MA0005 Algebra 2, 8. semináø
20. 11. 2024
Luká¹ Másilko 8. cvièení 20. 11. 2024 1 / 12
Náplò cvièení
1 Matice pøechodu
Matice pøechodu od jedné báze k druhé bázi
Zmìna matice lineárního zobrazení pøi zmìnì báze
Zmìna matice lineární transformace pøi zmìnì báze
Literatura a zdroje
Horák, P.: Cvièení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání.
Masarykova univerzita v Brnì, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
Isibalo.com: Matematika { Lineární algebra. Dostupné z:
https://isibalo.com/matematika/linearni-algebra.
Fiala, J. a kol. Sbírka úloh z matematiky. Matematicko-fyzikální
fakulta Univerzity Karlovy, 2008. Dostupné z:
https://kam.mff.cuni.cz/~sbirka.
Luká¹ Másilko 8. cvièení 20. 11. 2024 2 / 12
Matice pøechodu { motivace
Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvì rùzné báze
α = (⃗e1, ⃗e2, . . . ⃗en), β = (⃗f1, ⃗f2, . . . ⃗fn)
Luká¹ Másilko 8. cvièení 20. 11. 2024 3 / 12
Matice pøechodu { motivace
Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvì rùzné báze
α = (⃗e1, ⃗e2, . . . ⃗en), β = (⃗f1, ⃗f2, . . . ⃗fn)
Chceme-li vektor ⃗uα = (u1, u2, . . . , un)T zadaný v souøadnicích báze α
pøevést do souøadnic báze β, hledáme lineární kombinaci ⃗uα pomocí
vektorù báze β,
Luká¹ Másilko 8. cvièení 20. 11. 2024 3 / 12
Matice pøechodu { motivace
Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvì rùzné báze
α = (⃗e1, ⃗e2, . . . ⃗en), β = (⃗f1, ⃗f2, . . . ⃗fn)
Chceme-li vektor ⃗uα = (u1, u2, . . . , un)T zadaný v souøadnicích báze α
pøevést do souøadnic báze β, hledáme lineární kombinaci ⃗uα pomocí
vektorù báze β, tedy hledáme x1, x2, . . . , xn ∈ R tak, aby
(u1, u2, . . . , un)T
= ⃗f1 · x1 + ⃗f2 · x2 + · · · + ⃗fn · xn,
Luká¹ Másilko 8. cvièení 20. 11. 2024 3 / 12
Matice pøechodu { motivace
Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvì rùzné báze
α = (⃗e1, ⃗e2, . . . ⃗en), β = (⃗f1, ⃗f2, . . . ⃗fn)
Chceme-li vektor ⃗uα = (u1, u2, . . . , un)T zadaný v souøadnicích báze α
pøevést do souøadnic báze β, hledáme lineární kombinaci ⃗uα pomocí
vektorù báze β, tedy hledáme x1, x2, . . . , xn ∈ R tak, aby
(u1, u2, . . . , un)T
= ⃗f1 · x1 + ⃗f2 · x2 + · · · + ⃗fn · xn,
co¾ vede na øe¹ení systému ⃗u = β · ⃗x, tedy øe¹ení soustavy
β|⃗u =





f11 f12 . . . f1n u1
f21 f22 . . . f2n u2
...
... . . .
...
...
fn1 fn2 . . . fnn un





Luká¹ Másilko 8. cvièení 20. 11. 2024 3 / 12
Matice pøechodu { motivace
Motivace: Ve vektorovém prostoru V dimenze n jsou dány dvì rùzné báze
α = (⃗e1, ⃗e2, . . . ⃗en), β = (⃗f1, ⃗f2, . . . ⃗fn)
Chceme-li vektor ⃗uα = (u1, u2, . . . , un)T zadaný v souøadnicích báze α
pøevést do souøadnic báze β, hledáme lineární kombinaci ⃗uα pomocí
vektorù báze β, tedy hledáme x1, x2, . . . , xn ∈ R tak, aby
(u1, u2, . . . , un)T
= ⃗f1 · x1 + ⃗f2 · x2 + · · · + ⃗fn · xn,
co¾ vede na øe¹ení systému ⃗u = β · ⃗x, tedy øe¹ení soustavy
β|⃗u =





f11 f12 . . . f1n u1
f21 f22 . . . f2n u2
...
... . . .
...
...
fn1 fn2 . . . fnn un





