MA0005 Algebra 2 – Sbírka řešených příkladů Lukáš Másilko 4. července 2024 Cvičení 5 Naplní 5. cvičení jsou matice, jejich vlastnosti a operace nad nimi včetně inverzní matice. Ve Skriptech tomu odpovídá část kapitoly 5 počínaje stranou 55 a začátek kapitoly 6 konče stranou 65. Součástí této sbírky nebudou příklady na sčítání matic, jelikož jde o poměrně triviální operaci vyžadující pouze jedinou podmínku: aby obě sčítané matice byly stejného typu, tj. měly stejný počet řádků i sloupců. Další podrobnosti k této maticové operaci najdete ve Skriptech, Definici 19 a Větě 11 na stránkách 55–56. Obsah 5.1 Násobení matic 2 5.2 Inverzní matice 4 5.3 Maticová reprezentace řádkových úprav 7 Výsledky příkladů 10 Katedra matematiky Pedagogické fakulty MU, podzim 2023 1 5.1 Násobení matic Násobení matic A · B je možné provést právě tehdy, když je matice A typu m × k a matice B typu k × n, kde k, m, n ∈ N, neboli (**) počet sloupců 1. matice je stejný jako počet řádků 2. matice. Výsledkem součinu A · B je matice C typu m × n, jejíž jednotlivé prvky cij (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) získáme pomocí vzorce cij = k l=1 ail · blj = ai1 · b1j + ai2 · b2j + · · · + aik · bkj (1) Podrobnější informace lze nalézt ve Skriptech a Definici 20, Příkladu 25 a Větě 12 na stránkách 56–59. Dle Poznámky na str. 56 odpovídá prvku cij skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Beremeli řádky matice A a sloupce matice B jako vektory, tak je prostřednictvím skalárního součinu násobíme „po složkách a tyto součiny sečteme. Řešený příklad 5.1.a Zadání Jsou dány matice A = 2 5 7 1 0 4 , B = 3 2 1 7 −4 0 6 1 , C =   1 2 3 4 5 0   . Které dvojice matic vybíraných z A, B, C je možné vynásobit? Součiny matic v případech, kdy je to možné, proveďte. Řešení Nejdříve stanovíme typ všech tří matic: • A je typu 2 × 3, • B je typu 2 × 4, • C je typu 3 × 2. Dle podmínky (**) je možné provést součin matic A, C, a to oběma směry, tj. A · C i C · A. Pouze „z jedné strany je možné vypočítat C · B. A·C = 2 5 7 1 0 4 ·   1 2 3 4 5 0   = 2 · 1 + 5 · 3 + 7 · 5 2 · 2 + 5 · 4 + 7 · 0 1 · 1 + 0 · 3 + 4 · 5 1 · 2 + 0 · 4 + 4 · 0 = 52 24 21 2 C·A =   1 2 3 4 5 0  · 2 5 7 1 0 4 =   1 · 2 + 2 · 1 1 · 5 + 2 · 0 1 · 7 + 2 · 4 3 · 2 + 4 · 1 3 · 5 + 4 · 0 3 · 7 + 4 · 4 5 · 2 + 0 · 1 5 · 5 + 0 · 0 5 · 7 + 0 · 4   2 =   4 5 15 10 15 37 10 25 35   C · B =   1 2 3 4 5 0   · 3 2 1 7 −4 0 6 1 = =   1 · 3 + 2 · (−4) 1 · 2 + 2 · 0 1 · 1 + 2 · 6 1 · 7 + 2 · 1 3 · 3 + 4 · (−4) 3 · 2 + 4 · 0 3 · 1 + 4 · 6 3 · 7 + 4 · 1 5 · 3 + 0 · (−4) 5 · 2 + 0 · 0 5 · 1 + 0 · 6 5 · 7 + 0 · 1   = =   −5 2 13 9 −7 6 27 25 15 10 5 35   Řešený příklad 5.1.b Zadání Jsou dány