Důvody jsou dva. Lagrangeovy rovnice dají vlnovou rovnici (bez nutnosti krácení koeficientem
2) a celý výraz (1.231) je analogií kinetické energie (polovina z kvadrátu derivací).
Jiné řešení:
Řešme stejný příklad pro Lagrangeovu funkci (1.229) bez rozpisu do komponent. Levá strana
Lagrangeových rovnic je:
 
    
    
, ,
1
2
1
2
g
  
  

 


  

   
 

 

        
           
             
  
        
      
  
L L L L
Teoretická mechanika Lagrangeovy rovnice pro polní problémy
79
   
   
   
1
2
1
2
1
2
.
g  
    
   
  
 



   
   
 
 
      
 
      
 
      
 
    
Výsledek je opět vlnovou rovnicí
0  .
... a ještě kratší řešení:
 , ,
,
, ,
1 1
2 .
2 2
  
    
 
    
  
   
          
    

L L
Lagrangeovy funkce dalších skalárních polí
■ Kleinovo –Gordonovo pole
   2 2 21 1
( ) 0
2 2

          L . (1.232)
Lagrangeova funkce tohoto pole je kvadratická v derivacích i v samotném poli. Druhý člen
by odpovídal hustotě potenciální energie v klasické mechanice (L = T – V). Výsledná
Lagrangeova rovnice je lineární a je vhodnou rovnicí například pro plazmové vlny nebo pro
kvantový popis částic se spinem nula.
■ Dno koňakové láhve
   2 2 4 2 31 1
0
2 2 4



               L (1.233)
Pokud budeme druhý člen interpretovat jako hustotu potenciální energie, dostaneme hodnotu
2 2 41
.
2 4

    V
S obdobnou funkcí se podrobněji setkáte v dodatku D.
Potenciál má válcovou symetrii a nekonečně mnoho minim lokalizovaných na kružnici Reiα
.
Při výběru některého z minim se naruší válcová symetrie. Odpovídající Lagrangeova rovnice
je nelineární. Nelineární člen může eliminovat disperzi způsobenou lineárním členem.
Rovnice má proto některá řešení ve tvaru solitonu – vlnového balíku s neproměnným tvarem.
Teoretická mechanika Lagrangeovy rovnice pro polní problémy
80
■ sin-Gordonova rovnice
   2 21
cos sin 0
2

           L . (1.234)
Tato známá nelineární rovnice poskytuje opět solitonová řešení. Pokud provedeme rozvoj
trigonometrické funkce do lineárního členu, dostaneme Kleinovu-Gordonovu rovnici, pokud
provedeme rozvoj do prvních dvou členů, dostaneme rovnici odpovídající potenciálu
„koňakové láhve“.
1.6.2 Kanonicky sdružené pole
Obdobně jako jsme dříve zavedli k dané zobecněné souřadnici kanonicky sdruženou hybnost
a poté energii, můžeme i ve spojitém případě obdobně definovat kanonicky sdružené pole
a hustotu energie vztahy
,
( , ) ;k
k t
t


x
L
(1.235)
,
,
( , ) k t
k tk
t 

 
   
 
x
L
H L . (1.236)
Analogický výsledek jako dříve dají i Poissonovy závorky mezi poli a sdruženými poli
 
 
 
( , ), ( , ) 0 ,
( , ), ( , ) 0 ,
( , ), ( , ) ( ) .
k l
k l
k l kl
t t
t t
t t
 
 
   
 
 
  
x x
x x
x x x x
(1.237)
Obdobný je i zápis rovnice pro časový vývoj polí φk:
 ,k k  H . (1.238)
Ve všech těchto výrazech se jakoby ztratila kovariance (stejný tvar v různých souřadnicových
soustavách) rovnic vzhledem k Lorentzově transformaci, výrazy (1.235) až (1.238)
nevypadají relativisticky. To je ale jen zdánlivé. Pokud zavedeme tenzor energie a hybnosti
vztahem
1 1
( )
k
kk
T g
c c
 
  



 
   
  

L
L , (1.239)
bude hustota energie pole dána složkou
0
0cTH (1.240)
a hustota hybnosti pole bude úměrná kanonicky sdruženým polím
0
n n k n k k k
k k
T          
 
P P . (1.241)
Veličiny T l
0 reprezentují tok energie a T l
n tok hybnosti. Z vyjádření tenzoru (1.239) a polních
rovnic (1.227) lze snadno ukázat, že tenzor energie a hybnosti splňuje rovnici kontinuity
0 .T 
   (1.242)
Ostatní relace lze také snadno přepsat do relativistického tvaru.
Teoretická mechanika Lagrangeovy rovnice pro polní problémy
81
1.6.3 Maxwellovy rovnice, elektromagnetické pole
Elektromagnetické pole většinou popisujeme Maxwellovými rovnicemi
div 0 ,B (1.243)
rot ,
t

 

B
E (1.244)
Qdiv ,D (1.245)
rot Q
t

 

D
H j ,
které doplníme o materiálové vztahy
0
0
,
( ) ,


 
 
D E P
B H M
(1.246)
kde vektor P je polarizace prostředí (hustota elektrického dipólového momentu) a M je
magnetizace (hustota magnetického dipólového momentu).
■ Potenciály pole
Z rovnice (1.243) plyne existence funkce A(t, x), takové, že
rotB A . (1.247)
Rovnice je pak splněna automaticky, protože div rot každé funkce je nulová. Veličina A se
nazývá vektorový potenciál. Dosadíme-li vyjádření (1.247) do rovnice (1.244), získáme vztah
rot 0
t
 
  
 
A
E ,
ze kterého plyne existence funkce  takové, že / t     E A . Rovnice (1.244) je opět
splněna automaticky a pro elektrické pole máme vyjádření
t


  

A
E . (1.248)
Funkci  nazýváme skalární potenciál, v případě stacionárních polí přejde (1.248) ve známý
vztah
 E , (1.249)
znaménko minus jen odráží fyzikální skutečnost, že působící síla míří do minima potenciální
energie. Elektromagnetické pole tak můžeme popsat pouhou čtveřicí veličin – skalárním
a vektorovým potenciálem. Tyto čtyři veličiny tvoří relativistický čtyřvektor, viz (C.18),
/c
A  
  
 A
. (1.250)
Známe-li čtveřici Aµ
, určíme elektrické a magnetické pole snadno ze vztahů (1.248) a (1.247).
Vektory E a B jsou tak v jistém smyslu preferovány oproti vektorům D a H, neboť je
můžeme přímo určit z potenciálů. Elektromagnetické pole je derivacemi potenciálů, oba
vztahy (1.248) a (1.247) lze jednoduše zapsat za pomoci tenzoru elektromagnetického pole
0 / / /
/ 0
/ 0
/ 0
x y z
x z y
y z x
z y x
E c E c E c
E c B B
F A A
E c B B
E c B B
    
 
 
  
      
  
 
  
. (1.251)
Teoretická mechanika Lagrangeovy rovnice pro polní problémy
82
Jde o antisymetrický tenzor druhého řádu, který má jen šest nezávislých složek (těmi je
elektrické a magnetické pole). Složky pole lze snadno odečíst z příslušných pozic tenzoru.
■ Nejednoznačnost potenciálů, kalibrační invariance
Již dříve jsme viděli, že potenciály nejsou určeny jednoznačně, dvěma různým potenciálům
může odpovídat stejné elektromagnetické pole. Pokud zavedeme nové, přetransformované
potenciály za pomoci tzv. gradientní transformace
,A A f      (1.252)
kde f je zcela libovolná dvakrát spojitě diferencovatelná funkce, pole se nezmění:
   F A f A f A A F                         . (1.253)
Této libovůle v potenciálech lze s výhodou využít při konstrukci co nejjednodušší varianty
Maxwellových rovnic v potenciálech.
■ Maxwellovy rovnice zapsané za pomoci tenzoru pole
Maxwellovy rovnice (1.243) a (1.244) jsme využili k zavedení potenciálů elektromagnetického
pole. Zbývající dvě rovnice se zdrojovými členy můžeme za pomoci tenzoru
elektromagnetického pole snadno přepsat do tvaru
, 0F j 
  , (1.254)
kde čtyřvektor jµ
prezentuje zdroje magnetických polí
Q
Qc
j
 
