MA0005 Algebra 2, 3. semináø
16. 10. 2024
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 1 / 26
Náplò cvièení
1 Vektorové prostory
Lineární (ne)závislost vektorù
Dimenze a báze vektorového prostoru
Podprostor vektorového prostoru
2 Systémy lineárních rovnic (SLR)
Maticový zápis SLR
Vzájemná poloha tøí rovin
Gaussova eliminaèní metoda
3 Vyjádøení vektoru v jiné bázi
Literatura
Horák, P.: Cvièení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání.
Masarykova univerzita v Brnì, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 2 / 26
Vektorový prostor
Axiomy pro vektorový prostor
V nazveme vektorovým (lineárním) prostorem nad tìlesem T s operacemi
+, ·, jestli¾e
1 ∀⃗u, ⃗v ∈ V : ⃗u + ⃗v ∈ V (uzavøenost na operaci +)
2 ∀⃗u, ⃗v, ⃗w ∈ V : (⃗u + ⃗v) + ⃗w = ⃗u + (⃗v + ⃗w) (asociativita operace +)
3 ∃⃗o. ∀⃗v ∈ V : ⃗u + ⃗o = ⃗u = ⃗o + ⃗u (neutrální prvek pro operaci +)
4 ∀⃗u ∈ V . ∃(−⃗u) ∈ V : ⃗u + (−⃗u) = ⃗o (inverze vzhledem k operaci +)
5 ∀⃗u, ⃗v ∈ V : ⃗u + ⃗v = ⃗v + ⃗u (komutativita operace +)
"1" ∀⃗u ∈ V , ∀t ∈ T : t · ⃗u ∈ V (uzavøenost na souèin skaláru a vektoru)
"2" ∀⃗u ∈ V , ∀s, t ∈ T : s · (t · ⃗u) = (s · t) · ⃗u (asociativita operace ·)
"3" ∃1 ∈ T. ∀⃗u ∈ V : 1 · ⃗u = ⃗u = ⃗u · 1 (neutrální prvek pro operaci ·)
"6a" ∀⃗u ∈ V , ∀s, t ∈ T : (s + t) · ⃗u = s · ⃗u + t · ⃗u (distributivita operací)
"6b" ∀⃗u, ⃗v ∈ V , ∀s ∈ T : s · (⃗u + ⃗v) = s · ⃗u + s · ⃗v (distributivita operací)
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 3 / 26
Lineární (ne)závislost vektorù
Lineární kombinace vektorù
Pokud ⃗u1, ⃗u2, . . . , ⃗uk jsou vektory (k ∈ N), tak vektor
⃗v = α1 · ⃗u1 + α2 · ⃗u2 + · · · + αk · ⃗uk
je lineární kombinací vektorù ⃗u1, ⃗u2, . . . , ⃗uk
(pøièem¾ α1, α2, . . . , αk ∈ T jsou skaláry).
(Viz skripta, Denice 7 na str. 13.)
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 4 / 26
Lineární (ne)závislost vektorù
Lineární kombinace vektorù
Pokud ⃗u1, ⃗u2, . . . , ⃗uk jsou vektory (k ∈ N), tak vektor
⃗v = α1 · ⃗u1 + α2 · ⃗u2 + · · · + αk · ⃗uk
je lineární kombinací vektorù ⃗u1, ⃗u2, . . . , ⃗uk
(pøièem¾ α1, α2, . . . , αk ∈ T jsou skaláry).
(Viz skripta, Denice 7 na str. 13.)
Lineární (ne)závislost vektorù
Posloupnost vektorù ⃗u1, ⃗u2, . . . , ⃗uk je lineárnì závislá, kdy¾ nìkterý
z vektorù je lineární kombinací tìch ostatních vektorù (ne nutnì v¹ech).
V opaèném pøípadì je posloupnost vektorù ⃗u1, ⃗u2, . . . , ⃗uk lineárnì
nezávislá.
(Viz skripta, Denice 10 na str. 25.)
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 4 / 26
Lineární (ne)závislost vektorù
Zjistìte, zda je mno¾ina vektorù {⃗u1, ⃗u2, ⃗u3, ⃗u4} lineárnì závislá, je-li
a) ⃗u1 =




