MA0005 Algebra 2, 7. semináø
13. 11. 2024
Luká¹ Másilko 7. cvièení 13. 11. 2024 1 / 14
Náplò cvièení
1 Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory
Reprezentace lineárního zobrazení
Lineární zobrazení pøímky a roviny
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Horák, P.: Cvièení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání.
Masarykova univerzita v Brnì, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
Isibalo.com: Matematika { Lineární algebra. Dostupné z:
https://isibalo.com/matematika/linearni-algebra.
Èadek, M.: Sbírka úloh z lineární algebry. 2002. Dostupné z:
http://www.math.muni.cz/~cadek/LA/sbirka.pdf.
Sobotíková, V. Øe¹ené úlohy z Úvodu do algebry. Dostupné z:
http://www.vrstevnice.com/akce/grandaction/vskola/
1semestr/lingebra/resPriklady.pdf.
Luká¹ Másilko 7. cvièení 13. 11. 2024 2 / 14
Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory
Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory
Jsou dány dva vektorové prostory (V , +, ·) dimenze n ∈ N a (V ′, +, ·)
dimenze m ∈ N nad èíselným tìlesem (T, +, ·). Lineárním zobrazením
mezi prostory V , V ′ rozumíme zobrazení φ : V → V ′ splòující tyto dvì
podmínky:
1 φ(⃗u + ⃗v) = φ(⃗u) + φ(⃗v),
2 φ(α · ⃗u) = α · φ(⃗u)
pro ⃗u, ⃗v ∈ V , α ∈ T.
Luká¹ Másilko 7. cvièení 13. 11. 2024 3 / 14
Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory
Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory
Jsou dány dva vektorové prostory (V , +, ·) dimenze n ∈ N a (V ′, +, ·)
dimenze m ∈ N nad èíselným tìlesem (T, +, ·). Lineárním zobrazením
mezi prostory V , V ′ rozumíme zobrazení φ : V → V ′ splòující tyto dvì
podmínky:
1 φ(⃗u + ⃗v) = φ(⃗u) + φ(⃗v),
2 φ(α · ⃗u) = α · φ(⃗u)
pro ⃗u, ⃗v ∈ V , α ∈ T.
Poznámka: Lineární zobrazení lze zadat tøemi zpùsoby:
pomocí pøedpisu mezi souøadnicemi vektoru ⃗u ∈ V a φ(⃗u) ∈ V ′,
pomocí matice A typu m × n, tj. φ(⃗u) = A · ⃗u,
pomocí obrazù φ(⃗e1), φ(⃗e2), . . . , φ(⃗en) bázových vektorù prostoru V .
Luká¹ Másilko 7. cvièení 13. 11. 2024 3 / 14
Reprezentace lineárního zobrazení
Pøíklad 1
Lineární zobrazení φ : V → V ′ je zadáno pøedpisem pro vektor ⃗x ∈ V .
Najdìte matici A zobrazení φ a obrazy standardní báze prostoru V .
Najdìte φ(⃗u), φ(⃗v).
1 φ : R2 → R3, φ(x1, x2) = (2x1 + x2, x2, x2 − x1), ⃗u = (2, 3)T , ⃗v =
(−2, 1)T .
2 φ : R3 → R4, φ(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x2 + x3, x3 + x1, x1),
⃗u = (4, −1, 0)T , ⃗v = (−3, 0, 5)T .
3 φ : R3 → R2, φ(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x2 + x3),
⃗u = (0, 2, −3)T , ⃗v = (−1, 1, 2)T .
Luká¹ Másilko 7. cvièení 13. 11. 2024 4 / 14
Výsledky pøíkladu 1
1. A =


2 1
0 1
−1 1

,
φ(1, 0) = (2, 0, −1)T , φ(0, 1) = (1, 1, 1)T ,
φ(2, 3) = (7, 3, 1)T , φ(−2, 1) = (−3, 1, 3)T .
2. A =




