Algebra 2 (MA 0005) RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D. KATEDRA MATEMATIKY PEDF MUNI, BRNO - verze 2024 ^^^H Financováno V./ Národní IV^ I Evropskou unií ^!»—: plán IVTp ■Dl NextGenerationEU *A""" °bn°VV "ISS^TOu&g^ Algebra 2 (MA 0005) 3 Obsah 1 Týden 1 7 1.1 Přednáška 1: Determinant a jeho vlastnosti, Cramerovo pravidlo...... 7 1.1.1 Odvození vzorců Cramerova pravidla pro n = 2 a n = 3....... 7 1.1.2 Obecná definice determinantu, výpočet determinantu z definice . . 10 1.1.3 Některé vlastnosti determinantu.................... 13 1.2 Cvičení 1..................................... 16 2 Týden 2 17 2.1 Přednáška 2: Další metody výpočtu determinantu.............. 17 2.2 Cvičení 2: Analytická geometrie v rovině - prověrka............. 20 3 Týden 3 21 3.1 Přednáška 3: Vektorový prostor, souřadnice vektoru v dané bázi, Gaussova eliminační metoda ............................... 21 3.1.1 Definice vektorového prostoru..................... 21 3.1.2 Báze a dimenze vektorového prostoru, souřadnice vektoru v zadané bázi ................................... 26 3.1.3 Druhá metoda řešení SLR - Gaussova eliminace........... 29 3.1.4 Co lze říci o řešitelnosti systému lineárních rovnic.......... 36 3.2 Cvičení 3..................................... 38 4 Týden 4 40 4.1 Kapitola 4: Vektorový podprostor a jeho generátory, průnik a součet vektorových podprostorů.............................. 40 4.1.1 Definice vektorového podprostorů................... 40 4.1.2 Průnik a součet vektorových podprostorů............... 41 4.1.3 Báze vektorového podprostorů; leží daný vektor v daném podprostorů? .................................. 43 4.1.4 Báze a dimenze součtu a průniku podprostorů............ 46 4.2 Cvičení 4..................................... 51 5 Týden 5 52 5.1 Kapitola 5: Inverzní matice, maticová metoda a Gauss-Jordánova metoda řešení SLR, sčítání matic............................ 52 5.1.1 Třetí metoda řešení SLR - maticová metoda............. 52 5.1.2 Čtvrtá metoda řešení SLR - Gaussova-Jordánova.......... 55 5.1.3 Operace sčítání matic.......................... 56 5.2 Cvičení 5..................................... 57 6 Týden 6 58 6.1 Kapitola 6: násobení matic, SLR nehomogenní a homogenní, princip superpozice .................................... 58 6.1.1 Operace násobení matic........................ 58 4 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 6.1.2 Řádkové úpravy lze realizovat pomocí vynásobení maticí...... 62 6.1.3 Řešení a řešitelnost homogenního systému lineárních rovnic..... 64 6.1.4 Pátá metoda řešení SLR - princip superpozice............ 66 6.2 Cvičení 6..................................... 69 7 Týden 7 71 7.1 Kapitola 7: Lineární zobrazení mezi vektorovými prostory.......... 71 7.1.1 Definice lineárního zobrazení a tři způsoby jeho zadání....... 71 7.1.2 Příklady lineárních zobrazení R2 —> R2................ 74 7.1.3 Vlastnosti lineárního zobrazení, jádro a obor hodnot lineárního zobrazení .................................. 78 7.1.4 Vztah mezi systémem lineárních rovnic a lineárním zobrazením . . 82 7.2 Cvičení 7..................................... 83 8 Týden 8 84 8.1 Kapitola 8: Matice přechodu mezi bázemi, změna matice zobrazení při změně báze ................................... 84 8.1.1 Matice přechodu mezi bázemi téhož vektorového prostoru...... 84 8.1.2 Složení lineárních zobrazení...................... 88 8.1.3 Změna matice lineárního zobrazení při změně báze.......... 89 8.2 Cvičení 8..................................... 92 9 Týden 9 95 9.1 Kapitola 9: skalární součin vektorů, velikost vektoru, kosinová věta, odchylka vektorů, Schwarzova nerovnost..................... 95 9.1.1 Jiný pohled na determinant...................... 95 9.1.2 Definice skalárního součinu....................... 95 9.1.3 Fyzikální a geometrický význam skalárního součinu......... 99 9.1.4 Velikost vektoru a její vlastnosti.................... 100 9.1.5 Odchylka vektorů a Schwarzova nerovnost v Rn........... 101 9.1.6 Odchylka vektorů a Schwarzova nerovnost v obecném euklidovském prostoru................................. 102 9.2 Cvičení 9..................................... 104 10 Týden 10 106 10.1 Kapitola 10: Ortogonalita vektorů a její využití............... 106 10.1.1 Ortogonalizační Grammův-Schmidtův proces............. 107 10.1.2 Ortogonální doplněk vektorového podprostoru............ 109 10.1.3 Ortogonální projekce vektoru do podprostoru ............ 111 10.2 Cvičení 10: Ortogonální doplněk, ortogonalizace, ortogonální projekce . . .113 11 Týden 11 114 11.1 Kapitola 11: Vlastní čísla a vlastní vektory lineárního zobrazení; konstrukce matice zobrazení pomocí vlastních vektorů.................. 114 Algebra 2 (MA 0005) 5 11.1.1 Vlastní čísla a vlastní vektory lineární transformace - geometrický názor (hlavně viz příklad 43)...................... 114 11.1.2 Nalezení vlastních čísel a vlastních vektoru algebraicky....... 115 11.1.3 Diagonálni matice lineární transformace ............... 117 11.2 Cvičení 11: Vlastní čísla a vlastní vektory lineárního zobrazení....... 120 12 Týden 12 122 12.1 Kapitola 12: Vlastní čísla podruhé; Grammova matice podruhé; vektorový součin vektoru.................................. 122 12.1.1 Neorientovaný objem v Euklidovském vektorovém prostoru..... 122 12.1.2 Obecná definice vektorového součinu pomocí orientovaného objemu 122 12.1.3 Speciální případ vektorového součinu vektorů pro n = 2 a n = 3 . . 124 12.1.4 Fyzikální význam vektorového součinu................ 126 12.2 Cvičení 12: hlavní prověrka tohoto předmětu................. 128 13 Otázky ke zkoušce 128 13.1 Cramerovo pravidlo pro řešení SLR...................... 130 13.2 Definice determinantu ............................. 131 13.3 Další pravidla pro úpravu determinantu.................... 131 13.4 Vektorový prostor................................ 132 13.5 Závislost a nezávislost skupiny vektorů - báze, dimenze, souřadnice .... 132 13.6 Vektorový podprostor.............................. 132 13.7 Hodnost matice, nehomogenní SLR...................... 133 13.8 Homogenní SLR, princip superpozice..................... 133 13.9 Sčítání a násobení matic - analýza pomocí pojmů z algl.......... 134 13.10Elementární řádkové úpravy.......................... 134 13.11Maticová metoda při řešení SLR........................ 135 13.12Lineární zobrazení ............................... 135 13.13Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení................... 136 13.14Příklady lineárního zobrazení na ZS vysokoškolsky.............. 136 13.15Matice přechodu mezi bázemi téhož VP.................... 137 13.16Skalární součin vektorů ............................ 137 13.17Velikost vektoru, odchylka vektoru ...................... 138 13.180rtogonální vektory, ortogonální doplněk................... 138 13.19Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.................. 139 13.20Ortogonální projekce vektoru do VPP..................... 139 13.21Vlastní čísla (hodnoty) a vlastní vektory (směry) lineární transformace . . 139 13.22Využití matice zobrazení v různých bázích.................. 140 13.23Vektorový součin vektorů............................ 140 6 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně Úvod Tento text je psán jako doplněk přednášky a návrh koordinace výuky v předmětu Algebra 2 na Pedagogické fakultě MU Brno, Katedra matematiky. Otázky k ústní zkoušce v závěrečné kapitole budou vždy upraveny před začátkem aktuálního zkouškového období. Předmět Algebra 2 (MA0005) je jakýmsi předběžným, algebraickým pohledem na geometrii. Dobrým předpokladem je absolvování předmětu Repetitorium středoškolské matematiky 2 (tj. MA0015), návazným předmětem na Algebru 2 bude Geometrie 2 (tj. MA0009). Rád bych zde poděkoval studentce Janě Vyvialové, která pečlivě přepsala podstatnou část mého rukopisu v sázecím prostředí TEX. V roce 2023 je text opět přepracováván díky projektu získanému na jeho dokončení. Proběhla revize textu, ale budu rád za informaci o chybách, které unikly mé pozornosti. Podkapitoly cvičení nejsou příliš propracovány, protože jak k první prověrce předmětu (analytická geometrie), tak k samotnému textu byly napsány v průběhu roku 2023-24 vlastní materiály, které najdete v interaktivní osnově k předmětu (v adrese změňte „pod-zim2023" na podzim aktuálního roku). https://is.muni.cz/auth/el/ped/podzim2023/MA0005/index.qwarp Břetislav Fajmon, verze květen 2024 Algebra 2 (MA 0005) 7 1 Týden 1 1.1 Přednáška 1: Determinant a jeho vlastnosti, Cramerovo pravidlo 1.1.1 Odvození vzorců Cramerova pravidla pro n = 2 a n = 3 Algebra je věda o řešení rovnic a speciálně Algebra 2 neboli lineárni algebra se zabývá řešením systému lineárních rovnic. První z metod, kterou se budeme zabývat , je tzv. Cramerovo pravidlo - jedná se o vzorec, do kterého jen dosadíme čísla dostaneme vyjádření neznámé xt. Při hledání-odvození vzorce začněme dvěma rovnicemi o dvou neznámých: au ■ xi + ai2 ■ x2 = bi/ ■ a22, a2i ■ x1 + a22 ■ x2 = b2/ ■ (~a12). Vynásobme první rovnici číslem 022, druhou číslem (—012) a obě rovnice sečtěme. Ve výsledné rovnici se vyruší neznámá x2, a pak z ní vyjádříme x±: x1 ■ (an ■ a22 - a12 ■ a21) = b1 ■ a22 - b2 ■ a12 bi ■ a22 — b2 ■ aí2 => xi = -, Qll " Q22 — Q21 ' a12 kde čitatel b± ■ a22 — b2 ■ a\2 označíme jako \ A\\ a jmenovatel a\\ ■ a22 — a2\ ■ a\2 označíme \A\. Všimněte si také, že b±, b2 se v čitateli zlomku vyskytují přesně v té situaci, ve které se ve jmenovateli zlomku vyskytují hodnoty au, 021 z prvního sloupce. Podobně najdeme analogický vzorec i pro x2: provedeme násobení takovými konstantami, aby při sečtení obou rovnic vypadla neznámá x±, a z výsledné rovnice pak vyjádříme x2: an ■ x1 + a12 ■ x2 = bxj ■ (-a21), a21 ■ xi + a22 • x2 = b2j ■ an. x2 ■ {an ■ a22 - a12 ■ a21) = b2 ■ an - h ■ a21 b2 ■ an - h ■ a21 => x2 = -, all ' a22 — a12 ' a21 8 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně kde čitatel b2 • «11 — bi • «21 označíme jako |^21 a jmenovatel au • 022 — «12 • «21 je opět \A\. Všimněte si také, že b±, b2 se v čitateli zlomku vyskytují přesně v té situaci, ve které se ve jmenovateli zlomku vyskytují hodnoty 021, «22 z druhého sloupce. Podobné totální vzorce lze najít i pro systém tří lineárních rovnic o třech neznámých (viz 1.1): au • xi + a12 ■ x2 + a13 ■ x3 = bi, a2í ■ xi + a22 ■ x2 + a23 ■ x3 = b2, «31 • xl + «32 • x3 + a33 • X3 = 63. Zase násobíme rovnice čísly a sčítáme, proces je trochu složitější (viz obrázek na následující straně): jedná se v podstatě o eliminaci proměnné x3 z prvních dvou rovnic a ze druhé a třetí rovnice, dostaneme dvě rovnice - z nich eliminujeme další neznámou x2, a výslednou rovnici pro neznámou x\ ještě vydělíme a23i protože jsme si všimli, že se vyskytuje ve všech sčítancích na obou stranách rovnice. Všimněte si, že ve výsledném zlomku se vyskytuje v čitateli bl přesně na tom místě, kde ve jmenovateli se vyskytuje «ii ~ to je přesně rozdíl mezi výpočtem \A\\ a \A\. Kdybychom podobné odvození celé provedli tak, že jako poslední neznámá by nám zůstala x2, respektive x%, dostaneme tři vzorce: Xl ■, x2 kde au a\2 ai3 a2\ a22 a2% 031 «32 033 14 = = výsledkem je číslo!!! — «ir«22"«33+«12"«23'«31+«13'«2r«32 —«ir«23'«32_«22"«13'«31—«33'«12"«21 — «12 «13 «ii bi «13 au «12 bi \M = b2 Ö22 Ö23 AM = Ö21 b2 Ö23 ,\M = a2i Ö22 b2 h «32 «33 «31 h «33 «31 Ö32 h (Determinanty |^4i|, \ A%\, \ A%\ se spočítají obdobným způsobem jako \A\, pouze j-tý sloupec a3 matice A je nahrazen sloupcem pravých stran b) Příklad 1 Vyřešte Cramerovým pravidlem (metodou determinantů) systém lineárních rovnic: xi + 2x2 + 3x3 = 9, 2xi — x2 + X3 = 8, 3xi — X3 = 3. Algebra 2 (MA 0005) 9 •Q r* o -4" ií '-J (y i 5" or -ŕ- ď ? o U ^> O" cr or a t cr. a \ "?~ S cr tí I o" (J- S S- o' Obrázek 1.1: Odvození Cramerova pravidla pro m = n = 3. Řešení: Vypočteme jednotlivé determinanty, a na jejich základě hodnoty neznámých: 2 3 -1 1 0 -1 2 3 -1 1 3 0 -1 = 1 + 6 + 0-0-(-9)-(-4) = 20 = 9 + 6 + 0- 0- (-16) - (-9) = 40 => xx \A\ *=2 20 10 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně \Ao\ = L4,| = 1 9 3 2 8 1 3 3-1 1 2 9 2-18 3 0 3 \A2\ -20 -8 + 27 + 18 - 3 - (-18) - 72 = -20 => x2 = K-=r- = -r— = -1 = -3 + 48 + 0 - 0 - 12 - (-27) = 60 x3 = \A\ 20 IAsI 60 = — = 3 \A\ 20 U první metody řešení SLR lze tedy říci: Věta 1 Cramerovo pravidlo: Pokud platí, že \A\ ^ 0 a m = n, tak existuje jediné řešení SLR s maticí koeficientů A na levé straně rovnic a vektorem pravých stran b na pravé straně rovnic: |Ai| \A2\ \AJ \A\ \A\ ■,..., xri \A\- Poznámka. Jak bylo předvedeno na přednášce nebo bude ve cvičení, pro \A\ = 0 lze také Cramerovo pravidlo užít i pro nekonečný počet řešení - zvolíme parametry a členy s nimi převedeme na pravé strany rovnic tak, aby determinant matice, která na levé straně zůstane (třebaže nižšího řádu než původní systém), byl nenulový (a dále aplikujeme Cramerovo pravidlo i na tento systém, kde na pravé straně se vyskytují parametry - viz BP Danešová, str. 64-65). 1.1.2 Obecná definice determinantu, výpočet determinantu z definice Všimněte si na výpočtech determinantů řádu tři v předchozím oddílku, že při výpočtu \A\ vytvářejí permutace sloupcových indexů všechny prvky grupy (63, o) permutací tříprvkové množiny. Definice 1 Čtvercové nebo obdélníkové schéma čísel se nazývá matice typu m/n, kde m značí počet řádků a n počet sloupců matice. Speciálně čtvercová matice typu n/n se nazývá matice řádu n. Pozor na označení matice: matice z předchozího oddílku musíme správně psát do '12 3 kulatých závorek!! V příkladu 1 je matice A = 2 —1 1 I , až při výpočtu determi- 0 -1, nantu lze psát \A\ = -1 = • • • = 20. Tedy svislé závorky vždy u tabulky čísel 0 -1 znamenají determinant z dané matice, který lze počítat a jeho výsledkem je číslo. Tento determinant lze počítat jen z matice čtvercové. Na druhé straně matice reprezentovaná v kulatých závorkách nemusí být čtvercová, ale může být jakéhokoli obdélníkového rozměru, a nerová se žádnému jednomu číslu, je to prostě tabulka čísel. Algebra 2 (MA 0005) 11 Definice 2 Determinant čtvercové matice A typu n/n (tj. řádu n) je číslo, které PRIRADÍME ČTVERCOVÉ MATICI podle vzorce \A\= £ {-^^■"án)-^1-^-...-an^ (jl,J2,-,jn) (tj. suma přes všechny možné permutace (ji, J2, jn) sloupcových indexů z množiny 1,2,...,n, v každém členu je (—1) umocněno na počet inverzí v dané permutaci sloupcových indexů1. Součin n prvků a\n ■ a2j2 • ... • anjn je součin prvků vybraných ze čtvercové matice tak, aby z každého řádku a každého sloupce byl vybrán právě jeden činitel. Počet všech permutací = součinů = členů v dané sumě je právě n!) Příklad 2 Pomocí Cramerovy metody determinantů vyřešte systém lineárních rovnic: X\ + x2 + x3 + x4 = 2, Xi + 2x2 — X3 + 2x4 = 1, Xl — X2 + 2X3 + X4 = —1, xi + 3x2 + 3x3 + x4 = 3. Řešení: Napišme si nejdříve vzorec pro determinant čtvercové matice řádu 4: «11 «12 «13 «14 «21 «22 «23 024 «31 «32 «33 034 = au a22- «33' «44 — 011-022 •«34 •a43- faii a23- «34 "«42— «11 "«23 " «32 " «44 «41 «42 «43 «44 +«11 «24 • 032 • 043 - an «24 ' «33 • «42 - «12 • a23 • 034 • «41 + a12 ■ a23 • «31 • «44 — -Ql2 024 0-31 • 043 + ai2 «24 " «33 • Q41 - ai2 • a-21 ■ 033 • «44 + a12 ■ a2i ■ a34 • 043 + +ai3 «24 • a-31 • 042 - «13 «24 " «32 • Q41 + ai3 • a-21 ■ 032 • «44 — 013 • a2i ■ 034 • «42 + +ai3 022 • Q34 • «41 - ai3 «22 " «31 • «44 — ai4 • a-21 ■ 032 • 043 + ai4 • a21 ■ a33 • 042- -«14 • Q22 • «33 • «41 "+ - ai4 ' «22 ' «31 • Q43 - «14 ■ a23 • Q31 • Q42 + ai4 • Q23 • «32 a41. + Je vidět, že v rozvoji determinantu řádu n se vyskytuje n\ sčítanců, protože ve čtvercové matici A existuje právě n\ možných výběrů n-tic prvků, kdy je v dané n-tici vybrán prvek v každém řádku i v každém sloupci (viz obrázek 1.2). Vezměme si například součin 013 • a24 ■ 032 • 041. Znaménko před tímto součinem určíme: a) Podle počtu inverzí v permutaci sloupců (3, 4, 2,1)...inverze je vztah mezi dvěma prvky v daném pořadí, kdy větší prvek se vyskytuje před menším prvkem. Musíme projít všech ^ J vztahů mezi dvojicemi prvků a zjišťujeme, že počet inverzí je 5, tj. znaménko je MÍNUS. Poznámka: Permutace řádkových indexů neuvažujeme, protože ty bereme neustále ve vzestupném pořadí (1,2,..., n). 12 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 'a o V^X^ Q^(3.A Q.. 0. 1q« (3) Si % 1 qM «iASiCVi ty^{J Sí- ■ IR, které přiřadí n vektorům v daném pořadí číslo det(aľ, a2, an) := ^ (-1)^1 j2,-,jn) . . ^ . _ . Každému zobrazení, které přiřadí jednomu nebo více reálným vektorům reálné číslo, říkáme reálná forma. D2. Při předchozím označení je forma deŕ(ai,d2, ■ ■■,äk) antisymetrická, tj. záměnou 2 různých řádků v matici se změní znaménko determinantu: der(ai,dfc,ai,a^) = —det{ďi,á/, ojt,an). Důkaz: Záměnou dvou indexů se jedna inverze v permutaci přidá nebo ubere, tj. před každým součinem n prvků bude v sumě opačné znaménko. Tedy i před celým determinantem bude opačné znaménko. Důsledek vlastnosti D2: Determinant matice A se dvěma stejnými řádky je roven 0. Důkaz: Když zaměníme tyto stejné řádky, s maticí se nic nestane, ale z vlastnosti D2 se musí i při záměně těchto řádků změnit znaménko determinantu, čili platí \A\ = -\A\ 2 • \A\ = 0, a tedy \A\ = 0. Algebra 2 (MA 0005) 15 Definice 7 Pokud ä[, a2,ď), jsou vektory, tak vektor v := «i • a! + a2 ■ a2 + ••• + o-k ■ ak je lineární kombinací vektoru ai, a2, ..., ak. (Lineární kombinace vektorů a±, (T2, a~k je jakýkoli součet skalárních násobku těchto vektoru.) D3. det(d[, a2,an) je zobrazení lineární v každé složce, tj. pokud na k-tém. řádku se vyskytuje lineární kombinace dvou vektorů a-ů+(3-v, tak determinant lze upravit na lineární kombinaci dvou determinantů: det(d[, a ■ ů + (3 ■ v, an) = a ■ det(ďi,u,an) + /3 • det(d[,v, ...an) Důkaz: = vytkneme a, (3 a rozdělíme na dva součty = a . . aiJi . ... . Ujk ..... a^n + p . ^(_ir0i,...J-) . aitji ..... Vjk . ... . anún = = a ■ det(d[,u,an) + (3 • det(d[, v,an) Poznámka: Vlastnost D3 lze přirozeně rozšířit tak, že k-tý vektor není lineární kombinací pouze dvou vektorů, ale / vektorů (/ > 2). Důsledek vlastnosti D3: Vynásobením fc-tého řádku matice A se stejným číslem vynásobí i celý determinant této matice. (Plyne z D3: det(d[,a ■ k,an) = a ■ det(d[,k,an).) Další důsledek vlastnosti D3: Je-li některý řádek matice A řádek samých nul, pak platí \A\ = 0. (Z D3: det(ďi,0 • d^,an) = 0 • der(ai,k,an) = 0. Nebo jiný důkaz přímo z definice determinantu: v každém součinu v determinantu je vybrána jedna 0 => \A\ = 0.) Vlastnosti D4 až D6 determinantu budou uvedeny ve 2. přednášce. 16 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 1.2 Cvičení 1 • Cramerovo pravidlo pro n = 2 nebo n = 3. • Cramerovo pravidlo v případě nekonečně mnoha řešení nebo žádného řešení. • Přehled čtyř metod řešení SLR na ZS (viz DP Danešová, kapitola 4). • Metoda řešení SLR na SŠ - Gaussova eliminace jako vylepšená sčítací metoda (viz BP Danešová, kap. 5) Úloha 1.1 Je dán následující systém tří rovnic o třech neznámých: 2x - 3y + z = 0 x + 2y — z = 3 2x + y + z = 12 a) Ověřte, že zadaný systém lze řešit Cramerovým pravidlem. b) Vyřešte systém v oboru reálných čísel pomocí Cramerova pravidla. Úloha 1.2 Je dán následující systém tří rovnic o třech neznámých: x + 2y — z = 3 -2x + y - 2z = -1 —3x + 4y — 5z = 1 a) Uveďte důvod, proč zadaný systém nelze řešit Cramerovým pravidlem (při standardní matici A). b) Vyřešte systém Cramerovou metodou nestandardním způsobem (otázka 1, příklad třetí v pořadí ze čtyř v dané otázce), když si uvědomíte, že třetí rovnice je rovna součtu první rovnice se dvojnásobkem druhé rovnice (viz BP Danešová, str. 64-65). Úloha 1.3 Zdůvodněte, jaké znaménko je při výpočtu determinantu řádu šest z definice pro matici matic A u součinu Q14 ' a23 ' a31 ' a42 " ^56 ' a65- Úloha 1.4 Zdůvodněte, jaké znaménko je při výpočtu determinantu řádu šest z definice pro matici A u součinu Q14 ' a25 ' a32 " Q43 ' a51 ' a66- POZOR, PŘÍŠTÍ CVIČENÍ SI NAPÍŠEME PROVĚRKU NA TÉMA: ANALYTICKÁ GEOMETRIE - VIZ ODPOVĚDNÍKY V IS PRO PŘÍPRAVU. Algebra 2 (MA 0005) 17 2 Týden 2 2.1 Přednáška 2: Další metody výpočtu determinantu D4. Determinant matice A se nezmění, pokud k řádku dk přičteme nenulový násobek jiného řádku, například řádku af. det(di,Ofc,á/, an) = det(d[, ...,ďk + a ■ di, ...,di, ...,an) Důkaz: Rozepišme si pravou stranu této rovnosti a využijem přitom nej důležitější vlastnost tohoto předmětu, vlastnost linearity determinantu (-D3): det(ai, dk + a ■ á/, á/,an) = det(ai, ďk,ä/, o^) + a ■ det(ďi,ä/, ä/,. D2 = det(ďi, dk,di, ďn) + 0 = det(ďi,ďk, ďi (spíše než D2 používáme důsledek D2: víme, že det(ai,á],á],an) = 0, jelikož se jedná o determinant matice se dvěma stejnými řádky) - důkaz je hotov. Vlastnost DA nám poskytuje dobrý nástroj pro výpočet determinantu: snažíme se k nějakému řádku přičíst násobek jiného řádku, abychom v matici tímto způsobem vytvářeli nuly - čím více nul, tím méně součinů je nenulových. Definice 8 Schodový tvar matice A = takové obsazení matice A čísly, že v každém dalším řádku matice je zleva více nul než v tom předchozím, nebo se už jedná o řádek samých nul. Ad příklad 2. Nyní se můžeme vrátit k příkladu 2 a pokusit se vypočítat determinanty |A|,|A|,|A2P3|,|^4|: \A\ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 -1 2 -n 0 1 -2 1 1 -1 2 1 -r\ 0 2 1 0 1 3 3 1 -r\ 0 2 2 0 1 1 1 1 0 1 - -2 1 1 • 1 • — 0 - — 0 -3 2 0 0 0 2 -2-r2 +Í3 -3) • 2 = -6. 1 1 0 1 0 0 0 0 1 "^3 Důsledek vlastnosti D A. Pokud se nám pomocí Dl až D A podaří upravit matici na schodový tvar, její determinant je roven pouze součinu prvků na hlavní diagonále (ve všech dalších součinech musíme vybrat alespoň jednu nulu pod diagonálou, tj. zbývajících 23 součinů je rovno 0). A1 2 1 1 1 1 2 -1 2 1 2 -1 2 1 2 -1 2 2 1 1 1 -2 ri 0 -3 3 -3 -1 -1 2 1 -1 -1 2 1 H -ri 0 1 1 3 3 3 3 1 3 3 3 1 +3 ^3 0 0 9 4 18 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně -3)- 12-12 0 1-11 0 113 0 0 9 4 -T2 = 3- 12-12 0 1-11 0 0 2 2 0 0 9 4 = 3-2- 12-12 0 1-11 0 0 11 0 0 9 4 -9-r3 = 6- 12-12 0 1-11 0 0 1 1 0 0 0 -5 = -30. D5. Laplaceův rozvoj determinantu podle /c-tého řádku nebo Z-tého sloupce. Tento rozvoj převádí výpočet jednoho determinantu řádu n na výpočet n determinantů řádu n — 1: Rozvoj podle ž-tého řádku (i se nemění, mění se pouze index j): \A\ = • • \A v i kde Aíj jsou matice vzniklé z A vypuštěním ž-tého řádku a j-tého sloupce. Rozvoj podle j-tého sloupce (j se nemění, mění se pouze index i): n i=i kde Aíj jsou matice vzniklé z A vypuštěním ž-tého řádku a j-tého sloupce. Důkaz: Plyne z definice determinantu pouhým rozepsáním: Např. pro řádkový rozvoj: al3 se vyskytuje v in — 1)! součinech; když (—l)l+3 ■ al3 z těchto součinů vytkneme, v závorce se objeví \Al3\ jako součet součinů n — 1 prvků, tj. determinant řádu o 1 menšího. Ad příklad 2. Vypočtěme |^42|i l^l, \A±\ kombinací vlastností Dl až D5: A2 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 -1 2 -ri 0 -1 -2 1 1 -1 2 1 -ri 0 -3 1 0 1 3 3 1 -ri 0 1 2 0 Rozvineme např. podle řádku 3 (přitom \A^\ je determinant matice, která vznikne z A vynecháním i- tého řádku a j-tého sloupce matice A, tj. vynecháním právě toho řádku Algebra 2 (MA 0005) 19 a sloupce, kde se vyskytuje2 prvek a^): = (-l)3+1-0-|A3i| + (-l)3+2-(-3)- 1 1 1 0 -2 1 0 2 0 1)3+3.!. 1 2 1 0 -1 1 0 1 0 l)3+4-0-|A34| = = 3-(0 + 0 + 0- 2- 0-0)+ (0 + 0 + 0-1-0-0) = -7 Tedy Laplaceův rozvoj je výhodné použít pro ten řádek či sloupec, který obsahuje větší počet nul. \M = Rozvoj podle 1. sloupce: 112 1 12 12 1-1-11 13 3 1 -r x -r x -r x 112 1 0 1-11 0-2-3 0 0 2 10 1 -1 1 1 • -2 -3 0 2 1 0 = 0 + 0- 2 + 6- 0- 0 = 4. \M = 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 -1 1 -ri 0 1 -2 -1 0 1 -2 -1 1 -1 2 -1 -ri 0 -2 1 -3 +2 T2 0 0 -3 -5 1 3 3 3 -ri 0 2 2 1 -2 T2 0 0 6 3 Rozvoj podle 2. sloupce: (-l)1+2-l- 0 -2 0 -3 0 6 1)2+2.!. 