IMA01 Úvod do matematiky. Pomocný text, podzim 2021 Petra Bušková, Helena Durnová, Jana Veseláková, Jan Wossala 24. září 2023 Kapitola 1 Předmluva Školská matematika na některé děti a studenty může působit jako strašák, to ale zpravidla neplatí pro první třídu a nemuselo by to platit pro celý první stupeň základní školy. Matematika, které se v těchto ročnících vyučuje, není zpravidla označována za nepotřebnou, vždyť na otázku, proč se ve škole učíme matematice, řada lidí odpovídá slovy „abychom si mohli spočítat, kolik nám prodavačka v obchodě má vrátit". Může se zdát, že v době, kdy se rozmáhá placení kartou, je tento argument poněkud lichý, nicméně je přijímán jako platný. Čísla pronikla do každodenního jazyka. Dříve bylo jasné, že koupíme-li dva párky, dostaneme čtyři nožičky, dnes naopak musí prodejce zdůrazňovat, že za tu cenu prodává ne jednu nožičku, ale dvě, totiž pár, čili párek. Při výletech po Česku můžeme najít mnoho míst, která mají v názvu číslovku, jako třeba Trojmezí, Třístoličník, nebo Pěticestí na Obr. 1.1. KČT PĚTICESTÍ 485 m KŘIŽOVATKA LESNÍCH CEST NA V SVAHU BUKOVÉHO KOPCE NAD ŘÍČKOU LOSINKA 2016 SU928m Obrázek 1.1: Pěticestí — křižovatka lesních cest u Šumperka Někdy se s čísly můžeme setkat na místech nečekaných, například v názvu časopisu (Obr. 1.2) S číslovkami se potkávají děti od útlého věku, například v pohádkách (králové mívají tři syny, krkavců bylo sedmero, království nacházíme za devatero horami a devatero řekami), když ukazují, kolik je jim let, když se učí vyjmenovat čtvero ročních období, sedm dní v týdnu či dvanáct měsíců v roce. Děti se dokonce brzy setkávají s nedesítkovou, totiž šedesátkovou, soustavou a některé v ní také umějí počítat, neboť vědí, že když má hodina 60 minut, pak čtvrt hodiny není 25 minut, ale 15 minut, hodina a půl trvá 90 minut a tak dále. Poměrně běžně se také setkáváme se slovy, které dnes již nemusíme vnímat jako přesné číslovky: pár znamená dva (ale dnes již ne vždy), vrh tři, tucet 12 (a tedy půltuctu šest), mandel 15, kopa 60 ( a půl kopy 30), veletucet pak tucet tuctů, tedy 144 (viz Obr. 1.3). Ve starších knihách najdeme i tabulky pro převody mezi těmito jednotkami (viz Obr. 1.4). 1 číslo revue pro umění a kritiku Obrázek 1.2: Číslo: revue pro umění a kritiku. Obrázek 1.3: Staročeské jednotky (autor neznámý, odkoukáno) Pokud vidí děti doma za oknem teploměr nebo pokud se doma před dětmi mluví o tom, že teplota venku klesla pod nulu, mají za sebou i zkušenost se zápornými čísly. Matematika se v prvních školních letech rozděluje na dvě významné oblasti: aritmetiku a geometrii. V tomto textu se budeme zabývat zejména aritmetikou. 