Základy matematiky - prověrka (b)    25.11.2021 - verze 01
potřebujete získat 10 bodů z 20
1. a) (2 hody) Relace r na množině M není symetrická, jestliže ... (dokončete definici bez českých slov, a to elementárně, nestačí umístit znak negace před definici symetrie).
2. a)   (2 body) Je dána. množina M = {a, b, c, d] a relace ekvivalence
E = {[a, a], [b, 6], [c, c], [d. d], [6, c], [c, 6], [c, eř], [d, c], [b, d], [d, b}}. Vyznačte či zapište rozklad množiny M určený ekvivalencí E. •
b)   (2 body) Jaké vlastnosti má relace dělitelnosti na množině Zl
3. a)   (2 body) P je uspořádaná množina, < relace uspořádání na P, M C P. Prvek a E P se nazývá supremum množiny M, jestliže ... (dokončete definici bez českých slov).
b)   (2 body) Pro P = {1, 2, 3,.... 13,14,15} nakreslete Hasseho diagram relace dělitelnosti na P a vypište všechny maximální prvky v P.
4. a)   (2 body) Dokončete následující dvě definice bez českých slov: / je prosté zobrazení X do Y. když ... - Definiční obor zobrazení / z X do Y D f := ...
b)   (2 body) Pomocí obrázku uveďte příklad zobrazení X do Y, které je prosté, ale není surjekcí.
5. a)   (2 body) Určete vlastnosti relace t = {[x: y] G N x N : x + y = 12}.
b)   (2 body) Vyšrafujte v kartézském grafu průnik p n r relací p a r, kde
b) (2 body) Zjistěte vlastnosti relace s:
ľ    i,''://://-     f.r    3r' • i}.
{[:r;?/]ei?x7?:y<l-|}.
Základy matematiky - prověrka (b) - 25.11.2021 - verze 02
potřebujete získat 10 bodů z 20
1. a) (2 body) Relace r na množině M není antisymetrická, jestliže ... (dokončete definici bez českých slov, a to elementárně, nestačí umístit znak negace před definici antisymctrie).
2. a)   (2 body) Je dána množina M — {1,2,3, ...,16,17,18} a relace ekvivalence
E = {[x, y] G M x M : x dává při dělení číslem 7 stejný zbytek jako dává y}. Vyznačte či zapište rozklad množiny M určený ekvivalencí E.
b)   (2 body) Jaké vlastnosti má relace kolmosti na množině všech přímek v rovině?
3. a)   (2 body) P je uspořádaná množina, < relace uspořádání na P, M C P. Prvek a € P se nazývá infimum množiny M, jestliže ... (dokončete definici bez českých slov).
b)   (2 body) Pro A — {a, 6, c, d} nakreslete Hasseho diagram relace C na 2A a najděte supremum množiny
4. a)   (2 body) Dokončete následující dvě definice bez českých slov:
relace / mezi množinami X a Y je zobrazením z X do Y, když ... Obor hodnot zobrazení / z X do Y H f := ...
b)   (2 body) Zjistčte, zda relace p — {[o,p], \p,q], [r,q]} na množině M = {o.p.q.r} je 1) zobrazením, 2) prostým zobrazením.
5. a)   (2 body) Určete vlastnosti relace t = {[x: y] G R x R : y = 3;r + 1}.
b)   (2 body) Vyšrafujte v kartézském grafu průnik p n r relací p a r, kde
b) (2 body) Zjistěte vlastnosti relace s:
M ={{«.}, {aj>. c}, {a, c}}.
/>    {:•'•//.://> (•'•• 2)- • 2}.
Základy matematiky - prověrka (b)    2.12.2021 - verze 03
potřebujete získat 10 bodů z 20
1. a) (2 body) Relace r na množině M není tranzitivní, jestliže ... (dokončete definici bez českých slov, a to elementárně, nestačí umístit znak negace před definici tranzitivity).
2. a)   (2 body) Co je to ekvivalence na množině Ml
b)   (2 body) Zapište výčtem prvků (= jako množinu) ekvivalenci, která určuje rozklad {{p,q}, {r,s}}.
3. a)   (2 body) P je uspořádaná množina, < relace uspořádání na P, M C P. Prvek h e P se nazývá horní závora množiny M, jestliže ... (dokončete definici bez českých slov).
b)   (2 body) Pro Uveďte příklad relace uspořádání na množině P a takovou její podmnožinu M, že v M existují nesrovnatelné prvky a současně M má tři horní závory, z toho jedna z nich leží v M.
4. a)   (2 body)   ,/' je funkce, jestliže ... (při dokončení definice LZE použít česká slova) - Graf funce Gr(f) := ... (při dokončení definice NELZE použít česká slova)
b)   (2 body) Uveďte příklad zobrazení z X na Y, kde Df / Xa / není prosté.
5. a)   (2 body) Určete vlastnosti relace t = {[x; y] G Z x Z : \x\ — \y\}.
a
b) (2 body) Zjistěte vlastnosti relace fs:
b)   (2 body) Vyšrafujte v kartézském grafu průnik relací r n s n t, kde
r = {[x; y] 6 R x R : y < 2x}, s = {[.x; y] G R x R : y > f }, t = {[x; y] G R x R : x < 3}.
Základy matematiky    prověrka (b) - 2.12.2021 - verze 04
potřebujete získat 10 bodů z 20
1. a) (2 body) Relace r na množině M je symetrická, jestliže ... (dokončete definici bez českých slov).
b) (2 body) Může na dvouprvkové množině T = {a, b} existovat relace, která není tranzitivní? Pokuste se takovou najít.
2. a)   (2 body) Co je to rozklad množiny Ml
b)   (2 body) Zapište výčtem prvků (= jako množinu) ekvivalenci, která určuje rozklad {{1, 2, 3}, {4}, {5, 6}}.
3. a) (2 body) P je uspořádaná množina, < relace uspořádání na P, M C P. Prvek a £ M se nazývá minimální prvek množiny M, jestliže ... (dokončete definici bez českých slov, pokud možno bez symbolu /3).
b)   (2 body) P = {{1,2}, {1,2, 3}, {2, 3, 4}, {1,2, 4}, {1,3, 4}, {1,2, 3,4}, {1,3}, {2,3}}. Nakreslete Has-seho diagram množiny P vzhledem k relaci C a určete všechny minimální prvky množiny P.
4. a)   (2 body) - / je posloupnost, jestliže ... (při dokončení definice LZE použít česká slova) .....Uveďte příklad posloupnosti.
b)   (2 body) Je relace r = {[o,p], [p, g], [g,r]} na množině {o.p. q, r} 1) zobrazením? 2) prostým zobrazením? Zdůvodněte.
5. a)   (2 body) Uveďte příklad relace t na množině {1,2,3,4.5}, která je reflexivní, antisymetrická, tranzitivní a úplná.
b)   (2 body) Vyšrafujte v kartézském grafu průnik relací r DsDt, kde
r = {[x; y}e Rx R:y < x + 1}, s = {[x; y] e R x R : y< 1 - x}, t = {[x; y] € R x R : y > -1}.