MA0005 Algebra 2, 4. semináø
23. 10. 2024
Luká¹ Másilko 4. cvièení 23. 10. 2024 1 / 11
Náplò cvièení
1 Podprostor vektorového prostoru
Ovìøení podmínek vektorového podprostoru
Souèet a prùnik vektorových podprostorù
Literatura
Horák, P.: Cvièení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání.
Masarykova univerzita v Brnì, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
Luká¹ Másilko 4. cvièení 23. 10. 2024 2 / 11
Vektorový prostor
Denice vektorového podprostoru
Vektorový podprostor prostoru (V , +, ·) nad tìlesem (T, +, ·) je taková
podmno¾ina W prostoru V , která je uzavøená vzhledem k operaci +
(sèítání vektorù) a · (násobení vektoru skalárem):
1 ∀⃗u, ⃗v ∈ W : ⃗u + ⃗v ∈ W
"1" ∀⃗u ∈ W , ∀t ∈ T : t · ⃗u ∈ W
Poznámka: Vektorový podprostor je tedy uzavøený na lineární kombinaci
svých vektorù, platí v¹ak pro nìj v¹echny podmínky jako pro vektorový
prostor!
Luká¹ Másilko 4. cvièení 23. 10. 2024 3 / 11
Ovìøení podmínek vektorového podprostoru
Pøíklad 3.2.B3: Rozhodnìte, zda podmno¾ina W ⊆ Q4 je podprostorem
vektorového prostoru Q4, je-li:
(a) W =







0
0
0
0



 ,




1
1
1
1



 ,




−1
−1
−1
−1







(b) W =







x1
x2
x3
x4



 , x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 0



(c) W =







x1
x2
x3
x4



 , x2 = x3 = x4



Luká¹ Másilko 4. cvièení 23. 10. 2024 4 / 11
Ovìøení podmínek vektorového podprostoru
Pøíklad 3.2.B3: Rozhodnìte, zda podmno¾ina W ⊆ Q4 je podprostorem
vektorového prostoru Q4, je-li:
(d) W =







2s + t
s − t
t
s



 , t, s ∈ Q libovolné



Luká¹ Másilko 4. cvièení 23. 10. 2024 5 / 11
Ovìøení podmínek vektorového podprostoru
Pøíklad 3.2.B3: Rozhodnìte, zda podmno¾ina W ⊆ Q4 je podprostorem
vektorového prostoru Q4, je-li:
(d) W =







2s + t
s − t
t
s



 , t, s ∈ Q libovolné



Výsledky: 3.2.B3.(a) ne, (b) ne, (c) ano, (d) ano.
Luká¹ Másilko 4. cvièení 23. 10. 2024 5 / 11
Ovìøení podmínek vektorového podprostoru
Pøíklad z písemky: Rozhodnìte, zda rovina ϱ je vektorovým
podprostorem aritmetického vektorového prostoru R3, je-li:
(a) ϱ : 2x + y − 3z + 6 = 0
(b) ϱ : 2x + y − z = 0
(c) ϱ : x − 2y + 3z − 6 = 0
(d) ϱ : x + 4y − 2z = 0
Luká¹ Másilko 4. cvièení 23. 10. 2024 6 / 11
Ovìøení podmínek vektorového podprostoru
Pøíklad z písemky: Rozhodnìte, zda rovina ϱ je vektorovým
podprostorem aritmetického vektorového prostoru R3, je-li:
(a) ϱ : 2x + y − 3z + 6 = 0
(b) ϱ : 2x + y − z = 0
(c) ϱ : x − 2y + 3z − 6 = 0
(d) ϱ : x + 4y − 2z = 0
Pøíklad z písemky: (a) ne, (b) ano, (c) ne, (d) ano.
Vysvìtlení: roviny jsou podprostorem R3, právì kdy¾ v nich le¾í poèátek
(tedy obsahují nulový vektor ⃗o). Stejnì tak to platí i pro pøímky ve
vektorovém prostoru R3, pøípadnì R2.
Luká¹ Másilko 4. cvièení 23. 10. 2024 6 / 11
Lineární obal mno¾iny vektorù
Lineární obal mno¾iny vektorù
Lineárním obalem mno¾iny (ne nutnì nezávislých) vektorù {⃗v1, ⃗v2, . . . , ⃗vk}
z vektorového prostoru V nad tìlesem (T, +, ·) rozumíme mno¾inu
{α1 · ⃗v1 + α2 · ⃗v2 + · · · + αk · ⃗vk | α1, α2, . . . αk ∈ T} vzniklou jakoukoli
lineární kombinací vektorù {⃗v1, ⃗v2, . . . , ⃗vk}.
Znaèíme jej L(⃗v1, ⃗v2, . . . , ⃗vk) nebo ⟨{⃗v1, ⃗v2, . . . , ⃗vk}⟩.
Alternativnì øíkáme, ¾e L(⃗v1, ⃗v2, . . . , ⃗vk) je podprostor generovaný vektory
⃗v1, ⃗v2, . . . , ⃗vk.
Luká¹ Másilko 4. cvièení 23. 10. 2024 7 / 11
Souèet a prùnik vektorových podprostorù
Souèet a prùnik vektorových podprostorù
Souètem W1 + W2 vektorových podprostorù W1, W2 prostoru V nad
tìlesem (T, +, ·) rozumíme lineární obal jejich sjednocení, tj.
W1 + W2 = L(W1 ∪ W2) = {α · ⃗u + β · ⃗v | α, β ∈ T, ⃗u ∈ W1, ⃗v ∈ W2}
Prùnikem W1 ∩ W2 vektorových podprostorù W1, W2 prostoru V nad
tìlesem (T, +, ·) rozumíme mno¾inu vektorù, které le¾í ve W1 i W2
zároveò, tj.
W1 ∩ W2 = {⃗u ∈ V | ⃗u ∈ W1 ∧ ⃗u ∈ W2}
Vìta: Jsou-li W1, W2 podprostory s koneènou dimenzí, pak platí
dim (W1 + W2) = dim W1 + dim W2 − dim (W1 ∩ W2).
Luká¹ Másilko 4. cvièení 23. 10. 2024 8 / 11
Dimenze a báze souètu a prùniku podprostorù
Pøíklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory
W1, W2. Urèete dimenzi a bázi podprostorù W1 + W2, W1 ∩ W2, je-li:
(a) V = R3, W1 = L(⃗u1, ⃗u2), W2 = L(⃗v1, ⃗v2, ⃗v3),
⃗u1 =