2 Véui sritaulivi'. Balík = 10rj«ft= 10« i knih -= 1000 vrstev = 10000 ardift rys = 10 kuiL = 100 vrstev = lOÚOardia kniha = 10 vrstev = 100 archft K u ľ a = 4 mandde - liOkusft mandel — lf> kusĎ tucet = 12 kusu vrh —i 3 kusy vrstva — IO iiri-lit Obrázek 1.4: Převody staročeských jednotek — tabulka pro převody z historické učebnice 3 Kapitola 2 Číslo a zápis čísla Číslo provází lidstvo už od dob paleolitu, jak je vidět z nálezu Karia Absolona z roku 1937.1 Tehdy totiž při vykopávkách Karel Absolon našel nejen známou Věstonickou venuši, ale také 18 cm dlouhou kost mladého vlka, do níž bylo vyryto 55 zářezů, přičemž každý pátý byl delší. Tento nález je známý jako Ves-tonická vrubovka a na obrázku ji vidíte ze dvou různých pohledů: Číslo je starší .. -,.: f *tttfrtiatt£ŕWW rtm r J' i j f" «111II11 m m ■ 111 f ' Obrázek 2.1: Věstonická vrubovka (Folta 1997] než písmo, a proto bychom mohli tvrdit, že dyskalkulie, tedy nedostatečnost v oblasti počítání s čísly, je horší porucha než dyslexie (viz např. Jonathan Crabtree). Již velmi malé děti jsou například schopny vnímat počty předmětů a rozeznat větší hromádku od menší. Figurální čísla jsou ta přirozená čísla, která lze vyjádřit pomocí nějakého prostorového útvaru. Rozeznáváme například čísla • obdélníková (neboli sudá) • trojúhelníková (tři, šest, deset, ...) • čtvercová (neboli druhé mocniny) • krychlová (neboli třetí mocniny) Úkoly pro semináře: Vyskládejte číslo 6 ve tvaru trojúhelníku a další podobné úkoly. Není třeba vyskládávat kamínky (žetony, ...), stačí si např. kreslit puntíky. 1Folta, Jaroslav, 1997, Věstonická vrubovka. Vesmír 76 (1):310. https://vesmir.cz/cz/ časopis/archiv-casopisu/1997/cislo-6/vestonicka-vrubovka.html 4 2.1 Zápis čísel ve starších kulturách Než začneme s čísly počítat, podívame se, jak se čísla zapisovala dříve. Ve starověkém Egyptě používali desítkovou soustavu. Z dějepisu možná víte, že ve starověkém Egyptě se používaly nejméně tři druhy písma: hieroglyfy, písmo hieratické a písmo démotické. Na obrázku 2.2 vidíte ukázku číslic používaných ve starověkém Egyptě. Obrázek 2.2: Číslice používané ve starověkém Egyptě Číslo Egyptské Pravdepodobný význ: číselné znaky znaku kost svitek nebo stočený provaz loo n ? lotosový květ pulec Obrázek 2.3: číslice používané ve starověkém Egyptě (zdroj: Milan Jelínek, Numerační soustavy). V Mezopotámii (Babylóně) používali klínové písmo. Počítali v šedesátkové soustavě. Znaky používané v Babylóně se dají odvodit z příkladů uvedených na obrázcích 2.5 a ??. Mezi babylónskými číslicemi chybí znak pro nulu, a proto tento zápis může označovat jako 30x602 +23 = 108023 nebo 30a;60 + 23 = 1823. Konkrétní hodnotu lze určit pouze z kontextu, neboť velikost mezery mezi skupinami znaků nemůže označovat (bylo by to nepraktické) počet chybějících řádů. Sumerské číslice V tabulce jsou uvedeny sumerské číslice používané zrubá v době 3500 - 2000 př. n. 1. Mayské číslice Čísla vyšší než 20: Ve starověkém Řecku používali k zápisu čísel znaky pro písmena, jak je naznačeno na obrázku 2.9 5 Nás zápis Egyptský sápis 7 li' m 24 n n n ii 45 nnm nn ii 326 vrvn in 1672 7i6 == 5 ■ 162 + D ■ 161 + 7 • 16° (b) b = BA512 = B ■ Vŕ + A ■ 121 + 5 ■ 12° Slovní úlohy o zápisech čísel v desítkové poziční soustavě Příklad 3 Trojciferné číslo zapsané v desítkové soustavě je zakončeno číslicí 4. Přesuneme-li ji na první místo a ostatní dvě číslice ponecháme beze změny, dostaneme číslo, které