Analytická geometrie 3 - roviny
Petra Bušková
Podzim 2023
Katedra matematiky Pedagogické fakulty MU
Financováno Evropskou unií
NextGeneratíonEU
/.;,, Národní > mm> plán ^ obnovy
< S" ►
Petra Bušková
Analytická geometrie 3 - roviny
MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ. mlAoeže a tělovýchovy
Podzim 2023
Analytické vyjadrení roviny
Pro jednoznačné určení roviny v prostoru potřebujeme 3 různé body, prípadne 1 bod a dva různé směrové vektory (lineárně nezávislé) nebo 1 bod a normálový vektor. Podobně jako tomu bylo u přímky v rovině, i rovinu v prostoru můžeme vyjádřit těmito způsoby:
• parametrické vyjádření roviny,
• obecná rovnice roviny.
Každé z těchto vyjádření má své výhody i nevýhody.
Obecná rovnice roviny působí jednodušeji a na základě porovnání dvou obecných rovnic rovin lze velmi snadno rozpoznat jejich vzájemnou polohu.
Pro parametrické vyjádření roviny není nutné hledat pomocí vektorového součinu normálový vektor roviny. Navíc pokud bychom s rovinou pracovali v prostoru dimenze 4 a více, parametrické vyjádření by bylo stále platné.
Petra Bušková Analytická geometrie 3 - roviny Podzim 2023 1 /11
Parametrické vyjadrení roviny
Parametrické vyjadrení roviny pracuje s principem pričítaní různých násobků dvou lineárně nezávislých směrových vektorů roviny p k bodu ležícímu v dané rovině.
Směrové vektory roviny získáme podobně jako u přímky jako vektory určené libovolnými dvěma body této roviny.
Do každého bodu roviny lze dospět přičtením určité lineární kombinace směrových vektorů k danému bodu. Například na obrázku získáme bod K následovně: K — A+ 2 • u' + v.
p : X = A+t> u + s-v
Petra Bušková
Analytická geometrie 3 - roviny
Podzim 2023
Parametrické vyjadrení roviny - příklady
Pro rovinu určenou bodem A[a±, a2, 33] a směrovými vektory u = (ui, ü2, ü3), v = (vi, v2, v3) platí:
p : x = ai + t • üi + s • v\ y — 32 + t • U2 + s • V2 z   =   a3 + ŕ • U3 + s • v3
ŕ, s G R
Příklad 1
Zjistěte, zda bod X[— 1; —1;3] leží v rovině určené body /4[l;2;-l],ß[3;l;l],C[-l;l;0].
Petra Bušková
Analytická geometrie 3 - roviny
Podzim 2023
Parametrické vyjádření roviny - příklady
Príklad 2
Zjistěte, zda bod M[3; 0; 1] leží v rovině a určené bodem A[l\ 1; 3] a přímkou p, na níž leží bod P[3; —1; —7] a která má směrový vektor i7=(l;l;l)
Příklad 3
Je dána rovina p. Určete její průsečíky se souřadnými osami a napište rovnice přímek, ve kterých rovina p protíná souřadné roviny (xy,yz,yz), tj napište rovnice průsečnic těchto rovin.
p : x   =   l + t + k y   =   2 + 3ŕ-/c z   =   5t + k      t, /c e R
Petra Bušková
Analytická geometrie 3 - roviny
Podzim 2023
4/11
Obecná rovnice roviny
Stejně jako v obecné rovnici přímky se objevuje normálový vektor této přímky, tak také v obecné rovnici roviny se objevuje její normálový vektor. Je to vektor, který je kolmý na každý směrový vektor roviny. Rozmyslete si, že v trojrozměrném prostoru je tento vektor až na nenulový násobek jednoznačně daný. Ve vyšších dimenzích by to už neplatilo, jeden normálový vektor a jeden bod by například ve čtyřrozměrném prostoru popisoval trojrozměrný prostor.
p : ax + by + cz + d = 0, a, b, c, d £ R n = {a, b, c)
Normálový vektor roviny můžeme spočítat ze dvou lineárně nezávislých směrových vektorů pomocí vektorového součinu (viz prezentace Analytická geometrie 1 - vektory).
Po dosazení některého bodu ležícího v rovině dopočítáme koeficient d.
Petra Bušková
Analytická geometrie 3 - roviny
Podzim 2023
Příklady
Příklad 4
Určete obecnou rovnici roviny a určené body /4[1, —1, 3], 6[1, 0,1], C[2, —3,4]. Najděte průsečíky roviny a se souřadnými osami.
Příklad 5
Určete obecnou rovnici roviny /3.
