MA0005 Algebra 2 – Sbírka řešených příkladů Lukáš Másilko 4. července 2024 Cvičení 7 V tomto cvičení se seznámíme s lineárním zobrazením mezi dvěma vektorovými prostory. Ukážeme si, jak se dá zadat, a představíme si jeho základní charakteristiky, totiž jádro a obor lineárního zobrazení. Ve Skriptech je tomuto tématu věnována 7. kapitola (Týden 7) na str. 69–81. Obsah 7.1 Zadání lineárního zobrazení 2 7.2 Lineární transformace přímky a roviny 7 7.3 Jádro a obraz lineárního zobrazení 9 Výsledky příkladů 16 Katedra matematiky Pedagogické fakulty MU, podzim 2023 1 7.1 Zadání lineárního zobrazení Lineární zobrazení φ : V → V ′ mezi vektorovými prostory (V, +, ·) dimenze n ∈ N a (V ′ , +, ·) dimenze m ∈ N lze zadat třemi způsoby: • pomocí předpisu mezi souřadnicemi vektoru ⃗u ∈ V a φ(⃗u) ∈ V ′ , • pomocí matice A typu m × n takové, že φ(⃗u) = A · ⃗u, • pomocí obrazů φ(⃗e1), φ(⃗e2), . . . , φ(⃗en) bázových vektorů prostoru V . Ve Skriptech na str. 71–73 jsou tyto tři způsoby vysvětleny a znázorněny na konkrétních příkladech 28, 29. V následujících řešených příkladech si ukážeme, jak mezi těmito způsoby „převádět , tj. z jedné formy zadání dostat další. Řešený příklad 7.1.a Zadání Lineární zobrazení φ : R3 → R2 je zadáno předpisem φ   x y z   = −x + y + 2z 2y − 3z . Sestavte matici A zobrazení φ. Poté určete obraz vektoru ⃗u = (1; 2; 3)T v zobrazení φ. Na závěr nalezněte v souřadnicové rovině ϱxz vektor ⃗v, který se prostřednictvím φ zobrazí na vektor (−3; 3)T . Řešení Lineární zobrazení φ zobrazuje třísložkový vektor ⃗u (n = 3) na dvousložkový vektor φ(⃗u) (m = 2). Aby mohlo být uskutečněno násobení Aφ · ⃗u, musí mít matice Aφ tři sloupce. Aby výsledkem násobení Aφ · ⃗u byl dvousložkový vektor, musí mít matice Aφ dva řádky. Je tedy Aφ typu 2 × 3 (tedy m × n). Na pravé straně předpisu jsou dva výrazy. Každý odpovídá jednomu řádku matice, do jehož prvků postupně vložíme koeficienty u proměnných x, y, z: Aφ = −1 1 2 0 2 −3 Dalším úkolem bylo určit obraz φ(⃗u) zadaného vektoru ⃗u. Můžeme k tomu použít i předpis, my však zkusíme zobrazit vektor ⃗u pomocí matice Aφ: φ(⃗u) = Aφ·⃗u = −1 1 2 0 2 −3 ·   1 2 3   = −1 · 1 + 1 · 2 + 2 · 3 0 · 1 + 2 · 2 − 3 · 3 = 7 −5 Nakonec hledáme vzor ⃗v vektoru −3 3 . Protože ⃗v leží v souřadnicové rovině ϱxz, je jeho prostřední souřadnice nulová, tj. ⃗v =   x 0 z   . 