M. Vaňurová, J. Beránek, K. Matoušková
Katedra matematiky Pedagogická fakulta Masarykovy univerzity v Brně
KONSTRUKCE OBORU INTEGRITY (C, +, . )
Na kartézském součinu NxN definujeme binární relaci ~ (tzv.„ekvivalenci uspořádaných
dvojic přirozených čísel“):
[a,b] ~ [c,d]  a + d = b + c
Tato relace je reflexivní, symetrická a tranzitivní na množině NxN (dokažte).
Je tedy relací ekvivalence na NxN a vytváří rozklad množiny NxN na třídy navzájem
ekvivalentních dvojic přirozených čísel.
Rozklad množiny NxN vytvořený relací ~ nazýváme množinou všech celých čísel, ozn. C.
Třídy rozkladu nazýváme celá čísla.
Poznámka:
Celá čísla, tj. třídy rozkladu NxN, budeme označovat velkými tiskacími písmeny A, B, ...,
nebo pomocí kterékoli dvojice, která do této třídy patří:
Např. A =  
•
2,1 = {[0,1], [1,2], [2,3], .... , [10,11], ......} =  
•
1,0 = ...
Můžeme též psát [1,2]  A
Sčítání a násobení celých čísel:
Nechť celá čísla A, B jsou reprezentována uspořádanými dvojicemi [a,b], [c,d], tj.
A =  
•
ba, a B =  
•
dc, . Pak
A + B =  
•
ba, +  
•
dc, =  
•
++ dbca ,
A ∙ B =  
•
ba, ∙  
•
dc, =  
•
++ bcadbdac ,
Součet ani součin celých čísel nezávisí na volbě reprezentantů.
Algebraická struktura (C, +, ∙) je obor integrity s jednotkovým prvkem.
Vlastnosti (C, + , ∙ ) :
+ : ND, A, K, ZR, EN, EI
∙ : ND, A, K, EN
∙ D +
neexistují vlastní dělitelé nulového prvku
Nulový prvek: O =  
•
xx, =  
•
0,0 = {[0,0], [1,1], [2,2], .... }
Jednotkový prvek: J =  
•
+ xx ,1 =  
•
0,1 = {[1,0], [2,1], [3,2], ..... }
Opačné číslo k celému číslu A =  
•
ba, : -A =  
•
ab,
Rozdíl A – B dvou celých čísel A, B je celé číslo X, pro které platí A = B + X.
Je-li A =  
•
ba, , B =  
•
dc, , je X =  
•
++ cbda , .
M. Vaňurová, J. Beránek, K. Matoušková
Katedra matematiky Pedagogická fakulta Masarykovy univerzity v Brně