1 1 0 -3 0 6 -0+0 = -0-9+0+0-(-30)-0-0 = 21 Xx Můžeme psát odpověď: l^il 30 \A2\ = 5; x2 = -7 7 \A3 -4 \A\ -6 ' z \A\ -6 6' ° \A\ -6 3 Řešení je jediné, vektorovým zápisem jej lze vyjádřit nejlépe: ; X/x \M 21 ^6 IX1\ f5\ x2 7 x3 3 \x4J 2Například 0,32 = —3 se vyskytuje ve tretím řádku a v druhém sloupci naší matice řádu 4, tj. |A32 je determinant matice z ní vzniklé vynecháním třetího řádku a druhého sloupce. Číslo ( — 1) je umocněno na (3 + 2), což je součet indexů (pozic v řádku a sloupci) prvku «32. 20 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně D6. Pokud některý řádek, např. l-tý je lineární kombinací jiných řádků, např. dl, a2,Qfc, tak |^4| = 0. Důkaz: Velmi podobný důkazu DA: Jestliže: ai = ai ■ á[ + a2 ■ a2 + ... + ak ■ ak pak: der (dl, a2, ak,a>i ■ á[ + a2 ■ a2 + ... + ak ■ ak,a^) = D3 = ai ■ der (dl, al,al,dl,d^) + a2 • der (dl, al,al,al,d^) + ... + afc • der(dl, al,al,ak,d^) = 0, protože každý z těchto dílčích determinantů se rovná 0 díky dvěma stejným řádkům (důsledek vlastnosti D2). (jiný způsob důkazu: pokud nějaký řádek je lineární kombinací ostatních řádků, odečtením této lineární kombinace provádíme úpravu D4, která determinant nezmění - a dostaneme řádek samých nul, tj. podle definice determinantu do každého součinu vybereme z tohoto nulového řádku určitě vždy jedno číslo 0, čili determinant je roven nule) Pokud vyjde čas: Poznámka o vektorovém součinu vektorů v dimenzi 3 výpočet pomocí determinantu. Pokud vyjde čas nebo na začátku třetí přednášky: Využití Laplaceova rozvoje a linearity determinantu při výpočtu determinantů velkého řádu (otázka k ústní zkoušce číslo 4). Silně doporučuji: několikrát (pro různé otázky) si projděte odpovědník opakující obsah přednášek 1 a 2: https://is.muni.cz/auth/el/ped/podzim2023/MA0005/odp/pred01_02_otazky_ano_ne.qref 2.2 Cvičení 2: Analytická geometrie v rovině — prověrka Napište prověrku z tématu analytická geometrie. Typové příklady najdete v IS v interaktivní osnově předmětu. Algebra 2 (MA 0005) 21 3 Týden 3 3.1 Přednáška 3: Vektorový prostor, souřadnice vektoru v dané bázi, Gaussova eliminační metoda 3.1.1 Definice vektorového prostoru Základní pojmem, kterým se v tomto předmětu budeme zabývat, je pojem vektoru. Vektor je zobecněním pojmu reálné číslo - reálné číslo je určené svou velikostí, vektor je určený velikostí a směrem3. Začněme dnes u této představy vektoru jako „orientované úsečky", u které je důležitý její směr4 a její délka5, a pokusíme se tuto představu vektoru nějak matematicky popsat, čili zpřesnit. Vodítkem budou vlastnosti, které platí pro vektory v rovině, viz následující příklad. Příklad 3 Uvažujme množinu V všech orientovaných úseček v rovině. Dvě orientované úsečky o stejné velikosti a směru budeme považovat za tentýž vektor (v analytické geometrii takovému pojetí vektoru v rovině říkáme „volný vektor" ... můžeme vektorem v rovině rovnoběžně posouvat - pokud zůstává zachován jeho směr a velikost, jedná se pořád o tentýž vektor). Na této množině V definujme operaci sčítání vektorů následovně: vektor a + b určíme tak, že ke koncovému bodu vektoru a rovnoběžně posuneme počáteční bod vektoru b, pak vektor c := a + b je takový, že jeho počáteční bod je stejný jako počáteční bod a a jeho koncový bod je roven koncovému bodu b. Podobně definujme násobení vektoru reálným číslem r E R takto: Pokud r = 0, je r ■ a roven nulovému vektoru., tj. úsečce nulové délky a jakéhokoli směru. Pokud r > 0, tak směr vektoru r - a je stejný jako směr a a jeho velikost je r-násobkem velikosti vektoru a. Pokud r < 0, tak směr vektoru r ■ a je opačný ke směru a (při zachování rovnobežnosti) a jeho velikost je \r\-násobkem velikosti vektoru a. Takto definovaná množina vektorů společně s takto definovanými operacemi sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem (jehož výsledkem je vektor) tvoří strukturu, kterou budeme nazývat vektorovým prostorem. Vlastnosti vektorového prostoru odvodíme z vlastností uvedených dvou operací na množině vektorů v rovině z příkladu 3: 3 Vektor jako „šipka" charakteristická velikostí a směrem slouží k popisu například a) posunutí v rovině, b) síly působící na těleso, c) rychlosti a směru pohybu objektu v prostoru - zkrátka řady veličin známých z různých oborů; tyto veličiny označujeme jako vektorové veličiny. 4Pojem směru vektoru souvisí s pojmem rovnobežnosti dvou vektorů, které lze vzhledem k následující definici vektorového prostoru definovat velmi jednoduše: Vektory u, v jsou rovnoběžné, jestliže existuje skalár s takový, že v = k ■ u. Pojem směru je tedy v následující definici „schovaný", kdekoli násobíme nenulový vektor nenulovým skalárem - výsledkem je vektor rovnoběžný, tedy ve stejném směru. 5Pojem velikosti (délky) vektoru se zatím v následující definici vektorového prostoru nevyskytuje -souvisí totiž až se skalárním součinem, o kterém bude řeč v kapitole 9. 22 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně Definice 9 Množina (V, +) se nazýva vektorový prostor nad tělesem6 skalárů (T,+, •) (její prvky v E V se nazývají vektory, prvky tělesa T se nazývají skaláryj, jestliže a) Struktura (V, +) je komutativní grupa, tj. 1. y u, v E V : u + v E V (uzavřenost operace + na V), 2. V-u, v,w E V : (u + v) + w = u + (v + w) (asociativita operace +), 3. 33 E V : u + o = o' + u V-u E V (existence neutrálního prvku), 4- V-u E V 3 (—u E V : u + (—u) = o (existence inverzí vzhledem k operaci +), 5. V-u, v E V : u + v = v + u (komutativita operace + na V). b) Zobrazení ■ množiny T x V do V (= násobení SKALÁR KRÁT VEKTOR) splňuje vlastnosti „příbuzné1^ vlastnostem operace na monoidu: " 1" V t E T, v E V : t ■ v E V (uzavřenost součinu skalár krát vektor), "2" V s, t E T, v E V : s ■ (t ■ v) = (s ■ t) ■ v (pro jednoduchost označujeme součin mezi skaláry a součin skalár krát vektor stejným symbolem), "3" 3 1 E T : l-v = v^vEV( existence jednotkového skaláru vzhledem k násobení skalár krát vektor). c) Souhra operace + a operace skalár krát vektor splňuje vlastnosti8: "6a" V s, t E T, v E V : (s + t) ■ v = s ■ v + t ■ v, "6b" VtET,Ú,vEV : t ■ (u + v) = t ■ Ú + t ■ v. Poznámka. Jak si dobře zapamatovat druhých pět z deseti vlastností definice: v žádné z těchto vlastností se nevyskytuje součin dvou vektoru (skalární součin u ■ v se v definici vektorového prostoru nevyskytuje), pouze součin dvou skalárů nebo součin skalár krát vektor. Definici skalárního součinu vektorů (násobíme dva vektory, výsledkem je skalár) uvedeme v některé z následujících kapitol. Ad příklad 3. V je množina volných vektorů v rovině nad tělesem R. Uvedených deset vlastností vektorů jsme vlastně z příkladu volných vektorů v rovině odvodili, tj. všechny vlastnosti lze dokázat-reprezentovat obrázky: 1. Vlastnosti 1 až 5 jsme už zkoumali v algebře 1 - tyto vlastnosti platí i pro operaci sčítání vektorů. Součtem dvou volných vektorů v rovině je také vektor (viz obr.). 6Těleso T je zde důležité proto, že pomocí něj za chvíli budeme vyjadřovat souřadnice vektorů. Např. Pokud T = R, souřadnicemi budou reálná čísla; pro T = Q budou souřadnicemi racionální čísla. 7S tím rozdílem, že se nejedná o operaci najedná množině, ale o součin prvků ze dvou různých množin - součin skaláru s vektorem. 8S trochou fantazie bychom je mohli nazvat "distributivní zákony" okruhu, ale uvozovky jsou důležité, protože se nejedná o dvě operace na stejné množině, ale o jednu operaci na množině a o zobrazení T x V ^ V (což by bylo možné algebraicky nazvat jako akci tělesa na grupě: prvky z tělesa násobíme prvky grupy, a dostáváme jiné prvky grupy); a distributivní zákony v okruhu jsou sice dva, ale liší se jen díky nekomutativnímu násobení - zde u vektorového prostoru jsou "distributivní zákony" z jiných důvodů (v jednom zákonu sčítáme skaláry, ve druhém sčítáme vektory). Algebra 2 (MA 0005) 23 2. (viz obrázek) důkaz asociativity sčítání volných vektorů je proveden graficky. 3. Nulový vektor má nulovou velikost (a jeho směr je libovolný), proto jej na obrázku na následující straně nevidíte. 4. Opačný vektor (= inverzní vektor vzhledem k operaci sčítání) má stejnou velikost, ale opačný směr. 5. Sčítání volných vektorů splňuje komutativní zákon. Právě uvedené vlastnosti 1 až 5 lze popsat (viz Algebra 1) tím, že V je vzhledem ke sčítání komutativní grupa. Ovšem Následujících pět vlastností je pro vektory špecifických a ještě jsme se jimi v algebře nezabývali. "1" Vlastnost "1" tvrdí, že s každým vektorem u obsahuje prostor volných vektorů i nekonečně9 mnoho dalších vektorů, které vzniknou jako reálné násobky vektoru u. " 2" Nezáleží na tom, zda nejdříve vynásobíme dva skaláry, a pak jimi vynásobíme vektor, nebo zda násobení vektoru provedeme postupně dvěma skaláry - výsledek je stejný. " 3" Existuje jednotkový skalár - vynásobením volného vektoru u konstantou 1 se nezmění jeho velikost ani směr. "6a" Nezáleží na tom, zda nejprve sečteme skaláry, a výsledkem vynásobíme vektor, nebo zda nejprve provedeme dvojí násobení skalár krát vektor, a výsledné vektory sečteme. "6b" To, že nejprve sečteme vektory, a pak až vynásobíme skalárem je totéž, jako bychom oba vektory nejdříve vynásobili skalárem, a pak je sečetli. Příklad 4 Dalším příkladem prostoru vektorového je (R3[x], +, •) ... množina všech polynomů stupně nejvýše 3 nad tělesem R. Přesný důkaz bychom mohli provést pro obecně 9To bude hrát roli u množiny generátorů vektorového prostoru, kterou budeme studovat podobně jako množiny generátorů grupy. Vzhledem k povaze (nekonečnosti) tělesa R jeden nenulový vektor generátor svými násobky skalárem vygeneruje nekonečně mnoho dalších vektorů. 24 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně označené skaláry s, t a obecně značené polynomy u = ií3 • x3 + U2 ■ x2 + Ui ■ x + «o, V = Vz ■ X3 + V2 ■ X2 + V\ ■ X + Vq. W = W3 ■ x3 + w2 ■ x2 + Wi ■ X + Wq. Ale zkusme místo důkazu tyto vlastnosti raději jen ilustrovat na třech konkrétních polynomech u = 2x3 + x2 - 5x + 1, v = 3x3 + 5x2 + x - 2, w = 2xA + x2 - 3x + 3. 1. u + v = 5x3 + 6x2 — Ax — 1 je opěí polynomem stupně nejvýše 3.10 10Zde je důležité, že do množiny Rs[x] patří i polynomy stupně nižšího, například i stupně 2, protože např. pro u = xa — 2x2 + 5 a v = —x3 + 2x — 1 je Ů+v = —2x2 + 2x + 4 ... kdyby v množině Rs[x] byly jen polynomy třetího stupně, nebyla by uzavřená na operaci součtu!! Algebra 2 (MA 0005) 25 2. (u + v) + w = 7x3 + 7x2 - 7x + 1 = u + (v + w). 3. Neutrálním polynomem je o = 0, jeho přičtením k libovolnému polynomu se ten nezmění. 4- Opačným vektorem je —u = —2x'A — x2 + 5x — 1, —v = —3x3 — 5x2 — x + 2, atd. 5. Evidentně platí u + v = v + u, ai už pro naše dva zvolené vektory, nebo jakékoliv dva vektory. "1" Násobení polynomu reálným skalárem se realizuje vynásobením každého koeficientu zvlášť, jak jsme zvyklí násobit polynom reálným číslem. Například 2 • u = 4x3 + 2x2 - lOx + 2. Důležité je, že násobením polynomu jakýmkoli reálným číslem se nezmění fakt, že výsledek je (kromě násobení nulou) polynom třetího stupně, tj. množina (iž3[x],+) je uzavřená na násobky reálnými čísly. "2" Například (2 • 3) • u = 2 • (3 • u) = 12x3 + 6x2 - 30x + 6. "3" 1 ■ u = u pro jakýkoli prvek u dané množiny. "6a" Například (2 + 3)--u = 2- -u + 3- -u = 10x3 + 5x2 — 25x + 5, a je vidět, že rovnost platí pro libovolné prvky daných typů. "6b" Například 2-{u + v) = 2-u + 2-v = 10x3 + I2x2 - 8x - 2, a je snad vidět, že rovnost platí pro libovolné prvky daných typů. Příklad 5 Množina (C(a;6),+, •) spojitých reálných funkcí na intervalu {a;b), s přirozeně definovanými operacemi součtu funkcí a vynásobení funkce reálný skalárem, je vektorovým prostorem!! Tento příklad je důležitý, neboť vidíme, že pojem vektoru je jak zobecněním pojmu číslo, tak zobecněním pojmu spojitá funkce. Opět se zde objevují ambice algebry hledat společné či stejné vlastnosti mezi různými strukturami - řada vlastností, které známe hlavně u prvků aritmetického vektorového prostoru (což je vlastně příklad 1, ale ještě na prostoru volných vektorů v příkladu 1 musíme zavést souřadnice), je stejných jako vlastnosti funkcí spojitých na intervalu. 1. Definujeme součet funkcí V f (x), g{x) E C{a; b): f(x) + gix) je opět spojitou funkcí na {a; b). 2. Vf(x),g{x),h{x) eC{a;b) : {f{x)+g{x)) + h{x) = f{x) + (g{x) + h{x)) Vie(a;fc), což plyne z asociativity sčítání reálných čísel. 3. Neutrálním prvkem je funkce eix) = O Vx G {a; b), protože f(x) + e(x) = fix) Vx G {a; b). I V/(x) G C {a; b) 3(-f(x)) G C {a; b): f (x) + (-f (x)) = e(x) = 0. 26 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 5. Vf(x),g(x)eC{a;b): f(x) + g(x) = g(x) + f(x). "ľ'VseR, f (x) (E C {a; b) : s ■ f (x) G C (a; b). "2"Wr,seR, f(x) eC{a;b) : (r • s) ■ f (x) = r ■ (s ■ f (x)). "3" 3 1 G R : 1 • f (x) = f (x) V f (x) G C {a; b). "6a" Vr, s G R, f (x) e C {a; b) : (r + s)-f(x)=r-f(x) + s-f(x). "6b" Vr e R, f (x), g (x) G C (a; b) : r ■ (f(x) + g(x)) = r ■ f(x)+r ■ g(x). Příklad 6 V = {o} ... nejmenší možný vektorový prostor je prostor, který obsahuje pouze nulový vektor. 3.1.2 Báze a dimenze vektorového prostom, souřadnice vektoru v zadané bázi Klíčovou konstrukcí či výpočtem bude při naší práci s vektory zjišťování, zda je určitý vektor lineární kombinací (= součtem násobků) jiných vektorů. Definice 10 a) Definice lineární kombinace viz (áefinicel). b) Posloupnost vektorů d[, d^, ■ ■ ■ , ďk je lineárně závislá, když některý z vektorů je lineární kombinací těch ostatních vektorů.11 V opačném případě je posloupnost vektorů d[, a2,... , ak lineárně nezávislá. Poznámka. U rovnosti a) v předchozí definici také říkáme, že vektor ak je lineárně závislý na vektorech ai, a~2,..., afc-i- Podobně jako při studiu grup a okruhů, i u vektorových prostorů se budeme zabývat množinou vektorů, která generuje (= vytváří jistým přesně popsaným způsobem) celý vektorový prostor. Pokud uvážíme, že vynásobení vektoru skalárem vygeneruje nekonečně mnoho dalších vektorů různých délek, asi se často budeme setkávat se situací, kdy i pro nekonečnou množinu V bude množina generátorů (co do počtu prvků) celkem málo početná. Z těchto množin generátorů budeme ještě vybírat co nejmenší počet lineárně nezávislých vektorů, které vygenerují celý vektorový prostor - posloupnost těchto vektorů nazveme bází. Definice 11 Uvažujme vektorový prostor (V, +) nad tělesem (T,+, •). Posloupnost vektorů (-ui, U2, ■ ■ ■, Uk) nazveme bází vektorového prostoru (V, +), pokud platí obě z podmínek 11 Alternativní definice lineární závislosti, kterou zkoušejí někteří kolegové: rovnice «1 • ai + «2 • ři2 +----h ak ■ ak = o má i jiné než nulové řešení, tj. Bo^ ^ 0 takové, že rovnice platí. Tímto olí bychom rovnici vydělili a vyjádřili z ní ďi jako lineární kombinaci vektorů ostatních, takže je vidět, že obě definice lineární závislosti vektorů jsou logicky ekvivalentní. Algebra 2 (MA 0005) 27 a) tato posloupnost vektoru je lineárně nezávislá (žádný z vektoru nelze vyjádřit jako lineárni kombinaci ostatních); b) každý vektor v £ V lze vyjádřit jako jejich lineární kombinaci, v = ai ■ ui + a2 ■ Ú2 + • + ak ■ Úk, tj. vektory ui, u2,. .., Úk generují celý prostor12. Dále dimenze vektorového prostoru (V, +) znamená počet vektorů nějaké jeho báze. A navíc, čísla (al5 a2,... , ak) z vyjádření vektoru v pomocí bázických vektorů u[, u2, ..., uk nazveme souřadnicemi vektoru v vzhledem k bázi (u[, u2,..., uk). Příklad 7 Tři otázky pro vektory z aritmetického vektorového prostoru iž3 uspořádaných trojic reálných čísel. a) Jsou vektory ú[ = 0 , u2 = 2 lineárně závislé? b) Jsou vektory ú[ = 1 , u2 = 2 lineárně závislé? c) Jsou vektory u{ = 1 ] , ií2 = I 2 ,1*3= 0 lineárně závislé? Řešení: ad a) Ano, nulový vektor je vždy lineárně závislý na ostatních vektorech, protože je °\ i' jejich 0-násobek: ( 0 = 0 • 2 0 / \ 3 f M 1 1 1 1 = a- 2 v 0 1 1 0 / ad c) Nejsou, protože (postupujeme krok za krokem) je lze seřadit do takové posloupnosti, že • Úi je nenulový, • Ú2 není reálným násobkem vektoru ui, 12Alternativní vyjádření obou podmínek: ad b) dané vektory generují celý prostor, ad a) a žádný nich není nadbytečný v tom smyslu, že by byl lineární kombinací těch ostatních. 28 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně • a lij není lineární kombinací vektorů ú[, u2 - protože neexistují reálná čísla a±, a2 tak, aby ' ' M í1 1 + a2 • 2 0/ \o (v rovnici 1 = a\ ■ 0 + a2 • 0 sestavené ze třetích souřadnic předchozí vektorové rovnice žádná vhodná reálná čísla a±, «2 jako její řešení nenajdeme). Z řešení příkladu (7-c) plyne obecný postup při sestavování báze nějakého vektorového prostoru: • úi ... zvolíme jakýkoliv nenulový vektor z V; • Ú2 ... zvolíme takový vektor z V, který není násobkem vektoru ú[; • Ú^ ... zvolíme takový vektor z V, který není lineární kombinací vektorů ui, u2. • atd. Příklad 8 a) Bází prostoru iž3 je například posloupnost vektorů éí = | oj,éS=^lj,e1=^0 (říkáme jí standardní báze - jedná se o bázi, kterou běžně volíme v Kartézské souřadné soustavě ve třídimenzionálním aritmetickém vektorovém prostoru R3). b) Bází prostoru Rn je nějaká (jakákoli) posloupnost n nezávislých vektorů, dimenze Rn je rovna n. c) Bází prostoru (Rn[x], +, •) všech polynomů stupně nejvýše n je například posloupnost polynomů (1 ^ 00 ^ 00 ^ 00 ^ * * * ^ 00 ), tj. dimenze Rn[x] je rovna in + 1). d) Bází prostoru (C(a; 6),+, • všech spojitých reálných funkcí na intervalu {a;b) je například nekonečná posloupnost funkcí (1, x, x2, x3,.. .), nebo nekonečná posloupnost (1 sinx, sin2x, sin3x,...). Jinými slovy, dimenze C {a; b) = oo. (l Příklad 9 Je posloupnost vektorů ui=\l\,U2=\2\,u^= \ 0 ] bází pro-storu R? ? Ano, každý prostor má řadu různých bází, které mají stejný počet prvků - tato báze je bází stejného prostoru jako báze v příkladu (8-a). Příklad 10 Vyjádřete souřadnice vektoru v = I 2 I t) bázi Algebra 2 (MA 0005) 29 a) e[ = b) u[ = Řešení: ad a) ve standardní bázi jsou už hodnoty 1,2,3 přímo souřadnicemi, ad b) řešení: v = V úlohách typu příkladu (10-b) při hledání souřadnic vektoru v nějaké bázi daného vektorového prostoru, zejména pokud je to aritmetický vektorový prostor (tedy prostor n-tic reálných čísel, s operacemi „sčítání po složkách" a násobení každé složky skalárem), řešíme vlastně systém lineárních rovnic. 3.1.3 Druhá metoda řešení SLR — Gaussova eliminace Po Cramerově pravidlu druhá metoda řešení SLR, kterou se budeme zabývat, je Gaussova eliminační metoda. Je to vlastně vylepšená (upravená) sčítací metoda ze ZS -pouze si ve sčítání rovnic vytvoříme určitý systém. Nejprve si ovšem řekněme, co to jsou elementární řádkové úpravy systému lineárních rovnic a jak souvisí s množinou řešení tohoto systému: Definice 12 Při řešení systému lineárních rovnic (SLR) au ■ xi + ai2 ■ x2 + ... + ain ■ xn = bi, o-ii ■ %i + 0-22 ■ x2 + ... + a2n ■ xn = b2, ^ml ' X\ ~\~ Q>m2 ' X2 ~\~ ••• ~\~ Qmn ' Xn ^mi kde al3 G IR, foj G IR jsou konstanty ai, G R jsou neznámé, jsou následující úpravy označovány za elementární řádkové úpravy: a) vynásobení některé rovnice nenulovým reálným číslem, b) záměna pořadí dvou rovnic, c) k dané rovnici přičteme lineární kombinaci jiných rovnic. Věta 3 Elementární řádkové úpravy SLR nemění množinu řešení tohoto systému. Důkaz: 30 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně a) Jasné - rovnici lze vynásobit nenulovým reálným číslem, aniž se změní její řešení, b) Jasné - na pořadí rovnic v systému nezáleží, c) Jestliže v systému (který může mít i další rovnice, ty se ale nyní nemění) Qfcl ' Xl + Qfc2 ' %2 + ••• + CLkn ■ Xn = bk] a/i • xi + a/2 • x2 + ... + ain ■ xn = bi/ + ak-rk /c-tou rovnici vynásobíme ak a přičteme k /-té rovnici, dostaneme systém Qfcl ' Xl + Qfc2 ' %2 + ••• + 0-kn ' Xn = bk, (a/i • xi + a/2 • x2 + ... + ain ■ xn) + ak ■ (akl ■ x\ + ak2 ■ x2 + ... + akn ■ xn) = bi + ak u které je snad jasné, že jeho množina řešení je stejná jako množina řešení systému předchozího. Nyní jen pomocí přehození pořadí členů a vytknutí Xj pro všechna i ve druhé uvedené rovnici (což můžeme provést díky distributivitě operací sčítání a násobení v tělese reálných čísel) upravme na systém Qfci ' xi + CLk2 ■ x2 + ... + akn ■ xn = bk; (a/i + ak ■ akl) ■ x1 + ... + (aln + ak ■ akn) ■ xn = k + ak ■ bk, jehož množina řešení je tatáž. Zdůvodnění je hotovo. □ Nyní vysvětlíme Gaussovu eliminaci (vylepšenou sčítací metodu) na přikladu, ve kterém budeme dělat právě jen tři popsané elementární řádkové úpravy, jejichž použití nemění množinu řešení daného SLR: Příklad 11 Na množině reálných čísel řešte systém lineárních rovnic x + 2y + 3z = 9 2x — y + z = 8 3x — z = 3. Řešení: Tento systém lineárních rovnic si přepíšeme do naší staré známé matice (viz definice 1). Tuto matici pomocí tzv. řádkových elementárních úprav převedeme na tzv. schodový tvar (definice 8 - sice jsme se seznámili se schodovým tvarem už u determinantu, ale tento pojem nevyžaduje, aby matice A byla čtvercová; A je obecně typu m x n). Tento způsob řešení není až zas tak docela studentům neznámý, pravděpodobně jím řešili systém dvou rovnic tzv. sčítací metodou. Jediná novinka spočívá nyní v tom, že celý momentální stav sčítací metody máme neustále před očima v našem maticovém schématu. Naší první úpravou schématu tří rovnic bude: a) první rovnici necháme beze změny; b) od druhé rovnice odečteme dvojnásobek první rovnice; c) od třetí rovnice odečteme Algebra 2 (MA 0005) 31 trojnásobek první rovnice. Tímto způsobem eliminujeme z první i druhé rovnice neznámou x. Druhou úpravou schématu bude jen jisté kosmetické zjednodušení: druhou rovnici nemění jeho množinu řešení. Následující úprava systému rovnic bude spočívat v tom, že první dvě rovnice necháme beze změny a od třetí rovnice odečteme trojnásobek druhé rovnice - tím pádem se na druhé pozici třetího řádku objeví nula, neboli ze třetí rovnice eliminujeme proměnnou y: Dospěli jsme ke tvaru označovanému jako schodový tvar - v každém dalším řádku je více nul zleva než v tom předchozím. Nyní se opět vrátíme k významům řádků jako rovnic, tj. první sloupec odpovídá koeficientům u proměnné x, druhý sloupec koeficientům u proměnné y, třetí sloupec koeficientům u proměnné z. Nasaďme při hledání řešení něco jako „zpětný chod", tj. při výpočtu řešení začneme s posledním řádkem matice, který představuje nejjednodušší rovnici: 2z = 6, odtud z = 3. Jdeme „o patro výš", do rovnice y + z = 2 dosadíme právě vypočtené z = 3 a dostaneme y = —1. A nakonec obě dosud vypočtené proměnné dosaďme do první rovnice x+2y+3z = 9 a dostaneme x = 2. Řešení našeho systému lineárních rovnic (SLR) je jediné - x = 2, V = -1, z = 3. Příklad 12 Podívejme se na další příklad, ve kterém dojde k tomu, že možných řešení bude nekonečně mnoho. I tak se je budeme snažit matematicky popsat, tj. vypsat množinu všech možných řešení. Na množině reálných čísel řešte systém lineárních rovnic x + y + 2z — 5w 2x + 5y — z — 9w 2x + y — z + 3w x — 3y + 2z + 7w 3 -11 3 5 Použijme opět na předchozím příkladu vyloženou Gaussovu eliminaci, tj. přepišme si koeficienty i pravé strany rovnic do matice a upravme ji, jako i v předchozím příkladu, na schodový tvar: 32 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 1 2 -5 3\ 1 2 -5 3\ 2 5 -1 -9 -3 -2 • n 0 3 -5 1 -9 2 1 -1 3 -11 -2 • n ~ 0 -1 -5 13 -17 \ 1 -3 2 7 "5 J -ri -4 0 12 "8/ -1) a výměna se 2. řádkem (vyměníme druhý a třetí řádek, protože na pozici 22, tj. na průsečíku druhého řádku a druhého sloupce, bude číslo 1, pomocí něhož lépe odečteme hodnoty 3 a —4 ve druhém sloupci, které se v dalším kroku snažíme vhodným přičtením násobku druhého řádku vynulovat) 1 2 -5 /l 1 2 -5 0 1 5 -13 17 0 1 5 -13 17 0 3 -5 1 -9 —3 • r2 0 0 -20 40 -60 (-i) 20 +r3 \o -4 0 12 -8 ) +4-r2 0 20 -40 60 ) a je vidět, že přičtením třetího řádku ke čtvrtému dostaneme ve schodovém tvaru řádek samých nul: 1 2 -5 3\ 0 1 5 -13 17 0 0 1 -2 3 \o 0 0 0 Nenulových řádků ve schodovém tvaru je méně než počet neznámých, řešení našeho systému lineárních rovnic (SLR) bude nekonečně mnoho. Výsledek bude obsahovat tzv. parametr nebo parametry (= proměnné, za které můžeme dosadit libovolné reálné číslo), jejich počet je roven počet parametrů = počet neznámých MINUS počet nenul. řádků ve schodovém tvaru, 1 = 4-3, řešení v našem příkladu bude obsahovat jeden parametr p E R. Nasadíme nyní „zpětný chod" dosazování do rovnic a pro poslední řádek schodového tvaru máme rovnici z — 2w = 3. Jednu z neznámých v této rovnici, například w, položíme rovnu parametru p, tj. w = p. Druhou vyjádříme: z = 3 + 2p. Obě takto vyjádřené neznámé w, z dosadíme do rovnice „o patro výš" a dostaneme vyjádření pro y: y + 5-(3 + 2p)-13p=17 y = 2 + 3p. A konečně všechny dosud vyjádřené neznámé y, z, w dosadíme do rovnice v prvním řádku schodového tvaru a dostaneme vyjádření neznámé x: x + (2 + 3p) + 2 • (3 + 20) - 5p = 3 x = -5 - 2p. Algebra 2 (MA 0005) 33 Zbývá přehledně zapsat odpověď: daný systém lineárních rovnic (SLR) má nekonečně mnoho řešení tvaru x = —5 — 2p, y = 2 + 3p, z = 3 + 2p, w = p, kde p E R je parametr. Pokud bychom se už s předstihem pokusili o vektorový zápis, vidíme, že množinou řešení je přímka ve čtyřrozměrném prostoru 1 x\ ' -5 " < ~2\ y 2 3 z 3 + p ■ 2 \w ) 0 l 1/ pro p E R. (tato přímka prochází bodem -5 2 3 0 a má směrový vektor /"2\ 3 2 V i/ Příklad 13 V dalším našem příkladu se při zápisu řešení SLR bude vyskytovat více než jeden parametr13: Řešte v oboru reálných čísel systém lineárních rovnic Xi + 2x2 Xi + 2x2 xi + 2x2 Sxi + 6x2 + X3 — 3x4 + x5 =2, X3 — 3x4 + x5 + 2x6 = 3, — 3x4 + 2x5 + x6 = 4, 9x4 + 4x5 + 3x6 = 9. Upravme náš systém čtyř rovnic o šesti neznámých na schodový tvar a dostaneme: 2 0 -3 1 0 2\ (1 2 0 -3 1 0 2\ 1 2 1 -3 1 2 3 -ri 0 0 1 0 0 2 1 1 2 0 -3 2 1 4 -ri 0 0 0 0 1 1 2 \3 6 1 -9 4 3 9^ —3 • r\ 0 1 0 1 3 3/ (po odečtení druhého a třetího řádku najednou od řádku čtvrtého se čtvrtý řádek vynuluje) 2 0 -3 1 0 2\ 0 0 1 0 0 2 1 0 0 0 0 1 1 2 \o 0 0 0 0 0 13Velmi důležitý příklad, ze kterého je vidět, kterým proměnným hodnoty parametrů vlastně přiřazujeme. Vděčím za něj svému bývalému kolegovi doc. Marinu Kovářovi (Kovář: Maticový a tenzorový počet, skriptum VUT Brno). 