0
4
10
1



, ⃗u2 =




4
8
18
7



, ⃗u3 =




10
18
40
17



, ⃗u4 =




1
7
17
3



.
b) ⃗u1 =




2
−4
8
0



, ⃗u2 =




3
−6
1
4



, ⃗u3 =




−4
2
5
−1



, ⃗u4 =




5
−4
−12
5



.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 5 / 26
Lineární (ne)závislost vektorù
Zjistìte, zda je mno¾ina vektorù {⃗u1, ⃗u2, ⃗u3, ⃗u4} lineárnì závislá, je-li
a) ⃗u1 =




0
4
10
1



, ⃗u2 =




4
8
18
7



, ⃗u3 =




10
18
40
17



, ⃗u4 =




1
7
17
3



.
b) ⃗u1 =




2
−4
8
0



, ⃗u2 =




3
−6
1
4



, ⃗u3 =




−4
2
5
−1



, ⃗u4 =




5
−4
−12
5



.
Výsledky:
a) ano,
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 5 / 26
Lineární (ne)závislost vektorù
Zjistìte, zda je mno¾ina vektorù {⃗u1, ⃗u2, ⃗u3, ⃗u4} lineárnì závislá, je-li
a) ⃗u1 =




0
4
10
1



, ⃗u2 =




4
8
18
7



, ⃗u3 =




10
18
40
17



, ⃗u4 =




1
7
17
3



.
b) ⃗u1 =




2
−4
8
0



, ⃗u2 =




3
−6
1
4



, ⃗u3 =




−4
2
5
−1



, ⃗u4 =




5
−4
−12
5



.
Výsledky:
a) ano, b) ano.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 5 / 26
Báze a dimenze vektorového prostoru
Báze a dimenze vektorového prostoru
Posloupnost vektorù (⃗v1, ⃗v2, . . . , ⃗vk) nazveme bází (mno¾inou generátorù)
vektorového prostoru V nad tìlesem (T, +, ·), jestli¾e
1 je lineárnì nezávislá,
2 ka¾dý vektor ⃗u ∈ V lze vyjádøit lineární kombinací
⃗u = α1 · ⃗v1 + α2 · ⃗v2 + · · · + αk · ⃗vk pro nìjaké α1, α2, . . . , αk ∈ T (tj.
vektory ⃗v1, ⃗v2, . . . , ⃗vk generují celý prostor V ).
Dimenzí vektorového prostoru V rozumíme poèet vektorù nìjaké jeho
báze. Znaèíme dim V .
Èísla (α1, α2, . . . , αk) z vyjádøení vektoru ⃗u nazýváme souøadnicemi
vektoru ⃗u v bázi (⃗v1, ⃗v2, . . . , ⃗vk).
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 6 / 26
Vektory generující vektorový prostor
Pøíklad 16: Generují vektory ⃗u1, . . . , ⃗u4 vektorový prostor R3?
⃗u1 =


1
−2
3

 , ⃗u2 =


2
−1
0

 , ⃗u3 =


1
1
−3

 , ⃗u4 =


1
0
−1

 .
Pøíklad 3.3.B2: Generují vektory ⃗u1, . . . , ⃗u5 vektorový prostor Q4?
a) ⃗u1 =




1
2
1
2



 , ⃗u2 =




2
1
2
1



 , ⃗u3 =




1
1
1
1



 , ⃗u4 =




−2
0
−1
−3



,
⃗u5 =




−1
1
0
−2




Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 7 / 26
Vektory generující vektorový prostor
Pøíklad 3.3.B2: Generují vektory ⃗u1, . . . , ⃗u5 vektorový prostor Q4?
b) ⃗u1 =




−1
1
0
−1



 , ⃗u2 =




2
0
1
3



 , ⃗u3 =




1
2
3
4



 , ⃗u4 =




2
3
4
6



 ,
⃗u5 =




1
−3
5
−7




Výsledky: 16. ne,
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 8 / 26
Vektory generující vektorový prostor
Pøíklad 3.3.B2: Generují vektory ⃗u1, . . . , ⃗u5 vektorový prostor Q4?
b) ⃗u1 =




