MA0005 Algebra 2, 6. semináø
6. 11. 2024
Luká¹ Másilko 6. cvièení 6. 11. 2024 1 / 9
Náplò cvièení
1 Dal¹í zpùsoby øe¹ení SLR
Gauss-Jordanova metoda øe¹ení SLR
Princip superpozice
Literatura
Horák, P.: Cvièení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání.
Masarykova univerzita v Brnì, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
Kovár, M.: Maticový a tenzorový poèet. Vysoké uèení technické
v Brnì, Fakulta elektrotechniky a komunikaèních technologií, Ústav
matematiky.
Luká¹ Másilko 6. cvièení 6. 11. 2024 2 / 9
Gauss-Jordanova metoda øe¹ení SLR
SLR A · ⃗x = ⃗b (matice A je ètvercová) lze zapsat takto:





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
an1 an2 . . . ann





·





x1
x2
...
xn





=





b1
b2
...
bn





Luká¹ Másilko 6. cvièení 6. 11. 2024 3 / 9
Gauss-Jordanova metoda øe¹ení SLR
SLR A · ⃗x = ⃗b (matice A je ètvercová) lze zapsat takto:





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
an1 an2 . . . ann





·





x1
x2
...
xn





=





b1
b2
...
bn





Je-li matice A regulární, je mo¾né systém A · ⃗x = ⃗b vyøe¹it tzv.
Gauss-Jordanovou metodou zalo¾enou na aplikaci elementárních
øádkových úprav a dosa¾ení ní¾e uvedeného tvaru:
(A|⃗b) ∼ · · · ∼ (E|⃗y),
pøièem¾ E je jednotková matice a ⃗y je vektor s øe¹ením systému A · ⃗x = ⃗b.
Luká¹ Másilko 6. cvièení 6. 11. 2024 3 / 9
Gauss-Jordanova metoda øe¹ení SLR
Pomocí Gauss-Jordanovy metody øe¹te následující systémy lineárních
rovnic:
(a)
x + 2y + 3z = 9
2x − y + z = 8
3x − z = 3
(b)
x + 2y + z = 3
2x + y − z = 3
−x − 2z = 2
(c)
4x + y + 3z = 1
−3x − 6y − 6z = 0
−3x − 4y − 5z = −2
Luká¹ Másilko 6. cvièení 6. 11. 2024 4 / 9
Gauss-Jordanova metoda øe¹ení SLR
Pomocí Gauss-Jordanovy metody øe¹te následující systémy lineárních
rovnic:
(a)
x + 2y + 3z = 9
2x − y + z = 8
3x − z = 3
(b)
x + 2y + z = 3
2x + y − z = 3
−x − 2z = 2
(c)
4x + y + 3z = 1
−3x − 6y − 6z = 0
−3x − 4y − 5z = −2
Výsledky: a) (x, y, z)T = (2, −1, 3)T ,
Luká¹ Másilko 6. cvièení 6. 11. 2024 4 / 9
Gauss-Jordanova metoda øe¹ení SLR
Pomocí Gauss-Jordanovy metody øe¹te následující systémy lineárních
rovnic:
(a)
x + 2y + 3z = 9
2x − y + z = 8
3x − z = 3
(b)
x + 2y + z = 3
2x + y − z = 3
−x − 2z = 2
(c)
4x + y + 3z = 1
−3x − 6y − 6z = 0
−3x − 4y − 5z = −2
Výsledky: a) (x, y, z)T = (2, −1, 3)T , b) (x, y, z)T = (0, 2, −1)T ,
Luká¹ Másilko 6. cvièení 6. 11. 2024 4 / 9
Gauss-Jordanova metoda øe¹ení SLR
Pomocí Gauss-Jordanovy metody øe¹te následující systémy lineárních
rovnic:
(a)
x + 2y + 3z = 9
2x − y + z = 8
3x − z = 3
(b)
x + 2y + z = 3
2x + y − z = 3
−x − 2z = 2
(c)
4x + y + 3z = 1