2 Dále by dle předpisu zobrazení φ mělo platit φ   x y z   = −x + y + 2z 2y − 3z = −3 3 . Protože y = 0, dostáváme dvě rovnice o dvou neznámých: −x + 2z = −3 −3z = 3 Je tedy z = −1, z čehož po dosazení do první rovnice a drobných úpravách −x + 2 · (−1) = −3 −x − 2 = −3 −x = −1 x = 1 získáme zbývající 1. souřadnici vektoru ⃗v =   1 0 −1  . Řešený příklad 7.1.b Zadání Lineární zobrazení φ : R2 → R3 je zadáno maticí zobrazení Aφ Aφ =   −1 3 2 1 1 −2   Nalezněte předpis zobrazení φ. Poté určete obraz vektoru ⃗u = (1; −1)T v zobrazení φ. Na závěr nalezněte vektor ⃗v, který se prostřednictvím φ zobrazí na vektor (5; 4; −3)T . Řešení Lineární zobrazení φ zobrazuje dvousložkový vektor ⃗u = x y na vektor φ(⃗u), který pomocí matice Aφ rozepíšeme takto: φ x y = Aφ · ⃗u =   −1 3 2 1 1 −2   · x y =   −x + 3y 2x + y x − 2y   Spojíme-li levou a pravou stranu předchozí rovnice, dostáváme předpis lineárního zobrazení φ: φ x y =   −x + 3y 2x + y x − 2y   3 Dalším úkolem bylo určit obraz φ(⃗u) zadaného vektoru ⃗u. Zobrazíme vektor ⃗u pomocí matice Aφ: φ(⃗u) = Aφ·⃗u =   −1 3 2 1 1 −2  · 1 −1 =   −1 · 1 + 3 · (−1) 2 · 1 + 1 · (−1) 1 · 1 − 2 · (−1)   =   −4 1 3   Nakonec hledáme vzor ⃗v vektoru φ(⃗v) =   5 4 −3  . Dle předpisu zobrazení φ by mělo platit φ x y =   −x + 3y 2x + y x − 2y   =   5 4 −3   . Dostáváme tři rovnice o dvou neznámých: −x + 3y = 5 2x + y = 4 x − 2y = −3 Tento systém převedeme do rozšířené matice a pomocí Gaussovy eliminační metody spočítáme řešení:   −1 3 5 2 1 4 1 −2 −3   +2r1 +r1 ∼   −1 3 5 0 7 14 0 1 2   ↓1 ↑1 ∼   −1 3 5 0 1 2 0 7 14   −7r2 ∼   −1 3 5 0 1 2 0 0 0   škrtni ∼ −1 3 5 0 1 2 Z druhého řádku poslední rovnice je patrné, že y = 2. Dosadíme tuto hodnotu do prvního řádku a dostáváme: −x + 3 · 2 = 5 ⇐⇒ −x = −1 ⇐⇒ x = 1 Vzor vektoru φ(⃗v) je tedy vektor ⃗v = 1 2 . Řešený příklad 7.1.c Zadání Lineární zobrazení φ : R3 → R2 je zadáno obrazy bázových vektorů ⃗e1, ⃗e2, ⃗e3: φ   0 1 2   = 5 −4 , φ   −4 3 0   = 7 6 , φ   1 2 3   = 7 −5 . Sestavte matici Aφ zobrazení φ vzhledem ke standardní bázi. Řešení 4 Lineární zobrazení φ zobrazuje třísložkový vektor ⃗u (n = 3) na dvousložkový vektor φ(⃗u) (m = 2). Aby mohlo být uskutečněno násobení Aφ · ⃗u, musí mít matice Aφ tři sloupce. Aby výsledkem násobení Aφ · ⃗u byl dvousložkový vektor, musí mít matice Aφ dva řádky. Je tedy Aφ typu 2 × 3 (tedy m × n), přičemž její prvky zatím neznáme: Aφ = x1 y1 z1 x2 y2 z2 . Pomocí této matice však zobrazujeme i bázové vektory ⃗e1, ⃗e2, ⃗e3, u nichž známe jejich obrazy. Platí tedy φ(⃗e1) = Aφ · ⃗e1, tedy x1 y1 z1 x2 y2 z2 ·   0 1 2   = 5 −4 φ(⃗e2) = Aφ · ⃗e2, tedy x1 y1 z1 x2 y2 z2 ·   −4 3 0   = 7 6 φ(⃗e3) = Aφ · ⃗e3, tedy x1 y1 z1 x2 y2 z2 ·   1 2 3   = 7 −5 Když provedem