MASARYKOVA UNIVERZITA
PEDAGOGICKÁ FAKULTA
Katedra matematiky
Skalární součin vektorů a jeho užití
Bakalářská práce
Brno 2023
Vedoucí práce:
RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D.
Autor práce:
Karolína Imrišová
Bibliografický záznam
Imrišová, Karolína. Skalární součin vektorů a jeho užití: bakalářská práce. Brno: Masarykova
univerzita, Fakulta pedagogická, Katedra matematiky, 2023.
Vedoucí bakalářské práce RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D.
Anotace
Předmětem bakalářské práce je skalární součin vektorů a jeho užití. Cílem práce je vytvoření
uceleného náhledu na danou problematiku, včetně uvedení řešení některých příkladů spolu
s grafickým znázorněním. Práce je určena především jako doplňující podklad při studiu
lineární algebry pro studenty matematiky.
Práce je rozdělena do šesti kapitol: Kapitola Vektor vymezuje základní pojmy,
obsahem kapitoly Skalární součin vektorů je skalární součin vektorů, velikost vektoru a její
vlastnosti, kapitola Ortogonalita pojednává o ortogonální projekci vektorů, kapitola Lineární
zobrazení mezi vektorovými prostory pak o ortogonální projekci, lineární transformaci, vlastní
hodnotě a vlastních vektorech lineárního zobrazení, kapitola Kvadratické formy se zabývá
vyjádřením kvadratické formy pomocí matic a obsah kapitoly Grafy kvadratických rovnic je
zaměřen na grafické zobrazení kuželoseček a kvadratických ploch neboli kvadrik.
První čtyři kapitoly svým obsahem rozšiřují učivo příslušného kursu, pátá a šestá
kapitola doplňuje učivo nad rámec kursu. Každá kapitola obsahuje příslušné definice a na ně
navazující příklady včetně vzorového řešení.
Annotation
The subject of the bachelor thesis is the dot product and its use. The goal of the thesis is to
create a comprehensive overview of the issue, including the presentation of solutions to some
examples together with a graphic representation. The thesis is primarily intended as
supplementary material for the study of linear algebra for students of mathematics.
The work is divided into six chapters: The chapter Vector defines the basic concepts,
the content of the Dot product chapter is the scalar product of vectors, the magnitude of the
vector and its properties, the chapter Orthogonality discusses the orthogonal projection of
vectors, the Linear mapping between vector spaces chapter is then about orthogonal
projection, linear transformation, eigenvalues and eigenvectors of linear representation. The
chapter Quadratic Forms deals with the expression of quadratic forms using matrices, and the
content of the Graphs of Quadratic Equations chapter is focused on the graphical
representation of conics and quadratic surfaces, or quadrics.
The content of the first four chapters expands the curriculum of the respective course,
the fifth and sixth chapters supplement the curriculum beyond the scope of the course. Each
chapter contains relevant definitions and related examples, including a sample solution.
Klíčová slova
Vektor, vektorový prostor, skalární součin vektorů, velikost vektoru, odchylka vektorů,
matice, lineární transformace, ortogonalita, ortogonální projekce, Gramův-Schmidtův
ortogonalizační proces, Schwarzova nerovnost, kvadratická forma, kuželosečka, kvadratická
plocha.
Keywords
Vector, vector space, dot product, magnitude of a vector, deviation of vectors, matrix, linear
transformation, orthogonality, orthogonal projection, Gram-Schmidt Orthogonalization
process, Schwarz inequality, quadratic form, conic section, quadratic surface.
Prohlášení
Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci Skalární součin vektorů a jeho užití zpracovala
s použitím pouze pramenů uvedených v seznamu literatury, dalších informací a zdrojů
v souladu s Disciplinárním řádem pro studenty Pedagogické fakulty Masarykovy univerzity
a se zákonem č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem
autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon), ve znění pozdějších předpisů.
V Brně dne 19. dubna 2023
Karolína Imrišová
Poděkování
Děkuji tímto za pomoc a obětavou vstřícnost vedoucímu práce panu RNDr. Břetislavu
Fajmonovi, Ph.D. a také pedagogům Katedry matematiky Pedagogické fakulty Masarykovy
univerzity za poskytnutí odborného zázemí.
Zvláštní dík patří mé rodině za dlouhodobou podporu a trpělivost nejenom při sepisování
této práce.
OBSAH
Úvod 7
1 Vektor 8
1.1 Vektorový prostor 8
1.2 Báze a dimenze vektorového prostoru, souřadnice vektoru 10
1.2.1 Lineární kombinace 10
1.2.2 Báze vektorového prostoru 10
1.2.3 Dimenze vektorového prostoru 11
2 Skalární součin vektorů 15
2.1 Velikost vektoru 16
3 Ortogonalita 18
3.1 Ortogonální projekce a Schwarzova nerovnost 18
3.2 Ortogonální projekce doplněná o Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces 21
3.3 Odchylka dvou vektorů 26
4 Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory 30
5 Kvadratické formy 47
6 Grafy kvadratických rovnic 57
6.1 Obecná kvadratická rovnice se dvěma proměnnými 57
6.2 Obecná kvadratická rovnice se třemi proměnnými 70
Závěr 74
Seznam obrázků 75
Použitá literatura 79
Použité symboly a zkratky 80
7
ÚVOD
V této bakalářské práci se autorka věnuje tématu „Skalární součin vektorů a jeho užití“
v rámci bakalářského studia na Katedře matematiky Pedagogické fakulty Masarykovy
univerzity.
Téma práce si autorka vybrala z důvodu jejího zájmu o lineární algebru s cílem
nejenom hlubšího prohloubení svých znalostí v této oblasti, ale především s cílem vytvoření
učební pomůcky s uceleným přehledem teorie v této oblasti doplněným příklady a grafickým
znázorněním řešení.
Práce je rozdělena do šesti kapitol. Každá kapitola obsahuje příslušné definice a na ně
navazující příklady včetně vzorového řešení. První čtyři kapitoly svým obsahem rozšiřují
učivo příslušného kursu, pátá a šestá kapitola doplňuje učivo nad rámec kursu. Autorka tyto
kapitoly připojuje, neboť pokládá za vhodné umožnit čtenáři získat hlubší vhled do
předkládané teorie.
První kapitola s názvem Vektor vymezuje základní pojmy užité v práci, jako jsou
vektor, vektorový prostor, báze a dimenze vektorového prostoru, souřadnice vektoru
a lineární kombinace vektorů.
Druhá kapitola s názvem Skalární součin vektorů je zaměřena na skalární součin
vektorů, velikost vektoru a její vlastnosti.
Třetí kapitola s názvem Ortogonalita pojednává o ortogonální projekci vektorů, a to
i s možností využití Gram-Schmidtova ortogonalizačního procesu, dále Schwarzovou
nerovností a odchylkou dvou vektorů.
Čtvrtá kapitola Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory je zaměřena na
ortogonální projekci, lineární transformaci, vlastní hodnoty a vlastní vektory lineárního
zobrazení.
Pátá kapitola Kvadratické formy se zabývá vyjádřením kvadratické formy pomocí
matic. Tato kapitola je doplněna grafy kvadratických forem.
Konečně šestá kapitola navazuje na předcházející kapitolu, přičemž její obsah je
zaměřen na grafické zobrazení kuželoseček a kvadratických ploch neboli kvadrik.
Jak autorka uvedla, cílem práce je vytvoření uceleného náhledu na danou
problematiku, včetně uvedení řešení některých příkladů spolu s grafickým znázorněním pro
snadnější pochopení problematiky. Práce je určena především jako doplňující podklad při
studiu lineární algebry pro studenty matematiky, a to nejenom na pedagogických fakultách.
8
1 VEKTOR
Vektor je zobecněním pojmu reálné číslo, kdy reálné číslo je určeno svou velikostí, zatímco
vektor je určen svou velikostí a směrem.1
Vektor si lze představit jako orientovanou úsečku,
jehož jeden krajní bod je považován za počáteční a druhý za koncový – ten je označen šipkou.
Dva vektory o stejné délce, které jsou rovnoběžné a stejně orientované úsečky představují
tentýž vektor.2
Vektor je prvkem vektorového prostoru.
1.1 Vektorový prostor
Definice 1: Množina (𝑉, +) se nazývá vektorový prostor nad tělesem skalárů (𝑇, +, ∙ ), kde
prvky 𝑣⃗ ∈ 𝑉 se nazývají vektory, prvky tělesa 𝑇 se nazývají skaláry, jestliže splňuje
následující vlastnosti:
a) Struktura (𝑉, +) je komutativní grupa, když:
1. uzavřenost operace + na 𝑉: ∀𝑢⃗⃗, 𝑣⃗ ∈ 𝑉: 𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ ∈ 𝑉,
2. asociativita operace +: ∀𝑢⃗⃗, 𝑣⃗, 𝑤⃗⃗⃗ ∈ 𝑉: (𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) + 𝑤⃗⃗⃗ = 𝑢⃗⃗ + (𝑣⃗ + 𝑤⃗⃗⃗),
3. existence neutrálního prvku: ∃𝑜⃗ ∈ 𝑉: 𝑢⃗⃗ + 𝑜⃗ = 𝑜⃗ + 𝑢⃗⃗ ∀𝑢⃗⃗ ∈ 𝑉
𝑜⃗ … nulový vektor,
4. existence inverzí vzhledem k operaci +: ∀𝑢⃗⃗ ∈ 𝑉 ∃(−𝑢⃗⃗) ∈ 𝑉: 𝑢⃗⃗ + (−𝑢⃗⃗) = 𝑜⃗,
5. komutativita operace + na 𝑉: ∀𝑢⃗⃗, 𝑣⃗ ∈ 𝑉: 𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ = 𝑣⃗ + 𝑢⃗⃗.
b) Zobrazení ∙ množiny 𝑇 × 𝑉 do 𝑉, tedy násobení skalár krát vektor, splňuje vlastnosti
příbuzné vlastnostem operace na monoidu, když:
“1“ uzavřenost součinu skalár krát vektor: ∀𝑡 ∈ 𝑇, 𝑣⃗ ∈ 𝑉: 𝑡 ∙ 𝑣⃗ ∈ 𝑉,
“2“ asociativita součinu skalár krát vektor: ∀𝑠, 𝑡 ∈ 𝑇, 𝑣⃗ ∈ 𝑉: 𝑠 ∙ (𝑡 ∙ 𝑣⃗) = (𝑠 ∙ 𝑡) ∙ 𝑣⃗,
“3“ existence neutrálního skaláru vzhledem k násobení skalár krát vektor:
∃1 ∈ 𝑇: 1 ∙ 𝑣⃗ = 𝑣⃗ ∀ 𝑣⃗ ∈ 𝑉.
c) Operace + a operace skalár krát vektor splňují vlastnosti:
“6a“ ∀𝑠, 𝑡 ∈ 𝑇, 𝑣⃗ ∈ 𝑉: (𝑠 + 𝑡) ∙ 𝑣⃗ = 𝑠 ∙ 𝑣⃗ + 𝑡 ∙ 𝑣⃗,
“6b“ ∀𝑡 ∈ 𝑇, 𝑢⃗⃗, 𝑣⃗ ∈ 𝑉: 𝑡 ∙ (𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) = 𝑡 ∙ 𝑢⃗⃗ + 𝑡 ∙ 𝑣⃗.3
1
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022, 140 s. Str. 20.
2
Srov. ZLATOŠ, Pavol. Lineárna algebra a geometria: cesta z troch rozmerov s presahmi do príbuzných
odborov. Bratislava: Marenčin PT, spol. s r.o. 2011. ISBN 978-808-1141-119. Str. 52.
3
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022, 140 s. Str. 20-21.
9
Příklad 1: Dokažte, že množina všech polynomů stupně nejvýše 3 nad tělesem
𝑅 (𝑅3[𝑥], +, ∙ ), kde operace sčítání vektorů je běžnou operací sčítání polynomů a operace
násobení vektoru skalárem je běžným násobením polynomu reálným číslem, je vektorovým
prostorem.
Řešení:
Např. pro: 𝑢⃗⃗ = 3𝑥3
+ 2𝑥2
+ 𝑥 + 1
𝑣⃗ = 𝑥3
+ 4𝑥2
+ 2𝑥 − 2
𝑤⃗⃗⃗ = 2𝑥3
− 𝑥2
+ 3𝑥 + 3 platí tyto vlastnosti vektorového prostoru:
1. uzavřenost: 𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ = 4𝑥3
+ 6𝑥2
+ 3𝑥 − 1 (výsledkem je opět polynom nejvýše 3. stupně),
2. asociativita: (𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) + 𝑤⃗⃗⃗ = 𝑢⃗⃗ + (𝑣⃗ + 𝑤⃗⃗⃗) = 6𝑥3
+ 5𝑥2
+ 6𝑥 + 2,
3...neutrální prvek (polynom) je 𝑜⃗ = 0 (přičtením 𝑜⃗ k libovolnému polynomu se daný
polynom nezmění),
4. inverzní prvek je opačný vektor: 𝑢⃗⃗ + (−𝑢⃗⃗) = 𝑜⃗,
5. komutativita platí v tomto případě pro jakékoliv dva vektory: 𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ = 𝑣⃗ + 𝑢⃗⃗,
“1“.uzavřenost množiny (𝑅3[𝑥], +, ∙ ) na násobení reálnými čísly; výsledek násobení
polynomu reálným číslem je opět polynom stupně nejvýše 3,
např. 3 ∙ 𝑢⃗⃗ = 9𝑥3
+ 6𝑥2
+ 3𝑥 + 3,
“2“ asociativita: např. (3 ∙ 2) ∙ 𝑢⃗⃗ = 2 ∙ (3 ∙ 𝑢⃗⃗) = 18𝑥3
+ 12𝑥2
+ 6𝑥 + 6,
“3“ neutrální prvek je 1, např. 1 ∙ 𝑢⃗⃗ = 𝑢⃗⃗ = 3𝑥3
+ 2𝑥2
+ 𝑥 + 1,
“6a“ např. (3 + 2) ∙ 𝑢⃗⃗ = 3 ∙ 𝑢⃗⃗ + 2 ∙ 𝑢⃗⃗ = 15𝑥3
+ 10𝑥2
+ 5𝑥 + 5,
“6b“ např. 3 ∙ (𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) = 3 ∙ 𝑢⃗⃗ + 3 ∙ 𝑣⃗ = 12𝑥3
+ 18𝑥2
+ 9𝑥 − 3.4
Příklad 2: Dokažte, že množina (𝐶〈𝑎, 𝑏〉, +, ∙ ) spojitých reálných funkcí na intervalu 〈𝑎, 𝑏〉
je vektorovým prostorem.
Řešení:
1. Uzavřenost součtu funkcí: ∀𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶〈𝑎, 𝑏〉: 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) je opět spojitou funkcí.
2. Asociativita součtu funkcí: ∀𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥), ℎ(𝑥) ∈ 𝐶〈𝑎, 𝑏〉: (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) + ℎ(𝑥) =
= 𝑓(𝑥) + (𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥)) ∀𝑥 ∈ 〈𝑎, 𝑏〉.
3. Neutrální prvek 𝑒(𝑥) = 0 ∀𝑥 ∈ 〈𝑎, 𝑏〉, protože 𝑓(𝑥) + 𝑒(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∀𝑥 ∈ 〈𝑎, 𝑏〉.
4. Inverzní prvek: ∀𝑓(𝑥) ∈ 𝐶〈𝑎, 𝑏〉 ∃(−𝑓(𝑥)) ∈ 𝐶〈𝑎, 𝑏〉: 𝑓(𝑥) + (−𝑓(𝑥)) = 𝑒(𝑥) = 0.
5. Komutativita: ∀𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶〈𝑎, 𝑏〉: 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥).
“1“ ∀𝑠 ∈ 𝑅, 𝑓(𝑥) ∈ 𝐶〈𝑎, 𝑏〉: 𝑠 ∙ 𝑓(𝑥) ∈ 𝐶〈𝑎, 𝑏〉.
“2“ ∀𝑠, 𝑡 ∈ 𝑅, 𝑓(𝑥) ∈ 𝐶〈𝑎, 𝑏〉: (𝑠 ∙ 𝑡) ∙ 𝑓(𝑥) = 𝑠 ∙ (𝑡 ∙ 𝑓(𝑥)).
“3“ ∃1 ∈ 𝑅: 1 ∙ 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∀𝑓(𝑥) ∈ 𝐶〈𝑎, 𝑏〉.
“6a“ ∀𝑠, 𝑡 ∈ 𝑅, 𝑓(𝑥) ∈ 𝐶〈𝑎, 𝑏〉: (𝑠 + 𝑡) ∙ 𝑓(𝑥) = 𝑠 ∙ 𝑓(𝑥) + 𝑡 ∙ 𝑓(𝑥).
“6b“ ∀𝑠 ∈ 𝑅, 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝐶〈𝑎, 𝑏〉: 𝑠 ∙ (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) = 𝑠 ∙ 𝑓(𝑥) + 𝑠 ∙ 𝑔(𝑥).5
4
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 22-24.
5
Srov. tamtéž, str. 24-25.
10
Tento příklad dokazuje, že vektor je nejen zobecněním pojmu reálné číslo, ale také
zobecněním pojmu spojitá funkce.
1.2 Báze a dimenze vektorového prostoru, souřadnice vektoru
1.2.1 Lineární kombinace
Definice 2: Vektor 𝑣⃗ = 𝛼1 ∙ 𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛼2 ∙ 𝑎2⃗⃗⃗⃗⃗ + ⋯ + 𝛼 𝑛 ∙ 𝑎 𝑛⃗⃗⃗⃗⃗ je lineární kombinací vektorů
𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑎2⃗⃗⃗⃗⃗, … , 𝑎 𝑛⃗⃗⃗⃗⃗, kde 𝛼1, 𝛼2, … , 𝛼 𝑛 jsou skaláry tělesa T.6
Posloupnost vektorů 𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑎2⃗⃗⃗⃗⃗, … , 𝑎 𝑛⃗⃗⃗⃗⃗ je lineárně závislá, pokud některý z vektorů je lineární
kombinací těch ostatních vektorů. V opačném případě je posloupnost vektorů 𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑎2⃗⃗⃗⃗⃗, … , 𝑎 𝑛⃗⃗⃗⃗⃗
lineárně nezávislá.7
Příklad 3: Vektor 𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, −4, 5) zapište jako lineární kombinaci vektorů 𝑎2⃗⃗⃗⃗⃗ = (2, 1, 7)
a 𝑎3⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, 2, 3).
Řešení:
𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼1 ∙ 𝑎2⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛼2 ∙ 𝑎3⃗⃗⃗⃗⃗
1 = 𝛼1 ∙ 2 + 𝛼2 ∙ 1
−4 = 𝛼1 ∙ 1 + 𝛼2 ∙ 2
5 = 𝛼1 ∙ 7 + 𝛼2 ∙ 3
𝛼1 = 2
𝛼2 = −3
𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ∙ 𝑎2⃗⃗⃗⃗⃗ − (3 ∙ 𝑎3⃗⃗⃗⃗⃗)
Zkouška:
𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ∙ (2, 1, 7) − (3 ∙ (1, 2, 3)) = (4, 2, 14) − (3, 6, 9) = (1, −4, 5)
1.2.2 Báze vektorového prostoru
Definice 3: Skupina vektorů 𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑎2⃗⃗⃗⃗⃗, … , 𝑎 𝑛⃗⃗⃗⃗⃗ vektorového prostoru (𝑉, +) nad tělesem (𝑇, +, ∙ )
je bází vektorového prostoru (𝑉, +), pokud platí následující podmínky:
a) Tato posloupnost je lineárně nezávislá, tedy žádný z vektorů nelze vyjádřit jako lineární
kombinaci ostatních.
b) Každý vektor 𝑣⃗ ∈ 𝑉 lze vyjádřit jako jejich lineární kombinaci,
𝑣⃗ = 𝛼1 ∙ 𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛼2 ∙ 𝑎2⃗⃗⃗⃗⃗ + ⋯ + 𝛼 𝑛 ∙ 𝑎 𝑛⃗⃗⃗⃗⃗, tj. lze uvést, že vektory 𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑎2⃗⃗⃗⃗⃗, … , 𝑎 𝑛⃗⃗⃗⃗⃗ generují celý
6
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 13.