 
 
 
j
. (1.255)
Tento tvar Maxwellových rovnic je zjevně relativistický.
■ Maxwellovy rovnice v potenciálech
Přepišme Maxwellovy rovnice ve tvaru (1.254) za pomoci potenciálů:
 
, 0
0
;
;
F j
A A j
 

    




    
0 .A A j    
        (1.256)
Druhý člen na levé straně je D’Alambertův vlnový operátor aplikovaný na čtyřpotenciál pole,
pravá strana zjevně prezentuje zdroje polí. Jedinou „vadou na kráse“ rovnic zapsaných
v potenciálech je první člen. Zde využijeme velké libovůle v potenciálech dané kalibrační
transformací. Předpokládejme, že veličina ∂νAν
je rovna nějaké funkci času a prostoru F(t, x):
( , )A F t
  x
a zvolme za pomoci gradientní transformace (1.252) jiný čtyřpotenciál, pro který budeme
požadovat, aby
0 0 ( , ) 0A A f F t f  
            x  .
Taková gradientní transformace bude vždy existovat. Funkci f, která generuje transformaci,
stačí volit tak, aby splňovala rovnici
( , )F tf   x . (1.257)
V nových potenciálech je první člen v rovnici (1.256) nulový a Maxwellovy rovnice získají
jednoduchý tvar
Teoretická mechanika Lagrangeovy rovnice pro polní problémy
83
0 ;A j 
   (1.258)
0 .A 
   (1.259)
Jde o obyčejné vlnové rovnice pro čtyřpotenciál Aµ
, u kterých jsou zdrojovými členy složky
čtyřvektoru jµ
. Rovnice jsou doplněny Lorentzovou kalibrační podmínkou (1.259). Ukázali
jsme, že libovůle potenciálů lze využít k tomu, aby Lorentzova kalibrační podmínka byla
splněna. Dokonce ani požadavek na její splnění neurčuje potenciály jednoznačně! Z rovnice
(1.257) je zřejmé, že funkce f není určena jednoznačně a lze k ní přičíst jakékoli řešení vlnové
rovnice
0 0f  . (1.260)
Proto možná ještě další gradientní transformace
0,A A f      ,
kterou je možné využít například k vynulování skalárního potenciálu. Uzavřeme tuto partii
konstatováním, že je možné vždy zvolit takové potenciály, aby Maxwellovy rovnice měly
jednoduchý tvar
0 ;
0 .
A j
A
 


 
 

(1.261)
■ Lagrangeova formulace Maxwellových rovnic
Hustota Lagrangeovy funkce pro interakci nabitých částic s polem má tvar
part int field  L L L L (1.262)
První část popisuje pohyby částic a věnovali jsme se jí v kapitole 1.4.1. Interakční část musí
být nějakou kombinací čtyřtoku jµ
(popisuje částice) a čtyřpotenciálu Aµ
(popisuje pole).
Hned nejjednodušší skalární varianta vede na správné polní rovnice:
int j A
L . (1.263)
Pro bodovou částici je čtyřtok dán vztahem
( )
( )
Qc
Q


 
  
x x
v x x
, (1.264)
vektor x je polohový vektor částice a vektor x' popisuje polohu pozorovatele. Lagrangeova
funkce interakce bude dána integrací
 3 3 3
int int ( ) ( , ) ( , )L d j A d Q Q d Q t Q t
                  x x A v x x x x A x vL .
Polní část Lagrangeovy funkce musí být tvořena tenzorem elektromagnetického pole,
nejjednodušším skalárem je kombinace FµνFµν
a polní část Lagrangeovy funkce by měla být
tomuto výrazu úměrná. Konstantu úměrnosti určíme tak, abychom dostali správné polní
rovnice (v tomto případě Maxwellovy rovnice):
field
0
1
4
F F


 L (1.265)
Obě části hustoty Lagrangeovy funkce pro elektromagnetické pole jsou
Teoretická mechanika Lagrangeovy rovnice pro polní problémy
84
elmg field int
0
1
4
F F j A 
 

    L L L (1.266)
Ověřme na závěr, že polní Lagrangeovy rovnice dají Maxwellovy rovnice:
 
   
  
,
,
0
0,
0
0
0 ;
1
0 ;
4
1
2 ;
4
1
;
2 ( )
1
;
2
A A
F F
j
A
F
F j
A
A A A A j
A
A A j
  



 


  
    
     
    
        



    
  
   
   
 
    
 
 
 
   
  
 
         
  
       
 
L L
0
0 , 0 , 0
1
;
2
,
A A A A j
F j F j F j

        
    
   

  
           
      
což jsou Maxwellovy rovnice ve tvaru (1.254).
■ Lorentzova pohybová rovnice
Pro pohyb částic samozřejmě nadále platí Lorentzova pohybová rovnice, kterou lze snadno
zapsat za pomoci tenzoru elektromagnetického pole. Zaveďme nejprve vlastní čas částice dτ
jako čas plynoucí přímo u částice. Pro interval v místě částice máme
2 2 2 2 2 2
d d d ds c t c     x . (1.267)
Mezi vlastním a obecným časem tedy existuje vztah
2 2 2 2 2 2 2 d
d d d d 1 / d
t
c c t c t 

       x v . (1.268)
Vlastní čas je invariantem, který využijeme při zavedení čtyřrychlosti a čtyřhybnosti:
d
;
d
x
U



 (1.269)
0 .P m U 
 (1.270)
Pohybová rovnice nabité částice má potom tvar
d
.
d
P
QF U




 (1.271)
Pouhým dosazením za tenzor elektromagnetického pole (1.251) a s využitím rovnosti
d/dτ = γ d/dt snadno ověříme, že vztah (1.271) je jen elegantním přepisem Lorentzovy pohybové
rovnice.
Teoretická mechanika Lagrangeovy rovnice pro polní problémy
85
Uveďme nyní klíčové Lagrangeovy funkce pro elektřinu a magnetizmus
částice interakce pole
L – j A

0
1
4
F F 



L
2
2
0 1m c
c
 
v Q Q  A v –
Pro hmotný bod postrádá smysl hustota Lagrangeovy funkce, i když je možné ji v principu
napsat. Stejně tak postrádá smysl celková Lagrangeova funkce pro pole, které je rozprostřené
v času a prostoru. Pokud vezmeme v úvahu pouze částicovou Lagrangeovu funkci, dostaneme
pohybovou rovnici volné částice:
d
0
d
P

 . (1.272)
Pokud vezmeme v úvahu Lagrangeovy funkce pro částici a pro interakce, dostaneme pohybovou
rovnici
d
.
d
P
QF U




 (1.273)
Pokud vezmeme v úvahu pouze Lagrangeovu funkci pro pole, dostaneme Maxwellovy rovnice
ve vakuu:
, 0F
  . (1.274)
A pokud uvážíme polní a interakční části Lagrangeovy funkce, dostaneme Maxwellovy rovnice
se zdrojovými členy:
, 0F j 
  . (1.275)
Teoretická mechanika Dodatek A: Einsteinova sumační konvence
86
DODATEK A – EINSTEINOVA SUMAČNÍ KONVENCE
A1 Einsteinova sumační konvence
Vyskytnou-li se ve výrazu dva stejné indexy, potom přes ně automaticky sčítáme. Sčítací
indexy budeme označovat malými písmeny abecedy (i , j , k ...):
a1b1+ a2b2+ ... +aNbN = ajbj = ajbj .
j=1
N
Poznámka: Na označení sčítacího indexu nezáleží : ai bi = aj bj = akbk = a1b1 + ... + aN bN .
Příklady:
Skalární součin dvou vektorů:
1 2 1 2
1 1 2 2
( , , , ) ; ( , , , ) ;
.
N N
N N j j
a a a b b b
a b a b a b a b
 
     
a b
a b
 

Divergence:
1 2 3
31 2
1 2 3
( , , ) ;
div .i
i
T T T
T TT T
x x x x

  
   
   
T
T
Maticové násobení:
   