−3x − 6y − 6z = 0
−3x − 4y − 5z = −2
Výsledky: a) (x, y, z)T = (2, −1, 3)T , b) (x, y, z)T = (0, 2, −1)T ,
c) (x, y, z)T = (−2, −3, 4)T .
Luká¹ Másilko 6. cvièení 6. 11. 2024 4 / 9
Homogenní vs. nehomogenní SLR
Motivaèní pøíklad: Pomocí Gaussovy eliminaèní metody vyøe¹te oba
systémy a porovnejte výsledky.
1. Nehomogenní systém:
x1 + x2 − 3x3 = −1
2x1 − x2 − 3x4 = 5
x1 + x2 + x3 = 3
x1 − 2x2 − x3 − 3x4 = 2
2. Homogenní systém:
x1 + x2 − 3x3 = 0
2x1 − x2 − 3x4 = 0
x1 + x2 + x3 = 0
x1 − 2x2 − x3 − 3x4 = 0
Luká¹ Másilko 6. cvièení 6. 11. 2024 5 / 9
Homogenní vs. nehomogenní SLR
Motivaèní pøíklad: Pomocí Gaussovy eliminaèní metody vyøe¹te oba
systémy a porovnejte výsledky.
1. Nehomogenní systém:
x1 + x2 − 3x3 = −1
2x1 − x2 − 3x4 = 5
x1 + x2 + x3 = 3
x1 − 2x2 − x3 − 3x4 = 2
2. Homogenní systém:
x1 + x2 − 3x3 = 0
2x1 − x2 − 3x4 = 0
x1 + x2 + x3 = 0
x1 − 2x2 − x3 − 3x4 = 0
1. K = {[7
3, −1
3, 1, 0]T + t · (1, −1, 0, 1)T , t ∈ R},
2. K = {[0, 0, 0, 0]T + t · (1, −1, 0, 1)T , t ∈ R}
Luká¹ Másilko 6. cvièení 6. 11. 2024 5 / 9
Princip superpozice
Denice 18
Obecné øe¹ení SLR = øe¹ení, ve kterém se vyskytují parametry.
Partikulární øe¹ení SLR = øe¹ení, které dostaneme konkrétní volbou
parametrù.
Fundamentální systém øe¹ení homogenního SLR = taková mno¾ina
øe¹ení, která tvoøí bázi vektorového podprostoru øe¹ení SLR.
Luká¹ Másilko 6. cvièení 6. 11. 2024 6 / 9
Princip superpozice
Denice 18
Obecné øe¹ení SLR = øe¹ení, ve kterém se vyskytují parametry.
Partikulární øe¹ení SLR = øe¹ení, které dostaneme konkrétní volbou
parametrù.
Fundamentální systém øe¹ení homogenního SLR = taková mno¾ina
øe¹ení, která tvoøí bázi vektorového podprostoru øe¹ení SLR.
Z pøedchozího pøíkladu: K = {[7
3, −1
3, 1, 0]T + t · (1, −1, 0, 1)T , t ∈ R}
je obecné øe¹ení nehomogenního SLR. Volbou t = 1 dostáváme
partikulární øe¹ení [10
3 , −4
3, 1, 1]T . Obecné øe¹ení homogenního SLR (tj.
t · (1, −1, 0, 1)T , t ∈ R) je zároveò fundamentálním systémem øe¹ení.
Luká¹ Másilko 6. cvièení 6. 11. 2024 6 / 9
Princip superpozice
Denice 18
Obecné øe¹ení SLR = øe¹ení, ve kterém se vyskytují parametry.
Partikulární øe¹ení SLR = øe¹ení, které dostaneme konkrétní volbou
parametrù.
Fundamentální systém øe¹ení homogenního SLR = taková mno¾ina
øe¹ení, která tvoøí bázi vektorového podprostoru øe¹ení SLR.
Z pøedchozího pøíkladu: K = {[7
3, −1
3, 1, 0]T + t · (1, −1, 0, 1)T , t ∈ R}
je obecné øe¹ení nehomogenního SLR. Volbou t = 1 dostáváme
partikulární øe¹ení [10
3 , −4
3, 1, 1]T . Obecné øe¹ení homogenního SLR (tj.
t · (1, −1, 0, 1)T , t ∈ R) je zároveò fundamentálním systémem øe¹ení.