součin na levé straně tří předchozích rovnic, dostáváme těchto šest jednoduchých vztahů: y1 + 2z1 = 5 y2 + 2z2 = −4 −4x1 + 3y1 = 7 −4x2 + 3y2 = 6 x1 + 2y1 + 3z1 = 7 x2 + 2y2 + 3z2 = −5 Dejme zvlášť do jedné rozšířené matice rovnice s neznámými x1, y1, z1 a do druhé rozšířené matice rovnice s neznámými x2, y2, z2: Pro x1, y1, z1 :   0 1 2 5 −4 3 0 7 1 2 3 7   , resp. pro x2, y2, z2 :   0 1 2 −4 −4 3 0 6 1 2 3 −5   Všimněte si, že první tři sloupce obou rozšířených matic jsou stejné. Je tedy možné sloučit obě rozšířené matice dohromady a počítat řešení obou systémů současně:   0 1 2 5 −4 −4 3 0 7 6 1 2 3 7 −5   ↓2 ↑2 ∼   1 2 3 7 −5 −4 3 0 7 6 0 1 2 5 −4   +4r1 ∼   1 2 3 7 −5 0 11 12 35 −14 0 1 2 5 −4   ↓1 ↑1 ∼   1 2 3 7 −5 0 1 2 5 −4 0 11 12 35 −14   −11r2 ∼   1 2 3 7 −5 0 1 2 5 −4 0 0 −10 −20 30   : (−10) ∼   1 2 3 7 −5 0 1 2 5 −4 0 0 1 2 −3   5 Při zpětném chodu bereme 4. sloupec jako pravou stranu rovnic pro neznámé x1, y1, z1, zatímco 5. sloupec je pravá strana rovnic pro neznámé x2, y2, z2: • poslední řádek rozšířené matice znamená tyto rovnosti: z1 = 2, resp. z2 = −3. • Prostřední řádek matice představuje tyto dvě rovnice: y1 + 2z1 = 5, resp. y2 + 2z2 = −4. Dosazením z1 = 2, resp. z2 = −3 dostáváme: y1 + 2 · 2 = 5 ⇒ y1 = 1, resp. y2 + 2 · (−3) = −4 ⇒ y2 = 2. • První řádek matice představuje tyto dvě rovnice: x1 + 2y1 + 3z1 = 7, resp. x2 + 2y2 + 3z2 = −5. Dosazením všech již vypočítaných hodnot dostáváme: x1+2·1+3·2 = 7 ⇒ x1 = −1, resp. x1+2·2+3·(−3) = −5 ⇒ x2 = 0. Hledanou maticí zobrazení φ je tedy Aφ = −1 1 2 0 2 −3 Příklad 7.1.d (pouze s výsledkem) Zadání Lineární zobrazení φ : R2 → R3 je zadáno předpisem φ x y =   x − 2y −2x + 3y x − 4y   . Sestavte matici A zobrazení φ. Poté určete obraz vektoru ⃗u = (1; 1)T v zobrazení φ. Na závěr určete vektor ⃗v, který se prostřednictvím φ zobrazí na vektor (0; −1; −2)T . Příklad 7.1.e (pouze s výsledkem) Zadání Lineární zobrazení φ : R3 → R2 je zadáno maticí zobrazení Aφ Aφ = 1 1 1 0 −2 −1 Nalezněte předpis zobrazení φ. Poté určete obraz vektoru ⃗u = (1; 2; 3)T v zobrazení φ. Na závěr nalezněte v souřadnicové rovině ϱxz vektor ⃗v, který se prostřednictvím φ zobrazí na vektor (0; 1)T . 