  .
;;
1
jkki
N
k
jkkiji
jiji
baba
ba



BA
BA
Volné indexy jsou na obou stranách rovnosti (zde i, j). Přes volný index se nesčítá. Němý
(vázaný, sčítací) index je dvojice stejných indexů v jednom matematickém členu, přes který
se sčítá (zde k ).
Malý přírůstek funkce jedné proměnné:
Mějme funkci jedné reálné proměnné f(q), která hodnotě q přiřadí hodnotu f:
( ) : ; potom
df
f q q f f q
dq
    .
Příklad: Představme si kouli o poloměru r, jejíž objem je V (r) = 4/3 π r 3. Poloměr koule
změníme o Δr. Její objem se pro malá Δr přibližně změní o ΔV  dV/dr Δr = 4πr2Δr.
Interpretace je zřejmá: 4πr2 je plocha koule o poloměru r a Δr je tloušťka této plochy.
Součin představuje změnu objemu koule.
Malý přírůstek funkce více proměnných:
Mějme funkci více reálných proměnných f (q1,q2,...qN ), která hodnotám q přiřadí hodnotu f:
1 1 1 2
1 2
( , , ): , , ; potomN N N
N
f f f
f q q q q f f q q q
q q q
  
        
  
   .
Příklad: Určeme přírůstek objemu válce, zvětšíme-li poloměr podstavy o Δr a výšku o Δh.
Protože V(r,h) = πr2h, dostaneme ΔV  ∂V/∂r Δr + ∂V/∂h Δh = 2πrhΔr + πr2Δh.
První příspěvek je od změny poloměru podstavy, druhý od změny výšky válce:
Teoretická mechanika Dodatek A: Einsteinova sumační konvence
87


r
h
Infinitezimální (nekonečně malý) přírůstek funkce více proměnných:
Zavedeme-li infinitezimální změny namísto malých přírůstků dostaneme vztah
1
1
.N j
N j
f f f
df dq dq dq
q q q
  
      
  

Poznámka: předchozí vztahy lze precizněji formulovat pomocí Lagrangeovy věty o přírůstku a věty
o prvním diferenciálu. Pro naše účely však postačí jednoduché vztahy uvedené výše.
Derivace složené funkce:
Jestliže vnitřní proměnné qi závisí na čase, potom má úplná časová derivace tvar:
1 2
1
1
( , , , ) ;
.
N
jN
j
N j j
f f q q q
dqdqdqdf f f f f
q
dt q dt q dt q dt q

   
        
   


Příklad: Určete první diferenciál a první časovou derivaci v polárních souřadnicích:
;)(sin)()(
,)(cos)()(
ttrty
ttrtx




cos sin ,
sin cos ;
x x
dx d r d d r r d
r
y y
dy d r d d r r d
r
   

   

 
   
 
 
   
 
.cossin
,sincos




rry
rrx


K symbolice v kartézských souřadnicích:
x  x

ab  ba


Pro f = f(x, v) zapisujeme gradienty takto:
, , ; , , ,
x y z
f f f f f f f f f f
f f
x x y z
           
                      
v
x v

v v v v
 
nebo v komponentách: ii
i
ff
x
f
,


.
Příklad:
2 2 2 2 2 2
1 2 3
2
( ) ;
2 , nebo 2 .
j j
j j ji j j ji i i i
i i
f
f f
 
        
   
       
   
v v v v
v
v
v v
v v v v v v v
v v v v v v v
v v
Teoretická mechanika Dodatek A: Einsteinova sumační konvence
88
Poznámka 1: Operace gradient míří ve směru největšího nárůstu dané funkce a je kolmá na
izoplochy (plochy konstantní hodnoty funkce). To je patrné z rozpisu
( ) const 0 0 .k
k
f
f dx f d
x

     

x x
Vektor dx míří v izoploše a vektor f je na něho kolmý.
Poznámka 2: Symbol  se nazývá „nabla“. Název zavedl skotský matematický fyzik Peter Guthrie
Tait (1831–1901) podle trojúhelníkového tvaru asyrské harfy ze 7. století př. n. l. Asýrie byla v severní
Mezopotámii. Slovo nabla (Nbl) je z aramejštiny, která ho upravila z hebrejského Nev(b)el. Stejný
nástroj už ale znali Sumerové v období 3 100 př. n. l. James Clerk Maxwell razil pro tento operátor
název „slope“ z anglického slova znamenajícího spád či sklon. Návrh Taita ale zvítězil.
A2 Délkový element
x = 2 x = 4 x = 6
y = 1
y = 2
y = 3
l
l
x
r
r
y
Δl 2 = Δx2 + Δy2 Δl 2 ≈ Δr2 + r2Δφ2
Pro infinitezimálně malé vzdálenosti přejdou přibližné rovnosti v přesné rovnosti.
V ortogonálních systémech (souřadnicové sítě jsou vzájemně kolmé) lze délkový element
vyjádřit vztahem
2 2 2 2
11 1 22 2 33 3dl g dq g dq g dq   , (A.1)
v neortogonálních obecně platí, že délkový element je kvadratickou funkcí přírůstků:
2
i j i jdl g dq dq . (A.2)
Poznamenejme, že platí sumační konvence. Koeficienty gij se nazývají metrika nebo metrický
tenzor. Při jejich určování lze postupovat buď geometricky (viz horní obrázek) nebo
z diferenciálů transformačních vztahů pro souřadnice (viz příklad pro polární souřadnice
z minulé kapitoly, kde byly vypočteny diferenciály dx, dy pro tyto souřadnice). Analogicky
postupujeme i pro další souřadnicové systémy:
Polární souřadnice:
2 2 2 2cos
; .
sin
x r
dl dr r d
y r




 

(A.3)
Sférické souřadnice:
2 2 2 2 2 2 2
cos sin
sin sin ; sin .
cos
x r
y r dl dr r d r d
z r
 
    


   

(A.4)
Teoretická mechanika Dodatek A: Einsteinova sumační konvence
89
Válcové souřadnice:
.;sin
cos
22222
dzdrdrdl
zz
ry
rx






(A.5)
Kinetickou energii systému pak můžeme snadno v zobecněných souřadnicích určit za pomoci
délkového elementu ze vztahu:
.
2
1
2
1
2
1
),( 22
2
jiji
ji
ji qqgm
td
qdqd
gm
td
ld
mT  qq
Speciálně pro předchozí souřadnice tedy platí:
)(
2
1
)(Válcové
)sin(
2
1
),(Sférické
)(
2
1
)(Polární
)(
2
1
)(Kartézské
2222
222222
222
222
zrrmz,,rr,T
rrrm,,rr,T
rrm,rr,T
zyxmz,y,xT











(A.6)
V jednotlivých souřadnicích se kinetická energie rozpadá na součet členů
odpovídajících jednotlivým stupňům volnosti. Například v polárních souřadnicích se
kinetická energie skládá z radiální části Tr a rotační části Tφ .
Poznámka: velikost kinetické energie nemůže záviset na volbě souřadnicového systému,
kinetická energie je skalární funkcí zobecněných souřadnic. Další skalární funkcí je například
potenciální energie.
Teoretická mechanika Dodatek B: Lieova agebra
90
DODATEK B – LIEOVA ALGEBRA
B1 Vektorový prostor
S pojmem vektoru jste se pravděpodobně setkali poprvé ve fyzice (například rychlost, síla).
Zde jste vystačili s představou úseček opatřených na jednom konci šipkou, se kterými lze
provádět dvě operace: skládání vektorů (sčítání) a natahování vektorů (násobení skalárem).
Tato představa byla v matematice zobecněna i na další objekty.
F
– 0.5 F 2 F
F +1 F2
F2
Stačí pro ně definovat sčítání a násobení skalárem tak, aby tyto operace zachovávaly základní
vlastnosti skládání a natahování vektorů. Množina takových objektů se nazývá lineární
vektorový prostor. Připomeňme si nyní jeho definici ze základního kursu matematiky:
Označme A lineární vektorový prostor, nechť x , y , z  A ; R(C) množinu reálných
(komplexních) čísel, nechť α, β, γ  R(C).
Definice: řekneme, že A je lineární vektorový prostor nad množinou reálných (komplexních)
čísel, jsou-li pro prvky tohoto prostoru definovány operace
+ : A×A → A sčítání vektorů z = x + y
 : A×R(C) → A násobení vektoru skalárem z = α x,
které mají následující vlastnosti:
1) x + y = y + x , x + ( y + z) = (x + y) + z ,
2) α (x + y) = α x + α y , (α + β) x = α x + β x ,
3) α (β x) = (α β) x, 1x = x ,
4) x + y = x + z  y = z .
Poznámky:
1) Operace "+" přiřazuje dvěma prvkům prostoru A opět prvek prostoru A. Pro n-tici čísel může být
operace "+" definována takto: x = (x1, ... ,xN ), y = (y1, ... ,yN ); x + y  (x1+ y1, ... , xN + yN).
2) Operace "" přiřazuje prvku prostoru A a reálnému (komplexnímu) číslu opět prvek prostoru A.
Pro n-tici čísel může být operace "" definována takto: x = (x1, ... ,xN ); αx  (αx1, ... , αxN ).
3) V lineárním vektorovém prostoru lze zvolit skupinu lineárně nezávislých vektorů (bazi) tak, že
každý prvek prostoru lze napsat jako lineární kombinaci prvků baze:
  .baseprvky
N
ll
N
l
llx 1
1
; 

