CVIČENÍ 11
Mocninné řady
PŘÍKLAD 11.1. Vyšetřeme konvergenci mocninné řady
oo
n=0
Řešení. Je Y.™=0(2x)n = E^=o2"x" = £^oc«(x ~ *o)", kde x0 = 0 a c„ = 2". Určeme poloměr konvergence R. Jelikož
je    = 2, R = j. Intervalem konvergence je (xo — R, xo + R) = (—j, j), v něm řada konverguje absolutně. Pro |x| > ^ řada diverguje. Zjistěme, zda řada konverguje v koncových bodech intervalu konvergence. Při x = j má řada J2T=o(2x)n tvar
«=0 v     7 n=0
(diverguje k +oo).
Je-li x = ^, obdržíme řadu
oo   ,     .+.n °°
E -22 =E(-1)" = 1-1 + 1-1 + ---
která součet nemá.
Řada tedy konverguje jen na (— j, přičemž na tomto intervale konverguje absolutně. PŘÍKLAD 11.2. Vyšetřeme konvergenci mocninné řady
EX
Řešení. Pro cw = platí
c„+i        «! 1
(n + 1)!     « + 1 1
0,   « -> oo,
pak l/R = O, poloměr konvergence je R = +00, a tudíž řada konverguje na (—00, 00). Jedná se o Taylorův rozvoj ex. Speciálně
00 j n=0
PŘÍKLAD 11.3. Vyšetřeme konvergenci mocninné řady
n=0
Řešení. Máme Xl«^=o('íX)" = Xln^=oc«x)" s cn = n" ■ Pro poloměr konvergence R bude
1
= lim y\cn \ = lim n = +00
a tudíž R = 0. Řada tedy konverguje pouze při x = 0.
PŘÍKLAD 11.4. Vyšetřeme konvergenci mocninné řady
(x-l)n
E
n=0
(n + 1)4"'
Řešení. Středem je bod xo = 1. Položme cn = (w+\)4n ■ Určeme poloměr konvergence R. Jelikož
V\cn\ = — = = -. —► -,     « -> OO,
V(« + 1)4«     4V^TT 4
je = R = 4. Intervalem konvergence je (xo — R, xo + R) = (—3,5). Pro x e (—3,5) tedy řada konverguje absolutně. Pro x > 5 a x < —3 řada diverguje. Zjistěme, zda řada konverguje v koncových bodech intervalu konvergence.
Při x = 5 máme divergentní řadu harmonickou
00 4»
Je-li x = —3, dostáváme řadu alternující
y K~^J  = y
(-4)"    _ ^ (-1)"
(« + 1)4" ~ ^ n + l
n=0v 7 n=0
Jelikož ^q-j-, « = 0,1 je kladná posloupnost, monotónně klesající k 0, podle Leibnizova kriteria tato řada konverguje.
V souhrnu dostáváme: při x e (—3, 5) řada konverguje absolutně, při x > 5 a x < —3 řada diverguje, při x = —3 řada konverguje (neabsolutně).
PŘÍKLAD 11.5. Vyšetřeme konvergenci mocninné řady
~ (x + 2)"
nl"-1
n = l
2
Řešení. Pro poloměr konvergence R bude
1             „/    1                     1                      1 11 — = lim  \-- = lim — = lim ——-       = lim -:-       = -,
R      n^oo V n2n~l      n^oc 1/n2n-l 2n   ^ 21" $/« 2
neboť lim^oo ^ = 1 (bylo by pohodlnější napsat £ľ=i = l Pak Ä = 2.
Středem je —2, intervalem konvergence je (—2 — 2, —2 + 2) = (—4,0).
