MA0005 Algebra 2, 1. semináø
2. 10. 2024
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 1 / 16
Náplò cvièení
1 Determinant matice
Inverze v permutaci
Výpoèet determinantu matice øádu 2 a 3
Pøíklady na výpoèet determinantu
2 Cramerovo pravidlo
Literatura
Horák, P.: Cvièení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání.
Masarykova univerzita v Brnì, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
Petáková, J.: Matematika { pøíprava k maturitì a k pøijímacím
zkou¹kám na vysoké ¹koly. 1. vydání. Prometheus, 1998. ISBN
978-80-7196-099-7.
Dane¹ová, A.: Soustavy lineárních rovnic a jejich øe¹ení na rùzných
stupních ¹kol. Brno, 2022. Bakaláøská práce. Masarykova univerzita,
Pedagogická fakulta. Dostupné z: https://is.muni.cz/th/l01l3/.
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 2 / 16
Determinant
Mìjme ètvercovou matici M øádu n × n, kde n ∈ N.
Co je to determinant matice M?
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 3 / 16
Determinant
Mìjme ètvercovou matici M øádu n × n, kde n ∈ N.
Co je to determinant matice M?
Determinant
Determinant ètvercové matice M øádu n × n je èíslo, které je dáno vzorcem
|M| =
(j1,j2,...,jn)
(−1)N(j1,j2,...,jn)
· a1,j1
· a2,j2
· . . . · an,jn
kde (j1, j2, . . . , jn) je libovolná permutace sloupcových indexù z mno¾iny
{1, 2, . . . , n} a N(j1, j2, . . . , jn) je poèet inverzí v dané permutaci.
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 3 / 16
Determinant
Mìjme ètvercovou matici M øádu n × n, kde n ∈ N.
Co je to determinant matice M?
Determinant
Determinant ètvercové matice M øádu n × n je èíslo, které je dáno vzorcem
|M| =
(j1,j2,...,jn)
(−1)N(j1,j2,...,jn)
· a1,j1
· a2,j2
· . . . · an,jn
kde (j1, j2, . . . , jn) je libovolná permutace sloupcových indexù z mno¾iny
{1, 2, . . . , n} a N(j1, j2, . . . , jn) je poèet inverzí v dané permutaci.
Dùle¾ité otázky:
Co je to permutace koneèné mno¾iny {1, 2, . . . , n}?
Co je to inverze v dané permutaci?
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 3 / 16
Inverze v permutaci
Pøíklad: Mìjme matici
M =




a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44




Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 4 / 16
Inverze v permutaci
Pøíklad: Mìjme matici
M =




a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44




Vezmìme v ka¾dém øádku a ka¾dém sloupci matice M jeden prvek, napø.
a13, a24, a32, a41. Sloupcové indexy prvkù se prohodily dle permutace
p = (3, 4, 2, 1).
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 4 / 16
Inverze v permutaci
Pøíklad: Mìjme matici
M =




a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44




Vezmìme v ka¾dém øádku a ka¾dém sloupci matice M jeden prvek, napø.
a13, a24, a32, a41. Sloupcové indexy prvkù se prohodily dle permutace
p = (3, 4, 2, 1).
Inverze permutace
Inverze v permutaci p je dvojice prvkù a, b taková, ¾e a < b a zároveò
p(a) > p(b).
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 4 / 16
Inverze v permutaci
Pøíklad: Mìjme matici
M =




a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44




Vezmìme v ka¾dém øádku a ka¾dém sloupci matice M jeden prvek, napø.
a13, a24, a32, a41. Sloupcové indexy prvkù se prohodily dle permutace
p = (3, 4, 2, 1).
Inverze permutace
Inverze v permutaci p je dvojice prvkù a, b taková, ¾e a < b a zároveò
p(a) > p(b).
Kolik inverzí najdete v permutaci p = (3, 4, 2, 1)?
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 4 / 16
Inverze v permutaci
Pøíklad: Mìjme matici
M =




