MA0005 Algebra 2 – Sbírka řešených příkladů Lukáš Másilko 4. července 2024 Cvičení 8 V tomto cvičení si představíme matici přechodu mezi dvěma bázemi. Ukážeme si, jak ji zkonstruovat a s její pomocí převést vektor zadaný v první bázi do druhé či naopak. Dozvíte se, jak lze transformovat matici lineárního zobrazení či transformace, měníme-li bázi vstupního či výstupního vektorového prostoru. Ve Skriptech je tomuto tématu věnována 8. kapitola (Týden 8) na str. 82–88. Obsah 8.1 Matice přechodu 2 8.2 Změna matice lineárního zobrazení při změně báze 5 Výsledky příkladů 11 Katedra matematiky Pedagogické fakulty MU, podzim 2023 1 8.1 Matice přechodu Doposud jsme vektory zadávali pomocí standardní báze, např. pro vektorový prostor R2 je to S2 = 1 0 , 0 1 , v případě prostoru R3 je to trojice S3 =     1 0 0   ,   0 1 0   ,   0 0 1     a tak dál. Určitě však v lineární algebře nastávají situace, kdy je výhodnější s vektory pracovat v jiné než standardní bázi. V této kapitole si ukážeme, jak zkonstruovat matici přechodu mezi dvěma bázemi, abychom mohli pro vektor zadaný v jedné bázi rychle najít souřadnice v jiné bázi. Řešený příklad 8.1.a Zadání1 Ve vektorovém prostoru R3 je zadán vektor ⃗v pomocí souřadnic vyjádřených vzhledem k bázi α: ⃗v =   2 1 0   α , α =     1 0 1   ,   0 1 1   ,   0 0 3     . Najděte souřadnice vektoru ⃗v vzhledem k bázi β =     2 2 1   ,   0 2 −2   ,   1 1 0     . Řešení Pro přepočítání souřadnic vektoru ⃗v, který je zadaný v bázi α a potřebujeme jej převést do báze β, sestrojíme matici přechodu Pβ→α, kterou posléze použijeme tímto způsobem: ⃗vβ = Pβ→α · ⃗vα.2 Konstrukci matice přechodu Pβ→α zahájíme tak, že vektory obou bází dáme do rozšířené matice (jako sloupce, přesně v tom pořadí, jak jsou uvedeny v indexu) a následně ji pomocí elementárních řádkových úprav upravujeme tak, aby se na levé straně objevila jednotková matice. Na pravé straně bude poté kýžená matice přechodu Pβ→α.   2 0 1 1 0 0 2 2 1 0 1 0 1 −2 0 1 1 3   ↓2 ↑2 ∼   1 −2 0 1 1 3 2 2 1 0 1 0 2 0 1 1 0 0   −2r1 −2r1 ∼ 1 Úloha 9.2 ze Skript na str. 101 2 Všimněte si, že používáme matici přechodu v opačném směru. Zkuste se na uvedený vztah dívat zprava doleva, podobně totiž funguje přepočítávání opačným směrem: ⃗vα = Pα→β · ⃗vβ. Podrobnější vysvětlení naleznete ve Skriptech a Větě 19 a Příkladech 34, 35 na str. 83–85. 2   1 −2 0 1 1 3 0 6 1 −2 −1 −6 0 4 1 −1 −2 −6   −r3 ∼   1 −2 0 1 1 3 0 2 0 −1 1 0 0 4 1 −1 −2 −6   +r2 −2r2 ∼   1 0 0 0 2 3 0 2 0 −1 1 0 0 0 1 1 −4 −6   : 2 ∼    1 0 0 0 2 3 0 1 0 −1 2 1 2 0 0 0 1 1 −4 −6    Spočítanou matici přechodu použijeme pro převod mezi bázemi: ⃗vβ = Pβ→α · ⃗vα =    0 2 3 −1 2 1 2 0 1 −4 −6    ·   2 1 0   =   2 −1 2 −2   Řešený příklad 8.1.b Zadání Jsou dány báze α, β vektorového prostoru R3 . α =     1 0 2   ,   2 1 1   ,   0 0 1     , β =     0 1 0   ,   1 −1 −1   ,   −2 0 −2     Vyjádřete vektor • ⃗uβ =   0 1 −1   v souřadnicích báze α, • ⃗vα =   1 0 −1   v souřadnicích báze β. Řešení Pro přepočítání souřadnic vektoru ⃗uβ, který je zadaný v bázi β a potřebujeme jej převést do báze α, sestrojíme matici přechodu Pα→β, kterou posléze použijeme tímto způsobem: ⃗uα = Pα→β · ⃗uβ. Výpočet Pα→β:   1 2 0 0 1 −2 0 1 0 1 −1 0 2 1 1 0 −1 −2   −2r1 ∼   1 2 0 0 1 −2 0 1 0 1 −1 0 0 −3 1 0 −3 2   −2r2 +3r2 ∼   1 0 0 −2 3 −2 0 1 0 1 −1 0 0 0 1 3 −6 2   → Pα→β =   −2 3 −2 1 −1 0 3 −6 2   Spočítanou matici Pα→β použijeme pro výpočet souřadnic vektoru ⃗uβ v bázi α: ⃗uα = Pα→β · ⃗uβ =   −2 3 −2 1 −1 0 3 −6 2   ·   0 1 −1   =   5 −1 −8   3 Pro vyjádření vektoru ⃗vα v souřadnicích báze β potřebujeme opačnou matici přechodu Pβ→α. Víme však, že Pβ→α = (Pα→β)−1 . Stačí tedy najít inverzní matici k již spočítané matici přechodu Pα→β: Výpočet (Pα→β)−1 :   −2 3 −2 1 0 0 1 −1 0 0 1 0 3 −6 2 0 0 1   ↓1 ↑1 ∼   1 −1 0 0 1 0 −2 3 −2 1 0 0 3 −6 2 0 0 1   +2r1 −3r1 ∼   1 −1 0 0 1 0 0 1 −2 1 2 0 0 −3 2 0 −3 1   +r2 +3r2 ∼   1 0 −2 1 3 0 0 1 −2 1 2 0 0 0 −4 3 3 1   · −1 4 ∼    1 0 −2 1 3 0 0 1 −2 1 2 0 0 0 1 −3 4 −3 4 −1 4    +2r3 +2r3 ∼    1 0 0 −1 2 3 2 −1 2 0 1 0 −1 2 1 2 −1 2 0 0 1 −3 4 −3 4 −1 4    Vypočítanou matici (Pα→β)−1 = Pβ→α =    −1 2 3 2 −1 2 −1 2 1 2 −1 2 −3 4 −3 4 −1 4    použijeme k výpočtu souřadnic vektoru ⃗vα v bázi β: ⃗vβ = Pβ→α · ⃗vα =    −1 2 3 2 −1 2 −1 2 1 2 −1 2 −3 4 −3 4 −1 4    ·   1 0 −1   =   0 0 −1 2   Příklad 8.1.c (pouze s výsledkem) Zadání3 Jsou dány báze α, β vektorového prostoru R3 . α =     1 2 3   ,   0 1 1   ,   0 1 −1     , β =     2 2 1   ,   1 0 1   ,   1 1 0     Vyjádřete vektor • ⃗uβ =   0 1 −2   v souřadnicích báze α, • ⃗vα =   1 −1 2   v souřadnicích báze β. 3 Obě báze jsou převzaty z úlohy 9.3, viz Skripta na str. 101. 4 Příklad 8.1.d (pouze s výsledkem) Zadání4 Jsou dány báze α, β vektorového prostoru R3 . α =     1 1 2   ,   1 0 −1   ,   0 1 1     , β =     −1 −1 1   ,   2 0 3   ,   1 1 0     Vyjádřete vektor • ⃗uβ =   1 1 −1   v souřadnicích báze α, • ⃗vα =   −1 −1 1   v souřadnicích báze β. 8.2 Změna matice lin. zobrazení při změně báze Často se stává, že máme zadané lineární zobrazení φ : U → V , ovšem pro vektory, jejichž souřadnice jsou vyjádřeny ve standardních bázích U, V . Co když přijde požadavek, abychom stejné zobrazení φ použili pro jiné báze vstupního a výstupního prostoru? I v takové chvíli úspěšně využijeme matic přechodu. Ve Skriptech jsou tomu věnovány Příklady 36, 37 na str. 86–88. Řešený příklad 8.2.a Zadání Lineární zobrazení φ : R3 → R4 je zadáno maticí AS ve standardních bázích vstupního i výstupního vektorového prostoru φ: AS =     1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0     . Sestrojte matici Aβ→α, která vektory zadané v bázi α vstupního prostoru R3 zobrazí pomocí lineárního zobrazení φ a převede do báze β výstupního prostoru R4 , je-li α =     1 0 1   ,   1 1 1   ,   1 2 0     , β =         1 2 −1 0     ,     0 1 −1 −2     ,     −1 0 0 −2     ,     2 1 0 −3         . Využijte matice Aβ→α při zobrazení vektoru ⃗uα =   1 2 −1   prostřednictvím φ a výsledný vektor převeďte do souřadnic báze β. 4 Obě báze jsou převzaty z úlohy 9.4, viz Skripta na str. 101. 5 Řešení Pojďme si nejdříve vysvětlit, co vše budeme potřebovat pro sestrojení matice Aβ→α sloužící pro zobrazení φ, které však uskutečníme mezi bázemi α, β: 1. nejprve vezmeme vektor ⃗uα a převedeme jej do standardní báze S3 vektorového prostoru R3 . K tomu poslouží matice přechodu PS3→α, kterou použijeme takto: ⃗uS3 = PS3→α · ⃗uα (1) 2. vektor ⃗uS3 nyní můžeme zobrazit pomocí zadané matice AS a dostaneme vektor (φ(⃗u))S4 v souřadnicích standardní báze S4 vektorového prostoru R4 : (φ(⃗u))S4 = S · ⃗uS3 (2) 3. zbývá převést zobrazený vektor (φ(⃗u))S4 ze standardní báze S4 do báze β, o což se postaráme maticí přechodu Pβ→S4 : (φ(⃗u))β = Pβ→S4 · (φ(⃗u))S4 (3) Začali jsme vektorem ⃗u zadaným v bázi α, skončili jsme u vektoru φ(⃗u) v souřadnicích báze β. Jednotlivé matice z rovnic 1, 2, 3 nyní musíme vynásobit zprava doleva, tj. v opačném pořadí, než jak byly uvedeny, abychom dostali výslednou matici Aβ→α: Aβ→α = Pβ→S4 · AS · PS3→α (4) Spočítejme nejdříve obě matice přechodu: PS3→α :   1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 2 0 0 1 1 2 0   → PS3→α =   1 1 1 0 1 2 1 2 0   Vidíte sami, že není třeba nic upravovat. Rozšířená matice již je ve tvaru, v němž nalevo je jednotková matice. Vektory báze α tedy samy tvoří matici přechodu PS3→α. Pβ→S4 :     1 0 −1 2 1 0 0 0 2 1 0 1 0 1 0 0 −1 −1 0 0 0 0 1 0 0 −2 −2 −3 0 0 0 1     −2r1 +r1 ∼     1 0 −1 2 1 0 0 0 0 1 2 −3 −2 1 0 0 0 −1 −1 2 1 0 1 0 0 −2 −2 −3 0 0 0 1     +r2 +2r2 ∼     1 0 −1 2 1 0 0 0 0 1 2 −3 −2 1 0 0 0 0 1 −1 −1 1 1 0 0 0 2 −9 −4 2 0 1     +r3 −2r3 −2r3 ∼     1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 −1 0 −1 −2 0 0 0 1 −1 −1 1 1 0 0 0 0 −7 −2 0 −2 1     : (−7)      1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 −1 0 −1 −2 0 0 0 1 −1 −1 1 1 0 0 0 0 1 2 7 0 2 7 −1 7      −r4 +r4 +r4 ∼       1 0 0 0 −2 7 1 5 7 1 7 0 1 0 0 2 7 −1 −12 7 −1 7 0 0 1 0 −5 7 1 9 7 −1 7 0 0 0 1 2 7 0 2 7 −1 7       6 → Pβ→S4 = 1 7 ·     −2 1 5 1 2 −1 −12 −1 −5 1 9 −1 2 0 2 −1     Dosaďme nyní matice do vztahu 4 a spočítejme matici Aβ→α: Aβ→α = 1 7 ·     −2 1 5 1 2 −1 −12 −1 −5 1 9 −1 2 0 2 −1     ·     1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0     ·   1 1 1 0 1 2 1 2 0   = 1 7 ·     −2 1 5 1 2 −1 −12 −1 −5 1 9 −1 2 0 2 −1     ·     1 2 3 1 3 2 2 3 1 1 1 1     = 1 7 ·     10 