7
Srov. tamtéž, str. 25.
11
prostor. Skaláry 𝛼1, … , 𝛼 𝑛 jsou nazývány souřadnicemi vektoru vzhledem k bázi
𝑎1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑎2⃗⃗⃗⃗⃗, … , 𝑎 𝑛⃗⃗⃗⃗⃗.8
1.2.3 Dimenze vektorového prostoru
Definice 4: Dimenze vektorového prostoru (𝑉, +) znamená počet vektorů nějaké jeho báze.9
Poznámka: Dimenzi lze chápat jako počet parametrů, kterými lze každý vektor daného
vektorového prostoru jednoznačně popsat.
Příklad 4: Souřadnice vektoru 𝑤⃗⃗⃗ = (2, 4) zadané ve standardní bázi 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, 0),
𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ = (0, 1) vyjádřete v bázi vektorů 𝑣3⃗⃗⃗⃗⃗ = (2, 1), 𝑣4⃗⃗⃗⃗ = (−2, 2).
Řešení:
Ve standardní bázi 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, 0), 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ = (0, 1):
𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, 0), 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ = (0, 1)
𝑤⃗⃗⃗ = 2 ∙ 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ + 4 ∙ 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗
V bázi vektorů 𝑣3⃗⃗⃗⃗⃗ = (2, 1), 𝑣4⃗⃗⃗⃗ = (−2, 2):
𝑤⃗⃗⃗ = 𝛼1 ∙ 𝑣3⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛼2 ∙ 𝑣4⃗⃗⃗⃗
2 = 𝛼1 ∙ 2 + 𝛼2 ∙ (−2)
4 = 𝛼1 ∙ 1 + 𝛼2 ∙ 2
𝛼1 = 2
𝛼2 = 1
8
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 25.
9
Srov. tamtéž, str. 25.
Obr. 1: Grafické znázornění řešení příkladu 4
−2
1
𝑦´
4
1
2
𝑣4⃗⃗⃗⃗
𝑥´
𝑣3⃗⃗⃗⃗⃗
2 𝑥
𝑦
𝑤⃗⃗⃗
2
12
𝑤⃗⃗⃗ = 2 ∙ 𝑣3⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑣4⃗⃗⃗⃗, a tedy (𝑤⃗⃗⃗)∝ = (2, 1). Vektor 𝑤⃗⃗⃗ se nezměnil, pouze jsou jeho souřadnice
vyjádřeny v jiné bázi.
Příklad 5: Graficky znázorněte a dokažte vlastnosti množiny volných vektorů v rovině.
Řešení:
a) Struktura (𝑉, +) je komutativní grupa, když:
1. uzavřenost operace + na 𝑉: ∀𝑢⃗⃗, 𝑣⃗ ∈ 𝑉: 𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ ∈ 𝑉,
2. asociativita operace +: ∀𝑢⃗⃗, 𝑣⃗, 𝑤⃗⃗⃗ ∈ 𝑉: (𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) + 𝑤⃗⃗⃗ = 𝑢⃗⃗ + (𝑣⃗ + 𝑤⃗⃗⃗),
Obr. 3: Grafické znázornění součtu vektorů 𝑢⃗⃗, 𝑣⃗, 𝑤⃗⃗⃗
3. existence neutrálního prvku: ∃𝑜⃗ ∈ 𝑉: 𝑢⃗⃗ + 𝑜⃗ = 𝑜⃗ + 𝑢⃗⃗ ∀𝑢⃗⃗ ∈ 𝑉,
4. existence inverzí vzhledem k operaci +: ∀𝑢⃗⃗ ∈ 𝑉 ∃(−𝑢⃗⃗) ∈ 𝑉: 𝑢⃗⃗ + (−𝑢⃗⃗) = 𝑜⃗,
Obr. 4: Grafické znázornění součtu vektorů 𝑢⃗⃗, −𝑢⃗⃗
Obr. 2: Grafické znázornění součtu vektorů 𝑢⃗⃗ a 𝑣⃗
𝑣⃗
𝑢⃗⃗ 𝑤⃗⃗⃗
𝑢⃗⃗
−𝑢⃗⃗
𝑢⃗⃗ 𝑣⃗
𝑢⃗⃗⃗⃗ + 𝑣⃗
13
5. komutativita operace + na 𝑉: ∀𝑢⃗⃗, 𝑣⃗ ∈ 𝑉: 𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ = 𝑣⃗ + 𝑢⃗⃗.
Obr. 5: Grafické znázornění součtu 𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ = 𝑣⃗ + 𝑢⃗⃗
b) Zobrazení ∙ množiny 𝑇 × 𝑉 do 𝑉, tedy násobení skalár krát vektor, splňuje vlastnosti
příbuzné vlastnostem operace na monoidu, když:
“1“ uzavřenost součinu skalár krát vektor: ∀𝑡 ∈ 𝑇, 𝑣⃗ ∈ 𝑉: 𝑡 ∙ 𝑣⃗ ∈ 𝑉,
Obr. 6: Grafické znázornění uzavřenosti součinu skalár krát vektor
“2“ asociativita součinu skalár krát vektor: ∀𝑠, 𝑡 ∈ 𝑇, 𝑣⃗ ∈ 𝑉: 𝑠 ∙ (𝑡 ∙ 𝑣⃗) = (𝑠 ∙ 𝑡) ∙ 𝑣⃗,
např. 2 ∙ (4 ∙ 𝑣⃗) = (2 ∙ 4) ∙ 𝑣⃗,
Obr. 7: Grafické znázornění asociativity součinu skalár krát vektor
“3“ existence neutrálního skaláru vzhledem k násobení skalár krát vektor:
∃1 ∈ 𝑇: 1 ∙ 𝑣⃗ = 𝑣⃗ ∀ 𝑣⃗ ∈ 𝑉.
c) Operace + a operace skalár krát vektor splňuje vlastnosti:
“6a“ ∀𝑠, 𝑡 ∈ 𝑇, 𝑣⃗ ∈ 𝑉: (𝑠 + 𝑡) ∙ 𝑣⃗ = 𝑠 ∙ 𝑣⃗ + 𝑡 ∙ 𝑣⃗,
např. (2 + 4) ∙ 𝑣⃗ = 2 ∙ 𝑣⃗ + 4 ∙ 𝑣⃗,
Obr. 8: Grafické znázornění (2 + 4) ∙ 𝑣⃗ = 2 ∙ 𝑣⃗ + 4 ∙ 𝑣⃗
−0,5 ∙ 𝑣⃗ 𝑣⃗ 2 ∙ 𝑣⃗
4 ∙ 𝑣⃗ 8 ∙ 𝑣⃗
8 ∙ 𝑣⃗
2 ∙ 𝑣⃗ 4 ∙ 𝑣⃗
6 ∙ 𝑣⃗
𝑢⃗⃗
𝑣⃗ 𝑣⃗
𝑢⃗⃗
14
“6b“ ∀𝑡 ∈ 𝑇, 𝑢⃗⃗, 𝑣⃗ ∈ 𝑉: 𝑡 ∙ (𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) = 𝑡 ∙ 𝑢⃗⃗ + 𝑡 ∙ 𝑣⃗,
např. 2 ∙ (𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) = 2 ∙ 𝑢⃗⃗ + 2 ∙ 𝑣⃗.
Obr. 9: Grafické znázornění 2 ∙ (𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) = 2 ∙ 𝑢⃗⃗ + 2 ∙ 𝑣⃗
Lze tedy dovodit, že všech deset vlastností10
požadovaných v definici vektorového prostoru
jsou takové vlastnosti, které lze u volných vektorů v rovině předpokládat a s nimiž se běžně
pracuje. Z příkladu 2 lze dovodit, že deset daných vlastností platí i pro množinu funkcí
spojitých na intervalu, tj. definice vektorového prostoru umožňuje chápat vektory jako
obecnější objekty.
Příklad 6: Vyjádřete úhlopříčky rovnoběžníku pomocí vektorů 𝑢⃗⃗ a 𝑣⃗ v prostoru volných
vektorů v rovině (ad příklad 5).
Řešení:
Obr. 10: Grafické znázornění úhlopříček čtyřúhelníku (alternativa 1)
Obr. 11: Grafické znázornění úhlopříček čtyřúhelníku (alternativa 2)
10
Vlastnosti označené 1., 2., 3., 4., 5., “1“, “2“, “3“, “6a“, “6b“ v kapitole 1.1, definice 1.
𝑢⃗⃗
𝑣⃗
2 ∙ 𝑣⃗
2 ∙ 𝑢⃗⃗
−𝑢⃗⃗
𝑣⃗
𝑢⃗⃗
𝑣⃗
𝑢⃗⃗
−𝑣⃗
15
2 SKALÁRNÍ SOUČIN VEKTORŮ
Tato kapitola se zabývá zobrazením typu skalární součin vektorů, tedy zobrazení 𝑉2
→ 𝑅,
které přiřazuje dvěma vektorům skalár a splňuje určité vlastnosti.11
Definice 5: Skalární součin vektorů na vektorovém prostoru nad tělesem 𝑇 je symetrická
bilineární pozitivně definitní forma na 𝑉.
Vysvětlení jednotlivých pojmů:
a) symetrická: 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑣⃗) = 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑢⃗⃗);
b) bilineární = lineární v každé z daných dvou složek,
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝛼 ∙ 𝑢⃗⃗ + 𝛽 ∙ 𝑣⃗, 𝑤⃗⃗⃗) = 𝛼 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑤⃗⃗⃗) + 𝛽 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑤⃗⃗⃗),
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝛼 ∙ 𝑣⃗ + 𝛽 ∙ 𝑤⃗⃗⃗) = 𝛼 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑣⃗) + 𝛽 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑤⃗⃗⃗);
c) pozitivně definitní: 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑢⃗⃗) > 0, pokud 𝑢⃗⃗ ≠ 𝑜⃗;
d) forma na 𝑉: zobrazení 𝑉 × 𝑉 → 𝑅, které přiřazuje dvojici vektorů reálné číslo
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑣⃗) = 𝑟 ∈ 𝑅.12
Příklad 7: Uveďte obecný vzorec skalárního součinu vektorů v aritmetickém vektorovém
prostoru 𝑅 𝑛
a příklad skalárního součinu na prostoru trojic reálných čísel.
Řešení:
V tomto prostoru je definován skalární součin nejčastěji podle vzorce
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑣⃗) = 𝑢1 ∙ 𝑣1 + 𝑢2 ∙ 𝑣2 + ⋯ + 𝑢 𝑛 ∙ 𝑣 𝑛. (1)
Na vektorovém prostoru (𝑅3
, + ) lze definovat skalární součin vztahem:
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑣⃗) = 𝑢1 ∙ 𝑣1 + 𝑢2 ∙ 𝑣2 + 𝑢3 ∙ 𝑣3.13
Příklad 8: Uveďte příklad skalárního součinu na prostoru reálných spojitých funkcí na
intervalu 〈𝑎, 𝑏〉.
Řešení:
Na vektorovém prostoru 𝑉 = 𝐶〈𝑎, 𝑏〉 nad tělesem skalárů 𝑅 lze definovat skalární součin
vztahem: 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥)) = ∫ 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
.
Takto definovaný operátor je symetrickou formou na 𝐶〈𝑎, 𝑏〉 a splňuje vlastnost linearity
v každé ze složek, např.
∫ (𝛼 ∙ 𝑓1(𝑥) + 𝛽 ∙ 𝑓2(𝑥)) ∙ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝛼 ∙
𝑏
𝑎
∫ 𝑓1(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝛽 ∙ ∫ 𝑓2(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
,
11
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 92.
12
Srov. tamtéž, str. 92-93.
13
Srov. tamtéž, str. 93.
16
Pozitivní definitnost operátoru je také splněna, protože
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥)) = ∫ 𝑓2(𝑥) 𝑑𝑥 > 0
𝑏
𝑎
, pro spojitou funkci 𝑓(𝑥) ≠ 0.14
2.1 Velikost vektoru
Definice 6: Velikost neboli norma vektoru je odmocnina ze skalárního součinu vektoru se
sebou samotným: ‖𝑣⃗‖ = √𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑣⃗).15
Poznámka: Velikost vektoru vychází z Pythagorovy věty a je dána vztahem √𝑎2 + 𝑏2, který
je znázorněn v Obr. 12.
Tedy pro vektor 𝑣⃗ = (𝑎, 𝑏) v aritmetickém vektorovém prostoru 𝑅2
se skalárním součinem
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑣⃗) = 𝑎 ∙ 𝑎 + 𝑏 ∙ 𝑏 platí ‖𝑣⃗‖ = √𝑎2 + 𝑏2.
Obr. 12: Grafické znázornění velikosti vektoru 𝑣⃗ v prostoru 𝑅2
.
Vlastnosti velikosti vektoru:
1. Pozitivní definitnost: ‖𝑣⃗‖ > 0 pro 𝑣⃗ ≠ 0, 𝑣⃗ = 0 ⇔ ‖𝑣⃗‖ = 0.
2. Homogenita: ‖𝛼 ∙ 𝑣⃗‖ = |𝛼| ∙ ‖𝑣⃗‖, kde 𝛼 je libovolná konstanta z tělesa skalárů.
3. Trojúhelníková nerovnost: ‖𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗‖ ≤ ‖𝑢⃗⃗‖ + ‖𝑣⃗‖.16
Součet velikostí dvou stran trojúhelníku musí být větší nebo roven velikosti třetí strany.
Obr. 13: Grafické znázornění výchozí situace pro trojúhelníkovou nerovnost v prostoru 𝑅2
.
4. Vzorec pro odchylku vektorů na množině volných vektorů v rovině (příklad 5) vychází
z kosinové věty:
14
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 93.
15
Srov. tamtéž, str. 96.
16
Srov. tamtéž, str. 97-98.
𝑦
𝑏
𝑎
𝑣⃗
𝑥
𝑣⃗
𝑢⃗⃗
𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗
17
‖𝑢⃗⃗ − 𝑣⃗‖2
= ‖𝑢⃗⃗‖2
+ ‖𝑣⃗‖2
− 2 ∙ ‖𝑢⃗⃗‖ ∙ ‖𝑣⃗‖ ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜑),
𝑠𝑘𝑎𝑙((𝑢⃗⃗ − 𝑣⃗), (𝑢⃗⃗ − 𝑣⃗)) = ‖𝑢⃗⃗‖2
+ ‖𝑣⃗‖2
− 2 ∙ ‖𝑢⃗⃗‖ ∙ ‖𝑣⃗‖ ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜑),
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑢⃗⃗) + 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑣⃗) − 2 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑣⃗) = ‖𝑢⃗⃗‖2
+ ‖𝑣⃗‖2
− 2 ∙ ‖𝑢⃗⃗‖ ∙ ‖𝑣⃗‖ ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜑).
A proto
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑣⃗) = ‖𝑢⃗⃗‖ ∙ ‖𝑣⃗‖ ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜑) (2)
Odtud dostaneme
𝑐𝑜𝑠(𝜑) =
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑣⃗)
‖𝑢⃗⃗‖ ∙ ‖𝑣⃗‖
(3)
První řádek celého odvození je kosinovou větou na množině volných vektorů, další úpravy
plynou z vlastností velikosti vektoru a skalárního součinu vektorů. Vzorec (2) platí nejen ve
vektorovém prostoru 𝑅 𝑛
, ale také ve všech ostatních vektorových prostorech se skalárním
součinem, což vyplývá ze Schwarzovy nerovnosti.17
Obr. 14: Grafické znázornění kosinové věty
5. Pro 𝑢⃗⃗ ≠ 𝑜⃗ lze vektor 𝑢⃗⃗ normovat, neboli prodloužit či zkrátit, na vektor velikosti 1 pomocí
1
‖𝑢⃗⃗⃗‖
∙ 𝑢⃗⃗.18
6. Schwarzova nerovnost bude pro obecné prostory se skalárním součinem dokázána
v následující kapitole o ortogonalitě.
17
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 99.
18
Srov. tamtéž, str. 98.
𝑣⃗
𝑢⃗⃗
−𝑣⃗
𝜑
18
3 ORTOGONALITA
Tato kapitola pojednává o ortogonalitě vektorů, ortogonální projekci, Gram-Schmidtově
ortogonalizačním procesu, Schwarzově nerovnosti a jejich užití.
3.1 Ortogonální projekce a Schwarzova nerovnost
Definice 7: Vektory 𝑢⃗⃗, 𝑣⃗ jsou ortogonální, pokud platí 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑣⃗) = 0. Na rozdíl od
ortogonality vektorů se kolmost definuje na 𝑅 𝑛
pro vektory 𝑢⃗⃗, 𝑣⃗, které jsou nenulové.
Ortogonální vektory mohou být oba (nebo jeden) nulové.19
Definice 8: Množiny 𝐴, 𝐵 jsou ortogonální, když ∀𝑢⃗⃗ ∈ 𝐴, 𝑣⃗ ∈ 𝐵: vektory 𝑢⃗⃗, 𝑣⃗ jsou
ortogonální.20
Definice 9: Báze 𝑊 vektorového prostoru se nazývá ortogonální, jestliže každé její dva různé
vektory jsou ortogonální; nazývá se ortonormální, je-li ortogonální a navíc ‖𝑥⃗‖ = 1, pro
každé 𝑥⃗ ∈ 𝑊.21
Definice 10: Pokud 𝑈 je vektorovým podprostorem Eukleidovského prostoru 𝑉, pak
ortogonální doplněk 𝑈⊥
podprostoru 𝑈 v prostoru 𝑉 se definuje jako množina všech vektorů
ortogonálních k 𝑈: 𝑈⊥
= {𝑥⃗ ∈ 𝑉: 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑢⃗⃗) = 0 ∀𝑢⃗⃗ ∈ 𝑈}.
Ortogonální doplněk 𝑈⊥
je vektorový podprostor, který má tyto vlastnosti:
1) 𝑉 = 𝑈 + 𝑈⊥
(tzv. přímý součet, tj. 𝑈 ∩ 𝑈⊥
= {𝑜⃗}, dim(𝑉) = dim(𝑈) + dim (𝑈⊥
)),
2) (𝑈⊥)⊥
= 𝑈,
3) (𝑈 + 𝑆)⊥
= 𝑈⊥
∩ 𝑆⊥
,
4) (𝑈 ∩ 𝑆)⊥
= 𝑈⊥
+ 𝑆⊥
.22
Definice 11: Ortogonální projekce nenulového vektoru 𝑣⃗ do podprostoru 𝑈 je vektor 𝑥⃗
takový, že: 𝑥⃗ + 𝑦⃗ = 𝑣⃗, kde 𝑥⃗ ∈ 𝑈, 𝑦⃗ ∈ 𝑈⊥
. 23
19
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 102.
20
Srov. tamtéž, str. 104.
21
ČERNÝ, Ilja. Kuželosečky a kvadriky [online]. Třetí upravené a doplněné vydání.
Praha: Universita Karlova, 2012. Str. 12.
22
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 104.
23
Srov. tamtéž, str. 107.
19
Obr. 15: Ortogonální projekce nenulového vektoru 𝑣⃗ do podprostoru 𝑈
Příklad 9: Najděte ortogonální projekci vektoru 𝑣⃗ = (1, 3, 2) do směru vektoru
𝑢⃗⃗ = (1, −2, 3) (do podprostoru 𝐿(𝑢⃗⃗)).24
Obecné řešení:
Obr. 16: Ortogonální projekce vektoru 𝑣⃗ do směru vektoru 𝑢⃗⃗
𝑣⃗ = 𝑥⃗ + 𝑦⃗
𝑥⃗ = 𝑘 ∙ 𝑢⃗⃗
𝑣⃗ = 𝑘 ∙ 𝑢⃗⃗ + 𝑦⃗ /∙ 𝑢⃗⃗
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑢⃗⃗) = 𝑘 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑢⃗⃗) + 0
𝑘 =
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑢⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑢⃗⃗)
Tímto způsobem lze vyjádřit vzorec pro projekci vektoru do směru jiného vektoru.
𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑢⃗⃗⃗(𝑣⃗) =
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑢⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑢⃗⃗)
∙ 𝑢⃗⃗. (4)
Konkrétní řešení:
𝑥⃗ ∶= 𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑢⃗⃗⃗(𝑣⃗) = 𝑘 ∙ 𝑢⃗⃗ =
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑢⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑢⃗⃗)
∙ 𝑢⃗⃗ =
1
14
∙ (1, −2, 3) = (
1
14
, −
1
7
,
3
14
)
24
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 138.
𝑣⃗
𝑢⃗⃗𝑥⃗
𝑦⃗
𝑈𝑦⃗
𝑥⃗
𝑣⃗
∙
20
Schwarzova nerovnost
Pro vektory v aritmetickém vektorovém prostoru (s definicí skalárního součinu z příkladu 7)
platí Schwarzova nerovnost ze vztahu (2). Rovnost v tomto vztahu nastává pro 𝜑 = 0, což je
právě tehdy, když jsou vektory 𝑢⃗⃗, 𝑣⃗ lineárně závislé.
‖𝑢⃗⃗‖ ∙ ‖𝑣⃗‖ ≥ |𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑣⃗)| (5)
Výše uvedený vzorec platí pro jakýkoli vektorový prostor se skalárním součinem. 25
Důkaz:
∀𝑢⃗⃗, 𝑣⃗ ∈ 𝑉: (𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑢⃗⃗))
2
≤ ‖𝑢⃗⃗‖ ∙ ‖𝑣⃗‖
V aritmetickém vektorovém prostoru platí:
(𝑢1 ∙ 𝑣1 + 𝑢2 ∙ 𝑣2)2
≤ (𝑢1
2
+ 𝑢2
2) ∙ (𝑣1
2
+ 𝑣2
2)
𝑢1
2
𝑣1
2
+ 2𝑢1 𝑣1 𝑢2 𝑣2 + 𝑢2
2
𝑣2
2
≤ 𝑢1
2
𝑣1
2
+ 𝑢1
2
𝑣2
2
+ 𝑢2
2
𝑣1
2
+ 𝑢2
2
𝑣2
2
0 ≤ 𝑢2
2
𝑣1
2
− 2𝑢1 𝑣1 𝑢2 𝑣2 + 𝑢1
2
𝑣2
2
0 ≤ (𝑢2 𝑣1 − 𝑢1 𝑣2)2
… platí (důkaz nyní plyne obrácením úvah z předchozího odvození)
Důkaz obecně:
a) 𝑢⃗⃗ = 𝑜⃗ … tvrzení platí:
𝑢⃗⃗ ∙ 𝑣⃗ = 0
‖𝑢⃗⃗‖ ∙ ‖𝑣⃗‖ = 0
b) 𝑢⃗⃗ ≠ 𝑜⃗
𝑣⃗ ≠ 𝑜⃗
Obr. 17: Důkaz Schwarzovy nerovnosti
∀𝑣⃗ ∈ 𝑉:
‖𝑣⃗ − 𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑢⃗⃗⃗ 𝑣⃗‖2
≥ 0
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗ − 𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑢⃗⃗⃗ 𝑣⃗, 𝑣⃗ − 𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑢⃗⃗⃗ 𝑣⃗) ≥ 0
Využití vzorce (4) 𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑢⃗⃗⃗(𝑣⃗) =
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗⃗,𝑢⃗⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗⃗,𝑢⃗⃗⃗)
∙ 𝑢⃗⃗.
25
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 99.
𝑣⃗
𝑢⃗⃗𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑢⃗⃗⃗ 𝑣⃗
𝑣⃗ − 𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑢⃗⃗⃗ 𝑣⃗ 𝑣⃗ − 𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑢⃗⃗⃗ 𝑣⃗
− 𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑢⃗⃗⃗ 𝑣⃗
∙
21
𝑠𝑘𝑎𝑙 (𝑣⃗ −
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗⃗,𝑢⃗⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗⃗,𝑢⃗⃗⃗)
∙ 𝑢⃗⃗, 𝑣⃗ −
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗⃗,𝑢⃗⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗⃗,𝑢⃗⃗⃗)
∙ 𝑢⃗⃗) ≥ 0
‖𝑣⃗‖2
− 2 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙 (𝑣⃗,
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗⃗,𝑢⃗⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗⃗,𝑢⃗⃗⃗)
∙ 𝑢⃗⃗) + ‖𝑢⃗⃗‖2
∙
(𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗⃗,𝑣⃗⃗))
2
(𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗⃗,𝑢⃗⃗⃗))
2 ≥ 0 /∙ ‖𝑢⃗⃗‖2
‖𝑢⃗⃗‖2
∙ ‖𝑣⃗‖2
− 2 ∙ (𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑣⃗))
2
+ (𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑣⃗))
2
≥ 0
‖𝑢⃗⃗‖2
∙ ‖𝑣⃗‖2
− (𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑣⃗))
2
≥ 0
‖𝑢⃗⃗‖2
∙ ‖𝑣⃗‖2
≥ (𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑣⃗))
2
‖𝑢⃗⃗‖ ∙ ‖𝑣⃗‖ ≥ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑣⃗)
Rovnost nastává právě tehdy, když 𝑣⃗ − 𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑢⃗⃗⃗ 𝑣⃗ = 𝑜⃗, tedy když vektor 𝑣⃗ je rovnoběžný
s vektorem 𝑢⃗⃗.
3.2 Ortogonální projekce doplněná o Gramův-Schmidtův ortogonalizační
proces
Věta 1: Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces: nechť 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗, … , 𝑢 𝑘⃗⃗⃗⃗⃗ jsou vektory
eukleidovského prostoru, pak existují po dvou ortogonální vektory
𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗, … , 𝑒 𝑘⃗⃗⃗⃗⃗ , pro které platí 𝐿(𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗, … , 𝑢 𝑘⃗⃗⃗⃗⃗) = 𝐿(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗, … , 𝑒 𝑘⃗⃗⃗⃗⃗). 26
Příklad 10: Pomocí Gramova-Schmidtova ortogonalizačního procesu nalezněte bázi
podprostoru 𝑈 = 𝐿(𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢3⃗⃗⃗⃗⃗):
𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗ = (
0
1
1
1
) , 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗ = (
−1
1
1
1
) , 𝑢3⃗⃗⃗⃗⃗ = (
1
0
1
0
).27
Řešení:
Nejprve zjistíme, zda jsou vektory 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗ a 𝑢3⃗⃗⃗⃗⃗ lineárně nezávislé. V tomto případě je
podmínka splněna. Pokračujeme algoritmem Gramova-Schmidtova procesu:
𝑒1⃗⃗⃗⃗: = 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗ = (
0
1
1
1
)
První hledaný vektor položíme rovný prvnímu z vektorů zadané báze.
Dále klademe 𝑒2⃗⃗⃗⃗: = 𝑝1 ∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗. Hledáme vektor 𝑒2⃗⃗⃗⃗ jako lineární kombinaci vektorů 𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗.
Ke zjištění souřadnic vektoru 𝑒2⃗⃗⃗⃗ je nutné vypočítat konstantu 𝑝1, využijeme ortogonality
𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗: 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗) = 0.
26
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 102.
27
Srov. tamtéž, str. 103.
22
𝑒2⃗⃗⃗⃗ = 𝑝1 ∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗ /∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗) = 𝑝1 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗) + 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗)
0 = 𝑝1 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗) + 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗)
𝑝1 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗) = − 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗)
𝑝1 =
− 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗)
𝑝1 = −
3
3
= −1
𝑒2⃗⃗⃗⃗ = 𝑝1 ∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒2⃗⃗⃗⃗ = −1 ∙ (
0
1
1
1
) + (
−1
1
1
1
)
𝑒2⃗⃗⃗⃗ = (
−1
0
0
0
).
Následně klademe 𝑒3⃗⃗⃗⃗: = 𝑝1 ∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 𝑝2 ∙ 𝑒2⃗⃗⃗⃗ + 𝑢3⃗⃗⃗⃗⃗. Hledaný vektor 𝑒3⃗⃗⃗⃗ vyjadřujeme jako lineární
kombinaci vektorů 𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗, 𝑢3⃗⃗⃗⃗⃗.
Ke zjištění souřadnic vektoru 𝑒3⃗⃗⃗⃗ potřebujeme vypočítat konstanty 𝑝1 a 𝑝2, opět využijeme
ortogonality vektorů 𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗, 𝑒3⃗⃗⃗⃗: 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒3⃗⃗⃗⃗) = 0, 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒2⃗⃗⃗⃗, 𝑒3⃗⃗⃗⃗) = 0.
𝑒3⃗⃗⃗⃗ = 𝑝1 ∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 𝑝2 ∙ 𝑒2⃗⃗⃗⃗ + 𝑢3⃗⃗⃗⃗⃗ /∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗
𝑒3⃗⃗⃗⃗ = 𝑝1 ∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 𝑝2 ∙ 𝑒2⃗⃗⃗⃗ + 𝑢3⃗⃗⃗⃗⃗ /∙ 𝑒2⃗⃗⃗⃗
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒3⃗⃗⃗⃗) = 𝑝1 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗) + 𝑝2 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗) + 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑢3⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒2⃗⃗⃗⃗, 𝑒3⃗⃗⃗⃗) = 𝑝1 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗) + 𝑝2 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒2⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗) + 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒2⃗⃗⃗⃗, 𝑢3⃗⃗⃗⃗⃗).
S využitím ortogonality tedy platí:
0 = 𝑝1 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗) + 𝑝2 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗) + 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑢3⃗⃗⃗⃗⃗)
0 = 𝑝1 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗) + 𝑝2 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒2⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗) + 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒2⃗⃗⃗⃗, 𝑢3⃗⃗⃗⃗⃗)
0 = 3 ∙ 𝑝1 + 0 ∙ 𝑝2 + 1
0 = 0 ∙ 𝑝1 + 1 ∙ 𝑝2 − 1
𝑝1 = −
1
3
𝑝2 = 1
23
𝑒3⃗⃗⃗⃗ = −
1
3
∙ (
0
1
1
1
) + 1 ∙ (
−1
0
0
0
) + (
1
0
1
0
) =
(
0
−
1
3
2
3
−
1
3)
Odpověď:
𝐿(𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢3⃗⃗⃗⃗⃗) je dimenze 3 a jeho ortogonální báze je např.:
𝑒1⃗⃗⃗⃗ = (
0
1
1
1
), 𝑒2⃗⃗⃗⃗ = (
−1
0
0
0
), 𝑒3⃗⃗⃗⃗ =
(
0
−
1
3
2
3
−
1
3)
.
Pokud by byl vektor 𝑢3⃗⃗⃗⃗⃗ lineárně závislý na vektorech 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗, tak Gramův-Schmidtův
ortogonalizační proces nalezne 𝑒3⃗⃗⃗⃗ = 0, a ten se do báze nebere, i když je ortogonální k 𝑒1⃗⃗⃗⃗
i k 𝑒2⃗⃗⃗⃗.28
Příklad 11: Najděte ortogonální projekci vektoru 𝑣⃗ = (1, 3, 2) do roviny
𝑈 = {[𝑥, 𝑦, 𝑧]: 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0}.
Řešení:
Způsob 1:
Zvolíme si dva lineárně nezávislé vektory 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗ ∈ 𝑈, které vytváří bázi 𝑈,
např. 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, 3, 1), 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗ = (−4, 2, 3).
Obr. 18: Ortogonální projekce vektoru 𝑣⃗ do roviny 𝑈 (1. způsob)
𝑣⃗ = 𝑥⃗ + 𝑦⃗
𝑥⃗ = 𝑘1 ∙ 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑘2 ∙ 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗,
dostáváme tedy vyjádření 𝑣⃗ = 𝑘1 ∙ 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑘2 ∙ 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦⃗. Jestliže tento vztah vynásobíme po řadě
vektory báze podprostoru 𝑈, získáme dvě rovnice:
28
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 103-104.
𝑈𝑦⃗
𝑥⃗
𝑣⃗
∙
24
𝑣⃗ = 𝑘1 ∙ 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑘2 ∙ 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦⃗ /∙ 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣⃗ = 𝑘1 ∙ 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑘2 ∙ 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑦⃗ /∙ 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗) = 𝑘1 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗) + 𝑘2 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗) + 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑦⃗, 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗) = 𝑘1 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗) + 𝑘2 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗) + 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑦⃗, 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗).
V těchto rovnicích je využito skutečnosti, že vektory 𝑦⃗, 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗ jsou ortogonální, i vektory 𝑦⃗, 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗
jsou ortogonální. Tedy platí 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑦⃗, 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗) = 0, a také 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑦⃗, 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗) = 0. Po dosazení do tohoto
systému platí:
12 = 𝑘1 ∙ 11 + 𝑘2 ∙ 5 + 0
8 = 𝑘1 ∙ 5 + 𝑘2 ∙ 29 + 0
𝑘1 =
22
21
𝑘2 =
2
21
𝑥⃗ = 𝑘1 ∙ 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑘2 ∙ 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗
𝑥⃗ =
22
21
∙ (1, 3, 1) +
2
21
∙ (−4, 2, 3) = (
2
3
,
10
3
,
4
3
)
Způsob 2:
Pomocí analytické geometrie v aritmetickém vektorovém prostoru (𝑅3
, +, ∙ )
Obr. 19: Ortogonální projekce vektoru 𝑣⃗ do roviny 𝑈 (2. způsob)
𝑛⃗⃗ = (1, −1, 2) … normálový vektor
𝑣⃗ = (1, 3, 2), pak
𝐾 = [1, 3, 2]
𝑦⃗ = 𝑐 ∙ (1, −1, 2) = 𝑐 ∙ 𝑛⃗⃗
𝑟 ⊥ 𝑈: 𝑥 = 1 + 𝑐 ∙ 1
𝑦 = 3 + 𝑐 ∙ (−1)
𝑧 = 2 + 𝑐 ∙ 2
𝑃
𝑟
𝑈𝑦⃗
𝑥⃗
𝑣⃗
∙𝑛⃗⃗
𝐾 = [1, 3, 2]
0
25
𝑃 ∈ 𝑈: 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0
1 + 𝑐 − (3 − 𝑐) + 2 ∙ (2 + 2𝑐) = 0
𝑐 = −
1
3
𝑃 = [
2
3
,
10
3
,
4
3
] → 𝑥⃗ = (
2
3
,
10
3
,
4
3
)
Způsob 3:
Tento způsob je podobný způsobu prvnímu, jen navíc s využitím Gramova-Schmidtova
ortogonalizačního procesu.
Obr. 20: Ortogonální projekce vektoru 𝑣⃗ do roviny 𝑈 (3. způsob)
Jsou dány dva lineárně nezávislé vektory 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, 3, 1), 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗ = (−4, 2, 3), 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗ ∈ 𝑈, které
vytváří bázi 𝑈. Cílem je najít vektory 𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗ , aby platilo:
𝐿(𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗) = 𝐿(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗), kde 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗) = 0
𝑒1⃗⃗⃗⃗ ∶= 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗ = (1, 3, 1)
𝑒2⃗⃗⃗⃗ ∶= 𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 𝑘 ∙ 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗ /∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗) = 𝑠𝑘𝑎𝑙( 𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗) + 𝑘 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗)
0 = 𝑠𝑘𝑎𝑙( 𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗) + 𝑘 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑘 = −
𝑠𝑘𝑎𝑙( 𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗)
𝑘 = −
11
5
𝑒2⃗⃗⃗⃗ = (1, 3, 1) + (−
11
5
) ∙ (−4, 2, 3)
𝑒2⃗⃗⃗⃗ = (
49
5
, −
7
5
, −
28
5
) … vektor kolmý na 𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗
Zde končí využití Gramova-Schmidtova ortogonalizačního procesu. Byly vypočítány
ortogonální vektory 𝑒1⃗⃗⃗⃗ a 𝑒2⃗⃗⃗⃗, které se vloží do báze a provede se projekce vektoru 𝑣⃗ do
podprostoru jimi generovaného. Následující výpočet je stejný jako ve způsobu 1.
𝑣⃗ = 𝑥⃗ + 𝑦⃗
𝑥⃗ = 𝑘1 ∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 𝑘2 ∙ 𝑒2⃗⃗⃗⃗
𝑈𝑦⃗
𝑥⃗
𝑣⃗
∙
26
𝑣⃗ = 𝑘1 ∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 𝑘2 ∙ 𝑒2⃗⃗⃗⃗ + 𝑦⃗ /∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗
𝑣⃗ = 𝑘1 ∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗ + 𝑘2 ∙ 𝑒2⃗⃗⃗⃗ + 𝑦⃗ /∙ 𝑒2⃗⃗⃗⃗
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗) = 𝑘1 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗) + 𝑘2 ∙ 0 + 0,
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗) = 0 + 𝑘2 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒2⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗) + 0.
Způsob 3 lze použít namísto způsobu 1, protože jsme získali systém dvou lineárních rovnic
o dvou neznámých. S využitím ortogonality vektorů 𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗ je každá neznámá samostatně
v jiné rovnici:
𝑘1 =
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗)
𝑘2 =
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒2⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗)
𝑥⃗ = 𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑒1⃗⃗⃗⃗⃗,𝑒2⃗⃗⃗⃗⃗(𝑣⃗) =
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗)
∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗ +
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒2⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗)
∙ 𝑒2⃗⃗⃗⃗
Vzorec projekce vektoru 𝑣⃗ do roviny určené ortogonálními vektory 𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗
𝑝𝑟𝑜𝑗 𝑒1⃗⃗⃗⃗⃗,𝑒2⃗⃗⃗⃗⃗(𝑣⃗) =
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗)
∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗ +
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒2⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗)
∙ 𝑒2⃗⃗⃗⃗ (6)
𝑥⃗ =
12
11
∙ (1, 3, 1) +
−
28
5
3234
25
∙ (
49
5
, −
7
5
, −
28
5
)
𝑥⃗ = (
2
3
,
10
3
,
4
3
)
3.3 Odchylka dvou vektorů
Při výpočtu odchylky dvou vektorů v jakémkoli prostoru se skalárním součinem se využívá
výraz ze Schwarzovy nerovnosti
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗⃗,𝑣⃗⃗)
‖𝑢⃗⃗⃗‖∙‖𝑣⃗⃗‖
, který nabývá hodnot v intervalu 〈−1, 1〉. Protože
tento interval je definičním oborem funkce 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥), tedy 𝑐𝑜𝑠(𝜑) =
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗⃗,𝑣⃗⃗)
‖𝑢⃗⃗⃗‖∙‖𝑣⃗⃗‖
. Pro hodnotu
zlomku z intervalu 〈−1, 1〉 přiřadí funkce 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥) úhel 𝜑 interval 〈0, 𝜋〉 jednoznačně, tj. na
intervalu 〈0, 𝜋〉 existuje právě jedno 𝜑 splňující daný vztah.29
29
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 100.
27
sin (𝑥)
𝑦
𝑥𝜋
3sin (𝑥)
0
Příklad 12: Určete velikost odchylky vektorů 𝑢⃗⃗ = (1, 3), 𝑣⃗ = (2, −3).
Řešení:
𝑐𝑜𝑠(𝜑) =
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑣⃗)
‖𝑢⃗⃗‖ ∙ ‖𝑣⃗‖
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (
1 ∙ 2 + 3 ∙ (−3)
√12 + 32 ∙ √22 + (−3)2
)
𝜑 = 127° 52´
Příklad 13: Ve vektorovém prostoru ( 𝐶〈 𝑎, 𝑏〉, +, ∙ ) v intervalu 〈 𝑎, 𝑏〉 = 〈0, 𝜋〉 určete velikost
odchylky funkce a) 𝑠𝑖𝑛 (𝑥) a 3𝑠𝑖𝑛 (𝑥), b) 𝑠𝑖𝑛 (𝑥) a 𝑠𝑖𝑛 (3𝑥).