 eex (B.1)
Veličiny xl jsou koeficienty lineární kombinace, nazýváme je souřadnice prvku x v bazi {el}. Počet
prvků baze nazýváme dimenze prostoru. Baze musí být úplná, tj. žádný její prvek nesmí chybět,
jde o maximální množinu lineárně nezávislých vektorů.
B2 Lieova algebra
Definice: Lineární vektorový prostor s operacemi "+" a "·" nazveme Lieovou algebrou, je-li
v něm navíc definována operace
[ , ] : A×A → A Lieova operace z = [x , y]
s vlastnostmi:
1) [ , ] [ , ] x y y x antisymetrie (B.2)
2) [ , ] [ , ] [ , ]  x y z x z y z linearita (B.3)
Teoretická mechanika Dodatek B: Lieova agebra
91
3) [ , ] [ , ] x y x y linearita (B.4)
4)      ,[ , ] ,[ , ] ,[ , ] 0  x y z y z x z x y Bianciho identita (B.5)
Poznámky:
1) Jde o další zobrazení, při kterém dvojici vektorů přiřadíme vektor.
2) Z linearity v prvním argumentu a antisymetrie plyne linearita ve druhém argumentu.
Příklad 1: A ... množina uspořádaných trojic
)(,;)(,)( 321321 RCyxy,y,yx,x,x ii  yx
.],[:],[
,),,(:
,),,(:
321
332211
yx
x
yx



xxx
yxyxyx
Lieova algebra je definována jako vektorový součin. Ověřte, že vektorový součin splňuje
všechny vlastnosti Lieovy algebry (B.2) až (B.5).
Příklad 2: A - množina čtvercových matic n×n. Pro konkrétnost budeme uvažovat matice 2×2
,;
2221
1211
2221
1211













bb
bb
aa
aa
BA
.],[:],[
,:
,:
2221
1211
22222121
12121111
BAABBA
A
BA



















aa
aa
baba
baba
Lieova algebra je definována za pomoci maticového násobení jako tzv. komutátor. Je-li
AB = BA, matice komutují a komutátor je roven nule. Ověřte, že komutátor splňuje
všechny vlastnosti Lieovy algebry (B.2) až (B.5).
B3 Strukturní koeficienty Lieovy algebry
Rozvineme-li prvky prostoru do příslušné baze, můžeme psát:
.],[],[],[ lklkllkk yxyx eeeeyx  (B.6)
K určení Lieovy operace postačí znát výsledek operace jen pro prvky baze. Je zřejmé, že
výsledek operace [ek , el ] je prvek prostoru a můžeme ho proto opět rozvinout do baze {em}.
Koeficienty rozvoje (souřadnice) cm
budou ale záviset na tom, pro které dva prvky baze
Lieovu operaci provádíme:
.], m
m
kllk c eee [ (B.7)
Veličiny m
klc se nazývají strukturní koeficienty Lieovy algebry. Výsledek Lieovy operace lze
nyní zapsat ve tvaru
.],[ mlk
m
kl yxc eyx  (B.8)
Zadáním strukturních koeficientů je určena celá Lieova algebra. Z antisymetrie Lieovy
operace (B.2) plyne antisymetrie strukturních koeficientů
.m
lk
m
kl cc  (B.9)
Teoretická mechanika Dodatek B: Lieova agebra
92
Příklad 1: – pokračování
Na trojicích lze zvolit bázi
.],[
,],[
,],[
;)1,0,0(;)0,1,0(;)0,0,1(
21313
13232
32121
321
eeeee
eeeee
eeeee
eee




Nenulové strukturní koeficienty tedy jsou
.1;1 2
13
1
32
3
21
2
31
1
23
3
12  cccccc
Příklad 2: – pokračování
Na komplexních maticích 2×2 lze zvolit bazi
.
10
01
2
1
;
0
0
2
1
;
01
10
2
1
;
10
01
2
1
3210 











 












 
i
i
σ0 je jednotková matice (až na normovací konstantu 1/2); σk k = 1,2,3 jsou tzv. Pauliho
matice, v kvantové teorii uvidíme, že mají význam operátoru spinu. Snadno vypočteme
(ověřte!)
.0],[],[],[
,],[
,],[
,],[
302010
2311313
1233232
3122121








i
i
i
Jednotková matice komutuje s každou maticí. Nenulové strukturní koeficienty jsou
.; 2
13
1
32
3
21
2
31
1
23
3
12 ii  cccccc
Pro matice (i jiné objekty, u kterých je definováno násobení mezi objekty) platí ještě další
důležité relace:
,],[],[],[ BCACBACAB  (B.10)
.],[],[],[ CBACABBCA  (B.11)
Důkaz:
.],[
)()(],[],[
CABCABABCCABACBACBABC
BCAACCBBCABCACBA


Analogicky dokážeme i druhou relaci. Pomocí těchto vztahů můžeme určit Lieovu operaci
i pro mocniny matic, například:
.],[],[],[],[ 2
ABABAABAABA 
Podobně lze ze znalosti základní operace [A , B] a vztahů (B.10), (B.11) určit postupně
výsledek operace [Ak
, Bl
].
Teoretická mechanika Dodatek C: Tenzory
93
DODATEK C – TENZORY
C1 Kovariantní a kontravariantní indexy
Předpokládejme, že máme lineární vektorový prostor opatřený bází {ek}. Vektor A můžeme
v této bázi rozvinout do výrazu
1
N
k k
k k
k
A A