6 Příklad 7.1.f (pouze s výsledkem) Zadání Lineární zobrazení φ : R2 → R3 je zadáno obrazy bázových vektorů ⃗e1, ⃗e2: φ 1 2 =   −4 0 7   , φ −3 0 =   −6 6 3   . Sestavte matici Aφ zobrazení φ vzhledem ke standardní bázi. 7.2 Lineární transformace přímky a roviny Ve Skriptech a kapitole 7 je na stránkách 73–77 uvedeno několik základních lineárních transformací1 prostoru R2 (identita, projekce na osu x, y, otočení o úhel atd.). V této části si ukážeme, jak se dá spočítat obraz přímky či roviny v lineární transformaci prostoru R3 . Řešený příklad 7.2.a Zadání Pomocí matice Aφ =   3 2 1 1 0 2 1 2 −3   je dána lineární transformace φ : R3 → R3 . Zjistěte, na jakou množinu bodů se přímka p zobrazí pomocí φ, je-li p =      0 1 −1   + t ·   −1 2 1      . Řešení Stačí převést zadanou přímku do sloupcového vektoru a následně provést násobení maticí Aφ zleva:   3 2 1 1 0 2 1 2 −3  ·   −t 1 + 2t −1 + t   =   −3t + 2 · (1 + 2t) + (−1 + t) −t + 0 · (1 + 2t) + 2 · (−1 + t) −t + 2 · (1 + 2t) − 3 · (−1 + t)   =   1 + 2t −2 + t 5   Přímka p se tedy zobrazí na přímku φ(p) =      1 −2 5   + s ·   2 1 0   , s ∈ R    . 1 Lineární transformace je lineární zobrazení φ : V → V , které zobrazuje vektorový prostor V sám na sebe. 7 Řešený příklad 7.2.b Zadání Pomocí matice Aφ =   3 2 1 1 0 2 1 2 −3   je dána lineární transformace φ : R3 → R3 . Zjistěte, na jakou množinu bodů se rovina r zobrazí pomocí φ, je-li zadána pomocí obecné rovnice r : x − 2y + 3z − 4 = 0. Řešení Nejprve je třeba získat z obecné rovnice roviny r její parametrické vyjádření, tj. najít bod a dva směrové vektory, které určují rovinu r. Zkusme najít tři různé body ležící v rovině r: • Položíme-li x = z = 0, dostáváme po dosazení do obecné rovnice −2y − 4 = 0, z čehož y = −2. Máme tedy první bod roviny A =   0 −2 0   . • V případě y = z = 0 je x − 4 = 0, tedy x = 4. Druhý bod roviny je B =   4 0 0   . • Je-li x = z = 1, pak po dosazení do obecné rovnice máme vztah 1 − 2y + 3 − 4 = 0, tj. −2y = 0, z čehož y = 0. Třetí bod roviny je C =   1 0 1   . Oba směrové vektory nyní určíme ze získaných bodů, např. ⃗r1 = ⃗AB = B − A =   4 2 0   , ⃗r2 = ⃗AC = C − A =   1 2 1   . Parametrické vyjádření roviny r s využitím bodu A a vektorů r1, r2 je r =      0 −2 0   + s ·   4 2 0   + t ·   1 2 1   , s, t ∈ R    Převedeme parametrické vyjádření roviny r do sloupcového vektoru a následně vynásobíme maticí Aφ zleva: 8   3 2 1 1 0 2 1 2 −3  ·   4s + t −2 + 2s + 2t t   =   3 · (4s + t) + 2 · (−2 + 2s + 2t) + t 4s + t + 0 · (−2 + 2s + 2t) + 2t 4s + t + 2 · (−2 + 2s + 2t) − 3t   =   −4 + 16s + 8t 4s + 3t −4 + 8s + 2t   Rovina r se tedy zobrazí na rovinu φ(r) =      −4 0 −4   + s ·   16 4 8   + t ·   8 3 2   , s ∈ R    . Příklad 7.2.c (pouze s výsledkem) Zadání Pomocí matice Aφ =   2 −2 0 0 3 −1 −1 1 0   je dána lineární transformace φ : R3 → R3 . Zjistěte, na jakou množinu bodů se přímka p zobrazí pomocí φ, je-li p =      1 2 −1   + t ·   1 1 3      . Příklad 7.2.d (pouze s výsledkem) Zadání Pomocí matice Aφ =   2 −2 0 0 3 −1 −1 1 0   je dána lineární transformace φ : R3 → R3 . Zjistěte, na jakou množinu bodů se rovina r zobrazí pomocí φ, je-li zadána pomocí obecné rovnice r : x − y − z + 2 = 0. 