Cvičení 10 – příklad 4 (z přednášky)
Nalezněte vlastní čísla a vlastní vektory lineární transformace φ prostoru R2
zadané maticí
AS =
5 3
3 5
ve standardní bázi. Následně ověřte, že body [x, y] jednotkové kružnice (tj.
vektory (x, y)) se pomocí zobrazení φ zobrazí na body elipsy, jejíž délky poloos
budou rovny vlastním číslům.
Řešení
Nalezení vlastních čísel a vlastních vektorů
Standardním způsobem najdeme vlastní čísla a vlastní vektory zobrazení φ.
|AS−λ·E| = (5−λ)2
−9 = 25−10·λ+λ2
−9 = λ2
−10λ+16 = (λ−2)·(λ−8) = 0
Vlastní čísla: λ1 = 2, λ2 = 8.
Vlastní vektory: Najdeme řešení systému AS − λ · E = 0 dosazením λ1 = 2
a λ2 = 8 místo λ.
1. λ1 = 2 : ⃗uλ1 = (−1, 1).
2. λ2 = 8 : ⃗uλ2 = (1, 1).
Víme, že násobky vlastních vektorů se zobrazí na násobky sama sebe. Napří-
klad
φ(−1, 1) =
5 3
3 5
·
−1
1
=
5 · (−1) + 3 · 1
3 · (−1) + 5 · 1
=
−2
2
= λ1·(−1, 1)T
φ(1, 1) =
5 3
3 5
·
1
1
=
5 · 1 + 3 · 1
3 · 1 + 5 · 1
=
8
8
= λ2 · (1, 1)T
Vektory jednotkové kružnice
Podívejme se teď na jednotkovou kružnici a vektory, které ji tvoří. Určitě
známe vektory ⃗e1 = (1, 0) a ⃗e2 = (0, 1), případně vektory k nim opačné:
⃗f1 = (−1, 0), resp. ⃗f2 = (0, −1). Ty však nejsou násobky vlastních vektorů,
takže se nezobrazí na své násobky. Pomocí matice AS je zobrazíme takto:
φ(1, 0) = (5, 3), φ(−1, 0) = (−5, −3), φ(0, 1) = (3, 5), φ(0, −1) = (−3, −5).
Nás zajímají také vektory, které jsou násobky vlastních vektorů. Podívejme se
na vektor ⃗u2 ležící na přímce y = x, který je jistě násobkem vlastního vektoru
⃗uλ2 = (1, 1) (viz Obrázek 1). Jeho souřadnice (x0, y0) lze určit pomocí dvou
Obrázek 1: Jednotková kružnice a vektory ⃗u1, ⃗u2, násobky vektorů ⃗uλ1 , ⃗uλ2
faktů: velikost vektoru ⃗u2 je 1, úhel, který svírá s osou x, je α = 45◦
. Platí
tedy, že
cos 45◦
=
x0
1
⇒ x0 =
√
2
2
,
sin 45◦
=
y0
1
⇒ y0 =
√
2
2
.
Je zřejmé, že ⃗u2 = (
√
2
2
,
√
2
2
) a z toho ⃗u1 = (−
√
2
2
,
√
2
2
).
Lineární zobrazení jednotkové kružnice
Zobrazíme-li oba vektory pomocí φ, přejdou na své vlastní násobky. Protože
⃗u2 je násobkem ⃗uλ2 a ⃗u1 násobkem ⃗uλ1 , je zřejmé, že
φ( ⃗u1) = λ1 · ⃗u1 = 2 · (−
√
2
2
,
√
2
2
) = (−
√
2,
√
2),
φ( ⃗u2) = λ2 · ⃗u2 = 8 · (
√
2
2
,
√
2
2
) = (4
√
2, 4
√
2).
2
Uvažujeme-li vektory ⃗v1 = (
√
2
2
, −
√
2
2
), ⃗v2 = (−
√
2
2
, −
√
2
2
) po řadě opačné
k vektorům ⃗u1, ⃗u2, tak se také zobrazí na své λi násobky (i = 1, 2). Tedy
φ(⃗v1) = λ1 · ⃗v1 = 2 · (
√
2
2
, −
√
2
2
) = (
√
2, −
√
2),
φ(⃗v2) = λ2 · ⃗v2 = 8 · (−
√
2
2
, −
√
2
2
) = (−4
√
2, −4
√
2).
Podobně jsou na tom i další vektory ⃗u = (cos α, sin α) určující jednotkovou
kružnici, tj. vektory velikosti 1 vycházející z počátku pod úhlem α, který
svírají s osou x. Zobrazí se na elipsu c, jejíž střed je v počátku, hlavní poloosa
ležící na přímce y = x má velikost 8, vedlejší poloosa ležící na přímce
y = −x velikost 2. Hlavní poloosa je totožná s vektorem ⃗u2 = (4
√
2, 4
√
2)
velikosti 8, vedlejší poloosa odpovídá vektoru ⃗u1 = (−
√
2,
√
2) velikosti 2.
Dále viz Obrázek 2, na němž jsou zobrazeny vektory
⃗fiu1 = φ( ⃗u1) = (−
√
2,
√
2),
⃗fiu2 = φ( ⃗u2) = (4
√
2, 4
√
2),
⃗fie1 = φ(⃗e1) = (5, 3),
⃗fie2 = φ(⃗e2) = (3, 5).
Obrázek 2: Elipsa c, výsledek zobrazení jednotkové kružnice
3