 A e e . (C.1)
Čísla Ak
nazýváme složky (souřadnice, koeficienty rozvoje) vektoru, objekty ek prvky báze.
Různá poloha indexů naznačuje, že se složky vektorů transformují jinak než prvky báze.
Nadále budeme využívat sumační konvenci, ale sčítání bude vždy probíhat přes jeden index
dolní (transformuje se jako prvky báze) a jeden index horní (transformuje se jako složky
vektorů). Přes dvojici stejného horního a dolního indexu se automaticky sčítá, jde o tzv. němé
indexy. Poloha volných indexů (přes které se nesčítá) musí zůstat na obou stranách rovnosti
vždy stejná. Přejděme od jedné báze k nějaké jiné, čárkované bázi:
{ } { }k ke e . (C.2)
Vektor A je objekt, jehož vyjádření nemůže záviset na volbě báze, tj. musí platit
k k
k kA A  A e e . (C.3)
Složky vektorů se mezi dvěma bázemi budou transformovat za pomoci nějaké matice S:
k k l
lA S A  . (C.4)
Všimněte si, že se sčítá přes němý index l (jeden je nahoře a druhý dole). Volný index k je na
obou stranách rovnosti nahoře. I u matic tak musíme rozlišovat horní a dolní indexy.
Transformační matici prvků báze označme U:
l
k k lU e e . (C.5)
Vyzkoušejte si, že jde o jedinou možnost, při které se sčítá přes jeden horní a jeden dolní
index, volný index k má stejnou polohu na obou stranách rovnosti a transformační matice U
má stejně jako matice S první index nahoře a druhý dole. Zjistěme nyní, jaký je vztah mezi
oběma transformačními maticemi S a U. Vyjděme z vyjádření vektoru A v nové bázi (C.5):
k k l n n k l
k l k n k l nA S A U U S A   A e e e .
Je zřejmé, že v nové bázi musí být výsledek Al
el nebo Ak
ek, chcete-li. Toho lze ale dosáhnout
jediným způsobem: v posledním výrazu musí platit
n k n
k l lU S  , (C.6)
kde jsme označili δn
l Kroneckerovo delta. V maticovém zápise tato podmínka říká, že
 U S 1. (C.7)
Je zřejmé, že matice U a S jsou navzájem inverzní. To je patrné již přímo z rozkladu vektoru
A (C.3) do obou bází. Má-li být výsledek stejný, musí se složky vektorů (horní indexy)
transformovat „opačně“ než prvky báze (dolní indexy). Jedině tak dají kombinace (C.3)
výsledek nezávislý na volbě báze (vektor A). Horní indexy budeme nazývat kontravariantní.
Tyto indexy se transformují stejně jako složky vektoru, tj. pomocí transformační matice S.
Dolní indexy budeme nazývat kovariantní. Tyto indexy se transformují stejně jako prvky
báze, tj. pomocí transformační matice U. Indexů může být i více, například ze složek dvou
vektorů můžeme sestavit výraz
;kl k l kl k l op
o pT A B T S S T  , (C.8)
Teoretická mechanika Dodatek C: Tenzory
94
který se musí transformovat jako součin složek vektorů. Za pomoci Tkl
,můžeme vytvořit opět
objekt nezávislý na souřadnicové soustavě, tzv. tenzor druhého řádu:
kl
k lT T e e

. (C.9)
Symbol k le e nazýváme diadický (tenzorový) součin, jde o uspořádanou dvojici prvků
báze. Výraz A B tak chápeme jako objekt se složkami, které tvoří matici Ak
Bl
:
k l
k lA B  A B e e (C.10)
C2 Skalární součin, zvyšování a snižování indexů
Předpokládejme, že je na našem lineárním vektorovém prostoru definován skalární součin
dvou vektorů A·B, který splňuje základní vlastnosti skalárního součinu. Rozvineme-li oba
vektory do báze, získáme
,k l k l
k l klA B g A B   A B e e (C.11)
kde jsme označili
kl k lg  e e (C.12)
tzv. metrické koeficienty (metriku). Vidíme, že výsledek skalárního součinu dvou
libovolných vektorů můžeme určit, pokud známe metrické koeficienty, tj. výsledek skalárních
součinů všech prvků báze mezi sebou.
Označme inverzní matici k metrice
  1
;kl kl k
kl lm mg g g g 

  . (C.13)
Zaveďme nyní pomocné (duální) objekty
;k kl l
l k klg A g A e e . (C.14)
Nejde o skutečné prvky báze ani o skutečné komponenty vektoru, ale o formální lineární
kombinace dané metrikou. Vždy platí, že index nahoře znamená transformaci pomocí stejné
matice, jakou se transformují složky vektorů a index dole znamená transformaci pomocí
stejné matice, jakou se transformují prvky báze. Za pomoci metriky tak můžeme indexy
libovolně snižovat nebo zvyšovat, stačí jen dodržet pravidlo, že sčítáme přes jeden horní
a jeden dolní index (to zajistí invarianci součtu vzhledem k transformaci báze). Volné indexy
zachovávají vždy svou polohu. Uveďme příklad:
klm k m
lo og T T .
Prostřední index jsme snížili za pomoci metriky. Skalární součin nyní můžeme zapsat
několika způsoby:
k l k
kl kg A B A B  A B ,
kde jsme druhý index snížili za pomocí metriky. Mohli jsme ale také snížit první index:
k l l k
kl l kg A B A B A B   A B .
Platí tedy
k l k k
kl k kg A B A B A B   A B . (C.15)
Kontravariantní (horní) složka je skutečnou složkou vektoru, kovariantní (dolní) v sobě
obsahuje metriku. Definici inverzní metriky (C.13) můžeme chápat také jako snižování či
zvyšování indexů:
;
.
;
kl k
lm m k k
m mkl k
lm m
g g
g
g g g



 

(C.16)
Teoretická mechanika Dodatek C: Tenzory
95
Metrika a Kroneckerovo delta jsou tak jediným objektem. Pokud jsou oba indexy dole, jde
o metrické koeficienty. Pokud jsou oba indexy nahoře, jde o inverzní matici k metrickým
koeficientům a pokud jsou indexy smíšené, jde o Kroneckerovo delta, tedy prvky jednotkové
matice. Metrika tak není nic jiného než jednotková matice s patřičně posunutými indexy. Za
pomoci tenzorového zápisu můžeme psát
k l k l kl
l k kl k lg g     1 e e e e e e . (C.17)
C3 Čtyřvektory, Minkowského metrika
Ve speciální relativitě nazýváme každou čtveřici veličin, jež se transformuje Lorentzovou
transformací, čtyřvektor. K základním čtveřicím patří událost (časová a prostorová
souřadnice události), čtyřhybnost (energie a hybnost), vlnový čtyřvektor (úhlová frekvence
a vlnový vektor), čtyřpotenciál elektromagnetického pole (skalární a vektorový potenciál),
čtyřtok (zdrojové členy Maxwellových rovnic – hustota a tok náboje) nebo čtyřgradient.
V soustavě SI musíme zajistit, aby všechny 4 složky měly stejný rozměr. To můžeme učinit
nejjednodušeji vynásobením nebo vydělením časové složky univerzální konstantou c
(rychlostí světla ve vakuu):
/ /
; ; ;
/ /
; ; .
/
ct E c c
x p k
c c ct
A j
  
 


 
     
       
     
      
        
      
x p k
A j x
(C.18)
Poznámky:
1. Řeckými indexy budeme značit zásadně jen čtyřvektory (index 0 odpovídá časové části, indexy 1,
2, 3 prostorové části).
2. U čtyřgradientu jde o kovariantní (dolní) index, protože
x
 

 

,
tedy skutečné složky vektorů jsou ve jmenovateli, pokud zapisujeme index v čitateli, musí mít
opačnou polohu, neboť se transformační matice změní na inverzní!
3. Metrika ve speciální relativitě se nazývá Minkowského metrika. Je diagonální a v časové části má
minus. Totéž platí i pro inverzní matici (metriku s horními indexy). Metrika se smíšenými indexy je
jednotková matice, tj. její prvky jsou Kroneckerovo delta:
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
; ;
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0
; .
0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 1
g g
g g


 
 
    
   
     
    
   
    
    
   
     
    
   
    
(C.19)
Zjednodušeně se často Minkowského metrika píše jako gμν = diag(–1, 1, 1, 1), někdy se
označuje symbolem ημν. Za pomoci metriky nyní snadno určíme kovariantní složky běžných
čtyřvektorů a kontravariantní složku čtyřgradientu:
Teoretická mechanika Dodatek C: Tenzory
96
– – / – /
; ; ;
– / – – /
; ; .
/
ct E c c
x p k
c c ct
A j
  

 

 
     
       
     
      
        
      
x p k
A j x
(C.20)
Příklady
Najděme některé typické skalární součiny:
0 1 2 3
0 1 2 3( )k x k x k x k x k x k x t
           k x ,
nalevo je součin čtyřvektorů, poslední člen napravo je běžný součin v R3
. Obdobně určíme
výsledky dalších příkladů
2 2 2 2 2 2
;
;
div 0 0 ;
0 0 .
ds dx dx c dt dx dy dz
j A j A
j
t
f f










     
     

    

    
j A
j

Často se používá zkrácený zápis, při kterém se derivace píše za čárku. Indexy před čárkou
jsou skutečnými indexy, indexy za čárkou jsou derivacemi:
,
A
A A
x

 
 

  

.
Jde vlastně o nejúspornější zápis derivace vůbec, ze kterého je zřejmé na první pohled, jak se
derivace transformuje. Uveďme další příklady:
,
,
2
,
,
;
;
;
.
x
x
T
T T
x x
f f f
 

