MA0005 Algebra 2 – Sbírka řešených příkladů
Lukáš Másilko
4. července 2024
Cvičení 1
Obsah
1.1 Výpočet determinantu pomocí definice 2
1.2 Křížové pravidlo pro výpočet determinantu 5
1.3 Sarusovo pravidlo pro výpočet determinantu 6
1.4 Cramerovo pravidlo 8
Výsledky příkladů 12
Katedra matematiky Pedagogické fakulty MU, podzim 2023
1
1.1 Výpočet determinantu pomocí definice
Příklady části 1.1 jsou tématicky zaměřeny na výpočet determinantu pomocí
jeho definice. Určitě existují efektivnější metody, které si ukážeme v Cvičení
3. Abyste dokázali spočítat determinant pomocí definice, je třeba znát pojmy
permutace a inverze v permutaci. Na řešeném příkladu 1.1.a si jejich význam
prakticky demonstrujeme, přesnější definice uvádím na tomto místě.
Je-li n ∈ N, permutací n-prvkové množiny M rozumíme libovolné její
uspořádání (tj. uspořádanou n-tici), v němž se žádný prvek neopakuje. V této
sbírce budeme pracovat s permutacemi nějaké množiny N ⊆ N, které budeme
značit takto:
p = (p1, p2, . . . , pn)
Fakticky tento zápis znamená, že
p(1) = p1 (na 1. místě je prvek p1 ∈ N),
p(2) = p2 (na 2. místě je prvek p2 ∈ N),
. . .
p(n) = pn (na posledním místě je prvek pn ∈ N).
Inverze v permutaci p n-prvkové množiny N ⊆ N je dvojice prvků
a, b ∈ N taková, že a < b a zároveň p(a) > p(b).
Řešený příklad 1.1.a
Zadání
Užitím definice determinantu spočtěte
2 −3 4 −5
3 0 5 0
4 0 6 −7
5 0 7 0
Řešení
Z Definice 2 (viz Skripta, str. 8–9) je patrné, že hledáme součiny a1j1 · a2j2 ·
a3j3 · a4j4 takové, že
(*) z každého řádku a každého sloupce je vybrán právě jeden činitel.
Pro matici typu 4×4 je takových součinů 4! = 24. Nás však budou zajímat jen
ty součiny, které jsou nenulové. Abychom je našli, musíme začít ve 2. sloupci
výběrem prvku a12 = −3. Podíváme-li se pak do 4. sloupce, nemáme jinou
možnost než do takového součinu vybrat prvek a34 = −7:




2 −3 4 −5
3 0 5 0
4 0 6 −7
5 0 7 0




Hledané součiny tedy mají tvar
a12 · a2j2 · a34 · a4j4 = (−3) · a2j2 · (−7) · a4j4 .
2
Ve 2. a 4. řádku můžeme vybírat prvky pouze na 1. a 3. pozici, tj. volíme
j2 ∈ {1, 3} a j4 ∈ {1, 3}:




2 −3 4 −5
3 0 5 0
4 0 6 −7
5 0 7 0




Díky podmínce (*) dostáváme pouze dvě sloupcové permutace, tj. pouze 2
nenulové součiny z celkem 4! = 24 možných:
p1 = (2, 1, 4, 3) : a12 · a21 · a34 · a43 = (−3) · 3 · (−7) · 7 = 21 · 21 = 441
p2 = (2, 3, 4, 1) : a12 · a23 · a34 · a41 = (−3) · 5 · (−7) · 5 = 21 · 25 = 525
Znaménka obou součinů určíme jako (−1)π(p1)
, resp. (−1)π(p2)
, kde symbolem
π rozumíme počet inverzí zadaných permutací.
1. Permutace p1 = (2, 1, 4, 3) má tyto dvě inverze: (2, 1, 4, 3) a (2, 1, 4, 3),
platí tedy π(p1) = 2.
2. Permutace p2 = (2, 3, 4, 1) má tyto tři inverze: (2, 3, 4, 1), (2, 3, 4, 1) a
(2, 3, 4, 1), platí tedy π(p2) = 3.
Dle Definice 2 (viz Skripta, str. 10) je tedy
2 −3 4 −5
3 0 5 0
4 0 6 −7
5 0 7 0
= (−1)π(p1)
· (a12 · a21 · a34 · a43) + (−1)π(p2)
· (a12 · a23 · a34 · a41)
= (−1)2
· 441 + (−1)3
· 525 = 441 − 525 = −84
Řešený příklad 1.1.b
Zadání
Užitím definice determinantu spočtěte
1 −2 0 3
0 −1 4 −1
−3 0 5 0
5 1 0 −4
Řešení
Začneme 3. řádkem matice, v němž jsou pouze dvě nenulové hodnoty:
a31 = −3 a a33 = 5. Díky tomuto výběru už můžeme vyřadit polovinu všech
možných součinů, protože budou nulové.
1. Hledáme-li permutace pro prvek a31 tak, aby byl součin nenulový a
zároveň splněna podmínka (*), pak ve 3. sloupci zbývá už jen jedna
3
nenulová hodnota, tj. prvek a23 = 4. Z 1. a 4. řádku tedy můžeme
vybírat už jen prvky a12, a14, a42, a44:




