MA0005 Algebra 2, 9. semináø
27. 11. 2024
Luká¹ Másilko 9. cvièení 27. 11. 2024 1 / 13
Náplò cvièení
1 Ortogonalita vektorù
2 Gramm-Schmidtùv ortogonalizaèní proces
3 Ortogonální doplnìk
4 Ortogonální projekce vektoru
Literatura a zdroje
Horák, P.: Cvièení z algebry a teoretické aritmetiky I. 2. vydání.
Masarykova univerzita v Brnì, 2002. ISBN 80-210-1853-4.
Luká¹ Másilko 9. cvièení 27. 11. 2024 2 / 13
Ortogonální a ortonormální vektory
Ortogonální vektory
Vektory ⃗u, ⃗v v Euklidovském prostoru jsou ortogonální, jestli¾e pro jejich¾
skalární souèin platí: skal(⃗u, ⃗v) = 0.
Poznámka: Ortogonálnost vektorù narozdíl od kolmosti pøipou¹tí, ¾e jeden
z nich, pøípadnì oba byly nulové.
Luká¹ Másilko 9. cvièení 27. 11. 2024 3 / 13
Ortogonální a ortonormální vektory
Ortogonální vektory
Vektory ⃗u, ⃗v v Euklidovském prostoru jsou ortogonální, jestli¾e pro jejich¾
skalární souèin platí: skal(⃗u, ⃗v) = 0.
Poznámka: Ortogonálnost vektorù narozdíl od kolmosti pøipou¹tí, ¾e jeden
z nich, pøípadnì oba byly nulové.
Ortogonální/ortonormální posloupnost vektorù
Báze podprostoru, nebo libovolná posloupnost vektorù je
ortogonální, jestli¾e ka¾dé dva vektory z této báze (posloupnosti)
jsou ortogonální.
ortonormální, jestli¾e je ortogonální a ka¾dý její vektor je normovaný
(tj. jeho velikost je 1).
Poznámka: Velikost vektoru ⃗u = (u1, . . . , un) je v Euklidovském prostoru
denována takto: ||u|| = skal(⃗u, ⃗u) = u2
1 + · · · + u2
n.
Luká¹ Másilko 9. cvièení 27. 11. 2024 3 / 13
Ortogonální a ortonormální vektory { pøíklady
Pøíklad 6.2.B1: Rozhodnìte, zda dané vektory euklidovského prostoru R4
jsou ortogonální, resp. ortonormální.
a) ⃗u = (1; −2; 2; 1), ⃗v = (1; 3; 2; 1), ⃗w = (−1; 0; 1; −1)
b) ⃗u = (1
2; 1
2; 1
2; 1
2)
c) ⃗u = (2; 3; −3; −4), ⃗v = (−1; 3; −3; 4), ⃗w = (3; 1; 3; 0)
d) ⃗u = (1; 3; 1; 2), ⃗v = (0; 0; 0; 0), ⃗w = (1; −3; 2; 3)
Pøíklad 6.2.B2: Urèete parametry a, b ∈ R tak, aby dané vektory
euklidovského prostoru R5 byly ortogonální.
