CVIČENÍ 1
ÚLOHA 1.1. Derivujte f (x) — xťgx — arcsin(x3) + f sinjr.
x vi+1
ÚLOHA 1.2. Derivujte f (x) 2 .
ÚLOHA 1.3. Derivujte f (x) = x^*. Nápověda. Využijte ln f {x).
Řešení. ln/(jc) = ln (x^*) = Vx~-lnx, f (x) = elnf(x) = e^4nx,
3
ÚLOHA 1.4. Derivujte /(jc) = (fr^i)4 •
Řešení 1.4.1. /'(*) = f (f^) 4 (^) atd. (zdlouhavé). Řešení 1.4.2. ln f(x) = f ln (^\) = f ln (x2 - l) - f ln (x2 + l)
(in/(x)y = ^ 2x   3 2x
4 x2 - 1    4 x2 + 1'
Jelikož obecně platí (ln f(x))' = "C/, bude
X2 + 1 /    1 - x4
ÚLOHA 1.5. Zapište rovnici tečny ke grafu funkce /(x) — x + ^
(1) v bodech x — 2, x — —2.
(2) v bodě x — 1.
Co lze říct o chování funkce v okolí těchto bodů?
l
Řešení. Definiční obor: (—00, 00) \ {0}; body ±2 a 1 tam patří. Rovnice tečny v bodě x = xo je y = f(xo) + f'{xo)(x — xq).
/'(*) = i-£
Pro x0 = 2: f'(2) = f (rostoucí), f (2) = §, rovnice tečny y = § + f (x - 2), y = | + f (x - 2), y = |x + 1
Proxo = -2: / je lichá, f (-2) = - f (2) = -f; /'je sudá, f (-2) = f'(2) = | (rostoucí), rovnice tečny y = -§ + f (x - 2), y = f x - 1
Pro xo = 1: /'(l) = 0, směrnice tečny je 0, tečna je vodorovná. Při x > 1 je /'(x) = 1 = (x-i)(x+i) > o, při x < 1 bude f'(x) < 0. V bodě x = 1 má funkce lokální minimum.
Ďalším bodem extrému je — 1, kde je lokálni maximum (funkce je lichá a graf je souměrný podle počátku). Jiné body extrému, očividně, nejsou. Graf viz obrázek 1.1.
Obrázek 1.1
2