7.3 Jádro a obraz lineárního zobrazení V následujících příkladech se zaměříme na dvě základní charakteristiky lineárního zobrazení φ : V → V ′ : • jádro Ker φ (množina vektorů ⃗u ∈ V , které se zobrazí na nulový vektor V ′ ) a • obor hodnot Im φ (množina vektorů v ∈ V ′ , které mají nějaký vzor při zobrazení φ). 9 Jedná se o vektorové podprostory, pro jejichž dimenze platí dim(Ker φ) + dim(Im φ) = dim(V ). Je-li zobrazení φ zadáno maticí Aφ, pak dim(Im φ) = h(Aφ), z čehož vyplývá dim(Ker φ) = dim(V ) − h(Aφ). Tak zvaný defekt lineárního zobrazení, tj. dim(Ker φ) tedy určuje, o kolik dimenzí lineárním zobrazením „přijdeme . Podrobněji se o těchto pojmech dozvíte ve Skriptech na str. 77–80. Řešený příklad 7.3.a Zadání2 Lineární zobrazení ψ : R3 → R4 je zadáno maticí B =     1 0 0 −1 1 2 1 2 4 2 −1 1     . Nalezněte bázi a dimenzi jeho jádra Ker ψ a oboru hodnot Im ψ. Řešení Spočítejme si nejdříve hodnost h(B), abychom zjistili dimenzi oboru hodnot Im ψ:     1 0 0 −1 1 2 1 2 4 2 −1 1     +r1 −r1 −2r1 ∼     1 0 0 0 1 2 0 2 4 0 −1 1     −2r2 +r2 ∼     1 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 5     Po převodu na schodový tvar zůstaly tři nenulové vektory, což znamená h(B) = 3 = dim(Im ψ), z čehož vzhledem k dimenzi vstupního prostoru R3 znamená, že dim(Ker ψ) = dim(R3 ) − dim(Im ψ) = 3 − 3 = 0. Sice už je ze spočítané dimenze jádra patrné, že Ker ψ = {⃗o}, ale pojďme si to potvrdit výpočtem. Pro vektory ⃗u ∈ Ker ψ lineárního zobrazení by měl platit vztah ψ(⃗u) = ⃗o, což lze pomocí matice B přepsat takto: ψ(⃗u) = B · ⃗u =     1 0 0 −1 1 2 1 2 4 2 −1 1     ·   u1 u2 u3   =     0 0 0 0     . Dostáváme tak homogenní systém, jehož převod na schodový tvar už jsme provedli na začátku, když jsme počítali hodnost matice B:     1 0 0 0 −1 1 2 0 1 2 4 0 2 −1 1 0     ∼ · · · ∼   1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 5 0   Zpětným chodem zjišťujeme: 2 Úloha 8.2 ze Skript na str. 89 10 • Poslední řádek systému je rovnice 5 · u3 = 0, z čehož u3 = 0. • Prostředním řádkem je zapsána rovnice u2 + 2u3 = 0, do níž dosadíme spočítanou hodnotu u3 a získáváme u2 = 0. • Z prvního řádku rovnou dostáváme u1 = 0. Je tedy potvrzeno, že Ker ψ = {⃗o}. Báze oboru hodnot Im ψ by měla obsahovat 3 vektory z R4 . Získáme je jednoduše tak, že pomocí matice B zobrazíme vektory standardní báze prostoru R3 . Zjistíme, že ψ   1 0 0   =     1 −1 1 2     , ψ   0 1 0   =     0 1 2 −1     , ψ   0 0 1   =     0 2 4 1     . Měli bychom ověřit, zda jsou spočítané vektory lineárně nezávislé. Není to však potřeba, jelikož jde o sloupce matice B, u níž jsme spočítali h(B) = 3. Protože platí h(BT ) = h(B), jsou spočítané čtyřsložkové vektory lineárně nezávislé a můžeme psát: Im ψ =         1 −1 1 2     ,     0 1 2 −1     ,     0 2 4 1         . Řešený příklad 7.3.b Zadání3 Lineární zobrazení ψ : R4 → R3 je zadáno maticí B =   1 1 0 2 −1 0 1 −1 2 2 4 3   . Nalezněte bázi a dimenzi jeho jádra Ker ψ a oboru hodnot Im ψ. Řešení Začneme opět tím, že určíme hodnost matice B, čímž zjistíme více věcí najednou: dim(Im ψ), následně dim(Ker ψ) a také si připravíme 1. část výpočtu báze jádra Ker ψ.   1 1 0 2 −1 0 1 −1 2 2 4 3   +r1 −2r1 ∼   1 1 0 2 0 1 1 1 0 0 4 −1   Okamžitě můžeme vyvodit: dim(Im ψ) = h(B) = 3, z čehož zároveň vyplývá dim(Ker ψ) = dim(R4 − dim(Im ψ) = 4 − 3 = 1. Báze jádra by tedy měla obsahovat jeden vektor, který určíme řešením homogenního systému ψ(⃗u) = B · ⃗u = ⃗o. Díky tomu, že jsme matici B už 3 Úloha 8.4 ze Skript na str. 90 11 převedli na schodový tvar, máme první část řešení homogenního systému již hotovou:   1 1 0 2 0 −1 0 1 −1 0 2 2 4 3 0   ∼ · · · ∼   1 1 0 2 0 0 1 1 1 0 0 0 4 −1 0   Protože máme tři lineárně nezávislé řádky na čtyři proměnné (tj. souřadnice čtyřsložkového vektoru ⃗u), je třeba zavést 4 − 3 = 1 parametr. Zvolme tedy např. u3 = t, t ∈ R. Zpětným chodem zjistíme zbylé složky vektoru ⃗u: • Poslední řádek reprezentuje rovnici 4u3 − u4 = 0. Po dosazení u3 = t dostáváme u4 = 4t. • Prostřední řádek zapíšeme jako rovnici u2 + u3 + u4 = 0. Po dosazení hodnot u3, u4 je jasné, že u2 = −5t. • Prvním řádkem rozumíme rovnici u1 +u2 +2u4 = 0. Opět dosadíme za u2, u4 a máme u1 = −3t. Řešení systému je tedy množina vektorů    t ·     −3 −5 1 4     , t ∈ R    , z čeho vyplývá Ker ψ =         −3 −5 1 4         . Báze oboru hodnot Im ψ by měla obsahovat 3 vektory z R3 . Získáme je tak, že pomocí matice B zobrazíme libovolné tři ze čtyř vektorů standardní báze prostoru R4 . Zjistíme, že ψ     1 0 0 0     =   1 −1 2   , ψ     0 1 0 0     =   1 0 2   , ψ     0 0 1 0     =   0 1 4   . Ověříme, zda jsou spočítané vektory (první tři sloupce matice B) lineárně nezávislé. Vložíme je do matice (je jedno, jestli do řádků či sloupců) a zjistíme její hodnost.   