1 1 0
0 1 1
1 0 1
1 0 0



,
φ(1, 0, 0) = (1, 0, 1, 1)T , φ(0, 1, 0) = (1, 1, 0, 0)T , φ(0, 0, 1) = (0, 1, 1, 0)T ,
φ(4, −1, 0) = (3, −1, 4, 4)T , φ(−3, 0, 5) = (−3, 5, 2, −3)T .
3. A =
1 1 0
0 1 1
,
φ(1, 0, 0) = (1, 0)T , φ(0, 1, 0) = (1, 1)T , φ(0, 0, 1) = (0, 1)T ,
φ(0, 2, −3) = (2, −1)T , φ(−1, 1, 2) = (0, 3)T .
Luká¹ Másilko 7. cvièení 13. 11. 2024 5 / 14
Reprezentace lineárního zobrazení
Pøíklad 2
Lineární zobrazení φ : V → V ′ je zadáno obrazy bázových vektorù V .
Najdìte matici A zobrazení φ.
Najdìte φ(⃗u), φ(⃗v).
1 φ : R3 → R2,
φ(1, 0, 2) = (1, 3)T , φ(−3, 4, −2) = (2, −1)T , φ(0, 2, 1) = (−3, 5)T ,
⃗u = (1, 4, 2)T , ⃗v = (−1, 0, 4)T .
2 φ : R3 → R2,
φ(1, 2, −3) = (−2, 1)T , φ(2, 1, −2) = (1, 1)T , φ(1, −4, 5) = (8, −1)T ,
⃗u = (3, 6, −1)T , ⃗v = (0, 3, 2)T .
3 φ : R3 → R4,
φ(1, 0, 1) = (1, 0, 1, 0)T , φ(1, 1, 0) = (0, 0, 0, 0)T ,
φ(0, 1, 1) = (0, 1, 0, 1)T ,
⃗u = (2, 4, 6)T , ⃗v = (−4, 0, 2)T .
Luká¹ Másilko 7. cvièení 13. 11. 2024 6 / 14
Výsledky pøíkladu 2
1. A =
−10 −17
4
11
2
5 3 −1
,
φ(1, 4, 2) = (−16, 15)T , φ(−1, 0, 4) = (32, −9)T .
2. zadané vektory netvoøí bázi prostoru V = R3.
3. A = 1
2




1 −1 1
−1 1 1
1 −1 1
−1 1 1



,
φ(2, 4, 6) = (2, 4, 2, 4)T , φ(−4, 0, 2) = (−1, 3, −1, 3)T .
Luká¹ Másilko 7. cvièení 13. 11. 2024 7 / 14
Zobrazení pøímky a roviny
Pøíklad 3
Je dána pøímka p a rovina ϱ:
p = {[1 + t, 2 − t, 1 − t]; t ∈ R}
ϱ : 2x − 3y + z + 1 = 0
Zjistìte, na jakou mno¾inu bodù se pøímka p a rovina ϱ zobrazí pomocí
lineárního zobrazení:
φ1 : R3 → R3, které je zadáno maticí
A =