je o 81 menší než původní číslo. Určete původní číslo. Řešení: Původní číslo: xyA = x ■ 102 + y ■ 101 + 4 • 10° 12 Nové číslo: Axy = 4 ■ 102 + x ■ 101 + y ■ 10° Platí: xyA - 81 = 4xy x ■ 102 + y ■ 101 + 4 • 10° - 81 = 4 • 102 + x ■ 101 + y ■ 10° 100a; + 10y -77 = 400 + lOx + y 10x + y = 53 Víme, že x a, y jsou jednociferná přirozená čísla, zkoušíme tedy možnosti: je-li x = 1, pak y = 43, je-li x = 2, pak y = 33, je-li x = 3, pak y = 23, je-li a; = 4, pak y = 13, je-li x = 5, pak y = 3. Hodnoty z = 1 až x = 4 nepřicházejí v úvahu, neboť y nemůže být dvojciferné. Navíc x nemůže nabývat hodnoty x = 6 ani hodnot vyšších, neboť pak by muselo být y záporné. Hledané číslo je tedy 534. Příklad 4 Které dvojciferné číslo zapsané v desítkové soustavě se po vzájemné záměně cifer zmenší o 36? Výsledek: Takových čísel existuje více, jsou to čísla 40, 51, 62, 73, 84 a 95. Typy úloh: převody mezi soustavami V následujícím textu představíme typy úlohy, v nichž převádíme zápis přirozeného čísla z jedné soustavy do jiné. V následujícím seznamu jsou tyto typy seřazeny od nejjednoduššího k nejobtížnějšímu a v tomto pořadí jsou také zahrnuty v následujícím textu. • Převod ze soustavy o základu z ^ 10 do desítkové soustavy; • Převod z desítkové soustavy do soustavy o základu z ^ 10; • Převod ze soustavy o základu z ^ 10 do soustavy o základu z = 10. Převod ze soustavy o základu z ^ 10 do desítkové soustavy. Převod budeme provádět s využitím věty ??, číslo v původní číselné soustavě zapíšeme pomocí rozvinutého zápisu a následně spočítáme hodnotu v desítkové soustavě. Příklad 5 Převeďte číslo zapsané v nedesítkové soustavě do desítkové: (a) 102013 (b) 1758 (c) A5C16 Řešeni: (a) IO2OI3 = l-34 + 0-33+2-32 + 0-31 +0-3° = 81+0 + 18 + 0 + l = 100i0 (b) 1758 = 1 ■ 82 + 7 • 81 + 5 • 8° = 64 + 56 + 5 = 125i0 13 (c) A5C16 = A ■ 162 + 5 • 161 + C ■ 16° = 10 • 162 + 5 ■ 161 + 12 • 16° = 2560 + 80 + 12 = 2652i0 Příklad 6 Převeďte do zápisu v desítkové soustavě. (a) 30124 (b) 70015 (c) 11001a (d) AB012 (e) 70D15 Výsledky: a) 198i0; b) 876i0; c) 25i0; d) 1572i0;, e) 1588i0. Převod z desítkové soustavy do soustavy o základu z ^ 10. U těchto převodů používáme tři metody, které si na následujících stranách vysvětlíme: • graficky (seskupováním); • postupné dělení základem; • dělení mocninami základu. I. Metoda grafická Grafická metoda je vhodná pro malá čísla uvádíme ji zejména pro objasnění podstaty převodu. Druhé dvě metody samozřejmě dávají stejné výsledky a jsou rovnocenné. Tip: Pokud vám výrazně více vyhovuje jedna z metod (postupné dělení základem a dělení mocninami základu) než ta druhá, soustřeďte se na plné pochopení této metody a pak teprve se snažte proniknout do té druhé. Příklad 7 Zapište číslo a = 16io v soustavě o základu z = 3. Řešení: Zakreslíme 16 stejných symbolů (např. koleček) do nejvýše tří řádků (hledáme vyjádření čísla v soustavě o základu z = 3). Počet symbolů v neúplném sloupečku označuje číslici řádu jednotek (nultého řádu) pro zápis daného čísla ve trojkové soustavě. Pokud jsou všechny sloupečky úplné, je na posledním místě číslice 0. V dalším kroku zjistíme, kolik „trojic trojic" můžeme najít, neboli kolik trojici sloupečků po třech symbolech v obrazci je. Počet sloupců (trojic) nezahrnutých v žádné „trojici trojic" označuje číslici prvního řádu (tj. řádu trojic). V následujících krocích opět seskupujeme vzniklé útvary do trojic, tedy v jednom takovém útvaru bude 27 symbolů. Počet „trojic trojic" udává číslici druhého řádu (tj. řád devítek). Takto bychom mohli pokračovat dál, dokud by bylo možné vytvářet trojice. vloz obrázek grafické metody 14 V našem případě tedy dostáváme 1 • 32 + 2 ■ 31 + 1 ■ 3° = I2I3 Příklad 8 Zapište číslo a v soustavě o základu z, využijte grafickou metodu. (a) a = Uw,z = 2 (b) a = 31i0,z = 4 (c) o = 17io,z = 12 Výsledky: a) 11102, b] 1334, c) 15i2. Než si ukážeme další metody, připomeňme, že ze základní školy víme, že ze zápisu čísla v desítkové soustavě poznáme, čím je dané číslo dělitelné. Poznáme tak dělitelnost deseti, stem, dvěma, pěti, ale také třemi nebo devíti. Tato pravidla si zopakujeme v poslední části tohoto textu, v kapitole nazvané Dělitelnost. Tato pravidla se nedají vždy jednoduše převést do soustav o jiném základě. Podíváte-li se na to, jak jdou po sobě čísla v trojkové soustavě, můžete si všimnout, že některá sudá čísla mají při zápisu v trojkové soustavě na posledním místě lichou číslici a naopak. Například číslo 5 je liché, ale jeho ciferný zápis v trojkové soustavě 123 končí číslicí 2. 7 je liché a jeho zápis v trojkové soustavě 2I3 končí číslicí 1. Sudost a lichost je vlastnost čísla: sudá čísla jsou obdélníková, lichá nikoliv. Pravidlo, že poslední číslice sudého čísla je sudá, platí však pouze v soustavách se sudým základem. VLOŽ OBRÁZEK FIGURÁLNÍ ČÍSLA Co znamená nula na konci? Číslo dělitelné deseti poznáme v desítkové soustavě tak, že má na posledním místě nulu. Podobně číslo dělitelné osmi zapsané v soustavě o základu osm poznáme tak, že na místě jednotek má nulu. II. Metoda postupného dělení základem začíná tím, že číslo, které převádíme, vydělíme novým základem. Zbytek po tomto dělení určuje počet jednotek daného základu. Například převádíme-li číslo 5 z desítkové soustavy do trojkové, při prvním dělení 5:3 = 1 dostáváme: zbytek 2. Poslední číslicí čísla pět v trojkové soustavě je tedy 2. V dalším kroku dělíme výsledek dělení (v našem případě 1) novým základem. Tedy 1:3 = 0 zbytek 1. Další číslicí zprava je tedy číslice 3. Tento krok odpovídá seskupováním trojic po třech: v čísle pět je trojice jen jedna, takže žádnou trojici trojic nelze vytvořit. Tím převod čísla 5 do trojkové soustavy končí. Obecně vidíme, že jakmile je výsledkem dělení číslo nula, metoda postupného dělení základem končí. Při opakování postupu bychom totiž dostali už jedině podíl nula a zbytek nula. Zbývá vysvětlit, odkud a proč vyčteme zápis čísla v soustavě s novým základem. Z výkladu o grafické metodě lze odvodit, že výsledný zápis tvoří číslice označující jednotlivé zbytky po dělení, a to tak, že zbytek po prvním dělení určuje první číslici vpravo a další zbytky postupně další číslice v řadě, tedy zprava doleva. 