−1
1
0
−1



 , ⃗u2 =




2
0
1
3



 , ⃗u3 =




1
2
3
4



 , ⃗u4 =




2
3
4
6



 ,
⃗u5 =




1
−3
5
−7




Výsledky: 16. ne,
3.3.B2.(a) ne,
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 8 / 26
Vektory generující vektorový prostor
Pøíklad 3.3.B2: Generují vektory ⃗u1, . . . , ⃗u5 vektorový prostor Q4?
b) ⃗u1 =




−1
1
0
−1



 , ⃗u2 =




2
0
1
3



 , ⃗u3 =




1
2
3
4



 , ⃗u4 =




2
3
4
6



 ,
⃗u5 =




1
−3
5
−7




Výsledky: 16. ne,
3.3.B2.(a) ne, (b) ano.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 8 / 26
Vektorový prostor
Denice vektorového podprostoru
Vektorový podprostor prostoru (V , +, ·) nad tìlesem (T, +, ·) je taková
podmno¾ina W prostoru V , která je uzavøená vzhledem k operaci +
(sèítání vektorù) a · (násobení vektoru skalárem):
1 ∀⃗u, ⃗v ∈ W : ⃗u + ⃗v ∈ W
"1" ∀⃗u ∈ W , ∀t ∈ T : t · ⃗u ∈ W
Poznámka: Vektorový podprostor je tedy uzavøený na lineární kombinaci
svých vektorù.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 9 / 26
Dimenze a báze podprostoru
Ve vektorovém prostoru R4 je podprostor W zadán následující mno¾inou
generátorù. Urèete dimenzi a bázi αW podprostoru W .
a) ⃗u1 =




1
−1
0
2



 , ⃗u2 =




2
2
−1
3



 , ⃗u3 =




0
1
1
0



 , ⃗u4 =




3
2
0
5




b) ⃗u1 =




1
2
3
4



 , ⃗u2 =




−2
−3
−4
−5



 , ⃗u3 =




3
4
5
6



 , ⃗u4 =




−4
−5
−6
−7



 ,
⃗u5 =




5
6
7
8




Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 10 / 26
Dimenze a báze podprostoru
Ve vektorovém prostoru R4 je podprostor W zadán následující mno¾inou
generátorù. Urèete dimenzi a bázi αW podprostoru W .
c) ⃗u1 =




1
2
−1
0



 , ⃗u2 =




0
1
−1
−7



 , ⃗u3 =




−8
0
0
−5



 , ⃗u4 =




3
−4
1
−2



 ,
⃗u5 =




2
1
0
−3




Výsledky:
a) dim W = 3, napø. αW = (⃗u1, ⃗u2, ⃗u3);
b) dim W = 2, napø. αW = (⃗u1, ⃗u2);
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 11 / 26
Dimenze a báze podprostoru
Ve vektorovém prostoru R4 je podprostor W zadán následující mno¾inou
generátorù. Urèete dimenzi a bázi αW podprostoru W .
c) ⃗u1 =




1
2
−1
0



 , ⃗u2 =




0
1
−1
−7



 , ⃗u3 =




−8
0
0
−5



 , ⃗u4 =




3
−4
1
−2



 ,
⃗u5 =




2
1
0
−3




Výsledky:
a) dim W = 3, napø. αW = (⃗u1, ⃗u2, ⃗u3);
b) dim W = 2, napø. αW = (⃗u1, ⃗u2);
c) dim W = 4, napø. αW = (⃗u1, ⃗u2, ⃗u3, ⃗u5).
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 11 / 26
Maticový zápis SLR
Mìjme následující soustavu lineárních rovnic:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x2 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2y + · · · + amnxn = bm
kde m, n ∈ N.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 12 / 26
Maticový zápis SLR
Mìjme následující soustavu lineárních rovnic:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x2 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2y + · · · + amnxn = bm
kde m, n ∈ N.
Maticový zápis soustavy
Matici
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
am1 am2 . . . amn