a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44




Vezmìme v ka¾dém øádku a ka¾dém sloupci matice M jeden prvek, napø.
a13, a24, a32, a41. Sloupcové indexy prvkù se prohodily dle permutace
p = (3, 4, 2, 1).
Inverze permutace
Inverze v permutaci p je dvojice prvkù a, b taková, ¾e a < b a zároveò
p(a) > p(b).
Kolik inverzí najdete v permutaci p = (3, 4, 2, 1)?
Celkem 5, napø. p(1) = 3 > 2 = p(3).
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 4 / 16
Geometrický význam inverze
Pøíklad: Mìjme matici
M =




a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44




Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 5 / 16
Geometrický význam inverze
Pøíklad: Mìjme matici
M =




a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44




Které prvky urèují hlavní diagonálu? A které vedlej¹í diagonálu?
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 5 / 16
Geometrický význam inverze
Pøíklad: Mìjme matici
M =




a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44




Které prvky urèují hlavní diagonálu? A které vedlej¹í diagonálu?
Vezmìme opìt v ka¾dém øádku a ka¾dém sloupci matice M jeden prvek,
znovu napø. a13, a24, a32, a41. Propojte tyto prvky èarou, ka¾dý s ka¾dým.
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 5 / 16
Geometrický význam inverze
Pøíklad: Mìjme matici
M =