(3 : x   = 1 - t
y  = -3 +s
z  = ŕ — s      ŕ, s G R
Príklad 6
Napište parametrické vyjadrení roviny 7 : 8x + 3y — 5z — 1 = 0
Petra Bušková
Analytická geometrie 3 - roviny
Podzim 2023
Vzájemná poloha přímky a roviny, vzájemná poloha dvou rovin
Vzájemnou polohu přímky a roviny v trojrozměrném prostoru lze rozlišit pomocí počtu průsečíků:
o žádný průsečík - přímka je s rovinou rovnoběžná
• jeden průsečík - přímka je s rovinou různoběžná
• nekonečně mnoho průsečíků - přímka náleží rovině (nelze říci, že jsou přímka a roviny totožné, jedná se totiž o dva různé objekty)
Podobně lze rozlišovat vzájemnou polohu dvou rovin:
• žádný průsečík - roviny jsou rovnoběžné
• společná přímka (průsečnice) - roviny jsou různoběžná
• všechny body společné - roviny jsou totožné
Při vyšetřování vzájemné polohy přímky a roviny, případně dvou rovin, je vhodné vždy pracovat s vektorem, který je pro daný objekt jednoznačně určený. Takovým vektorem je v prostoru pro přímku směrový vektor a pro rovinu vektor normálový. < □ ► < e ► < = ► < = ► =
Petra Bušková
Analytická geometrie 3 - roviny
Podzim 2023
7/11
Vzájemná poloha dvou rovin - příklad
Určeme vzájemnou polohu rovin a a (3. Jsou-li různoběžné, určete jejich průsečnici.
a) a : 2x - 5y + 4z - 10 = 0,   : 4x - 10y + 8z - 10 = 0
b) a:2x-5y + 4z-10 = 0,/3:x-y-z-2 = 0
■v
Řešení:
Všechny roviny máme příhodně zapsané pomocí obecných rovnic, můžeme tedy porovnat jejich normálové vektory, a tak poznat, zda jsou různoběžné, či nikoliv. Následně řešíme jako soustavu dvou rovnic.
a) Normálové vektory daných rovin jsou následující:
ŕľa — (2; —5; 4), rľp = (4; —10; 8). Protože rľp = 2ŕľa, musí být roviny rovnoběžné, nebo totožné.
Pokud bychom se na obecné rovnice rovin podívali jako na soustavu dvou rovnic a řešili ji (tedy pokud bychom hledali průsečíky těchto rovin), brzy bychom přišli na to, že daná soustava nemá řešení. Roviny tedy nemají žádný společný bod - jsou rovnoběžné.
Petra Bušková
Analytická geometrie 3 - roviny
Podzim 2023
8/11
Vzájemná poloha dvou rovin - pokračování príkladu
b) Normálové vektory daných rovin jsou následující:
ŕľa — (2; —5; 4), ŕľp = (1; —1; —1). Vektory jsou lineárně nezávislé, proto musí být roviny různoběžné. Hledejme tedy průsečnici jako řešení soustavy obecných rovnic rovin.
2x - 5y + 4z - 10 = 0
x-y-z-2=0 \-(-2)
-3y + 6z - 6 = 0 -y + 2z-2 = 0   ^z=ŕ;y = 2ŕ-2
Po dosazení získáváme x = 3ŕ.
Dohromady tedy získáváme parametrické vyjádření průsečnice: p: {[3ŕ;2ŕ-2;ŕ],ŕG R}.
Petra Bušková Analytická geometrie 3 - roviny Podzim 2023 9/11
Příklady
' Příklad17_]		
Určete vzájemnou polohu přímky p jejich průsečík. p : {[2;3-2í;-5í],í G R}, p: {[-	a roviny p. s - 2r;2 -	Jsou-li různoběžné, určete s — r; — s + r], s, r G R}
		
Příklad 8_		i
Určete vzájemnou polohu rovin a a průsečnici. a : 2x — 5y + 4z — 10 =	(3. Jsou-li = 0, P : 4x -	různoběžné, určete jejich - 10y - 2z - 10 = 0 J
		
Príklad 9		1
Je dána rovina a \ 2x + 3y — z — 6 = 0 a přímka p,
p : x = 1 - ŕ.   y = 2 + 2ŕ,   z = 4 + 3ŕ,       ŕ G R.
Určete jejich vzájemnou polohu, případně nalezněte průsečík. Napište
rovnici přímky q, která je pravoúhlým průmětem přímky p do roviny a.
<     >     -š    -O °s O
Petra Bušková Analytická geometrie 3 - roviny Podzim 2023 10 /11
Řešení příkladů
Příklad 1: X G ABC Příklad 2: M i a
Příklad 3: Px[2; 0; 0], Py[0; 4; 0], Pz[0; 0; -4]
pxy : {[2 + r; -2r; 0], r G R}, pyz : {[0; 4 + s; s], s G R},
pxz : {[2 + /; 0; 21], I G R}
Příklad 4: a : 3x — y — 5z + 2 = 0 nebo libovolný nenulový násobek Příklad 5: /5:x + y + z + 2 = 0 nebo libovolný nenulový násobek Příklad 6: napríklad 7 : {[1 + 3ŕ + 5s; 1 - 8ŕ; 2 + 8s], ŕ, s G R} Bod nalezneme dosazením libovolných dvou souřadnic a dopočítáním třetí. Podobně získáme dva směrové vektory roviny, pro které musí platit, že výsledkem jejich skalárního součinu s normálovým vektorem je nula. Příklad 7: přímka je s rovinou různoběžná, průsečík P[2; 5; 5] Příklad 8: roviny jsou různoběžné, průsečnicíje přímka p : {[3 + 5t;2í;l],í e R}
Příklad 9: přímka je s rovinou různoběžná, průsečík P[—1;6; 10], q : {[-1 + 16s;6 - 25s; 10 - 43s], s G R}
<      >      1     -O °s O
Petra Bušková
Analytická geometrie 3 - roviny
Podzim 2023
11/11