Vyšetřeme řadu X,«=i W2" 1 v koncových bodech intervalu (—4,0). Při x = —4 je to alternující řada ££Li = i E^iC-1)"^- = I E^iC"1)"^ která konverguje podle Leibnizova kriteria. Při
x = 0 dostáváme divergentní řadu £^Li = J HT=i »■
PŘÍKLAD 11.6. Vyšetřeme konvergenci mocninné řady
oo
£(-l)"+1;
x2n-l
2n - 1
n = l
Řešení. Položme fn(x) = (—1)"+1 ^nj-; pak máme řadu Yľrv=i fn(x)- Jelikož je to řada mocninná, má smysl vyšetřovat ihned absolutní konvergenci (v intervalu konvergence totiž konverguje vždy absolutně). Uvažujme proto řadu Yľn = \ \fnix)\- Aplikujme podílové kriterium:
|/„ + i(jc)|      |^2C«+D-i|    2n-l      \x\2n+12n-l        |22»-1 2
= x--> x ,    n -> oo.
\f„(x)\       2(n + l)-l   Ixl2""1      IjcI2"-1 2n + 1        '2n + l
Řada tedy konverguje při |x| < la diverguje při |x| > 1.
Při x = 1 dostaneme alternující řadu Ew=i(~ 2n—i' která konverguje podle Leibnizova kriteria. Při x = — 1 dostaneme rovněž konvergentní alternující řadu
n + l(-l)2n-1 = ^ (-1)3" = ^ ((-l)3)" = ^ (-1)" ^    ^       2n-l       ^ 2/1 — 1     ^  2/1 — 1 ^2/i-ť
Řada konverguje absolutně při |x| < 1, konverguje neabsolutně při x = ±1 a diverguje při |x| > 1.
Poznámka 11.7. Poznamenejme, že v příkladě 2.6 při zápise řady i (~ 1)"+1 2»"-1 ve tvaru Yln*=i c"x" část koeficientů vychází rovná 0 a proto zde c„ 7^ (—1)"+12w1_1. Vzorce pro R uplatnit nelze, neboť v takových případech nemusí dávat správný výsledek. Aplikujeme tedy podílové anebo odmocninové kriterium bezprostředně k řadě z absolutních hodnot.
PŘÍKLAD 11.8. Vyšetřeme konvergenci mocninné řady
Řešení. Čteme poznámku 2.7. Položíme fn(x) = ^+2 a uvažujeme řadu Yľrľ=i \ fn(x)\- Aplikujeme podílové kriterium: při n -> 00 bude
In
|/„+i(jc)| = (n + l)|x- 1|2"+2   9"V^+~3 = lrc + 1     V^5^ 2 (x-1)2
I/»(*)!   ~ 9"+V(« + l)5 + 2 ' «k"l|2" ~ 9   n + 1)5 + 2 ^ 9
a tudíž řada konverguje absolutně při (x — l)2 < 9, t. j. |x — 1| < 3 a diverguje při (x — l)2 > 9, t. j. |x - 1| > 3.
Interval konvergence je tedy určen nerovnicí —3 < x — 1 < 3, t. j. —2 < x < 4.
3
Při x = —2 máme řadu
n(-3)2n
Jelikož V«5 + 2 ~ Vw^ = «2 při « -> oo, t. j. ^"^+2 -> 1 pro n -> oo, podle srovnávací věty v limitním
tvaru řada X!«^=i "+2 konverguje spolu s konvergentní zobecněnou harmonickou řadou Yľn = \ ~~r- Př* x = 4 máme opět konvergentní řadu
Mocninná řada tedy konverguje absolutně při —2 < x < 4 a diverguje pro x < —2 a x > 4. Poznamenejme, že neopatrné využiti vzorce
— = lim -j—j-, (H.l)
platného pro řady X!«^=i c« (x ~~ xo)". v tomto případe by vedlo na chybný výsledek. Vskutku, dosadíme-li do (2.1) cn = -dostaneme
|c„+i| _ (n + 1) 9"V«5 + 3 _ 1 n + 1     V«5 + 2 1
|c»|       9" + V(n + l)5 + 2 n 9   n + 1)5 + 2 9
a tudíž = ^, 7? = 9. Výše jsme však zjistili, že ve skutečnosti je R = 3, t. j. poslední využitý postup je nesprávný.
4