a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44




Které prvky urèují hlavní diagonálu? A které vedlej¹í diagonálu?
Vezmìme opìt v ka¾dém øádku a ka¾dém sloupci matice M jeden prvek,
znovu napø. a13, a24, a32, a41. Propojte tyto prvky èarou, ka¾dý s ka¾dým.
Otázka: Kolik hran má sklon \pøíbuzný" s vedlej¹í diagonálou?
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 5 / 16
Pøíklad 4.2.B5
U¾itím pouze denice determinantu spoètìte:
(a)
a11 a12 a13 a14
a21 0 a23 0
0 0 a33 a34
a41 0 a43 0
(b)
a11 a12 a13 a14 a15
a21 a22 a23 a24 a25
a31 a32 0 0 0
a41 a42 0 0 0
a51 a52 0 0 0
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 6 / 16
Pøíklad 4.2.B5
U¾itím pouze denice determinantu spoètìte:
(a)
a11 a12 a13 a14
a21 0 a23 0
0 0 a33 a34
a41 0 a43 0
(b)
a11 a12 a13 a14 a15
a21 a22 a23 a24 a25
a31 a32 0 0 0
a41 a42 0 0 0
a51 a52 0 0 0
Výsledky: (a) a12 · a21 · a34 · a43 − a12 · a23 · a34 · a41,
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 6 / 16
Pøíklad 4.2.B5
U¾itím pouze denice determinantu spoètìte:
(a)
a11 a12 a13 a14
a21 0 a23 0
0 0 a33 a34
a41 0 a43 0
(b)
a11 a12 a13 a14 a15
a21 a22 a23 a24 a25
a31 a32 0 0 0
a41 a42 0 0 0
a51 a52 0 0 0
Výsledky: (a) a12 · a21 · a34 · a43 − a12 · a23 · a34 · a41, (b) 0.
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 6 / 16
Výpoèet determinantu matice øádu 2 a 3
Køí¾ové pravidlo: Determinant ètvercové matice (øádu 2)
A =
a11 a12
a21 a22
je roven èíslu a11 · a22 − a12 · a21
(tj. souèin prvkù na hlavní diagonále − souèin prvkù na vedlej¹í diagonále).
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 7 / 16
Výpoèet determinantu matice øádu 2 a 3
Køí¾ové pravidlo: Determinant ètvercové matice (øádu 2)
A =
a11 a12
a21 a22
je roven èíslu a11 · a22 − a12 · a21
(tj. souèin prvkù na hlavní diagonále − souèin prvkù na vedlej¹í diagonále).
Sarusovo pravidlo: slou¾í pro výpoèet determinantu matice øádu 3.
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 7 / 16
Výpoèet determinantu matice øádu 2 a 3
Køí¾ové pravidlo: Determinant ètvercové matice (øádu 2)
A =
a11 a12
a21 a22
je roven èíslu a11 · a22 − a12 · a21
(tj. souèin prvkù na hlavní diagonále − souèin prvkù na vedlej¹í diagonále).
Sarusovo pravidlo: slou¾í pro výpoèet determinantu matice øádu 3.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=
=
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 7 / 16
Výpoèet determinantu matice øádu 2 a 3
Køí¾ové pravidlo: Determinant ètvercové matice (øádu 2)
A =
a11 a12
a21 a22
je roven èíslu a11 · a22 − a12 · a21
(tj. souèin prvkù na hlavní diagonále − souèin prvkù na vedlej¹í diagonále).
Sarusovo pravidlo: slou¾í pro výpoèet determinantu matice øádu 3.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=
= a11a22a33+
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 7 / 16
Výpoèet determinantu matice øádu 2 a 3
Køí¾ové pravidlo: Determinant ètvercové matice (øádu 2)
A =
a11 a12
a21 a22
je roven èíslu a11 · a22 − a12 · a21
(tj. souèin prvkù na hlavní diagonále − souèin prvkù na vedlej¹í diagonále).
Sarusovo pravidlo: slou¾í pro výpoèet determinantu matice øádu 3.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=
= a11a22a33 + a13a21a32
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 7 / 16
Výpoèet determinantu matice øádu 2 a 3
Køí¾ové pravidlo: Determinant ètvercové matice (øádu 2)
A =
a11 a12
a21 a22
je roven èíslu a11 · a22 − a12 · a21
(tj. souèin prvkù na hlavní diagonále − souèin prvkù na vedlej¹í diagonále).
Sarusovo pravidlo: slou¾í pro výpoèet determinantu matice øádu 3.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=
= a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 7 / 16
Výpoèet determinantu matice øádu 2 a 3
Køí¾ové pravidlo: Determinant ètvercové matice (øádu 2)
A =
a11 a12
a21 a22
je roven èíslu a11 · a22 − a12 · a21
(tj. souèin prvkù na hlavní diagonále − souèin prvkù na vedlej¹í diagonále).