matice A = 3 2 1 0 , B =   1 0 0 −1 3 −2   , C =   1 −2 0 2 −3 0 4 −1 3   . Které dvojice matic vybíraných z A, B, C je možné vynásobit? Součiny matic v případech, kdy je to možné, proveďte. Řešení Nejdříve stanovíme typ všech tří matic: • A je typu 2 × 2, • B je typu 3 × 2, • C je typu 3 × 3. Dle podmínky (**) je možné provést součiny B · A a C · B. B · A =   1 0 0 −1 3 −2   · 3 2 1 0 =   1 · 3 + 0 · 1 1 · 2 + 0 · 0 0 · 3 + (−1) · 1 0 · 2 + (−1) · 0 3 · 3 + (−2) · 1 3 · 2 + (−2) · 0   = =   3 2 −1 0 7 6   C · B =   1 −2 0 2 −3 0 4 −1 3   ·   1 0 0 −1 3 −2   = =   1 · 1 + (−2) · 0 + 0 · 3 1 · 0 + (−2) · (−1) + 0 · (−2) 2 · 1 + (−3) · 0 + 0 · 3 2 · 0 + (−3) · (−1) + 0 · (−2) 4 · 1 + (−1) · 0 + 3 · 3 4 · 0 + (−1) · (−1) + 3 · (−2)   =   1 2 2 3 13 −5   3 Příklad 5.1.c (pouze s výsledkem) Zadání Jsou dány matice A = 1 −2 −2 2 2 3 0 −1 , B =   1 −2 4 2 3 0 −1 −3 0   , C =   −2 −1 2 0 0 1   . Které dvojice matic vybíraných z A, B, C je možné vynásobit? Součiny matic v případech, kdy je to možné, proveďte. Příklad 5.1.d (pouze s výsledkem) Zadání Jsou dány matice A =   0 1 2 1 −1 3 4 0 3 0 1 −2   , B =     1 −2 2 0 1 1 −2 1 3 1 1 −4     , C = −1 2 −2 −1 0 2 3 2 −1 1 . Které dvojice matic vybíraných z A, B, C je možné vynásobit? Součiny matic v případech, kdy je to možné, proveďte. Poznámka: Zkuste si sami odpovědět na obecné otázky, které se k násobení matic logicky nabízejí. Odpovědi lze nalézt ve Skriptech. 1. Mohu vynásobit dvě libovolné matice A, B? Pokud ne, co pro ně musí platit? 2. Za jakých podmínek je možné současně uskutečnit součin matic A · B i B · A? 3. Je násobení matic komutativní, tj. platí vždy A · B = B · A? Jinými slovy: je-li možné provést A · B i B · A, dostanu v obou případech jako výsledek stejnou matici? 4. Za jakých podmínek jsou matice A · B a B · A stejného typu? 5. Existují tzv. dělitelé nuly, tj. dvě nenulové matice A, B, jejichž součinem je matice samých nul? 5.2 Inverzní matice Nyní se budeme zabývat pouze čtvercovými maticemi typu n × n, kde n ∈ N, tj. maticemi, které mají stejný počet řádků jako sloupců. Ve Skriptech jsou uvedeny jejich základní vlastnosti (viz Věta 12 na str. 57–59). V Definici 21 jsou představeny singulární a regulární matice. Z Poznámky na stranách 59–60 vyplývá, že inverzní matici lze nalézt pouze k regulární matici A typu n × n (n ∈ N), pro níž jsou splněny tyto vzájemně ekvivalentní podmínky: 4 • determinant |A| ̸= 0, • hodnost h(A) = n, • řádky matice A jsou lineárně nezávislé, • systém lineárních rovnic A · ⃗x = ⃗b má vždy pouze jediné řešení pro libovolný vektor ⃗b pravých stran rovnic. Pro nalezení inverzní matice se používá tzv. Gaussova-Jordanova metoda, kterou