15 Příklad 9 Zapište číslo a = 19(10) v soustavě o základu z = 3. Řešení: Dělíme zadané číslo základem a zapíšeme zbytek. Následně dělíme výsledky předchozího dělení základem a zapisujeme zbytky tak dlouho, až dostaneme podíl 0: 19 : 3 = 6, zbytek 1 6:3 = 2, zbytek 0 2:3 = 0, zbytek 2 Výsledek získáme jako zápis zbytků od konce, tedy 19i0 = 2OI3. Příklad 10 Zapište číslo a v soustavě o základu z, využijte metodu postupného dělení základem (a) a = 102io,z = 8 (b) a = 12 477io,z = 16 (c) a = 197io,z = 12 Výsledky: a) 1468; b) 3 0BD16; c) U512 III. Metoda dělení mocninami základu Příklad 11 Zapište číslo a = 17iov soustavě o základu z = 3. Řešení: Dělíme postupně mocninami nového základu (snižujeme exponent), až dostaneme zbytek 0. Mocniny základu 3 jsou následující: 3° = 1 31 = 3 32 = 9 33 = 27 atd. Nejvyšší vhodná mocnina základu je druhá (hodnota 27 se do čísla 17 neve-jde): 17 : 32 = 1 zb. 8 8 : 31 = 2 zb. 2 2 : 3° = 2 zb. 0 Z výpočtu je vidět, že můžeme psát: 17 = 1 • 32 + 2 • 31 + 2 • 3° = 1223 Příklad 12 Zapište číslo a v soustavě o základu z, využijte metodu dělení mocninami základu. • a = 9io, z = 2 • b = 561io, z = 4 • c = 280io,z = 12 Výsledky: a = 10012, b = 203014, c = IBA12 16 Převod z nedesítkové soustavy do jiné nedesítkové soustavy Tento převod je nejobtížnější, neboť ho ve většině případů nemůžeme provést přímo. Zpravidla musíme využít nepřímý převod, což je vlasntě kombinace dvou převodů: nejprve provedeme převod z původní nedesítkové soustavy (se základem z 10) do desítkové soustavy a poté převod čísla z desítkové soustavy do cílové nedesítkové soustavy (se základem z' ^ 10). Dále se tomuto typu příkladů nebudeme příliš věnovat, neboť se jedná pouze o využití postupů pro převod z nedesítkové do desítkové soustavy (provedeme rozepsáním) a z desítkové do nedesítkové (metodou postupného dělení základem nebo metodou dělení mocninami základu). Výše uvedený postup si můžeme zkrátit v případech, kdy je jeden základ nějakou mocninou toho druhého, což lze symbolicky zapsat jako z' = zn (pro přípda, kdy je nový základ mocninou původního) nebo z = (z')n (pro případ, kdy je původní základ mocninou nového). V takových případech s výhodou provádíme přímý převod mezi soustavami. Myšlenku přímého převodu si osvětlíme na příkladu převodu z dvojkové do čtyřkové soustavy. Spočívá především v uvědomění si, že pro zápis libovolné cifry ve čtyřkové soustavě potřebujeme nejvýše dvakrát tolik cifer dvojkové soustavy. Pokud před příslušné cifry doplníme nuly podle potřeby, budeme pro každou cifru zápisu ve čtyřkové soustavě potřebovat právě dvě cifry dvojkové soustavy. V následujících příkladech převeďte dané číslo zapsané v soustavě o základu z do soustavy o základu z'. Příklad 13 (Převod z dvojkové soustavy do čtyřkové) a = 110001IO2 a nechť nový základ z' = 4, tedy z' = z2 Protože nový základ je druhá mocnina původního základu, rozdělíme původní zápis čísla od konce na skupiny po dvou cifrách. Počet