a) ⃗u = (1; 1; 2; 0; 0), ⃗v = (1; −1; 0; 1; a), ⃗w = (1; b; 2; 3; −2)
b) ⃗u = (2; −1; 0; a; b), ⃗v = (a; b; 0; −2; 1), ⃗w = (a; 2b; 5; b; −a)
c) ⃗u = (1; −2; a; 3; 0), ⃗v = (−1; 1; 0; a; 7), ⃗w = (1; −2; b; 3; 0),
⃗z = (0; b; −1; 1; 8)
d) ⃗u = (1; 2; 0; 2; 1), ⃗v = (0; 0; 0; 0; 0), ⃗w = (−5; 2; 5; −2; 5),
⃗z = (a; b; 0; b; a)
Luká¹ Másilko 9. cvièení 27. 11. 2024 4 / 13
Ortogonální a ortonormální vektory { výsledky
Výsledky:
B1 a) ortogonální, b) ortonormální, c) nejsou ortogonální, d) ortogonální
B2 a) a = 9
2, b = −5, b) (a = b = 0) ∨ (a = b = 1), c) ¾ádné neexistují,
d) a = −2b
Luká¹ Másilko 9. cvièení 27. 11. 2024 5 / 13
Gramm-Schmidtùv ortogonalizaèní proces
Gramm-Schmidtùv ortogonalizaèní proces
Vìta: Buï ⃗u1, ⃗u2, . . . , ⃗uk vektory euklidovského prostoru. Pak existují
ortogonální vektory ⃗e1, ⃗e2, . . . , ⃗ek tak, ¾e ⟨(⃗u1, . . . , ⃗uk)⟩ = ⟨(⃗e1, . . . , ⃗ek)⟩.
Luká¹ Másilko 9. cvièení 27. 11. 2024 6 / 13
Gramm-Schmidtùv ortogonalizaèní proces
Gramm-Schmidtùv ortogonalizaèní proces
Vìta: Buï ⃗u1, ⃗u2, . . . , ⃗uk vektory euklidovského prostoru. Pak existují
ortogonální vektory ⃗e1, ⃗e2, . . . , ⃗ek tak, ¾e ⟨(⃗u1, . . . , ⃗uk)⟩ = ⟨(⃗e1, . . . , ⃗ek)⟩.
Dùkaz této vìty je konstruktivní a je zalo¾en na tìchto krocích:
a) ⃗e1 = ⃗u1.
Luká¹ Másilko 9. cvièení 27. 11. 2024 6 / 13
Gramm-Schmidtùv ortogonalizaèní proces
Gramm-Schmidtùv ortogonalizaèní proces
Vìta: Buï ⃗u1, ⃗u2, . . . , ⃗uk vektory euklidovského prostoru. Pak existují
ortogonální vektory ⃗e1, ⃗e2, . . . , ⃗ek tak, ¾e ⟨(⃗u1, . . . , ⃗uk)⟩ = ⟨(⃗e1, . . . , ⃗ek)⟩.
Dùkaz této vìty je konstruktivní a je zalo¾en na tìchto krocích:
a) ⃗e1 = ⃗u1.
b) Hledáme vektor ⃗e2 tak, ¾e vyjádøení ⃗e2 = p1 · ⃗e1 + ⃗u2 skalárnì
vynásobíme vektorem ⃗e1. Díky ortogonalitì vektorù ⃗e1, ⃗e2 dostaneme
0 = p1 · skal(⃗e1, ⃗e1) + skal(⃗u2, ⃗e1)
p1 = −
skal(⃗u2, ⃗e1)
skal(⃗e1, ⃗e1)
Luká¹ Másilko 9. cvièení 27. 11. 2024 6 / 13
Gramm-Schmidtùv ortogonalizaèní proces
Gramm-Schmidtùv ortogonalizaèní proces
Vìta: Buï ⃗u1, ⃗u2, . . . , ⃗uk vektory euklidovského prostoru. Pak existují
ortogonální vektory ⃗e1, ⃗e2, . . . , ⃗ek tak, ¾e ⟨(⃗u1, . . . , ⃗uk)⟩ = ⟨(⃗e1, . . . , ⃗ek)⟩.
Dùkaz této vìty je konstruktivní a je zalo¾en na tìchto krocích:
a) ⃗e1 = ⃗u1.
b) Hledáme vektor ⃗e2 tak, ¾e vyjádøení ⃗e2 = p1 · ⃗e1 + ⃗u2 skalárnì
vynásobíme vektorem ⃗e1. Díky ortogonalitì vektorù ⃗e1, ⃗e2 dostaneme
0 = p1 · skal(⃗e1, ⃗e1) + skal(⃗u2, ⃗e1)
p1 = −
skal(⃗u2, ⃗e1)
skal(⃗e1, ⃗e1)
c) Podobnì vyjádøení ⃗e3 = p1 · ⃗e1 + p2 · ⃗e2 + ⃗u3 vynásobíme jednou
vektorem ⃗e1, podruhé ⃗e2. Dostaneme dvì rovnice, z nich¾ opìt
získáme hodnoty p1, p2.
