MA0005 Algebra 2, 2. semináø
9. 10. 2024
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 1 / 11
Náplò cvièení
1 Determinant matice
Dùle¾itá pravidla pro výpoèet determinantu
Laplaceùv rozvoj determinantu
Pøíklady na výpoèet determinantu
Výpoèet determinantu pøevodem na schodový tvar
Linearita pøi výpoètu determinantu
Literatura
Horák, P.: Cvièení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání.
Masarykova univerzita v Brnì, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 2 / 11
Dùle¾itá pravidla pro výpoèet determinantu
Mìjme ètvercovou matici M øádu n × n, kde n ∈ N.
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 3 / 11
Dùle¾itá pravidla pro výpoèet determinantu
Mìjme ètvercovou matici M øádu n × n, kde n ∈ N.
D1 |M| = |MT |, kde MT je transponovaná matice M.
D2 Jestli¾e matice M′ vznikne z matice M výmìnou dvou øádkù, pak
|M| = −|M′|.
D3 Jestli¾e matice M′ vznikne z matice M vynásobením nìkterého øádku
nenulovým èíslem k ∈ R − {0}, pak |M| = 1
k · |M′|.a
D4 Determinant matice M se nezmìní, pøièteme-li k nìkterému øádku
nenulový k-násobek jiného øádku (k ∈ R − {0}).
D6 Je-li nìkterý øádek matice M lineární kombinací ostatních, pak
|M| = 0.
a
Jedná se o dùsledek vlastnosti D3.
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 3 / 11
Dùle¾itá pravidla pro výpoèet determinantu
Mìjme ètvercovou matici M øádu n × n, kde n ∈ N.
D1 |M| = |MT |, kde MT je transponovaná matice M.
D2 Jestli¾e matice M′ vznikne z matice M výmìnou dvou øádkù, pak
|M| = −|M′|.
D3 Jestli¾e matice M′ vznikne z matice M vynásobením nìkterého øádku
nenulovým èíslem k ∈ R − {0}, pak |M| = 1
k · |M′|.a
D4 Determinant matice M se nezmìní, pøièteme-li k nìkterému øádku
nenulový k-násobek jiného øádku (k ∈ R − {0}).
D6 Je-li nìkterý øádek matice M lineární kombinací ostatních, pak
|M| = 0.
a
Jedná se o dùsledek vlastnosti D3.
Dùle¾itý dùsledek: Determinant matice M obsahující nulový øádek je
roven 0.
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 3 / 11
D5 Laplaceùv rozvoj determinantu
Mìjme ètvercovou matici M øádu n × n, kde n ∈ N.
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 4 / 11
D5 Laplaceùv rozvoj determinantu
Mìjme ètvercovou matici M øádu n × n, kde n ∈ N.
Rozvoj podle k-tého øádku:
|M| =
n
j=1
(−1)k+j
· akj · |Mkj |,
kde Mkj jsou matice vzniklé z M vypu¹tìním k-tého øádku a j-tého
sloupce.
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 4 / 11
D5 Laplaceùv rozvoj determinantu
Mìjme ètvercovou matici M øádu n × n, kde n ∈ N.
Rozvoj podle k-tého øádku:
|M| =
n
j=1
(−1)k+j
· akj · |Mkj |,
kde Mkj jsou matice vzniklé z M vypu¹tìním k-tého øádku a j-tého
sloupce.
Rozvoj podle l-tého sloupce:
|M| =
n
i=1
(−1)i+l
· ail · |Mil |,
kde Mil jsou matice vzniklé z M vypu¹tìním i-tého øádku a l-tého sloupce.
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 4 / 11
Pøíklad 4.2.B11
Spoètìte determinant (Laplaceovým rozvojem dle vybraného øádku èi
sloupce)
(a)
3 −2 1 −2
−3 −5 2 0
2 1 −2 −4
−1 0 3 1
(b)
−3 9 3 6
−5 8 2 7
4 −5 −3 −2
7 −8 −4 −5
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 5 / 11
Pøíklad 4.2.B11
Spoètìte determinant (Laplaceovým rozvojem dle vybraného øádku èi
sloupce)
(a)
3 −2 1 −2
−3 −5 2 0
2 1 −2 −4
−1 0 3 1
(b)
−3 9 3 6
−5 8 2 7
4 −5 −3 −2
7 −8 −4 −5
Výsledky: (a) −195,
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 5 / 11
Pøíklad 4.2.B11
Spoètìte determinant (Laplaceovým rozvojem dle vybraného øádku èi
sloupce)
(a)
3 −2 1 −2
−3 −5 2 0
2 1 −2 −4
−1 0 3 1
(b)
−3 9 3 6
−5 8 2 7
4 −5 −3 −2
7 −8 −4 −5
Výsledky: (a) −195, (b) 18.
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 5 / 11
Pøíklad 4.2.B11
Spoètìte determinant (s vyu¾itím pravidel D2, D3, D4)
(c)
2 1 −1 2 −1
−4 3 2 −1 1
3 5 −2 1 −2
2 2 −1 3 −1
−1 2 3 1 3
(d)
2 1 0 2 1
1 0 2 1 2
1 2 1 0 2
0 2 2 1 1
2 1 1 2 0
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 6 / 11
Pøíklad 4.2.B11
Spoètìte determinant (s vyu¾itím pravidel D2, D3, D4)
(c)
2 1 −1 2 −1
−4 3 2 −1 1