Budeme takovou soustavu øe¹it pro ka¾dý vektor zvlá¹»?
Luká¹ Másilko 8. cvièení 20. 11. 2024 3 / 12
Matice pøechodu od jedné báze k druhé bázi
Libovolný vektor ⃗ei báze α lze vyjádøit v bázi β takto:
⃗ei = ⃗f1 · p1i + ⃗f2 · p2i + · · · + ⃗fn · pni =
n
k=1
⃗fk · pki ,
kde (p1i , p2i , . . . , pni )T je vektor ⃗ei vyjádøený v bázi β.
Luká¹ Másilko 8. cvièení 20. 11. 2024 4 / 12
Matice pøechodu od jedné báze k druhé bázi
Libovolný vektor ⃗ei báze α lze vyjádøit v bázi β takto:
⃗ei = ⃗f1 · p1i + ⃗f2 · p2i + · · · + ⃗fn · pni =
n
k=1
⃗fk · pki ,
kde (p1i , p2i , . . . , pni )T je vektor ⃗ei vyjádøený v bázi β.
Matice pøechodu
Maticí pøechodu Pα→β od báze α k bázi β rozumíme matici, pro ní¾ platí
β = α · Pα→β (1)
Luká¹ Másilko 8. cvièení 20. 11. 2024 4 / 12
Matice pøechodu od jedné báze k druhé bázi
Libovolný vektor ⃗ei báze α lze vyjádøit v bázi β takto:
⃗ei = ⃗f1 · p1i + ⃗f2 · p2i + · · · + ⃗fn · pni =
n
k=1
⃗fk · pki ,
kde (p1i , p2i , . . . , pni )T je vektor ⃗ei vyjádøený v bázi β.
Matice pøechodu
Maticí pøechodu Pα→β od báze α k bázi β rozumíme matici, pro ní¾ platí
β = α · Pα→β (1)
Poznámka:
Vektory obou bází se ve vztahu (1) zapisují sloupcovì.
Matice pøechodu Pα→β je regulární.
Matice (Pα→β)−1 = Pβ→α je maticí pøechodu od báze β k bázi α a
platí tento vztah:
α = β · Pβ→α (2)
Luká¹ Másilko 8. cvièení 20. 11. 2024 4 / 12
Matice pøechodu { pøíklady
Pøevádìní souøadnic vektorù pøi zmìnì báze: Pøi vyjádøení souøadnic
vektoru v jiné bázi potøebujeme matici pøechodu v opaèném smìru:
⃗uβ = Pβ→α · ⃗uα
⃗vα = Pα→β · ⃗vβ
Pøíklad 1
Jsou dány dvì rùzné báze α, β vektorového prostoru R3. Najdìte matice
pøechodu Pβ→α, Pα→β a urèete souøadnice vektoru ⃗uα = (1, 2, 1)T v bázi
β a souøadnice vektoru ⃗vβ = (−1, 0, 3)T v bázi α.
1 α = ((1, 0, 1)T ; (2, 1, 1)T ; (0, 0, 2)T ),
β = ((0, 1, 1)T ; (1, 0, 2)T ; (2, 0, 2)T ).
2 α = ((1, 0, 2)T ; (2, 1, 1)T ; (3, 2, 4)T ),
β = ((1, 2, 0)T ; (2, 2, 4)T ; (0, 1, −3)T ).
3 α = ((1, 2, 0)T ; (2, 1, 1)T ; (1, 0, 1)T ),
β = ((2, 2, 1)T ; (1, 2, 1)T ; (0, 0, 2)T ).
Výsledky: na dal¹ím slajdu.
Luká¹ Másilko 8. cvièení 20. 11. 2024 5 / 12
Výsledky Pøíkladu 1
1. Pβ→α =


0 1 0
0 −2 2
1
2 2 −1

, Aα→β =


−2 1 2
1 0 0
1
1
2 0

,
(1, 2, 1)T
α = (2, −2, 7
2)T
β , (−1, 0, 3)T
β = (8, −1, −1)T
α
2. Pβ→α =


−3 −6 −5
2 4 4
2 5 4

, Pα→β =


−2 −1
2 −2
0 −1 1
1
3
2 0

,
(1, 2, 1)T
α = (−20, 14, 16)T
β , (−1, 0, 3)T
β = (−4, 3, −1)T
α
3. Pβ→α = 1
4 ·