Luká¹ Másilko 9. cvièení 27. 11. 2024 6 / 13
Gramm-Schmidtùv ortogonalizaèní proces
Gramm-Schmidtùv ortogonalizaèní proces
Vìta: Buï ⃗u1, ⃗u2, . . . , ⃗uk vektory euklidovského prostoru. Pak existují
ortogonální vektory ⃗e1, ⃗e2, . . . , ⃗ek tak, ¾e ⟨(⃗u1, . . . , ⃗uk)⟩ = ⟨(⃗e1, . . . , ⃗ek)⟩.
Dùkaz této vìty je konstruktivní a je zalo¾en na tìchto krocích:
a) ⃗e1 = ⃗u1.
b) Hledáme vektor ⃗e2 tak, ¾e vyjádøení ⃗e2 = p1 · ⃗e1 + ⃗u2 skalárnì
vynásobíme vektorem ⃗e1. Díky ortogonalitì vektorù ⃗e1, ⃗e2 dostaneme
0 = p1 · skal(⃗e1, ⃗e1) + skal(⃗u2, ⃗e1)
p1 = −
skal(⃗u2, ⃗e1)
skal(⃗e1, ⃗e1)
c) Podobnì vyjádøení ⃗e3 = p1 · ⃗e1 + p2 · ⃗e2 + ⃗u3 vynásobíme jednou
vektorem ⃗e1, podruhé ⃗e2. Dostaneme dvì rovnice, z nich¾ opìt
získáme hodnoty p1, p2.
d) Takto podobnì postupujeme dále.
Luká¹ Másilko 9. cvièení 27. 11. 2024 6 / 13
Gramm-Schmidtùv ortogonalizaèní proces { pøíklady
Pøíklad 6.2.B7: V euklidovském prostoru V naleznìte ortogonální bázi
podprostoru W , je-li:
a) V = R4, W = ⟨(⃗u1, ⃗u2, ⃗u3)⟩, kde
⃗u1 = (1; 2; 2; −1), ⃗u2 = (1; 1; −5; 3), ⃗u3 = (3; 2; 8; −7)
b) V = R4, W = ⟨(⃗u1, ⃗u2, ⃗u3)⟩, kde
⃗u1 = (1; 0; 1; 0), ⃗u2 = (0; 1; 0; −7), ⃗u3 = (3; −2; 3; 14)
c) V = R4, W = ⟨(⃗u1, ⃗u2, ⃗u3, ⃗u4)⟩, kde ⃗u1 = (1; 1; 1; 1),
⃗u2 = (1; 1; 1; −1), ⃗u3 = (1; −1; −1; 1), ⃗u4 = (−1; 1; 1; 1)
d) V = R5, W = ⟨(⃗u1, ⃗u2, ⃗u3, ⃗u4)⟩, kde ⃗u1 = (1; −2; −1; 0; 1),
⃗u2 = (2; 3; 0; −2; 3), ⃗u3 = (1; 1; −2; −1; −1), ⃗u4 = (1; −6; −4; 1; −2)
e) V = R5, W = ⟨(⃗u1, ⃗u2, ⃗u3, ⃗u4)⟩, kde ⃗u1 = (1; 2; 0; 1; 2),
⃗u2 = (1; 1; 3; 0; 1), ⃗u3 = (1; 3; −3; 2; 3), ⃗u4 = (1; −1; 9; −2; −1)
Luká¹ Másilko 9. cvièení 27. 11. 2024 7 / 13
Gramm-Schmidtùv ortogonalizaèní proces { výsledky
Pøíklad 6.2.B7: hledaných bází je nekoneènì mnoho. Jedna z nich je
napø.:
a) ((1; 2; 2; −1), (2; 3; −3; 2), (2; −1; −1; −2))
b) ((1; 0; 1; 0), (0; 1; 0; −7))
c) ((1; 1; 1; 1), (1; 1; 1; −3), (4; −2; −2; 0))
d) ((1; −2; −1; 0; 1), (1; 1; −2; −1; −1), (69; 93; 36; −63; 153))
e) ((1; 2; 0; 1; 2), (1; 0; 6; −1; 0))
Luká¹ Másilko 9. cvièení 27. 11. 2024 8 / 13
Ortogonální doplnìk
Ortogonální mno¾iny vektorù
Mno¾iny vektorù A, B jsou ortogonální, kdy¾ pro ka¾dý libovolná dvojice
vektorù ⃗a ∈ A, ⃗b ∈ B je ortogonální. Znaèíme A ⊥ B.