skupin cifer určuje počet cifer v zápisu čísla ve čtyřkové soustavě. a = IIOOOIIO2 IIOOOIIO2 = 112 = l-27 + l-26 + 0-25 + 0-24 + 0-23 + l-22 + l-21+0-20 = = (2 + 1) • 43 + (0 + 0) • 42 + (0 + 1) • 41 + (2 + 0) • 4° = 30124 Podívejme se, jaké cifry ve čtyřkové soustavě odpovídají dvojicím cifer dvojkové soustavy: 102 = 1 • 21 + 0 • 2° = 24 012 = 0 • 21 + 1 • 2° = 14 002 = 0 • 21 + 0 • 2° = 04 ll2 = l-21 + l-2° = 34 Dohromady vypadá zápis takto: 110001IO2 = 30124 Provedeme zkoušku: 110001102 = l-27 + l-26 + 0-25 + 0-24 + 0-23 + l-22 + 1 • 21 + 0 • 2° == 26 • (1 • 2 + 1) + 24 • (0 • 2 + 0) + 22(0 • 2 + 1) + 2°(1 • 2 + 0) == 3 . 43 _|_ o . 42 + 1 • 41 + 2 • 4° = 30124 Příklad 14 (Převod ze soustavy osmičkové do dvojkové) b = 16358 a nechť nový základ z' = 2, tedy z = z'3 Postupujeme způsobem v jistém smyslu opačným než v předchozím příkladu. Nyní využijeme toho, že každá z cifer v osmičkové soustavě odpovídá třem (osmička je třetí mocnina dvojky) cifrám ve dvojkové soustavě. 5 = 1 • 22 + 0 • 21 + 1 • 2° 3 = 0 • 22 + 1 ■ 21 + 1 ■ 2° 6 = 1 • 22 + 1 ■ 21 + 0 ■ 2° 1 = 0 • 22 + 0 • 21 + 1 ■ 2° Nuly na začátku čísla nemá smysl psát, získáváme výsledek: 1635g = IIIOOIIIOI2 17 Příklad 15 Převeďte číslo a zapsané v soustavě o základu z do soustavy o základu z': (a) a = IIOIOIIO2, z' = 8 (b) b = 23114, z' = 2 Výsledky: (a) 3268); (b) 101101012 Příklad 16 Vytvořte si tabulku prvních dvaceti čísel v číselných soustavách o základech 2, 3, 4 a 12. Příklad 17 Dvojciferné číslo zapsané v desítkové soustavě má ciferný součet rovný číslu 9. Jestliže spolu číslice zaměníme, dostaneme nové číslo, které je o 45 větší než původní. Určete původní číslo. Výsledek: 27 Příklad 18 Které dvojciferné číslo zapsané v desítkové soustavě se po vzájemné výměně cifer zvětší o 37? Odpověď: Takové číslo neexistuje. Příklad 19 Vypočítejte základ z číselné soustavy, platí-li 243z = 99i0. Řešení: Nejprve si rozepíšeme číslo 243^, následně vyřešíme vzniklou kvadratickou rovnici v desítkové soustavě: 2432 = 2 ■ z2 + 4 ■ z1 + 3 • z° 2 • z2 + 4 • z1 + 3 • z° = 99 2-z2+4-z-96 = 0 z2 + 2 • z - 48 = 0 _ _ -b±y/V*-4ac „ _ -2±V4-4-48 _ 117 Jak je vidět, kořeny vychází z\ = 6, z2 = —8. Protože základ číselné soustavy musí být kladný, existuje jediné řešení, a to z = 6. Zkusme ověřit: 2436 = 2 ■ 62 + 4 ■ 61 + 3 ■ 6° = 99. Příklad 20 Vypočítejte základ z číselné soustavy. (a) 21, = 9i0 (b) 120* = 35i0 (c) 222z = 42i0 Výsledky: (a) 4, (b) 5, (c) 4. 3.2.1 Početní výkony v číselných soustavách Než začneme s početními výkony, zopakujte si, jak jdou za sebou čísla v různých číselných soustavách. Pomoci Vám může tabulka počítání po jedné v pozičních soustavách o různých základech. VLOŽIT TABULKU Určení předchůdce a následovníka Když se malé děti učí počítat, brzy si osvojí, že po 9 následuje 10, po 19 následuje 20, po 99 následuje 100 a po 999 následuje 1000. Často se naučí také počítat pozpátku a vědí, že číslu 100 předchází číslo 99 a podobně. Podobně postupujeme v nedesítkových soustavách: při hledání následovníka číslo o jedničku zvětšujeme, při hledání předchůdce o jedničku zmenšujeme. Problém nastává tehdy, je-li poslední číslice rovna 0 (při hledání předchůdce) nebo z — 1 (při hledání následovníka). 