1 −2 0 3
0 −1 4 −1
−3 0 5 0
5 1 0 −4




Dvěma možným výběrům odpovídají tyto sloupcové permutace:
p1 = (2, 3, 1, 4) : a12 · a23 · a31 · a44 = (−2) · 4 · (−3) · (−4) = −96
p2 = (4, 3, 1, 2) : a14 · a23 · a31 · a42 = 3 · 4 · (−3) · 1 = −36
2. Zvolme nyní druhou možnost pro 3. řádek, a to prvek a33 = 5. Je
tedy „obsazen 3. sloupec. V 1. sloupci už máme pouze dvě nenulové
varianty, prvky a11 = 1, a41 = 5.
(a) Do součinu nejprve vezmeme a33, a11 a na 2. a 4. řádku už zbývají
pouze prvky a22, a24, a42, a44:




1 −2 0 3
0 −1 4 −1
−3 0 5 0
5 1 0 −4




Dvěma možným výběrům odpovídají tyto sloupcové permutace:
p3 = (1, 2, 3, 4) : a11 · a22 · a33 · a44 = 1 · (−1) · 5 · (−4) = 20
p4 = (1, 4, 3, 2) : a11 · a24 · a33 · a42 = 1 · 1 · 5 · (−1) = −5
(b) Zbývající možností je a33, a41, díky čemuž nám na 1. a 2. řádku
zbývají pouze prvky a12, a14, a22, a24:




1 −2 0 3
0 −1 4 −1
−3 0 5 0
5 1 0 −4




Dvěma možným výběrům odpovídají tyto sloupcové permutace:
p5 = (2, 4, 3, 1) : a12 · a24 · a33 · a41 = (−2) · (−1) · 5 · 5 = 50
p6 = (4, 2, 3, 1) : a14 · a22 · a33 · a41 = 3 · (−1) · 5 · 5 = −75
Našli jsme tedy celkem 6 nenulových součinů (z 24 možných) odpovídajících
permutacím p1, . . . , p6. Spočítejme si pro ně nyní počet inverzí:
π(p1) = π(2, 3, 1, 4) = 2, π(p2) = π(4, 3, 1, 2) = 5, π(p3) = π(1, 2, 3, 4) = 0,
π(p4) = π(1, 4, 3, 2) = 3, π(p5) = π(2, 4, 3, 1) = 4, π(p6) = π(4, 2, 3, 1) = 5.
Poskládáme-li dohromady již spočítané součiny a dle počtu inverzí vložíme
správné znaménko, vychází determinant takto:
4
1 −2 0 3
0 −1 4 −1
−3 0 5 0
5 1 0 −4
=
= (−1)2
· (−96) + (−1)5
· (−36) + (−1)0
· 20 + (−1)3
· (−5) + (−1)4
· 50 +
(−1)5
· (−75) = −96 + 36 + 20 + 5 + 50 + 75 = 90
Příklad 1.1.c (pouze s výsledkem)
Zadání
Užitím definice determinantu spočtěte
0 1 −2 0
−3 2 1 3
−4 1 2 4
0 0 −1 0
Příklad 1.1.d (pouze s výsledkem)
Zadání
Užitím definice determinantu spočtěte
1 −2 4 3
0 −1 0 −1
0 −3 0 1
5 1 2 −4
1.2 Křížové pravidlo pro výpočet determinantu
Příklady 1.2 a 1.3 jsou tématicky zaměřeny na výpočet determinantu z matic
typu 2 × 2 (Křížové pravidlo) a 3 × 3 (Sarusovo pravidlo). U obou metod se
používá pojmů hlavní a vedlejší diagonála matice. Na hlavní diagonále matice
A leží prvky, jejichž index řádku i sloupce je stejný, tj. prvky a11, a22, . . .
(viz červeně označené prvky matice A typu 4×4 níže). Vedlejší diagonála obsahuje
prvky ležící „naproti hlavní diagonále počínaje a1n na prvním řádku
a posledním sloupci (viz modře označené prvky matice A typu 4 × 4 níže).
A =