Poznámka: Je-li A ⊥ B, pak jsou ortogonální i podprostory ⟨A⟩, ⟨B⟩
generované vektory obou mno¾in.
Luká¹ Másilko 9. cvièení 27. 11. 2024 9 / 13
Ortogonální doplnìk
Ortogonální mno¾iny vektorù
Mno¾iny vektorù A, B jsou ortogonální, kdy¾ pro ka¾dý libovolná dvojice
vektorù ⃗a ∈ A, ⃗b ∈ B je ortogonální. Znaèíme A ⊥ B.
Poznámka: Je-li A ⊥ B, pak jsou ortogonální i podprostory ⟨A⟩, ⟨B⟩
generované vektory obou mno¾in.
Ortogonální doplnìk podprostoru
Buï U vektorový podprostor euklidovského prostoru V . Ortogonálním
doplòkem U⊥ podprostoru U v prostoru V rozumíme mno¾inu v¹ech
vektorù ortogonálních k U, tj.
U⊥
= {⃗x ∈ V | skal(⃗x, ⃗u) = 0, ∀⃗u ∈ U}
Poznámka: Ortogonální doplnìk U⊥ je té¾ vektorovým podprostorem a
platí: V = U + U⊥ (tj. U ∩ U⊥ = ⃗o a dim(V ) = dim(U) + dim(U⊥)).
Luká¹ Másilko 9. cvièení 27. 11. 2024 9 / 13
Ortogonální doplnìk { pøíklady
Pøíklad 6.2.B15: V euklidovském prostoru R4 je dán podprostor W .
Naleznìte bázi ortogonálního doplòku W ⊥, je-li:
a) W = {(2r + t; −3r + s − t; 4r + 3t; 8r + 5t) | r, s, t ∈ R}
b) W = ⟨(⃗u1, ⃗u2, ⃗u3)⟩, kde
⃗u1 = (3; −5; 4; 1), ⃗u2 = (1; −2; 2; −3), ⃗u3 = (1; −1; 0; 7)
c) W = ⟨(⃗u1, ⃗u2, ⃗u3, ⃗u4)⟩, kde
⃗u1 = (3; 2; 1; 0), ⃗u2 = (1; 1; −2; 1), ⃗u3 = (1; 1; 0; 1), ⃗u4 = (2; 3; −1; 1)
d) W je podprostor øe¹ení homogenního SLR:
3x1 + 3x2 + 2x3 + 7x4 = 0
3x1 − 2x3 − 9x4 = 0
x3 + x4 = 0
Luká¹ Másilko 9. cvièení 27. 11. 2024 10 / 13
Ortogonální doplnìk { pøíklady
Pøíklad 6.2.B15: V euklidovském prostoru R4 je dán podprostor W .