si ukážeme v následujících řešených příkladech. Řešený příklad 5.2.a Zadání Je dána matice A =   1 1 2 5 4 1 4 3 0   . Ověřte, že je regulární. Pokud ano, nalezněte k matici A inverzní matici A−1 . Řešení Nejprve zjistíme hodnost matice:   1 1 2 5 4 1 4 3 0   −5r1 −4r1 ∼   1 1 2 0 −1 −9 0 −1 −8   −r2 ∼   1 1 2 0 −1 −9 0 0 1   Hodnost matice h(A) = 3, jedná se tedy o regulární matici, k níž můžeme najít inverzní matici, což provedeme pomocí Gaussovy-Jordanovy metody. Vytvoříme rozšířenou matici, v níž nalevo bude matice A, napravo jednotková matice E3. Následně tuto matici upravujeme pomocí elementárních řádkových úprav tak, abychom na levé straně „vyrobili jednotkovou matici. Na konci našeho snažení by matice vpravo měla být inverzní.   1 1 2 1 0 0 5 4 1 0 1 0 4 3 0 0 0 1   −5r1 −4r1 ∼   1 1 2 1 0 0 0 −1 −9 −5 1 0 0 −1 −8 −4 0 1   −r2 ∼   1 1 2 1 0 0 0 −1 −9 −5 1 0 0 0 1 1 −1 1   −2r3 +9r3 ∼   1 1 0 −1 2 −2 0 −1 0 4 −8 9 0 0 1 1 −1 1   +r2 ∼   1 0 0 3 −6 7 0 −1 0 4 −8 9 0 0 1 1 −1 1   ·(−1) ∼   1 0 0 3 −6 7 0 1 0 −4 8 −9 0 0 1 1 −1 1   Na levé straně je již jednotková matice, napravo tedy máme inverzní matici A−1 =   3 −6 7 −4 8 −9 1 −1 1   5 Řešený příklad 5.2.b Zadání Je dána matice A =   1 0 2 −2 2 −2 −1 4 3   . Ověřte, že je regulární. Pokud ano, nalezněte k matici A inverzní matici A−1 . Řešení Nejprve zjistíme hodnost matice:   1 0 2 −2 2 −2 −1 4 3   +2r1 +r1 ∼   1 0 2 0 2 2 0 4 5   −2r2 ∼   1 0 2 0 2 2 0 0 1   Hodnost matice h(A) = 3, jedná se tedy o regulární matici, k níž můžeme najít inverzní matici, což provedeme pomocí Gaussovy-Jordanovy metody.   1 0 2 1 0 0 −2 2 −2 0 1 0 −1 4 3 0 0 1   +2r1 +r1 ∼   1 0 2 1 0 0 0 2 2 2 1 0 0 4 5 1 0 1   −2r2 ∼   1 0 2 1 0 0 0 2 2 2 1 0 0 0 1 −3 −2 1   −2r3 −2r3 ∼   1 0 0 7 4 −2 0 2 0 8 5 −2 0 0 1 −3 −2 1   : 2 ∼    1 0 0 7 4 −2 0 1 0 2 5 2 −1 0 0 1 −3 −2 1    Na levé straně je jednotková matice, napravo tedy dostáváme inverzní matici    7 4 −2 2 5 2 −1 −3 −2 1    Příklad 5.2.c (pouze s výsledkem) Zadání Je dána matice A =   1 −1 2 −2 0 1 0 1 −3   . Ověřte, že je regulární. Pokud ano, nalezněte k matici A inverzní matici A−1 . 6 Příklad 5.2.d (pouze s výsledkem) Zadání Je dána matice A =   2 −1 0 −1 0 1 −2 2 −1   . Ověřte, že je regulární. Pokud ano, nalezněte k matici A inverzní matici A−1 . 