3 2 1
1 0 2
1 2 −3


φ2 : R3 → R3, které je zadáno maticí
A =


2 1 0
0 1 1
1 1 −1


Luká¹ Másilko 7. cvièení 13. 11. 2024 8 / 14
Výsledky pøíkladu 3
1. φ1(p) = {[8, 3 − t, 2 + 2t]T ; t ∈ R}
φ1(ϱ) : x − 2y − z = 0
2. φ2(p) = {[4 + t, 3 − 2t, 2 + t]T ; t ∈ R}
φ2(ϱ) : 8x − 7y − 10z + 3 = 0
Luká¹ Másilko 7. cvièení 13. 11. 2024 9 / 14
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Je dáno lineární zobrazení φ : V → V ′ mezi vektorovými prostory V
(dimenze n) a V ′ (dimenze m).
1 Jádrem Ker φ zobrazení φ rozumíme mno¾inu vektorù ⃗u ∈ V , které se
zobrazí na nulový vektor, tj.
Ker φ = {⃗u ∈ V | φ(⃗u) = ⃗oV ′ }.
2 Oborem hodnot Im φ zobrazení φ rozumíme mno¾inu vektorù ⃗v ∈ V ′,
pro které existuje nìjaký vzor, tj.
Im φ = {⃗v ∈ V ′ | ∃⃗u ∈ V : φ(⃗u) = ⃗v}.
Luká¹ Másilko 7. cvièení 13. 11. 2024 10 / 14
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Je dáno lineární zobrazení φ : V → V ′ mezi vektorovými prostory V
(dimenze n) a V ′ (dimenze m).
1 Jádrem Ker φ zobrazení φ rozumíme mno¾inu vektorù ⃗u ∈ V , které se
zobrazí na nulový vektor, tj.
Ker φ = {⃗u ∈ V | φ(⃗u) = ⃗oV ′ }.
2 Oborem hodnot Im φ zobrazení φ rozumíme mno¾inu vektorù ⃗v ∈ V ′,
pro které existuje nìjaký vzor, tj.
Im φ = {⃗v ∈ V ′ | ∃⃗u ∈ V : φ(⃗u) = ⃗v}.
Poznámka:
Ker φ a Im φ jsou vektorové podprostory.
dim(Ker φ) = n − h(A) = dim V − h(A), kde A je matice lineárního
zobrazení φ.
dim(Im φ) = h(A).
dim V = dim(Ker φ) + dim(Im φ).
Luká¹ Másilko 7. cvièení 13. 11. 2024 10 / 14
Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení
Pøíklad 4
Naleznìte jádro a obor hodnot lineárního zobrazení φ a urèete jejich
dimenze.
1 φ : R3 → R4, φ(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x2 + x3, x3 + x1, x1)
2 φ : R3 → R2, φ(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x2 + x3)
3 φ : R3 → R4, φ(1, 2, 1) = (−1, 1, 1, 1)T ,
φ(0, 1, 2) = (1, 0, 0, 1)T , φ(1, 0, −1) = (0, 1, 1, 2)T .
4 φ : R4 → R3, φ je dáno maticí
AS =


1 0 3 1
2 −1 4 1
−3 5 1 2

.
Luká¹ Másilko 7. cvièení 13. 11. 2024 11 / 14
Výsledky pøíkladu 4
1 dim(Ker φ) = 0, Ker φ = {(0, 0, 0)T },
dim(Im φ) = 3, Im φ = ⟨{(1, 0, 1, 1)T , (1, 1, 0, 0)T , (0, 1, 1, 0)T }⟩.
2 dim(Ker φ) = 1, Ker φ = ⟨{(1, −1, 1)T }⟩,
dim(Im φ) = 2, Im φ = ⟨{(1, 0)T , (0, 1)T }⟩.
3 dim(Ker φ) = 1, Ker φ = ⟨{(0, 3, 4)T }⟩,
dim(Im φ) = 2, Im φ = ⟨{(−1, 1, 1, 1)T , (1, 0, 0, 1)T }⟩.
4 dim(Ker φ) = 2, Ker φ = ⟨{(−3, −2, 1, 0)T , (−1, −1, 0, 1)T }⟩,
dim(Im φ) = 2, Im φ = ⟨{(1, 2, −3)T , (0, −1, 5)T }⟩.
Luká¹ Másilko 7. cvièení 13. 11. 2024 12 / 14
Pøíklad 5
Lineární zobrazení ψ je zadáno pomocí svého jádra a oboru hodnot.
Sestrojte matici Aψ zobrazení ψ. Pokud zjistíte, ¾e takových zobrazení
existuje více, staèí nalézt jedno z nich.
(a) ψ : R4 → R4,
Ker ψ = ((2; 2; 1; 0)T , (−5; −3; 0; 1)T ),
Im ψ = ((−1; −3; −1; −1)T , (1, 4, 3, 2)T ).
(b) ψ : R3 → R4,
Ker ψ = ((2; 2; 1)T , (1; 0; 1)T ),
Im ψ = ((1; 0; 1; 1)T ).
(c) ψ : R4 → R3,
Ker ψ = ((2; 0; 2; 1)T , (0; 1; −1; 1)T ),
Im ψ = ((1; 0; 1)T , (1; 1; 0)T ).
Luká¹ Másilko 7. cvièení 13. 11. 2024 13 / 14
Výsledky pøíkladu 5
(a) Aψ =




−1 1 0 −2
−3 4 −2 −3
−1 3 −4 4
−1 2 −2 1




(b) Aψ =




1 −1
2 −1
0 0 0
1 −1
2 −1
1 −1
2 −1




(c) Aψ =


1 1 −1
3 −4
3
0 1
1
3 −2
3
1 0 −2
3 −2
3


Luká¹ Másilko 7. cvièení 13. 11. 2024 14 / 14