nazýváme maticí systému SLR.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 12 / 26
Maticový zápis SLR
Mìjme následující soustavu lineárních rovnic:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x2 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2y + · · · + amnxn = bm
kde m, n ∈ N.
Roz¹íøená matice SLR
Matici
A|b =





a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
...
... . . .
...
...
am1 am2 . . . amn bm





nazýváme roz¹íøenou maticí systému SLR.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 13 / 26
Soustavy tøí lineárních rovnic o tøech neznámých
Mìjme následující soustavu tøí rovnic:
a11x + a12y + a13z = b1
a21x + a22y + a23z = b2
a31x + a32y + a33z = b3
Rovnice denují tøi roviny, u nich¾ øe¹ením SLR urèíme vzájemnou polohu.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 14 / 26
Soustavy tøí lineárních rovnic o tøech neznámých
Mìjme následující soustavu tøí rovnic:
a11x + a12y + a13z = b1
a21x + a22y + a23z = b2
a31x + a32y + a33z = b3
Rovnice denují tøi roviny, u nich¾ øe¹ením SLR urèíme vzájemnou polohu.
Poèet øe¹ení soustavy
Soustava lineárních rovnic (SLR) o 3 neznámých
(a) má právì jedno øe¹ení, je-li h(A) = h(A|b) = 3 (roviny se protínají
v jednom bodu);
(b) má nekoneènì mnoho øe¹ení, je-li h(A) = h(A|b) < 3 (roviny se
protínají buï v jedné pøímce, kdy¾ h(A) = h(A|b) = 2, nebo splývají v
jednu rovinu, je-li h(A) = h(A|b) = 1);
(c) nemá øe¹ení, je-li h(A) ̸= h(A|b) (geometricky to mù¾e vyjít rùznì).
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 14 / 26
Vzájemná poloha tøí rovin
Vzájemná poloha tøí rovin
1 v¹echny tøi roviny jsou rovnobì¾né a nemají prùseèík, ani prùseènici
2 dvì roviny jsou rovnobì¾né a tøetí je protíná ve dvou rovnobì¾ných
prùseènicích
3 v¹echny jsou rùznobì¾né a protínají se v jedné prùseènici
(svazek rovin)
4 v¹echny jsou rùznobì¾né a po dvou se protínají v prùseènici
(tyto tøi prùseènice jsou rovnobì¾né)
5 v¹echny jsou rùznobì¾né a protínají se v jednom bodì (trs rovin)
6 v¹echny tøi roviny splývají v jednu
Ilustrace prvních pìti pøípadù jsou dostupné na této stránce.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 15 / 26
Vzájemná poloha tøí rovin
Pøíklad 15.6.40: Vy¹etøete vzájemnou polohu tøí rovin.
a) ϱ1 : 2x − y + z − 5 = 0, σ1 : x + y + 3z − 6 = 0,
τ1 : 3x + 2y − 4z + 7 = 0
b) ϱ2 : x + y + z − 3 = 0, σ2 : 3x − 2y + z − 8 = 0,
τ2 : 4x − y + 2z + 1 = 0
c) ϱ3 : x − y + 2z − 1 = 0, σ3 : x + 2y − z + 2 = 0,
τ3 : x − 2y + 3z − 2 = 0
d) ϱ4 : x + y − z − 1 = 0, σ4 : x + y + z + 2 = 0,
τ4 : 2x + 2y − 2z + 1 = 0
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 16 / 26
Vzájemná poloha tøí rovin
Pøíklad 15.6.40: Vy¹etøete vzájemnou polohu tøí rovin.