a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44




Řešený příklad 1.2.a
Zadání
Vypočtěte determinant z matice
A =
1 −2
4 −1
.
5
Řešení
Použijeme Křížové pravidlo, tj. determinant z matice řádu 2 × 2 spočítáme
jako rozdíl součinu prvků na hlavní diagonále „mínus součin prvků na vedlejší
diagonále:
|A| =
1 −2
4 −1
= 1 · (−1) − (−2) · 4 = −1 − (−8) = 7
Řešený příklad 1.2.b
Zadání
Vypočtěte determinant z matice
A =
−3 2
1 4
.
Řešení
|A| =
−3 2
1 4
= (−3) · 4 − 1 · 2 = −12 − 2 = −14
Příklad 1.2.c (pouze s výsledkem)
Zadání
Vypočtěte determinant z matice
A =
2 −4
−1 2
.
Příklad 1.2.d (pouze s výsledkem)
Zadání
Vypočtěte determinant z matice
A =
1 −3
−1 0
.
1.3 Sarusovo pravidlo pro výpočet determinantu
Řešený příklad 1.3.a
Zadání
Vypočtěte determinant z matice
A =


3 −2 4
1 3 2
−2 −4 6


Řešení
Dle definice determinantu hledáme všechny součiny takové, že
6
(*) z každého řádku a každého sloupce je vybrán právě jeden činitel.
V případě matice řádu 3 × 3 jde tedy o počet sloupcových permutací tříprvkové
množiny {1, 2, 3}, tedy 3! = 6, přičemž tři součiny budou přičteny
s „kladným znaménkem, součet zbývajících tří se odečítá. Při výpočtu
můžeme použít trik, pomocí něhož rychle najdeme ty „kladné a „záporné
součiny. Napravo od determinantu matice si totiž znovu zapíšeme první dva
sloupce matice:
3 −2 4 3 −2
1 3 2 1 1
−2 −4 6 −2 −4
S „kladným znaménkem bude součin prvků na diagonálách, které mají příbuzný
sklon s hlavní diagonálou (označeno červeně):
3 −2 4 3 −2
1 3 2 1 1
−2 −4 6 −2 −4
3 −2 4 3 −2
1 3 2 1 1
−2 −4 6 −2 −4
3 −2 4 3 −2
1 3 2 1 1
−2 −4 6 −2 −4
Se „záporným znaménkem bude součin prvků na diagonálách, které mají
příbuzný sklon s vedlejší diagonálou (označeno modře):
3 −2 4 3 −2
1 3 2 1 1
−2 −4 6 −2 −4
3 −2 4 3 −2
1 3 2 1 1
−2 −4 6 −2 −4
3 −2 4 3 −2
1 3 2 1 1
−2 −4 6 −2 −4
Platí tedy:
|A| = +[3 · 3 · 6 + (−2) · 2 · (−2)) + 4 · 1 · (−4)]
−[(−2) · 3 · 4 + (−4) · 2 · 3 + 6 · 1 · (−2)]
= +(54 + 8 − 16)−(−24 − 24 − 12)
= 46 + 60 = 106
Řešený příklad 1.3.b
Zadání
Vypočtěte determinant z matice
A =