1
1
−3

 , ⃗u2 =


1
2
2

,
⃗v1 =


1
1
−1

 , ⃗v2 =


1
2
1

 , ⃗v3 =


1
3
3

;
Luká¹ Másilko 4. cvièení 23. 10. 2024 9 / 11
Dimenze a báze souètu a prùniku podprostorù
Pøíklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory
W1, W2. Urèete dimenzi a bázi podprostorù W1 + W2, W1 ∩ W2, je-li:
(a) V = R3, W1 = L(⃗u1, ⃗u2), W2 = L(⃗v1, ⃗v2, ⃗v3),
⃗u1 =


1
1
−3

 , ⃗u2 =


1
2
2

,
⃗v1 =


1
1
−1

 , ⃗v2 =


1
2
1

 , ⃗v3 =


1
3
3

;
Výsledek:
dim (W1 + W2) = 3, pøíklad báze: αW1+W2
= (⃗u1, ⃗u2, ⃗v1),
dim (W1 ∩ W2) = 1, pøíklad báze: αW1∩W2
=




3
5
1




Luká¹ Másilko 4. cvièení 23. 10. 2024 9 / 11
Dimenze a báze souètu a prùniku podprostorù
Pøíklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory
W1, W2. Urèete dimenzi a bázi podprostorù W1 + W2, W1 ∩ W2, je-li:
(b) V = R4, W1 = ⟨{⃗u1, ⃗u2, ⃗u3}⟩, W2 = ⟨{⃗v1, ⃗v2, ⃗v3}⟩,
⃗u1 =




1
2
0
2



 , ⃗u2 =




1
2
1
2



 , ⃗u3 =




3
1
3
1



,
⃗v1 =




1
1
1
1



 , ⃗v2 =




1
−1
1
−1



 , ⃗v3 =




1
3
1
3



.
Výsledek:
Luká¹ Másilko 4. cvièení 23. 10. 2024 10 / 11
Dimenze a báze souètu a prùniku podprostorù
Pøíklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory
W1, W2. Urèete dimenzi a bázi podprostorù W1 + W2, W1 ∩ W2, je-li:
(b) V = R4, W1 = ⟨{⃗u1, ⃗u2, ⃗u3}⟩, W2 = ⟨{⃗v1, ⃗v2, ⃗v3}⟩,
⃗u1 =




1
2
0
2



 , ⃗u2 =




1
2
1
2



 , ⃗u3 =




3
1
3
1



,
⃗v1 =




1
1
1
1



 , ⃗v2 =




1
−1
1
−1



 , ⃗v3 =




1
3
1
3



.
Výsledek:
dim (W1 + W2) = 3, pøíklad báze: αW1+W2
= (⃗u1, ⃗u2, ⃗v1),
dim (W1 ∩ W2) = 2, pøíklad báze: αW1∩W2
= (⃗u2; ⃗u3).
Luká¹ Másilko 4. cvièení 23. 10. 2024 10 / 11
Dimenze a báze souètu a prùniku podprostorù
Pøíklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory
W1, W2. Urèete dimenzi a bázi podprostorù W1 + W2, W1 ∩ W2, je-li:
(c) V = R4, W1 = L(⃗u1, ⃗u2), W2 = L(⃗v1, ⃗v2),
⃗u1 =




1
1
1
1



 , ⃗u2 =




1
0
1
0



 , ⃗v1 =




1
1
1
0



 , ⃗v2 =




1
2
0
1



.
Luká¹ Másilko 4. cvièení 23. 10. 2024 11 / 11
Dimenze a báze souètu a prùniku podprostorù
Pøíklad 3.4.B17: Ve vektorovém prostoru V jsou zadány podprostory
W1, W2. Urèete dimenzi a bázi podprostorù W1 + W2, W1 ∩ W2, je-li:
(c) V = R4, W1 = L(⃗u1, ⃗u2), W2 = L(⃗v1, ⃗v2),
⃗u1 =




1
1
1
1



 , ⃗u2 =




1
0
1
0



 , ⃗v1 =




1
1
1
0



 , ⃗v2 =




1
2
0
1



.
Výsledek:
dim (W1 + W2) = 4, pøíklad báze: αW1+W2
= (⃗u1, ⃗u2, ⃗v1, ⃗v2),
dim (W1 ∩ W2) = 0, báze tedy neexistuje.
Luká¹ Másilko 4. cvièení 23. 10. 2024 11 / 11