Řešení:
a)
Obr. 21: Grafické znázornění funkcí 𝑠𝑖𝑛 (𝑥) a 3𝑠𝑖𝑛 (𝑥)
∫ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ∙ 3𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
=
= ∫ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ∙ 3𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = 3 ∙ ∫ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 = 3 ∙ ∫ 𝑠𝑖𝑛(𝑥)2
𝑑𝑥 =
𝜋
0
𝜋
0
𝜋
0
= 3 ∙ ∫
1 − 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥)
2
𝑑𝑥 = 3 ∙
1
2
∙ ∫ 1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑑𝑥 =
3
2
∙ ∫ 1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑑𝑥 =
𝜋
0
𝜋
0
𝜋
0
=
3
2
∙ ∫ 1 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑑𝑥 = (
3
2
∙ (𝑥 −
𝑠𝑖𝑛(2𝑥)
2
))|
𝜋
0
𝜋
0
𝜋
0
= (
3
2
𝑥 −
3 𝑠𝑖𝑛(2𝑥)
2
)|
𝜋
0
=
=
3
2
𝜋 −
3 𝑠𝑖𝑛(2𝜋)
4
− (
3
2
∙ 0 −
3 𝑠𝑖𝑛(2 ∙ 0)
4
) =
3𝜋
2
‖𝑠𝑖𝑛(𝑥)‖ = √∫ (𝑠𝑖𝑛(𝑥))2 𝑑𝑥
𝜋
0
= √∫
1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
2
𝑑𝑥
𝜋
0
= √
1
2
∙ ∫ 1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
=
= √(
1
2
∙ (𝑥 −
𝑠𝑖𝑛(2𝑥)
2
))|
𝜋
0
= √(
1
2
𝑥 −
𝑠𝑖𝑛(2𝑥)
4
)|
𝜋
0
=
𝑠𝑖𝑛(𝑥)
3𝑠𝑖𝑛(𝑥)
28
= √
1
2
𝜋 −
𝑠𝑖𝑛(2𝜋)
4
− (
1
2
∙ 0 −
𝑠𝑖𝑛(2 ∙ 0)
4
) = √
𝜋
2
=
√2𝜋
2
‖3𝑠𝑖𝑛(𝑥)‖ = √∫ (3𝑠𝑖𝑛(𝑥))2 𝑑𝑥
𝜋
0
= √∫ 9(𝑠𝑖𝑛(𝑥)) 2 𝑑𝑥
𝜋
0
= √9 ∙ ∫ (𝑠𝑖𝑛(𝑥)) 2 𝑑𝑥
𝜋
0
=
= √9 ∙ ∫
1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
2
𝑑𝑥
𝜋
0
= √
9
2
∙ ∫ 1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
= √(
9
2
∙ (𝑥 −
𝑠𝑖𝑛(2𝑥)
2
))|
𝜋
0
=
= √(
9
2
𝑥 −
9 𝑠𝑖𝑛(2𝑥)
4
)|
𝜋
0
= √
9
2
𝜋 −
9𝑠𝑖𝑛(2𝜋)
4
− (
9
2
∙ 0 −
9𝑠𝑖𝑛(2 ∙ 0)
4
) = √
9𝜋
2
=
3√2𝜋
2
𝑐𝑜𝑠(𝜑) =
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑣⃗)
‖𝑢⃗⃗‖ ∙ ‖𝑣⃗‖
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (
∫ 𝑠𝑖𝑛(𝑥)∙3𝑠𝑖𝑛(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
0
‖𝑠𝑖𝑛(𝑥)‖∙‖3 𝑠𝑖𝑛(𝑥)‖
) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 (
3𝜋
2
√2𝜋
2
∙
3√2𝜋
2
) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(1), odtud
φ = 0
b)
Obr. 22: Grafické znázornění funkcí 𝑠𝑖𝑛(𝑥) a 𝑠𝑖𝑛(3𝑥)
∫ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ∙ 𝑠𝑖𝑛(3𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
0
= ∫ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ∙ (𝑠𝑖𝑛(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) + 𝑠𝑖𝑛(2𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑥))𝑑𝑥 =
𝜋
0
= ∫ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ∙ (𝑠𝑖𝑛(𝑥) ∙ (𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑖𝑛2(𝑥)) + (2 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)) ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝑥))𝑑𝑥 =
𝜋
0
= ∫ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ∙ (𝑠𝑖𝑛(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑖𝑛3(𝑥) + 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠2(𝑥))𝑑𝑥 =
𝜋
0
= ∫ 𝑠𝑖𝑛2(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑖𝑛4(𝑥) + 2 ∙ 𝑠𝑖𝑛2(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠2(𝑥)𝑑𝑥 =
𝜋
0
= ∫ 3 ∙ 𝑠𝑖𝑛2(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑖𝑛4(𝑥)𝑑𝑥 =
𝜋
0
= ∫ (
3
4
∙
1 − 𝑐𝑜𝑠(4𝑥)
2
) −
1
4
∙ (1 − 2 ∙ 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) +
1 − 𝑐𝑜𝑠(4𝑥)
2
) 𝑑𝑥 =
𝜋
0
𝑥
𝑦
𝑠𝑖𝑛(𝑥)
𝑠𝑖𝑛(3𝑥)
𝜋0
29
= ∫
3
8
−
3
8
∙ 𝑐𝑜𝑠(4𝑥) −
1
4
+
1
2
∙ 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) −
1
8
+
1
8
∙ 𝑐𝑜𝑠(4𝑥) 𝑑𝑥 =
𝜋
0
= ∫
3
8
−
3 ∙ 𝑐𝑜𝑠(4𝑥)
8
−
1
4
+
𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
2
−
1
8
+
𝑐𝑜𝑠(4𝑥)
8
𝑑𝑥 =
𝜋
0
= ∫
3 ∙ 𝑐𝑜𝑠(4𝑥)
8
+
𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
2
+
𝑐𝑜𝑠(4𝑥)
8
𝑑𝑥 =
𝜋
0
∫ (−
𝑐𝑜𝑠(4𝑥)
4
) +
𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
2
𝑑𝑥 =
𝜋
0
= (−
𝑠𝑖𝑛(4𝑥)
16
+
𝑠𝑖𝑛(2𝑥)
4
)|
𝜋
0
= −
𝑠𝑖𝑛(4𝜋)
16
+
𝑠𝑖𝑛(2𝜋)
4
− (−
𝑠𝑖𝑛(4 ∙ 0)
16
+
𝑠𝑖𝑛(2 ∙ 0)
4
) = 0
Jelikož čitatel ve vzorci 𝑐𝑜𝑠(𝜑) =
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗⃗,𝑣⃗⃗)
‖𝑢⃗⃗⃗‖∙‖𝑣⃗⃗‖
je roven nule, odchylka
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(0) =
𝜋
2
= 90°.
30
4 LINEÁRNÍ ZOBRAZENÍ MEZI VEKTOROVÝMI PROSTORY
Definice 12: Nechť jsou (𝑉, +, ∙ ), (𝑉´, +, ∙ ) vektorové prostory nad stejným číselným
tělesem (𝑇, +, ∙ ), pak lineární zobrazení 𝜑 = 𝑉 → 𝑉´ je takové zobrazení, pro které platí
vlastnosti:
a) podmínka zachování grupové operace: ∀𝑢⃗⃗, 𝑣⃗ ∈ 𝑉: 𝜑(𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) = 𝜑(𝑢⃗⃗) + 𝜑(𝑣⃗),
b) podmínka zachování výsledku součinu (skalár krát vektor):
∀𝑢⃗⃗ ∈ 𝑉, 𝛼 ∈ 𝑇: 𝜑(𝛼 ∙ 𝑢⃗⃗) = 𝛼 ∙ 𝜑(𝑢⃗⃗).
Poznámka: Obě podmínky lze spojit v jednu:
∀𝑢⃗⃗, 𝑣⃗ ∈ 𝑉, 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑇: 𝜑(𝛼 ∙ 𝑢⃗⃗ + 𝛽 ∙ 𝑣⃗) = 𝛼 ∙ 𝜑(𝑢⃗⃗) + 𝛽 ∙ 𝜑(𝑣⃗). 30
Lineární zobrazení lze zadat třemi způsoby 𝜑: 𝑅3
→ 𝑅2
:
1) Pomocí předpisu (vzorce) mezi souřadnicemi: 𝑣⃗ ∈ 𝑉 𝜑(𝑣⃗) ∈ 𝑉´
Např. 𝜑(𝑣⃗) = 𝜑 (
𝑣1
𝑣2
𝑣3
) = (
2𝑣1 + 𝑣3
𝑣1 − 𝑣2 − 𝑣3
)
2) Pomocí matice A typu m/n: 𝜑(𝑣⃗) = 𝐴 ∙ 𝑣⃗
Např. 𝜑(𝑣⃗) = 𝐴 ∙ 𝑣⃗ = (
2 0 1
1 −1 −1
) ∙ (
𝑣1
𝑣2
𝑣3
)
3) Pomocí obrazů bázových vektorů 𝜑(𝑒1⃗⃗⃗⃗), 𝜑(𝑒2⃗⃗⃗⃗), … , 𝜑(𝑒 𝑛⃗⃗⃗⃗⃗)
Např. 𝜑(𝑒1⃗⃗⃗⃗) = 𝜑 (
1
0
0
)
𝑒
= (
2 0 1
1 −1 −1
) ∙ (
1
0
0
) = (
2
1
)
𝜑(𝑒2⃗⃗⃗⃗) = 𝜑 (
0
1
0
)
𝑒
= (
2 0 1
1 −1 −1
) ∙ (
0
1
0
) = (
0
−1
)
𝜑(𝑒2⃗⃗⃗⃗) = 𝜑 (
0
0
1
)
𝑒
= (
2 0 1
1 −1 −1
) ∙ (
0
0
1
) = (
1
−1
)
Obrazy základní báze jsou sloupce matice 𝐴.31
30
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 70-71.
31
Srov. tamtéž, str. 71.
31
Příklad 14: Nechť 𝜑: 𝑅2
→ 𝑅2
je taková transformace, při které se každý bod otočí o 90º
proti směru hodinových ručiček kolem počátku. Dokažte, že 𝜑 je lineární zobrazení.
Řešení:
Obr. 23: Grafické znázornění transformace
Z obrázku lze vyčíst, že se body (𝑥, 𝑦) přetransformovaly na body (−𝑦, 𝑥), tedy
(
𝑥
𝑦) → (
−𝑦
𝑥
)
(
1
0
) → (
0
1
)
(
0
1
) → (
−1
0
)
𝜑 (
𝑥
𝑦) = (
−𝑦
𝑥
) = 𝑥 (
0
1
) + 𝑦 (
−1
0
) = (
0 −1
1 0
) (
𝑥
𝑦)
𝜑 je tedy maticová transformace a je lineární. 32
Příklad 15: Ukažte, že rotace kolem počátku o úhel 𝜃 definuje lineární transformaci 𝑅2
→ 𝑅2
a najděte její standardní matici.33
Řešení:
Vycházíme ze základních pojmů pravoúhlého trojúhelníku a goniometrických funkcí.
𝑠𝑖𝑛(𝜃) =
𝑎
𝑐
𝑐𝑜𝑠(𝜃) =
𝑏
𝑐
Obr. 24: Pravoúhlý trojúhelník
32
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 74.
33
Srov. tamtéž, str. 75.
(−𝑦, 𝑥)
𝑥
𝑦
𝑥−𝑦
(𝑥, 𝑦)
90°
𝑎
𝜃 .
𝑏
𝑐
32
Obr. 25: Grafické znázornění lineární transformace
(
1
0
) → (
𝑐𝑜𝑠(𝜃)
𝑠𝑖𝑛(𝜃)
) … vyplývá z obrázku
(
0
1
) → (
−𝑠𝑖𝑛(𝜃)
𝑐𝑜𝑠(𝜃)
) … vyplývá z obrázku
𝐴 = (
𝑐𝑜𝑠(𝜃) −𝑠𝑖𝑛(𝜃)
𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑐𝑜𝑠(𝜃)
)
Příklad 16: Nalezněte maticové vyjádření a) otočení grafu 𝑦 = 𝑥 se středem v počátku o úhel
60º, b) osové souměrnosti v rovině vzhledem k ose 𝑦 = 𝑥, c) složení zobrazení a) a b).34
Řešení:
Obr. 26: Otočení grafu 𝑦 = 𝑥 se středem v počátku o úhel 60º
a)
𝐴 = (
𝑐𝑜𝑠(𝜃) −𝑠𝑖𝑛(𝜃)
𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑐𝑜𝑠(𝜃)
)
𝐴 = (
cos (60°) −𝑠𝑖𝑛 (60°)
𝑠𝑖𝑛 (60°) 𝑐𝑜𝑠 (60°)
)
𝐴 =
(
1
2
−
√3
2
√3
2
1
2 )
34
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 75.
60°
𝑦 = 𝑥
1 𝑥
𝑦
1
𝜃 ..
−1
𝑠𝑖𝑛(𝜃) ∙ 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗
𝑐𝑜𝑠(𝜃) ∙ 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗− 𝑠𝑖𝑛(𝜃) ∙ 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗
1
𝑥
𝑦
𝑐𝑜𝑠(𝜃) ∙ 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗
1
𝜃
𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗
1
𝑥
𝑦
10 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣2´⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣1´⃗⃗⃗⃗⃗⃗
33
b)
(
1
0
) → (
0
1
)
(
0
1
) → (
1
0
)
𝐵 = (
0 1
1 0
)
c) Matice zobrazení, která vznikne složením zobrazení a) a b):
𝑣⃗ → 𝐵 ∙ 𝐴 ∙ 𝑣⃗ = (
0 1
1 0
) ∙
(
1
2
−
√3
2
√3
2
1
2 )
=
(
0 ∙
1
2
+ 1 ∙ (−
√3
2
) 0 ∙ −
√3
2
+ 1 ∙
1
2
1 ∙
1
2
+ 0 ∙
√3
2
1 ∙ (−
√3
2
) + 0 ∙
1
2)
=
=
(
√3
2
1
2
1
2
−
√3
2 )
Příklad 17: Nalezněte maticové vyjádření osové souměrnosti v rovině s osou y =
𝑥
2
.35
Řešení:
Obr. 27: Osová souměrnost v rovině s osou 𝑦 =
𝑥
2
𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗ = (
2
1
) → (
2
1
)
(
2
1
) → (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) ∙ (
2
1
) = (
2
1
)
2𝑎 + 𝑏 = 2
2𝑐 + 𝑑 = 1
35
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 135.
−2
𝑦 =
𝑥
2
2 𝑥
𝑦
1
1
𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗
𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗
.
2
𝑦 =
𝑥
2
2 𝑥
𝑦
1
−1
𝜑(𝑢1⃗⃗⃗⃗⃗)
𝜑(𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗)
.
34
𝑢2⃗⃗⃗⃗⃗ = (
1
−2
) → (
−1
2
)
(
1
−2
) → (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) ∙ (
1
−2
) = (
−1
2
)
𝑎 − 2𝑏 = −1
𝑐 − 2𝑑 = 2
Dostaneme čtyři rovnice o čtyřech neznámých, jejichž výsledky jsou:
𝑎 =
3
5
, 𝑏 =
4
5
, 𝑐 =
4
5
, 𝑑 = −
3
5
𝐴 = (
3
5
4
5
4
5
−
3
5
).
Jakýkoli vektor 𝑣⃗ se zobrazí na vektor 𝐴 ∙ 𝑣⃗.
Příklad 18: Najděte ortogonální projekci vektoru 𝑣⃗ = (1, 3, 2) do směru vektoru
𝑢⃗⃗ = (1, −1, 2) (do podprostoru 𝐿(𝑢⃗⃗)).
Řešení:
Projekce je lineárním zobrazením 𝜑: 𝑅3
→ 𝑅3
. Ze vzorce (4) vyplývá:
𝑣⃗ = (
𝑣1
𝑣2
𝑣3
) →
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑢⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑢⃗⃗)
∙ 𝑢⃗⃗ =
𝑣1 𝑢1 + 𝑣2 𝑢2 + 𝑣3 𝑢3
𝑢1
2
+ 𝑢2
2
+ 𝑢3
2 ∙ (
𝑢1
𝑢2
𝑢3
) =
=
1
𝑢1
2
+ 𝑢2
2
+ 𝑢3
2 ∙ (
𝑢1
2
𝑢1 𝑢2 𝑢1 𝑢3
𝑢1 𝑢2
𝑢1 𝑢3
𝑢2
2
𝑢2 𝑢3
𝑢2 𝑢3
𝑢3
2
) ∙ (
𝑣1
𝑣2
𝑣3
) =
=
1
12 + (−1)2 + 22
∙ (
1 −1 2
−1
2
1
−2
−2
4
) ∙ (
1
−1
2
) =
(
1
3
−
1
3
2
3 )
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑢⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑢⃗⃗, 𝑢⃗⃗)
∙ 𝑢⃗⃗ =
1
𝑢1
2
+ 𝑢2
2
+ 𝑢3
2 ∙ (
𝑢1
2
𝑢1 𝑢2 𝑢1 𝑢3
𝑢1 𝑢2
𝑢1 𝑢3
𝑢2
2
𝑢2 𝑢3
𝑢2 𝑢3
𝑢3
2
) ∙ (
𝑣1
𝑣2
𝑣3
) (7)
Projekce 𝑅3
do směru jednotkového vektoru 𝑢⃗⃗ má matici 𝑢⃗⃗ ∙ 𝑢⃗⃗T
, což je součin vektorů typu
3/1 a 1/3, tedy výsledkem tohoto součinu bude matice typu 3/3. Srovnáním součinu skalárního
zlomku s vektorem na prvním řádku a součinu skaláru s maticí a vektorem na druhém řádku
odvození lze prokázat rovnost, tedy se jedná jen o jinou formu zápisu.
35
Pokud by byl tedy vektor 𝑢⃗⃗ jednotkový, člen
1
𝑢1
2+𝑢2
2+𝑢3
2 ve vzorci se bude rovnat číslu 1
a v matici zobrazení 𝑢⃗⃗ ∙ 𝑢⃗⃗T
nebude uveden.
Příklad 19: Nechť 𝑙 je přímka procházející počátkem v 𝑅2
, dále 𝑃 lineární transformace,
která promítá vektor 𝑣⃗ na přímku 𝑙 a nakonec 𝐹(𝑣⃗) transformace, která zobrazí vektor 𝑣⃗ na
vektor 𝐹(𝑣⃗) osově souměrný vzhledem k ose souměrnosti l.36
a) Nalezněte matici lineárního zobrazení projekce 𝑣⃗ do směru 𝑢⃗⃗ přímky l.
Řešení:
Použijeme vzorce (4) a (7) v dimenzi 3, převedeme je do dimenze 2 a získáme:
𝑃(𝑣⃗) = 𝑥⃗ =
1
𝑢1
2
+ 𝑢2
2 ∙ (
𝑢1
2
𝑢1 𝑢2
𝑢1 𝑢2 𝑢2
2 ) ∙ (
𝑣1
𝑣2
)
Obr. 28: Lineární zobrazení projekce 𝑣⃗ do směru 𝑢⃗⃗ přímky l.
b) Nalezněte matici osové souměrnosti vzhledem k ose procházející počátkem, jehož směrový
vektor je 𝑢⃗⃗.
Řešení:
𝐹(𝑣⃗) = [
2
𝑢1
2
+ 𝑢2
2 ∙ (
𝑢1
2
𝑢1 𝑢2
𝑢1 𝑢2 𝑢2
2 ) +
1
𝑢1
2
+ 𝑢2
2 ∙ (
−𝑢1
2
− 𝑢2
2
0
0 −𝑢1
2
− 𝑢2
2)] ∙ (
𝑣1
𝑣2
) =
= [
1
𝑢1
2
+ 𝑢2
2 ∙ (
2𝑢1
2
−𝑢1
2
−𝑢2
2
2𝑢1 𝑢2 − 0
2𝑢1 𝑢2 − 0 2𝑢2
2
−𝑢1
2
−𝑢2
2)] ∙ (
𝑣1
𝑣2
) =
1
𝑢1
2
+ 𝑢2
2 ∙ (
𝑢1
2
−𝑢2
2
2𝑢1 𝑢2
2𝑢1 𝑢2 𝑢2
2
−𝑢1
2) ∙ (
𝑣1
𝑣2
)
Ve výše uvedeném odvození jsme vyjádřili vektor 𝐹(𝑣⃗) jako 2𝑥⃗ − 𝑣⃗, viz Obr. 28 a využili
toho, že matici projekce 𝑥⃗ do směru vektoru 𝑢⃗⃗ známe z příkladu a), tuto projekci 𝑥⃗
vynásobíme dvěma a dostaneme vektor 2𝑥⃗, pak odečítáme jen vektor 𝑣⃗, a zde namísto matice
36
Srov. POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction. 3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage
Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 224.