34 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně Podle stejného pohledu jako v předchozím příkladě vidíme, že počet parametrů = počet neznámých MINUS počet nenul. řádků ve schodovém tvaru, 3 = 6-3, budeme tedy potřebovat tři reálné proměnné r, s, t jako parametry. Nyní při zpětném chodu si ovšem musíme dát pozor, které neznámé zvolit jako proměnné. Například když začneme poslední nenulovou rovnicí zdola %5 + ^6 = 2, nelze jako neznámý parametr volit obě tyto proměnné, ale pouze jednu (xq = t), protože druhou proměnnou x5 právě v závislosti na proměnné xq z rovnice vyjádříme: x5 = 2 — t. „O patro výše" máme rovnici x3 + 2x6 = 1, do které dosadíme vyjádření xq = t a dostaneme vyjádření proměnné x%. Vidíme, že x3 = l- 2t. A v nejvyšším patře, na prvním řádku matice, máme rovnici, do které dosadíme už vyjádřené neznámé x%, x5, xq, a protože rovnice obsahuje ještě tři další proměnné, dvě z nich položivé rovny našim připraveným parametrům r, s (věděli jsme ze schodového tvaru, že ještě dva parametry využijeme) xx + 2x2 + 0 • (1 - 2í) - 3x4 + (2 - t) + 0 • t = 2. Volíme například dostaneme x\ = t — 2r + 3s. Sestavíme přehledně odpověď našeho příkladu: x\ = t — 2r + 3s, X2 = r, x3 = 1 - 2t, X4 = s, X5 = 2 — ŕ, xq = t, kde r, s,t E R jsou parametry. Při vektorovém zápisu / Xi \ x2 x3 X4 x5 V X6 ) 0 0 1 0 2 0 V -2\ 1 0 0 o 0/ /3\ 0 0 1 o t ■ V o -2 0 -1 1/ pro r,s,t E R. vidíme, že množina řešení SLR je určena bodem a lineární kombinací tří vektorů, kterou přičítáme k danému bodu. Algebra 2 (MA 0005) 35 Příklad 14 Ne vždy existuje řešení systému lineárních rovnic: Při řešení SLR x -x -x 2y 3y dostaneme úpravou na schodový tvar: 3z - z Aw = 5, 7w = 11, 2w = -6 1 2 3 0 1 2 0 0 0 0 -2r2 12 3 4 0 12 3 0 0 0 0 Poslední rovnice schodového tvaru je tedy 0-x + 0- y + 0- z + 0- w = l, a tato rovnice, a tím ani celý SLR nemá řešení. Poznámka k časté chybě u Gaussovy eliminace. Uvedené úpravy rovnic musí mít nějaká pravidla: snažíme se o takové úpravy řádků neboli rovnic, které jsou povoleny v tom smyslu, že nemění množinu řešení daného systému. Musíme si dát pozor, abychom neprovedli takovou úpravu, ve které by se ztratila informace uchovávaná v některé z rovnic. Například následující úprava systému rovnic není povolena: -f3 Právě uvedený systém dvou úprav je nesprávný v tom smyslu, že vlastně tutéž úpravu děláme dvakrát (až na znaménko) a napíšeme ji do dvou různých řádků. To vede na nesprávný schodový tvar a nesprávný výpočet řešení 1 1 1 1 0 1 0 -1 0 -1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 -1 0 0 0 0 +r2 Nejedná se o ekvivalentní úpravu, protože jsme ztratili informace obsažené v původní třetí rovnici, která není lineárně závislá na druhé rovnici. Ke správnému řešení vede kaskáda úprav 1 1 1 2 1 1 2 0 1 -2 • n -r2 1 1 1 0 -1 -1 0-1 0 -1) -r2 1 1 1 0 1 1 0 0 1 Xi = — 1 x2 = —1 x3 = 3 36 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně nebo tzv. série úprav pomocí jednoho řádku, tzv. pivotového řádku (pivotový řádek je jediným řádkem, jehož násobky odečítáme od ostatních řádků v jednom kroku) 1 1 1\ 2 1 1 ° V2 0 1 1/ -2 • n -2 • n -2-r2 1 1 1 Xi = -1 0 1 1 2 x2 = -1 0 0 1 sy1 x3 = 3 Pozor tedy na „zacyklenou" úpravu v úvodu této poznámky, kterou není povoleno provést v jednom kroku úprav dané matice. 3.1.4 Co lze říci o řešitelnosti systému lineárních rovnic Definice 13 Hodnost matice A (typu m/n) = počet nenulových řádků ve schodovém tvaru, který vznikne z matice A elementárními řádkovými úpravami. Poznámka: 1) Definici hodnosti matice A vyslovit i jinak: hodnost matice A = dimenze vektorového prostoru generovaného jejími řádky. 2) Protože z řádků matice A lze vybrat bázi podprostoru těmito řádky generovaného (tak, že vyřadíme řádky lineárně závislé na těch bázických), v příslušném schodovém tvaru budou nebázické řádky právě řádky samých nul. Definice 14 Uvažujme obecný SLR. Pak: A = / an a12 ... aln\ «21 «22 ••• «2n \«ml «m2 ••• «mn/ se nazývá matice systému, (A\b) = ( au ai2 «21 «22 din d2r, b2 se nazývá rozšířená matice SLR. \ «ml «m2 ••• «mn | «m / Věta 4 h(A) = h(AT)... hodno st matice A je stejná jako hodnost matice transponované AT. Důkaz: Důkaz nebudeme provádět, ale věta je tak zajímavá, že je dobré ji na tomto místě zmínit. Poznámka. Věta 4 vlastně říká, že maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A (tj. dimenze podprostoru generovaného řádky) je stejné číslo, jako maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice A (tj. dimenze podprostoru generovaného sloupci), a to bez ohledu na typ matice. Např. pokud je A typu 3/7 a h(A) = 2, znamená to, že dimenze podprostoru generovaného sloupci je také 2, a při hledání báze podprostoru generovaného sloupci musíme 5 sloupců vyloučit. Algebra 2 (MA 0005) 37 Věta 5 Frobenius-Kronecker-Capelli: SLR má nějaké (alespoň jedno) řešení h(A) = h(A\b). Přitom a) Nemá žádné řešení, pokud h(A) < h(A\b), b) Má právě jedno řešení, pokud h(A) = h(A\b) = n, c) Má nekonečně mnoho řešení, pokud h(A) = h(A\b) < n. kde n je počet neznámych SLR. Důkaz: SLR má řešení [£i, £2, •••) tn] (ta n-tice je jen jedno řešení, nikoli n řešení). Pak: au •£1- f ai2 £2 + - • ~T~ ď ln ' t n = h í an^ ( Ql2^ / dln\ fh\ «21 •£1- f «22 £2 + - • + a2n ' t ji 2 «21 •£l + «22 •£2 + -.+ a2n *£n b2 "ml £H " am2 •£2 + - .. -\- Clmn ' tn ^ m \amlJ \am2/ K^mn J \bmJ tj. „sloupec béček" je lineární kombinací „sloupců áček" (je tedy na nich lineárně závislý), tj. přidáním vektoru béček ke sloupcům áček se nezmění dimenze prostoru generovaného sloupci áček. A protože h(A) = h(AT) (věta 4), je sloupcová hodnost totéž co řádková hodnost. Tedy řešení [£1, £2,tn] existuje právě tehdy, když vektor béček nemění sloupcovou-řádkovou hodnost matice A. Zbytek důkazu viz příklady 11, 12, 13, 14. □ 38 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 3.2 Cvičení 3 • Výpočet determinantu pomoci Laplaceova rozvoje. • Výpočet determinantu úpravou na schodový tvar. • Využití linearity při Laplaceově rozvoji pro pátý a vyšší řád - viz ústní otázka 04 v kapitole 13. • Vypočtěte determinant čtvercové matice, jakou metodou nebo kombinací metod považujete za vhodné. Úloha 3.1 Je dána matice 1 1 2 1 -2 \ 0 2 12 -13 13 \ 3 4 3 2 / a) Vypočítejte determinant matice A úpravami Dl až D4 na schodový tvar. b) Jaké znaménko by měl při výpočtu determinantu z definice pro matici A součin «14 ' «23 ' «31 ' «42, pokud byste použili vzorec z definice determinantu? Úloha 3.2 Vypočtěte hodnotu determinantu úpravami Dl až D4 na schodový tvar. 1-3 0-1 2 3 12 3 4 2 -1 ' 1-2 0-2 Úloha 3.3 a) Pomocí Laplaceova rozvoje 5. řádku zjednodušte výpočet determinantu řádu 5 pomocí několika determinantů řádu 4- 0 0 1 0 0 -1 0 3 1 2 1 -1 3 2 4 7 4 3 5 10 0 5 1 0 3 b) Dopočítejte část (a) Pomocí vlastnosti D3 (linearity) podobně jako v otázce 04, abyste několik determinantů řádu 4 sloučili dohromady (v každém krku proveďte jen jednu úpravu daného typu: vezměte první dva sčítané determinanty a využijte toho, že dané matice se liší pouze v jednom řádku). Úloha 3.4 a) Pomocí Laplaceova rozvoje 2.sloupce zjednodušte výpočet determinantu řádu 5 pomocí několika determinantů řádu 4- Algebra 2 (MA 0005) 39 0 0 1 0 0 -1 0 3 1 2 1 -1 3 2 4 7 4 3 5 10 0 5 1 0 3 b) Dopočítejte část (a) Pomocí vlastnosti D3 (linearity) podobně jako v otázce 4 týdne 2, abyste několik determinantů řádu 4 sloučili dohromady (v každém krku proveďte jen jednu úpravu daného typu: vezměte první dva sčítané determinanty a využijte toho, že dané matice se liší pouze v jednom řádku). Úloha 3.5 Vypočtěte hodnotu následujících determinantů, jakým způsobem se Vám líbí (nápověda v případě \B\: přičtením všech řádků matice k prvnímu řádku (D4) vznikne řádek (6, 6, 6, 6)): \A\ -1 0 1 0 1 2 1 2 1 2 1 0 \B\ = 3 111 13 11 113 1 1113 2 10 0 0 12 10 0 \C\= 0 12 10 0 0 12 1 0 0 0 1 2 40 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 4 Týden 4 4.1 Kapitola 4: Vektorový podprostor a jeho generátory, průnik a součet vektorových podprostoru 4.1.1 Definice vektorového podprostoru Zabývejme se nyní chvíli otázkou příbuznou otázce z teorie grup (viz Algebra 1): Co musí splňovat podmnožina S vektorového prostoru (V, +, •) nad tělesem (T,+, •), aby už (S, +, •) byl vektorový prostor? Dá se jednoduše uvážit, že vlastně stačí kontrolovat uzavřenost na operaci sčítání a uzavřenost na součin skalár krát vektor - a nebo ještě jednodušeji, obě podmínky lze spojit do jedné: Definice 15 Vektorový podprostor prostoru (V, +, •) nad tělesem (T, +, •) je taková podmnožina S tohoto prostoru, která je uzavřená vzhledem k operacím + (sčítání vektorů) a ■ (násobení vektorů skalárem), tj. je uzavřená na lineární kombinace vektorů z S: W,v G S,Va, /3 G T : a ■ u + /3 ■ v G S (1 + " 1") Poznámka: Zbylé vlastnosti z definice vektorového prostoru plynou automaticky z toho, že S C V. Zbývá ověřit, že S obsahuje neutrální prvek a obsahuje inverze vzhledem ke sčítání vektorů: 3. pro libovolné u G S: podle vlastnosti (1 + "1"): 0-u G S o (E S ...platí vlastnost 3; 4. pro libovolné u G S: podle vlastnosti (1 + "1"): {-l)-ů+0-ů G S —u G S ...platí vlastnost 4. Příklad 15 Podívejme se na některé příklady vektorových podprostoru v aritmetickém vektorovém prostoru V = (IR™, +, •); a) Každý vektorový prostor (V, +, •) má dva triviální podprostory, - prostor {o}...nejmenší možný podprostor, - celý prostor V je podprostorem. b) Body na přímce p procházející počátkem tvoří vektorový podprostor prostoru V = (K2,+,0, Algebra 2 (MA 0005) 41 - body na přímce q neprocházející počátkem netvoří vektorový podprostor prostom V = (R2,+, •) například proto, že neobsahují nulový vektor, resp. bod [0;0]. c) Body v rovině a procházející počátkem tvoří vektorový podprostor prostoru R3. - body v rovině a neprocházející počátkem netvoří vektorový podprostor prostoru R3, protože neobsahují nulový vektor, resp. bod [0;0;0]. 4.1.2 Průnik a součet vektorových podprostorů Věta 6 a) Průnik dvou podprostorů S±, S2 prostoru (V, +, •) je vektorovým podprostorem. Důkaz: --^coc^^'"G'5'1 ^ a-ú+P-veSx ^ fí c „ c U,V E bl f] D2 => ^ ^ n -> , n -> n=>a-U + p- VEblC]D2 u,v G b2 => a ■ u + p ■ v G b2 Příklad 16 Průnikem dvou rovin a, (3, různoběžných a procházejících počátkem, je přímka p, která leží v jejich průniku (tato přímka tedy také prochází počátkem). Tato přímka je také vektorovým podprostorem prostoru IR3. Věta 4 b) Sjednocení dvou podprostorů S±, S2 nemusí být vektorovým podprostorem. Důkaz protipříkladem: viz následující příklad. Příklad 17 sčítání vektorů většinou není na sjednocení obou přímek uzavřenou operací: Např bod 1 • [1; 2] + 1 • [3; 1] = [4; 3] 0 p U q, tedy P + Q pU q - viz obrázek: Protože sjednocení vektorových podprostorů nemusí být vektorovým podprostorem, přidáme ke sjednocení nějaké další vektory, abychom vektorový podprostor „vyrobili": 42 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně Definice 16 {v[,..., vk} je množina vektoru, ne nutně nezávislých, ve vektorovém prostoru (V, +, •). Lineární obal množiny {v[,..., vk} (značíme L(v{,Úk)) definujeme jako: L(v[,vk) := {u G V : u = ai\ ■ v[ + a2 ■ v2 + ... + ak ■ vk; «i, a2,ak G R} (L(v[,iľk) je tedy množina všech lineárních kombinací vektoru V\^...^vk). Alternativně mluvíme o vektorovém podprostoru generovaném vektory v{,vk a značíme pomocí množiny v ostrých závorkách, tj. {{v{,iľk}). Lze snadno vidět, že dva pojmy v předchozí definici jsou jedno a totéž, neboli lineární obal množiny vektorů je stejný vektorový podprostor, jako podprostor generovaný stejnou množinou vektorů: L(vi,vk) = ({v[,vk}). Definice 17 Součet podprostorů S±, S2 prostoru (V, +, •) je podprostor, který vznikne jako lineární obal jejich sjednocení. Značíme S± + S2 a definujeme: Si + S2 := L(Si U S2) = {a ■ u + /3 • v; u G Si,v G S2} Ad příklad 17. L(S± U S2) = M2...lineární obal bodů na obou přímkách je celá rovina. (Alternativní zápis: (Si U S2) = M2.) Jak souvisí pojem lineární nezávislosti vektorů s pojmem lineárního obalu či množiny generátorů, uvedeme v následující větě (část (b) je pouze zobecněním části (a) na větší počet vektorů než dva). Věta 5a) Vektory u, v jsou lineárně nezávislé <^> vektory ů,a ■ ů + (3 ■ v, jsou lineárně nezávislé (kde skalár 0^0). Důkaz: u, v jsou nezávislé <^> oba jsou nenulové a v není násobkem vektoru u: u o, v o A v k ■ -u; V/c G IR t u 7^ o, v o A a-u + 0- v^a-u + (3-k-u = (a + (3-k)-u t ů,a ■ ů + (3 ■ v jsou lineárně nezávislé vektory, protože vektor a ■ u + (3 ■ v není násobkem vektoru u. Věta 5 b) úi, u2, . .., uk jsou lineárně nezávislé <^> <^> Úi, Ú2, .. ., Uk-i, uk + «i • Úi + a2 ■ Ú2 + ... + ctfc-i • Uk-i jsou lineárně nezávislé. Důkaz: Je jen zobecněním důkazu věty 5a: ú[, Ú2, ..., uk jsou lin. nezávislé <^> Algebra 2 (MA 0005) 43 O- u[, U2, ..., Uk-i jsou nezávislé a současně o ^ Uk / h • u[ + h • U2 + ••• + h-i ' Uk-i (pro žádnou kombinaci li,4-i)- To nastane právě tehdy, když ú[, 1T2, . . ., Uk-i jsou nezávislé a současně uk+ai-ú[+a2-U2 + ...+ak-i-Uk-i / h-ui +...+lk-i-Uk-i+ai-ui+a2-U2 +■■■+^k-i-Uk-i = vektory ú[, Uk-i, Uk + ol\ ■ u\ + «2 • U2 + ••• + ctfc-i • "^fc-i jsou lin. nezávislé. Poznámka: 1) Nezávislost vektorů se nemění, podobně jako výsledek determinantu (vlastnost DA), když k jednomu vektoru přičteme lineární kombinaci vektorů ostatních. Z toho plyne i postup, jak zjišťujeme, zda posloupnost vektorů je lineárně nezávislá: vložíme vektory jako řádky do matice a tu převedeme na schodový tvar pomocí úpravy DA. Tím se nemění závislost/nezávislost těchto vektorů. Když v průběhu úprav dostaneme z řádku á/ řádek samých nul (á/ + ol\ ■ ď\ + ... + ak ' a~k = o), znamená to, že ď/ = —ol\ ■ a~[ — ... — ak ■ a7k, tj. ď/ je lineární kombinací některých jiných řádků <^> původní řádky matice byly lineárně závislé. b) Víme dokonce víc: ten řádek, ze kterého pomocí úpravy DA vyjde řádek samých nul, je lineárně závislý na ostatních řádcích, tj. když hledáme minimální množinu generátorů (=bázi) daného podprostoru, můžeme tento vektor vypustit. 4.1.3 Báze vektorového podprostoru; leží daný vektor v daném podprostoru? Podívejme se nyní na několik příkladů, které souvisí s problematikou vektorových prostorů, hledání báze těchto podprostoru, zjišťování, zda určitý vektor je prvkem daného podprostoru vektorů, apod. Příklad 18 (Zlatoš 104, př. 45a) a) Vyberte ze zadaných vektorů lineárně nezávislé vektory, které generují tentýž vektorový podprostor jako původní vektory: 44 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně Řešení: ad a) Dejme vektory do řádků matice a upravme ji na schodový tvar pomoci úpravy DA: -2 • n Třetí vektor lze vypustit, protože je závislý na prvních dvou vektorech: posloupnost j 1 ,2 3 ] je bází vektorového podprostoru L(x, y, z). ,3; ad b) L(x,y,z) = L\ [ 1 Hledejme cti, «2 : systém lineárních rovnic: '0> «2 • ( 3 | , tj. rozepsáním do souřadnic řešíme 3; Ol\ + 3a2 a2 1 3 = 1a.\ + 3oi2 a2 = — 1 Nemůže nastat, že a2 se současně rovná dvěma různým reálným číslům - systém rovnic nemá řešení, tedy 2 10 L(x, y, z). Příklad 19 (Zlatoš 119, 5.3a) Doplňte vektory g(x) = 1 + 2x + 7x2, h{x) = 1 + x na bázi prostoru všech polynomů stupně nejvýš 2 s reálnými koeficienty (nad tělesem (IR, +, •)). Řešení: Polynom stupně 2 má tři koeficienty, tj. dím(M.2[x], +, •) = 3. Zbývá doplnit bázi jedním vektorem: 9\?) , hix) ,...napr. i{x) '0' 0 I , tj. i(x) = 1. ...příslušný schodový tvar neobsahuje nulový řádek, tedy žádný vektor není závislý na těch ostatních. Jedná se o množinu tří lineárně nezávislých polynomů, která generuje celý prostor polynomů stupně rovného nebo menšího dvěma - tedy o bázi. Algebra 2 (MA 0005) 45 Příklad 20 (Zlatoš 099, př. 4-5-1) Zjistěte, zda patří vektory y = í 3\ 5 -2 V i/ , z = i i W do lineárního obalu vektoru í i \ /3\ 1 1 1 0 x~{ = -1 , ^2 = 0 -3 1 W W Řešení: A) Patří vektor y do množiny {x[, x2l X3, x\)? 1. způsob řešení: Abychom to zjistili, řešíme systém lineárních rovnic: /3\ 5 -2 v 1 y = a\ ■ 1 -1 v-iy a2 ■ 1 0 w + «3 • /3\ 1 -3 V-57 «4 • 0 1 V27 Rozepíšeme do souřadnic: 3 = «i + 3«3, 5 = «1 — «2 + «3, —2 = —cti — 3«3 + «4, 1 = —oi\ + «2 — 5ct3 + 2«4. Systém lineárních rovnic má alespoň jedno řešení, tedy y E {x[, x2l X3, x~l). 2. způsob řešení: Vektory jen položíme do řádků matice a upravujeme na schodový /3\ 5 ... pokud se ve schodovém tvaru poslední řádek tvar, na poslední řádek vektor vynuluje, znamená to, že je vektor 2 v 1 y /3\ 5 -2 v 1 y lineárně závislý na těch ostatních. 46 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně B) Patří vektor z do množiny {x[, x*2, X3, x\)? 1. způsob řešení: Abychom to zjistili, řešíme systém lineárních rovnic: í1) /1 \ 1 1 1 1 -1 + a2 ■ 0 w W + «3 • /3\ 1 -3 «4 • 0 1 Rozepíšeme do souřadnic: 1 = Ol\ + 3«3, 1 = «1 — «2 + «3, 1 = —Cti — 3«3 + «4, 1 = —Cti + «2 — 5ct3 + 2«4. Tento systém lineárních rovnic nemá řešení, tedy z 0 {x[, £2, X3, X4). 2. způsob řešení: Vektory jen položíme jako řádky matice a upravujeme na schodový ... pokud se ve schodovém tvaru poslední řádek tvar, na poslední řádek vektor 1 w NEvynuluje, znamená to, že je vektor 1 1 W lineárně NEzávislý na těch ostatních a není možné ho vyjádřit jako jejich lineární kombinaci. 4.1.4 Báze a dimenze součtu a průniku podprostorů Budeme se v dalším věnovat nalezení báze a dimenze součtu podprostorů a průniku vektorových podprostorů. Určitou orientaci v dimenzích těchto podprostorů nám poskytuje následující věta. Věta 7 (Zlatoš 111) Pokud S,T jsou konečněrozměrné podprostory (= s konečnou dimenzí) vektorového prostoru (V, +, •), tak platí: dím(S + T) = dímS + dímT — dím(S n T) Důkaz: Označme - úi, Ú2,iífc...nějaká báze prostoru S PiT, pak označme (dím(S ílT) = k), Algebra 2 (MA 0005) 47 - úi, U2,úk, ú{, Ú2,Umlfc...doplnění báze S H T na bázi S (dímS = m), - ú[, U2,úk, úfi, W2,Wn-k---doplnění báze S H T na bázi T (dímT = n). Nedá moc práce si uvědomit, že: (Úi,U2, ...,Uk,VÍ,V2, ...,Um"lfc,uľl,uľ2, ...,Wn-k) je bází (S + T), a dále: - -Uj jsou nezávislé na tľj...plyne z konstrukce báze S, - wl jsou nezávislé na tľj...plyne z konstrukce báze T, - -Uj jsou nezávislé na wl (pokud by některý vektor Vi byl lineární kombinací některých vektorů úll, ležel by v S Pl T, což je ve sporu s označením ^ ... jedná se o vektory, které totiž v průniku S ľlT neleží). Pak rovnost ve větě plyne z definice dimenze jako počtu vektorů báze daného prostoru. Důkaz je hotov. 