MA0005 Algebra 2, 10. seminář
27. 11. 2024
Lukáš Másilko 10. cvičení 27. 11. 2024 1 / 10
Náplň cvičení
1 Vlastní čísla a vlastní vektory
Literatura a zdroje
Horák, P.: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání.
Masarykova univerzita v Brně, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
Isibalo.com: Matematika – Lineární algebra. Dostupné z:
https://isibalo.com/matematika/linearni-algebra.
Fiala, J. a kol. Sbírka úloh z matematiky. Matematicko-fyzikální
fakulta Univerzity Karlovy, 2008. Dostupné z:
https://kam.mff.cuni.cz/~sbirka.
Lukáš Másilko 10. cvičení 27. 11. 2024 2 / 10
Vlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory
Vlastním vektorem lineárního zobrazení φ : V → V s maticí A rozumíme
takový nenulový vektor ⃗u ∈ V , pro který platí
φ(⃗u) = A · ⃗u = λ · ⃗u.
Reálné číslo λ z předchozího vztahu se nazývá vlastní číslo odpovídající
vlastnímu vektoru ⃗u.
Lukáš Másilko 10. cvičení 27. 11. 2024 3 / 10
Vlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory
Vlastním vektorem lineárního zobrazení φ : V → V s maticí A rozumíme
takový nenulový vektor ⃗u ∈ V , pro který platí
φ(⃗u) = A · ⃗u = λ · ⃗u.
Reálné číslo λ z předchozího vztahu se nazývá vlastní číslo odpovídající
vlastnímu vektoru ⃗u.
Poznámka:
Vlastním vektorům se také říká “invariantní směry” či “invariantní
vektory”.
Je-li ⃗u vlastní vektor, pak i vektor α · ⃗u (α ∈ R) je vlastní.
Vlastní vektory odpovídající jedné vlastní hodnotě λ tvoří vektorový
podprostor.
Lukáš Másilko 10. cvičení 27. 11. 2024 3 / 10
Vlastní čísla a vlastní vektory – postup nalezení
Upravíme vztah z definice vlastního vektoru:
A · ⃗u = λ · ⃗u
A · ⃗u = λ · E · ⃗u (E: jednotková matice)
(A − λ · E) · ⃗u = ⃗o
Lukáš Másilko 10. cvičení 27. 11. 2024 4 / 10
Vlastní čísla a vlastní vektory – postup nalezení
Upravíme vztah z definice vlastního vektoru:
A · ⃗u = λ · ⃗u
A · ⃗u = λ · E · ⃗u (E: jednotková matice)
(A − λ · E) · ⃗u = ⃗o
Postup nalezení vlastních čísel a vektorů
1 Najdeme determinant matice A − λ · E, z něhož nám vyjde rovnice
s neznámou λ, kterou vyřešíme.
2 Do systému (A − λ · E) · ⃗u = ⃗o dosadíme vypočítané hodnoty λ
a nalezneme vlastní vektory jako množinu řešení systému.
Lukáš Másilko 10. cvičení 27. 11. 2024 4 / 10
Vlastní čísla a vlastní vektory – příklady
Příklad 1
Lineární transformace φ vektorového prostoru R2 je dána maticí A ve
standardní bázi. Nalezněte vlastní čísla a jim odpovídající vlastní vektory
lineární transformace φ.
a) A =
2 6
6 −3
b) A =
1 5
2 4
c) A =
5 10
4 −1
d) A =
2 1
0 2
e) A =
0 −1
−1 0
Lukáš Másilko 10. cvičení 27. 11. 2024 5 / 10
Výsledky příkladu 1
a) Pro λ1 = 6 : ⃗n1 = (3, 2), pro λ2 = −7 : ⃗n2 = (−2, 3);
b) pro λ1 = 6 : ⃗n1 = (1, 1), pro λ2 = −1 : ⃗n2 = (−5, 2);
c) pro λ1 = 9 : ⃗n1 = (5, 2), pro λ2 = −5 : ⃗n2 = (−1, 1);
d) pro λ = 2 : ⃗n = (1, 0);
e) pro λ1 = 1 : ⃗n1 = (−1, 1), pro λ2 = −1 : ⃗n2 = (1, 1).
Lukáš Másilko 10. cvičení 27. 11. 2024 6 / 10
Vlastní čísla a vlastní vektory – příklady
Příklad 2
Lineární transformace φ vektorového prostoru R3 je dána maticí A ve
standardní bázi. Nalezněte vlastní čísla a jim odpovídající vlastní vektory
lineární transformace φ.
a) A =