Princip superpozice
Obecné øe¹ení nehomogenního SLR = obecné øe¹ení homogenního SLR +
partikulární øe¹ení nehomogenního SLR.
Luká¹ Másilko 6. cvièení 6. 11. 2024 6 / 9
Princip superpozice
Poznámka
Partikulární øe¹ení hledáme tak, ¾e napø. uhodneme neznámé, nebo
nìkteré neznámé zvolíme jako nulové a ostatní dopoèítáme.
Princip superpozice je u¾iteènou metodou v pøípadì, kdy má
nehomogenní SLR nekoneènì mnoho øe¹ení.
Luká¹ Másilko 6. cvièení 6. 11. 2024 7 / 9
Princip superpozice
Poznámka
Partikulární øe¹ení hledáme tak, ¾e napø. uhodneme neznámé, nebo
nìkteré neznámé zvolíme jako nulové a ostatní dopoèítáme.
Princip superpozice je u¾iteènou metodou v pøípadì, kdy má
nehomogenní SLR nekoneènì mnoho øe¹ení.
Pøíklad: Pomocí principu superpozice vyøe¹te zadaný systém lineárních
rovnic.
x1 + x2 + 2x3 − 5x4 = 3
2x1 + 5x2 − x3 − 9x4 = −3
2x1 + x2 − x3 + 3x4 = −11
x1 − 3x2 + 2x3 + 7x4 = −5
Luká¹ Másilko 6. cvièení 6. 11. 2024 7 / 9
Princip superpozice
Poznámka
Partikulární øe¹ení hledáme tak, ¾e napø. uhodneme neznámé, nebo
nìkteré neznámé zvolíme jako nulové a ostatní dopoèítáme.
Princip superpozice je u¾iteènou metodou v pøípadì, kdy má
nehomogenní SLR nekoneènì mnoho øe¹ení.
Pøíklad: Pomocí principu superpozice vyøe¹te zadaný systém lineárních
rovnic.
x1 + x2 + 2x3 − 5x4 = 3
2x1 + 5x2 − x3 − 9x4 = −3
2x1 + x2 − x3 + 3x4 = −11
x1 − 3x2 + 2x3 + 7x4 = −5
Výsledek: obecné øe¹ení homogenního SLR (po volbì x4 = t) je
t · (−2, 3, 2, 1)T , t ∈ R. Volbou x4 = 0 dostaneme toto obecné øe¹ení
zadaného systému: K = {[−5, 2, 3, 0]T + t · (−2, 3, 2, 1)T , t ∈ R}.
Luká¹ Másilko 6. cvièení 6. 11. 2024 7 / 9
Princip superpozice
Pøíklad: Pomocí principu superpozice vyøe¹te zadaný systém lineárních
rovnic.
(a)
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5
x1 + 3x2 + 5x3 + 7x4 = 11
x1 − x3 − 2x4 = −7
(b)
3x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 2
2x1 + 3x2 + 2x3 + 5x4 = 3
9x1 + x2 + 4x3 − 5x4 = 1
2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5
7x1 + x2 + 6x3 − x4 = 7
Luká¹ Másilko 6. cvièení 6. 11. 2024 8 / 9
Výsledky pøíkladù
(a) obecné øe¹ení homogenního SLR (po volbì x3 = t, x4 = s) je
{t · (0, −2, 1, 0)T
+ s · (3, −3, 0, 1)T
, t, s ∈ R}.
Volbou x3 = x4 = 0 dostaneme toto obecné øe¹ení zadaného systému:
K = {[−7, 6, 0, 0]T
+ t · (0, −2, 1, 0)T
+ s · (3, −3, 0, 1)T
, t, s ∈ R}.
(b) obecné øe¹ení homogenního SLR (po volbì x4 = t) je
{t · (−20, 1, 6, 7)T
, t ∈ R}.
Volbou x1 = 0 dostaneme toto obecné øe¹ení zadaného systému:
K = {[0, −
5
4
,
3
2
,
3
4
]T
+ t · (−20, 1, 6, 7)T
, t ∈ R}.
Luká¹ Másilko 6. cvièení 6. 11. 2024 9 / 9