1 −1 2 1 0 2 0 1 4   −r1 ∼   1 −1 2 0 1 0 0 1 4   −r2 ∼   1 −1 2 0 1 0 0 0 4   Hodnost matice je 3, tudíž jsou vložené vektory lineárně nezávislé. Můžeme je tedy použít jako generátory podprostoru Im ψ: Im ψ =     1 −1 2   ,   1 0 2   ,   0 1 4     . 12 Řešený příklad 7.3.c Zadání4 Pro lineární zobrazení ψ : R3 → R4 je Ker ψ =     2 2 1   ,   1 0 1     , Im ψ =         1 0 1 1         . Sestrojte matici zobrazení ψ. Pokud zjistíte, že takových zobrazení existuje více, stačí nalézt jedno z nich. Řešení Protože ψ zobrazuje vektorový prostor R3 obsahující třísložkové vektory, musí mít matice Aψ tři sloupce. Jen v takovém případě bude fungovat zobrazování ψ(⃗u) = Aψ · ⃗u, kde ⃗u ∈ R3 . Má-li být výsledkem zobrazení ψ čtyřsložkový vektor ⃗v ∈ R4 , musí mít matice Aψ čtyři řádky. Matice Aψ je tedy typu 4 × 3. Jeden z jejích vektorů, například ten první, je vektor, který generuje obor hodnot Im ψ. Můžeme tedy napsat, že Aψ =     1 a12 a13 0 a22 a23 1 a32 a33 1 a42 a43     . V jádru zobrazení Ker ψ jsou dva vektory, které by matice Aψ měla zobrazovat na nulový vektor. Platí tedy ψ   2 2 1   = Aψ ·   2 2 1   =     1 a12 a13 0 a22 a23 1 a32 a33 1 a42 a43     ·   2 2 1   =     0 0 0 0     ψ   1 0 1   = Aψ ·   1 0 1   =     1 a12 a13 0 a22 a23 1 a32 a33 1 a42 a43     ·   1 0 1   =     0 0 0 0     Rozepíšeme-li si oba vztahy napravo do rovnic, dostáváme: 2 + 2a12 + a13 = 0, 1 + 0 · a12 + a13 = 0 0 + 2a22 + a23 = 0, 0 + 0 · a22 + a23 = 0 2 + 2a32 + a33 = 0, 1 + 0 · a32 + a33 = 0 2 + 2a42 + a43 = 0, 1 + 0 · a42 + a43 = 0 V každé dvojici rovnic lze jednu z proměnných přímo vyjádřit z druhé rovnice a následně dosadit do první: 4 Úloha 8.6 ze Skript na str. 90 13 1. a13 = −1, z čehož 2 + 2a12 − 1 = 0, a tedy 2a12 = −1 ⇒ a12 = −1 2 , 2. a23 = 0, z čehož 0 + 2a22 + 0 = 0, a tedy a22 = 0, 3. a33 = −1, z čehož 2 + 2a32 − 1 = 0, a tedy 2a32 = −1 ⇒ a32 = −1 2 , 4. a43 = −1, z čehož 2 + 2a42 − 1 = 0, a tedy 2a42 = −1 ⇒ a42 = −1 2 . Máme zjištěny všechny zbývající prvky matice lineárního zobrazení ψ a můžeme psát výsledek: Aψ =        1 −1 2 −1 0 0 0 1 −1 2 −1 1 −1 2 −1        . Řešený příklad 7.3.d Zadání Pro lineární zobrazení ψ : R4 → R3 je Ker ψ =         2 1 1 0     ,     3 0 1 0     ,     −2 0 0 1         , Im ψ =     −1 −2 1     . Sestrojte matici zobrazení ψ. Pokud zjistíte, že takových zobrazení existuje více, stačí nalézt jedno z nich. Řešení Vzhledem k dimenzi vstupního a výstupního prostoru zobrazení ψ bude matice Aψ typu 3 × 4. Jeden z jejích sloupců můžeme snadno stanovit, jde