3 5 −2 1 −2
2 2 −1 3 −1
−1 2 3 1 3
(d)
2 1 0 2 1
1 0 2 1 2
1 2 1 0 2
0 2 2 1 1
2 1 1 2 0
Výsledky: (c) −28,
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 6 / 11
Pøíklad 4.2.B11
Spoètìte determinant (s vyu¾itím pravidel D2, D3, D4)
(c)
2 1 −1 2 −1
−4 3 2 −1 1
3 5 −2 1 −2
2 2 −1 3 −1
−1 2 3 1 3
(d)
2 1 0 2 1
1 0 2 1 2
1 2 1 0 2
0 2 2 1 1
2 1 1 2 0
Výsledky: (c) −28, (d) 30.
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 6 / 11
Pøíklad 4.2.B12
Pouze u¾itím Laplaceova rozvoje a denice determinantu spoètìte:
(a)
1 2 3 4 5 6
6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 0 0
4 3 2 1 0 0
1 2 0 0 0 0
2 1 0 0 0 0
(b)
1 0 2 0 3 0
5 1 4 2 7 3
1 0 4 0 9 0
8 1 5 3 7 6
9 1 5 4 3 8
1 0 7 0 9 0
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 7 / 11
Pøíklad 4.2.B12
Pouze u¾itím Laplaceova rozvoje a denice determinantu spoètìte:
(a)
1 2 3 4 5 6
6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 0 0
4 3 2 1 0 0
1 2 0 0 0 0
2 1 0 0 0 0
(b)
1 0 2 0 3 0
5 1 4 2 7 3
1 0 4 0 9 0
8 1 5 3 7 6
9 1 5 4 3 8
1 0 7 0 9 0
Výsledky: (a) −105,
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 7 / 11
Pøíklad 4.2.B12
Pouze u¾itím Laplaceova rozvoje a denice determinantu spoètìte:
(a)
1 2 3 4 5 6
6 5 4 3 2 1
1 2 3 4 0 0
4 3 2 1 0 0
1 2 0 0 0 0
2 1 0 0 0 0
(b)
1 0 2 0 3 0
5 1 4 2 7 3
1 0 4 0 9 0
8 1 5 3 7 6
9 1 5 4 3 8
1 0 7 0 9 0
Výsledky: (a) −105, (b) −18.
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 7 / 11
Hodnost matice a elementární øádkové úpravy
Hodnost matice
Hodností matice A (typu m × n) rozumíme poèet lineárnì nezávislých
øádkù matice A. Pí¹eme h(A).
Otázka: Kdy jsou dva øádky matice lineárnì závislé?
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 8 / 11
Hodnost matice a elementární øádkové úpravy
Hodnost matice
Hodností matice A (typu m × n) rozumíme poèet lineárnì nezávislých
øádkù matice A. Pí¹eme h(A).
Otázka: Kdy jsou dva øádky matice lineárnì závislé?
Elementární øádkové úpravy
Elementárními øádkovými úpravami matice, resp. samotného SLR jsou:
1 vynásobení øádku (rovnice) nenulovým reálným èíslem,
2 výmìna poøadí dvou øádkù (rovnic),
3 pøiètení násobku jiného øádku (rovnice) k danému øádku (rovnici).
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 8 / 11
Hodnost matice a elementární øádkové úpravy
Hodnost matice
Hodností matice A (typu m × n) rozumíme poèet lineárnì nezávislých
øádkù matice A. Pí¹eme h(A).
Otázka: Kdy jsou dva øádky matice lineárnì závislé?
Elementární øádkové úpravy
Elementárními øádkovými úpravami matice, resp. samotného SLR jsou:
1 vynásobení øádku (rovnice) nenulovým reálným èíslem,
2 výmìna poøadí dvou øádkù (rovnic),
3 pøiètení násobku jiného øádku (rovnice) k danému øádku (rovnici).
Dùle¾itá poznámka: Elementární øádkové úpravy nezmìní hodnost
matice, resp. nezpùsobí zmìnu øe¹ení SLR.
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 8 / 11
Schodový tvar matice
Schodový tvar matice
V ka¾dém dal¹ím øádku je zleva více nul ne¾ v tom pøedchozím, pøípadnì
je celý dal¹í øádek nulový.
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 9 / 11
Schodový tvar matice
Schodový tvar matice
V ka¾dém dal¹ím øádku je zleva více nul ne¾ v tom pøedchozím, pøípadnì
je celý dal¹í øádek nulový.
Poznámka: pøevodem na schodový tvar pomocí elementárních øádkových
úprav zjistíme hodnost zadané matice. Hodnost matice je poèet
nenulových øádkù ve schodovém tvaru, který vznikne ze zadané matice
elementárními øádkovými úpravami.
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 9 / 11
Schodový tvar matice
Schodový tvar matice
V ka¾dém dal¹ím øádku je zleva více nul ne¾ v tom pøedchozím, pøípadnì
je celý dal¹í øádek nulový.
Poznámka: pøevodem na schodový tvar pomocí elementárních øádkových
úprav zjistíme hodnost zadané matice. Hodnost matice je poèet
nenulových øádkù ve schodovém tvaru, který vznikne ze zadané matice
elementárními øádkovými úpravami.
Pøíklad 1: rozhodnìte, zda jsou následující matice ve schodovém tvaru.