1 1 0 2 0 3 i );^2 = <«í = 3 1 2 2 3 w w w ^2/ /1\ o -3 -1 \2/ «3 = 1 3 0 V-V Příklad 21 Jsoíí zadány vektorové podprostory: n\ m /o\ 1 1 o Z7i = (lil = 0 ,Ú2= 3 , ií3= 1 );U2 = {vÍ= 3 ,-u~2 = 1 2 W \oy Určete bázi a dimenzi prostoru: a) t/i, b) U2, c) Z7i + Z72, d) Uinu2. Řešení: můžeme řešit prakticky všechny úkoly v jednom - napišme do řádků matice po řadě vektory ú±, Ú2, Ú3, vi, V2, V3. V dalším budeme upravovat tuto matici na schodový tvar elementárními řádkovými úpravami - z toho bude zřejmé, který řádek je závislý na těch ostatních a který ne. Ui f 1 1 0 1 2^ Ui f 1 1 0 1 2\ u2 0 1 3 2 0 u2 0 1 3 2 0 u3 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 Vl 1 2 3 3 2 1 2 3 3 2 V2 1 0 -3 -1 2 -Vl v2 0 -2 -6 -4 0 v3 1 3 0 -1) v3 1 3 0 -W 48 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně V první fázi vidíme z dílčího schodového tvaru prvních tří řádků, že vektory ui, Ú2, Ú3 tvoří bázi podprostoru U\ (tedy a) dimiUi) = 3). Ještě pro jistotu upravme na dílčí schodový tvar i řádky vi, V2, V3, abychom zjistili, zda některý z nich není v množině generátorů podprostoru U2 zbytečně, když by byl závislý na těch ostatních. Ui f 1 1 0 1 2\ lil f 1 1 0 1 2\ 0 1 3 2 0 u2 0 1 3 2 0 u3 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 Vl 1 2 3 3 2 — Ui Vl 0 1 3 2 0 V2 0 0 0 -4 -2 V2 0 0 0 -4 -2 V3 1 3 0 V3 1 3 0 -1/ Z matice na levé straně posledního řádku úprav je vidět, že řádky odpovídající vi, V2, V3 také vytvářejí dílčí schodový tvar, kdybychom přehodili řádky ví a V3 (tedy ad b) dim(U2) = 3). Nebudeme to ovšem dělat, protože naším cílem je po ověření nezávislosti vi, V2, V3 pokračovat v úpravě všech šesti řádků na jeden společný schodový tvar. Ui ( 1 1 0 1 2^ Ui ( 1 1 0 1 2\ 0 1 3 2 0 0 1 3 2 0 U3 0 0 1 2 0 0 0 1 2 0 Vl 0 0 0 0 0 Vl 0 0 0 0 0 V2 0 0 0 -4 -2 -2 • V3 v2 0 0 0 0 0 V3 0 0 -2 V3 0 0 -2 -1/ Z výsledného tvaru je vidět, že dimiUi + U2) = 4. Zbývá do báze vektorového podprostoru Ui + U2 vložit vektory ui, U2, U3, V3, nebo ovšem i jinak: do báze Ui + U2 lze vložit právě i vektory, které zůstaly ve výsledném schodovém tvaru jako nenulové. d) řešíme jinak: dimenzi Ui Pl U2 lze určit pomocí a),b),c) a věty 6. Protože dimiUi) = 3, dim(U2) = 3, dimiUi + U2) = 4, tak podle věty 6 dostáváme, že dimenze Ui Pl U2 je rovna dvěma. Bázi průniku U1P1U2 hledáme následujícím způsobem: Uvažujme obecně vektor v 6 U1P1 U2- Pak je v lineární kombinací generátorů Ui a současně lineární kombinací generátorů U2: m m fi\ fl\ 1 1 0 2 0 1 0 + 012 ■ 3 + 013 ■ 1 = ßi- 3 -3 3 1 2 2 3 -1 0 w w w v) \2/ Napišme tento systém lineárních rovnic do matice, jen s tou úpravou, že vše převedeme Algebra 2 (MA 0005) 49 na levou stranu rovnic a napravo zůstanou nuly: /l 0 0 -1 -1 0 1 1 0 -2 0 -1 0 0 3 1 -3 3 -3 0 1 2 2 -3 1 0 0 V 2 0 0 -2 -2 1 / 1 0 0 -1 -1 0 o\ 0 1 0 -1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 \0 0 0 0 0 1 o) -n -n -2 ■ n / i o o o i o o o 3 1 2 2 -2-r3 \ 0 0 0 / 1 o o 0 1 o 0 0 1 0 0 0 \ o o o -1 -1 -3 -2 0 -1 1 3 2 0 0\ 0 0 o o/ -3 • r2 -2 -r2 -1 -1 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 o\ -1 0 0 0 2 0 1 í 1 0 0 -1 -1 0 o\ 0 1 0 -1 1 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 \o 0 0 0 0 0 Nyní si zjednodušené rovnice přepíšeme: oii — /3i — f32 = 0 => «i = /3i + /32 «2 - A + /32 - /33 = 0 => a2 = /3i - /32 «3 = 0 => «3 = 0 2/33 = 0^/33 = 0 Nyní si obecný vektor v z průniku přepíšeme jen pomocí první části, tj. pomocí c^: (/3i+/32 /A M i i ( i i 0 + (/3i-/32)- 3 = /3r 0 + 3 i 2 V i 2 w w W W dimenze [/i Pl ř72 = 2, báze [/i Pl ř72 je např. 2 3 3 2- /1\ o -3 -1 \2/ M i i \ 2 0 — 3 = /3r 3 i 2 y 3 W w w Jedná se vlastně o vektory iíi, v2 a mylně bychom se mohli domnívat, že řešení lze odečíst také z výsledné matice na str. 47 uprostřed. Ovšem to, že v bázi průniku XJ\ P U2 jsou zrovna vektory vi, v2, je shoda okolností zaviněná zadáním příkladu - někdo by mohl říci, že ve výsledném schodovém tvaru na str. 47 by stejně dobře mohly být nulové řádky Vi, v$ (stačilo od řádku vecv^ v předchozím kroku odečíst půlnásobek řádku v2), ovšem rozhodnutí vytvořit bázi z vektorů Vi, v$ by nebylo správné. Je potřeba provádět právě popsaný /1\ 0 -3 -1 \2/ 50 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně postup (d). Silně doporučuji: několikrát (pro různé otázky) si projděte odpovědník opakující obsah přednášek 3 a 4: https://is.muni.cz/auth/el/ped/podzim2023/MA0005/odp/pred03_04_otazky_ano_ne.qref Algebra 2 (MA 0005) 51 4.2 Cvičení 4 • Definice vektorového prostoru (jen stručně - odkážte na přednášku číslo 1). Dimenze a báze vektorového prostoru; souřadnice vektoru vzhledem k zadané bázi. • Příklady vektorových prostoru: aritmetický vektorový prostor Rn, prostor polynomů Rn[x\ stupně nejvýše n, prostor spojitých reálných funkcí. • Příklady na Gaussovu eliminaci. Motivace: vyjádřete souřadnice vektoru v v bázi určené vektory úi, Ú2, Ů3. Nebo: vyjádřete vektor v jako lineární kombinaci vektorů Úi, Ú2, Ú%. Úloha 4.1 a) Gaussovou eliminační metodou vyřešte následující systém lineárních rovnic: 2x + 3y — 5z = 1; y + 2z = 3; 4x + 2y - 12 z = -1. b) Interpretujte zadání i výsledek z části (a) geometricky. Úloha 4.2 a) Gaussovou eliminační metodou vyřešte následující systém lineárních rovnic: x + 4y + 2z = -3; 3x + 2y + 5z = 0; Wy + z = -6. b) Interpretujte zadání i výsledek z části (a) geometricky. Úloha 4.3 Je dán následující systém tří rovnic o třech neznámých: x + 2y + 3z = 0 x + y — 2z = 0 2x + 3y + z =0 a) Vyřešte systém v oboru reálných čísel, b) interpretujte zadání i výsledek za) geometricky. Úloha 4.4 Je dán následující systém tří rovnic o čtyřech neznámých: xi — 2x2 + X3 + X4 = 2 xi — 2x2 — x% + X4 = —2 xi — 2x2 + 3^3 + X4 = 6 Vyřešte systém v oboru reálných čísel pomocí Gaussovy eliminační metody. 52 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 5 Týden 5 5.1 Kapitola 5: Inverzní matice, maticová metoda a Gauss-Jordanova metoda řešení SLR, sčítání matic Protože v páté přednášce zpravidla doháníme resty z předchozí přednášky, další výklad obsahuje jen maticovou metodu řešení SLR (po Cramerovy pravidlu a Gaussově metodě třetí metodu v pořadí) a Gauss-Jordánovu metodu (vlastně čtvrtá metoda řešení SLR - pouze viz cvičení, na přednášce na ni nebude čas), a v šesté přednášce pak celé téma představení maticových operací dokončíme, a dodáme problematiku homogenních SLR. 5.1.1 Třetí metoda řešení SLR — maticová metoda Kdybychom dokázali nějak definovat násobení matic či násobení matice krát vektor, lze SLR psát v maticovém zápisu: m = n...VRAŤME SE K SITUACI ČTVERCOVÉ MATICE: f an a12 ... aln\ «21 «22 ••• «2r \anl an2 ■■■ annJ (Xi\ fb1\ x2 = \x„J [bj A x = b/ ■ A~ A-1-A x = A~ -i-b E x = A~ ■i-b x = A~ Jak víme z algebry 1, pokud by existovalo něco jako inverzní matice vzhledem k násobení, mohli bychom řešení x spočítat právě pomocí A-1. Pak by se součin matice A a matice k ní inverzní A-1 rovnal jednotkové matici E, kterou bychom díky vlastnosti jednotkového (= neutrálního prvku) mohli z výpočtu zcela vypustit. Popišme nejprve na přikladu tzv. Gaussovu-Jordánovu metodu výpočtu inverzní matice, a potom ve větách 10, 11 ukážeme, že tento postup je oprávněný a vede k cíli vždy, když A~ľ existuje. Příklad 22 Pro A = nalezněte inverzní matici A 1 tak, aby: A-A~1 = E = A~1-A = E = Algebra 2 (MA 0005) 53 Řešení: Začneme tak, že napíšeme matici A, a za ní doprava matici E, tj (A\E): 2 3 1 0 2 1 2 0 1 ° Vo 1 2 0 0 1/ Dále elementárními řádkovými úpravami upravíme tuto matici typu 3/6 na schodový tvar Gaussovou metodou: 1 2 3 1 0 0 \ 2 1 2 0 1 0 0 1 2 0 0 1 / 2 3 1 0 0 1 2 0 0 1 -3 -4 -2 1 0 -2 • n 2 3 1 0 0 1 2 0 0 1 3 • r 2 V° 0 2 -2 1 3/ 1 o 0 -3 -4 -2 1 0 y +3 • r2 ^ 0 0 2 -2 1 3 J -\ Vynásobením řádků zajistíme, aby na hlavní diagonále byly hodnoty 1. Zde by končila Gaussova metoda u systému rovnic. My ovšem pokračujeme dále (tzv. Jordánovou metodou) a " vyrábíme" nuly také nad hlavní diagonálou tak, abychom neporušili nuly pod diagonálou - budeme pokračovat tak dlouho, až na levé straně vytvoříme (pomocí ERU) jednotkovou matici. Při úpravách r2 použijeme násobek řádku r3, který neporuší hodnoty a2i = 0, a22 = 1; -2t3 2 3 1 0 0\ 0 1 2 0 0 1 Vo 0 1 -1 1 2 l 1 2 3 1 0 0 0 1 0 2 -1 -2 0 0 1 -1 i 9 3 9 -2 • r2 — 3 • r3 0 2 -1 a v pravé části schématu jsme dostali matici Lze provést zkoušku: A-A-1 = E A-1-A = E Ad příklad 20. Vyřešme metodou A-1 systém lineárních rovnic: cti a>i — a.2 — Ol\ V 3a3 «3 - 3a3 «4 = 3 = 5 = -2 -oi\ + a.2 — 5a3 + 2«4 = 1 54 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně Řešení: Prepíšme si systém maticové: /l 0 1 -1 V-1 Najdeme matici A~ľ: 0 1 3 0\ f3\ 1 0 a2 5 -3 1 a3 -2 -5 2) \a4J / • A"1 (zleva) 1 0 3 0 1 0 0 (1 0 3 0 1 0 0 1 -1 1 0 0 1 0 0 -n 0 -1 -2 0 -1 1 0 0 -1 0 -3 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 v -1 1 -5 2 0 0 0 +ri K® 1 -2 2 1 0 0 1/ Nyní vložíme čtvrtý řádek namísto druhého a druhý a třetí řádek posuneme níže. Dostaneme 0 3 0 1 0 0 o\ (1 0 3 0 1 0 0 o\ 0 1 -2 2 1 0 0 1 0 1 -2 2 1 0 0 1 0 -1 -2 0 -1 1 0 0 +r2 0 0 -4 2 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 oy 0 0 1 1 0 1 oy / 1 0 3 c 1 0 0 o\ 0 1 -2 2 1 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 4 0 - 1 4 1 "2 ^00 0 1 1 0 1 /l 0 3 0 1 0 0 o\ -3- ^3 0 0 0 1 2 0 1 -2 2 1 0 0 1 +2 - 2 • r4 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 4 2 1 4 0 0 1 0 1 2 \o 0 0 1 1 0 1 ^0 0 0 1 1 4 1 "2 1 "4 o Našli jsme inverzní matici, která má tvar A'1 = 0 1 2 V 1 2 \ 4 \ o oy Nyní zbývá vyřešit maticovou rovnici maticové metody: /_! 3 _; / 2 4 i a = A" «2 v«4y 0 1 2 V 1 o 3 4 1 2 _1 4 /6\ 5 0 -2 -1 y Uy v 1 y A jsme hotovi, maticovou metodou jsme našli řešení SLR z příkladu 20. Přitom jsme násobení matice zprava vektorem b provedli tak, že první řádek matice jsme tímto vektorem vynásobili skalárně, a napsali výsledek jako první souřadnici 6; druhý řádek Algebra 2 (MA 0005) 55 matice vynásobili vektorem b a napsali výsledek jako druhou souřadnici 0; třetí řádek matice vynásobili vektorem b a napsali výsledek jako třetí souřadnici —1; a konečně čtvrtý řádek matice vynásobili vektorem b a napsali výsledek jako čtvrtou souřadnici 0. Další podrobnosti k násobení matic si řekneme příští týden. 5.1.2 Čtvrtá metoda řešení SLR — Gaussova-Jordánova Namísto abychom Gauss-Jordánovou metodou hledali inverzní matici (v právě předvedené 3. metodě řešení SLR), lze touto metodou vlastně vyřešit i původní systém rovnic; bývá někde proto prezentována jako samostatná metoda, tzv. metoda Gaussova-Jordánova: Ad příklad 20: První část algoritmu je zcela stejná jako Gaussova eliminace: 1 0 3 0 3\ ( 1 0 3 0 3\ 1 -i 1 0 5 -ri 0 -1 -2 0 2 -1 0 -3 1 -2 +ri 0 0 0 1 1 v -1 i -5 2 \0 1 -2 2 4/ Nyní vložíme čtvrtý řádek namísto druhého a druhý a třetí řádek posuneme níže. Dostaneme 0 3 0 (1 0 3 0 ( 1 0 3 0 3\ 0 1 -2 2 4 0 1 -2 2 4 0 1 -2 2 4 0 -1 -2 0 2 0 0 -4 2 6 ■(-D ~ 0 0 1 1 2 3 2 \o 0 0 1 \0 0 0 1 \0 0 0 1 i/ V této chvíli bychom u Gaussovy metody nasadili tzv. zpětný chod a dopočítávali neznámé z rovnic - namísto toho budeme pokračovat metodou Jordánovou a rovnice ještě více zjednodušujeme, abychom v matici výsledného tvaru úprav dostali nuly i nad hlavní diagonálou: 0 3 0 3\ -3 • r3 (1 0 0 0 6\ 0 1 -2 2 4 +2 • r3 - 2 • r4 0 1 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 -1 \o 0 0 1 \0 0 0 1 1/ Tedy namísto 3. metody a násobení vektoru pravých stran inverzní maticí ve 4. metodě, Gauss-Jordánově, nepočítáme inverzní matici, ale řešíme celý původní SLR včetně pravých stran stejným souborem úprav jako při výpočtu matice inverzní - až dostaneme tvar a\ = 6, a2 = 0, a3 = — 1, «4 = 1, kde každá rovnice tohoto tvaru je vlastně už přímo zápisem řešení. Poznámka. Gauss-Jordánovou metodou (4. metodou) se nemá říci, že metoda inverzní matice (3. metoda) není k ničemu - jen že pro řešení SLR pomocí úprav matice 56 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně na jednotkovou je rychlejší metoda Gauss-Jordánova (4. metoda) než metoda inverzní matice (3. metoda). Na druhé straně, inverzní matice A-1, pokud existuje, je z algebraického hlediska už zajímavá sama o sobě. Metoda inverzní matice je také dobrá pro počítač - tomu nevadí, že musí provést více úprav než při metodě Gauss-Jordánově. V dalším ovšem budeme inverzní matici potřebovat ještě z dalších důvodů - jedním z nich je ten, že pokud matice A představuje lineární zobrazení mezi vektorovými prostory (viz kapitola 7), tak zobrazení k němu inverzní (pokud existuje) lze vyjádřit maticí A-1, kterou studenti musí být schopni najít. 5.1.3 Operace sčítání matic Definice 18 Necht jsou A, B matice typu m/n stejného typu. Pak součet matic A + B definujeme jako matici, která vznikne sčítáním po složkách: ( Qu Ö12 • ■ aln\ Au bi2 ■ ■ bln\ í au - a\2 - Vb12 A+B = Ö22 • ■ Q-2n + &21 b22 ■ ■ b2n Ö21 - Vb2i 0-22 - \- b22 am2 ■ \bml bm2 ■ bjnn J - bml am2 - - bm2 air, a2r, Jaké vlastnosti bychom mohli u takto definovaného sčítání matic očekávat? Věta 8 (Mmxn, +) je komutativní grupa. Důkaz: (1) Uzavřenost operace: výsledkem součtu je opět matice stejného typu m/n, (2) Asociativita: (A + B) + C = A + (B + C)...plyne z asociativity sčítání reálných čísel, (3) Neutrální prvek vzhledem ke sčítání je matice samých nul typu m/n, í-au -a12 ... -aln\ (4) Inverzní k A vzhledem ke sčítání je matice —A = 0,21 0,22 "' a2n . Této \ «ml «m2 ••• arnn J matici budeme říkat matice opačná, aby slovo „inverzní matice" mohlo být rezervováno pro inverzi vzhledem k operaci násobení matic. (5) Komutativita plyne z komutativity sčítání reálných čísel. Na operaci násobení matic a její vlastnosti se podíváme asi až příští týden. bin \ b2n Algebra 2 (MA 0005) 57 5.2 Cvičení 5 • Vektorový podprostor, součet a průnik vektorových podprostorů, vzájemná poloha vektorových podprostorů (úloha určení dimenze a báze součtu a průniku podprostorů). Úloha 5.1 Určete, zda W je vektorový podprostor aritmetického vektorového prostom fž3: rovina W je zadaná rovnici 2x + y - 3z + 6 = 0. Úloha 5.2 Určete, zda W je vektorový podprostor aritmetického vektorového prostoru iž3: rovina W je zadaná rovnici 2x + y — z = 0. Úloha 5.3 Ve vektorovém prostoru M. je podprostor W zadán následující množinou generátoru. Určete dimenzi a bázi aw podprostorů W. Ui Úloha 5.4 Jsou dány vektory u í2) 1 l 2 1 0 2 w W W t 1\ f-2 ktorý 31 i Rozhodněte, zda generují vektorový prostor IR3. Své rozhodnutí zdůvodněte výpočtem. Úloha 5.5 Ve vektorovém prostoru IR3 jsou zadány vektorové prostory U = L(ií 1,1*2) a V = L(vi,V2), přičemž Určete dimenzi a bázi a) součtu U + V a b) průniku U Pl V. Úloha 5.6 Ve vektorovém prostoru IR3 jsou zadány vektorové prostory U = L(ůi,Ů2) a V = L(vi,V2), přičemž vi V2 Určete dimenzi a bázi a) součtu U + V a b) průniku U H V. 58 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 6 Týden 6 6.1 Kapitola 6: násobení matic, SLR nehomogenní a homogenní, princip superpozice Minulý týden jsme se začali zaobírat vlastnostmi operace sčítání matic z algebraického hlediska (věta 8). Pokračujme dále definicí a vlastnostmi operace násobení matic - toto násobení jsme sice už využili v maticové metodě v minulé přednášce, ale tam jsme násobili jen v jednom speciálním případě, a sice násobili jsme matici vektorem. Nyní se podíváme na vlastnosti násobení dvou matic obecně. 6.1.1 Operace násobení matic Definice 19 Nechť A je matice typu m/k a B je matice typu k/n. Pak lze definovat součin matic C = A - B jako matici typu m/n, kterou získáme pomocí vzorce: c-ij — (í%i ' % — ď%\ ' bij + a%2 ■ bij + ... + (Zjfc • bkj i=i (an au aik\ «21 «22 ... aik (bu bu bn bii bij bij bln\ bin &il ai2 a-ik \hi bk2 bkj bknj \ami ami CLjnk j au bu + ai2 • hi + ••• + dik ' Ófcl au bl„ + du ■ bin + ... + dik ■ bkn au bu + Q22 • bu + ••• + dik ■ Ófcl d21 bin + d22 ■ bin + ... + dik ■ bkn \dmi ' bn + dmi ■ bu + ••• + dmk -ófci ... dmi ■ bin + am2 ■ b2n + ... + amk ■ bknJ Poznámka: Pokud trochu předběhneme pojem skalárního součinu, na pozici (i, j) výsledné matice se vyskytuje skalární součin ž-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B, jak jej známe možná z analytické geometrie SS: cij — {aii, dl2,alk) J2j = au ■ bij + al2 ■ b 2j dik ' bkj \bkj (Složky obou vektorů na odpovídajících pozicích vynásobíme, všechny tyto součiny sečteme). Z toho také plyne, že násobení matic lze provést jen tehdy, když počet sloupců matice první je roven počtu řádků matice druhé v daném pořadí (skalární součin aritmetických vektorů o různém počtu souřadnic totiž nemá smysl). Algebra 2 (MA 0005) 59 12-10 Příklad 23 Pro matice A = \ 0 1 —1 —7 ) typu 3/4, B = -8 0 0 -5, součinem C = A ■ B matice typu 3/2, kde: í3 2\ -4 1 1 0 V-2 "3/ typu 4/2 je 1 • 3 + 2 • (-4) + (-1) • 1 + 0 • (-2) 1 • 2 + 2 • 1 + (-1) • 0 + 0 • (-3) C = ( 0 • 3 + 1 • (-4) + (-1) • 1 + (-7) • (-2) 0 • 2 + 1 • 1 + (-1) • 0 + (-7) • (-3) | = -8 • 3 + 0 • (-4) + 0 • 1 + (-5) • (-2) -8-2 + 0-1 + 0- 0+ (-5) • (-3) ;i;2;-l;0) (0;l;-l;-7) -8;0;0;-5) V /3\ -4 1 V-27 /3\ -4 1 V-27 /3\ -4 1 V-27 ;i;2;-l;0) (0;l;-l;-7) (-8;0;0;-5) /2\ \ 1 0 V-37 /2\ 1 0 V-37 /2\ 1 0 V-37 7 Při násobení matic tedy podstatně záleží na jejich pořadí - počet sloupců první matice musí být stejný jako počet řádků druhé matice. Věta 9 Množina (Mnxn, +, ■) čtvercových matic řádu n je nekomutativní okruh, který obsahuje netriviální dělitele nuly. Důkaz: Už jsme dokázali ve větě 8, že (Mnn, +) je komutativní grupa, zbývá tedy dokázat (ukázat) vlastnosti, které se týkají operace násobení, a pak vlastnosti týkající se souhry obou operací (viz definice okruhu z Algebry 1): (1) Vynásobením dvou čtvercových matic řádu n vznikne čtvercová matice řádu n...to plyne z definice násobení matic, (2) Násobení matic je asociativní: A ■ (B ■ C) = (A ■ B) ■ C .důkaz rozepsáním součinu na každé pozici matic na obou stranách rovnosti, (3) Vzhledem k násobení čtvercových matic 3 neutrální prvek, tzv. jednotková matice: (l 0 0 . . 0\ 0 1 0 . . 0 E = 0 0 1 . . 0 0 0 . • 1/ ...jedničky má pouze na hlavní diagonále, jinak jsou všude nuly, 60 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně (4a) Inverzní matice A 1 k matici A - existuje jen někdy Například pro n = 3 k matici A 2 3\ C = 0 1 —2 neexistuje inverze C 1 vzhledem k násobení, protože při násobení \0 0 0 / C libovolnou maticí X stejného řádu dostaneme /l 2 3\ C-X= 0 1 -2 X = \0 0 0 / \0 0 0, tj. díky třetímu nulovému řádku matice C bude vždy nulový i třetí řádek matice C ■ X, a tedy výsledkem součinu C ■ X nikdy nemůže být jednotková matice. (4b) Množina obsahuje tzv. netriviální dělitele nuly, tj. nenulové matice, jejichž součinem je nulová matice - například pro n = 3: 0 1 -2\ /O 0 0N 0-1 2=000 0 0 0 / \0 0 0, ...matice A, B jsou netriviální dělitelé nuly (nula = neutrální prvek vzhledem ke sčítání, nikoli k násobení - viz Algebra 1!!!). (5) Násobení matic není obecně komutativní - buď v opačné pořadí matice vůbec nelze násobit, nebo u čtvercových matic dostáváme často různé výsledky. Vezmeme-li například uvedené dělitele nuly pro n = 3 (tj. A ■ B = O) a vynásobíme je v opačném pořadí, dostaneme: '0 1 -2\ /ll 5 \ / 1 1 -7N B-A= |0 -1 2 ■ 1 1 -7 = -1 -1 7 ^0 0 0 / \0 0 0 / \0 0 0 tj. A ■ B B ■ A. Co se týká operace násobení čtercových matic, (Mnxn, •) je tedy nekomutativní monoid, protože (ještě bude na příkladech potvrzeno) inverze vzhledem k násobení existují jenom někdy. (6) A zbývá ověřit vzájemnou souhru operací, tj. distributivní pravidla: A-(B + C) = A-B + A-C {B + C)-A = B-A + C-A ...lze dokázat rozepsáním výsledku pozice i, j v matici vzniklé na obou stranách rovnosti. Tedy celkem, podtrženo a sečteno, (Mnxn, +, •) je nekomutativní okruh (který není oborem integrity jednak díky nekomutativitě operace násobení, jednak díky existenci nenulových dělitelů nuly). Důkaz je hotov. □ Algebra 2 (MA 0005) 61 Definice 20 Čtvercová matice A řádu n je: a) singulární, jestliže k ní NEexistuje inverzní matice A-1 vezhledem k operaci násobení matic, b) regulární, jestliže k ní existuje inverzní matice A-1 vzhledem k operaci násobení ma- tic. Řešit SLR maticovou metodou lze jen tehdy, když A je čtvercová (m = n) a regulárni (h(A) = n), tedy existuje pro ni inverzní matice A-1 vzhledem k násobení. Poznámka. Bylo by asi škoda nezmínit, jak souvisí pojem regulární čtvercové matice s pojmy už použitými. Pojem regulární čtvercové matice lze pomocí nich definovat čtyřmi způsoby: Čtvercová matice A řádu n je: a) singulární právě tehdy, když, jestliže k ní NEExistuje inverzní matice A-1 vzhledem k operaci násobení matic; to nastane právě tehdy, když h(A) < n (tedy když některý řádek matice A je lineárně závislý na řádcích ostatních); to nastane právě tehdy, když \A\ = 0; to nastane právě tehdy, když pro jakýkoli reálný vektor b neznámých x í xi\ x2 b2 \bnJ a vektor nemá systém rovnic A ■ x = b žádné řešení nebo jich má nekonečně mnoho. b) regulární, jestliže k ní Existuje inverzní matice A 1 vzhledem k operaci násobení matic; to nastane právě tehdy, když h(A) = n (tedy když řádky čtvercové matice A tvoří lineárně nezávislou množinu vektorů); to nastane právě tehdy, když \A\ ^ 0; 62 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně to nastane právě tehdy, když pro jakýkoli reálný vektor b neznámých x í xi\ x2 \x„J b2 \bnJ a vektor má systém rovnic A ■ x = b jediné řešení. 6.1.2 Řádkové úpravy lze realizovat pomocí vynásobení maticí Věta 10 Každou EŘÚ matice A (přičtení násobku jiného řádku, vynásobení řádku nenulovým číslem, výměna dvou řádků) lze reprezentovat obnásobením matice A jistou regulární maticí zleva. Důkaz: Ukážeme na příkladu, ve kterém použijeme všechny typy elementárních řádkových úprav: Ad příklad 22: 1 2 3N A = I 2 1 2 ,0 1 2, -2 ■ r\ ... úprava P\ Algebra 2 (MA 0005) 63 1 0 0 -2 1 0 -3 —4 ... úprava P2 = výměna r2,r% -3 • r2 ... úprava P3 ■\ ... úprava P4 -2 • r3 ... úprava P5 -2 • r2 — 3 • r% ... úprava Pg Provedli jsme celkem výpočet P6 • P5 ■ P4 • P3 • P2 ■ Pľ ■ A = E%. Každý z typů ERU jsme realizovali vynásobením jistou maticí Pt. Všimněte si také, že všechny matice Pt jsou regulární, tj. jejich hodnost je maximální možná (nebo alternativně: žádný jejich řádek není lineární kombinací těch ostatních). □ Věta 11 Gaussova-Jordánova metoda: {A\E) ~ EŘÚ~ (E\A~ľ) najde vždy inverzní matici A~x, pokud A-1 existuje. Důkaz: Ad důkaz věty 10 na příkladu 22: Jak je možné, že pomocí ERU matice A lze spočítat A-1, když tytéž EŘÚ použijeme na matici E%! To plyne z faktu, že ERU představují vynásobení maticemi, při kterém dostaneme (Pq ■ P5 • p4 ■ P3 • P2 ■ Pi) ■ A = E% podle vlastnosti pro inverzní prvky v každé grupě: pokud součin dvou matic je roven neutrálnímu prvku, pak tyto matice jsou si navzájem inverzní. Tedy matice (Pq ■ P5 • p4 ■ P3 • P2 ■ Pi) je inverzí vzhledem k násobení k matici A. A navíc lze psát: P% ■ P5 ■ P4 ■ P3 ■ P2 ■ Pr — P& ■ P5 ■ P4 ■ P3 ■ P2 ■ Pi ■ E3 64 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně kde E% je jednotková matice - neutrální prvek vzhledem k operaci násobení. Součin na pravé straně rovnosti znamená, že na jednotkovou matici £3 (kterou při Jordánově metodě píšeme za svislou čáru vpravo od matice A) použijeme stejné ERU, kterými jsme převáděli A na E3. (K celému důkazu věty 11 bychom potřebovali dokázat i vztah: A • Qi • Q2 ■ Q3 ■ Q4 ■ Q5 ■ Qe = E kde Qi ' Q2 ' Q3 ' Q a ' Q5 ' Q(> = A 1, protože násobení je obecně nekomutativní. Vynásobení matice A regulární maticí Ql zprava představuje sloupcové úpravy matice A - a matici A-1 bychom získali tak, že bychom vytvořili matici typu 6/3, (^) (jednotkovou matici bychom napsali pod matici A), a prováděli Gaussovu eliminaci pro sloupce, nikoli pro řádky. Tento odstavec není povinnou částí důkazu, doplňuje pouze celkový obraz: řádkové úpravy matic lze reprezentovat vynásobením jistou regulární maticí zleva, sloupcové úpravy matic lze reprezentovat vynásobením regulární maticí zprava.) □ Poznámka: Také je z postupu pro výpočet A-1 při úpravách schématu (A\E) jasné, proč tato inverze existuje jen někdy: pokud ve schodovém tvaru vzniklém z matice A pomocí ERU je některý řádek v levé části schématu nulový (některý prvek na hlavní diagonále schodového tvaru je roven nule), tj. to znamená, že aspoň jeden řádek matice A je závislý na těch ostatních, tak potom žádnými ERU nelze regulérně „vyrobit" z tohoto řádku řádek nezávislý na těch ostatních, protože ERU zachovávají závislost/nezávislost řádků matice A. Tedy v takovém případě pomocí ERU nelze převést A na jednotkovou matici, ve které jsou všechny řádky lineárně nezávislé (v takovém případě A-1 neexistuje - říkáme, že matice A je singulární.) 6.1.3 Řešení a řešitelnost homogenního systému lineárních rovnic Zabývejme se nyní ještě chviličku tzv. homogenním SLR, protože ten má zajímavé vlastnosti z hlediska pojmu vektorový prostor: au ■ xi + aí2 ■ x2 + ... + ain ■ xn = 0 a21 ■ xi + a22 ■ x2 + ... + a2n ■ xn = 0 aml ' xl + am2 ' x2 + ••• + amn ' xn = 0 Za prvé, podíváme-li se na charakter systému, vidíme, že n-tice [0;0;...;0] je vždy řešením SLR-hom., po dosazení je 0 na pravé i levé straně rovnic. Tedy nemůže nastat situace, že by homogenní SLR neměl žádné řešení!!! Existují tedy zde dva rozdíly oproti nehomogennímu systému: 1) SLR-hom má řešení vždy, čili nemůže nastat situace, kdy řešení neexistuje; 2) jestliže SLR-hom má řešení jediné, tak je to právě řešení nulové (protože o tom víme, že je řešením SLR-hom vždy). Algebra 2 (MA 0005) 65 Věta 12 Množina řešení SLR-hom. tvoří vektorový prostor dimenze n — h(A), kde n je počet neznámých a h(A) hodnost příslušné matice systému. Důkaz: Proveď na přednášce, učiteli! Důkaz se děje nejlépe pomocí násobení matice vektorem zprava. □ Příklad 24 Najděte všechna řešení SLR-hom: 1 x\ + 2x2 — -x5 = 0 0 1 x;i + -x5 = 0 X4 — 2x5 = 0 Řešení: Matice systému už je ve schodovém tvaru, tj. jen sestavíme množinu řešení. Protože h(A) < 5 = n, víme, že řešení bude nekonečně mnoho. Dále víme, že počet parametrů, za které lze dosadit jakékoli reálné číslo, je n — h(A) = 5 —3 = 2...dvě neznámé označíme jako parametry, například: x5 = t X4...nemůžeme volit jako parametr, protože ze třetí rovnice vyjádříme v závislosti na x5: X4 = 2x5 = 2t X3...nemůžeme volit jako parametr, protože ze druhé rovnice vyjádříme v závislosti na x5: x2 = s xi vyjádříme z první rovnice: Celkem množina řešení: _ 1 _ 1 .