 

    
   

 
 

 

 

  


  


   
 
   
Teoretická mechanika Dodatek E: Kuželosečky
97
DODATEK D – KUŽELOSEČKY
D1 Elipsa
Elipsa je množina bodů v rovině, které mají stejný součet vzdáleností od dvou pevně
zvolených bodů, tzv. ohnisek.
V kartézské souřadnicové soustavě má rovnice elipsy tvar (osa y vede jedním z ohnisek)
2 2
1
x e y
a b
   
    
   
. (D.1)
Veličina e se nazývá excentricita, a je velká poloosa, b je malá poloosa. Mezi těmito
parametry existuje jednoduchý vztah (viz obrázek)
2 2 2
a e b  . (D.2)
Přepišme tuto rovnici do polárních souřadnic
cos ;
sin .
x r
y r




(D.3)
Po dosazení (D.3) do (D.2) získáme kvadratickou rovnici pro r, která má řešení
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
cos cos cos sin
cos sin
b e b e b a
r
b a
   
 
   


.
Řešení s minus je nepřijatelné, neboť by vedlo na zápornou hodnotu radiální vzdálenosti. Ze
vztahu vyloučíme malou poloosu b za pomoci vztahu (D.2):
 
  
2 22 2 2 2
2 2 2
2 2 2
( ) cos( ) cos ( )
cos coscos
[1 ( / ) ]
cos 1 ( / )cos
a e a ea e e a e a
r
a e a ea e
a e a e a
a e e a

 
 
    
  
 
 
 
 
.
Výsledná rovnice elipsy tedy je
 2 2
; / 1 ( / ) ; 1 .
1 cos
p
r e a b a p a 
 
     

(D.4)
Pro elipsu je ε < 1, p > 0. Veličina ε se nazývá numerická excentricita a jde o bezrozměrný
parametr charakterizující protáhlost elipsy. Obsah elipsy získáme jejím přeškálováním
souřadnicových os tak, aby poloosy byly stejně veliké a elipsa se stala kružnicí:
S ab . (D.5)
Teoretická mechanika Dodatek E: Kuželosečky
98
D2 Hyperbola
Hyperbola je množina bodů v rovině, které mají stejný rozdíl vzdáleností od dvou pevně
zvolených bodů, tzv. ohnisek.
V kartézské souřadnicové soustavě má rovnice hyperboly tvar (osa y vede jedním z ohnisek)
2 2
1
x e y
a b
   
    
   
. (D.6)
Veličina e se nazývá excentricita, a je velká poloosa, b je malá poloosa. Mezi těmito
parametry existuje jednoduchý vztah (viz obrázek)
2 2 2
a b e  . (D.7)
Postupem zcela analogickým jako u elipsy odvodíme rovnici hyperboly v polárních
souřadnicích. Výsledná rovnice hyperboly je
 2 2
; / 1 ( / ) ; 1 .
1 cos
p
r e a b a p a 
 
     

(D.8)
Pro hyperbolu je ε > 1, p < 0. Veličina ε se nazývá numerická excentricita a jde o
bezrozměrný parametr charakterizující tvar hyperboly.
D3 Parabola
Parabola je množina všech bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od ohniska a od řídící
přímky.
Teoretická mechanika Dodatek E: Kuželosečky
99
V kartézské souřadnicové soustavě má rovnice hyperboly tvar (osa y vede ohniskem)
2
2
2
p
y p x
 
  
 
. (D.9)
Postupem analogickým jako u elipsy a hyperboly odvodíme rovnici paraboly v polárních
souřadnicích. Výsledná rovnice paraboly je
; 1.
1 cos
p
r 
 
  

(D.10)
Znaménko „+“ platí pro parabolu symetrickou kolem svislé osy y, znaménko „–„ pro
parabolu symetrickou kolem vodorovné osy y. Rovnice všech kuželoseček mají tedy stejný
tvar:
1 elipsa ,
; 1 hyperbola ,
1 cos
1 parabola .
p
r


 

 

 
  