−2 1 −3
3 2 −1
−4 3 −1


Řešení
Při výpočtu determinantu a hledání trojic pro součiny si opět pomůžeme
tím, že vedle matice zapíšeme ještě jednou první dva sloupce:
−2 1 −3 −2 1
3 2 −1 3 2
−4 3 −1 −4 3
S „kladným znaménkem bude součin prvků na diagonálách, které mají příbuzný
sklon s hlavní diagonálou (označeno červeně):
7
−2 1 −3 −2 1
3 2 −1 3 2
−4 3 −1 −4 3
−2 1 −3 −2 1
3 2 −1 3 2
−4 3 −1 −4 3
−2 1 −3 −2 1
3 2 −1 3 2
−4 3 −1 −4 3
Se „záporným znaménkem bude součin prvků na diagonálách, které mají
příbuzný sklon s vedlejší diagonálou (označeno modře):
−2 1 −3 −2 1
3 2 −1 3 2
−4 3 −1 −4 3
−2 1 −3 −2 1
3 2 −1 3 2
−4 3 −1 −4 3
−2 1 −3 −2 1
3 2 −1 3 2
−4 3 −1 −4 3
Platí tedy:
|A| = +[(−2) · 2 · (−1) + 1 · (−1) · (−4)) + (−3) · 3 · 3]
−[(−4) · 2 · (−3) + 3 · (−1) · (−2) + (−1) · 3 · 1]
= +(4 + 4 − 27)−(24 + 6 − 3)
= −19 − 27 = −46
Poznámka: Při řešení na papíře není samozřejmě nutné si determinant i
s dvěma rozšiřujícími sloupci psát šestkrát (jak jsme provedli v řešení příkladů
1.3.a, 1.3.b). Stačí to pouze jednou, přičemž pomocí šikmých čar a dvou
různých barev pak můžete diagonály vyznačit v jednom „rozšířeném determinantu
zadané matice. Další častou možností je zapsat pod determinant
matice znovu první a druhý řádek a diagonály příbuzné s hlavní a vedlejší
značit shora dolů.
Příklad 1.3.c (pouze s výsledkem)
Zadání
Vypočtěte determinant z matice
A =


1 0 −3
−5 2 4
−2 3 −1


Příklad 1.3.d (pouze s výsledkem)
Zadání
Vypočtěte determinant z matice
A =


2 −6 −2
−1 3 1
2 −4 0


1.4 Cramerovo pravidlo
V této části se poprvé (a ne naposledy) setkáváme s pojmy matice systému
(matice koeficientů), resp. rozšířená matice systému. Souvisí to s tím, že
8
systémy lineárních rovnic
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x2 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2y + · · · + amnxn = bm
budeme zapisovat maticově, pouze pomocí jejích koeficientů a pravých stran:
A|b =





a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
...
... . . .
...
...
am1 am2 . . . amn bm





Takovou matici označujeme jako rozšířenou matici systému.
Vezmeme-li pouze ony koeficienty a dáme je do matice, hovoříme o matici
systému, neboli matici koeficientů:
A =





a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
...
am1 am2 . . . amn





Řešený příklad 1.4.a
Zadání
Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavu rovnic:
2x + 3y + z = 15
7x − y + z = 9
x + 2y + z = 9
Řešení
Spočítejme nejdříve determinant matice systému
|A| =
2 3 1
7 −1 1
1 2 1
pomocí Sarusova pravidla1
:
|A| = +[2 · (−1) · 1 + 3 · 1 · 1 + 1 · 7 · 2]
−[1 · (−1) · 1 + 2 · 1 · 2 + 1 · 7 · 3]
= −2 + 3 + 14−[(−1) + 4 + 21] = 15 − 24 = −9
Jelikož je determinant matice systému nenulový, můžeme Cramerovo pravidlo
použít v jeho základní podobě a dostat tak jedno jediné řešení systému.
1
Necháme už na čtenářích, aby si pomohli trikem, který jsme ukázali v části 1.3.
9
Z matice systému si postupně sestavíme tři matice Ax, Ay, Az, v nichž
sloupec koeficientů příslušející dané proměnné nahradíme sloupcem pravých
stran rovnic:
Ax =


15 3 1
9 −1 1
9 2 1

 , Ay =


2 15 1
7 9 1
1 9 1

 , Az =


2 3 15
7 −1 9
1 2 9


Z těchto tří matic spočítáme determinanty:
|Ax| = +[15 · (−1) · 1 + 3 · 1 · 9 + 1 · 9 · 2]
−[9 · (−1) · 1 + 2 · 1 · 15 + 1 · 9 · 3]
= −15 + 27 + 18−[−9 + 30 + 27] = 30 − 48 = −18
|Ay| = +[2 · 9 · 1 + 15 · 1 · 1 + 1 · 7 · 9]
−[1 · 9 · 1 + 9 · 1 · 2 + 1 · 7 · 15]
= 18 + 15 + 63−[9 + 18 + 105] = 96 − 132 = −36
|Az| = +[2 · (−1) · 9 + 3 · 9 · 1 + 15 · 7 · 2]
−[1 · (−1) · 15 + 2 · 9 · 2 + 9 · 7 · 3]
= −18 + 27 + 210−[−15 + 36 + 189] = 219 − 210 = 9
Řešení systému již najdeme díky Cramerovu pravidlu (viz Věta 1, Skripta,
str. 12):
x =
|Ax|
|A|
=
−18
−9
= 2,
y =
|Ay|
|A|
=
−36
−9
= 4,
z =
|Az|
|A|
=
9
−9
= −1,
tedy
K =