í 2, 5 2 xi = — 2xo H—,xr. = —2s H—t í-2s + \t\ K = 2 2t ;s,relR> = x + y + z — w = 1 x + y + 2z + 3il = 0 (SLR — hom) : x — 2y + z + w = 0 ?>x + y + z — w = 0 Řešení: Nejprve SLR - zapišme systém do matice a řešme Gaussovou eliminací: 1 1 3 1 2 -2 1 1 1 -3 • r\ 1 1 2 3 13 0 -3 -1 -2 -5 0 -2 -5 -10 -38 •2 -3) Algebra 2 (MA 0005) 67 112 3 0 -6 -2 -4 0 6 15 30 -T2 1 1 2 3 13 0 3 1 2 5 0 0 13 26 104 13 Počet parametrů: n — h(A) = 4 — 3 = 1. Zpětný chod: X4 = ŕ...parametr x3 = 8 - 2í x2 = i • (5 - x3 - 2x4) = i • (5 - 8 + 2í - 2í) = -1 x x = 13 - x2 - 2x3 - 3x4 = 13 + 1 - 16 + 4í - 3í = -2 + í Obecné řešení SLR-nehom : K = (partikulární řešení SLR-nehom bychom dostali z obecného řešení SLR=nehom volbou parametru í. Například pro í = 5 dostaneme jedno partikulární řešení SLR-nehom jako: í-a -1 8 V o y + 5- /1\ 0 -2 v 1 y /3\ -1 -2 V 5 y Řešení příslušného SLR-hom: úpravy jsou stejné, jen sloupec pravých stran jsou nuly: 1 2 -2 1 1 1 Počet parametrů: n — h(A) = 4 — 3 = 1. Zpětný chod: X4 = í...parametr x3 = -2í 13 5 8 x2 = -x3 2x4) = i • (2í - 2í) = 0 xi = —x2 — 2x3 — 3x4 = 4í — 3í = í 68 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně Obecné řešení SLR-hom: Kh = V je takové zobrazení, pro které platí vlastnosti: a) Vu, v E V : ipiu + v) = tp(u) + ip(v).. .podmínky zachování grupové operace, b) Vu E V, a E T : ip(a - Ú) = a - ipiu).. .podmínka zachování výsledku součinu (skalár krát vektor).14 Obě podmínky lze současně vyjádřit v jedné: slovně - Obrazem lineární kombinace je lineární kombinace obrazů dílčích vektorů; rovnicově algebraickým zápisem V-u, v E V, a, [3 E T : ip(a ■ ů + (3 ■ v) = a ■ (p(u) + (3 ■ (p(v). Poznámka: Zadání lineárního zobrazení - bude vysvětleno na příkladě (Horák, str. 85). Budeme označovat dímV = n, báze V = (ě[, e^,e^) a dimV = m, báze V = (/i, f2-, f m)- Vzhledem k těmto zvoleným bázím lze lineární zobrazení zadat třemi způsoby: a) Pomocí předpisu mezi souřadnicemi v E V a (p(v) E V, b) Pomocí matice A typu m/n : (p(v) = A ■ v...jedná se o další využití pojmu matice, c) Pomocí obrazů y?(éi), <£>(e~2),y?(e^) bázových vektorů. íľ\ í°\ í°\ Příklad 27 Uvažujme V = R3 s bází ě[ = 0 , e2 = \l\,e3= 0 a V = R2 s bází /i = Q , f2 = (^j . Lineární zobrazení (p : V —> V lze zadat: 14Jestliže studenti napíší ip-(ů) nebo a-ip-(u), nezískají žádné body, protože se zde odehrává nepochopení označení zobrazení - totiž ip je zobrazení, tedy tp(u) je nutné a ip ■ (u) nemožné. Psát znaménko násobení mezi ip a závorku „teleportu" tohoto zobrazení ukazuje na nepochopení významu funkce a zobrazení. Lákavé sice je napsat za p znaménko násobení, protože za a je píšeme - ale pozor, a je číslo, kdežto p je zobrazení!!! 72 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně ad a) Vzorcem = předpisem: (S ľ') ŕ 2V1 + V* \ p(v) = p \v2 = ad b) Maticí A zobrazení p v zadaných bázích: ^ a - í2 0 M (Vl\ p(v) = A-v=\^1 _x _XJ • I v2J (Matici A vytvoříme na základě koeficientu u souřadnic vt ze vzorce (a), naopak ze zadané matice A lze snadno vytvořit vzorec (a) pro p doplněním neznámých, tj. roznásobením součinu A - v). Rozměr matice A si lze pamatovat či zkontrolovat také z faktu, že: piv) = A ■ v ...maticové násobení (v tomto případě násobení matice krát vektor) musí být proveditelné! Právě zde je důležité si pamatovat, že vektor v musí být zadáván jako sloupcový vektor!!!! ad c) Pomocí obrazů p(e~Í), p(é2), ip{ě^) báze e~[, e~2, 63 prostoru V: například z maticového zadání (b) lze psát: V(éí) ^(63) Vidíme, že sloupce matice A jsou vytvořeny obrazy naší základní báze v přirozeném pořadí bázických vektorů a sloupců. Tedy jestliže máme celé lineární zobrazení zadáno pomocí obrazů základní báze můžeme uspořádáním těchto obrazů do sloupců jednoduše vytvořit matici A. Algebra 2 (MA 0005) 73 ad d) Co se týká významu zobrazení našeho příkladu: Lineární zobrazení obecně zobrazuje lineární útvar na lineární útvar, tj. vektorový podprostor na vektorový podpro-stor. V našem příkladu (viz kterýkoli způsob zadání výše) jsme zobrazovali R3 na R2, tedy vektorový prostor dimenze tři (trojrozměrný prostor) na vektorový prostor dimenze dva (na rovinu). Kdyby se všechny tři bázické vektory ve způsobu zadání (c) zobrazily na stejný vektor (například ^ ), celý prostor R3 by se takto definovaným zobrazením zobrazil na přímku procházející počátkem, jejíž směrový vektor je ; matice tohoto zobrazení by měla tvar ^ ^ ^ . A konečně, kdyby se všechny bázické vektory ve způsobu zadání (c) zobrazily na nulový vektor (^j > ce^V prostor R3 by se takto definovaným zobrazením zobrazil na nejmenší možný podprostor s dimenzí nula, tj. na jednoprvkový podprostor obsahující pouze nulový vektor; matice tohoto zobrazení by měla tvar .0 0 0 Příklad 28 (Horák, str. 85) a) Zobrazení ifj : IR3 —> M2 definované jako: 2Vl + 1 v1-v2- v3 *\ - ľ není lineární, protože např. pro u=\l\,v= \ 0 ,o/ V-i, 5 ip{2u + 3v) = 2 »-*w+3.w = a.(1aVj„)+3.(1a:10^) = g Tedy neplatí rovnost, kterou má lineární zobrazení splňovat: g1) = ^{2u + M)^2- i>{u) + 3 • = (g5 (mírným zkoumáním vzorce zobrazení bychom zjistili, že problematické je přičítání jedničky v první souřadnici - díky tomu se poruší podmínka linearity). b) Zobrazení 5 : IR3 —> M2 definované jako: VX-V2 v1-v2- v3 74 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 1 1 \,v = ° Vo 1 1 -1/ ö(2u + 3v) = S\ 2 j =(16° 5 2 -3, 2' W + 3 ■ = 2 ■ {Í-Y-o) + 3 ■ (i - o°+1) = (e) (^e vzorci je problematickým součin v\ ■ v2 v první souřadnici obrazu). Poznámka: 1, Z příkladu 28 plyne poučení, že ve vzorci lineárního zobrazení se nemůže vyskytovat ani samostatně přičítaná konstanta, ani nelinearita typu v\ ■ v2 nebo v\ apod. Ve vzorci lineárního zobrazení se tedy mohou vyskytovat právě jen lineární kombinace souřadnic zobrazovaného vektoru v, tj. lineární zobrazení jsou právě ta zobrazení, která lze vyjádřit vynásobením matice čísel a vektoru neznámých. 2, Všimněme si vztahu mezi rozměry matice A im/n) a dimenzemi obou prostorů m = dim(V'),n = dimiV): Matice A definující celé zobrazení je typu m/n, ale m je dimenze prostoru obrazů V, kdežto n je dimenze prostoru vzorů V. 7.1.2 Příklady lineárních zobrazení R2 —> R2 Věnujme se nyní několika příkladům lineárních zobrazení IR2 —> M2, tj. lineárním zobrazením roviny do roviny: Příklad 29 a) Hezké zobrazení je identita, která nedělá nic: vektor v se zobrazí na sebe sama. Maticí tohoto zobrazení je: Např. pro vzor v = je obrazem vektor A ■ v = ^ ^lj ' i^i) = i^i) b) Lineárním zobrazením je i projekce vektoru v na osu x. Maticí zobrazení je: Např. pro vzor v = je obrazem vektor B ■ v = ^ ^ • = ) ...vektor ve směru osy x. Algebra 2 (MA 0005) 75 c) A podobně projekce vektoru na osu y má matici '0 O C = Např. pro v = C-v = O O O 1 ...vektor ve směru osy y. y3 J V° V V3/ V3/ Příklad 30 O něco náročnější je lineární zobrazení, které představuje otočení roviny o úhel ipo se středem otáčení v počátku. Odvodíme matici tohoto lin. zobrazení: a) Najděte matici otáčení roviny o úhel |. Řešení: Vektoru y J Je přiřazen vektor ( ^ \ - viz obrázek: 1 Máme tedy vzorec (f yj = y ^j,do něhož můžeme dosadit například konkrétní bázické vektory a dostaneme ip = , pak ip = ^ ^^J . Odtud matice hledaného zobrazení je sestavena z daných obrazů vektorů základní báze napsaných jako sloupce: x\ (O —1\ /x * \yj ■ \1 O ) \y b) Najděte matici otáčení roviny ú úhel a Řešení: Vytvořme zobrazení pomocí obrazů vektorů báze Í^J a 76 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně Vektor í _ | se zobrazí na vektor (cosa V U / V sin a .s Vektor se zobrazí15 na vektor ^ ^g^l ■ Když tyto dva obrazy napíšeme jako loupce matice, získáme maticové vyjádření našeho otočení o úhel a: vi\ (cosa — sinaA (v-\ (p ■ v2 i isina cosa i \v2 tomto pootočení se vektor v = ( \ J zobrazí na vektor: 1 2 2 VŠ 1 2 2 viv) = I ^3 x2 I • í 2 j = K j (vú obrázek na násl. strane). 15Údaj —siná odečítaný na vodorovné ose není chybný - nejedná se o klasické odečítání hodnoty funkce sinus, které bychom v jednotkové kružnici dělali na svislé ose, ale o nanesení stejné vzdálenosti z předchozího obrázku na osu x v záporné části osy, tj. se záporným znaménkem. Algebra 2 (MA 0005) 77 i 2 1 g 2 A i r - . Příklad 31 Podívejme se na osovou souměrnost vzhledem k např. k ose x: í vektor u\ = vektor u2 = vektor f (112) = J j se zobrazí na sebe sama, protože leží na ose souměrnosti: f{ui) = i J ., se „překlopí" vzhledem k ose x a zobrazí se osovou souměrností na ť 2/ Najděme nyní matici tohoto zobrazení. Řešení: Pro vzor a obraz vybraných vektorů tedy platí: X>^0); (-2W2. Pomocí zadání obrazů báze jsme schopni najít matici zobrazení - pokud oba ze vzorů nejsou jednotkové vektory ve standardní bázi, jako tomu bylo dosud, musíme navíc vyřešit dvě maticové rovnice: a b\ íl c dl' [o => a = 1, c = 0 Dvě z neznámých máme už určeny: proto do následující maticové rovnice můžeme už hodnoty a = 1, c = 0 dosadit a určit zbylé dvě konstanty b, d: 1 b 0 d 1 78 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 1 - 26 = 1 0-2d = 2 ^6 = O, d = -1 a osová souměrnost je dána vztahem '(::) == (J-0.) ■ C:) ■ 7.1.3 Vlastnosti lineárního zobrazení, jádro a obor hodnot lineárního zobrazení Věta 14 Základní vlastnosti lineárního zobrazení mezi vektorovými prostory (označení viz definice 22): a) (p(ov) = Oy,, b) {uk-i) (p(uk) je závislý na vektorech (p(úi), (p(u2),(p(ukLi). Při studiu lineárního zobrazení jsou důležité pojmy jádro a obor lineárního zobrazení: Algebra 2 (MA 0005) 79 Definice 23 Nechť (p : V —> V je lineárni zobrazení mezi vektorovými prostory. Jádro Kerip lineárního zobrazení je množina těch vektoru z V, které se zobrazí na nulový vektor: Kerip := {v E V : (p(v) = oy/}. Obor hodnot Imip lineárního zobrazení je množina těch vektoru z V, pro které existuje nějaký vzor: Kerip a Imip celkem hodně vypovídají o každém lineárním zobrazení ip. Často bude užitečné Kerip a Imip najít. V první fázi se uvědomme, že se jedná o vektorové podpro-story! Věta 15 a) Kerip je vektorový podprostor prostoru V, b) Imip je vektorový podprostor prostoru V, c) dím(Kerip) = n — h(A) = dimiV) — h(A), kde A je matice lineárního zobrazení ip, d) dím(Imip) = h(A). tedy n = dimiV) = dím(Kerip) + dím(Imip). Důkaz je konstruktivní, tj. bude během něj vysvětlena konstrukce Kerip i konstrukce (nalezení) Imip. Vysvětleme jej přímo na příkladu. Ad př. 27: a) Ker(ip) je množina těch vektorů v, které se zobrazí na nulový vektor: A ■ v = o, kde A je matice zobrazení ip: ...řešíme vlastně SLR-hom! 80 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně Řešení bude závislé na n — h(A) parametrech = dimiV) — h(A) parametrech, tedy 3 — 2 = 1 parametr. Pouze vyměňme pořadí rovnic: 1 -1 -1 2 0 1 0 \ /i_i_i 0 7 -2-ri \0 2 3 V3 V2 Vl Kerip = ...vektorový prostor dimenze 1. Opravdu, dokažme ještě pořádně, že pro u,v E Ker(ip) také platí a ■ u + /3 • v E Ker(ip): Pokud u,v E Kerip, tak: = (^j ,ip(v) = (^j (p(at-ú+P-v) lm=r at-(p(u)+P-(p(v) = a-^+/3-^ = ^ Tedy Ker(ip) je uzavřené na lineární kombinace => je to vektorový podprostor. b) Imip je množina vektorů (p(u) E V pro všechny možné vektory u E V. Vezměme si obrazy jednotkové báze: 1 -1 Vyberme z těchto obrazů , ^ , ^ bázi (do báze potřebujeme dva vektory ze tří, protože dimenze prostoru uspořádaných dvojic je rovna 2 - a nebo jen jeden vektor, kdyby ostatní dva vektory byly na tom prvním lineárně závislé, ale to snad není náš případ): Napíšeme si vektory do řádků matice a pomocí ERU odstraníme ty, které jsou lineárně závislé na ostatních. •(-1) -2 • n V 0 3 / +3 • r2 Např. wi=[ ^ J , W2 = ( ^ ) je báze prostoru Irrup. Algebra 2 (MA 0005) 81 Tento postup lze vždy takto provést: Zobrazíme nějakou bázi V vzhledem k zobrazení ip, dostaneme množinu obrazů, která generuje podprostor ipiV) - ovšem z těchto generátorů mohou některé být lineárně závislé na těch ostatních - ty musíme vyloučit a dostaneme bázi podprostoru ipiV). Měli bychom ještě pořádně dokázat, že ip je množina uzavřená na lineární kombinaci vektorů - dokažme to: Pro ip(u) £ {V)? Platí, opravdu, uvažujte se mnou - použijme v našem zdůvodnění vlastnost lineárního zobrazení směrem „nazpátek", tedy zprava doleva: a ■ ipiu) + (3 • ipiv) lm=r ip(a . ů-\- (3 ■ v)... právě jsme našli díky vlastnosti linearity vzor a ■ ů + (3 ■ v £ V, který se zobrazí na vektor a ■ ipiu) + (3 ■ ipiv). Tedy vektor a ■ ipiu) + (3 ■ (p(v) náleží do (p(V), protože jsme pro něj našli vzor!!! Bude občas užitečné vědět, kdy zobrazení ip (samozřejmě lineární, o jiných se nebavíme) „zachovává dimenzi", tj. dimiV) = dím(ip(V)). Poznáme to právě podle jádra Kerip. Následující věta byla dokázána na jedné z prvních přednášek předmětu Základy matematiky!!! Jedná se o krásnou ukázku důkazu logické ekvivalence. Věta 16 Lineární zobrazení ip :V^-V je injektivní <^> Kerip = {oy}. Důkaz: „=>" ip je injektivní => dva různé vektory se nemohou zobrazit na stejný obraz oy/, tj. Kerip může obsahovat pouze jeden vektor, a sice óy. Kenp = {oy} => pokusme se dokázat injektivitu zobrazení ip: Lp(u) = ip(v) => lf(Ů) — lf{v) = Oy, linear / -> ->\ -> -> -> T ~ ip[u — v) = Oy u — v £ Kerip (úprava výrazu ip(u) — (p(v) na výraz ip(u — v) plyne z linearity zobrazení ip), ale v Kerip je pouze nulový vektor, tj u — v = o~y, tedy u = v to znamená, že ip je injektivní (dokázali jsme přímým důkazem implikaci ipiu) = u = v, což je jedna z možných definic injektivity zobrazení). □ Věta 16 nám může pomoci při zjištění, zda se zobrazením ip sníží dimenze podprostoru zobrazovaných vektorů: při injekci se dimenze podprostoru vzorů a podprostoru obrazů rovnají, tj. ipiV) má stejnou dimenzi jako V. 82 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 7.1.4 Vztah mezi systémem lineárních rovnic a lineárním zobrazením Ze způsobu zadání lineárního zobrazení pomocí matice plyne i vztah mezi lineárním zobrazením a systémem lineárních rovnic. Tento vztah mezi vzorem a obrazem vektoru vzhledem k lineárním zobrazení lze zapsat maticovou rovnicí, na jejíž levé straně vystupuje lineární zobrazení reprezentované maticí, jak uvidíme na následujících třech příkladech. Připomeňme si jen nejdříve značení: na SLR lze nahlížet jako na m lineárních rovnic o n neznámých au ■ xi + aí2 ■ x2 + ... + ain ■ xn = bi, 0-11 ■ X\ + Cl22 • x2 + ... + a2n ■ xn = b2, ^ml ' X\ ~\~ Q>rn2 ' X2 ~\~ ... ~\~ O^rnn ' Xn ^mi nebo jako na jednu maticovou rovnici an a12 0-21 0-22 ah \ íxA x2 \x„J b2 \bmJ (přitom matice A má rozměr m/n, vektor neznámých x má rozměr n/l a vektor b jako výsledek jejich součinu má rozměr m/l). Příklad 32 Existuje tedy vztah mezi systémem lineárních rovnic s maticí A a lineárním zobrazením s maticí A: Např. řešit systém lineárních rovnic (příklad 11) 12 3 2 -1 1 ,3 0 -1 x' y \= s '9N znamená hledat vzor vektoru pravých stran b = \ 8 | vzhledem k lineárnímu zobrazení ,3, x' ip zadanému maticí A. Otázka zní: Jakému vzoru ( y | přiřazuje lineární zobrazení ip : '9N x R3 —> R3 obraz ( 8 ] ? Odpověď zní: takovými vzory ( y ] jsou všechna řešení daného SLR. Vyřešením SLR zjistíme (ad příklad 11), že hledaný vzor je jediný: x\ y = 1 z l 3 Algebra 2 (MA 0005) 83 Dále např. řešit systém rovnic A 1 -5\ 2 5-1-9 2 1-13 \1 -3 2 7 J fx\ znamená hledat vzor y z pro obraz b = : R4 —> R4 zadanému matici A. fx\ y z w / 3 \ -3 -11 V-s7 / 3 \ -3 -11 V -s7 vzhledem k lineárnímu zobrazení V příkladu 12 jsme zjistili, že těchto vzorů je nekonečně mnoho: ÍA y z w /-5 - 2p\ 2 + 3p 3 + 2p V o+p 7 A nakonec (třetí možnost odpovědi na naši otázku), řešit systém rovnic (ad př. 14) A 2 3 M f5\ i 3 5 7 y íi i 0 -1 -2 z -6 v> 0 0 W w fx\ /5\ znamená hledat vzor zadanému maticí A. y z w k obrazu b = 11 -6 V o y vzhledem k zobrazení ip : R4 —> R4 Z př. 14 lze vidět, že žádný takový vzor neexistuje - to znamená, že /5\ 11 -6 v o y Im(ip). 7.2 Cvičení 7 • cvičení na : ERU pomocí násobení maticí regulární, inverzní matice, maticová metoda řešení SLR, Gauss-Jordánova metoda řešení SLR. 84 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 8 Týden 8 8.1 Kapitola 8: Matice přechodu mezi bázemi, změna matice zobrazení při změně báze 8.1.1 Matice přechodu mezi bázemi téhož vektorového prostoru Podívejme se v dalším na jedno speciální zobrazení, a sice zobrazení V —> V, které je identitou - ovšem maticí tohoto zobrazení nebude jednotková matice, jak jsme si řekli v předchozí kapitole, že tomu je u identického zobrazení, nýbrž obecně určitá matice, kterou budeme nazývat maticí přechodu. Důvodem toho, že matice této identity nebude jednotková, je to, že sice zobrazíme vektor na sebe sama, ale přitom změníme bázi, na základě které souřadnice tohoto vektoru vyjadřujeme. Definice 24 Označme e = (e~i, e~2,e^), / = (/i, f2,fn) dvě různé báze téhož vektorového prostoru V dimenze n. Protože se jedná o báze, lze vektory jednoznačně vyjádřit souřadnicemi v bázi f: e3 = fl ■ Pij + ji ■ P2j + ••• + fn' Pnj ...kde pi-j,P2j, ■■■,Pnj jsou souřadnice vektoru Cj v bázi f. Maticově pak: e = l-PL-+e (8.1) Matice P se nazývá matice přechodu od báze f k bázi e (někdy též matice transformace báze f na bázi e). Věta 17 a) Matice přechodu Pf^e je regulární. b) Jakákoli regulární matice P vytvoří z báze f „novou bázi" e. c) Vynásobením vztahu 8.1 maticí P-1 zprava dostáváme, že matice P_1 je také maticí přechodu, a sice v opačném směru! (od báze e k bázi f): Důkaz: ad a) Pokud by řádky P byly lin. závislé, byly by závislé i řádky matice e, tj. (protože hodnost matice se zachová transponováním - věta 4) byly by závislé i sloupce matice e, a to nejsou - tvoří bázi. ad b) Plyne ze vztahu 8.1 a z toho, že součin dvou regulárních matic je zase matice regulární16. 16Cauchyho věta: det(A ■ B) = det(A) ■ det(B). Důkaz této věty viz BP Danešová, str. 25. Občas se hodí použít důsledek této věty, a sice: ... pokud dílčí matice mají nenulový determinant, ani determinant jejich součinu se nemůže rovnat nule. Algebra 2 (MA 0005) 85 ad c) Plyne z regulárnosti všech matic v rovnosti použitých a toho, že ve sloupcích matic e, / jsou vektory bází. Podívejme se nyní, jak se přepočítají souřadnice vektoru x £ V při změně báze: Vektor x lze jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů e3 (a koeficienty této kombinace jsou souřadnicemi x v bázi e) a současně lze x jednoznačně vyjádřit jako lin. kombinaci vektorů f3 (a koeficienty této kombinace jsou souřadnicemi x v bázi /): x = «i • e~[ + a2 ■ e2 + ... + an ■ en = /3X • f1 + /32 • f2 + ••• + /3m • fm Dosadíme-li do právě uvedeného vztahu e3 pomocí vztahu 8.1 po sloupcích, dostaneme: «i • ^2 fk ■ Pki + «2 • ^2 f k ■ Pk2 + ••• + an ■ ^2 fk ■ pkn = /3i • /i + (32 ■ f2 + ... + (3m ■ fm k k k Porovnáním koeficientů u f j na obou stranách dostaneme systém rovnic: oii ■ Pu + a2 ■ p12 + ... + an ■ pln = j3i, «i -Pil + a>2 -p22 + ... + an -p2n = /32, oii ■ Pni + oi2 ■ pn2 + ... + an ■ pnn = f3m; tedy dostali jsme SLR s neznámými al5an. Maticové: a2 í ai\ a2 \PmJ p-1 / ■ P 1 zleva (8.3) / /M (8.4) / (označení v indexu matice P je pouze pomocné - jedná se o jednu matici P a její inverzi P- Věta 18 Převádění souřadnic vektorů při změně báze: a) Pro vztah 8.1 mezi bázemi platí, že souřadnice vektorů přepočítáváme pomocí vztahu 8.3. b) naopak pro vztah 8.2 mezi bázemi souřadnice vektorů přepočítáváme pomocí vztahu 8.4- Poznámka: Přepočítávání souřadnic vektoru lze chápat jako identické zobrazení téhož vektoru na sebe sama. Všimněte si prosím následující korespondence plynoucí z právě uvedené věty: Při vyjádření souřadnic vektoru v jiné bázi potřebujeme matici přechodu v opačném směru!!! Například vztah 8.3 vyjádří souřadnice vektoru v bázi /, ale potřebuje k tomu matici přechodu / —> e, což je v dosavadním označení matice P - čili matice přechodu / —> e je potřeba k vyjádření souřadnic vektoru v bázi /!!! 86 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně Příklad 33 (Horák, str. 54) Najděte matici přechodu od báze f k bázi e pro protože potřebujete vyjádřit souřadnice vektoru ( 4 ] v bázi f. -2, Řešení: Hledáme matici P typu 3/3 tak, že pro přechod od báze / k bázi e platí vztah 8.1: e = / • Pf-^e, tedy 2 3 4\ /pn p12 ř>i3N 3 1 3 • [p2l P22 P23 2 2 3/ \p31 p32 ř>33, Přehoďme pouze obě strany této maticové rovnice: Pil Pl2 Pl3 P21 P22 P23 P31 P32 P33, S využitím významu násobení matic a rozepsáním tohoto násobení po sloupcích vlastně současně řešíme tři systémy lineárních rovnic: 'ľ = I 0 \ 1 i\ = 1 0 / 1 u 0 o/ 2 3 4\ Pn 3 1 3 I ■ í P21 2 2 3/ \P31 2 3 4\ ÍP12 3 1 3 • \p22 2 2 3/ \P32 2 3 4\ ÍP13 3 1 3 I ■ í P23 2 2 3/ \P33 Každý ze systémů najde jeden sloupec matice P. Protože OVSEM všechny tři systémy mají stejnou matici A, lze je řešit současně (řešení provedeme Gauss-Jordánovou metodou, tj. matici A upravíme pomocí ERU na matici jednotkovou), vektory pravých stran napíšeme všechny tři za svislou čáru: 2 3 4 1 3 1 3 1 2 2 3 1 2 3 4 0 -7 -6 0 1 1 2 3 4 1 0 1 1 0 0 0 1 -1 -n l l -l -l o i -3 • r2 6 9 12 3 3 3\ 3 1 3 1 1 ° 0 -1 -1 0 - 1 - "1/ 2 3 4 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 -7 -6 -1 -1 -3 / ( 2 0 0 2 -8 0 1 0 1 -5 \ vo 0 1 -1 6 1 '3 •2 -n •f-l) -7 • r2 Algebra 2 (MA 0005) 87 -4 -5 6 => P = -4 -3 -5 -3 1 6 4 Ve sloupcích matice P jsou souřadnice vektorů ěj v bázi /. Díky nalezení matice přechodu P/_>e nyní můžeme přepočítávat (jak plyne z věty 18) v opačném směru. Například vektor | 4 | pomocí 8.3 přepočteme do báze / takto: /->£ 1 -4 -3 1 -5 -3 -1 6 4 Příklad 34 Variace na příklad 33: Máte zadány tytéž báze e, f jako v příkladu 33 a -9 vektor | —13 I . Vypočtěte jeho souřadnice v bázi e, pokud je zadána matice přechodu 15 / t ' f 1 -4 -3 1 -5 -3 -1 6 4 1. způsob řešení, asi rychlejší: Mohli bychom si napsat převodní vztah 8.3 a doplnit do něj, co známe: ' 1 -4 -3N 1 -5 -1 6 4 \ (al) ~9\ • = -13 / 1 {15 To je vlastně SLR, jehož vyřešením dostaneme 1 a2 = 4 as) ^"2 2. způsob řešení: pomocí inverzní matice přechodu PeXf- 1 -4 -3 1 0 0 1 -5 -3 0 1 0 1 6 4 0 0 1 -ri -ri 1 -4 -3 0 1 0 0 0 1 -4 • r2 + 3 • r3 88 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně a proto 8.1.2 Složení lineárních zobrazení Definice 25 Složením dvou lineárních zobrazení vznikne opět lineární zobrazení: p : V —> V (s maticí A), : V —> V" (s maticí B) => složené zobrazení i/j o p :V^V" (s maticí B ■ A) je zobrazení: ip o piv) := ifj((p(v)) ( čteme: zobrazení ip po p) Nápověda: Násobení B ■ A matic dílčích zobrazení provádíme ve stejném pořadí, jako je napsáno pořadí zobrazení ip o p. Příklad 35 Mějme lineární zobrazení p : IR5 ■ /l 0 1 A = 0 1 2 \2 0 3 a zobrazení : IR3 —> M2 zadané maticí: (\ 0 2S yl -3 1 l2 je zadané maticí: i3 zadané maticí: -1 B = Složené zobrazení o p : ]R5 -B-A = 0 7 -2 -4 1 -6 íXl\ 0 1 0 -1\ x2 1 2 1 2 • x3 0 3-1 1 / \X5/ dostaneme přiřazení x3 X4 \x5J 0 7 -2 -4 x2 x3 X4 Algebra 2 (MA 0005) 89 8.1.3 Změna matice lineárního zobrazení při změně báze Příklad 36 Podívejme se nyní na obecný příklad změny matice lineárního zobrazení při změně bází vstupního a cílového prostoru: Uvažujme lineární zobrazení ip : IR3 —> IR2 zadané v běžných bázích: maticí A = ( j ^2 ^ ) > ty- Jak se změní matice tohoto zobrazení, pokud báze e prostoru IR3, / prostoru IR2 změníme na báze e!