𝑢1
𝑢2
𝐹(𝑣⃗)
𝑦
𝑥
𝑙
𝑣⃗
𝑥⃗
𝑢⃗⃗
36
(
−1 0
0 −1
) lze psát matici
1
𝑢1
2+𝑢2
2 ∙ (
−𝑢1
2
− 𝑢2
2
0
0 −𝑢1
2
− 𝑢2
2); tímto způsobem lze při součtu
vektorů 2𝑥⃗ a −𝑣⃗ prvky na diagonále částečně odečíst.
c) Nalezněte matici 𝐹(𝑣⃗), pokud úhel 𝜃 je mezi kladnou osou 𝑥 a přímkou 𝑙.
Řešení:
Totéž jako b) výše, pouze do odvození b) dosadíme 𝑢1 = ‖𝑢⃗⃗‖ ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜃); 𝑢2 = ‖𝑢⃗⃗‖ ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜃).
Dostaneme 𝐹(𝑣⃗) = (
𝑐𝑜𝑠(2𝜃) 𝑠𝑖𝑛(2𝜃)
𝑠𝑖𝑛(2𝜃) −𝑐𝑜𝑠(2𝜃)
), odkud lze dovodit, že osová souměrnost
v rovině vzhledem k ose procházející počátkem závisí pouze na úhlu 𝜃 mezi kladným směrem
osy 𝑥 a osou souměrnosti.
Obr. 29: Nalezení matice 𝐹(𝑣⃗)
d) Nakreslete graf, ve kterém dokážete, že 𝐹(𝑣⃗) je lineární.37
Řešení:
Obr. 30: Grafický důkaz linearity 𝐹(𝑣⃗)
37
Srov. POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction. 3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage
Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 224.
𝐹(𝑢⃗⃗)
𝐹(𝑣⃗)𝑢⃗⃗
𝑜𝑠𝑎 𝑜𝑠𝑎
𝑣⃗
2𝑢⃗⃗ + 3𝑣⃗
2𝐹(𝑢⃗⃗) + 3𝐹(𝑣⃗)
𝑥´
𝑙
𝑥
𝑦
𝜃 2𝜃
𝑢1 = ‖𝑢⃗⃗‖ ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝜃)
𝑢2 = ‖𝑢⃗⃗‖ ∙ 𝑠𝑖𝑛(𝜃)
37
Ad příklad 10: Najděte ortogonální projekci vektoru 𝑣⃗ = (1, 3, 2) do roviny
𝑈 = {[𝑥, 𝑦, 𝑧]: 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0}.
Řešení:
Způsob 4:
Tento způsob je přepisem způsobu 3 s využitím maticové reprezentace lineárního zobrazení
projekce: nejprve ortogonalizujeme bázi prostoru U (Gram-Schmidtovým ortogonalizačním
procesem):
𝑒1⃗⃗⃗⃗ = (1, 3, 1)
𝑒2⃗⃗⃗⃗ = (
49
5
, −
7
5
, −
28
5
)
Projekce (
1
3
1
) do 𝐿
(
(
1
3
1
) ,
(
49
5
−
7
5
−
28
5 ))
𝑣⃗ →
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒1⃗⃗⃗⃗)
∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗ +
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑣⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑒2⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗)
∙ 𝑒2⃗⃗⃗⃗ =
=
1
𝑒11
2
+ 𝑒12
2
+ 𝑒13
2 ∙ (
𝑒11
2
𝑒11 𝑒12 𝑒11 𝑒13
𝑒12 𝑒11
𝑒13 𝑒11
𝑒12
2
𝑒12 𝑒13
𝑒12 𝑒13
𝑒13
2
) ∙ (
𝑣1
𝑣2
𝑣3
) +
1
𝑒21
2
+ 𝑒22
2
+ 𝑒23
2 ∙
∙ (
𝑒21
2
𝑒21 𝑒22 𝑒21 𝑒23
𝑒21 𝑒22
𝑒21 𝑒23
𝑒22
2
𝑒22 𝑒23
𝑒22 𝑒23
𝑒23
2
) ∙ (
𝑣1
𝑣2
𝑣3
) =
= [
1
𝑒11
2
+ 𝑒12
2
+ 𝑒13
2 ∙ (
𝑒11
2
𝑒11 𝑒12 𝑒11 𝑒13
𝑒12 𝑒11
𝑒13 𝑒11
𝑒12
2
𝑒12 𝑒13
𝑒12 𝑒13
𝑒13
2
) +
1
𝑒21
2
+ 𝑒22
2
+ 𝑒23
2 ∙ ]
[ ∙ (
𝑒21
2
𝑒21 𝑒22 𝑒21 𝑒23
𝑒21 𝑒22
𝑒21 𝑒23
𝑒22
2
𝑒22 𝑒23
𝑒22 𝑒23
𝑒23
2
)] ∙ (
𝑣1
𝑣2
𝑣3
) =
=
[
1
11
∙ (
1 3 1
3
1
9
3
3
1
) +
25
3234
∙
(
98
25
−
343
25
−
1372
25
−
343
25
−
1372
49
49
25
196
25
196
25
784
25 )]
∙ (
1
3
2
) =
(
2
3
10
3
4
3 )
Projekce 𝑅3
do roviny procházející počátkem s ortonormálními bázemi 𝑒1⃗⃗⃗⃗, 𝑒2⃗⃗⃗⃗ má matici
(𝑒1⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗
𝑇
+ 𝑒2⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑒2⃗⃗⃗⃗
𝑇
), což je matice typu 3/3. Ortonormální vektory jsou takové vektory,
jejichž velikost je rovna 1. V případě ortonormálních vektorů tedy činitele
1
𝑒11
2 +𝑒12
2 +𝑒13
2 a
1
𝑒21
2 +𝑒22
2 +𝑒23
2 ve vzorcích jsou rovny jedné, takže výsledná matice zobrazení je
skutečně pouze (𝑒1⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑒1⃗⃗⃗⃗
𝑇
+ 𝑒2⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑒2⃗⃗⃗⃗
𝑇
).
38
Definice 13: Ortogonální matice je reálná čtvercová matice, jejíž inverzní matice je současně
maticí transponovanou. Řádky (sloupce) této matice jsou ortogonální a současně jednotkové
(ortonormální).38
Věta 2: Sloupce matice 𝑄 typu 𝑚 × 𝑛 tvoří ortonormální množinu právě tehdy, když
𝑄 𝑇
𝑄 = 𝐼 𝑛.
Důkaz:
(𝑄 𝑇
𝑄)𝑖𝑗 = {
0 pokud 𝑖 ≠ 𝑗
1 pokud 𝑖 = 𝑗
Nechť 𝑞𝑖⃗⃗⃗⃗ označuje i-tý sloupec matice 𝑄 (tedy i i-tý řádek 𝑄 𝑇
). Protože (𝑖, 𝑗) zápis 𝑄 𝑇
𝑄 je
výsledkem součinu i-tého řádku 𝑄 𝑇
a j-tého sloupce 𝑄, z toho vyplývá, že
(𝑄 𝑇
𝑄)𝑖𝑗 = 𝑞𝑖⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑞𝑗⃗⃗⃗⃗ (vycházíme z definice součinu matic).
Nyní sloupce 𝑄 tvoří ortonormální množinu tehdy, pokud:
𝑞𝑖⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑞𝑗⃗⃗⃗⃗ = {
0 pokud 𝑖 ≠ 𝑗
1 pokud 𝑖 = 𝑗
.
Podle rovnice (𝑄 𝑇
𝑄)𝑖𝑗 = 𝑞𝑖⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑞𝑗⃗⃗⃗⃗ tedy platí:
(𝑄 𝑇
𝑄)𝑖𝑗 = {
0 pokud 𝑖 ≠ 𝑗
1 pokud 𝑖 = 𝑗
,
čímž je věta dokázána.39
Definice 14: Matice 𝑄 typu 𝑛 × 𝑛 jejíž sloupce tvoří ortonormální množinu se nazývá matice
ortogonální.40
Definice 15: Ortogonální zobrazení je takové lineární zobrazení, jehož matice je ortogonální.
Věta 3: Čtvercová matice 𝑄 je ortogonální právě tehdy, když 𝑄−1
= 𝑄 𝑇
.
Důkaz:
Podle věty 2 je matice 𝑄 ortogonální právě tehdy, když 𝑄 𝑇
𝑄 = 𝐼 𝑛. To platí, pokud k ní
existuje matice inverzní a 𝑄−1
= 𝑄 𝑇
. 41
38
Srov. POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction. 3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage
Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 374.
39
Srov. tamtéž, str. 374.
40
Srov. tamtéž, str. 374.
41
Srov. tamtéž, str. 374.
39
Věta 4: Jestliže 𝑄 je ortogonální matice, tak platí: a) pro každé 𝑥⃗ patřící do 𝑅 𝑛
platí
‖𝑄𝑥⃗‖ = ‖𝑥⃗‖ (ortogonální zobrazení zachovává velikost vektorů), b) pro každé 𝑥⃗, 𝑦⃗ patřící
do 𝑅 𝑛
platí 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑄𝑥⃗, 𝑄𝑦⃗) = 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑦⃗) (ortogonální zobrazení zachovává výsledek
skalárního součinu).
Věta 5: Nechť 𝑄 je ortogonální matice typu 𝑛 × 𝑛. Následující tvrzení jsou ekvivalentní:
a) 𝑄 je ortogonální,
b) ‖𝑄𝑥⃗‖ = ‖𝑥⃗‖, 𝑥⃗ ∈ 𝑅 𝑛
, tj. ortogonální zobrazení zachovává velikost vektoru.
c) 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑄𝑥⃗, 𝑄𝑦⃗) = 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑦⃗), 𝑥⃗, 𝑦⃗ ∈ 𝑅 𝑛
, tj. ortogonální zobrazení zachovává výsledek
skalárního součinu vektorů.
Důkaz:
Dokážeme řetězec implikací a) ⇒ c) ⇒ b) ⇒ a):
a) ⇒ c)
Jestliže Q je ortogonální matice, tak platí 𝑄 𝑇
𝑄 = 𝐼 (viz věta 4); odtud plyne, že
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑄𝑥⃗, 𝑄𝑦⃗) = (𝑄𝑥⃗) 𝑇
∙ 𝑄𝑦⃗ = 𝑥⃗ 𝑇
𝑄 𝑇
𝑄𝑦⃗ = 𝑥⃗ 𝑇
𝐼𝑦⃗ = 𝑥⃗ 𝑇
𝑦⃗ = 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑦⃗).
c) ⇒ b)
Pokud 𝑥 = 𝑦, dostaneme ze skutečnosti c), tj. z faktu 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑄𝑥⃗, 𝑄𝑥⃗) = 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑥⃗), že platí
‖𝑄𝑥⃗‖ = √𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑄𝑥⃗, 𝑄𝑥⃗) = √𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑥⃗) = ‖𝑥⃗‖.
b) ⇒ a)
Implikaci b) ⇒ a) dokážeme ve dvou krocích, nejprve dokážeme b) ⇒ c), a poté c) ⇒ a).
Vycházíme ze vztahu 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑦⃗) =
1
4
∙ ‖𝑥⃗ + 𝑦⃗‖2
−
1
4
∙ ‖𝑥⃗ − 𝑦⃗‖2
, který nyní dokážeme:
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑦⃗) =
1
4
∙ ‖𝑥⃗ + 𝑦⃗‖2
−
1
4
∙ ‖𝑥⃗ − 𝑦⃗‖2
=
=
1
4
∙ (‖𝑥⃗‖2
+ 2 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑦⃗) + ‖𝑦⃗‖2) −
1
4
∙ (‖𝑥⃗‖2
− 2 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑦⃗) + ‖𝑦⃗‖2) =
=
1
4
∙ (‖𝑥⃗‖2
+ 2 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑦⃗) + ‖𝑦⃗‖2
− ‖𝑥⃗‖2
+ 2 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑦⃗) − ‖𝑦⃗‖2) =
=
1
4
∙ (2 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑦⃗) + 2 ∙ 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑦⃗)) =
1
4
∙ (2 ∙ (𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑦⃗) + 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑦⃗))) =
=
1
2
∙ (𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑦⃗) + 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑦⃗)) =
1
2
∙ (𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 + 𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2) =
=
1
2
∙ (2 ∙ (𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2)) = 𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 = 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑦⃗)
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑦⃗) =
1
4
∙ ‖𝑥⃗ + 𝑦⃗‖2
−
1
4
∙ ‖𝑥⃗ − 𝑦⃗‖2
=
1
4
∙ (‖𝑥⃗ + 𝑦⃗‖2
− ‖𝑥⃗ − 𝑦⃗‖2) =
=
1
4
∙ (‖𝑄 ∙ (𝑥⃗ + 𝑦⃗)‖2
− ‖𝑄 ∙ (𝑥⃗ − 𝑦⃗)‖2) =
1
4
∙ (‖𝑄𝑥⃗ + 𝑄𝑦⃗‖2
− ‖𝑄𝑥⃗ − 𝑄𝑦⃗‖2) =
= 𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑄𝑥⃗, 𝑄𝑦⃗), pro všechna 𝑥⃗, 𝑦⃗ ∈ 𝑅 𝑛
, což dokazuje b) ⇒ c).
40
Nyní dokážeme c) ⇒ a), protože jsme právě dokázali b) ⇒ c). Můžeme využít platnost b) i c).
Předpokládáme, že vztah b) platí a 𝑞𝑖⃗⃗⃗⃗ označuje i-tý sloupec 𝑄. Pokud 𝑒𝑖⃗⃗⃗ je i-tý standardní
bázový vektor, pak platí 𝑞𝑖⃗⃗⃗⃗ = 𝑄𝑒𝑖⃗⃗⃗. Tudíž
𝑞𝑖⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑞𝑗⃗⃗⃗⃗ = 𝑄𝑒𝑖⃗⃗⃗ ∙ 𝑄𝑒𝑗⃗⃗⃗ = 𝑒𝑖⃗⃗⃗ ∙ 𝑒𝑗⃗⃗⃗ = {
0 pokud 𝑖 ≠ 𝑗
1 pokud 𝑖 = 𝑗
.
Sloupce 𝑄 tedy tvoří ortonormální množinu, takže 𝑄 je ortogonální matice, tedy platí a).
Důkaz je hotov, dané tři výroky jsou ekvivalentní. 42
Příklad 20: Nechť 𝑄 je ortogonální matice typu 2 × 2 a nechť 𝑥⃗ a 𝑦⃗ jsou vektory v 𝑅2
. Je-li
𝜃 úhel mezi 𝑥⃗ a 𝑦⃗, dokažte, že úhel mezi 𝑄𝑥⃗ a 𝑄𝑦⃗ je také 𝜃.43
Řešení:
𝑐𝑜𝑠(𝑥⃗, 𝑦⃗) =
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑥⃗, 𝑦⃗)
‖𝑥⃗‖ ∙ ‖𝑦⃗‖
=
𝑠𝑘𝑎𝑙(𝑄𝑥⃗, 𝑄𝑦⃗)
‖𝑄𝑥⃗‖ ∙ ‖𝑄𝑦⃗‖
= 𝑐𝑜𝑠(𝑄𝑥⃗, 𝑄𝑦⃗)
Příklad 21: Dokažte, že ortogonální matice typu 2 × 2 má vždy tvar
a) (
𝑎 −𝑏
𝑏 𝑎
) nebo (
𝑎 𝑏
𝑏 −𝑎
), kde (
𝑎
𝑏
) je jednotkový vektor, b) (
𝑐𝑜𝑠(𝜃) −𝑠𝑖𝑛(𝜃)
𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑐𝑜𝑠(𝜃)
) nebo
(
𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑠𝑖𝑛(𝜃)
𝑠𝑖𝑛(𝜃) −𝑐𝑜𝑠(𝜃)
), kde 0 ≤ 𝜃 < 2𝜋.44
Řešení:
a)
Matice je ortogonální právě tehdy, když platí 𝑄 𝑇
𝑄 = 𝐼 𝑛.
(
𝑎 −𝑏
𝑏 𝑎
) ∙ (
𝑎 𝑏
−𝑏 𝑎
) = (
1 0
0 1
)
(
𝑏 𝑎
𝑎 −𝑏
) ∙ (
𝑏 𝑎
𝑎 −𝑏
) = (
1 0
0 1
)
b)
Dokázáno v příkladu 15.
Definice 16: Lineární transformace 𝜑 vektorového prostoru 𝑉 rozumíme lineární zobrazení
𝜑: 𝑉 → 𝑉. Toto zobrazení lze tedy reprezentovat čtvercovou maticí 𝐴.45
Definice 17: Vlastní vektor lineární transformace 𝜑: 𝑉 → 𝑉 je takový nenulový vektor 𝑣⃗,
který se zobrazí na svůj vlastní násobek, tj. 𝐴 ∙ 𝑣⃗ = 𝜆 ∙ 𝑣⃗.
Číslo 𝜆 se nazývá vlastní hodnota (číslo) náležející k vektoru 𝑣⃗ vzhledem k zobrazení 𝜑.46
42
Srov. POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction. 3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage
Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 375.
43
Srov. tamtéž, str. 377.
44
Srov. tamtéž, str. 377.
45
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 87.
46
Srov. tamtéž, str. 109.
41
Věta 6: Pokud 𝐴 je reálná symetrická matice, pak vlastní hodnoty matice 𝐴 jsou reálné
a navzájem různé.47
Příklad 22: Nalezněte vlastní hodnoty a vlastní vektory lineárního zobrazení zadané maticí
𝐴 = (
1 0 −4
0 −4 0
−4 0 1
), v bázi 𝑒1⃗⃗⃗⃗ = (
1
0
0
), 𝑒2⃗⃗⃗⃗ = (
0
1
0
), 𝑒3⃗⃗⃗⃗ = (
0
0
1
) . 48
Řešení:
Nalezení vlastních vektorů a hodnot čtvercové matice 𝐴 zadávající lineární transformaci
vektorového prostoru 𝑉:
𝐴 ∙ 𝑣⃗ = 𝜆 ∙ 𝑣⃗ = 𝜆 ∙ 𝐸 ∙ 𝑣⃗
(𝐴 − 𝜆 ∙ 𝐸) ∙ 𝑣⃗ = 𝑜⃗.
V prvním kroku nalezneme všechny vlastní hodnoty matice 𝐴.
Charakteristická rovnice matice 𝐴:
𝜆𝐸 − 𝐴 = 𝜆 (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) − (
1 0 −4
0 −4 0
−4 0 1
) = (
𝜆 − 1 0 4
0 𝜆 − (−4) 0
4 0 𝜆 − 1
)
Charakteristický polynom matice 𝐴
𝑝(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐸 − 𝐴) = |
𝜆 − 1 0 4
0 𝜆 − (−4) 0
4 0 𝜆 − 1
| = 𝜆3
+ 2𝜆2
− 23𝜆 − 60 =
= (𝜆 + 4) ∙ (𝜆 + 3) ∙ (𝜆 − 5)
má kořeny 𝜆1 = −4, 𝜆2 = −3, 𝜆3 = 5, což jsou vlastní hodnoty matice 𝐴.
Ve druhém kroku nalezneme vlastní vektory příslušné k vlastním hodnotám matice 𝐴.
