1 5.1.6 Vzájemná poloha dvou přímek Předpoklady: 050105 Planimetrie: dvě možností pro vzájemnou polohu přímek • různoběžky – právě jeden společný bod (různý směr) • rovnoběžky – žádný společný bod (stejný směr) Př. 1: Najdi všechny možné vzájemné polohy přímek v prostoru a modeluj je pomocí tužek. Možnosti vzájemné polohy dvou přímek v prostoru: • různoběžky – právě jeden společný bod (různý směr, určují rovinu) • rovnoběžky – žádný společný bod (stejný směr, určují rovinu) • mimoběžky – žádný společný bod (různý směr, neurčují rovinu, tato možnost nemůže nastav v rovině) Určit vzájemnou polohu přímek, které si můžeme prohlédnout z více stran není těžké, horší je, pokud máme k dispozici pouze rovnoběžný průmět Pedagogická poznámka: U všech následujících příkladů by se studenti měli snažit určit polohu přímek nejdříve pouze z obrázku, pak nakreslením obrázku při pohledu z jiné strany a teprve jako definitivní potvrzení nebo poslední záchranu by měli používat krychličky. Př. 2: Je dána standardní krychle ABCDEFGH. Urči vzájemnou polohu přímek: a) AB, CG b) CGAS , BD c) AB, BC CDS S d) BC, AE DHS S e) EC, BH a) AB, CG A B CD E F GH Zdá se, že přímky AB a CG jsou různoběžné, ale jejich „průsečík“ na průmětně je pouze zdánlivý: • přímka AB leží v přední stěně, • přímka CG leží v zadní stěně, ⇒ nikdy se nemohou protnout ⇒ přímky AB a CG jsou mimoběžné, což snadno uvidíme na pohledu z boku. 2 A B C D E F G H b) CGAS , BD A B CD E F GH SCG Zdá se, že přímky BD a CGAS jsou různoběžné, ale jejich „průsečík“ na průmětně je pouze zdánlivý: • přímka BD leží v dolní podstavě, • přímka CGAS se s dolní podstavou protíná pouze v bodě A, ⇒ nikdy se nemohou protnout ⇒ přímky BD a CGAS jsou mimoběžné, což snadno uvidíme na pohledu z boku. A B C D E F G H SCG c) AB, BC CDS S A B CD E F GH SBC SCD Zdá se, že přímky BD a CGAS jsou různoběžné, jejich průsečík existuje i ve skutečnosti: • přímka AB leží v dolní podstavě, • přímka BC CDS S leží v dolní podstavě, ⇒ musí se protnout ⇒ přímky AB a BC CDS S jsou různoběžné, což snadno uvidíme na pohledu z boku. 3 A B C D E F G H SBC SCD d) BC, AE DHS S A B CD E F GH SAE SDH Zdá se, že přímky BC a AE DHS S jsou rovnoběžné: • přímka BC je kolmá na přední stěnu, • přímka AE DHS S je kolmá na přední stěnu, ⇒ mají stejný směr ⇒ přímky BC a AE DHS S jsou rovnoběžné, což snadno uvidíme na pohledu z boku. A B C D E F G H SAE SDH e) EC, BH A B CD E F GH Zdá se, že přímky EC a BH jsou různoběžné. Jak se přesvědčíme, že průsečík opravdu existuje? • Přímka EH je kolmá k přední stěně, • přímka BC je kolmá k přední stěně, ⇒ přímky EH a BC jsou rovnoběžné ⇒ body B, C, E, H leží v jedné rovině ⇒ přímky EC a BH leží v jedné rovně ⇒ jsou různoběžné, což potvrzuje i pohled z boku. 4 A B C D E F G H Pedagogická poznámka: U předchozího příkladu studenti při samotném rozeznávání samozřejmě postupují značně rozdílnými rychlostmi. Ty rychlejší můžete brzdit tím, že po nich budete chtít nejen rozhodnout vzájemnou polohu, ale i podrobně zdůvodnit výsledek způsobem používaným v učebnici. U slabších studentů bude stačit, když budou schopni vzájemné polohy rozlišit. Stejně jako v rovině i v prostoru platí: Daným bodem lze vést k dané přímce jedinou rovnoběžku. Př. 3: Doplň větu: „Jsou dány tři přímky p, q, r. Je-li p q a q r , pak platí …. Jsou dány tři přímky p, q, r. Je-li p q a q r , pak platí p r . V matematice říkáme, že rovnoběžnost přímek je tranzitivní (přenáší se). Př. 4: S využitím tranzitivnosti dokaž, že