1 2 3 9
0 0 5 3
0 1 3 6




0 0 0 9
0 0 5 3
0 1 3 6




1 2 3 9
0 7 5 3
0 0 3 6


Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 9 / 11
Pøíklad
Vypoèítejte determinanty matic A, B úpravou na schodový tvar, je-li
A =




−1 2 0 3
3 −4 1 −2
2 −3 −5 0
0 1 2 3




B =




2 0 4 −2
−1 1 −3 0
0 −2 3 1
3 −1 5 −2




Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 10 / 11
Pøíklad
Vypoèítejte determinanty matic A, B úpravou na schodový tvar, je-li
A =




−1 2 0 3
3 −4 1 −2
2 −3 −5 0
0 1 2 3




B =




2 0 4 −2
−1 1 −3 0
0 −2 3 1
3 −1 5 −2




Výsledky: |A| = 2,
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 10 / 11
Pøíklad
Vypoèítejte determinanty matic A, B úpravou na schodový tvar, je-li
A =




−1 2 0 3
3 −4 1 −2
2 −3 −5 0
0 1 2 3




B =




2 0 4 −2
−1 1 −3 0
0 −2 3 1
3 −1 5 −2




Výsledky: |A| = 2, |B| = −4.
Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 10 / 11
Determinant jako zobrazení lineární v ka¾dé slo¾ce
Vlastnost D3 (linearita pøi výpoètu determinantu)
Determinant det(⃗a1, ⃗a2, . . . , ⃗an) je zobrazení Rn × Rn × · · · × Rn → Rn
(⃗ai jsou øádky matice), které je lineární v ka¾dé své slo¾ce, tj. pokud pokud
se na k-tém øádku vyskytuje lineární kombinace dvou vektorù α · ⃗u + β · ⃗v,
tak determinant lze upravit na lineární kombinaci dvou determinantù:
det(⃗a1, . . . , α · ⃗u + β · ⃗v, . . . , ⃗an) = α · det(⃗a1, . . . , ⃗u, . . . , ⃗an) +
+ β · det(⃗a1, . . . , ⃗v, . . . , ⃗an).
Pøíklad: Proveïte Laplaceùv rozvoj matice M podle 5. sloupce a vyu¾ijte
linearity determinantu, abyste redukovali poèet determinantù 4. øádu.
M =






2 1 0 2 1
1 0 2 1 2
1 2 1 0 2
0 2 2 1 1
2 1 1 2 0






Luká¹ Másilko 2. cvièení 9. 10. 2024 11 / 11