𝜆1 = −4
(𝐴 − (−4) ∙ 𝐸) ∙ (
𝑣1
𝑣2
𝑣3
) = (
0
0
0
) ∶ (
−4 − 1 0 4
0 −4 − (−4) 0
4 0 −4 − 1
|
0
0
0
) =
= (
0
0
0
) ∶ (
−5 0 4
0 0 0
4 0 −5
|
0
0
0
) ~ (
−5 0 4
0 0 0
0 0 2
|
0
0
0
)
𝑣11 = 0, 𝑣12 = 𝑡, 𝑣13 = 0, 𝑡 ∈ 𝑅
𝑡 ∙ (
0
1
0
)
47
Srov. POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction. 3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage
Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 401.
48
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 111.
42
Vlastní vektor 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ = (
0
1
0
).
𝜆2 = −3
(𝐴 − (−3) ∙ 𝐸) ∙ (
𝑣1
𝑣2
𝑣3
) = (
0
0
0
) ∶ (
−3 − 1 0 4
0 −3 − (−4) 0
4 0 −3 − 1
|
0
0
0
) =
= (
0
0
0
) ∶ (
−4 0 4
0 1 0
4 0 −4
|
0
0
0
) ~ (
−4 0 4
0 1 0
0 0 0
|
0
0
0
)
𝑣21 = 𝑡, 𝑣22 = 0, 𝑣23 = 𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅
𝑡 ∙ (
1
0
1
)
Vlastní vektor 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ = (
1
0
1
) znormalizujeme a získáme 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ = (
1
√2
0
1
√2
).
𝜆3 = 5
(𝐴 − 4 ∙ 𝐸) ∙ (
𝑣1
𝑣2
𝑣3
) = (
0
0
0
) ∶ (
5 − 1 0 4
0 5 − (−4) 0
4 0 5 − 1
|
0
0
0
) =
= (
0
0
0
) ∶ (
4 0 4
0 9 0
4 0 4
|
0
0
0
) ~ (
4 0 4
0 9 0
0 0 0
|
0
0
0
)
𝑣31 = −𝑡, 𝑣32 = 0, 𝑣33 = 𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅
𝑡 ∙ (
−1
0
1
)
Vlastní vektor 𝑣3⃗⃗⃗⃗⃗ = (
−1
0
1
) znormalizujeme a získáme 𝑣3⃗⃗⃗⃗⃗ = (
−
1
√2
0
1
√2
).49
49
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 111-112.
43
Věta 7 – Spektrální věta:
Pokud 𝐴 je reálná matice tvaru 𝑛 × 𝑛, pak 𝐴 je symetrická pouze tehdy, pokud je ortogonálně
diagonalizovatelná,50
tj. existuje diagonální matice 𝐷, pro kterou by platilo 𝐻 𝑇
∙ 𝐴 ∙ 𝐻 = 𝐷,
kdy 𝐻 𝑇
= 𝐻−1
.
Definice 18: Diagonální matice je čtvercová matice, která má nenulové prvky pouze na hlavní
diagonále. Regulární matice je čtvercová matice, jejíž determinant je různý od nuly.51
Příklad 23: Nalezněte ortogonální matici 𝐻 (tj. ortonormální bázi) a diagonální matici 𝐷 pro
zobrazení zadané maticí a) 𝐴 = (
4 1
1 4
), b) 𝐴 = (
1 √2
√2 0
), c) 𝐴 = (
5 0 0
0 1 3
0 3 1
).52
Řešení:
a)
Charakteristická rovnice matice 𝐴:
𝜆𝐸 − 𝐴 = 𝜆 (
1 0
0 1
) − (
4 1
1 4
) = (
𝜆 0
0 𝜆
) − (
4 1
1 4
) = (
𝜆 − 4 −1
−1 𝜆 − 4
)
Charakteristický polynom matice 𝐴
𝑝(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐸 − 𝐴) = |
𝜆 − 4 −1
−1 𝜆 − 4
| = (𝜆 − 4) ∙ (𝜆 − 4) − 1 = 𝜆2
− 8𝜆 + 15 =
= (𝜆 − 3) ∙ (𝜆 − 5)
má kořeny 𝜆1 = 3 a 𝜆2 = 5, což jsou vlastní hodnoty matice 𝐴.
Diagonální matice má tvar 𝐷 = (
3 0
0 5
).
Vlastní vektory náležící vlastní hodnotě 𝜆1 = 3 jsou řešením homogenní soustavy rovnic
s maticí
(
𝜆1 − 4 −1
−1 𝜆1 − 4
) = (
−1 −1
−1 −1
).
Její řešení mají tvar (𝑎, −𝑎) pro 𝑎 ∈ 𝑅, zvolíme vlastní vektor, který má délku 1,
např. (
1
√2
, −
1
√2
).
Vlastní vektory náležící vlastní hodnotě 𝜆2 = 5 jsou řešením homogenní soustavy rovnic
s maticí
(
𝜆2 − 4 −1
−1 𝜆2 − 4
) = (
1 −1
−1 1
).
Její řešení mají tvar (𝑎, 𝑎) pro 𝑎 ∈ 𝑅, zvolíme vlastní vektor, který má délku 1, např. (
1
√2
,
1
√2
).
50
Srov. POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction. 3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage
Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 403.
51
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 113.
52
Srov. POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction. 3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage
Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 407.
44
Ortogonální matice má tvar 𝐻 = (
1
√2
1
√2
−
1
√2
1
√2
).
b)
𝜆𝐸 − 𝐴 = 𝜆 (
1 0
0 1
) − ( 1 √2
√2 0
) = (
𝜆 0
0 𝜆
) − ( 1 √2
√2 0
) = ( 𝜆 − 1 −√2
−√2 𝜆
)
𝑝(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐸 − 𝐴) = |
𝜆 − 1 −√2
−√2 𝜆
| = (𝜆 − 1) ∙ 𝜆 − (−√2 ∙ (−√2)) = 𝜆2
− 𝜆 − 2 =
= (𝜆 + 1) ∙ (𝜆 − 2)
Vlastní hodnoty matice 𝐴 jsou 𝜆1 = −1 a 𝜆2 = 2.
Diagonální matice má tvar 𝐷 = (
−1 0
0 2
).
Vlastní vektory náležící vlastní hodnotě 𝜆1 = −1 jsou řešením homogenní soustavy rovnic
s maticí
(
𝜆1 − 1 −√2
−√2 𝜆1
) = (
−2 −√2
−√2 −1
).
Vlastní vektor 𝑠1⃗⃗⃗⃗ = (
2
√6
,
1
√3
)
Vlastní vektory náležící vlastní hodnotě 𝜆2 = 2 jsou řešením homogenní soustavy rovnic
s maticí
(
𝜆2 − 1 −√2
−√2 𝜆2
) = (
1 −√2
−√2 2
).
Vlastní vektor 𝑠2⃗⃗⃗⃗ = (
1
√3
, −
2
√6
)
Ortogonální matice má tvar 𝐻 = (
2
√6
1
√3
1
√3
−
2
√6
).
c)
𝜆𝐸 − 𝐴 = 𝜆 (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) − (
5 0 0
0 1 3
0 3 1
) = (
𝜆 0 0
0 𝜆 0
0 0 𝜆
) − (
5 0 0
0 1 3
0 3 1
) =
= (
𝜆 − 5 0 0
0 𝜆 − 1 −3
0 −3 𝜆 − 1
)
𝑝(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐸 − 𝐴) = |
𝜆 − 5 0 0
0 𝜆 − 1 −3
0 −3 𝜆 − 1
| = 𝜆3
− 7𝜆2
+ 2𝜆 + 40 =
= (𝜆 + 2) ∙ (𝜆 − 4) ∙ (𝜆 − 5)
45
Vlastní hodnoty matice A jsou 𝜆1 = −2, 𝜆2 = 4, 𝜆3 = 5.
Diagonální matice má tvar 𝐷 = (
−2 0 0
0 4 0
0 0 5
).
(
𝜆1 − 5 0 0
0 𝜆1 − 1 −3
0 −3 𝜆1 − 1
) = (
−7 0 0
0 −3 −3
0 −3 −3
)
Vlastní vektor 𝑠1⃗⃗⃗⃗ = (1, 0, 0)
(
𝜆2 − 5 0 0
0 𝜆2 − 1 −3
0 −3 𝜆2 − 1
) = (
−1 0 0
0 3 −3
0 −3 3
)
Vlastní vektor 𝑠2⃗⃗⃗⃗ = (0,
1
√2
,
1
√2
)
(
𝜆3 − 5 0 0
0 𝜆3 − 1 −3
0 −3 𝜆3 − 1
) = (
0 0 0
0 4 −3
0 −3 4
)
Vlastní vektor 𝑠3⃗⃗⃗⃗ = (0, −
1
√2
,
1
√2
)
𝐻 =
(
1 0 0
0
1
√2
−
1
√2
0
1
√2
1
√2 )
Ad příklad 22: Najděte diagonální reprezentaci 𝐷 lineární transformace 𝜑: 𝑅3
→ 𝑅3
zadané
symetrickou maticí 𝐴 = (
1 0 −4
0 −4 0
−4 0 1
).53
Vlastní hodnoty matice 𝐴 jsou 𝜆1 = −4, 𝜆2 = −3, 𝜆3 = 5.
Diagonální matice má tvar 𝐷 = (
−4 0 0
0 −3 0
0 0 5
).
Vlastní vektory příslušné k vlastním hodnotám matice 𝐴 jsou
𝜆1 = −4 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ = (
0
1
0
),
53
Srov. FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 113.
46
𝜆2 = −3 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ = (
1
√2
0
1
√2
),
𝜆3 = 4 𝑣3⃗⃗⃗⃗⃗ = (
−
1
√2
0
1
√2
).
𝐻 =
(
0
1
√2
−
1
√2
1 0 0
0
1
√2
1
√2 )
𝐻−1
= 𝐻 𝑇
=
(
0 1 0
1
√2
0
1
√2
−
1
√2
0
1
√2)
𝐷 = 𝐻 𝑇
∙ 𝐴 ∙ 𝐻 =
(
0 1 0
1
√2
0
1
√2
−
1
√2
0
1
√2)
∙ (
1 0 −4
0 −4 0
−4 0 1
) ∙
(
0
1
√2
−
1
√2
1 0 0
0
1
√2
1
√2 )
=
=
(
0 −4 0
−
3√2
2
0 −
3√2
2
−
5√2
2
0
5√2
2 )
∙
(
0
1
√2
−
1
√2
1 0 0
0
1
√2
1
√2 )
= (
−4 0 0
0 −3 0
0 0 5
)
47
5 KVADRATICKÉ FORMY
Vyjádření formy 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑦2
+ 𝑐𝑥𝑦 se nazývá kvadratická forma v proměnných 𝑥 a 𝑦. Také
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑦2
+ 𝑐𝑧2
+ 𝑑𝑥𝑦 + 𝑒𝑥𝑧 + 𝑓𝑦𝑧 je kvadratická forma v proměnných 𝑥, 𝑦 a 𝑧. Slovně
můžeme vyjádřit kvadratickou formu jako součet členů, z nichž každý člen je stupně dva, tedy
5𝑥2
− 3𝑦2
+ 2𝑥𝑦 je kvadratická forma, naopak 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑥 kvadratická forma není.
Kvadratické formy lze vyjádřit pomocí matic:
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑦2
+ 𝑐𝑥𝑦 = (𝑥, 𝑦) (
𝑎 𝑐/2
𝑐/2 𝑏
) (
𝑥
𝑦)
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑦2
+ 𝑐𝑧2
+ 𝑑𝑥𝑦 + 𝑒𝑥𝑧 + 𝑓𝑦𝑧 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) (
𝑎 𝑑/2 𝑒/2
𝑑/2 𝑏 𝑓/2
𝑒/2 𝑓/2 𝑐
) (
𝑥
𝑦
𝑧
).
Obě vyjádření mají formu 𝑥⃗ 𝑇
𝐴𝑥⃗, kde matice 𝐴 je symetrická. Z této skutečnosti můžeme
formulovat následující definici.54
Definice 19: Kvadratická forma v 𝑛 proměnných je funkce 𝑓: 𝑅 𝑛
→ 𝑅 tvaru 𝑓(𝑥⃗) = 𝑥⃗ 𝑇
𝐴𝑥⃗,
kde 𝐴 je čtvercová matice 𝑛 × 𝑛 a 𝑥⃗ je v 𝑅 𝑛
, 𝑥⃗ je sloucový vektor proměnných a 𝑥⃗ 𝑇
je
řádkový vektor proměnných. Matice 𝐴 tedy určuje formu 𝑓.55
Příklad 24: Nalezněte kvadratickou formu matice 𝐴 = (
2 −3
−3 5
).
Řešení:
𝑓(𝑥⃗) = 𝑥⃗ 𝑇
𝐴𝑥⃗ = (𝑥1, 𝑥2) (
2 −3
−3 5
) (
𝑥1
𝑥2
) = (2𝑥1 − 3𝑥2, −3𝑥1 + 5𝑥2) (
𝑥1
𝑥2
) =
= 2𝑥1
2
+ 5𝑥2
2
− 6𝑥1 𝑥2
Všimněme si, že prvky vedlejší diagonály matice 𝐴 𝑎12 = 𝑎21 = −3 se zkombinují tak, aby
vznikl koeficient −6 u 𝑥1 𝑥2. Tato skutečnost platí obecně, proto kvadratickou formu můžeme
vyjádřit v 𝑛 proměnných takto:
𝑓(𝑥⃗) = 𝑥⃗ 𝑇
𝐴𝑥⃗ = 𝑎11 𝑥1
2
+ 𝑎22 𝑥2
2
+ ⋯ + 𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛
2
+ ∑ 2𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑦𝑗
𝑖<𝑗
(pokud 𝑖 ≠ 𝑗, koeficient u součinu 𝑥𝑖 𝑦𝑗 je 2𝑎𝑖𝑗).56
54
Srov. POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction. 3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage
Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 408-409.
55
Srov. tamtéž, str. 409.
56
Srov. tamtéž, str. 409.
48
Příklad 25: Nalezněte symetrickou matici 𝐴 kvadratické formy 𝑥1
2
− 𝑥3
2
+ 8𝑥1 𝑥2 − 6𝑥2 𝑥3.57
Řešení:
𝑥1
2
− 𝑥3
2
+ 8𝑥1 𝑥2 − 6𝑥2 𝑥3 = 1𝑥1
2
+ 0𝑥2
2
− 1𝑥3
2
+ 8𝑥1 𝑥2 + 0𝑥1 𝑥3 − 6𝑥2 𝑥3 =
= (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∙ (
1 4 0
4 0 −3
0 −3 −1
) ∙ (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
)
𝐴 = (
1 4 0
4 0 −3
0 −3 −1
)
𝑥 = (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
)
Grafy kvadratických forem
V případě kvadratických forem ve tvaru 𝑓(𝑥, 𝑦) se dvěma proměnnými lze jejich graf
znázornit v prostoru 𝑅3
.
𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2
+ 3𝑦2
Obr. 31: Graf kvadratické formy 𝑧 = 2𝑥2
+ 3𝑦2
57
Srov. POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction. 3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage
Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 409.
49
𝑧 = −2𝑥2
− 3𝑦2
Obr. 32: Graf kvadratické formy 𝑧 = −2𝑥2
− 3𝑦2
𝑧 = 2𝑥2
Obr. 33: Graf kvadratické formy 𝑧 = 2𝑥2
50
𝑧 = 3𝑦2
Obr. 34: Graf kvadratické formy 𝑧 = 3𝑦2
Tento typ kvadratických forem má pouze prvky na hlavní diagonále matice, například
𝑧(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2
+ 3𝑦2
= (𝑥, 𝑦) (
2 0
0 3
) (
𝑥
𝑦).
Matice kvadratických forem je symetrická matice, která může být diagonalizovatelná.
Z tohoto faktu vyplývá, že vhodnou úpravou můžeme eliminovat prvky na vedlejší diagonále.
Nechť 𝑓(𝑥⃗) = 𝑥⃗ 𝑇
𝐴𝑥⃗ je kvadratická forma v 𝑛 proměnných, kde 𝐴 je čtvercová matice typu
𝑛 × 𝑛. Podle Spektrální věty (věta 7) existuje ortogonální matice 𝑄, která diagonalizuje matici
𝐴, tedy 𝑄 𝑇
𝐴𝑄 = 𝐷, kde 𝐷 je diagonální matice zobrazující vlastní čísla matice 𝐴.
Když zavedeme transformaci souřadnic 𝑥⃗ = 𝑄𝑦⃗, neboli ekvivalentně 𝑦⃗ = 𝑄−1
𝑥⃗ = 𝑄 𝑇
𝑥⃗,
dostaneme 𝑥⃗ 𝑇
𝐴𝑥⃗ = (𝑄𝑦⃗) 𝑇
𝐴(𝑄𝑦⃗) = 𝑦⃗ 𝑇
𝑄 𝑇
𝐴𝑄𝑦⃗ = 𝑦⃗ 𝑇
𝐷𝑦⃗, což je kvadratická forma s prvky
pouze na hlavní diagonále, protože 𝐷 je matice diagonální. Pokud jsou 𝜆1, … , 𝜆 𝑛 vlastními
hodnotami matice 𝐴, pak matici D můžeme zvolit
𝐷 = (
𝜆1 ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 𝜆 𝑛
).
Pokud 𝑦⃗ = (𝑦1, ⋯ , 𝑦𝑛) 𝑇
, pak s ohledem na nové proměnné zapíšeme kvadratickou formu
𝑦⃗ 𝑇
𝐷𝑦⃗ = λ1 𝑦1
2
+ ⋯ + λ 𝑛 𝑦𝑛
2
.
51
Tento proces se nazývá diagonalizace kvadratického tvaru a je obsahem tzv. tvrzení
o hlavních osách.58
Příklad 26: Diagonalizujte kvadratickou formu a) 2𝑥1
2
+ 5𝑥2
2
− 4𝑥1 𝑥2,
b) 𝑥1
2
+ 𝑥3
2
− 2𝑥1 𝑥2 + 2𝑥2 𝑥3.59
Řešení:
a)
Nejprve nalezneme symetrickou matici 𝐴 kvadratické formy 2𝑥1
2
+ 5𝑥2
2
− 4𝑥1 𝑥2.
2𝑥1
2
+ 5𝑥2
2
− 4𝑥1 𝑥2 = (𝑥1, 𝑥2) ∙ (
2 −2
−2 5
) ∙ (
𝑥1
𝑥2
)
𝐴 = (
2 −2
−2 5
)
𝑥 = (
𝑥1
𝑥2
)
Nyní nalezneme vlastní hodnoty a vektory matice 𝐴.
𝜆𝐸 − 𝐴 = 𝜆 (
1 0
0 1
) − (
2 −2
−2 5
) = (
𝜆 0
0 𝜆
) − (
2 −2
−2 5
) = (
𝜆 − 2 2
2 𝜆 − 5
)
𝑝(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐸 − 𝐴) = |
𝜆 − 2 2
2 𝜆 − 5
| = (𝜆 − 2) ∙ (𝜆 − 5) − 4 =
= 𝜆2
+ 5𝜆 + 2𝜆 + 10 − 4 = 𝜆2
− 7𝜆 + 6 = (𝜆 − 1) ∙ (𝜆 − 6)
Vlastní hodnoty matice 𝐴 jsou 𝜆1 = 1, 𝜆2 = 6.
𝜆1 = 1
(𝐴 − 1 ∙ 𝐸) ∙ (
𝑣1
𝑣2
) = (
0
0
) ∶ (
1 − 2 2
2 1 − 5
|
0
0
) = (
0
0
) ∶ (
−1 2
2 −4
|
0
0
) ~ (
−1 2
0 0
|
0
0
)
𝑣11 = 2𝑡, 𝑣12 = 𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅
𝑡 ∙ (
2
1
)
Vlastní vektor 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ = (
2
√5
1
√5
).
𝜆1 = 6
(𝐴 − 6 ∙ 𝐸) ∙ (
𝑣1
𝑣2
) = (
0
0
) ∶ (
6 − 2 2
2 6 − 5
|
0
0
) = (
0
0
) ∶ (
4 2
2 1
|
0
0
) ~ (
4 2
0 0
|
0
0
)
𝑣21 = −
1
2
𝑡, 𝑣22 = 𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅
58
Srov. POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction. 3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage
Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 411.