_, f: Řešení: Složíme tři lineární zobrazení: - přepočet báze v prostoru IR3 (pomocí matice přechodu), - zobrazení ip, - přepočet báze v prostoru IR2 (pomocí další matice přechodu). Shrnutí příkladu: Obecně řečeno, při změně báze jednoho či obou prostorů dojde ke změně matice lineárního zobrazení ip - složí se s jedním či dvěma lineárními transformacemi vstupního či cílového prostoru způsobenými změnou báze: - ip v bázích e, /...zadané maticí A, přepočet vektorů: yj = A ■ - ip v bázích ě£, /...zadané maticí A ■ P, přepočet vektorů: ýf = A ■ P ■ av', - ip v bázích e, /'...zadané maticí Q ■ A, přepočet vektorů: yji = Q ■ A ■ x~l, - ip v bázích ef_, /'...zadané maticí Q ■ A ■ P, přepočet vektorů: yj/ = Q ■ A ■ P ■ x~*J_ 90 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně Definice 26 Lineární zobrazení ip : V —> V se nazývá lineární transformace (vstupní i cílový prostor je jeden a tentýž). Lineární zobrazení ip : V —> V se nazývá automorfismus (vektorového prostoru na sebe sama), je-li navíc bijektivní. Příkladem automorfismu je právě přepočet souřadnic vektorů způsobený změnou báze (automorfismus - A je regulární a čtvercová). Příklad 37 Určete, jak se změní matice A = lineární transformace ip : IR3 —> IR3 při změně báze Algebra 2 (MA 0005) 91 na bázi Řešení: Podobné příkladu 36 s tím rozdílem, že zpětný přepočet báze je zadán maticí inverzní ke vstupnímu přepočtu báze. 6-(;J.íílí? T i -f i it» i Y v tají t 1—7^1 to II l>'\ —> í) A = ( 1 ! íl J/ Á- P) A' 1 t 1 'V I %>l o ■t o O- Q ! ä' 1 —■ í-lsl(UFJ . — o r 5« Definice 27 Čtvercové matice A, B jsou podobné, když pro nějakou regulární P platí: B = P~1 ■ A- P Poznámka: Podobnost je relace ekvivalence na množině čtvercových matic. Právě přepočtená matice B v příkladu 37 je podobná k zadané matici A lin. transformace. Tedy podobné matice A, B jsou matice téže lineární transformace - pouze se jedná o vyjádření této transformace v různých bázích. Silně doporučuji: několikrát (pro různé otázky) si projděte odpovědník opakující obsah přednášek 7 a 8: https://is.muni.cz/auth/el/ped/podzim2023/MA0005/odp/pred07_08_otazky_ano_ne.qref 92 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 8.2 Cvičení 8 • cvičení na lineární zobrazení a jeho jádro a obor hodnot Úloha 8.1 Lineární zobrazeni ip : R3 —> R3 je zadáno obrazy vektorů: a) Nalezněte vyjádřeni zobrazeni ip pomocí matice A. b) Nalezněte všechny vzory vektoru ( 1 ] vzhledem k zobrazení ip. Úloha 8.2 Lineární zobrazení : R3 —> R4 je zadáno maticí B = ( 1 0 °\ -1 1 2 1 2 4 V 2-11/ a) Nalezněte bázi a dimenzi jeho jádra Ker(ifj). b) Nalezněte bázi a dimenzi jeho obrazu Im(ifj). Úloha 8.3 Lineární zobrazení ip : R3 —> R3 je zadáno obrazy vektorů: 1 2 3 a) Nalezněte vyjádření zobrazení ip pomocí matice A. b) Nalezněte všechny vzory vektoru [ 2 | vzhledem k zobrazení p>. 2 Algebra 2 (MA 0005) 93 Úloha 8.4 Lineárni zobrazení : RA —y R? je zadáno maticí B = 110 2 -10 1-1 2 2 4 3 a) Nalezněte bázi a dimenzi jeho jádra Ker(ifj). b) Nalezněte bázi a dimenzi jeho obrazu Im(ifj). 3 2 1 Úloha 8.5 Lineárni zobrazení p> : R3 —> R3 je zadáno maticí A = (10 2 1 2 -3 a) Zjistěte, na jakou množinu bodů se při tomto zobrazení zobrazí přímka p = {[1 +ŕ, 2 t, 1 - t],]; t G R}. b) Vyjádřete zobrazení ip pomocí obrazů tří vektorů. Úloha 8.6 Pro lineární zobrazení : R3 —> R4 je Ker (ý) = | | 2 0 | | , Jm(V>) 0 Sestrojte matici zobrazení ip. Pokud zjistíte, že takových zobrazení existuje více, stačí nalézt jedno z nich. / 2 0 -1 Úloha 8.7 Lineární zobrazení ip : R3 —> R3 je zadáno maticí A = 0 1 1 \ 2 2 1 a) Napište vyjádření zobrazení ip pomocí vzorce. b) Nalezněte všechny vzory vektoru [ 2 | vzhledem k zobrazení p>. 94 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně Úloha 8.8 Pro lineární zobrazení ý : RA —y B? je Ker(ifj) //2\ 0 2 vv i y \ , Im(ifj) V i// 1 0 1 1 1 0 Sestrojte matici zobrazení ip. Pokud zjistíte, že takových zobrazení existuje více, stačí nalézt jedno z nich. / 2 1 0 Úloha 8.9 Lineárni zobrazení >p : R? —> R3 je zadáno maticí A =01 1 a) Zjistěte, na jakou množinu bodů se při tomto zobrazeni zobrazí rovina a : 2x — 3y z+ 1 = 0. b) Vyjádřete zobrazení ip jednoznačně pomoci obrazů tří vektorů. Úloha 8.10 Lineární zobrazení (p : R3 —> R3 je zadáno maticí Zjistěte, zda je toto zobrazení a) injektivní (pomoci báze a dimenze jeho jádra: ip je injektivní <^> Ker(ip) = {o}). b) surjektivní (pomocí jeho obrazu Im(ifj)). Úloha 8.11 Lineární zobrazení p> je zadáno maticí 12 0 1 B = | 2 0 1 -1 0 12 2 (*\ Nalezněte všechny vzory vektoru v = 1 vzhledem k tomuto zobrazení. Úloha 8.12 Lineární zobrazeni ip : R3 —> R2 má jádro (*\ Ker{p>) = {p • 1 ; p G R}. Napište jeho konkrétni matici (stačí jednu z možnosti, pokud řešení existuje více) tak, aby zobrazení ip bylo surjektivní. Algebra 2 (MA 0005) 95 9 Týden 9 9.1 Kapitola 9: skalární součin vektorů, velikost vektoru, kosinová věta, odchylka vektorů, Schwarzova nerovnost 9.1.1 Jiný pohled na determinant Nej důležitějším pojmem tohoto semestru je pojem zobrazení: a) Už při definici vektorového prostoru se objevuje násobení (skalár krát vektor), což je zobrazení T x V —> V s jistými třemi dalšími vlastnostmi (toto zobrazení bychom mohli nazvat jako akce tělesa T na množině V), b) Každá reálná matice A typu m/n představuje lineární zobrazení ip : V —> W, kde dimiy) = n, dimiW) = m, toto zobrazení splňuje tzv. podmínky linearity: ip(a ■ ů + (3 ■ v) = a ■ (p(u) + /3 • IR, které přiřazuje n řádkům matice A reálné číslo det(d[, a%,an), - zobrazení, které přiřazuje n vektorům číslo se nazývá forma, - platí D2: det(ďi,dfc,(Ti, an) = — der(ai,á/,aj,, an) ...záměna pořadí dvou vektorů změní znaménko obrazu, této vlastnosti říkáme, že forma je antisymetrická, - platí D3: každá souřadnice zobrazení det splňuje podmínku linearity: det(d[,a ■ u + /3 • v,an) = a ■ det(ďi, ...,u, ...an) + /3 • det(ďi, ...,v, ...an) ...říkáme, že forma det je multilineární = lineární v každé složce. => celkem můžeme uzavřít, že determinant lze chápat jako antisymetrickou multilineární formu, která n vektorům dimenze n přiřadí podle těchto pravidel reálné číslo. d) V této kapitole se budeme zabývat zobrazením typu skalární součin - zobrazení V2 —> IR, které přiřazuje dvěma vektorům skalár a splňuje jisté vlastnosti. 9.1.2 Definice skalárního součinu Definice 28 Pozitivně definitni symetrická bilineárni forma V2 —> IR se nazývá skalární součin: 96 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně a. skal(u,u) > 0,V-u G V kromě nulového vektoru (u ^ 0)... pozitivně definitní, (poznámka: u této podmínky vstupuje do operátoru skal jen jeden, třebaže dvakrát!!!)17 b. skaliu,v) = skaliv, Ú)...symetrická, c. splňuje podmínky linearity v každé složce - je multilineárnípro n = 2 čili je bilineární: skal(a ■ Ú + (3 ■ v, w) = a ■ skaliu, w) + (3 ■ skaliv, w) skaliu, a ■ v + (3 ■ w) = a ■ skaliu, v) + (3 ■ skaliu, w) ...linearita vzhledem ke druhé složce (= druhá z rovností) už plyne ze symetrie a z linearity v první složce, takže by se nemusela v definici uvádět. d. a pro formu ještě dodejme, že skalární součin je reálná forma, tj. přiřazuje dvěma vstupním vektorům reálné číslo (výsledkem skalárního součinu vektorů je skalár). Definice 29 Prostor (V; +; •), na kterém je definován skalární součin, se nazývá Euklidovský vektorový prostor. Příklad 38 Některé příklady vektorových prostorů a skalárního součinu vektorů: a) V = C {a; b) ...prostor reálných spojitých funkcí na intervalu {a; b). Pro f(x),g(x) E C{a;b) lze definovat: skal(f(x),g(x)) := / f(x)-g(x)dx. Takto definovaný skalární součin opravdu splňuje všechny čtyři požadované vlastnosti: ad d) výsledkem určitého integrálu je reálné číslo; ad c) linearita skalárního součinu plyne z linearity integrálu: b pb pb {a ■ fiix) + f3 ■ f2(x)) ■ gix) dx = a ■ fi(x) ■ g{x) dx + f3 ■ / f2(x) ■ g{x) dx. J a J a ad b) integrál ze součinu funkcí f, g nezáleží na jejich pořadí, čili platí vlastnost symetrie; ad a) a platí též vlastnost pozitivní definitnosti: skal{f{x),f{x))= í f2{x)dx>0 J a pro f(x) V= 0. 17Kdo napíše do podmínky skal(u, u) > 0 dva různé vektory u, v, nedostane za tuto otázku žádné body. Skalární součin dvou různých vektorů totiž může být záporný, to přece studenti z analytické geometrie dobře ví - pozitivní definitnost je vlastností, která se týká jednoho vektoru použitého pro oba „teleporty" zobrazení skal. A to je dobře, že se týká jednoho vektoru, protože vlastnost pozitivní definitnosti pak dovoluje definovat velikost vektoru jako odmocninu ze skalárního součinu vektoru se sebou samým. Algebra 2 (MA 0005) 97 b) V R3 je skalární součin vektoru definován standardně: skaliu, v) := u± ■ v\ + u2 ■ v2 + ^3 • «3 tato bilineární forma opět splňuje všechny čtyři vlastnosti (pozitivní definitnost, symetrii, linearitu v každé složce, vlastnost formy = výsledek je reálé číslo). Tento běžně užívaný skalární součin lze napsat i ve vektorovém/maticovém tvaru: fvi\ ívľ\ /l 0 0\ /V skal (u, v) := (uľ u2 u3)-\v2\ = (iii u2 u3)-E- \v2 J = {ux u2 u3)- 0 1 0 • \v2 \v3 W \0 0 1/ \v3, V předchozím zápisu je důležité, že vektor u je napsán jako řádkový vektor a v jako sloupcový vektor, jinak by totiž nebylo možné jejich maticový-vektorový součin provést. Protože důsledně (aspoň od šesté přednášky důsledně, protože od té doby provádíme maticové násobení), u vždy označuje vektor sloupcový, tj. v učebnici s přesným značením vždy uvidíte součin skalku, v) = (u\ u2 113) • v2 w vyjádřen jako skal{u,v) := uT -v (tj. vektor psaný do řádku označujeme jako vektor transponovaný). c) Matice E v příkladu b) by mohla být nahrazena libovolnou symetrickou maticí A, jejíž všechny hlavní minory jsou kladné18, tj. platí: au > 0, au a12 a21 a22 > o, au (Z12 013 a2\ a22 a23 «31 a32 «33 > 0,\A\ > 0. ...tj. klasicky definovaný skalární součin (b) není jediná možnost, (c) naznačuje i další možnosti. Každá bilineární forma definovaná vztahem skaliu, v) := iui, u2,un) ■ A ■ íVl\ v2 w (9.1) by mohla být vzata jako definice skalárního součinu, jestliže matice A je symetrická a pozitivně definitní matice. Úsporný vektorově-maticový zápis: skal{u, v) := v? ■ A ■ v. 18Matice, jejíž všechny hlavní minory jsou kladné, představuje zobrazení, které je pozitivně definitní. Tato podmínka o hlavních minorech tedy zaručuje pozitivní definitnost takto definovaného skalárního součinu. Ještě to bude řečeno jednou ve větě 21. 98 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně Definice 30 Čtvercová matice A řádu n je a) symetrická, pokud al3 = a3l (prvky souměrné vzhledem k hlavní diagonále jsou totožné, tj. platí A = AT), b) antisymetrická, pokud al3 = —a3l (prvky souměrné vzhledem k hlavní diagonále se Uší o znaménko). c) pozitivně (kladně) definitní, když y x E (xi, x2, ■ xn) ■ A kromě nulového vektoru (x ^ o) platí: í Xl\ > 0 (9.2) x2 \x„J (vektorově-maticově lze nerovnost psát x ■ A ■ x > 0). Věta 19 (Shilov, str. 209) Symetrická (čtvercová) matice A je pozitivně definitní <^> všechny její hlavní minory jsou kladné, tj. platí: au > 0, Oll Ö12 «21 «22 > o, all a12 a13 a2\ a22 Ö23 a31 a32 a33 > 0,..., \A\ > 0. Definice 31 Nechť (V;+;-) je Euklidovský vektorový prostor (= vektorový prostor se skalárním součinem) a nechi (u[, ...,v7k) je posloupnost vektorů. Pak Grammova matice je matice všech možných skalárních součinů: /skal(úi,úi) skal(úi,Ú2) ■■■ skal(ui,Uk)\ skal(Ú2,ui) skal(Ú2,U2) ■■■ skal(Ú2,v%) G(ui,Uk) = (^kal(úi,Uj) kxk \^skal(uk, úi) skal(uk,Ú2) ... skal(úk,Uk)J Grammův determinant detG(ú[, ...,uk) je determinant z Grammovy matice. Věta 20 (samozřejmá) Ze symetrie skalárního součinu a definice Grammovy matice hned plyne, že Grammmova matice je symetrická matice. K čemu je Grammova matice dobrá? Je to matice, pomocí níž můžeme v mnoha případech definovat skalární součin vztahem 9.1, tj. v mnoha případech pro ni platí všechny vztahy a vlastnosti, které platí pro skalární součin. Ve kterých mnoha případech? V těch, kdy Grammova matice je matice pozitivně definitní, protože to je jenom někdy: Věta 21 (Zlatoš, str. 255) V Euklidovském vektorovém prostoru: Vektory ú[, ...,úk jsou lineárne nezávislé <^> jejich Grammova matice je pozitivně (kladně) definitní. Čili pro každou uspořádanou /c-tici lineárně nezávislých vektorů je G(úi,...,úk) maticí, pomocí níž lze definovat skalární součin na /c-rozměrném podprostoru L{Úi,úk) těmito vektory generovaném, vztahem skal(x,y) :- G(uu ...,uk) ■ y, protože Grammova matice je symetrická a pozitivně definitní, a tedy tímto vztahem definuje pozitivně definitní (a) symetrickou (b) bilineární (c) formu (d) skalárního součinu. Algebra 2 (MA 0005) 99 9.1.3 Fyzikální a geometrický význam skalárního součinu Fyzikální význam skalárního součinu v aritmetickém vektorovém prostoru: pokud posunujeme skříň do vzdálenosti a směru d a tlačíme na ni kolmo na směr posunutí, nevykonáme žádnou práci, tj.: W = F ■ d = 0 F Tedy se zdá, že na práci vykonanou ve směru d bude mít vliv ta část síly F, která bude působit ve stejném směru jako d. Když působíme na skříň v šikmém směru, sílu F lze rozložit na součet sil F±, F2. Síla Fi nevykoná ve směru d žádnou práci (viz předchozí obrázek). Na práci ve směru d má vliv jen síla F2. Z toho plyne poučení, že skalární součin vyjadřuje míru vlivu vektoru F ve směru d (míra vlivu F je vyjádřena průmětem kolmým F do směru d). \\F2\\ = \\F\ \ ■ cosip W = F ■ d= \ \F\ \ ■ \ \d\ \ ■ cosip = \\d\\■ \\F\\■ cos^ = • ||F2|| Práce vykonána při posunutí ve směru a délce d působením síly F je rovna skalárnímu součinu d ■ F. (Při skalárním součinu sestrojujeme průmět kolmý jednoho vektoru do směru druhého vektoru.) Geometrický význam skalárního součinu: obsah obdélníku o stranách a (||F|| • cosip). 100 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 9.1.4 Velikost vektoru a její vlastnosti Díky vlastnosti pozitivní definitnosti (a) ze skalárního součinu, aplikované na jediný vektor s výsledkem nezáporného čísla právě můžeme dobře definovat velikost vektoru u. Definice 32 Norma (= velikost) vektoru u na Euklidovském prostoru se definuje \\u\\ := \Jskal(u, u). Poznámka 1: Na pojmech skalární součin dvou vektorů a velikost jednoho vektoru je krásné to, že vypočtené reálné číslo nezávisí na bázi zvolené pro skalární součin (tj. pro Grammovu matici). Tj. tyto pojmy jsou příkladem tzv. invariantů neboli veličin, které nezávisí na volbě báze v daném Euklidovském vektorovém prostoru. Poznámka 2:Na prostoru R2 počítáme velikost vektoru vlastně na základě Pythagorovy věty, protože trojúhelník vzniklý průmětem na jednu z os souřadného systému Poznámka 3: Nicméně předchozí definice umožňuje definovat velikost na jakémkoli vektorovém prostoru se skalárním součinem (tedy zjednodušeně řečeno, vztah pro velikost vektoru je zobecněním Pythagorovy věty), a sice pomocí vlastnosti (a) skalárního součinu, která přiřadí jakémukoli vektoru u £ V kladné číslo pro íí/oa nulu pro u = o. Ad přiklad 5: I na prostoru spojitých funkcí na intervalu, jehož dimenze je nekonečná, lze docela dobře definovat velikost vektoru (funkce) pomocí skalárního součinu: ||/(x)|| := v/skal(f(x),f(x)) = ^jf f*(x)dx (pozitivní definitnost skalárního součinu zaručuje, že pod odmocninou bude nezáporné číslo, výsledkem odmocnění je tedy vždy číslo reálné). Algebra 2 (MA 0005) 101 Věta 22 Vlastnosti normy (= velikosti) vektoru: pro \\v\\ na Euklidovském vektorovém prostoru platí: a) | \u\ | _ 0, přičemž \ \Ú\ \ = 0 u = o (pozitivní definitnost), b) \\a ■ u\ \ = \a\ ■ \ \u\\ (homogenita), c) |\u + v\| < |\u\| + |\v\| (trojúhelníková nerovnost), d) pro u ^ o lze vektoru tzv. normovat = „prodloužit či zkrátit" na velikost 1 následovně: Jestliže Ú je vektor obecné nenulové velikosti, tak vektor j^-u je vektorem s velikostí Poznámka ad (c). Trojúhelníková nerovnost je jakýmsi zobecněním klasické trojúhelníkové nerovnosti v rovině, viz obrázek s označením stan trojúhelníka pomocí vektorů, jejichž velikosti v nerovnosti vystupují: 9.1.5 Odchylka vektorů a Schwarzova nerovnost v Rn Posledním pojmem, který ještě má dobrý smysl zobecnit, je odchylka vektorů u, v; u volných vektorů v rovině (ad příklad 3) je to úhel, který vektory svírají, jestliže jeden rovnoběžně posuneme tak, aby počáteční bod obou vektorů byl stejný: rovnou 1. V -=7 — .Kx.' 7? V Rn lze odchylku vektorů vyjádřit pomocí kosinové věty: C ,2 2ab ■ cos a 102 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně přechází v našem označení do tvaru \\v — u\\2 = \\v\\2 + \\u\\2 — 2||-u|| • ||-u|| • cos (p. Levou stranu této rovnosti lze psát skal(v — u, v — u) = \\v\\2 + \\u\\2 — 2\\v\\ ■ \\u\\ ■ cos p> a upravit na 11^112 + II"^112 ~~ 2 • skal(u, v) = \\v\\2 + ||"u||2 — 2||-u|| • ||-u|| • cos (p, ještě zjednodušme na tvar —2 • skal(u,v) = — 2\\u\\ ■ \\v\\ ■ cosip, respektive skal(u,v) = \\u\\ ■ \\v\\ ■ cosip. Odtud plynou dvě věci: a) vyjádřením skal(u, v) cos y = v ' ,, (9.3) \\u\\ ■ \\v\\ dostáváme vzorec pro odchylku dvou vektorů ve smyslu orientovaných úseček; b) protože 1 < cosip < 1, lze rovnost skal(u,v) = \\u\\ ■ \\v\\ ■ cosip zprava i zleva doplnit nerovnostmi — H^ll ' H^ll ^ skal(u,v) < \\u\\ ■ \\v\\, což je známo jako Schwarzova nerovnost \skal(u, v)\ < \\u\\ ■ \\v\\ vektorů ve smyslu orientovaných úseček (a dokonce víme, že rovnost nastává pro ip = 0). 9.1.6 Odchylka vektorů a Schwarzova nerovnost v obecném euklidovském prostoru Lze nějak obecně definovat odchylku vektorů a dokázat Schwarzovu nerovnost i pro ty vektorové prostory, kde je skalární součin definován jinak než v Rnl Ano, většinou tak, že dokážeme Schwarzovu nerovnost pro vektory (z obecné definice našeho předmětu) a odvodíme z ní vzorec pro odchylku obecně chápaných vektorů: Věta 23 (Schwarzova nerovnost) Na euklidovském vektorovém prostoru V platí V-u, v E V: \skal(u, v) | < |\u\| • |\v11 (9-4) (a rovnost nastává, když oba vektory jsou lineárně závislé, tj. u = k ■ v, neboli jejich odchylka je rovna nule). Algebra 2 (MA 0005) 103 Důkaz: Není složitý, ale vyžaduje pojem ortogonální projekce vektoru v do směru vektoru u, takže ji dokážeme až v následující kapitole. □. Poznámka. Stále v obecném případě nemáme úhel p - k němu dospějeme takto: 9.4 upravme vydělením19 na tvar \skal(ú,v)\ ^ u Při odstranění absolutní hodnoty v čitateli zlomku dostaneme skaliú, v) -1 < i, 1 ' | < 1, |\u\| • |\v\\ a nyní si uvědomíme, že hodnota zlomku ^^l^ leží v intervalu (—1; 1), stejně jako definiční obor funkce arccos x, a tedy každé hodnotě zlomku ^j^!^ lze přiřadit hodnotu cos p a dostáváme stejný vzorec 9.3 nyní v jakémkoli obecném vektorovém prostoru. Definice 33 Pro nenulové vektory u,v z Euklidovského prostoru lze definovat jednoznačně odchylku p vztahem: skalíu, v) cos<^> := ———-j-—, tj. pro hodnotu zlomku z intervalu < —1; 1 > přiřadí funkce arccosix) úhel p interval < 0; 7T > jednoznačně, tj. na < 0; tt > existuje právě jedno p splňující daný vztah. Poznámka: Známe-li odchylku, můžeme vyjádřit hodnotu skalárního součinu obou vektorů: skaliu,v) = \ \u\ \ ■ \ \v\ \ ■ cosp. Ad příklad (38-a): V = C(0; f) je prostor reálných spojitých funkcí na intervalu (0; |). Když vezmeme f(x) = sinx, gix) = cosx, jaká je odchylka těchto dvou vektorů v obecném smyslu? Potřebujeme tři věci: f 2 f 2 1 skal(f(x), g(x)) := / f(x)-g(x)dx= / sinx • cosxdx = • • • =-, ./n ./n 2 ||/(x)|| = JI sinx|| = y j /(x)2dx=y / sin2xdx = ---= ^ , \g(x) || = || cos x|| = -i / / g(x)2 dx = \ / cos2xdx = --- 2 ' 19Předtím musíme předpokládat, žeu^oaií/o... ale tuto situaci lze vyřešit třeba tak, že odchylku vektorů, z nichž alespoň jeden je nulový, lze definovat jako 0. 104 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně a dosazením do vzorce pro cos ip dostaneme skal(u, v) COS (f u 2 7T ' odtud (p = arctg- = 0,5669 rad, což je asi 11, 5°. 9.2 Cvičení 9 • matice přechodu, změna matice zobrazení při změně báze Úloha 9.1 Prepíšte zobrazení ip : R3 —> R3 z príkladu číslo 8.1 zadané vzhledem ke standardní bázi na vstupu i na výstupu do tvaru zadaného na vstupu i na výstupu vzhledem k bázi a = Úloha 9.2 - (]\ y v = I 1 pro bazi a = vyjádřete souřadnice vektoru v vzhledem k bázi Úloha 9.3 - ( \) y v = I 1 pro bazi a = v-iyQ vyjádřete souřadnice vektoru v vzhledem k bázi Ě = Úloha 9.4 ^ ( \) y v = I —1 pro bazia = \ °/Q vyjádřete souřadnice vektoru v vzhledem k bázi /9=|| -j V (l Algebra 2 (MA 0005) 105 vstupu i na výstupu matici D = ( ^ \ ) do tvaru zadaného na vstupu i na výstupu Úloha 9.5 Prepíšte zobrazeni : R2 —> R2 zadané vzhledem ke standardní bázi na 2 1 -1 3 vzhledem k bázi a=[[ -1)' í 2 Úloha 9.6 Prepíšte zobrazeni ip : R2 —> R2 zadané vzhledem ke standardní bázi na 11 v 2 4 vzhledem k bázi ' ' 2 \ / 1 vstupu i na výstupu maticí D = \ \ \ 1 do tvaru zadaného na vstupu i na výstupu a=" 3 y v i 106 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 10 Týden 10 10.1 Kapitola 10: Ortogonalita vektorů a její využití V příkladu fyzikálního významu skalárního součinu byla řeč o kolmém průmětu - musíme se tedy chvíli věnovat pojmu kolmost. Ke kolmému průmětu vektoru do podprostoru se dostaneme ve třetím oddílku této kapitoly. Definice 34 a) Vektory u, v v Euklidovském prostoru jsou ortogonální, když platí: skaliu, v) = 0. Poznámka: Někdy se zaměňují pojmy ortogonálnost a kolmost. Kolmost definujeme v W1 pro vektory u,v, které jsou nenulové. Ortogonálnost připouští, aby některý z vektorů u,v (nebo oba) byl nulový, je to tedy obecnější pojem než kolmost. Často je při práci s bázemi vektorových podprostoru vhodné, aby v nich byly vektory, které jsou navzájem ortogonální. Definice 45 b) Báze podprostoru, nebo libovolná posloupnost nezávislých vektorů je: a) ortogonální, jestliže každé dva vektory z této posloupnosti jsou ortogonální, b) ortonormální, jestliže je ortogonální a velikost všech vektorů je normovaná (= 1). Poznámka: Grammova matice ortogonální báze vektorů je diagonální, grammova matice ortonormální báze je jednotková. Pokud už máme ortogonální matici, lze definovat i ortogonální zobrazení. Ortogonální zobrazení pak bude přirozeně reprezentováno ortogonální maticí. Definice 45 c) Čtvercová matice A je ortogonální, jestliže její sloupce jsou navzájem ortogonální. Lineární zobrazení ip : V —> W je ortogonální zobrazení, jestliže zachovává výsledek skalárního součinu, tj.: skaliu,v) = skal(ip(u),ip(v)) Poznámka: Protože norma vektoru se definuje pomocí skalárního součinu, ortogonální zobrazení zachovává i normu = velikost vektorů. Tedy ortogonální zobrazení zachovává i odchylky vektorů, protože odchylka se definuje pomocí skalárního součinu a normy. Další poznámka: Pojem ortogonálního zobrazení je vůči práci s maticemi trochu zavádějící, protože každé ortogonální zobrazení je zadáno ortonormální maticí. Mohli bychom tedy spíše mluvit o ortonormálním zobrazení, ale tento pojem se nepoužívá -ortogonální znamená „zachovávající úhly", i když pro tento účel potřebuje být definováno maticí ortonormální. Algebra 2 (MA 0005) 107 10.1.1 Ortogonalizační Grammův-Schmidtův proces Pojďme nyní k otázce nalezení ortonormální/ortogonální báze jistého vektorového pod-prostoru, když je nám známa jeho báze u~i,u2, ...,Uk, která ortogonální není. Obecně následující věta platí i pro vektory lineárně závislé - její důkaz je konstruktivní a bude vysvětlen na příkladu. Věta 24 Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces: Nechť u~i,u2, ...,Uk jsou vektory euklidovského prostoru => existují po dvou ortogonální vektory e~[,e~^, ...,ě] tak, že platí L(iľi,iľ2, ...,uk) = L{ě[,e2,...,ek). Poznámka: V rámci předchozí věty lze říci, že vlastně nalezené vektory é^, é^,é/í, tvoří množinu ortogonálních generátorů vektorového prostoru L(ú[, u2,uk). Jestliže některé z vektorů jsou nulovými vektory, jejich vypuštěním dostaneme ortogonální bázi e~i, e~2, ěl vektorového prostoru L(ú[, u2,uk), kde / < k. Tedy celou předchozí větu lze formulovat i následovně: Jestliže ú[, u2,uk jsou vektory euklidovského prostoru, pak existují po dvou ortogonální nenulové vektory el, e~2,el tak, že Z < k a platí L{ui,u2, ...,uk) = L(e~Í, e2, ěl). Příklad 39 Nalezněte ortogonální bázi podprostoru U = L(ú[, u2, v73): Ui 1 2 , u2 í-a i i v i y ,u3 0 Řešení: Mohli bychom nejprve vyřadit některý z vektorů, pokud je závislý na těch ostatních; když se tomu vyhneme, podívejme se na to, jak si s tím následující algoritmus poradí: a) e~i := u[ = b) Hledáme 1 2 w ...první z konstruovaných vektorů necháme být, e~2 := Pi ■ ě[ + u2/ ■ ex ...musíme určit neznámou konstantu pi, využijeme ortogonality el, e~2 tedy toho, že platí skal(ě[, é"2) = 0: 0 = Pi ■ skal(e~i, é~i) + skal(e~Í, u2) => pi = -skal(ě[, u2) skalíe~i, e~i) -4 2 3 108 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně Našli jsme tedy vektor: e2 = "ô 1 2 w 1 1 /-a i v ľ/ c) Hledáme 63 := Pi ■ ěi + P2 ■ e2 + u3/ ■ ě[ 63 := Pi ■ ei + P2 ■ e2 + u3/ ■ e2 ... při určení neznámych konstant pi, p2 vynásobíme zvlášť tutéž definiční rovnici už zkonstruovanými vektory e~i, e2 - zatím sice e3 neznáme, ale protože skal(e{, ej) = 0, s/ca/(e"2, 63) = 0, tak 63 z rovnic vypadne a dostaneme 2 rovnice pro 2 neznámé konstanty pi,p2: 0 = pi • 6 + 0 Našli jsme vektor: 63 0 0 -2 4 3 £>i • skal(e{, e~i) Pi • skal(e{, 62) 1 Pl = "3 P2 = 1 p2 ■ skal(ě[, e2) p2 ■ skal(e2, e2) skal(e{, u3) s/ca/(e"2, u3) 1 3 1 2 W 1 \ V ľ/ í1) M 0 0 1 0 W w Pokud jsme nevyloučili u3 závislý na vektorech ui,u2, tak Grammův-Schmidtův proces najde 63 = 0, a ten do báze nebereme, i když je ortogonální k ě[ i k e2. Odpověď: L(ui,u2,u3) je vektorový podprostor dimenze 2 a jeho ortogonální báze je např.: 1 ' ,e2 = ei = 2 W V 3-7 (Atd., při větším počtu vektoru hledáme 64 := p\ ■ é[ + p2 ■ e2 + p3 ■ e3 + U4 a když tuto definiční rovnost vynásobíme zvlášť vektory éi, e~2, 63, dostaneme tři rovnice pro tři neznámé pi,p2,p3.) Algebra 2 (MA 0005) 109 10.1.2 Ortogonální doplněk vektorového podprostoru Definice 35 Množiny vektorů A, B jsou ortogonální, když: Va G A, b E B : vektory a, b jsou ortogonální. (Značíme A A. B.) Z linearity skalárního součinu plyne, že množiny A, B jsou ortogonální právě tehdy, když jsou ortogonální i vektorové podprostory {A), {B) jimi generované. Proto má smysl následující definice: Definice 36 Když U je vektorový podprostor euklidovského prostoru V, tak ortogonální doplněk U1- podprostoru U v prostoru V se definuje jako množina všech vektorů ortogonálních k U: U1- = {x E V : skal(x, u) = 0 Wu G U} Věta 25 a) Ortogonální doplněk UJ~ je vektorový podprostor, b) V = U + UJ~ (tzn. přímý součet, tj. U íl UJ~ = o, dím(V) = dim(U) + dím(U±)), C) (tf-L)-L = U, d) (u + s)± = u±ns±, e) (uns^ = U± + S±. ...