Naleznìte bázi ortogonálního doplòku W ⊥, je-li:
a) W = {(2r + t; −3r + s − t; 4r + 3t; 8r + 5t) | r, s, t ∈ R}
b) W = ⟨(⃗u1, ⃗u2, ⃗u3)⟩, kde
⃗u1 = (3; −5; 4; 1), ⃗u2 = (1; −2; 2; −3), ⃗u3 = (1; −1; 0; 7)
c) W = ⟨(⃗u1, ⃗u2, ⃗u3, ⃗u4)⟩, kde
⃗u1 = (3; 2; 1; 0), ⃗u2 = (1; 1; −2; 1), ⃗u3 = (1; 1; 0; 1), ⃗u4 = (2; 3; −1; 1)
d) W je podprostor øe¹ení homogenního SLR:
3x1 + 3x2 + 2x3 + 7x4 = 0
3x1 − 2x3 − 9x4 = 0
x3 + x4 = 0
Výsledky: a) napø. ((2; 0; 1; −1)), b) napø. ((2; 2; 1; 0), (17; 10; 0; −1)),
c) neexistuje, d) napø. ((3; 3; 2; 7), (3; 0; −2; −9), (0; 0; 1; 1))
Luká¹ Másilko 9. cvièení 27. 11. 2024 10 / 13
Ortogonální projekce vektoru
Ortogonální projekce vektoru
Ortogonální projekce nenulového vektoru ⃗v do podprostoru U je vektor ⃗x
takový, ¾e ⃗x + ⃗y = ⃗v, kde ⃗x ∈ U, ⃗y ∈ U⊥.
Poznámka:
Ortogonální projekci, nìkdy té¾ kolmý prùmìt, je mo¾né provádìt
v euklidovském prostoru, v nìm¾ je díky skalárnímu souèinu denován
pojem kolmosti vektorù.
Pomocí ortogonální projekce vektoru lze spoèítat jeho odchylku od
zadaného podprostoru (urèíme ji jako úhel, který svírá vektor se svým
kolmým prùmìtem do podprostoru).
Luká¹ Másilko 9. cvièení 27. 11. 2024 11 / 13
Ortogonální projekce vektoru { pøíklady
Pøíklad 6.2.B18: V euklidovském prostoru V naleznìte ortogonální
projekci vektoru u do podprostoru W , je-li:
a) V = R3; ⃗u = (3; −7; 8); W = ⟨( ⃗w1, ⃗w2)⟩, kde
⃗w1 = (1; 1; −2), ⃗w2 = (3; 1; −1)
b) V = R4; ⃗u = (−2; 2; 2; 5); W = ⟨( ⃗w1, ⃗w2, ⃗w3)⟩, kde
⃗w1 = (1; 1; −1; 2), ⃗w2 = (3; 1; 0; 1), ⃗w3 = (2; 0; 1; −1)
c) V = R4; ⃗u = (2; 7; −3; −6);
W = {(r + s; r + s; −r − 3s; 2r + 3s) | r, s ∈ R}
d) V = R4; ⃗u = (1; 2; 3; 4); W = ⟨(0; 1; 0; 1)⟩
e) V = R4; ⃗u = (2; 0; 1; −4); W je podprostor øe¹ení homogenního SLR:
2x1 + 3x2 + 3x3 = 0
2x1 + x2 + x3 + 4x4 = 0
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1 + 2x2 + 2x3 − x4 = 0
Luká¹ Másilko 9. cvièení 27. 11. 2024 12 / 13
Ortogonální projekce vektoru { výsledky
Pøíklad 6.2.B18 { výsledky:
a) (34
15; −10
3 ; 142
15 )
b) (−1; 1; −2; 3)
c) (0; 0; 0; 0)
d) (0; 3; 0; 3)
e) (9
4; −5
4; −1
4; −3
4)
Luká¹ Másilko 9. cvièení 27. 11. 2024 13 / 13