18 Příklad 1: Určete předchůdce a následovníka čísla v dané číselné soustavě, pro číslo 99i0 je předchůdcem číslo 98i0 a následovníkem číslo IOOiO V sedmičkové soustavě má číslo I667 = 1 • 72 + 6 • 71 + 6 • 7° předchůdce 1657 a následovníka 2OO7 • 332034 • 11001012 • 7778 • ABOO16 Výsledky: c) p: 332024, n: 332104 d) p: 11001002, n : 11001102 e) p: 7768, n: 10008 f) p: AAFF16, n: ABOI16 Sčítání Sčítání je operace, jejímž výsledkem je součetl. Čísla, která do operace vstupují, nazýváme sčítance. Mezi sčítanci nerozlišujeme, neboť záměnou sčítanců se výsledek nezmění; zpravidla jse však jednodušší přičítat menší číslo k většímu. Sčítání v desítkové soustavě provádějí žáci již od prvního ročníku základní školy. Ve třetím ročníku základní školy se mohou seznámit se způsobem, jak sčítat efektivně velká čísla. Říkáme mu písemné sčítání. Postupujeme při něm zprava doleva, tedy od číslic označujících jednotky k číslicím označujícím vyšší řády. Pokud součet číslic sčítanců v řádu jednotek nepřesáhne devět, je tento výsledek přímo číslicí výsledku na pozici jednotek. Pokud je součet těchto číslic mezi 10 a 18 (včetně; rozmyslete si, že součet dvou cifer nemůže dát výsledek větší než 18), je v součtu na místě jednotek odpovídající počet jednotek, přičemž desítka ze součtu jednotek se převádí do řádu desítek tak, že k součtu číslic na místě desítek přičteme jedničku. Analogicky postupujeme v dalších řádech. Příklad 3: Sečtěte písemně. 52748 + 7568 4257 + 5627 BDFXQ + BCA16 A1B216 + F3£4i6 Výsledky: a) 62528, b) 13207, c) 17,49i6, d) 19596i6. Odčítání Odčítání je operace, jejímž výsledkem je rozdíl. Čísla, která do operace vstupují, nabýváme menšenec (tj. číslo, od něhož odčítáme) a menšítel (tj. číslo, které odčítáme. Odčítání v desítkové soustavě provádějí žáci již od prvního ročníku základní školy. Ve třetím ročníku základní školy se mohou seznámit se způsobem, jak odečítat efektivně velká čísla. Říkáme mu písemné odčítání. Během něho odečítáme nejprve jednotky od jednotek. Postup je jednoduchý, jsou-li všechny cifry (číslice) menšence větší nebo rovny cifrám (číslicím) menšitele na odpovídajících místech. Není-li tomu tak, postupujeme tak, že si „vypůjčíme" u menšence jednu 19 jednotku vyššího řádu, kterou v následujícím kroku „vrátíme" (buď zvýšením příslušné cifry u menšitele, a nebo snížením příslušné cifry u menšence). Opakování: odečtěte písemně v desítkové soustavě:. 754 - 235 3482 - 543 3497 - 1088 2876 - 987 Výsledky si zkontrolujte na kalkulačce. Příklad 5: Odečtěte pod sebou. 