a) ϱ1 : 2x − y + z − 5 = 0, σ1 : x + y + 3z − 6 = 0,
τ1 : 3x + 2y − 4z + 7 = 0
b) ϱ2 : x + y + z − 3 = 0, σ2 : 3x − 2y + z − 8 = 0,
τ2 : 4x − y + 2z + 1 = 0
c) ϱ3 : x − y + 2z − 1 = 0, σ3 : x + 2y − z + 2 = 0,
τ3 : x − 2y + 3z − 2 = 0
d) ϱ4 : x + y − z − 1 = 0, σ4 : x + y + z + 2 = 0,
τ4 : 2x + 2y − 2z + 1 = 0
Výsledky:
a) tøi rùznobì¾né roviny, spoleèný bod P[1; −1; 2],
b) tøi rùznobì¾né roviny, ¾ádný spoleèný bod,
c) tøi rùznobì¾né roviny, spoleèná pøímka p = {[t; −1 − t; −t], t ∈ R},
d) dvì rovnobì¾né roviny, tøetí je s nimi rùznobì¾ná.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 16 / 26
Gaussova eliminaèní metoda
Vìta (Frobenius { Kronecker { Capelli): SLR má nìjaké (alespoò
jedno) øe¹ení ⇐⇒ h(A) = h(A|b).
Gaussova eliminaèní metoda
Pøi øe¹ení SLR o m øádcích a n (m, n ∈ N) neznámých postupujeme takto:
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 17 / 26
Gaussova eliminaèní metoda
Vìta (Frobenius { Kronecker { Capelli): SLR má nìjaké (alespoò
jedno) øe¹ení ⇐⇒ h(A) = h(A|b).
Gaussova eliminaèní metoda
Pøi øe¹ení SLR o m øádcích a n (m, n ∈ N) neznámých postupujeme takto:
1 Pøevedeme SLR na roz¹íøenou matici systému A|b.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 17 / 26
Gaussova eliminaèní metoda
Vìta (Frobenius { Kronecker { Capelli): SLR má nìjaké (alespoò
jedno) øe¹ení ⇐⇒ h(A) = h(A|b).
Gaussova eliminaèní metoda
Pøi øe¹ení SLR o m øádcích a n (m, n ∈ N) neznámých postupujeme takto:
1 Pøevedeme SLR na roz¹íøenou matici systému A|b.
2 Pøevedeme matici A|b na schodový tvar.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 17 / 26
Gaussova eliminaèní metoda
Vìta (Frobenius { Kronecker { Capelli): SLR má nìjaké (alespoò
jedno) øe¹ení ⇐⇒ h(A) = h(A|b).
Gaussova eliminaèní metoda
Pøi øe¹ení SLR o m øádcích a n (m, n ∈ N) neznámých postupujeme takto:
1 Pøevedeme SLR na roz¹íøenou matici systému A|b.
2 Pøevedeme matici A|b na schodový tvar.
3 Je-li h(A) ̸= h(A|b), nemá SLR øe¹ení.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 17 / 26
Gaussova eliminaèní metoda
Vìta (Frobenius { Kronecker { Capelli): SLR má nìjaké (alespoò
jedno) øe¹ení ⇐⇒ h(A) = h(A|b).
Gaussova eliminaèní metoda
Pøi øe¹ení SLR o m øádcích a n (m, n ∈ N) neznámých postupujeme takto:
1 Pøevedeme SLR na roz¹íøenou matici systému A|b.
2 Pøevedeme matici A|b na schodový tvar.
3 Je-li h(A) ̸= h(A|b), nemá SLR øe¹ení.
4 V opaèném pøípadì stanovíme poèet parametrù jako n − h(A|b).
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 17 / 26
Gaussova eliminaèní metoda
Vìta (Frobenius { Kronecker { Capelli): SLR má nìjaké (alespoò
jedno) øe¹ení ⇐⇒ h(A) = h(A|b).
Gaussova eliminaèní metoda
Pøi øe¹ení SLR o m øádcích a n (m, n ∈ N) neznámých postupujeme takto:
