CVIČENÍ 10
Číselné řady
PŘÍKLAD 10.1. Vyšetřeme konvergenci řady
oo 1
T—-—•
71 = 1
1
Řešení.   2 ] , _--K anebo  2 ] , _ <   21„   =   , 1 ... < 7—^
«z—3«+7      «z «z—3«+7 — nz—3n      n(n—3) — (n—3)z
PŘÍKLAD 10.2. Vyšetřeme konvergenci řady
00 1
„=i y/n(n+2)
. 1
Řešení. Lze použít srovnávací kriterium v limitním tvaru:   , .       ~ —1= = -, r-r-—T . „
při n -> 00, kde - = +00 anebo   , }      >    , 1      =        Řada diverguje,
ť Z^/i-l n V«(«+2)      V(«+2)2 "+2
PŘÍKLAD 10.3. Vyšetřeme konvergenci řady
OO "2
9«
2«
71 = 1
Řešení. Máme ~Y^n=i an s fl« = fjr- Použijme ďAlemebertovo podílové kriterium: a„+i     (« + l)32«     1 ^ + 1A3=U1+1A3   . 1
2"+1   «3     2\   «   /      2 V      n 2
při 7í —00. Je tedy lim^^oo a^+1 = ^ < 1, řada konverguje. Mohli bychom použít i Cauchyho odmocninové kriterium:
\/ 2„        2       2 2
při « -> 00, neboť lim^^oo %fň = 1 (protože ra» = elnn" = gnln" a lim,,-^ ^ ln ra = 0 podle 1'Hopitalova pravidla).
1
PŘÍKLAD 10.4. Vyšetřeme konvergenci řady
Y--
n = l
v rn
Řešení. Použijme ďAlemebertovo podílové kriterium: pro an = bude
a„ + i       5n+l   n\ _        n\ 5
a„       (n + l)\5n       n\{n + l)     n + l a proto limw^oo        = 0 < 1. Rada konverguje.
PŘÍKLAD 10.5. Vyšetřeme konvergenci řady
Em
71=1
Řešení. Použijme ďAlemebertovo podílové kriterium: pro an = bude
a„ + i       (n + 1)!   nn     ,      ,   /   n   \"    1        /   n   \"     (n + 1-1 = (n + l)
(n + l)n+l n\ \n + l)   n + l     \n + 1J       \   n + l
1   \n     I (       —1 ^ nJ<~^\ "+1
=   1-—v     =     1 +
« + 1/       \ V      n + l Jelikož lim^^oo (l +       = ea, bude lim^^oo a"a+1 = e~x < 1. Řada konverguje.
PŘÍKLAD 10.6. Vyšetřeme konvergenci řady
00   / \ n
Řešení. Pro a„ = (^) je
^ra + 1 /       \   n + 1   )       \\      n + 1)      I e při 7í —00. Tedy lim^^oo an = j    0, t. j. není splněna nutná podmínka konvergence řady.
PŘÍKLAD 10.7. Vyšetřeme konvergenci řady
1 "
n = l
Řešení. Platí limf^0 x^^- = 1 a tudíž lim^oo '"^^"^ = 1, tedy ln (l + ±) ~ i při n -> 00. Pak pro a„ = \ ln (l + £) je
1 1 1
*«----— 9
při n -> 00. Položíme-li &w = bude limw^oo jf- = 1. Jelikož Yln=i ^2 konverguje, pak dle srovnávacího kriteria konverguje i Y1T=\ « m (l + «) ■
2
PŘÍKLAD 10.8. Vyšetřeme konvergenci řady
Eln m n2 '
n = l
Řešení. Pro n -> oo roste \nn pomaleji než jakákoliv odmocnina z n: je-li 0 < a < 1, podle l'Hôpitalova pravidla
ln« ^ 1 1
lim -        = lim —-—- = — lim — =0.
n^f-oo na      n^foo ana  1      a n^-oo na
Mimo jiné, limw^oo      = 0. Pak pro dostatečně velká n bude lnra < V" a tudíž
ln« 1
~72~ - = "T
«2
Jelikož Ylr?=i ~~T konverguje, pak dle srovnávacího kriteria konverguje i X!«^=i ^T-
«2 "
3