(D.11)
Teoretická mechanika Rejstřík osobností
100
REJSTŘÍK OSOBNOSTÍ
Coriolis, Gustave Gaspard (1792–1843), francouzský matematik a fyzik, zabýval se
matematickou analýzou, mechanikou a hydraulikou. Proslavil se výpočtem sil působících
v rotujících soustavách. Jedna z těchto sil nese jeho jméno – Coriolisova síla. Podrobně také
studoval tření. Jako první použil termín mechanická práce v souvislosti s působením sil na
tělesa a používal správný vztah pro kinetickou energii. V jedné ze svých prací se zabýval také
teorií srážek kulečníkových koulí. V roce 1829 se stal profesorem mechaniky na École
Centrale Paris. Jeho jméno je jedním ze 72 jmen vyrytých na Eiffelově věži.
Euler, Lheonard (1707‒1783), švýcarský matematik a astronom, žák Johanna Bernoulliho.
Pracoval na Akademii v Petrohradu a na Akademii věd v Berlíně. Měl fenomenální paměť
a jednou rozřešil při mezi dvěma studenty, jejichž výsledky náročného výpočtu se lišily na
padesátém desetinném místě tím, že výsledek spočítal jen tak v hlavě. V roce 1735 Euler
oslepl na pravé oko a v roce 1766 i na levé. Ale přesto pokračoval v publikaci svých
výsledků, které diktoval. Euler byl nejplodnějším matematikem všech dob (přesto, že měl 13
dětí). Za svůj život publikoval přes 800 prací. Dvanáctkrát byl odměněn cenou Pařížské
akademie. Když se ho ptali na vysvětlení jeho úžasné plodnosti, odvětil: „Zdá se, že mé pero
je inteligentnější než já.“ François Arago o něm řekl: „Počítá stejně lehce, jako člověk dýchá
nebo orel plachtí vzduchem“.
Nezávisle na Lagrangeovi nalezl nutné podmínky pro minimalizaci funkcionálu ve variačním
počtu. Ve fyzice jsou tyto rovnice známy jako Lagrangeovy pohybové rovnice. Jejich
výhodou je, že nezávisí na volbě souřadnicového systému.
Zabýval se také teoretickou astronomií. Zkoumal problém pohybu tří a více těles a dokázal,
že neexistuje analytické řešení, teoreticky řešil pohyb Měsíce (problém nakonec vyřešil až
Laplace) a poruchy drah Jupiteru a Saturnu. Euler teoreticky odvodil možnost odstranění
barevné vady u čočkových dalekohledů (prakticky to dokázal Chester Moor v roce 1733).
Hamilton, William Rowan (1805–1865), významný irský matematik. Pod vedením svého
strýce lingvisty se naučil mluvit čtrnácti jazyky. V sedmnácti letech odhalil chybu v
Laplaceově díle Celestial Mechanics. Předpověděl kónickou refrakci ve dvouosých
krystalech, která byla zanedlouho experimentálně potvrzena Hunphrey Lloydem. Hamilton
také rozšířil princip minima energie popsaný Maupertiem na Hamiltonův princip, základní
variační princip v teoretické mechanice, který vede na Lagrangeovy rovnice. V
diferenciálním počtu je po něm pojmenován Hamiltonův operátor, ve fyzice Hamiltonovy
pohybové rovnice, Hamiltonova funkce a Hamiltonova-Jacobiho rovnice. Poslední třetinu
svého života strávil pod vlivem alkoholu a již nijak nepřispěl k lidskému poznání.
Hopf, Eberhard Frederich Ferdinand (1902–1983), německý matematik a astronom, který
se narodil ještě v Rakousko-Uhersku (v Salzburgu). Je zakladatelem ergodické teorie a teorie
bifurkací (větvení řešení diferenciálních rovnic). Zabýval se parciálními diferenciálními
rovnicemi, integrálními rovnicemi, mechanikou tekutin a diferenciální geometrií. Objevil
princip maxima v teorii eliptických diferenciálních rovnic. Vystudoval na Univerzitě v
Berlíně, kde habilitoval v roce 1929. Od roku 1931 pracoval na MIT ve Spojených státech. V
roce 1936 se vrátil do Německa, pracoval na univerzitách v Lipsku a Mnichově. Od roku
1949 až do smrti pracoval na Indiana University v Bloomingtonu. V teorii diferenciálních
rovnic je po něm pojmenována Hopfova bifurkace.
Jacobi, Carl (1804–1851), německý matematik, který se zabýval teorií čísel, eliptickými
funkcemi a parciálními diferenciálními rovnicemi. Vystudoval Berlínskou univerzitu, kde
získal doktorát v roce 1825. Tématem jeho závěrečné práce byly zlomky. V roce 1829 se stal
profesorem matematiky na Univerzitě v Königsbergu. Byl vynikajícím učitelem. Následkem
oslabení chřipkou onemocněl neštovicemi, na které zemřel. Jsou po něm pojmenovány:
Jacobiho determinant (determinant z parciálních derivací funkcí podle všech proměnných),
Jacobiho eliptické funkce, Jacobiho identita (u Lieovy algebry je součet všech cyklických
permutací výrazů [a,[b,c]] nulový) a Hamiltonova-Jacobiho rovnice v teoretické mechanice.
Teoretická mechanika Rejstřík osobností
101
Lagrange, Joseph (1736–1813), francouzský matematik a teoretický fyzik, byl jednou
z nejvýznamnějších vědeckých osobností osmnáctého století. Lagrange vystřídal Eulera na
místě ředitele Berlínské akademie. Jeho dílo Mécanique Analytique z roku 1788 bylo komplexním
pojetím mechaniky z matematického hlediska. Lagrange se stal spoluzakladatelem
variačního počtu (v matematice řešil obdobné úlohy Euler). Mechanické úlohy chápal jako
hledání optimální trajektorie na základě jednoduchého integrálního principu. Nalezl nutné
podmínky pro existenci řešení, které představují pohybové rovnice sledovaného objektu.
Dnes se tyto rovnice nazývají Lagrangeovy rovnice a jsou základem teoretické mechaniky.
Také jsou po něm pojmenovány Lagrangeovy body – pětice rovnovážných bodů v okolí dvou
vzájemně se obíhajících těles. Jeden z jeho výroků zní: „U lidí jsem vždy pozoroval, že jejich
nároky jsou v opačném poměru k tomu, co si opravdu zaslouží. To je jeden ze základů
morálky.“
Lie, Marius Sophus (1842–1899), norský matematik zabývající se teorií grup a jejímu
významu pro geometrii a geometrické transformace. Spolupracoval s Kleinem a Sylowem.
Připravil publikaci dosud neznámých prací Abela (také norský matematik) o grupách. Dále se
věnoval vlastnostem parciálních diferenciálních rovnic z hlediska symetrií. Zavedl Lieovy
grupy a Lieovu algebru. Studoval v Berlíně, kde získal stipendium. Titul PhD obdržel na
Univerzitě v Christianě (dnešní Oslo) v roce 1871. V roce 1878 se stal čestným členem
Londýnské matematické společnosti, v roce 1892 členem Francouzské akademie věd a v roce
1895 zahraničním členem britské Královské společnosti v Londýně. Téhož roku se stal také
členem americké Národní akademie věd.
Ljapunov, Alexandr Michailovič, (1857–1918), ruský matematik, jehož základní práce se
týkaly diferenciálních rovnic, teorie potenciálu, stability řešení a teorie pravděpodobnosti. Na
jeho počest je pojmenována Ljapunova stabilita: stabilita řešení diferenciálních rovnic
vzhledem k perturbaci počáteční podmínky. Z fyzikálních problémů řešil podmínky stability
rotující kapaliny. Studoval na Univerzitě v Petěrburku. K jeho učitelům patřil například
Čebyšev. Studium zakončil v roce 1880. V roce 1880 obdržel zlatou medaili za práci
o hydrostatice. V roce 1895 se stal soukromým docentem a v témže roce vedoucím katedry
mechaniky na Univerzitě v Charkově. V roce 1902 se vrátil do Petěrburku. V roce 1917 se
s těžce nemocnou manželkou stěhuje do Oděsy. V roce 1918 zemřela jeho žena na
tuberkulózu a Ljapunov spáchal téhož dne sebevraždu (střelil se do hlavy). Zemřel na
následky zranění o tři dni později.
Lorenz, Edward Norton (1917–2008), americký matematik a meteorolog, průkopník a
spoluzakladatel teorie deterministického chaosu. Objevil podivný atraktor a poprvé pro
nestabilitu použil termín „motýlí jev“. Vystudoval matematiku na koleji Dartmouth v New
Hampshire a na Harvardu. V průběhu druhé světové války předpovídal pro armádu počasí. Po
válce vystudoval meteorologii na MIT, kde se později stal profesorem. Vybudoval
matematický model pohybu vzdušných mas v atmosféře. Je nositelem mnoha cen a medailí.
Je po něm pojmenován Lorenzův podivný atraktor.
Lotka, Alfred James (1880–1949), americký matematik, fyzikální chemik a statistik. Je
především znám aplikací fyzikálních postupů v biologii, zejména v pracích o dynamice
populace a energetice. Navrhnul známou rovnici popisující vývoj počtu jedinců v systému,
který je složen z dravců a kořisti. Nezávisle tuto rovnici odvodil italský matematik Vitto
Volterra. Proto se dnes evolučním rovnicím tohoto typu říká Volterrovy-Lotkovy rovnice.
Rovnice se využívají i v jiných systémech, kde spolu soupeří dvě skupiny jedinců. Lotka se
narodil ve Lvovu na území dnešní Ukrajiny (tehdy Rakousko-Uhersko). Jeho rodiče byli
Američané. Studoval v Birminghamu, Lipsku a v Americe na Cornellově univerzitě.
Newton Isaac (1642–1727), je považován za jednoho z nejvýznamnějších vědců v dějinách
lidstva. Byl anglickým fyzikem, matematikem, astronomem, filozofem a teologem. Newton
položil základy klasické mechaniky ve třech pohybových zákonech (zákon setrvačnosti,
zákon síly, zákon akce a reakce). Zákon síly se stal vůbec prvním matematickým nástrojem