2 1 1
−1 2 −1
1 −1 2


b) A =


2 5 −1
−1 −3 0
2 3 −2


c) A =


2 −1 2
5 −3 3
−1 0 −2


Lukáš Másilko 10. cvičení 27. 11. 2024 7 / 10
Vlastní čísla a vektory – pokračování příkladu 2
d) A =


2 −1 −1
0 −1 0
0 2 1


e) A =


1 −1 0
0 1 −4
−1 0 4


Lukáš Másilko 10. cvičení 27. 11. 2024 8 / 10
Vlastní čísla a vektory – pokračování příkladu 2
d) A =


2 −1 −1
0 −1 0
0 2 1


e) A =


1 −1 0
0 1 −4
−1 0 4


Výsledky:
a) Pro λ1 = 1 : ⃗n1 = (−1, 0, 1), pro λ2 = 2 : ⃗n2 = (−1, −1, 1),
pro λ3 = 3 : ⃗n3 = (0, −1, 1);
b) pro λ = −1 : ⃗n = (2, −1, 1);
c) pro λ = −1 : ⃗n = (−1, −1, 1);
d) pro λ1 = 2 : ⃗n1 = (1, 0, 0), pro λ2 = −1 : ⃗n2 = (0, −1, 1),
pro λ3 = 1 : ⃗n3 = (1, 0, 1);
e) pro λ1 = 0 : ⃗n1 = (4, 4, 1), pro λ2 = 3 : ⃗n2 = (1, −2, 1).
Lukáš Másilko 10. cvičení 27. 11. 2024 8 / 10
Příklad 3
Viz video “Matice přechodu a zobrazení motivačně” na webové stránce
www.isibalo.com/matematika/linearni-algebra/
matice-prechodu-a-zobrazeni-motivacne.
Zadání:
Určete matici AS zobrazení φ (ve standardní bázi), které překlopí vektory
prostoru R2 podle přímky p : x − 2y = 0.
Nápověda: Zkuste najít jinou bázi α, vhodnější než standardní, pro níž
bude snadné určit matici zobrazení Aα, které překlápí vektory podle
zadané přímky. Pomocí matic přechodu a jejich kombinací s Aα potom
snadno dostaneme matici AS .
Lukáš Másilko 10. cvičení 27. 11. 2024 9 / 10
Příklad 3
Viz video “Matice přechodu a zobrazení motivačně” na webové stránce
www.isibalo.com/matematika/linearni-algebra/
matice-prechodu-a-zobrazeni-motivacne.
Zadání:
Určete matici AS zobrazení φ (ve standardní bázi), které překlopí vektory
prostoru R2 podle přímky p : x − 2y = 0.
Nápověda: Zkuste najít jinou bázi α, vhodnější než standardní, pro níž
bude snadné určit matici zobrazení Aα, které překlápí vektory podle
zadané přímky. Pomocí matic přechodu a jejich kombinací s Aα potom
snadno dostaneme matici AS .
Řešení: při zvolené bázi α = ((2; 1), (−1; 2)) je matice
AS =
1
5
·
3 4
4 −3
Lukáš Másilko 10. cvičení 27. 11. 2024 9 / 10
Příklad 4
Nalezněte vlastní čísla a vlastní vektory lineární transformace φ prostoru
R2 zadané maticí
AS =
5 3
3 5
ve standardní bázi. Následně ověřte, že body [x, y] jednotkové kružnice (tj.
vektory (x, y)) se pomocí zobrazení φ zobrazí na body elipsy, jejíž délky
poloos budou rovny vlastním číslům.
Viz animace cv10 pr4.ggb ve studijních materiálech a složce Semináře.
Lukáš Másilko 10. cvičení 27. 11. 2024 10 / 10