ve standardní krychli platí AE CG AB BCS S S S . SAB SBC SCG SAE A B CD E F GH Do obrázku si můžeme přikreslit přímku AC. SAB SBC SCG SAE A B CD E F GH Je vidět: 5 SCGSAE A C E G Přímka AC je rovnoběžná s přímkou AE CGS S (spojuje středy protilehlých stran a dělí obdélník ACGE na dvě poloviny). SAB SBC A B CD Přímka AC je rovnoběžná s přímkou AB BCS S (spojuje středy sousedních stran ve čtverci ABCD a je tedy rovnoběžná s jeho úhlopříčkou). ⇒ Přímky AE CGS S a AB BCS S jsou rovnoběžné. Poznámka: Příklad je ukázkou důležitého přístupu ve stereometrii. Příklad rozdělíme na části, které řešíme v jednotlivých rovinách. Práce v rovinách nám jednak umožňuje používat obrázky nezkreslené promítáním a jednak je daleko snazší pro utváření představ. Dodatek: Předchozí příklad představuje také řešení příkladu 9 z minulé hodiny. Když víme, že přímky AE CGS S a AB BCS S jsou rovnoběžné, víme, že tyto přímky určují rovinu a body AES , ABS , BCS , CGS v této rovině leží. A B CD E F GH 6 Př. 5: Urči vzájemnou polohu přímek p, q na obrázcích. a) A B CD E F GH p q b) A B CD E F GH p q a) A B CD E F GH p q • Přímka p leží v levé boční stěně ⇒ její průsečík s přímkou DH je skutečný bod. • Přímka q leží v zadní stěně ⇒ její průsečík s přímkou DH je skutečný bod. ⇒ Obě přímky se s přímkou DH protínají a oba tyto průsečíky splývají v jeden bod ⇒ přímky se s přímkou DH protínají ve stejném bodě ⇒ přímky p a q mají společný bod (společný průsečík s přímkou DH) ⇒ přímky p, q jsou různoběžné. b) A B CD E F GH p q • Přímka p leží v levé boční stěně ⇒ její průsečík s přímkou DH je skutečný bod. • Přímka q leží v pravé boční stěně ⇒ nemá průsečík s přímkou DH. ⇒ Obě přímky leží ve dvou různých navzájem rovnoběžných rovinách ⇒ nemohou mít průsečík ⇒ přímky p, q jsou mimoběžné. 7 Pedagogická poznámka: V bodě a) předchozího příkladu se objevuje argumentace, že body, kterými prochází přímky p, q nejsou středy stran a proto se přímky p, q nemohou protnou. Skutečnost, že přímky neprocházejí středy hran, neznamená, že se nemohou protnou. Důležité je, že se protínají s hranou DH a že tyto dva průsečíky splývají (a představují tedy společný bod). Př. 6: Urči vzájemnou polohu přímek p, q na obrázcích (průměty, které se zdají být rovnoběžné, jsou rovnoběžné). a) A B CD E F GH p q b) A B CD E F GH p q a) A B CD E F GH p q • Přímka p leží v zadní stěně, je svislá. • Přímka q prochází zadní stěnou (bod na hraně HG) i přední stěnou (bod na hraně AB) v zadní stěně ⇒ není svislá. ⇒ Přímky p, q mají různý směr, neprotínají se ⇒ přímky p, q jsou mimoběžné. b) A B CD E F GH p p’ q K přímce p můžeme najít v rovině podstavy přímku p′, která je s ní rovnoběžná a je rovnoběžná s přímkou q ⇒ přímky p, q jsou rovnoběžné. 8 Pedagogická poznámka:Předchozí látka je na jednu hodinu příliš krátká (zabere tak 35 minut). Zbytek hodiny je možné využít na následující příklad, který by spíše patřil do úvodní stereometrické hodiny. Př. 7: Skleněná krychle je ozdobena lomenou čarou z červeného drátu. Drát může být natažen jak po stěnách tak vnitřkem krychle. Zakresli drát do volného rovnoběžného průmětu krychle na základě pohledu zepředu, shora a z pravého boku. zepředu A shora A zprava A zepředu A shora A zprava A zepředu A shora A zprava A zepředu A shora A zprava A A zepředu A shora A zprava A A zepředu A shora A zprava A A 9 Př. 8: Petáková: strana 90/cvičení 1 a) b) c) d) strana 90/cvičení 5 a) Shrnutí: Ve stereometrii není všechno tak, jak se na první pohled z obrázku zdá.