pro předpověď trajektorie tělesa. K řešení pohybové rovnice (zákona síly) Newton vyvinul
Teoretická mechanika Rejstřík osobností
102
základy diferenciálního a integrálního počtu, nezávisle na něm objevil diferenciální počet
Gottfried Leibniz. Pro gravitační interakci navrhl Newton silový předpis, který je dnes znám
jako Newtonův gravitační zákon. Platí jak pro pohyby těles na Zemi, tak ve vesmíru. Dále se
Newton v mechanice zabýval zákonem zachování hybnosti a momentu hybnosti. Newtonovo
pojetí mechaniky používá absolutní prostor a čas. Oba pojmy stojí mimo tělesa a nejsou jimi
nijak ovlivňovány. Kompletní základy mechaniky publikoval Newton v roce 1687 v Principiích
(Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica), jejichž vydání sponzoroval Edmond
Halley.
Newtonův zájem nebyl ale soustředěn jen na mechaniku. Zabýval se i optikou. Zkonstruoval
zrcadlový dalekohled s okulárem umístěným kolmo na optickou osu přístroje. Pomocí
hranolu rozložil světlo na jednotlivé barvy a zabýval se teorií barev. Světlo si představoval,
na rozdíl od Huygense, jako proud částic. Dnes víme, že pravdu měli oba, světlo se někdy
chová jako vlnění a někdy má částicovou povahu. V matematice Newton zavedl integrální a
diferenciální počet, zobecnil binomickou větu a zabýval se numerickým řešením
transcendentních a diferenciálních rovnic (tzv. Newtonovo schéma). Newton věnoval mnoho
času i alchymii, měl vlastní laboratoř. Většina jeho textů je ovšem věnována náboženským
otázkám. Po Newtonovi jsou pojmenovány: Newtonovy pohybové zákony, Newtonovo
schéma, Newtonův dalekohled, jednotka síly newton a krátery na Marsu a Měsíci.
Noether, Emmy (1882‒1935), německo-americká matematička, která ukázala, že každá
symetrie v přírodě je úzce spojena se zákonem zachování. Pracovala v Erlangenu a v Göttingenu
s lidmi, jako Felix Klein nebo David Hilbert. Její práce v oblasti teorie invariantů
přispěly k výsledné podobě obecné teorie relativity formulované Albertem Einsteinem roku
1916. Emmy Noetherová byla pravděpodobně první žena s akademickým titulem vůbec,
neboť habilitace byla do této doby umožněna jen mužům.
Poisson, Siméon Denis (1781–1840), francouzský matematik, fyzik a geometr. Poisson byl
Laplaceův student. Zobecnil Laplaceovu rovnici v elektřině a magnetismu o zdrojové členy.
Nyní se tato rovnice nazývá Poissonova. Ukázal, že na povrchu vodiče musí být potenciál
konstantní. Formuloval teorii povrchových proudů a objemových magnetizací. Posuzoval
Fresnelovu práci věnující se difrakci a známé jsou také jeho práce zabývající se
pravděpodobností. Studoval École Polytechnique v Paříži. Již po dvou letech studia
publikoval dvě vědecké práce a obdržel za ně mimořádné ocenění. Navštěvoval přednášky
Lagrange z funkcionální analýzy. Ihned po ukončení studií se stal asistentem, v roce 1802
mimořádným a v roce 1806 řádným profesorem. Od roku 1808 pracoval jako astronom v
Bureau des Longitudes. I přes své obrovské vytížení (byl učitelem a zastával mnoho
významných funkcí) publikoval více než 300 matematických prací. V teoretické mechanice
jsou po něm pojmenovány Poissonovy závorky, v elektřině a magnetizmu Poissonova
rovnice.
Pol, Balthasar (1889–1959), celým jménem Balthasar van der Pol, holandský fyzik. Van der
Pol vystudoval fyziku na Univerzitě v Utrechtu, kde získal v roce 1920 titul PhD. Zabýval se
experimenty, zejména šířením elektromagnetických vln. V teoretické oblasti řešil
problematiku teorie elektrických obvodů a zabýval se matematickou fyzikou a teorií
diferenciálních rovnic. V roce 1935 byl oceněn za své práce medailí IEEE. Jsou po něm
pojmenovány van der Polův oscilátor a planetka 10443.
Rayleigh, John William Strutt (1842–1919), anglický baron, který se zabýval fyzikou,
akustikou a optikou, zejména šířením vln v tekutinách. V roce 1904 získal Nobelovu cenu za
fyziku za izolování inertního plynu argonu. Jeho špatný zdravotní stav mu znemožnil
dokončit studia na dvou školách (Eton, Harrow). V roce 1857 započal soukromé čtyřleté
studium pod vedením vlastního učitele. V roce 1861 vstoupil na Kolej Trinity v Cambridgi.
Studia ukončil v roce 1865. Intenzivně se zabýval Maxwellovou teorií elektromagnetismu, a
to jak experimentálně tak teoreticky. V roce 1878 vydal dvoudílný spis The Theory of Sound,
který se stal základem akustické literatury. Odvodil rovnici popisující závislost rozptylu
světla v atmosféře na vlnové délce a vysvětlil tak jako první modrou barvu oblohy. Pokoušel
Teoretická mechanika Rejstřík osobností
103
se také, jako mnozí, odvodit zákon záření absolutně černého tělesa. Jeho vztah (Rayleighův
zákon) popisuje správně závislost intenzity záření na vlnové délce pro dlouhé vlnové délky.
Pro krátké vlnové délky intenzita diverguje (tzv. UV katastrofa) a zákon neplatí. Pro celé
spektrum se podařilo zákon odvodit až Maxu Planckovi v roce 1901. Nobelovu cenu získal za
izolování inertního atmosférického argonu. O prvenství tohoto objevu soupeřil s Williamem
Ramsayem, který ale započal své práce prokazatelně až po publikování Rayleighových
výsledků. Ramsay získal Nobelovu cenu za chemii za dlouholetý výzkum vlastností argonu v
témže roce. V teoretické mechanice zavedl Rayleigh disipační funkci, která se používá pro
popis ztrát způsobených přeměnou energie na teplo. Tato funkce se nazývá Rayleighova
disipační funkce.
Tonti, Enzo (1935), italský teoretický fyzik, narodil se v Milánu, kde v roce 1961 dokončil
studia matematiky a fyziky. Poté pracoval na Milánské polytechnice. V roce 1975 se stal
profesorem na Milánské státní univerzitě. Od roku 1976 pracuje na Fakultě inženýrství
v Terstu. Celý život se zabývá matematickou strukturou fyzikálních teorií. Už jako student
byl fascinován analogiemi mezi různými fyzikálními teoriemi. Nejvíce se proslavil pracemi
z oblasti variační formulace fyzikálních teorií. Nalezl podmínky, které musí splňovat
soustava diferenciálních rovnic, aby ji bylo možné formulovat variačně. Tyto podmínky se
nazývají Tontiho podmínky variačnosti.
Verhulst, Pierre Francois (1804–1849), belgický matematik, který se zabýval teorií čísel
a diferenciálními rovnicemi. Titul PhD získal na Univerzitě v Ghentu v roce 1825. V roce
1838 objevil logistickou rovnici – nejjednodušší evoluční rovnici, která byla později
zobecněna Volterrem a Lotkou. Rovnice popisuje exponenciální růst populace (časová změna
je úměrná počtu jedinců) se saturací, za kterou je zodpovědná párová interakce. Jeho práce
byly částečně zapomenuty. Hojného využití se dočkaly až 70 let po Verhulstově smrti.
Volterra, Vito (1860–1940), italský matematik a fyzik, který přispěl k aplikaci matematiky
do biologických a společenských věd. Nezávisle na Lotkovi zformuloval evoluční rovnice
pro dvě bojující skupiny (dravci a kořist). Zabýval se také integrálními rovnicemi. Studoval
na Univerzitě v Pise, v roce 1892 se stal profesorem na Univerzitě v Turíně. V období před
druhou světovou válkou se odmítl podílet na praktikách nacistického vůdce Benita Mussoliniho.
Jsou po něm pojmenovány Volterrovy-Volkovy evoluční rovnice.
Teoretická mechanika Literatura
104
LITERATURA
[1] P. Kulhánek: Úvod do teorie plazmatu; AGA 2011, ISBN: 978-80-904582-2-2,
online verze (obsahuje méně než tištěná verze):
http://www.aldebaran.cz/studium/fpla.pdf
[2] M. Brdička, A. Hladík: Teoretická mechanika; Academia, Praha 1987
[3] J. Kvasnica a kol.: Mechanika; ACADEMIA, Praha 1988
[4] L. D. Landau, J. M. Lifšic: Úvod do teoretickej fyziky 1 (mechanika, elektrodynamika);
ALFA, Bratislava 1980
[5] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker: Fyzika; Část 1: Mechanika;
VUTIUM/PROMETHEUS, Brno 2000
[6] W. Greiner: Classical Mechanics – Systems of Particles and Hamiltonian Dynamics;
Second edition, Springer, 2010
[7] E. Tonti: Variational Formulations of Nonlinear Differential Equations; Bull. Sciences
Acad. R. de Belgique (1969) pp 137‒165, 262‒278
[8] N. J. Cornish: The Lagrange Points; Montana State University/NASA, 1999.
Online: http://www.physics.montana.edu/faculty/cornish/lagrange.pdf
[9] Thomas Münch: The Three-Body Problem and the Lagrangian Points;
Umeå Universitet Institutionen för Fysik, 2008.
Online: http://www.tp.umu.se/space/Proj_08/T_Munch.pdf
[10] M. Robnik: Theory of Adiabatic Invariants; SOCRATES Lecture Course at the Physics
Department, University of Marburg, Germany, 2004.
Online: http://www.camtp.uni-mb.si/socrates/marburg2004/robnik.pdf
[11] S. D. Mathur: The Hamilton-Jacobi Equation; Ohio State University, 2007.
Online: http://www.physics.ohio-state.edu/~mathur/821hj.pdf
[12] P. Kulhánek, J. Maloch: Inverse Variational Problem for the Rail Plasma Accelerator;
Czech. J. Phys. B37 (1987) 561