5.3 Maticová reprezentace řádkových úprav Důkaz Gaussovy-Jordanovy metody pro výpočet inverzní matice A−1 (viz Skripta, Věta 14, str. 64–65) je založen na reprezentaci elementárních řádkových úprav matice A obnásobením této matice jinou regulární maticí zleva. Ve Skriptech (viz Věta 13 a Příklad 26 na str. 63–64) je uvedena ukázka takové reprezentace, když konkrétní úpravy vybrané matice A =   1 2 3 2 1 2 0 1 2   , které směřují k transformaci na jednotkovou matici, jsou zároveň realizovány postupným přinásobováním matic P1, . . . , P6 k matici A. Nalezení matice reprezentující danou řádkovou úpravu si procvičíme v následujících příkladech. Řešený příklad 5.3.a Zadání S maticí A =   4 −3 1 −1 1 0 2 0 1   proveďte následující tři úpravy • u1: výměna 1. a 2. řádku, • u2: přičtení 4-násobku 1. řádku k 2. řádku, • u3: vynásobení 3. řádku číslem 2, a určete matici B, která pomocí výše uvedených úprav matice A vznikla. Následně nalezněte matice U1, U2, U3 reprezentující úpravy u1, u2, u3 tak, že B = U3 · U2 · U1 · A. Řešení Nejprve dané úpravy proveďme a spočítejme matici B.   4 −3 1 −1 1 0 2 0 1   ↓1 ↑1 ∼   −1 1 0 4 −3 1 2 0 1   +4r1 ∼   −1 1 0 0 1 1 2 0 1   ·2 ∼ 7 ∼   −1 1 0 0 1 1 4 0 2   = B Hledejme matice U1, U2, U3 odpovídající provedeným úpravám, které vzniknou pouze mírnou obměnou jednotkové matice E3. • Úpravou u1 jsme dosáhli výměny 1. a 2. řádku matice A. V jednotkové matici stačí prohodit příslušné řádky, tj. U1 =   0 1 0 1 0 0 0 0 1   Raději to ověřme provedením součinu U1 · A =   0 1 0 1 0 0 0 0 1   ·   4 −3 1 −1 1 0 2 0 1   =   −1 1 0 4 −3 1 2 0 1   , což skutečně je matice vzniklá pomocí úpravy u1 matice A. • Další úpravou u2 bylo přičtení 4-násobku 1. řádku k 2. řádku matice, což jsme provedli na matici U1 · A. Jelikož změna probíhá ve 2. řádku, modifikujeme pouze 2. řádek jednotkové matice, ostatní ponecháme, jak jsou. Přičítáme 4-násobek 1. řádku, takže do 1. sloupce 2. řádku jednotkové matice vložíme 4: U2 =   1 0 0 4 1 0 0 0 1   Opět ověříme provedením součinu U2 · (U1 · A) =   1 0 0 4 1 0 0 0 1   ·   −1 1 0 4 −3 1 2 0 1   =   −1 1 0 0 1 1 2 0 1   , což skutečně je matice vzniklá po úpravách u1 a následně u2 (viz výpočet matice B). • Poslední úpravou u3 bylo vynásobení 3. řádku číslem 2, ovšem u matice U2 · (U1 · A). Jelikož změna nastane ve 3. řádku, změníme pouze 3. řádek jednotkové matice, a to tím způsobem, že jeho prvek na hlavní diagonále přepíšeme z 1 na 2: U3 =   1 0 0 0 1 0 0 0 2   Znovu ověříme provedením součinu U3 · [U2 · (U1 · A)] =   1 0 0 0 1 0 0 0 2   ·   −1 1 0 0 1 1 2 0 1   =   −1 1 0 0 1 1 4 0 2   , což skutečně je matice B postupně vzniklá pomocí úprav u1, u2 a u3. 