(d,e je vlastně jakousi analogii de Morganových pravidel (viz Základy matematiky, kap. 4) Vro vektorové podprostory U, S euklidovského prostoru V. Příklad 40 V prostoru R4 je dán podprostor U = (ďi = 0 -1 V 2 y , U2 2 3 V-27 ,U3 /2\ 1 0 V27 ) Najděte ortonormální bázi podprostoru U±. Řešení: Nejprve z vektorů ú[, 112,113 eventuálně vyloučíme vektor závislý na těch ostatních; pokud bychom na to zapomněli, algoritmus si s tím stejně poradí. Dále zapíšeme do rovnic kolmost vektoru x na každý z vektorů ui, Ú2, Ú3. Pro x E U1- platí: skal(x,ú[) = 0 skal{x,U2) = 0 skal(x,v73) = 0 110 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně To je SLR: x\ — X3 + 2x4 = 0 X\ + 2X2 + 3^3 — 2x4 = 0 —T\ 1x\ + x2 + 2x4 = 0 —2 • r\ 10-1 2 0 1 2-2 0 0 0 0 Tedy řešením SLR jsme našli vektory z U±: -2 1 1 ' 2 x w í-a 2 o Vi/ ...lineární kombinace bázických vektorů, zortogonalizujeme Gr.-Schm. procesem: ei /1\ , e2 := pi■ -2 2 o v 1 y -2 í-a 0 1 Vektory znormalizujeme a připravili jsme bázi prostoru U±: /■eí => 0 = 6pi — 6 => pí = 1 => e~2 ei 2 v0 y ,e2 0 1 v 75 y Příklad 41 Nalezněte bázi podprostoru W±, je-li W zadán jako podprostor řešení homogenní soustavy: 3xi + 3x2 + 2x3 + 7x4 = 0 3xi — 2x3 — 9x4 = 0 x3 + x4 = 0 Řešení: W je množina všech vektorů x, pro které platí: /3\ 3 2 skal I , x =0, skal I /3\ 0 -2 V-9/ , x =0, skal j 0 1 w ,x =0, Algebra 2 (MA 0005) 111 ...tedy W1- je právě podprostor generovaný vektory Ověříme pouze, zda tyto vektory jsou lineárně nezávislé: í3\ í3\ 3 0 0 2 -2 1 w w w 3 0-2 3 3 2 0 0 1 -ri w1- = í3\ í3\ í°\ 3 0 0 2 -2 1 W V-9/ W 10.1.3 Ortogonální projekce vektoru do podprostoru Poslední pojem, se kterým se budeme u ortogonality učit pracovat, je asi ten nej důležitější či nejčastěji používaný, a sice pojem tzv. ortogonální projekce vektoru do podprostoru. K čemu to potřebujeme? a) Pokud chceme např. určit odchylku vektoru od podprostoru, promítneme tento (ne- nulový) vektor kolmo do daného podprostoru, a určíme odchylku vektoru a jeho průmětu, b) Ortogonální projekci budeme potřebovat při konstrukci n-rozměrného objemu, c) Při výpočtu skalárního či vektorového součinu pracujeme s kolmými průměty vektoru do směru druhého vektoru (u skalárního součinu) a do směru kolmého na druhý vektor (u vektorového součinu). Rozklad vektoru na součet dvou vektorů, které jsou na sebe kolmé, lze tedy spočítat s využitím kolmého průmětu. Definice 37 Ortogonální projekce nenulového vektoru v do podprostoru U je vektor x takový, že: x y kde x G U, y G U±. (Vše se odehrává v euklidovském prostoru, protože bez skalárního součinu není umožněn pojem kolmosti.) Konstrukce ortogonální projekce bude vysvětlena na příkladu. 112 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně Příklad 42 Nalezněte ortogonální projekci vektoru v váného vektory: /4\ -1 -3 W do podprostoru genero- báze U = wi = -n a\ i i w 1 0 2 Úi = 1 0 ,Ú3 = 2 w w da úi, Úi jsou 1 ineárně nezávislé, 1 1\ 0 -1 - -1 2 (-1) \o 1 1 "2/ +r2 bázi: 1 -2 0 , W2 = 1 Protože projekce x 6 U, lze x vyjádřit jako lineární kombinaci wi,W2'. x = ai ■ wi + «2 • W2 => v = x + y, kde skal(x, y) = 0. Dosazením za x do vyjádření vektoru v máme V = Oii ■ Wi + «2 • W2 + y. Nyní vynásobením této rovnosti zvlášť vektory wi, W2 dostaneme dvě rovnice, ze kterých vypadne y, protože y _L U = L(wi, iŕľ2): skal(v,wi) = ai ■ skaliúi, wi) + «2 • skal(wi, V02) + 0 skal{v,W2) = oíi ■ skaliúi, V02) + 0L2 ' skal(úÍ2, V02) + 0 ...dvě rovnice o dvou neznámých al5 a2. /4\ -1 1 1 -3 , Wi = 1 1 w w V-2/ => x = 1 • 1 1 w 4 = ai ■ 4 + a2 • 0 -12 = «!•() +a2-6 => Cti = 1, «2 = —2 2 • 1 1 w -1 -1 W Algebra 2 (MA 0005) 113 Poznámka: Vektor y lze nyní už snadno vyjádřit: í1) ŕ3\ -1 -1 0 -3 -1 -2 w w w Příklad je hotov. □ Projekce vektoru v do směru jednoho vektoru u: toto je speciální případ předchozího příkladu, který najde vzorec projekce do jednorozměrného prostoru. Ve skriptech není odvozeno, ale odvození je na videu 09, v době 1:17:30 až 1:22:30. Získáváme vzorec v ■ u _ . Puiv) = — • u. 10.1 u ■ u Důkaz Schwarzovy nerovnosti (věty 24): viz video 10, čas 1:32:00 až 1:44:00, s využitím předchozího vzorce 10.1 pro projekci vektoru v do směru vektoru u. Silně doporučuji: několikrát (pro různé otázky) si projděte odpovědník opakující obsah přednášek 9 a 10: https://is.muni.cz/auth/el/ped/podzim2023/MA0005/odp/pred09_10_otazky_ano_ne.qref 10.2 Cvičení 10: Ortogonální doplněk, ortogonalizace, ortogonální projekce 114 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 11 Týden 11 11.1 Kapitola 11: Vlastní čísla a vlastní vektory lineárního zobrazení; konstrukce matice zobrazení pomocí vlastních vektorů Zde je možná užitečné zmínit jeden další pojem: vektor, který se zobrazí na svůj vlastní násobek, se nazývá vlastní vektor; a daná násobená hodnota se nazývá vlastní hodnota. Definice 38 Vlastní vektor lineární transformace ip : V —> V je takový NENULOVÝ vektor v, který se zobrazí na svůj vlastní násobek, tj. A ■ v = \ ■ v. Číslo A z právě uvedené rovnosti nazýváme vlastní hodnotou náležející k vektoru v vzhledem k zobrazení ip. 11.1.1 Vlastní čísla a vlastní vektory lineární transformace — geometrický názor (hlavně viz příklad 43) Příklad 43 Vlastní čísla osové souměrnosti nalezena z geometrického názoru: viz video 11, doba 8:00 až 16:00. Věta 26 a) v{, ...v^ jsou vlastní vektory reálné matice A, každý s jiným vlastním číslem => jsou lineárně nezávislé. b) Vlastní vektory odpovídající jedné vlastní hodnotě tvoří vektorový podprostor. Důkaz: ad a) Dokažme indukcí: za prvé: m = 1...vektor v je lineárně nezávislý, protože je nenulový; za druhé - dokažme indukční krok: tvrzení platí pro m — 1 vlastních vektorů matice A => => tvrzení platí pro m vlastních vektorů matice A. Předpokládejme sporem, že nenulový vektor 4 je závislý na vektorech 4 v2, ..., tj. 4 = «i • vi + «2 • v2 + ... + am_i • wm-i a současně některé at ^ 0. Vynásobme danou rovnost maticí A a využijeme převodu pomocí A - vl = \- v^. 4 • 4 = «i • Ai • vi + a2 ■ A2 • v2 + ... + am_i • Am_i • -4_i- Algebra 2 (MA 0005) 115 Pokud od této rovnice odečteme Am-násobek rovnice «ra = «1 • Vi + «2 • V2 + ... + «m_i • -Um_i, dostaneme: o = «i(Ai - Am) • v~Í + ... + am_i(Am_i - Am) • -um_i. Na základě indukčního předpokladu nyní musí být všechny koeficienty rovny 0, protože v~Í, ...,vm_i jsou lineárně nezávislé => \i = Am...spor s tím, že všechny Xt jsou různé. ad b) Prostor vlastních vektorů pro jedno stejné A je uzavřen na lineární kombinace: A ■ VÍ = \ ■ V~Í\ . , _ _ x A -> A \ l ->\ A ^ > > => A ■ (aivi + a2v2) = a>i ■ A ■ v\ + a2 ■ A ■ v2 = Aícti^i + a2v2) A ■ v2 = A • v2 I ...ol\V\ + a2v2 je vlastní vektor pro totéž A. Důkaz je hotov. 11.1.2 Nalezení vlastních čísel a vlastních vektorů algebraicky Vyjdeme z definičního vztahu A ■ v = \ ■ v = \ ■ E ■ v (A - A • E) ■ v = o ...vložením jednotkové matice E se pravá strana rovnosti nezmění, ale nám se tím pádem podaří vytvořit na obou stranách rovnosti matice stejného rozměru, které můžeme od sebe odečíst. Převodem pravé strany na levou a vytknutím v vidíme, že vektor v leží v jádru zobrazení A — A • E, protože se tímto zobrazením zobrazí na nulový vektor!!! V jádru Ker (A — A • E) vždy leží vektor v = o, ale ten nás nezajímá, protože nulový vektor se nepovažuje za vlastní vektor. Vlastní vektory v jádru Ker(A — A• E) leží tehdy, když systém (A — \- E) - v = o má nekonečně mnoho řešení. Tj. nalézt vlastní vektory u čtvercové matice A je totéž jako nalézt nenulové vektory jádra Ker(A-X-E), tj. nalézt nenulová řešení systému (A-X-E)-v = o. Aby tedy nenulová řešení systému (A — \ ■ E) ■ v = o vůbec existovala, musí tento systém mít více než jedno (nulové) řešení - tj. podle Frobeniovy věty musí mít tento SLR řešení nekonečně mnoho, tedy příslušný schodový tvar matice musí mít aspoň jeden nulový řádek, čili matice (^4 — A • E) je singulární, některý řádek je závislý na těch ostatních, tj. determinant této matice je roven nule. Odtud plyne následujíc ALGEBRAICKY postup nalezení vlastních čísel a vlastních vektorů: krok 1 : Nejprve najdeme vlastní čísla: Řešíme rovnici det(A — X-E) = 0... jediná rovnice s jedinou neznámou A ... najdeme tím všechna vlastní čísla. 116 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně krok 2 : Do systému (A — A ■ E) ■ v = o dosadíme konkrétni číslo A a příslušné vlastní vektory nalezneme jako nenulová řešení tohoto SLR. Příklad 44 Nalezněte vlastni čísla a vlastní vektory lin. zobrazení A = í J zadaného v bazi ei= I p I , e2 = Kj. (zobrazení ip : IR2 —> M2je transformací roviny). Řešení: viz přednáška. Postup je velmi podobný postupu v následujícím příkladu, jen se jedná o jednodušší příklad než ten následující, protože je zde o dimenzi méně. 0 0 -2N Příklad 45 Nalezněte vlastní čísla a vlastní vektory lin. zobrazení A = | 0 —2 0 -2 0 3 zadaného v bázi e\= \ 0 , e2 = 1 , e3 = 0 ,0/ W \\ (zobrazení p : IR3 —> W?je transformací trojrozměrného prostoru). Řešení: První krok - najdeme všechna vlastní čísla vyřešením rovnice pro neznámou A: det(A - A • E) = 0 /O -A 0 -2 \ deti 0 -2 - A 0=0 \ -2 0 3 -A/ (3 - A) • (A2 + 2A) + 4 • (A + 2) = 0 (A+ 2) • (3A- A2 + 4) = 0 Ai = -2 -3±\/9Tl6 3,5 Ao-í = -= - ± - A2 =-1, A3 = 4 z,i _2 2 2 , i Druhý krok: Najdeme vlastní vektor příslušný ke každému vlastnímu číslu: Ai = —2: řešíme SLR: •vi (A — (—2) • E) ■ \v2\ = 2 0-2 0 0 0 -2 0 5 => Vii = 0, Vi2 = t, -u13 = 0; t G IR => vlastní směr: t -n 2 0 -2 0 0 0 0 0 0 0 3 0 °) 1 • o) Algebra 2 (MA 0005) 117 A2 = —1: řešíme SLR: ■v1\ Ař (A-{-l).E).\v2 \ = 0 vo, 1 0 -2 0 0 -1 0 0 2 0 4 0 -2 • n 1 0 -2 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 => v2i = 2t, v22 = 0, v23 = t; t G R => vlastní směr: t ■ ^ 0 | . Tedy => v2 = | 0 A3 = 4: řešíme SLR: 1 1 {A —A - E) í 4 0 -2 0 0 : ° -6 0 0 o/ V "2 0 -1 0 -4 0 0 -6 =>■ «31 = -f,«32 = 0,u33 = ŕ;ŕ G vlastní směr: ŕ • | 0 I , vektor -«3 = I 0 l) \ 1 příslušným vlastním vektorem. Vlastní vektory i vlastní čísla jsou nalezeny. je 11.1.3 Diagonální matice lineární transformace Dříve než se pustíme do dalších věcí, dokončíme nyní zkoumání vlastních čísel a vlastních vektorů vzhledem k ortogonalitě (teorie + následující příklad viz Kovář, str. 122-128): Vraťme se k situaci nějaké lineární transformace ip : V —> V zadané ve dvou různých bázích: maticí A v bázi e a maticí P_1 • A ■ P v bázi e!_, viz kapitola 8: vy ~5 J í\ o ? sou řadUuo (^4, 5...podobné matice = matice stejné lineární transformace v různých bázích.) Bez důkazu uvedeme několik vět a jeden příklad, ke kterému směřujeme. 118 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně Věta 27 Podobné matice A, B (tedy takové matice, že existuje regulárni matice P, že B = P-1 ■ A ■ P) mají stejné vlastní hodnoty. Tj. vlastní hodnoty lineární transformace jsou invarianty - nemění se se změnou báze. Věta 28 Reálná čtvercová symetrická matice má právě n navzájem různých vlastních hodnot a vlastní vektory příslušející různým vlastním hodnotám jsou navzájem ortogonální. A vrcholem bude následující věta, která ve svém tvrzení uvádí i návod na řešení následujícího příkladu. Věta 29 Pro každou symetrickou reálnou matici A, která reprezentuje lineární transformaci ip : V —> V existuje ortonormální báze složená z vlastních vektorů matice A, ve které má transformace ip diagonální matici D složenou z vlastních čísel na své hlavní diagonále. Navíc matice přechodu H je ortogonální a její inverzi získáme pouhým transponováním H-1 = HT. D = HT ■ A - H Ad příklad 45: Najděte diagonální reprezentaci D lineární transformace p? : IR3 —> IR3 zadané symetrickou maticí / 0 0 -2N A= 0 -2 0 \-2 0 3 Nalezněte také ortonormální bázi, vzhledem k níž je p? diagonální, a ověřte, že platí D = HT -A-H. Řešení: Matice D se skládá z vlastních čísel, které jsme našli v příkladu 45: Vlastní 0 hodnotě Ai = —2 odpovídá vlastní vektor v\ := | 1 0 «ř Vlastní hodnotě A2 = — 1 odpovídá vlastní vektor I 0 I , který ještě normujeme, protože 1, jej budeme chtít použít do ortonormální báze: 0 j || = V4 + 0 + 1 = VE v2 = • |o A konečně, vlastní hodnotě A3 = 4 odpovídá vlastní vektor ( 0_ ] , který ještě normujeme: 1 Algebra 2 (MA 0005) 119 Sestavení konstrukce předchozí věty: Na diagonále matice D jsou vlastní čísla lineární transformace zadané maticí Ave stejném pořadí, v jakém jsme dali do báze é_ jejich normované vlastní vektory: * -dis) ^® Proč platí H 1 = HT1 Protože HT ■ H = (s/caZ(-u*,-u*))M=ií2,3 = E. (Vysvětlení: v{, v~2, V3 jsou navzájem ortogonální, a přitom jejich velikost = 1. Proto i^j: skal(vi, v}) = 0 \ ^ rt . h = e i = j : skal(vi, Vj) = |\vl\\2 = l2 = li (Z jednoznačnosti inverze u regulární matice - algebra 1, větička 4 - dostaneme, že H-1 = HT.) Poznámka: Ne každé lineární zobrazení V —> V je diagonalizovatelné; uvedeným postupem dokážeme najít D, pokud je A symetrická. Příklad 46 Pokud je ještě čas, můžeme se pustit do celkového příkladu, kdy matici osové souměrnosti vzhledem k ose y = | sestavíme (viz závěr videa 11, poslední půlhodina) a) z vlastních čísel a pomocí báze vlastních vektorů a matice přechodu získáme matici této souměrnosti vzhledem ke standardní bázi. b) na základě zobrazení nějaké báze a řešením určitého systému lineárních rovnic - standardním způsobem. Poznámka: když hledáme vlastní čísla a vlastní vektory u matice, která není symetrická, není zaručeno, že ke každému vlastnímu číslu má prostor vlastních vektorů dimenzi 1 - neboli jinými slovy, u matice A řádu n nemusí existovat n navzájem různých vlastních čísel, ale méně, a pak prostor vlastnímu číslu odpovídajících vlastích vektorů má dimenzi větší než 1. Příklad a vysvětlení viz Zlatoš, str. 413-418 (Zlatoš, Algebra, najdete velké pdf na internetu). Jinými slovy, ne vždy lze matici lineární tramsformace diagonalizovat. Jestliže A je symetrická, tak ano, ale v případě obecné matice A se nám někdy nepodaří najít dostatečný počet vlastních vektorů, aby vytvořily bázi, ve které je matice transformace diagonální. Tzv. Kanonický Jordánův tvar J matice A nemusí tedy vždy být diagonální maticí. 120 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 11.2 Cvičení 11: Vlastní čísla a vlastní vektory lineárního zobrazení Úloha 11.1 Lineární transformace na vektorovém prostoru je zadána vztahem xi\ ( 8xi + 9x2 ^ x2J \-6Xl-7x2 Nalezněte všechny její vlastní hodnoty a pro každou vlastní hodnotu najděte také aspoň jeden vlastní vektor. Úloha 11.2 Lineární transformace ip : R2 —> R2 je zadána maticí 4 2 C ~ ' 2 4 a) Najděte vlastní vektory (směry) a vlastní čísla (hodnoty) této transformace. b) Ilustrujte na konkrétním vektoru, co to znamená, že je vlastním vektorem, a na jiném konkrétním vektoru, co to znamená, že není vlastní vektorem vzhledem k zobrazení ip. Úloha 11.3 Lineární transformace p> : R2 —> R2 je zadána maticí 3 1 C~ ' 1 3 a) Najděte vlastní vektory (směry) a vlastní čísla (hodnoty) této transformace. b) Ilustrujte na konkrétním vektoru, co to znamená, že je vlastním vektorem, a na jiném konkrétním vektoru, co to znamená, že není vlastní vektorem vzhledem k zobrazení ip. Úloha 11.4 Lineární transformace ip : R2 —> R2 je zadána maticí 2 1 C~ ' 1 2 Najděte vlastní vektory (směry) a vlastní čísla (hodnoty) této transformace. Úloha 11.5 Lineární transformace p> : R2 —> R2 je zadána maticí 5 -3 C ' -3 5 Najděte vlastní vektory (směry) a vlastní čísla (hodnoty) této transformace. Algebra 2 (MA 0005) 121 Úloha 11.6 Lineární transformace ip : B? —y B? je zadána matici 10 0 C= | -1 3 0 3 2-2 Najděte vlastni vektory (směry) a vlastni čísla (hodnoty) této transformace. Úloha 11.7 a) Je zadán vlastní vektor w = ( 0 | lineární transformace zadané matici -2 0 0 C= | 3 1-3 2 0-4 Najděte k němu příslušnou vlastní hodnotu. b) Najděte vlastní vektory (směry) a vlastni čísla (hodnoty) osové souměrnosti v rovině s osou souměrnosti y = |. Nápověda: Nemusíte hledat matici zobrazení ani nie počítat, stačí jen využit • geometrických vlastnosti dané osové souměrnosti; • definice vlastního vektoru (a geometrický význam této definice). 122 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 12 Týden 12 12.1 Kapitola 12: Vlastní čísla podruhé; Grammova matice podruhé; vektorový součin vektorů 12.1.1 Neorientovaný objem v Euklidovském vektorovém prostom Viz video 12, druhá polovina. V otázce v předmětu Algebra 2 je možné tento oddíl vynechat, protože z této kapitoly budu zkoušet jen jedinou definici, a sice definici vektorového součinu pomocí objemu orientovaného. 12.1.2 Obecná definice vektorového součinu pomocí orientovaného objemu Vybudujeme pomaličku pojetí orientace, pak pojetí orientovaného objemu, a nakonec na základě skalárního součinu vektorů definujeme operaci vektorového součinu (n—1) vektorů v n-rozměrném prostoru. Definice 39 Dvě báze vektorového prostoru jsou souhlasně orientované, pokud matice přechodu mezi nimi má kladný determinant; Dvě báze vektorového prostoru jsou nesouhlasně orientované, pokud matice přechodu mezi nimi má záporný determinant. Poznámka: Relace souhlasné orientace mezi dvěma bázemi (tj. binární relace na množině čtvercových matic daného řádu!) je relací ekvivalence, protože: - každá báze je souhlasně orientovaná sama se sebou: detE = 1 - a ~ /3 => /3 ~ a...relace je symetrická (opět využíváme v tichosti pominutou Cauchyho větu, že determinant součinu matic je roven součinu dílčích determinantů): detP ■ detP'1 = detE = 1 ==> detP > 0 O detP'1 > 0 - a ~ /3, /3~7=>a~ 7...relace je tranzitivní: Pa—>/3 ' P/3—>7 = Pa—>7 ...vztah mezi maticemi přechodu: detPa^p ■ detPp^y = detPa^7 a výsledek součinu kladných čísel je opět kladný. Strategie kladné orientace: Vybereme jednu hezkou bázi (zpravidla standardní) a prohlásíme ji za kladně orientovanou. Pak všechny báze s ní orientované souhlasně mají též kladnou orientaci. Algebra 2 (MA 0005) 123 Příklad 47 a) Kladně orientovaná báze v prostoru jedné dimenze LiÚ): báze v má stejný směr jako vektor Ú, b) Kladně orientovaná báze v prostom dimenze 2, tj. L(ú{,U2): otáčíme ú[ do směru U2 proti směru pohybu hodinových ručiček, c) Kladně orientované báze v prostom dimenze 3, tj. L(ú[, U2, u%): pravidlo pravé ruky: když otáčíme u\ do směru Ú2 proti směru ručiček, tj. ve směru prstů pravé ruky, vidíme toto otáčení jako proti směru ručiček z vrcholku vektoru U3 (= palec ukazuje ve směru vektoru u%). Definice 40 Orientovaný k-rozměrný objem: (V; +; •) je k-rozměrný euklidovský prostor a ui,u~2, ...,v7k je jeho kladně orientovaná báze, která je navíc ortonormální. Pak orientovaný k-rozměrný objem pro libovolnou posloupnost vektorů (x[, x*2,x~k) definujeme jako determinant: volk(x[, x*2, x~k) = det ...šipka volk značí orientaci. /skal(xi,úi) skal(x~2,ui) skal(x~i,U2) skal(x~2,U2) skal(x~k, u{)\ skal(x~k, U2 \skal{pci,Uk) skal(x2,vTk) ... skal(x~k, Uk)J Poznámka: Orientovaný objem je tedy definován jako jistý determinant; jednotkou tohoto objemu je objem /c-rozměrné krychle vytvořené vektory u~[, ...,uk kladně orientované ortonormální báze20 - sloupce matice, z níž determinant počítáme, jsou tvořeny souřadnicemi vektorů x~[, ...,x~k v bázi úi,..., uk. Příklad 48 Pokud fo\ 0 1 0 Ui = 0 0 , ...,uk = 0 W [oj [1) tak: M A G pfcxfc platí: det{A) = vol(si(A), s2(A),sk(A)), tj. det (A) je roven k-rozměrnému ORIENTOVANÉMU objemu určenému sloupci této matice. Poznámka: Definice 40 nám ukazuje jiný způsob pojetí determinantu: pokud se „pohybujeme" v euklidovském prostoru M.n (prostor n-tic reálných čísel je euklidovský), tak det(A) lze chápat jako orientovaný n-rozměrný objem rovnoběžnostěnu vytvořeného sloupci matice A. 20Odsud až do konce kapitoly je toto předpokládáno: že vektory u[,uk vytvářejí kladně orientovanou ortonormální bázi prostoru. 124 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně Věta 30 a) Orientovaný objem vektoru x[, ...,xk je invariant - nezávisí na volbě kladně orientované ortonormální báze, b) V orientovaném k-rozměrném euklidovském prostoru V je mezi neorientovaným obje- mem (jen viz video 12, druhá polovina) a orientovaným objemem (dej. 40) souvislost, kterou bychom očekávali: liší se maximálně znaménkem, tedy volk{xi, ...,xk) = \volk(xl, ...,xk)\. Přitom x{,...,xk tvoří kladně orientovanou bázi V právě tehdy, když volk(x[,xk) > 0. c) Důsledek části (b): x[,xk jsou lineárně nezávislé <^> volk(x\,xk) ^ 0 Definice 41 Mějme kladně orientovanou ortonormální bázi a = (ú[,un), n > 2, orientovaného euklidovského prostoru V. Vektor v E V se nazývá vektorový součin vektorů x\, x~2, xn_i E V (značíme v := x~[ x x2 X ... X xn_\), jestliže ke každému vektoru y E V lze vyjádřit orientovaný objem voln(x~[, xn_i, y) pomocí skalárního součinu skal(v,y): voln(x[, = skal(v,y). Přitom vektorový součin v v sobě nese informaci o orientovaném objemu vektorů x[,xn-i, a sice \\v\\ = \voln_i(xi,neboli velikost vektorového součinu v je rovna absolutní hodnotě orientovaného objemu daných vektorů x~[, ...,xn_i. 12.1.3 Speciální případ vektorového součinu vektorů pro n = 2 a n = 3 Podívejme se, jak se definice 41 prezentuje pro n = 2 a n = 3: Pro n=2 : Pro pevně zvolený vektor x E V se pro různé vektory y spočte orientovaný objem vol2(x, y) pomocí skalárního součinu skal(v, y), kde v je vektorovým součinem jediného vektoru x, tj. přiřazení vektorového součinu x —> v je unární operací. Algebra 2 (MA 0005) 125 Pro n=3 : Pro pevně dané vektory x[, x2 existuje jediný vektor v, označme v := x x y. Při záměně pořadí vektorů xi, x2 se změní orientace báze a = (xl5 x2), tj. vektorový součin jako součást orientovaného objemu změní znaménko, tj. vektorový součin je antisymetrické zobrazení: x\ x x2 = —x2 x x\ 126 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně Věta 31 Vlastnosti vektorového součinu x\ x x2 x ... x xn-\ v orientovaném euklidovském prostoru V,dím(V) = n (Zlatoš 310-311), nad tělesem R reálnych čísel: a) Vektorový součin x\ xx2 x... xx„-i je multilineární ((n-1)-lineárni) antisymetrické zobrazení: Vn~ľ ->■ V b) Vektory x[, x2,Jsoíí lineárně závislé x\ x x2 x ... x xn-\ = o, c) Pokud x~i, x2, xn-i jsou lineárně nezávislé, tak v = x\ x x2 x ... x xn-\ je normálový vektor nadroviny L(x[, x2,xn-i), a vektory x[, x2,xn-\, v tvoří kladně orientovanou bázi, d) Pro n > 2 v n-rozměrném orientovaném euklidovském prostoru V platíVx[,xn-\ E V: \\x~i x ... x Xjj-iH = voln-i(xl,= \Jdet G(x[, x2, (tedy neorientovaný objem vektorů x~[, x2,xn-\ spočte velikost jejich vektorového součinu). 