2
4
−1





.
Řešený příklad 1.4.b
Zadání
Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavu rovnic:
x − 2y + 3z = −1
−2x + 3y − z = 3
−x + y + 2z = 2
Řešení
Spočítejme nejdříve determinant matice systému
|A| =
1 −2 3
−2 3 −1
−1 1 2
10
pomocí Sarusova pravidla:
|A| = +[1 · 3 · 2 + (−2) · (−1) · (−1) + 3 · (−2) · 1]
−[(−1) · 3 · 3 + 1 · (−1) · 1 + 2 · (−2) · (−2)]
= 6 − 2 − 6−[−9 − 1 + 8] = −2 − (−2) = 0
Jelikož je determinant matice systému nulový, nemůžeme Cramerovo pravidlo
použít v jeho základní podobě (systém nemá jedno řešení). Fakt |A| = 0 také
znamená, že řádky či sloupce matice systému jsou lineárně závislé. Pozorováním
všech tří rovnic systému určitě přijdete na to, že r1 +r2 = r3 (r1, r2, r3
označují rovnice systému), což znamená závislost 3. rovnice na prvních dvou,
a tedy nekonečný počet řešení systému.2
V takovém případě můžeme Cramerovo pravidlo použít také (viz bakalářská
práce Andrey Danešové, str. 64–65). Vybereme libovolnou submatici
řádu 2, jejíž determinant není roven 0, např. submatici A11 k prvku a11:
A11 =
3 −1
1 2
Oba řádky rovnic příslušných submatici A11 upravíme tak, že na pravou
stranu přesuneme členy s 3. proměnnou:
3y − z = 3 + 2x
y + 2z = 2 + x
Na vzniklý systém použijeme Cramerovo pravidlo, přičemž proměnná x je
parametr, na němž nekonečně mnoho řešení závisí.
|A11| =
3 −1
1 2
= 3 · 2 − [1 · (−1)] = 7
|Ay| =
3 + 2x −1
2 + x 2
= 2·(3+2x)−(−1)·(2+x) = 6+4x+2+x = 8+5x
|Az| =
3 3 + 2x
1 2 + x
= 3 · (2 + x) − 1 · (3 + 2x) = 6 + 3x − 3 − 2x = 3 + x
Z toho už získáme vyjádření proměnných y, z:
y =
|Ay|
|A|
=
8 + 5x
7
=
8
7
+
5
7
x,
z =
|Az|
|A|
=
3 + x
7
=
3
7
+
1
7
x,
tedy
K =






x
8
7
+ 5
7
x
3
7
+ 1
7
x


 , kde x ∈ R



.
2
Může nastat i třetí situace, a to když sice objevíme závislost řádků v matici systému,
avšak stejná závislost už nebude fungovat pro rozšířenou matici systému; v takovém případě
systém nemá řešení. Podrobně si to vysvětlíme ve Cvičení 4, když se budeme zabývat
Gaussovou eliminační metodou a Frobeniovou větou.
11
Příklad 1.4.c (pouze s výsledkem)
Zadání
Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavu rovnic:
2x − y + 4z = 3
y − z = 2
x − 2z = 1
Příklad 1.4.d (pouze s výsledkem)
Pomocí Cramerova pravidla řešte následující soustavu rovnic:
2x − y + 4z = 3
3x + y − z = 2
−x − 2y + 5z = 1
Výsledky příkladů
1.1.c: 0, 1.1.d: −72
1.2.c: 0, 1.2.d: −3
1.3.c: 19, 1.3.d: 0
1.4.c: K =






13
7
17
7
3
7






1.4.d: Nekonečně mnoho řešení, dle submatice A11 je K =






x
11
3
− 14
3
x
5
3
− 5
3
x


 , kde x ∈ R



.
12