Sarusovo pravidlo: slou¾í pro výpoèet determinantu matice øádu 3.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=
= a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31 − a13a22a31
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 7 / 16
Výpoèet determinantu matice øádu 2 a 3
Køí¾ové pravidlo: Determinant ètvercové matice (øádu 2)
A =
a11 a12
a21 a22
je roven èíslu a11 · a22 − a12 · a21
(tj. souèin prvkù na hlavní diagonále − souèin prvkù na vedlej¹í diagonále).
Sarusovo pravidlo: slou¾í pro výpoèet determinantu matice øádu 3.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=
= a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31 − a13a22a31 − a11a23a32
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 7 / 16
Výpoèet determinantu matice øádu 2 a 3
Køí¾ové pravidlo: Determinant ètvercové matice (øádu 2)
A =
a11 a12
a21 a22
je roven èíslu a11 · a22 − a12 · a21
(tj. souèin prvkù na hlavní diagonále − souèin prvkù na vedlej¹í diagonále).
Sarusovo pravidlo: slou¾í pro výpoèet determinantu matice øádu 3.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=
= a11a22a33 + a13a21a32 + a12a23a31 − a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 7 / 16
Pøíklad 4.2.B7
Spoètìte determinant
(a)
3 −2 4
1 3 2
−2 −4 6
(b)
−2 1 −3
3 2 −1
−4 3 −1
(c)
4 −3 5
−3 2 −8
1 −7 −5
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 8 / 16
Pøíklad 4.2.B7
Spoètìte determinant
(a)
3 −2 4
1 3 2
−2 −4 6
(b)
−2 1 −3
3 2 −1
−4 3 −1
(c)
4 −3 5
−3 2 −8
1 −7 −5
Výsledky: (a) 106, (b) −46, (c) −100
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 8 / 16
Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 rovnic o 2 neznámých
Mìjme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých:
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 rovnic o 2 neznámých
Øe¹ení této soustavy lze vypoèítat takto:
x1 =
|A1|
|A|
, x2 =
|A2|
|A|
,
kde následující determinanty spoèítáme køí¾ovým pravidlem:
|A| =
a11 a12
a21 a22
|A1| =
b1 a12
b2 a22
|A2| =
a11 b1
a21 b2
Poznámka: Matici A koecientù promìnných nazýváme maticí systému.
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 9 / 16
Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých
Mìjme soustavu tøí rovnic o tøech neznámých:
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých
Øe¹ení této soustavy lze vypoèítat takto:
x1 =
|A1|
|A|
, x2 =
|A2|
|A|
, x3 =
|A3|
|A|
kde následující determinanty spoèítáme Sarusovým pravidlem:
|A1| =
b1 a12 a13
b2 a22 a23
b3 a32 a33
, |A2| =
a11 b1 a13
a21 b2 a23
a31 b3 a33
, |A3| =
a11 a12 b1
a21 a22 b2
a31 a32 b3
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 10 / 16
Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 rovnic o 2 neznámých
Pomocí Cramerova pravidla øe¹te následující soustavy rovnic ([Petáková,
2.16.30]:
(a) 7x − 3y = 15
5x + 6y = 27
(b) 3x + 2y = 20
2x + 3y = 20
(c) 3(x − 2) + 2y = x + y
4x + 5(y + x) = 3x − 6
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 11 / 16
Cramerovo pravidlo pro soustavy 2 rovnic o 2 neznámých
Pomocí Cramerova pravidla øe¹te následující soustavy rovnic ([Petáková,
2.16.30]:
(a) 7x − 3y = 15
5x + 6y = 27
(b) 3x + 2y = 20
2x + 3y = 20
(c) 3(x − 2) + 2y = x + y
4x + 5(y + x) = 3x − 6
Výsledky: (a) [3; 2], (b) [4; 4], (c) [9; −12],
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 11 / 16
Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých
Pomocí Cramerova pravidla øe¹te následující soustavy rovnic ([Petáková,
2.16.31]:
(a) x + y + 2z = −1
2x − y + 2z = −4
4x + y + 4z = −2
(b) 2x + 3y + z = 15
7x − y + z = 9
x + 2y + z = 9
(c) 2x + y − z = 0
4x + 2y + z = 0
x − y + 3z = 0
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 12 / 16
Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých
Pomocí Cramerova pravidla øe¹te následující soustavy rovnic ([Petáková,
2.16.31]:
(a) x + y + 2z = −1
2x − y + 2z = −4
4x + y + 4z = −2
(b) 2x + 3y + z = 15
7x − y + z = 9
x + 2y + z = 9
(c) 2x + y − z = 0
4x + 2y + z = 0