12.1.4 Fyzikální význam vektorového součinu Příkladem fyzikálního významu vektorového součinu je otáčivý moment M tělesa kolem pevné osy při působení síly F: osa ofcBĚBtu' odři Tímto způsobem dveře nepootočíme ani o centimetr. Pomocník snažící se dveře otevřít nebo zavřít svou sílu vynakládá zbytečně, otáčivý moment této síly vzhledem k ose otáčení je nulový vektor. Když síla F bude působit šikmo a nikoli rovnoběžně se stěnou dveří, lze ji rozdělit na součet dvou dílčích sil Fi,F2: Síla F2 představuje působení neefektivního pomocníka, síla F± naopak působí ve směru kolmém na osu otáčení, tj. F± je ta „část" síly F, která ovlivňuje otáčivý moment tělesa. Pokračujme dále k definici momentu síly vzhledem k ose otáčení: M = r x F \\M\\ = \\r\\■ \\F\\■ sina Algebra 2 (MA 0005) 127 Otáčivý moment M působí ve směru osy otáčení - v tom směru, který určíme podle pravidla pravé ruky: když prvky směřují ve směru otáčení osy, palec ukazuje ve směru vektoru M, Velikost momentu závisí na vzdálenosti ||ř|| působiště P od osy otáčení, a dále na průmětu F± síly F do směru kolmého na působiště f (tj. na velikosti průmětu ||F|| • sin a): \\M\\ \F\I • sin a = I Iři 1*11 Tedy orientace M je taková, aby vektory r, F, M v daném pořadí tvořily kladně orientovanou bázi prostoru (otáčení prvního vektoru směrem ke druhému vektoru vidíme lépe, když posuneme f do bodu P, aby vektory r, F měly stejný počáteční bod). Na moment M má tedy vliv jen složka Fi kolmá na průvodič bodu působení síly -tj. při vektorovém součinu využíváme „informace", které vzniknou kolmým průmětem jednoho vektoru do směru kolmého na druhý vektor. Zobrazení r x F je multilineární (bilineární): (a ■ ř\ + /3 • r~2) x F = a ■ ř\ x F + /3 • ř\ x F. Zobrazení r x F je antisymetrické: r x F = —F x r. Silně doporučuji: několikrát (pro různé otázky) si projděte odpovědník opakující obsah přednášek 11 a 12: https://is.muni.cz/auth/el/ped/podzim2023/MA0005/odp/predll_12_otazky_ano_ne.qref 128 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 12.2 Cvičení 12: hlavní prověrka tohoto předmětu Na základě pokynú cvičícího. 13 Otázky ke zkoušce Dvanáct otázek má vyšší důležitost a měli byste je znát velmi dobře - jsou to otázky číslo 2, 4, 5, 7, 8, 9, 12, 15, 16, 17, 21, 23 (jsou to otázky zkoušené u bakalářských závěrečných zkoušek). Ostatní otázky také bystě měli znát a případně ztratíte-získáte body, ale některé výpočetní otázky už byly zdůrazněny na cvičení, takže nejsou zařazeny mezi top dvanáct. Alg 1, téma 1: Struktury s jednou operací • Co znamená označení 2A pro A = {1,2,3,4}? Jak se definuje operace symetrický rozdíl? • Jaká algebraická struktura je (2A, U)? Zdůvodněte podrobně. • Jaká algebraická struktura je (2A, n)? Zdůvodněte podrobně. • Jaká algebraická struktura je (2A, -=-)? Zdůvodněte podrobně. • Co za algebraické struktury jsou (63, o), (6*4, o), (6*5, o) a kolik mají prvků? • Co je typické na operaci o? Uveďte všechny prvky struktury (6*3,0). Najděte minimální množinu generátorů struktury (63, o). • Na množině (64, o) vyřešte rovnici (1, 2, 3, 4) o x = (1, 3). • Uveďte nějakou cyklickou podgrupu grupy (64, o). • Jaký je řád prvku (1, 2, 3, 5) o (2,4, 6) v grupě (s6, o)? Alg 1, téma 2: Struktury se dvěma operacemi • Uveďte definici okruhu (M, Ví*) a příklad okruhu, který není oborem integrity. • Uveďte definici oboru integrity (M, Ví*) a příklad oboru integrity, který není tělesem. • Uveďte definici tělesa (M, Ví*) a příklad tělesa. • Vlastnosti předchozích struktur se dvěma operacemi byste měli umět vypsat i jednotlivě, a tentokrát se správnými názvy vlastností, například: a) uveďte vlastnost distributivity v okruhu (M, V)*)j b) uveďte rovnici, kterou mají splňovat případní dělitelé nuly v okruhu (M, y, *); c) uveďte vlastnosti, ve kterých se vyskytuje operace * v okruhu (M, y,*); a podobně. Algebra 2 (MA 0005) 129 • Co za strukturu z algebraického hlediska je (No, +, •), (Z, +, •), (Q, +, •), (R, +, •), • Co za strukturu z algebraického hlediska je množina (2A, U, n)? • Co za strukturu z algebraického hlediska je množina (2A, n)? • Co za strukturu z algebraického hlediska je množina (Zq, +, •)? • Co za strukturu z algebraického hlediska je množina (Z?, +, •)? • Co za strukturu z algebraického hlediska je množina (R$[x], +, •) polynomů stupně nejvýše třetího s operacemi sčítání polynomů a násobení polynomů? • Co za strukturu z algebraického hlediska je množina (R[x],+,-) polynomů libovolného konečného stupně, s operacemi sčítání polynomů a násobení polynomů? Alg 1, téma 3: Polynomy, základní věta algebry • Výraz p(x) = an ■ xn + an_i ■ xn~x + • • • + a2 ' x2 + ai ' x + ao Je polynomem stupně n, jestliže ... • Číslo c z množiny ... (doplňte) je kořenem polynomu p(x), jestliže ... • Základní věta algebry: Polynom p(x) = an ■ xn + an_i ■ xn~x + • • • + a2 ' x2 + ai'x + ao lze upravit na tvar ... • Číslo c z množiny ... (doplňte) je kořenem násobnosti k polynomu p(x), jestliže ... • Vysvětlete užitím polynomu p(x) = x5 — 2x4 + 5x — 6 všechna užití Hornerova schématu, která znáte. • Co tvrdí věta o racionálních kořenech polynomu p(x) = an ■ xn + an_i ■ xn~x + • • • + a2 • x2 + ai ■ x + ao? • Jakým způsobem z polynomu p(x) odstraníte násobné kořeny? Popište proces pouze vhodným obecným označením, bez příkladu. • Jaká věta platí pro komplexní kořeny polynomu p(x) s reálnými koeficienty? Alg 1, téma 4: Řešení polynomických rovnic jinými metodami než Homérovým schématem • Vyřešte v komplexním oboru rovnici x6 + 64i = 0, včetně grafického znázornění řešení v komplexní rovině. • Popište myšlenku řešení binomické rovnice 8x5 - 64x4 + 100x3 + 100x2 - 64x + 8 = 0 (nikoli úplné řešení, ale pouze ... pak upravíme na tvar ... po substituci dostaneme tvar ...). 130 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně • Uveďte větu pro ohraničení velikosti kořene polynomu p(x): |x4 < 1 + . ... • Proveďte hrubou a jemnější detekci všech reálných řešení rovnice x5 — 3x + 1 = 0. • Vysvětlete výhody a nevýhody metody půlení intervalu a metody Newtonovy při řešení rovnice f(x) = 0. • Odvoďte vzorec Newtonovy metody pro řešení rovnice f(x) = 0. • Nalezněte reálné řešení rovnice x5 — 3x + 1 = 0 metodou půlení intervalu. • Nalezněte reálné řešení rovnice x5 — 3x + 1 = 0 metodou Newtonovou. 13.1 Cramerovo pravidlo pro řešení SLR • Totální vzorec pro řešení SLR - odvození pro systém dvou rovnic o dvou neznámých; • Příklad: pomocí Cramerova pravidla vypočtěte řešení SLR: x — z = 0, 3x + y =1, —x + y + z = 4. • Jak byste použili Cramerovu metodu v případě, že má menší počet rovnic než neznámých? Vysvětlete na příkladu (čtvercovou matici na levé straně bychom získali doplněním čtvrtou rovnicí, jejíž všechny koeficienty i pravá strana jsou rovny nule) [nápověda: v řešení se bude vyskytovat jeden parametr; vysvětlení viz BP Danešová, str. 64-65] x + y + 2z — 5w = 3, 2x + 5y — z — 9w = —3, 2x + y — z + 3w = —11. • Dokažte (zdůvodněte) podrobně pravidlo D4 pro úpravy determinantu: Determinant se nezmění, když k danému řádku přičteme násobek ... (při zdůvodnění budete potřebovat skutečnost, že determinant se dvěma stejnými řádky se rovná nule ... toto též podrobně zdůvodněte). Algebra 2 (MA 0005) 131 13.2 Definice determinantu • Definice: determinant čtvercové matice, včetně určení znaménka u součinu prvků v jednom členu pomocí počtu inverzí sloupcových indexů. • Příklad: určení znaménka u součinu pomocí geometrického názoru počtu hran příbuzných vedlejší diagonále ze všech možných hran spojujících prvky, které vybereme do téhož součinu. Můžete vysvětlit na příkladu: • Zdůvodněte (Dl), proč se transponováním determinant nemění, a jak vypočteme determinant matice ve schodovém tvaru (a proč to tak můžeme udělat). • Vysvětlete: Determinant je antisymetrická (D2) multilineární (D3) forma. Zejména napište vzorcem nebo příkladem podmínku linearity determinantu D3. 13.3 Další pravidla pro úpravu determinantu • D3: determinant jako zobrazení je lineární v každé složce (vysvětlete a dokažte; v důkazu budete potřebovat pracovat s definicí determinantu obecně pomocí jisté sumy); • Rozviňte determinant Laplaceovým rozvojem podle druhého sloupce (stačí provést jeden krok tohoto rozvoje do součtu determinantů řádu 5, nemusíte počítat dál) 1 2 2 4 0 0 3 -1 0 2 1 0 1 3 1 4 1 0 2 0 3 0 5 1 4 2 7 3 1 0 4 0 9 0 8 1 5 3 7 6 9 1 5 4 3 8 1 0 7 0 9 0 • Ukažte, jak lze pokračovat v příkladu s Laplaceovým rozvojem výše tím způsobem, že při sloučení prvních dvou z těchto tří determinantů pátého řádu užijeme linearitu D3. 132 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 13.4 Vektorový prostor • Definice vektorového prostoru V nad tělesem T. • Příklady (jak se na těchto VP definuje sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem?): a) aritmetický vektorový prostor, b) prostor polynomů stupně nejvýše 3, c) prostor funkcí spojitých na intervalu, d) nej menší možný vektorový prostor. • Meziotázka: srovnejte vektorové prostory b), c) z hlediska báze a dimenze. 13.5 Závislost a nezávislost skupiny vektorů — báze, dimenze, souřadnice • Def.: lineární kombinace vektorů; def.: lineárně závislá posloupnost vektorů; • Def.: báze a dimenze vektorového prostoru, souřadnice vektoru v zadané bázi. • Příklady dimenze a báze (u příkladů b),c) z předchozí otázky). • bonusová otázka: Jestliže posloupnost vektorů úi, Ú2, ...,úk je lineárně závislá, kolik řešení pro neznámé at E R má vektorová rovnice (na její pravé straně je nulový vektor) «i • úi + a2 ■ Ú2 H----+ ak ■ úk = o ? 13.6 Vektorový podprostor • Def.: vektorový podprostor: co stačí ověřit, abychom věděli, že podmnožina vektorového prostoru je sama už vektorovým prostorem? • Příklady vektorového podprostoru (co je, co není vektorový podprostor); • Je průnik dvou podprostoru vektorový podprostor? (pokud ano, dokažte; pokud ne, vyvraťte) Je sjednocení dvou podprostoru vektorový podprostor? (pokud ano, dokažte; pokud ne, vyvraťte) Pokud ne, lze definovat nějak podprostor určený sjednocením? Jak? • Co je to lineární obal množiny vektorů, popřípadě podprostor generovaný množinou vektorů? Uveďte dva příklady lineárního obalu množiny vektorů, jeden v rovině a druhý ve třírozměrném prostoru. Algebra 2 (MA 0005) 133 13.7 Hodnost matice, nehomogenní SLR • Co je to hodnost matice (def.)? Jak souvisí pojem hodnosti matice s pojmem dimenze jistého nejmenovaného (který máte jmenovat) vektorového prostoru? • Jaké tři situace mohou nastat u SLR (obecně nehomogenních rovnic) vzhledem k počtu řešení a kdy která z nich nastává? Použijte terminologii matice systému a rozšířené matice systému. Co říká Frobeniova věta? • V případě nekonečně mnoha řešení: Jak počet parametrů souvisí s hodností matice systému? • Příklad řešení SLR Gaussovou eliminací: Matice systému rovnic o šesti neznámých xi, X2 atd. až xq byla upravena na schodový tvar, dokončete podle něj řešení ve vektorovém tvaru: / x1 \ [1 2 0 -3 1 0 2\ 0 0 1 0 0 2 1 0 0 0 0 1 1 2 \o 0 0 0 0 0 0/ V xe I • Co lze říci o množině řešení SLR? Množina řešení SLR je (z algebraického hlediska co za strukturu?) ... 13.8 Homogenní SLR, princip superpozice • Co je to SLR-hom? Jaké situace mohou nastat u SLR-hom podle počtu jejich řešení? Jaké řešení u SLR-hom existuje vždy? Tvoří množina řešení SLR-hom vždy vektorový prostor? Pokud ano, dokažte, pokud ne, vyvraťte (klíčová část otázky) • Co je to regulární-singulární matice a jak tento pojem souvisí s a) determinantem z této matice, b) hodností této matice, c) počtem řešení SLR-nehom s touto maticí? • Obecné a partikulární řešení SLR-nehom, obecné a partikulární řešení SLR-hom. Vše lze vysvětlit i na příkladu v následující odrážce. • Vysvětlete a proveďte princip superpozice při řešení SLR na příkladu (řešení obou systémů, homogenního i nehomogenního, předtím ovšem vyjádřete ve vektorovém tvaru): x\ + 2X2 + 3X3 + X4 = 5, 3x2 — X3 + 3x4 = 6. 134 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 13.9 Sčítání a násobení matic — analýza pomocí pojmů z algl • Uveďte a zdůvodněte vlastnosti operace sčítání matic (které matice lze sčítat? která matice je neutráln? jak se najde k matici A inverze vzhledem ke sčítání?). • Jak se definuje operace násobení matic a jaké matice lze násobit? • Uveďte a dokažte vlastnosti operace násobení matic (přednostně tedy násobení na množině čtvercových matic). • Shrnutí (klíčová část otázky): Množina (Mnxn,+,-) čtvercových matic řádu n je ... dokončete větu a uveďte konkrétní příklad netriviálních dělitelů nuly v této struktuře (uveďte celou rovnici, ve které se tito netriviální dělitelé nuly vyskytují). 13.10 Elementární řádkové úpravy • Co je to elementární řádková úprava (def.)? • Co je pro ERÚ charakteristické vzhledem k SLR? Elementární úpravy SLR ... • Věta: každou ERÚ lze reprezentovat vynásobením jistou regulární maticí zleva -ukažte na příkladu matice Nestačí výsledek, všimněte si, k jaké konkrétní řádkové nebo sloupcové úpravě dojde. • K jaké úpravě matice A dojde, jestliže ji vynásobíme zprava maticí Algebra 2 (MA 0005) 135 13.11 Maticová metoda při řešení SLR • Co je to maticová metoda řešení systému lineárních rovnic? • Výpočet inverzní matice Jordánovou metodou - vysvětlete na příkladu x — z = 0, 3x + y =1, —x + y + z = 4. • Zdůvodněte matematickou větu, proč ERU použité na jednotkovou matici najdou matici inverzní (proveďte důkaz). • Lze užít maticovou metodu při řešení systému následujícího, kde třetí rovnici získáme odečtením dvojnásobku první rovnice od druhé rovnice? x + y + 2z — 5w = 3, 2x + 5y — z — 9w = —3, 3y — 5z + w = —9. 13.12 Lineární zobrazení • Uveďte definici lineárního zobrazení mezi vektorovými prostory. Doplňte stručným grafickým názorem (bylo pouze na videu 07, obrázky zatím nejsou v textu přednášky). • Zadání lineárního zobrazení pomocí předpisu - pomocí matice - pomocí obrazů báze. Uveďte příklad lineárního zobrazení iž3 —> R2. • Příklad zobrazení mezi vektorovými prostory, které není lineární. • Věta: základní vlastnosti lineárního zobrazení. • Meziotázka: které základní zobrazení na ZS není lineární zobrazení, ale afinní zobrazení? 136 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 13.13 Jádro a obor hodnot lineárního zobrazení • Def.: jádro a obor hodnot lineárního zobrazení, nejlépe včetně obrázku, ale i definice symbolickým zápisem. • Na příkladu vysvětlete, jak jadro a obor hodnot konkrétního lineárního zobrazení najdeme: • Věta: vlastnosti jádra a oboru hodnot, vztah jejich dimenze a dimenze celého prostoru vzorů. • Věta: lineární zobrazení je injektivní právě tehdy, když ... (a z matice zobrazení se to pozná, právě když ... ) Příklad A) otáčení roviny se středem v počátku: • Nalezněte maticové vyjádření (lineární zobrazení) otočení roviny se středem v počátku o úhel 30 stupňů neboli | (viz kapitola 7, str. 76, nebo video 07). Příklad B) osová souměrnost s osou procházející počátkem: • Nalezněte maticové vyjádření (lineární zobrazení) osové souměrnosti v rovině s osou y = 0 (tj. osa souměrnosti je vlastně osa x) (viz kapitola 07, str. 77, příklad 31) nebo s osou y = | (viz až video 11, od času 1:38:00, s využitím jednak řešení SLR, jednak druhá metoda s využitím matice přechodu). 13.14 Příklady lineárního zobrazení na ZŠ vysokoškolsky Algebra 2 (MA 0005) 137 13.15 Matice přechodu mezi bázemi téhož VP • Je zadán vektor / 1 \ v bázi a = vyjádřete souřadnice vektoru v vzhledem k bázi /3 = pomocí jisté matice přechodu P. • Jaké je nyní vyjádření vektoru v v bázi /3 v našem příkladu? • Pro /3 zadanou vektory Ě = by byla matice přechodu P =... 13.16 Skalární součin vektorů • Vysvětlete: Skalární součin vektorů je a)symetrická b) bilineární c) pozitivně defi-nitní d) forma na daném Euklidovském vektorovém prostoru. Co je to Euklidovský vektorový prostor? • Uveďte příklad skalárního součinu na prostoru a) n-tic reálných čísel; b) spojitých funkcí na intervalu (a; b). • Jaký je geometrický význam skalárního součinu? • uveďte nějaký fyzikální význam skalárního součinu. Pokud nevíte, zkuste vyřešit následující úlohu: Tatínek táhne sáně se třemi dětmi o celkové hmotnosti 45 kg pod úhlem 20° vzhledem k zemi po dokonale hladkém ledu silou 210 N. Jakou práci vykoná při posunutí saní o 3 metry? (nemusíte dosazovat do kalkulačky, jen vyjádřete výpočtem bez dosazení) 138 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 13.17 Velikost vektoru, odchylka vektoru • Definice velikosti a její základní vlastnosti (věta). • Vyslovte a dokážte Schwarzovu nerovnost. Kdy v ní nastává rovnost a proč? (věta 24, důkaz je na videu 10, doba 1:32:00 až 1:44:00, s využitím vzorce 10.1 odvozeného na videu 09, doba 1:17:30 až 1:22:30 ). • Definice odchylky dvou nenulových vektorů: z čeho možnost existence tohoto pojmu vyplývá, a jak souvisí se skalárním součinem? V jakém intervalu se může odchylka dvou vektorů pohybovat? Jak se liší odchylka vektorů od odchylky přímek v aritmetickém vektorovém prostoru? 13.18 Ortogonální vektory, ortogonální doplněk • Ortogonální vektory, ortogonální matice, ortogonální zobrazení - definice; Ortogonální množiny, ortogonální podprostory - definice. Ortogonální doplněk podprostoru - definice. • V Euklidovském prostoru R5 je dán podprostor /1\ > -1 0 i 1 1 0 > 0 0 -1 w W Nalezněte bázi a dimenzi jeho ortogonálního doplňku W±. • Hledání ortogonálního doplňku má stejnou metodu jako hledání jádra jistého lineárního zobrazení; otázka tedy zní: když se podíváte na příklad hledání ortogonálního doplňku v předchozí odrážce: a) nalezený ortogonální doplněk je jádrem jistého lineárního zobrazení mezi vektorovými prostory - odkud kam zobrazuje toto zobrazení, tj. z jakého prostoru do jakého? b) jaká je matice tohoto lineárního zobrazení? Algebra 2 (MA 0005) 139 13.19 Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces • Vysvětlete, co je to Grammův-Schmidtův proces. • V Euklidovském prostoru V nalezněte ortogonální bázi podprostoru W = L • Co to znamená, když některý z vytvářených vektorů bude nulovým vektorem? • Co je to ortonormální báze vektorů a jak by se tato báze získala z báze ortogonální? 13.20 Ortogonální projekce vektoru do VPP • Vysvětlete, o co se jedná, včetně obrázku. -1 -3 Nalezněte ortogonální projekci vektoru v do podprostoru U = L{ i i W V 4 y 1 1 V-27 • Nalezněte také souřadnice vektoru y z ortogonálního doplňku UJ~ z definice ortogonální projekce (v našem příkladu). 13.21 Vlastní čísla (hodnoty) a vlastní vektory (směry) lineární transformace • Def.: vlastní čísla a vlastní směry lineární transformace vektorového prostoru. • (geometrický pohled) Najděte navzájem lineárně nezávislé vlastní směry osové souměrnosti vzhledem k ose y = | (příklad 43). • (algebraický příklad) Nalezněte (příklad 44, 45) aspoň jeden vlastní směr-vektor a jemu odpovídající vlastní hodnotu pro lineární transformaci fž3 —> fž3 zadanou maticí '0 0 -2N A= | 0 -2 0 -2 0 3 140 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 13.22 Využití matice zobrazení v různých bázích • Nalezněte maticové vyjádření (lineární zobrazení) osové souměrnosti v rovině s osou y = | na základě řešení jistého systému rovnic, bez matic přechodu (video 11, od času 1:38:00). • Nalezněte maticové vyjádření (lineární zobrazení) osové souměrnosti v rovině s osou y = | na základě vlastních čísel a vektorů a dvou matic přechodu (viz video 11, doba 1:24:00 až 1:38:00). 13.23 Vektorový součin vektorů • Vektorový součin vektorů v dimenzi 3: základní informace středoškolského rázu, tj. b) jak se určí směr tohoto vektorového součinu? c) jaký geometrický význam má velikost tohoto vektorového součinu? • Definice vektorového součinu pomocí jistého skalárního součinu: uveďte definici a vysvětlete na obrázcích pro n = 2 a n = 3. • Uveďte fyzikální význam vektorového součinu (ideálně: moment síly vzhledem k ose otáčení) a vypočtěte následující příklad: Délka ramene pedálu jízdního kola je 0,152 m. Chodidlo cyklisty tlačí svisle na pedál silou o velikosti 111 N. Určete velikost momentu síly vzhledem k ose otáčení svírá-li rameno pedálu se svislým směrem (viz obrázek) úhel a) 30°, b) 90°, c) 180°. Ve kterém z případů bude moment síly r x F mít velikost největší-nejmenší? (r je vektor průvodiče od osy otáčení k místu připojení pedálu). a) jak se spočítá vektorový součin vektorů u ? Algebra 2 (MA 0005) 141 Přehled literatury Pro zopakování analytické geometrie je důležitý výklad v [Boček, Kočandrle 1995] a příklady v [Petáková 1998] od strany 100, ale ne všechny z oddílů 13 a 14, nýbrž skoro všechny. Pro další týdny cvičení budou probírány některé kapitoly z knihy [Horák,P. 2002], ale pdf slajdy kolegů ze cvičení budou tak dokonalé (včetně výsledků), že studenti se nebudou muset do ní dívat. Přednáška je vytvářena na základě [Horák, 2017], s přihlédnutím ke knize [Poole,D. 2015]. Z knih [Shilov 1997], [Zlatoš 2011] byly vzaty některé drobnosti a jedna podstatná věc: Shilov začíná celý výklad lineární algebry determinanty. Boček, Kočandrle 1995 Matematika pro gymnázia - analytická geometrie. Základní materiál pro uvedení do počítací geometrie. Nakl. Prométheus, počet stran 187. Horák,P. 2002 Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I. Skriptum z Přírodovědecké fakulty MU, počet stran 221. Horák,P. 2017 Lineární algebra a geometrie 1. Učební text dostupný na internetu, autor je z Přírodovědecké fakulty MU. Počet stran cca 110. Horák, Janyška 1997 Analytická geometrie. Brno 1997, učební text učitelského směru matematiky pro SS na Přírodovědecké fakultě MU, počet stran 151. Petáková,J. 1998 Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na VŠ. Nakl. Prométheus, sbírka příkladů s klíčem. V tomto předmětu nás budou zajímat některé úlohy z analytické geometrie, od strany 100. Poole,D. 2015 Linear algebra - a modern introduction. Stamford, USA, 4th Edition. V angličtině, nejschůdnější učebnice pro studenty. 620 stran + dodatky + odpovědi na cvičení s lichým číslem. Shilov,G. 1997 Linear Algebra. Dover Publications, počet stran cca 400, anglický překlad ruského textu, ale v knihovně na Kounicově 65a (Moravská zemská knihovna Brno) najdete i překlad do češtiny u stejného autora (Šilov), i když kniha se možná jmenuje jinak. Starší přednáška lineární algebry. Zlatoš,P. 2011 Lineárna algebra a geometria. Bratislava 2011, text dostupný na internetu, počet stran 808. Text je možná příliš obsáhlý, ale najdete v nějaké formě všecko, co se týká algebraického pohledu na geometrii.