MA0002 Diskrétní matematika — písemka Y
Každý příklad je hodnocen nejvýše tolika body, kolik je uvedeno v závorce.
Pro připuštění k ústní zkoušce je třeba získat nejméně 12 bodů.
Své myšlenkové postupy přiměřeně komentujte pomocí slov
(českého, slovenského nebo jiného) přirozeného jazyka.
1. [2 b.] (a) Kolika způsoby lze přeskládat písmena slova TIKTOK?
(b) V kolika případech z úlohy (a) nestojí “T” ani “K” vedle sebe?
2. [2 b.] Dokažte, že následující výraz je dělitelný 8 pro všechna n ∈ N:
4n2
+ 20n + 16
3. [2 b.] Určete a zdůvodněte, pro která n ∈ N je výraz 8n2
dělitelný 16.
4. [3 b.] Vypočtěte:
S = 25 + 5 + 1 +
1
5
+ . . . +
1
5n+1
+
1
5n+2
5. [2 b.] Vyřešte v oboru N rovnici:
(x + 2)!
x!
+
(x + 3)!
(x + 1)!
= −8
6. [2 b.] Najděte celčíselné kořeny polynomu
x4
− 7x3
− 7x2
+ 55x − 42
7. [3 b.] Ve sáčku je 12 kostiček, z nichž každá má jiný tvar, ale pouze
jednu ze dvou barev, červenou nebo modrou. Červených kostiček je 7,
modrých 5. Určete,
(a) Kolik různých pětic kuliček můžeme ze sáčku vytáhnout?
(b) Kolik pětic je takových, že v nich jsou nejméně dvě kostičky čer-
vené?
(c) Kolik pětic je takových, že v nich jsou nejméně tři kostičky červené
a nejméně jedna modrá?
8. [3 b.] Najděte největšího společného dělitele
(a) dvou čísel: 496 a 651;
(b) polynomů x5
+4x4
+4x3
−x2
−4x−4 a x4
+7x3
+16x2
+15x+9
9. [2 b.] Vymyslete slovní úlohu takovou, aby její výsledek byl
12
5
− 7 ·
5
4
.