1 Pøevedeme SLR na roz¹íøenou matici systému A|b.
2 Pøevedeme matici A|b na schodový tvar.
3 Je-li h(A) ̸= h(A|b), nemá SLR øe¹ení.
4 V opaèném pøípadì stanovíme poèet parametrù jako n − h(A|b).
Je-li n − h(A|b) = 0, pak má SLR právì jedno øe¹ení.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 17 / 26
Gaussova eliminaèní metoda
Vìta (Frobenius { Kronecker { Capelli): SLR má nìjaké (alespoò
jedno) øe¹ení ⇐⇒ h(A) = h(A|b).
Gaussova eliminaèní metoda
Pøi øe¹ení SLR o m øádcích a n (m, n ∈ N) neznámých postupujeme takto:
1 Pøevedeme SLR na roz¹íøenou matici systému A|b.
2 Pøevedeme matici A|b na schodový tvar.
3 Je-li h(A) ̸= h(A|b), nemá SLR øe¹ení.
4 V opaèném pøípadì stanovíme poèet parametrù jako n − h(A|b).
Je-li n − h(A|b) = 0, pak má SLR právì jedno øe¹ení.
Je-li n − h(A|b) > 0, pak n − h(A|b) neznámým \uvá¾livì" pøiøadíme
parametr, ostatní neznámé vyjádøíme pomocí tìchto parametrù ze
zbývajících rovnic.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 17 / 26
Gaussova eliminaèní metoda
Vìta (Frobenius { Kronecker { Capelli): SLR má nìjaké (alespoò
jedno) øe¹ení ⇐⇒ h(A) = h(A|b).
Gaussova eliminaèní metoda
Pøi øe¹ení SLR o m øádcích a n (m, n ∈ N) neznámých postupujeme takto:
1 Pøevedeme SLR na roz¹íøenou matici systému A|b.
2 Pøevedeme matici A|b na schodový tvar.
3 Je-li h(A) ̸= h(A|b), nemá SLR øe¹ení.
4 V opaèném pøípadì stanovíme poèet parametrù jako n − h(A|b).
Je-li n − h(A|b) = 0, pak má SLR právì jedno øe¹ení.
Je-li n − h(A|b) > 0, pak n − h(A|b) neznámým \uvá¾livì" pøiøadíme
parametr, ostatní neznámé vyjádøíme pomocí tìchto parametrù ze
zbývajících rovnic.
V obou pøípadech postupujeme tzv. zpìtným chodem, tj. bereme
rovnice zdola a volíme za parametry poèet neznámých v dané rovnici
MINUS jedna, abychom poslední neznámou v ka¾dé rovnici mohli
dopoèítat pomocí ostatních neznámých { parametrù.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 17 / 26
Pøíklad 5.1.B1
Gaussovou metodou øe¹te soustavu lineárních rovnic (nad R):
(a)
3x1 + 2x2 + x3 = 5
2x1 + 3x2 + x3 = 1
2x1 + x2 + 3x3 = 11
(c)
3x1 − x2 − x3 − 2x4 = −4
2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = −3
2x1 + 3x2 − x3 − x4 = −6
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1
x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = −4
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 18 / 26
Pøíklad 5.1.B1
Gaussovou metodou øe¹te soustavu lineárních rovnic (nad R):
(a)
3x1 + 2x2 + x3 = 5
2x1 + 3x2 + x3 = 1
2x1 + x2 + 3x3 = 11
(c)
3x1 − x2 − x3 − 2x4 = −4
2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = −3
2x1 + 3x2 − x3 − x4 = −6
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1
x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = −4
Výsledky: (a)