15 2 −24 −36 −9 13 19 −5 5 9 7     Spočítanou matici Aβ→α nyní použijeme pro lineární zobrazení vektoru ⃗uα a převedení jeho obrazu do báze β: (φ(uα))β = Aβ→α·⃗uα = 1 7 ·     10 15 2 −24 −36 −9 13 19 −5 5 9 7    ·   1 2 −1   = 1 7 ·     38 −87 56 16     =     38 7 −87 7 8 16 7     Řešený příklad 8.2.b Zadání5 Přepište zobrazení ψ : R2 → R2 zadané vzhledem ke standardní bázi na vstupu i výstupu maticí D = 2 1 −1 3 do tvaru zadaného na vstupu i výstupu vzhledem k bázi α = 1 −1 , 1 2 . Řešení Tentokrát má vstupní i výstupní prostor stejnou dimenzi, tedy ψ je lineární transformací. Co tedy potřebujeme, abychom vektor ⃗uα zobrazili pomocí ψ, které je definováno pro standardní bázi na vstupu i výstupu, a ještě jej následně převedli do báze α? Je to podobné jako v předchozím příkladu: 1. Vektor ⃗uα převedeme do standardní báze a dostaneme ⃗uS = PS→α · ⃗uα. 5 Úloha 9.5 ze Skript na str. 101 7 2. Vektor ⃗uS zobrazíme pomocí ψ, tj. dostaneme (ψ(⃗uS))S = D · ⃗uS. 3. Obraz (ψ(⃗uS))S je ve standardní bázi, takže jej převedeme na vektor (ψ(⃗uS))α = Pα→S · (ψ(⃗uS))S zadaný v bázi α. Jednotlivé matice z předchozích vztahů potřebujeme vynásobit zprava doleva, abychom dostali matici Dα→α lineární transformace ψ mající na vstupu i výstupu vektory báze α: Dα→α = Pα→S · D · PS→α (5) K určení matice Dα→α tedy potřebujeme dvě matice přechodu. PS→α : 1 0 1 1 0 1 −1 2 → PS→α = 1 1 −1 2 Vidíte sami, že není třeba nic upravovat. Rozšířená matice již je ve tvaru, v němž nalevo je jednotková matice. Vektory báze α tedy samy tvoří matici přechodu PS→α. Pα→S : 1 1 1 0 −1 2 0 1 +r1 ∼ 1 1 1 0 0 3 1 1 : 3 ∼ 1 1 1 0 0 1 1 3 1 3 −r2 ∼ 1 0 2 3 −1 3 0 1 1 3 1 3 → Pα→S = 1 3 · 2 −1 1 1 Dosadíme nyní do vztahu 5 a máme požadovanou matici Dα→α: Dα→α = 1 3 · 2 −1 1 1 · 2 1 −1 3 · 1 1 −1 2 = 1 3 · 2 −1 1 1 · 1 4 −4 5 = 1 3 · 6 3 −3 9 = 2 1 −1 3 Řešený příklad 8.2.c Zadání Jsou dány báze α, β vektorového prostoru R3 . α =     −1 2 −2   ,   2 1 1   ,   1 3 0     , β =     1 1 1   ,   1 0 1   ,   −1 1 0     Lineární transformace φ : R3 → R3 je zadána maticí AS ve standardní bázi prostoru R3 . AS =   0 1 2 −1 3 −2 1 0 3   Nalezněte matici Aβ→α lineární transformace φ, která vektory zadané v bázi α zobrazí pomocí φ a převede do báze β. S pomocí matice Aβ→α zobrazte 8 vektor ⃗uα =   0 −1 1   a zapište jej v souřadnicích báze β. Řešení I v tomto příkladu je φ lineární transformace, tentokrát ovšem vektorového prostoru R3 , navíc narozdíl od předchozího příkladu přecházíme z báze α přes standardní bázi S do jiné báze β. Schématicky by to šlo znázornit takto: α →P1 S →φ S →P2 β, (6) přičemž P1, P2 jsou vhodné matice přechodu. Vzhledem ke zvyklostem při aplikaci matic přechodu a matic lineárních zobrazení6 však zápis 6 musíme otočit a zapsat jej zprava doleva: {P2 · [AS · (P1 · ⃗uα)]}β Z tohoto zápisu je také patrné, že je lépe používat následující schéma, jen je třeba jej číst zprava doleva: (φ(⃗u))β ←−Pβ→S φ(⃗u)S ←−AS ⃗uS ←−PS→α ⃗uα (7) Ve vztahu 7 jsou již použity vhodné matice přechodu místo P1, P2, které se vyskytovaly ve vztahu 6. Zbývá je tedy spočítat: PS→α :   1 0 0 −1 2 1 0 1 0 2 1 3 0 0 1 −2 1 0   → PS→α =   −1 2 1 2 1 3 −2 1 0   Pβ→S :   1 1 −1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1   −r1 −r1 ∼   1 1 −1 1 0 0 0 −1 2 −1 1 0 0 0 1 −1 0 1   +r2 ∼ ∼   1 0 1 0 1 0 0 −1 2 −1 1 0 0 0 1 −1 0 1   −r3 −2r3 ∼   1 0 0 1 1 −1 0 −1 0 1 1 −2 0 0 1 −1 0 1   ·(−1) ∼   1 0 0 1 1 −1 0 1 0 −1 −1 2 0 0 1 −1 0 1   → Pβ→S =   1 1 −1 −1 −1 2 −1 0 1   Matici Aβ→α nyní dostaneme vynásobením matic dle vztahu 7: Aβ→α = Pβ→S · AS · PS→α = =   1 1 −1 −1 −1 2 −1 0 1   ·   0 1 2 −1 3 −2 1 0 3   ·   −1 2 1 2 1 3 −2 1 0   = =   1 1 −1 −1 −1 2 −1 0 1   ·   −2 3 3 11 −1 8 −7 5 1   =   16 −3 10 −23 8 −9 −5 2 −2   6 Zobrazujeme-li vektor pomocí matice či jej transformujeme do jiné báze, násobíme jej příslušnou maticí zleva. 9 Vypočítanou matici Aβ→α nyní použijeme ke zobrazení vektoru ⃗uα a převedení jeho obrazu do souřadnic báze β: (φ(⃗u))β =   16 −3 10 −23 8 −9 −5 2 −2   ·   0 −1 1   =   13 −17 −4   Příklad 8.2.d (pouze s výsledkem) Zadání Lineární zobrazení φ : R3 → R2 je zadáno maticí AS ve standardních bázích vstupního i výstupního vektorového prostoru φ: AS = 1 1 0 0 1 1 . Sestrojte matici Aβ→α, která vektory zadané v bázi α vstupního prostoru R3 zobrazí pomocí lineárního zobrazení φ a převede do báze β výstupního prostoru R2 , je-li α =     1 1 1   ,   1 0 4   ,   1 4 0     , β = 1 0 , 4 1 . Využijte matice Aβ→α při zobrazení vektoru ⃗uα =   1 2 −1   prostřednictvím φ a výsledný vektor převeďte do souřadnic báze β. Příklad 8.2.e (pouze s výsledkem) Zadání7 Přepište zobrazení ψ : R2 → R2 zadané vzhledem ke standardní bázi na vstupu i výstupu maticí D = 1 1 2 4 do tvaru zadaného na vstupu i výstupu vzhledem k bázi α = 2 3 , 1 1 . Příklad 8.2.f (pouze s výsledkem) Zadání Jsou dány báze α, β vektorového prostoru R3 . α =     1 0 2   ,   2 1 1   ,   0 0 1     , β =     0 1 0   ,   1 −1 −1   ,   −2 0 −2     7 Úloha 9.6 ze Skript na str. 101 10 Lineární transformace φ : R3 → R3 je zadána maticí AS ve standardní bázi prostoru R3 . AS =   1 3 −2 2 0 −1 −1 2 4   Nalezněte matici Aα→β lineární transformace φ, která vektory zadané v bázi β zobrazí pomocí φ a převede do báze α. S pomocí matice Aα→β zobrazte vektor ⃗uβ =   0 1 −1   a zapište jej v souřadnicích báze α. Výsledky příkladů 8.1.c: ⃗uα =   −1 2 −2   , ⃗vβ =   2 −2 −1   8.1.d: ⃗uα =   3 −3 −5   , ⃗vβ =   3 −1 2   8.2.d: Aβ→α = −6 −15 −11 2 4 4 , (φ(⃗uα))β = −25 6 8.2.e: Dα→α = 9 3 −11 −3 8.2.f: Aα→β =   3 −6 6 0 3 −2 −4 2 −16  , (φ(⃗uβ))α =   −12 5 18   11