Cvičení 10 – příklad 3 (Isibalo.com)
Viz video „Matice přechodu a zobrazení motivačně na webové stránce
www.isibalo.com/matematika/linearni-algebra/
matice-prechodu-a-zobrazeni-motivacne.
Určete matici AS zobrazení φ (ve standardní bázi), které překlopí vektory
prostoru R2
podle přímky p : x − 2y = 0.
Nápověda: Zkuste najít jinou bázi α, vhodnější než standardní, pro níž
bude snadné určit matici zobrazení Aα, které překlápí vektory podle zadané
přímky. Pomocí matic přechodu a jejich kombinací s Aα potom snadno dostaneme
matici AS.
Řešení
Volba báze
Budeme se držet nápovědy a hledat vhodnější bázi α. Jsme v prostoru R2
,
báze by tedy měla obsahovat dva lineárně nezávislé vektory. Jako první volme
vektor ⃗α1 ležící na přímce p, například
⃗α1 = (2, 1).
Ten se překlopením zobrazí sám na sebe. Druhý vektor báze volíme tak, aby
bylo snadné jej „překlopit podle přímky x−2y = 0 a zároveň nebyl lineárně
závislý na ⃗α1. Pokud například určíme ⃗α2 = (−1, 2), který je kolmý k přímce
p, jeho překlopením dostaneme vektor (1, −2) opačný k vektoru ⃗α2. Názorně
jsou vektory vidět na Obrázku 1.
Obrázek 1: Nově zvolená báze α = ((2, 1); (−1, 2))
Nalezení matice zobrazení v nově zvolené bázi
Matici zobrazení φ v nově zvolené bázi α vytvoříme na základě koeficientů,
jimiž násobíme vektory báze α, abychom získali jejich obraz. Z předchozího
víme, že
φ( ⃗α1) = φ(2, 1) = (2, 1) = 1 · (2, 1) + 0 · (−1, 2)
a zároveň
φ( ⃗α2) = φ(−1, 2) = (1, −2) = 0 · (2, 1) + (−1) · (−1, 2).
Koeficienty použité při násobení bázových vektorů vložíme do sloupců matice
Aα zobrazení φ dle báze α:
Aα =
1 0
0 −1
.
Nalezení matic přechodu
Abychom pomocí matice Aα mohli určit matici zobrazení AS podle standardní
báze, je třeba nalézt matice přechodu mezi bázemi S a α. Nalezení
matice přechodu Pα→S je jednodušší. Vektory báze α jsou totiž zadány vzhledem
ke standardní bázi, jejich souřadnice tedy pouze sloupcově vložíme do
matice přechodu:
Pα→S =
2 −1
1 2
Opačnou matici přechodu AS→α je možné vypočítat tak, že nalezneme inverzní
matici k Pα→S.
2 −1 1 0
1 2 0 1
∼
2 −1 1 0
0 5 −1 2
∼
10 0 4 2
0 5 −1 2
∼
1
5
·
1 0 2 1
0 1 −1 2
Je tedy
PS→α =
1
5
·
2 1
−1 2
.
Nalezení matice zobrazení AS
Abychom pomocí matice Aα a matic přechodu určili matici AS ve standardní
bázi, je třeba provést následující tři kroky:
1. Vektor (⃗u)S ve standardní bázi převést do báze α, tj. určit (⃗u)α.
2. Pomocí matice zobrazení Aα najít obraz vektoru (⃗u)α, tj. určit (φ(⃗u))α.
3. Obraz vektoru ⃗u v bázi α převést zpátky do standardní báze S, tj. najít
(φ(⃗u))S.
K těmto akcím nám postupně poslouží matice PS→α, Aα, Pα→S. Jejich složením
dostaneme kýženou matici AS, což pro nás vlastně znamená je vynásobit
ve správném pořadí:
AS · ⃗u = (Pα→S · Aα · PS→α) · ⃗u
AS = Pα→S · Aα · PS→α
2
Jednodušší bude začít součinem Pα→S · Aα:
Pα→S · Aα =
2 −1
1 2
·
1 0
0 −1
=
2 1
1 −2
Následně můžeme tuto matici vynásobit maticí přechodu PS→α:
2 1
1 −2
·
1
5
·
2 1
−1 2
=
1
5
·
2 1
1 −2
·
2 1
−1 2
=
1
5
·
3 4
4 −3
Máme tedy hledanou matici AS:
AS =
1
5
·
3 4
4 −3
3