o vektor generující obor hodnot Im ψ. Dejme jej do 1. sloupce matice Aψ, zbylé sloupce musíme dopočítat: Aψ =   −1 a12 a13 a14 −2 a22 a23 a24 1 a32 a33 a34   14 V jádru zobrazení Ker ψ jsou tři vektory, které by matice Aψ měla zobrazovat na nulový vektor. Platí tedy ψ     2 1 1 0     = Aψ ·     2 1 1 0     =   −1 a12 a13 a14 −2 a22 a23 a24 1 a32 a33 a34   ·     2 1 1 0     =   0 0 0   ψ     2 1 1 0     = Aψ ·     2 1 1 0     =   −1 a12 a13 a14 −2 a22 a23 a24 1 a32 a33 a34   ·     3 0 1 0     =   0 0 0   ψ     −2 0 0 1     = Aψ ·     −2 0 0 1     =   −1 a12 a13 a14 −2 a22 a23 a24 1 a32 a33 a34   ·     −2 0 0 1     =   0 0 0   Rozepíšeme-li si všechny tři vztahy napravo do rovnic, dostáváme: −2 + a12 + a13 = 0 −4 + a22 + a23 = 0 2 + a32 + a33 = 0 −3 + a13 = 0 −6 + a23 = 0 3 + a33 = 0 2 + a14 = 0 4 + a24 = 0 −2 + a34 = 0 Snadno nyní dopočítáme hodnoty prvků 3. až 4. sloupce matice Aψ, které následně dosadíme do rovnic, kde se vyskytují prvky 2. sloupce. Výsledkem je matice Aψ =   −1 −1 3 −2 −2 −2 6 −4 1 1 −3 2   . Příklad 7.3.e (pouze s výsledkem) Zadání Lineární zobrazení ψ : R2 → R3 je zadáno maticí B =   2 3 2 1 1 0   . Nalezněte bázi a dimenzi jeho jádra Ker ψ a oboru hodnot Im ψ. Příklad 7.3.f (pouze s výsledkem) Zadání Lineární zobrazení ψ : R3 → R3 je zadáno maticí B =   1 1 2 −1 2 1 3 −3 0   . Nalezněte bázi a dimenzi jeho jádra Ker ψ a oboru hodnot Im ψ. 15 Příklad 7.3.g (pouze s výsledkem) Zadání Pro lineární zobrazení ψ : R4 → R3 je Ker ψ =         4 1 1 0     ,     2 1 0 1         , Im ψ =     −1 −2 −1   ,   4 5 1     . Sestrojte matici zobrazení ψ. Pokud zjistíte, že takových zobrazení existuje více, stačí nalézt jedno z nich. Příklad 7.3.h (pouze s výsledkem) Zadání Pro lineární zobrazení ψ : R3 → R4 je Ker ψ =     −1 1 1     , Im ψ =         2 1 −1 0     ,     4 3 −1 −2         . Sestrojte matici zobrazení ψ. Pokud zjistíte, že takových zobrazení existuje více, stačí nalézt jedno z nich. Výsledky příkladů 7.1.d : Aφ =   1 −2 −2 3 1 −4   , φ(⃗u) =   −1 1 3   , ⃗v = 2 1 7.1.e : φ   x y z   = x + y + z −2y − z , φ(⃗u) = 6 −7 , ⃗v =   1 0 −1   7.1.f : Aφ =   2 −3 −2 1 −1 4   7.2.c : φ(p) =      −2 7 1      7.2.d : φ(r) =      −2 −1 1   + s ·   −2 7 1   + t ·   −4 5 2   , s, t ∈ R    7.3.e : dim(Ker ψ) = 0, Ker (ψ) = ⃗o, dim(Im ψ) = 2, Im ψ =     2 2 1   ,   3 1 0     16 7.3.f : dim(Ker ψ) = 1, Ker (ψ) =     1 1 −1     , dim(Im ψ) = 2, Im ψ =     1 −1 3   ,   1 2 −3     7.3.g : Aψ =   −1 4 0 −2 −2 5 3 −1 −1 1 3 1   7.3.h : Aψ =     2 4 2 1 3 −2 −1 −1 0 0 −2 2     17