59
Srov. tamtéž, str. 423.
52
𝑡 ∙ (−
1
2
1
)
Vlastní vektor 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ = (
−
√5
5
2
√5
).
Ortogonální matice má tvar 𝐻 = (
2
√5
−
√5
5
1
√5
2
√5
).
Inverzní matice k matici ortogonální má tvar 𝐻 𝑇
= 𝐻−1
= (
2
√5
1
√5
−
√5
5
2
√5
).
Diagonální matici vypočítáme podle vztahu 𝐷 = 𝐻 𝑇
∙ 𝐴 ∙ 𝐻.
𝐷 =
(
2
√5
1
√5
−
√5
5
2
√5)
∙ (
2 −2
−2 5
) ∙
(
2
√5
−
√5
5
1
√5
2
√5 )
= (
1 0
0 6
)
(𝑦1, 𝑦2) ∙ (
1 0
0 6
) ∙ (
𝑦1
𝑦2
) = 𝑦1
2
+ 6𝑦2
2
b)
𝑥1
2
+ 𝑥3
2
− 2𝑥1 𝑥2 + 2𝑥2 𝑥3 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∙ (
1 −1 0
−1 0 1
0 1 1
) ∙ (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
)
𝐴 = (
1 −1 0
−1 0 1
0 1 1
)
𝑥 = (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
)
𝜆𝐸 − 𝐴 = 𝜆 (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) − (
1 −1 0
−1 0 1
0 1 1
) = (
𝜆 − 1 1 0
1 𝜆 − 0 −1
0 −1 𝜆 − 1
)
𝑝(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐸 − 𝐴) = |
𝜆 − 1 1 0
1 𝜆 − 0 −1
0 −1 𝜆 − 1
| = 𝜆3
− 2𝜆2
+ 3 − 𝜆 = (𝑥 − 2) ∙ (𝑥2
− 1)
Vlastní hodnoty matice 𝐴 jsou 𝜆1 = 2, 𝜆2 = −1, 𝜆3 = 1.
53
𝜆1 = 2
(𝐴 − 2 ∙ 𝐸) ∙ (
𝑣1
𝑣2
𝑣3
) = (
0
0
0
) ∶ (
2 − 1 1 0
1 2 − 0 −1
0 −1 2 − 1
|
0
0
0
) =
= (
0
0
0
) ∶ (
1 1 0
1 2 −1
0 −1 1
|
0
0
0
) ~ (
1 1 0
0 −1 1
0 0 0
|
0
0
0
)
𝑣11 = −𝑡, 𝑣12 = 𝑡, 𝑣13 = 𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅
𝑡 ∙ (
−1
1
1
)
Vlastní vektor 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ =
(
−
1
√3
1
√3
1
√3 )
.
𝜆2 = −1
(𝐴 − (−1) ∙ 𝐸) ∙ (
𝑣1
𝑣2
𝑣3
) = (
0
0
0
) ∶ (
−1 − 1 1 0
1 −1 − 0 −1
0 −1 −1 − 1
|
0
0
0
) =
= (
0
0
0
) ∶ (
−2 1 0
1 −1 −1
0 −1 −2
|
0
0
0
) ~ (
−2 1 0
0 −1 −2
0 0 0
|
0
0
0
)
𝑣21 = −𝑡, 𝑣22 = −2𝑡, 𝑣23 = 𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅
𝑡 ∙ (
−1
−2
1
)
Vlastní vektor 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ =
(
−
1
√6
−
2
√6
1
√6 )
.
𝜆3 = 1
(𝐴 − 1 ∙ 𝐸) ∙ (
𝑣1
𝑣2
𝑣3
) = (
0
0
0
) ∶ (
1 − 1 1 0
1 1 − 0 −1
0 −1 1 − 1
|
0
0
0
) =
= (
0
0
0
) ∶ (
0 1 0
1 1 −1
0 −1 0
|
0
0
0
) ~ (
1 1 −1
0 1 0
0 0 0
|
0
0
0
)
𝑣31 = 𝑡, 𝑣32 = 0, 𝑣33 = 𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅
𝑡 ∙ (
1
0
1
)
54
Vlastní vektor 𝑣3⃗⃗⃗⃗⃗ = (
1
√2
0
1
√2
).
𝐻 =
(
−
1
√3
−
1
√6
1
√2
1
√3
−
2
√6
0
1
√3
1
√6
1
√2)
𝐻 𝑇
= 𝐻−1
=
(
−
1
√3
1
√3
1
√3
−
1
√6
−
2
√6
1
√6
1
√2
0
1
√2)
𝐷 = 𝐻 𝑇
∙ 𝐴 ∙ 𝐻 =
(
−
1
√3
1
√3
1
√3
−
1
√6
−
2
√6
1
√6
1
√2
0
1
√2)
∙ (
1 −1 0
−1 0 1
0 1 1
) ∙
(
−
1
√3
−
1
√6
1
√2
1
√3
−
2
√6
0
1
√3
1
√6
1
√2)
=
=
(
−
2√3
3
2√3
3
2√3
3
√6
6
√6
3
−
√6
6
1
√2
0
1
√2 )
∙
(
−
1
√3
−
1
√6
1
√2
1
√3
−
2
√6
0
1
√3
1
√6
1
√2)
= (
2 0 0
0 −1 0
0 0 1
)
(𝑦1, 𝑦2, 𝑦3) ∙ (
2 0 0
0 −1 0
0 0 1
) ∙ (
𝑦1
𝑦2
𝑦3
) = 2𝑦1
2
− 𝑦2
2
+ 𝑦3
2
Definice 20: Kvadratická forma 𝑓(𝑥⃗) = 𝑥⃗ 𝑇
𝐴𝑥⃗ je klasifikována jako jedno z následujících:
1. pozitivně definitní, pokud 𝑓(𝑥⃗) > 0 pro všechna 𝑥⃗ ≠ 0,
2. pozitivně semidefinitní, pokud 𝑓(𝑥⃗) ≥ 0 pro všechna 𝑥⃗,
3. negativně definitní, pokud 𝑓(𝑥⃗) < 0 pro všechna 𝑥⃗ ≠ 0,
4. negativně semidefinitní, pokud 𝑓(𝑥⃗) ≤ 0 pro všechna 𝑥⃗,
5. indefinitní, pokud 𝑓(𝑥⃗) nabývá kladných i záporných hodnot.60
60
Srov. POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction. 3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage
Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 412.
55
Symetrická matice 𝐴 se nazývá pozitivně definitní, pozitivně semidefinitní, negativně
definitní, negativně semidefinitní nebo indefinitní, pokud má příbuzná kvadratická forma
𝑓(𝑥⃗) = 𝑥⃗ 𝑇
𝐴𝑥⃗ odpovídající vlastnosti.61
Věta 8: Nechť 𝐴 je čtvercová matice, pak kvadratická forma 𝑓(𝑥⃗) = 𝑥⃗ 𝑇
𝐴𝑥⃗ je
a) pozitivně definitní, pokud jsou všechna vlastní čísla matice 𝐴 kladná,
b) pozitivně semidefinitní, pokud jsou všechna vlastní čísla matice 𝐴 nezáporná,
c) negativně definitní, pokud jsou všechna vlastní čísla matice 𝐴 záporná,
d) negativně semidefinitní, pokud jsou všechna vlastní čísla matice 𝐴 nekladná,
e) indefinitní, pokud má matice 𝐴 kladná a záporná vlastní čísla.62
Příklad 27: Určete, zda je kvadratická forma a) −2𝑥1
2
− 2𝑥2
2
+ 2𝑥1 𝑥2,
b) 𝑥1
2
+ 𝑥2
2
+ 𝑥3
2
+ 2𝑥1 𝑥3 pozitivně definitní, pozitivně semidefinitní, negativně definitní,
negativně semidefinitní nebo indefinitní.63
Řešení:
a)
−2𝑥1
2
− 2𝑥2
2
+ 2𝑥1 𝑥2 = (𝑥1, 𝑥2) ∙ (
−2 1
1 −2
) ∙ (
𝑥1
𝑥2
)
𝐴 = (
−2 1
1 −2
)
𝑥 = (
𝑥1
𝑥2
)
Nalezneme vlastní hodnoty matice 𝐴.
𝜆𝐸 − 𝐴 = 𝜆 (
1 0
0 1
) − (
−2 1
1 −2
) = (
𝜆 + 2 −1
−1 𝜆 + 2
)
𝑝(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐸 − 𝐴) = |
𝜆 + 2 −1
−1 𝜆 + 2
| = 𝜆2
+ 4𝜆 + 3 = (𝜆 + 3) ∙ (𝜆 + 1)
Vlastní hodnoty matice 𝐴 jsou 𝜆1 = −3, 𝜆2 = −1.
Jelikož jsou obě hodnoty matice 𝐴 záporné, je kvadratická forma negativně definitní.
b)
𝑥1
2
+ 𝑥2
2
+ 𝑥3
2
+ 2𝑥1 𝑥3 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3) ∙ (
1 0 1
0 1 0
1 0 1
) ∙ (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
)
𝐴 = (
1 0 1
0 1 0
1 0 1
)
𝑥 = (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
)
61
Srov. POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction. 3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage
Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 413.
62
Srov. tamtéž, str. 413.
63
Srov. tamtéž, str. 424.
56
Nalezneme vlastní hodnoty matice 𝐴.
𝜆𝐸 − 𝐴 = 𝜆 (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) − (
1 0 1
0 1 0
1 0 1
) = (
𝜆 − 1 0 −1
0 𝜆 − 1 0
−1 0 𝜆 − 1
)
𝑝(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐸 − 𝐴) = |
𝜆 − 1 0 −1
0 𝜆 − 1 0
−1 0 𝜆 − 1
| = 𝜆3
− 3𝜆2
+ 2𝜆 = 𝜆 ∙ (𝜆 − 1) ∙ (𝜆 − 2)
Vlastní hodnoty matice 𝐴 jsou 𝜆1 = 0, 𝜆2 = 1, 𝜆3 = 2.
Jelikož jsou všechny tři hodnoty matice 𝐴 nezáporné, je kvadratická forma pozitivně
semidefinitní.
Věta 9: Nechť 𝑓(𝑥⃗) = 𝑥⃗ 𝑇
𝐴𝑥⃗ je kvadratická forma spjatá se čtvercovou maticí 𝐴. Nechť
vlastní čísla matice 𝐴 jsou 𝜆1 ≥ 𝜆2 ≥ ⋯ ≥ 𝜆 𝑛. Pak platí následující body pro ‖𝑥‖ = 1:
a) 𝜆1 ≥ 𝑓(𝑥⃗) ≥ 𝜆 𝑛,
b) maximální hodnota 𝑓(𝑥⃗) je 𝜆1. Tato skutečnost platí, pokud 𝑥⃗ je jednotkový vlastní
vektor odpovídající 𝜆1,
c) minimální hodnota 𝑓(𝑥⃗) je 𝜆 𝑛. Tato skutečnost platí, pokud 𝑥⃗ je jednotkový vlastní
vektor odpovídající 𝜆 𝑛. 64
Tato kapitola využívá vlastní čísla a vlastní vektory, aby byla nalezena báze, ve které
kvadratická forma přechází do diagonálního tvaru, protože matice kvadratické formy je reálná
symetrická, a všechna její vlastní čísla jsou navzájem různá. Z toho vyplývá, že
z diagonálního tvaru lze klasifikovat kvadratické formy, viz definice 20 a věta 8.
64
Srov. POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction. 3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage
Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 414.
57
6 GRAFY KVADRATICKÝCH ROVNIC
6.1 Obecná kvadratická rovnice se dvěma proměnnými
Obecná kvadratická rovnice se dvěma proměnnými 𝑥 a 𝑦 má tvar
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑦2
+ 𝑐𝑥𝑦 + 𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 + 𝑓 = 0,
kde alespoň jedno z 𝑎, 𝑏 nebo 𝑐 je nenulové. Množiny bodů [𝑥, 𝑦], které jsou řešením dané
kvadratické rovnice se dvěma proměnnými se nazývají kuželosečky, neboť je lze získat jako
řezy na kuželové ploše.65
Nejhlavnější z řezů kužele jsou elipsy (ve zvláštním případě
kružnice), hyperboly a paraboly. Tyto řezy se nazývají nedegenerované kuželosečky.
Průřez kužele může být i bod, přímka nebo dvojice přímek. Tyto řezy se nazývají
degenerované a vznikají průnikem kuželové plochy rovinou procházející vrcholem kuželové
plochy.66
Definice 21: Z koeficientů obecné kvadratické rovnice se dvěma proměnnými 𝑥 a 𝑦 sestavme
dva determinanty:
∆ = |
𝑎 𝑏 𝑑
𝑏 𝑐 𝑒
𝑑 𝑒 𝑓
|,
𝛿 = |
𝑎 𝑏
𝑏 𝑐
|.
Číslo ∆ se nazývá diskriminant kuželosečky, 𝛿 - diskriminant kvadratických členů.
Věta 10: Použitím ∆ a 𝛿 můžeme kuželosečky roztřídit podle tabulky 1.67
Tabulka 1: Roztřídění kuželoseček podle ∆ a 𝛿
Regulární kuželosečka (∆ ≠ 0) Singulární kuželosečka (∆ = 0)
𝛿 > 0 Elipsa (reálná nebo imaginární)
Dvě imaginární přímky s reálným
průsečíkem
𝛿 < 0 Hyperbola Dvě různoběžky
𝛿 = 0 Parabola
Dvě rovnoběžky (reálné nebo
imaginární, různé nebo splývající)
65
Srov. PECH, Pavel. Kuželosečky [online]. České Budějovice: Jihočeská univerzita, 2004.
ISBN 80-7040-755-7. Str. 56.
66
Srov. POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction. 3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage
Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 415.
67
Srov. REKTORYS, Karel. Přehled užité matematiky. Třetí, nezměněné vydání. Praha: SNTL - Nakladatelství
technické literatury, 1973. Str.190.
58
Kružnice
Obr. 35: Kružnice
Elipsa
Obr. 36: Elipsa
59
Parabola
Obr. 37: Parabola
Hyperbola
Obr. 38: Hyperbola
60
Elipsa nebo kruh mají rovnici
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 1, kde 𝑎, 𝑏 > 0.
𝑎 > 𝑏
Obr. 39: Elipsa pro 𝑎 > 𝑏.
𝑎 < 𝑏
Obr. 40: Elipsa pro 𝑎 < 𝑏
𝑎 = 𝑏
Obr. 41: Kružnice pro 𝑎 = 𝑏.
−𝑏
−𝑎
𝑏
𝑦
𝑥
𝑎
𝑎
𝑦
𝑥
𝑏
−𝑎
−𝑏
𝑦
𝑥
−𝑎
−𝑎
𝑎
𝑎
61
𝑦
𝑥𝑥
𝑥
𝑥
𝑦
Parabola
𝑥 = 𝑎𝑦2
, pro 𝑎 > 0.
Obr. 42: Parabola 𝑥 = 𝑎𝑦2
, pro 𝑎 > 0.
𝑥 = 𝑎𝑦2
, pro 𝑎 < 0
Obr. 43: Parabola 𝑥 = 𝑎𝑦2
, pro 𝑎 < 0.
𝑦 = 𝑎𝑥2
, pro 𝑎 > 0.
Obr. 44: Parabola 𝑦 = 𝑎𝑥2
, pro 𝑎 > 0.
𝑦
𝑥
𝑥
𝑦
𝑦
𝑥
62
𝑥
𝑦
𝑏
−𝑏 𝑥
𝑦
𝑦 = 𝑎𝑥2
, pro 𝑎 < 0
Obr. 45: Parabola 𝑦 = 𝑎𝑥2
, pro 𝑎 < 0
Hyperbola
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1, 𝑎, 𝑏 > 0
Obr. 46: Hyperbola
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1, 𝑎, 𝑏 > 0
𝑦2
𝑏2
−
𝑥2
𝑎2
= 1, 𝑎, 𝑏 > 0
Obr. 47: Hyperbola
𝑦2
𝑏2 −
𝑥2
𝑎2 = 1, 𝑎, 𝑏 > 0
𝑦
𝑥
−𝑎 𝑎
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑥
63
Příklad 28: Určete typ kuželosečky zadané rovnicí a) 𝑥2
− 𝑦2
− 4 = 0, b) 𝑥2
+ 5𝑦2
= 25
a nakreslete její graf.68
Řešení:
a)
𝑥2
− 𝑦2
− 4 = 0
𝑥2
− 𝑦2
= 4 /∶ 4
𝑥2
4
−
𝑦2
4
= 1
𝑥2
22
−
𝑦2
22
= 1
Řešením kvadratické rovnice je hyperbola.
Obr. 48: Hyperbola
𝑥2
22 −
𝑦2
22 = 1
b)
𝑥2
+ 5𝑦2
= 25
𝑥2
+ 5𝑦2
= 25 /∶ 25
𝑥2
25
+
5𝑦2
25
= 1
𝑥2
25
+
𝑦2
5
= 1
𝑥2
52
+
𝑦2
(√5)
2 = 1
68
Srov. POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction. 3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage
Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 424.
𝑦
𝑥−2 2
64
Řešením kvadratické rovnice je elipsa.
Obr. 49: Elipsa
𝑥2
52 +
𝑦2
(√5)
2 = 1
Příklad 29: Je zadaná kuželosečka a) 𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0, b) 2𝑦2
+ 4𝑥 + 8𝑦 = 0.
Použijte translaci os k uvedení kuželosečky do standardní polohy. Identifikujte typ
kuželosečky, zadejte její rovnici v posunutém souřadnicovém systému a nakreslete její graf.69
Řešení:
a)
𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0
(𝑥 − 2)2
+ (𝑦 − 2)2
= 4
Provedeme substituci 𝑥´ = 𝑥 − 2, 𝑦´ = 𝑦 − 2.
(𝑥´)2
+ (𝑦´)2
= 4 /: 4
(𝑥´)2
4
+
(𝑦´)2
4
= 1
Řešením kvadratické rovnice je kružnice.
Obr. 50: Kružnice 𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0.
69
Srov. POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction. 3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage
Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 424.
−(√5)
−5
√5
𝑦
𝑥
5
𝑦
𝑥
2
2
𝑥´
´
𝑦´
65
b)
2𝑦2
+ 4𝑥 + 8𝑦 = 0
4𝑥 = −2𝑦2
− 8𝑦
4𝑥 = −2 ∙ (𝑦2
+ 4𝑦)
4𝑥 = −2 ∙ (𝑦2
+ 4𝑦 + 4) + 8
4𝑥 = −2 ∙ (𝑦 + 2)2
+ 8
Provedeme substituci 𝑦´ = 𝑦 + 2.
4𝑥 = −2 ∙ (𝑦´)2
+ 8 /: 4
𝑥 = −
1
2
∙ (𝑦´)2
+ 2
Řešením kvadratické rovnice je parabola.
Obr. 51: Parabola 2𝑦2
+ 4𝑥 + 8𝑦 = 0.
Příklad 30: Je zadaná kuželosečka 4𝑥2
+ 10𝑥𝑦 + 4𝑦2
= 9. Použijte lineární transformaci
souřadnic pro uvedení kuželosečky do standardní polohy. Identifikujte typ kuželosečky,
zadejte její rovnici a nakreslete její graf.70
Řešení:
4𝑥2
+ 10𝑥𝑦 + 4𝑦2
= 9
4𝑥2
+ 10𝑥𝑦 + 4𝑦2
= (𝑥, 𝑦) ∙ (
4 5
5 4
) ∙ (
𝑥
𝑦)
𝐴 = (
4 5
5 4
)
𝑥 = (
𝑥
𝑦)
70
Srov. POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction. 3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage
Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 424.
−4
−2
𝑦 = 𝑦´
𝑥 𝑥
𝑥´
66
Nyní nalezneme vlastní hodnoty a vektory matice 𝐴.