2
−2
3





,
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 18 / 26
Pøíklad 5.1.B1
Gaussovou metodou øe¹te soustavu lineárních rovnic (nad R):
(a)
3x1 + 2x2 + x3 = 5
2x1 + 3x2 + x3 = 1
2x1 + x2 + 3x3 = 11
(c)
3x1 − x2 − x3 − 2x4 = −4
2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 = −3
2x1 + 3x2 − x3 − x4 = −6
x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1
x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = −4
Výsledky: (a)





2
−2
3





, (c)







−1
−1
0
1







.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 18 / 26
Pøíklad 5.1.B2
Gaussovou metodou øe¹te soustavu lineárních rovnic (nad R):
(a)
5x1 − 9x2 + 5x3 = 1
2x1 + 3x2 + 3x3 = 2
x1 + 8x2 + = 1
x1 − 2x2 + x3 = 0
(c)
2x1 + 9x2 + 8x3 + 3x4 = 7
2x1 + 6x2 + 8x3 + 3x4 = 3
x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 2
3x1 + 7x2 + 7x3 + 2x4 = 12
5x1 + 7x2 + 9x3 + 2x4 = 20
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 19 / 26
Pøíklad 5.1.B2
Gaussovou metodou øe¹te soustavu lineárních rovnic (nad R):
(a)
5x1 − 9x2 + 5x3 = 1
2x1 + 3x2 + 3x3 = 2
x1 + 8x2 + = 1
x1 − 2x2 + x3 = 0
(c)
2x1 + 9x2 + 8x3 + 3x4 = 7
2x1 + 6x2 + 8x3 + 3x4 = 3
x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 2
3x1 + 7x2 + 7x3 + 2x4 = 12
5x1 + 7x2 + 9x3 + 2x4 = 20
Výsledky: (a) SLR nemá øe¹ení,
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 19 / 26
Pøíklad 5.1.B2
Gaussovou metodou øe¹te soustavu lineárních rovnic (nad R):
(a)
5x1 − 9x2 + 5x3 = 1
2x1 + 3x2 + 3x3 = 2
x1 + 8x2 + = 1
x1 − 2x2 + x3 = 0
(c)
2x1 + 9x2 + 8x3 + 3x4 = 7
2x1 + 6x2 + 8x3 + 3x4 = 3
x1 + 4x2 + 5x3 + 2x4 = 2
3x1 + 7x2 + 7x3 + 2x4 = 12
5x1 + 7x2 + 9x3 + 2x4 = 20
Výsledky: (a) SLR nemá øe¹ení, (c) SLR nemá øe¹ení.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 19 / 26
Pøíklad 5.1.B3
Gaussovou metodou øe¹te soustavu lineárních rovnic (nad R):
(a)
2x1 − 3x2 + 2x3 = 1
x1 − 2x2 + x3 = 0
5x1 − 9x2 + 5x3 = 1
(c)
x2 + x4 = 1
3x1 − 2x2 − 3x3 + 4x4 = −2
x1 + x2 − x3 + x4 = 2
x1 − x3 = 1
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 20 / 26
Pøíklad 5.1.B3
Gaussovou metodou øe¹te soustavu lineárních rovnic (nad R):
(a)
2x1 − 3x2 + 2x3 = 1
x1 − 2x2 + x3 = 0
5x1 − 9x2 + 5x3 = 1
(c)
x2 + x4 = 1
3x1 − 2x2 − 3x3 + 4x4 = −2
x1 + x2 − x3 + x4 = 2
x1 − x3 = 1
Výsledky: a)





2 − t
1
t

 , t ∈ R



,
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 20 / 26
Pøíklad 5.1.B3
Gaussovou metodou øe¹te soustavu lineárních rovnic (nad R):
(a)
2x1 − 3x2 + 2x3 = 1
x1 − 2x2 + x3 = 0
5x1 − 9x2 + 5x3 = 1
(c)
x2 + x4 = 1
3x1 − 2x2 − 3x3 + 4x4 = −2
x1 + x2 − x3 + x4 = 2
x1 − x3 = 1
Výsledky: a)





2 − t
1
t

 , t ∈ R



, c)







1 + t
3
2
t
−1
2



 , t ∈ R



.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 20 / 26
Dodateèný pøíklad
Gaussovou metodou øe¹te soustavu lineárních rovnic (nad R):
x2 + x4 = 1
3x1 − 2x2 − 3x3 + 4x4 = −2
x1 + x2 − x3 + x4 = 2
3x1 + 7x2 + 7x3 + 2x4 = 12
x1 − x3 = 1
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 21 / 26
Dodateèný pøíklad
Gaussovou metodou øe¹te soustavu lineárních rovnic (nad R):
x2 + x4 = 1
3x1 − 2x2 − 3x3 + 4x4 = −2
x1 + x2 − x3 + x4 = 2
3x1 + 7x2 + 7x3 + 2x4 = 12
x1 − x3 = 1
Výsledek: 