8 Řešený příklad 5.3.b Zadání S maticí A =   2 3 0 0 1 −1 1 1 2   proveďte následující tři úpravy • u1: výměna 1. a 3. řádku, • u2: přičtení −2-násobku 1. řádku k 3. řádku, • u3: vynásobení 2. řádku číslem −1, a určete matici B, která pomocí výše uvedených úprav matice A vznikla. Následně nalezněte matice U1, U2, U3 reprezentující úpravy u1, u2, u3 tak, že B = U3 · U2 · U1 · A. Řešení Nejprve dané úpravy proveďme a spočítejme matici B.   2 3 0 0 1 −1 1 1 2   ↓2 ↑2 ∼   1 1 2 0 1 −1 2 3 0   −2r1 ∼   1 1 2 0 1 −1 0 1 −4   ·(−1) ∼ ∼   1 1 2 0 −1 1 0 1 −4   = B Hledejme matice U1, U2, U3 odpovídající provedeným úpravám, které vzniknou pouze mírnou obměnou jednotkové matice E3. Narozdíl od předchozího řešeného příkladu u nalezených matic nebudeme ověřovat, zda skutečně reprezentují danou úpravu. Zkuste si to sami, klidně využijte nástrojů, které nabízí internet (např. Geogebra 3D grafy na stránce https://www.geogebra. org/3d?lang=cs či Kalkulačka matic na stránce https://matrixcalc.org/ cs/). • Úpravou u1 jsme dosáhli výměny 1. a 3. řádku matice A. V jednotkové matici stačí prohodit příslušné řádky, tj. U1 =   0 0 1 0 1 0 1 0 0   • Další úpravou u2 bylo přičtení −2-násobku 1. řádku k 3. řádku matice, což jsme provedli na matici U1 · A. Jelikož změna probíhá ve 3. řádku, modifikujeme pouze 3. řádek jednotkové matice, ostatní ponecháme, jak jsou. Přičítáme −2-násobek 1. řádku, takže do 1. sloupce 3. řádku jednotkové matice vložíme −2: U2 =   1 0 0 0 1 0 −2 0 1   9 • Poslední úpravou u3 bylo vynásobení 2. řádku číslem −1, ovšem u matice U2 · (U1 · A). Jelikož změna nastane ve 2. řádku, změníme pouze 2. řádek jednotkové matice, a to tím způsobem, že jeho prvek na hlavní diagonále přepíšeme z 1 na −1: U3 =   1 0 0 0 −1 0 0 0 1   Příklad 5.3.c (pouze s výsledkem) Zadání S maticí A =   −3 2 2 0 1 3 1 0 −1   proveďte následující tři úpravy • u1: výměna 1. a 3. řádku, • u2: přičtení 3-násobku 1. řádku k 3. řádku, • u3: vynásobení 2. řádku číslem −2, a určete matici B, která pomocí výše uvedených úprav matice A vznikla. Následně nalezněte matice U1, U2, U3 reprezentující úpravy u1, u2, u3 tak, že B = U3 · U2 · U1 · A. Příklad 5.3.d (pouze s výsledkem) Zadání S maticí A =   0 2 1 1 0 0 −5 −4 −1   proveďte následující tři úpravy • u1: přičtení 5-násobku 2. řádku k 3. řádku, • u2: výměna 1. a 2. řádku, • u3: vynásobení 2. řádku číslem 2, a určete matici B, která pomocí výše uvedených úprav matice A vznikla. Následně nalezněte matice U1, U2, U3 reprezentující úpravy u1, u2, u3 tak, že B = U3 · U2 · U1 · A. 10 Výsledky příkladů 5.1.c: B · C =   −6 3 2 −2 −4 1   , C · A =   −4 1 4 −3 2 −4 −4 4 2 3 0 −1   5.1.d: A · B =   −3 4 3 −9 9 13 −1 −7 17   , B · A =     8 −5 −4 −3 2 3 5 −2 8 1 3 −8 −13 4 2 9     5.2.c: A−1 =   −1 −1 −1 −6 −3 −5 −2 −1 −2   5.2.d: A−1 =   2 1 1 3 2 2 2 2 1   5.3.c: B =   1 0 −1 0 −2 −6 0 2 −1   , U1 =   0 0 1 0 1 0 1 0 0   , U2 =   1 0 0 0 1 0 3 0 1   , U3 =   1 0 0 0 −2 0 0 0 1   5.3.d: B =   1 0 0 0 4 2 0 −4 −1   , U1 =   1 0 0 0 1 0 0 5 1   , U2 =   0 1 0 1 0 0 0 0 1   , U3 =   1 0 0 0 2 0 0 0 1   11