𝐴 = 𝜆𝐸 − 𝐴 = 𝜆 (
1 0
0 1
) − (
4 5
5 4
) = (
𝜆 0
0 𝜆
) − (
4 5
5 4
) = (
𝜆 − 4 −5
−5 𝜆 − 4
)
𝑝(𝜆) = 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐸 − 𝐴) = |
𝜆 − 4 −5
−5 𝜆 − 4
| = 𝜆2
− 8𝜆 − 9 = (𝜆 + 1) ∙ (𝜆 − 9)
Vlastní hodnoty matice 𝐴 jsou 𝜆1 = −1, 𝜆2 = 9.
𝜆1 = −1
(𝐴 − (−)1 ∙ 𝐸) ∙ (
𝑣1
𝑣2
) = (
0
0
) ∶ (
−1 − 4 −5
−5 −1 − 4
|
0
0
) =
= (
0
0
) ∶ (
−5 −5
−5 −5
|
0
0
) ~ (
−5 −5
0 0
|
0
0
)
𝑣11 = −𝑡, 𝑣12 = 𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅
𝑡 ∙ (
−1
1
)
Vlastní vektor 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ = (
−
1
√2
1
√2
).
𝜆2 = 9
(𝐴 − 9 ∙ 𝐸) ∙ (
𝑣1
𝑣2
) = (
0
0
) ∶ (
9 − 4 −5
−5 9 − 4
|
0
0
) =
= (
0
0
) ∶ (
5 −5
−5 5
|
0
0
) ~ (
5 −5
0 0
|
0
0
)
𝑣21 = 𝑡, 𝑣22 = 𝑡, 𝑡 ∈ 𝑅
𝑡 ∙ (
1
1
)
Vlastní vektor 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ = (
1
√2
1
√2
).
Ortogonální matice má tvar 𝐻 = (
−
1
√2
1
√2
1
√2
1
√2
).
Inverzní matice k matici ortogonální má tvar 𝐻 𝑇
= 𝐻−1
= (
−
1
√2
1
√2
1
√2
1
√2
).
Diagonální matici vypočítáme podle vztahu 𝐷 = 𝐻 𝑇
∙ 𝐴 ∙ 𝐻.
𝐷 =
(
−
1
√2
1
√2
1
√2
1
√2)
∙ (
4 5
5 4
) ∙
(
−
1
√2
1
√2
1
√2
1
√2)
= (
−1 0
0 9
)
67
(𝑥´, 𝑦´) ∙ (
−1 0
0 9
) ∙ (
𝑥´
𝑦´
) = −(𝑥´)2
+ 9(𝑦´)2
−(𝑥´)2
+ 9(𝑦´)2
= 9 /: 9
−
(𝑥´)2
9
+ (𝑦´)2
= 1
𝑞1 =
(
−
1
√2
1
√2
1
√2
1
√2)
∙ (
1
0
) =
(
−
1
√2
1
√2 )
𝑞2 =
(
−
1
√2
1
√2
1
√2
1
√2)
∙ (
0
1
) =
(
1
√2
1
√2)
Řešením kvadratické rovnice je hyperbola.
Obr. 52: Hyperbola 4𝑥2
+ 10𝑥𝑦 + 4𝑦2
= 9.
𝑦
𝑥
𝑦´𝑥´
𝑞1 𝑞2
1,5
1,5−1,5
−1,5
68
Příklad 31: Je zadaná kuželosečka 3𝑥2
− 4𝑥𝑦 + 3𝑦2
− 28√2𝑥 + 22√2𝑦 + 84 = 0. Použijte
lineární transformaci souřadnic pro uvedení kuželosečky do standardní polohy. Identifikujte
typ kuželosečky, zadejte její rovnici a nakreslete její graf.71
Řešení:
3𝑥2
− 4𝑥𝑦 + 3𝑦2
= (𝑥, 𝑦) ∙ (
3 −2
−2 3
) ∙ (
𝑥
𝑦)
𝐴 = (
3 −2
−2 3
)
𝑥 = (
𝑥
𝑦)
Nyní nalezneme vlastní hodnoty a vektory matice 𝐴.
𝐴 = λE − A = λ (
1 0
0 1
) − (
3 −2
−2 3
) = (
λ 0
0 λ
) − (
3 −2
−2 3
) = (
λ − 3 2
2 λ − 3
)
p(λ) = det(λE − A) = |
λ − 3 2
2 λ − 3
| = λ2
− 6λ + 5 = (λ − 1) ∙ (λ − 5)
Vlastní hodnoty matice 𝐴 jsou λ1 = 1, λ2 = 5.
Vlastní vektory matice 𝐴 jsou 𝑣1⃗⃗⃗⃗⃗ = (
1
√2
1
√2
), 𝑣2⃗⃗⃗⃗⃗ = (
−
1
√2
1
√2
).
Ortogonální matice má tvar 𝐻 = (
1
√2
1
√2
−
1
√2
1
√2
)
Inverzní matice k matici ortogonální má tvar 𝐻 𝑇
= 𝐻−1
= (
1
√2
−
1
√2
1
√2
1
√2
)
Diagonální matici vypočítáme podle vztahu 𝐷 = 𝐻 𝑇
∙ 𝐴 ∙ 𝐻.
𝐷 =
(
1
√2
−
1
√2
1
√2
1
√2 )
∙ (
3 −2
−2 3
) ∙
(
1
√2
1
√2
−
1
√2
1
√2)
= (
5 0
0 1
)
(𝑥´, 𝑦´) ∙ (
5 0
0 1
) ∙ (
𝑥´
𝑦´
) = 5(𝑥´)2
+ (𝑦´)2
𝐵𝑥 = 𝐵𝐻𝑥´ = (−28√2 22√2) ∙
(
1
√2
1
√2
−
1
√2
1
√2)
∙ (
𝑥´
𝑦´
) = −50𝑥´ − 6𝑦´
5(𝑥´)2
+ (𝑦´)2
− 50𝑥´ − 6𝑦´ + 84 = 0
71
Srov. POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction. 3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage
Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 424.
69
5(𝑥´ − 5)2
+ (𝑦´ − 3)2
= 50 /: 50
(𝑥´ − 5)2
10
+
(𝑦´ − 3)2
50
= 1
Provedeme substituci 𝑥´´ = 𝑥´ − 5, 𝑦´´ = 𝑦´ − 3
(𝑥´´)2
10
+
(𝑦´´)2
50
= 1
Řešením kvadratické rovnice je elipsa.
Obr. 53: Elipsa 3𝑥2
− 4𝑥𝑦 + 3𝑦2
− 28√2𝑥 + 22√2𝑦 + 84 = 0.
𝑦
𝑥
𝑦´
𝑥´
𝑥´´
𝑦´´
70
6.2 Obecná kvadratická rovnice se třemi proměnnými
Obecná kvadratická rovnice se třemi proměnnými 𝑥, 𝑦 a 𝑧 má tvar
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑦2
+ 𝑐𝑧2
+ 𝑑𝑥𝑦 + 𝑒𝑥𝑧 + 𝑓𝑦𝑧 + 𝑔𝑥 + ℎ𝑦 + 𝑖𝑧 + 𝑗 = 0,
kde alespoň jedna z konstant 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 je nenulová, množiny bodů v prostoru určené
těmito rovnicemi se nazývají kvadratické plochy neboli kvadriky.72
Elipsoid:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
+
𝑧2
𝑐2
= 1
Obr. 54: Elipsoid
72
Srov. POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction. 3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage
Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 420.
71
Eliptický kužel:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
= 𝑧2
Obr. 55: Eliptický kužel
Hyperboloid dvoudílný:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= −1
Obr. 56: Hyperboloid dvoudílný
72
Hyperboloid jednodílný:
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
−
𝑧2
𝑐2
= 1
Obr. 57: Hyperboloid jednodílný
Eliptický paraboloid:
𝑥2
𝑎2 +
𝑦2
𝑏2 = 𝑧
Obr. 58: Eliptický paraboloid
73
Hyperbolický paraboloid:
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 𝑧
Obr. 59: Hyperbolický paraboloid
Při určování typu kvadrik by bylo možné provádět podobné úpravy, jako jsme prováděli
v kapitole 6.1 a 6.2 s kuželosečkami, na základě kterých bychom transformaci souřadné
soustavy (realizující posunutí a lineární transformaci bodů v prostoru) opět převedli obecnou
rovnici kvadriky na některý ze základních tvarů.
74
ZÁVĚR
Cílem této práce bylo doplnění a rozšíření vysokoškolské matematiky, konkrétně matematické
disciplíny lineární algebry, vytvořením uceleného náhledu na problematiku skalárního
součinu vektorů a jeho praktické užití. Forma práce měla splňovat obecné požadavky na
učební materiál, který může sloužit jako studijní podpora pro vysokoškolské studenty
předmětů algebra a analytická geometrie ne jenom na pedagogických fakultách.
Teoretický přínos své práce autorka vidí především v tom, že se jí podařilo sestavit ucelený
náhled na danou problematiku a představit řešení některých příkladů spolu s grafickým
znázorněním pro snadnější pochopení učiva. Autorka první čtyři kapitoly své práce, které
svým obsahem rozšiřují učivo příslušného kursu, doplnila dalšími dvěma kapitolami, z nichž
se pátá kapitola zabývá diagonalizací kvadratických forem a šestá kapitola obsahuje možnost
využití teorie vlastních čísel a vlastních vektorů a teorie lineárních zobrazení v analytické
geometrii.
Autorka pokládá za vhodné dále studovat analytickou geometrii, aby získala širší vhled do
problematiky a mohla tak fundovaněji předávat své znalosti.
Při zpracování práce autorka prošla zdrojovou literaturu, což jí umožnilo v dané
problematice pochopit širší souvislosti a naučit se praktickému řešení mnohých příkladů.
Přestože je tato ucelená práce první, kterou autorka při svém studiu sepsala, je
přesvědčena, že svojí prací alespoň trochu pomohla pedagogům Katedry matematiky
Pedagogické fakulty Masarykovy univerzity v jejich náročné a vysoce odborné práci. Stejně
tak je přesvědčena, že její práce pomůže studentům při studiu.
75
SEZNAM OBRÁZKŮ
Obr. 1: Grafické znázornění příkladu 4 str. 11
Zdroj autorka.
Obr. 2: Grafické znázornění součtu vektorů 𝑢⃗⃗ a 𝑣⃗ str. 12
Zdroj autorka, obr. upraven dle: FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online].
Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 22.
Obr. 3: Grafické znázornění součtu vektorů 𝑢⃗⃗, 𝑣⃗, 𝑤⃗⃗⃗ str. 12
Zdroj autorka, obr. upraven dle: FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online].
Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 22.
Obr. 4: Grafické znázornění součtu vektorů 𝑢⃗⃗,−𝑢⃗⃗ str. 12
Zdroj autorka, obr. upraven dle: FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online].
Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 23.
Obr. 5: Grafické znázornění součtu 𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗ = 𝑣⃗ + 𝑢⃗⃗ str. 13
Zdroj autorka, obr. upraven dle: FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online].
Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 23.
Obr. 6: Grafické znázornění uzavřenosti součinu skalár krát vektor str. 13
Zdroj autorka, obr. upraven dle: FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online].
Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 23.
Obr. 7: Grafické znázornění asociativity součinu skalár krát vektor str. 13
Zdroj autorka, obr. upraven dle: FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online].
Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 23.
Obr. 8: Grafické znázornění (2 + 4) ∙ 𝑣⃗ = 2 ∙ 𝑣⃗ + 4 ∙ 𝑣⃗ str. 13
Zdroj autorka, obr. upraven dle: FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online].
Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 23.
Obr. 9: Grafické znázornění 2 ∙ (𝑢⃗⃗ + 𝑣⃗) = 2 ∙ 𝑢⃗⃗ + 2 ∙ 𝑣⃗ str. 14
Zdroj autorka, obr. upraven dle: FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online].
Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 23.
Obr. 10: Grafické znázornění úhlopříček čtyřúhelníku (alternativa 1) str. 14
Zdroj autorka.
Obr. 11: Grafické znázornění úhlopříček čtyřúhelníku (alternativa 2) str. 14
Zdroj autorka.
Obr. 12: Grafické znázornění velikosti vektoru 𝑣⃗ v prostoru 𝑅2
. str. 16
Zdroj autorka, obr. upraven dle POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 20.
Obr. 13: Graf. znáz. vých. situace pro trojúhelníkovou nerovnost v prostoru 𝑅2
. str. 16
Zdroj autorka, obr. upraven dle POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 22.
Obr. 14: Grafické znázornění kosinové věty str. 17
Zdroj autorka, obr. upraven dle: FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online].
Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 98.
Obr. 15: Ortogonální projekce nenulového vektoru 𝑣⃗ do podprostoru 𝑈 str. 19
Zdroj autorka, obr. upraven dle: FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online].
Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 107.
Obr. 16: Ortogonální projekce vektoru 𝑣⃗ do směru vektoru 𝑢⃗⃗ str. 19
Zdroj autorka.
Obr. 17: Důkaz Schwarzovy nerovnosti str. 20
Zdroj autorka.
Obr. 18: Ortogonální projekce vektoru 𝑣⃗ do roviny 𝑈 (1. způsob) str. 23
Zdroj autorka, obr. upraven dle: FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online].
Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 107.
Obr. 19: Ortogonální projekce vektoru 𝑣⃗ do roviny 𝑈 (2. způsob) str. 24
Zdroj autorka.
76
Obr. 20: Ortogonální projekce vektoru 𝑣⃗ do roviny 𝑈 (3. způsob) str. 25
Zdroj autorka, obr. upraven dle: FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online].
Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 107.
Obr. 21: Grafické znázornění funkcí 𝑠𝑖𝑛(𝑥) a 3𝑠𝑖𝑛(𝑥) str. 27
Zdroj autorka.
Obr. 22: Grafické znázornění funkcí 𝑠𝑖𝑛(𝑥) a 𝑠𝑖𝑛(3𝑥) str. 28
Zdroj autorka.
Obr. 23: Grafické znázornění transformace str. 31
Zdroj autorka, obr. upraven dle POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 215.
Obr. 24: Pravoúhlý trojúhelník str. 31
Zdroj autorka.
Obr. 25: Grafické znázornění lineární transformace str. 32
Zdroj autorka, obr. upraven dle: FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online].
Brno: Masarykova univerzita, 2022. Str. 75
Obr. 26: Otočení grafu 𝑦 = 𝑥 se středem v počátku o úhel 60º str. 32
Zdroj autorka.
Obr. 27: Osová souměrnost v rovině s osou 𝑦 =
𝑥
2
str. 33
Zdroj autorka.
Obr. 28: Lineárního zobrazení projekce 𝑣⃗ do směru 𝑢⃗⃗ přímky 𝑙. str. 35
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 224.
Obr. 29: Nalezení matice 𝐹(𝑣⃗) str. 36
Zdroj autorka.
Obr. 30: Grafický důkaz linearity 𝐹(𝑣⃗) str. 36
Zdroj autorka.
Obr. 31: Graf kvadratické formy z = 2x2
+ 3y2
str. 48
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 410.
Obr. 32: Graf kvadratické formy 𝑧 = −2𝑥2
− 3𝑦2
str. 49
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 410.
Obr. 33: Graf kvadratické formy 𝑧 = 2𝑥2
str. 49
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 410.
Obr. 34: Graf kvadratické formy 𝑧 = 3𝑦2
str. 50
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 416.
Obr. 35: Kružnice str. 58
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 416.
Obr. 36: Elipsa str. 58
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 416.
Obr. 37: Parabola str. 59
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 416.
Obr. 38: Hyperbola str. 59
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 416.
Obr. 39: Elipsa pro 𝑎 > 𝑏 str. 60
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 416.
77
Obr. 40: Elipsa pro 𝑎 < 𝑏 str. 60
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 416.
Obr. 41: Kružnice pro 𝑎 = 𝑏. str. 60
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 416.
Obr. 42: Parabola 𝑥 = 𝑎𝑦2
, pro 𝑎 > 0 str. 61
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 416.
Obr. 43: Parabola 𝑥 = 𝑎𝑦2
, pro 𝑎 < 0 str. 61
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 416.
Obr. 44: Parabola 𝑦 = 𝑎𝑥2
, pro 𝑎 > 0 str. 61
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 416.
Obr. 45: Parabola 𝑦 = 𝑎𝑥2
, pro 𝑎 < 0 str. 62
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 416.
Obr. 46: Hyperbola
𝑥2
𝑎2
−
𝑦2
𝑏2
= 1, 𝑎, 𝑏 > 0 str. 62
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 416.
Obr. 47: Hyperbola
𝑦2
𝑏2
−
𝑥2
𝑎2
= 1, 𝑎, 𝑏 > 0 str. 62
Zdroj autorka.
Obr. 48: Hyperbola
𝑥2
22
−
𝑦2
22
= 1 str. 63
Zdroj autorka.
Obr. 49: Elipsa
𝑥2
52
+
𝑦2
(√5)
2 = 1 str. 64
Zdroj autorka.
Obr. 50: Kružnice 𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0 str. 64
Zdroj autorka.
Obr. 51: Parabola 2𝑦2
+ 4𝑥 + 8𝑦 = 0 str. 65
Zdroj autorka.
Obr. 52: Hyperbola 4𝑥2
+ 10𝑥𝑦 + 4𝑦2
= 9 str. 67
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 421.
Obr. 53: Elipsa 3𝑥2
− 4𝑥𝑦 + 3𝑦2
− 28√2𝑥 + 22√2𝑦 + 84 = 0 str. 69
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 421.
Obr. 54: Elipsoid str. 70
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 421.
Obr. 55: Eliptický kužel str. 71
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 421.
Obr. 56: Hyperboloid dvoudílný str. 71
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 421.
Obr. 57: Hyperboloid jednodílný str. 72
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 421.
78
Obr. 58: Eliptický paraboloid str. 72
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 421.
Obr. 59: Hyperbolický paraboloid str. 73
Zdroj autorka, obr. upraven dle: POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction.
3rd ed. Australia: Brooks/Cole, Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5. Str. 421.
79
POUŽITÁ LITERATURA
ČERNÝ, Ilja. Kuželosečky a kvadriky [online]. Třetí upravené a doplněné vydání.
Praha: Universita Karlova, 2012, 140 s. [cit. 2023-03-19].
Dostupné také z: https://matematika.cuni.cz/cerny-kk.html
FAJMON, Břetislav. Algebra 2 [online]. Brno: Masarykova univerzita, 2022, 140 s.
[cit. 2023-03-19].
Dostupné z: https://is.muni.cz/auth/el/ped/jaro2023/MA0011/um/algebra2-2022.pdf
JUKL, Marek. Analytická geometrie lineárních útvarů. 2. vyd. Olomouc: Univerzita
Palackého v Olomouci, 2008. ISBN 9788024421483.
PECH, Pavel. Kuželosečky [online]. České Budějovice: Jihočeská univerzita, 2004
[cit. 2023-03-19]. ISBN 80-7040-755-7.
Dostupné také z: https://old.pf.jcu.cz/stru/katedry/m/knihy/Kuzelosecky.pdf
POOLE, David. Linear algebra: a modern introduction. 3rd ed. Australia: Brooks/Cole,
Cengage Learning, 2010. ISBN 978-0-538-73544-5.
REKTORYS, Karel. Přehled užité matematiky. Třetí, nezměněné vydání.
Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1973.
ZLATOŠ, Pavol. Lineárna algebra a geometria: cesta z troch rozmerov s presahmi do
príbuzných odborov [online]. Bratislava: Marenčin PT, spol. s r.o. 2011 [cit. 2023-03-19].
ISBN 978-808-1141-119. Dostupné z: http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf
80
POUŽITÉ SYMBOLY A ZKRATKY
ad lat. ad formalia k formální stránce, k
č. číslo
lat. latinsky
např. například
obr. obrázek
s. stran, strana
Sb. sbírka zákonů
srov. srovnej, porovnej s
str. strana
tj. to je, to jest
tzv. takzvaný
viz viď, odkaz na konkrétní definici, větu či obrázek
Ostatní zkratky a symboly uvedené v práci jsou standardními zkratkami a symboly užitými
v oboru algebra a geometrie.