x − y + 3z = 0
Výsledky: (a) [1; 2; −2], (b) [2; 4; −1], (c) [0; 0; 0].
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 12 / 16
Cramerovo pravidlo a jeho dal¹í pou¾ití
Poznámka: Cramerovo pravidlo lze pou¾ít i v pøípadì, ¾e
1 je determinant matice systému roven 0 a zároveò
2 má systém nekoneènì mnoho øe¹ení.
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 13 / 16
Cramerovo pravidlo a jeho dal¹í pou¾ití
Poznámka: Cramerovo pravidlo lze pou¾ít i v pøípadì, ¾e
1 je determinant matice systému roven 0 a zároveò
2 má systém nekoneènì mnoho øe¹ení.
Pøíklad 6.3 (Dane¹ová, str. 64{65): Determinant matice systému
x − 2y + z = 4
2x + 3y − z = 3
4x − y + z = 11
je roven 0.
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 13 / 16
Cramerovo pravidlo a jeho dal¹í pou¾ití
Poznámka: Cramerovo pravidlo lze pou¾ít i v pøípadì, ¾e
1 je determinant matice systému roven 0 a zároveò
2 má systém nekoneènì mnoho øe¹ení.
Pøíklad 6.3 (Dane¹ová, str. 64{65): Determinant matice systému
x − 2y + z = 4
2x + 3y − z = 3
4x − y + z = 11
je roven 0. Zároveò platí, ¾e 2 · r1 + r2 = r3 (r1, r2, r3 oznaèují øádky
systému), co¾ znamená závislost 3. øádku na prvních dvou a nekoneèný
poèet øe¹ení systému.
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 13 / 16
Cramerovo pravidlo a jeho dal¹í pou¾ití (2)
Ze systému
x − 2y + z = 4
2x + 3y − z = 3
4x − y + z = 11
vybereme libovolnou submatici øádu 2, její¾ determinant není roven 0,
napø. submatici A33 k prvku a33:
A33 =
1 −2
2 3
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 14 / 16
Cramerovo pravidlo a jeho dal¹í pou¾ití (2)
Ze systému
x − 2y + z = 4
2x + 3y − z = 3
4x − y + z = 11
vybereme libovolnou submatici øádu 2, její¾ determinant není roven 0,
napø. submatici A33 k prvku a33:
A33 =
1 −2
2 3
Oba øádky rovnic pøíslu¹ných submatici A33 upravíme tak, ¾e na pravou
stranu pøesuneme èleny s 3. promìnnou:
x − 2y = 4 − z
2x + 3y = 3 + z
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 14 / 16
Cramerovo pravidlo a jeho dal¹í pou¾ití (3)
Na vzniklý systém
x − 2y = 4 − z
2x + 3y = 3 + z
pou¾ijeme Cramerovo pravidlo, pøièem¾ 3. promìnná je parametr, na nìm¾
nekoneènì mnoho øe¹ení závisí.
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 15 / 16
Cramerovo pravidlo a jeho dal¹í pou¾ití (3)
Na vzniklý systém
x − 2y = 4 − z
2x + 3y = 3 + z
pou¾ijeme Cramerovo pravidlo, pøièem¾ 3. promìnná je parametr, na nìm¾
nekoneènì mnoho øe¹ení závisí.
|A33| =
1 −2
2 3
= 3 − (−4) = 7,
|Ax | =
4 − z −2
3 + z 3
= 3·(4−z)−(−2)·(3+z) = 18+5z ⇒ x = 18
7 + 5
7z
|Ay | =
1 4 − z
2 3 + z
= 3 + z − 2 · (4 − z) = −5 + 3z ⇒ y = −5
7 + 3
7z
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 15 / 16
Cramerovo pravidlo a jeho dal¹í pou¾ití (3)
Na vzniklý systém
x − 2y = 4 − z
2x + 3y = 3 + z
pou¾ijeme Cramerovo pravidlo, pøièem¾ 3. promìnná je parametr, na nìm¾
nekoneènì mnoho øe¹ení závisí.
|A33| =
1 −2
2 3
= 3 − (−4) = 7,
|Ax | =
4 − z −2
3 + z 3
= 3·(4−z)−(−2)·(3+z) = 18+5z ⇒ x = 18
7 + 5
7z
|Ay | =
1 4 − z
2 3 + z
= 3 + z − 2 · (4 − z) = −5 + 3z ⇒ y = −5
7 + 3
7z
K = 18
7 + 5
7z, −5
7 + 3
7z, z , z ∈ R
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 15 / 16
Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých
Pomocí Cramerova pravidla øe¹te následující soustavy rovnic ([Petáková,
2.16.31]:
(d) 2x − y = 6
y + 4z = 8
x − z = 1
(e) 2x + y − z = 0
x + y + 2z = 4
4x + 3y + 3z = 8
(f) 3x + 2y + z = 3
x + y + z = 2
4x + 3y + 2z = 8
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 16 / 16
Cramerovo pravidlo pro soustavy 3 rovnic o 3 neznámých
Pomocí Cramerova pravidla øe¹te následující soustavy rovnic ([Petáková,
2.16.31]:
(d) 2x − y = 6
y + 4z = 8
x − z = 1
(e) 2x + y − z = 0
x + y + 2z = 4
4x + 3y + 3z = 8
(f) 3x + 2y + z = 3
x + y + z = 2
4x + 3y + 2z = 8
Výsledky: (d) [3; 0; 2],
(e) nekoneènì mnoho øe¹ení, napø. {[4 + 3z, 8 − 5z, z], z ∈ R},
(f) nemá øe¹ení.
Luká¹ Másilko 1. cvièení 2. 10. 2024 16 / 16