Algebraické struktury se dvěma operacemi
(M, ©, O)
©-sčítání, EN - nulový prvek (0), ä = - a opačný prvek k prvku a
O-násobení, EN - jednotkový prvek (1), a = a"x =- převrácený prvek k prvku a
Polookruh (komutativní) © ND a A a K
O ND a A (a K) OD©
Okruh (komutativní)   © ND a A a K a EN a El a ZR
O ND a A (a K) OD©
(M, 0, ©) ^—Obor integrity - komutativní okruh, ve kterém neexistují vlastní dělitelé nulového prvku (a ž 0, b ř* 0, a O b = 0)
Těleso (komutativní) © ND a A a K a EN a El a ZR
O ND a A (a K) OD©
(M - {0}, O) je grupa, tj. operace O má na množině M - {0} vlastnosti ND a A a EN a El a ZR
Příklady:
(N, +, •) komutativní polookruh s oběma neutrálními prvky, který není okruhem
(Z, +, •) obor integrity, není tělesem
(Q, +, •), (R, +> 0 komutativní tělesa, obory integrity
(M, ©, O) polookruh; existuje-li prvek x takový, že a = Z? © x = x(&b, pak x se
nazývá rozdíl prvků a, b, píšeme x — a Ob; existuje-li prvek x takový, žea = bOx = xQb, pak x se
nazývá podíl prvků a, b, píšeme x = a ® b .
Okruh (M, ©, O) x = a Q b definujeme jako x = a © (-b)
1
Těleso (M, ©, O) x=a ® b definujeme jako x= a Q ~ = a O b~l, 0
b
Populárně lze charakterizovat typy struktur se dvěma operacemi následujícím způsobem. Je nutné si pouze uvědomit, že názvy operací sčítání, odčítání, násobení a dělení mají u těchto struktur obecnější význam než ten, který známe ze školské matematiky.
Polookruh je struktura se dvěma operacemi, ve které lze neomezeně sčítat a násobit, nelze neomezeně odčítat ani dělit.
Okruh je struktura se dvěma operacemi, ve které lze neomezeně sčítat, odčítat a násobit, nelze neomezeně dělit.
Těleso je struktura se dvěma operacemi, ve které lze neomezeně sčítat, odčítat, násobit a dělit (kromě dělení nulou).
Obor integrity je okruh bez „dělitelů nuly". Připomeňme, že „dělitelé nuly" neexistují v žádném číselném oboru (N, Z, Q, R, C).