0 6 4
4 −4 4
−2 1 2

, Pα→β =


1 2 2
0 −2 −4
1 3 6

,
(1, 2, 1)T
α = (4, −2, 1
2)T
β , (−1, 0, 3)T
β = (5, −12, 17)T
α
Luká¹ Másilko 8. cvièení 20. 11. 2024 6 / 12
Zmìna matice lineárního zobrazení pøi zmìnì báze {
pøíklady
Pøíklad 2
Lineární zobrazení φ : U → V je zadáno maticí AS ve standardních bázích
U, V . Pro zadané báze α prostoru U a β prostoru V urèete matice
AS→α, Aβ→S , Aβ→α.
1. φ : R2 → R3, AS =


2 1
0 1
−1 1

,
α = ((1, 2)T ; (−2, 1)T ), β = ((1, 1, 1)T ; (1, 1, 0)T ; (1, 2, 0)T ).
2. φ : R3 → R4, AS =




1 1 0
0 1 1
1 0 1
1 0 0



,
α = ((1, 0, 1)T ; (1, 1, 1)T ; (1, 2, 0)T ),
β = ((1, 2, −1, 0)T ; (0, 1, −1, −2)T ; (−1, 0, 0, −2)T ; (2, 1, 0, −3)T ).
Luká¹ Másilko 8. cvièení 20. 11. 2024 7 / 12
Zmìna matice lineárního zobrazení pøi zmìnì báze {
pøíklady
Pøíklad 2
Lineární zobrazení φ : U → V je zadáno maticí AS ve standardních bázích
U, V . Pro zadané báze α prostoru U a β prostoru V urèete matice
AS→α, Aβ→S , Aβ→α.
3. φ : R3 → R2, AS =
1 1 0
0 1 1
,
α = ((1, 1, 1)T ; (1, 0, 4)T ; (1, 4, 0)T ),
β = ((1, 0)T ; (4, 1)T ).
Výsledky: na dal¹ím slajdu.
Luká¹ Másilko 8. cvièení 20. 11. 2024 8 / 12
Výsledky Pøíkladu 2
1. AS→α =


4 −3
2 1
1 3

, Aβ→S =


−1 1
5 0
−2 0

, Aβ→α =


1 3
5 −10
−2 4

.
2. AS→α =




1 2 3
1 2 2
2 2 1
1 1 1



, Aβ→S = 1
7 ·




4 5 12
−11 −5 −19
3 2 16
3 2 2



,
Aβ→α =




16
7 3 2
−30
7 −5 −3
19
7 3 1
5
7 1 1



.
3. AS→α =
2 1 5
2 4 4
, Aβ→S =
1 −3 −4
0 1 1
,
Aβ→α =
−6 −15 −11
2 4 4
.
Luká¹ Másilko 8. cvièení 20. 11. 2024 9 / 12
Zmìna matice lineární transformace pøi zmìnì báze {
pøíklady
Pøíklad 3
Lineární transformace φ : R3 → R3 je zadána maticí AS ve standardní bázi
prostoru R3. Pro bázi
α = ((1, 1, 1)T
; (1, 1, 0)T
; (1, 2, 0)T
)
prostoru R3 urèete matice AS→α, Aα→S , Aα→α.
1. AS =


1 1 2
2 −1 2
4 1 4

, 2. AS =


1 2 1
2 3 1
7 −1 1

,
3. AS =


1 −1 3
2 1 −1
4 2 1


Luká¹ Másilko 8. cvièení 20. 11. 2024 10 / 12
Výsledky Pøíkladu 3
1. AS→α =


4 2 3
3 1 0
9 5 6

, Aα→S =


4 1 4
−4 2 −2
1 −2 0

,
Aα→α =


9 5 6
−4 −2 0
−1 −1 −3

.
2. AS→α =


4 3 5
6 5 8
7 6 5

, Aα→S =


7 −1 1
−7 2 0
1 1 0

,
Aα→α =


7 6 5
−5 −5 −3
2 2 3

.
Luká¹ Másilko 8. cvièení 20. 11. 2024 11 / 12
Výsledky Pøíkladu 3
3. AS→α =


3 0 −1
2 3 4
7 6 8

, Aα→S =


4 2 1
−4 −5 6
1 2 −4

,
Aα→α =


7 6 8
−3 −9 −14
−1 3 5

.
Luká¹ Másilko 8. cvièení 20. 11. 2024 12 / 12