5
2
3
2
− 1
20
−1
2







Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 21 / 26
Standardní báze vektorových prostorù
Nejbì¾nìj¹ím zpùsobem, jak zadat vektor, je zápis jeho souøadnic ve
standardní bázi. Napø. ve vektorovém prostoru R2 jde o bázi
S2 =
1
0
,
0
1
,
ve vektorovém prostoru R3 se jedná o bázi
S3 =




1
0
0

 ,


0
1
0

 ,


0
0
1



 .
Nìkdy v¹ak bude úèelné zvolit jinou bázi, v ní¾ budeme vektory vyjadøovat.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 22 / 26
Vyjádøení vektoru v jiné bázi
Pøíklad 3.3.B5: Ovìøte, zda zadané vektory tvoøí bázi α vekt. prostoru
R3. Pokud ano, najdìte souøadnice vektoru ⃗w = (0; 1; 2)S v bázi α.
a) α =




1
2
−1

 ,


1
1
0

 ,


2
−1
3




b) α =




1
2
−1

 ,


2
−1
1

 ,


−1
1
2




c) α =




1
2
−2

 ,


1
1
−1

 ,


−2
−1
2




Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 23 / 26
Vyjádøení vektoru v jiné bázi
Pøíklad 3.3.B5: Ovìøte, zda zadané vektory tvoøí bázi α vekt. prostoru
R3. Pokud ano, najdìte souøadnice vektoru ⃗w = (0; 1; 2)S v bázi α.
a) α =




1
2
−1

 ,


1
1
0

 ,


2
−1
3




b) α =




1
2
−1

 ,


2
−1
1

 ,


−1
1
2




c) α =




1
2
−2

 ,


1
1
−1

 ,


−2
−1
2




Výsledky: a) vektory netvoøí bázi, b)


3
14
5
14
13
14


α
, c)


−2
8
3


α
.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 23 / 26
Vyjádøení vektoru v jiné bázi
Pøíklad 3.4.B23: Ve vektorovém prostoru R4 jsou dány lineárnì nezávislé
vektory ⃗u1 =




1
1
1
1



 , ⃗u2 =




0
1
1
1



 , ⃗u3 =




0
0
1
1



 , ⃗u4 =




0
0
0
1



.
Vyjádøete souøadnice vektoru ⃗w =




2
1
1
4




a) v bázi α = (⃗u1, ⃗u2, ⃗u3, ⃗u4);
b) v bází β = (⃗u3, ⃗u2, ⃗u4, ⃗u1).
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 24 / 26
Vyjádøení vektoru v jiné bázi
Pøíklad 3.4.B23: Ve vektorovém prostoru R4 jsou dány lineárnì nezávislé
vektory ⃗u1 =




1
1
1
1



 , ⃗u2 =




0
1
1
1



 , ⃗u3 =




0
0
1
1



 , ⃗u4 =




0
0
0
1



.
Vyjádøete souøadnice vektoru ⃗w =




2
1
1
4




a) v bázi α = (⃗u1, ⃗u2, ⃗u3, ⃗u4);
b) v bází β = (⃗u3, ⃗u2, ⃗u4, ⃗u1).
Výsledky: 3.4.B23.a)




2
−1
0
3




α
, b)




0
−1
3
2




β
.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 24 / 26
Vektor pøíslu¹ející vektorovému podprostoru
Ve vektorovém prostoru R3 jsou dány vektory ⃗u =


0
2
5

 , ⃗v =


1
2
1

.
Zjistìte, zda vektory ⃗u, ⃗v le¾í ve vektorovém podprostoru W generovaném
následující skupinou vektorù.
a) ⃗x =


1
−1
3

 , ⃗y =


−2
4
−1

 , ⃗z =


−1
3
2


b) ⃗x =


2
−3
0

 , ⃗y =


−1
5
−2

 , ⃗z =


0
−4
1


c) ⃗x =


3
5
−2

 , ⃗y =


2
3
−3

.
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 25 / 26
Výsledky pøedchozího pøíkladu
(a) ⃗u ∈ W , ⃗v /∈ W ;
(b) ⃗u ∈ W , ⃗v ∈ W ;
(c) ⃗u /∈ W , ⃗v ∈ W .
Luká¹ Másilko 3. cvièení 16. 10. 2024 26 / 26