3547 - 1357 34126 - 5436 341216 - 54316 A1B212 - SAA12 Výsledky: a) 2167, b) 24256, c) 2íľCFi6, d) 9A04i2. Násobení Násobení je operace, jejímž výsledkem je součin. Čísla, která do operace vstupují, nazýváme činitelé. Nerozlišujeme mezi nimi, neboť násobení čísel je komutativní operace, avšak při písemném násobení, které si za chvíli představíme, je lepší, je-li v pořadí druhý činitel menší. Malou násobilku se žáci učí nejpozději ve třetí třídě základní školy. Po zvládnutí písemného sčítání a odčítání a malé násobilky mohou začít také písemně násobit. Písemné násobení je náročnější než sčítání a odčítání. Začněme násobením jednociferným číslem: tímto číslem vynásobíme zprava, tedy od řádu jednotek, po řadě všechny číslice druhého činitele. Pokud je výsledek násobení menší nebo roven devíti, napíšeme tuto číslici jako součást výsledku; pokud je tento výsledek mezi 10 a 81 (= 9 ■ 9), zapíšeme pouze jednotky a číslici, která je na místě desítek, přičteme k výsledku násobení s následující číslicí. Pokud je druhý činitel dvouciferný, provedeme výše popsanou operaci nejprve s číslicí označující jednotky a poté s číslicí označující desítky, přičemž výsledky násobení číslicí označující desítky píšeme zprava doleva tak, že první výsledek napíšeme pod místo desítek čísla, kterým násobíme. Oba výsledky sečteme. Analogicky postupujeme v případě, že je druhý činitel trojciferný a víceciferný. Stejným způsobem počítáme i v číselných soustavách s jiným základem. Opakování: Vynásobte písemně čísla v desítkové soustavě: 754-3 3482 • 21 3497 • 53 2876 • 251 Výsledky si zkontrolujte na kalkulačce. Příklad 6: Vynásobte. 3258 • 58 1248 • 78 16368•218 2A416 ■ 8ie Příklad 7: Vynásobte. IOOIOI2■IOII2 32046 ■ 5136 20 92i2 ■ 35i2 106i2 ■ 48i2 Výsledky: a)1100101112, b) 25333006, c) 273^2, d) 4A88i2. Dělení Délení je operace, jejímž výsledkem je podíl. Čísla, která do operace vstupují, nazýváme dělenec (číslo, které dělíme) a dělitel (číslo, kterým dělíme). Aby žáci mohli začít dělit, potřebují znát (malou) násobilku tak trochu „z druhé strany", neboť potřebují odhadnout, kolikrát se přibližně dělitel „vejde" do dělence. Často se navíc budeme v příkladech setkávat s dělením se zbytkem, např. 16 : 3 = 5, zbytek po dělení je 1. V případě, že se dělitel nevjde do dělence beze zbytku, mluvíme o výsledku jako o neúplném podílu a o operacit jako o dělení se zbytkem. Písemné dělení je nesrovnatelně náročnější než písemné násobení, a to zejména proto, že u dělení musíme vždy provádět odhad (kolikrát se dělitel vejde do dělence), který poté (v případě, že jsme se spletli) korigujeme. U žádné z předchozích operací (sčítání, odčítání a násobení) jsme žádné korekce neprováděli, neboť to nebylo nutné; u dělení je zkouška nezbytná. Opakování: vydělte v desítkové soustavě: 13249 : 9 = 1472, zbytek 1 Stejným způsobem počítáme i v číselných soustavách s jiným základem. Příklad 8: Vydělte. Zkouška: Příklad 7: Vydělte. 10023 : 2 32046 : 4 4B06i2 : 7 WAtf : 9 Výsledky: a) 1123 (zb. 1), b) 5016, c) 852i2 (zb. 4), d) 15i2 (zb. 1). 3.2.2 Cvičení: operace v číselných soustavách Příklad 8: Vypočítejte. 5340426 + 3434456 IOIIOII2 - IIOOI2 42IIO5 - 21035 23304 - 1034 5340426 - 3434456 IOIIOII2 • HOOI2 23304 • 1034 421105 • 21035 45046 • 1216 212OII3 • 23 23304 : 34 404325 : 35 123450136 : 56 Pro legraci: https://www.youtube.com/watch?v=UIKGV2cTgqA 21