CVIČENÍ 2
úloha 2.1. Vyšetřete průběh funkce
f{x) = e~x\ Načrtněte graf funkce a tečnu v bodě x — .
Řešení. Definiční obor (—00, 00); sudá; bez průsečíků s vodorovnou osou; f'(x) = -2xe~x2 = -2jc/(jc),
f"(x) = -2 (f{x) + xf'(x)) = -2 (f(x) - 2x2f(x)) = -2e~x\\ - 2x2).
Jediný stacionární bod Oje bodem lokálního maxima o hodnotě /(O) = 1 (neboť f"{0) < 0; také protože je f'(x) > 0 při x < 0 a opačně při x > 0). Inflexníbody:
Rovnice tečny v bodě x = :
Vypočtěme: / (-^) = e~\ = /' (-±5) = -2J-f (£) =-J = -J%. Rovnice tečny v bodě x = 4= bude: v = ^= - ^ fjc - ^= V
/2 2 j = -1/- -x + —. Ve Je
úloha 2.2. Vyšetřete průběh funkce
/(*) =
Načrtněte graf funkce a tečnu v bodě x — —2.
\x\
(*-l)2'
Řešení. Definiční obor: 1 ^ 1. Svislá přímka x = 1 je asymptotou pro x -> 1±:
\x\                         X XX lim--—- =  lim--—r = +00;    hm--—r =  lim--—- = +00.
x^l + (x - l)2      x^l + (x - l)2 x^l- (x - l)2      x^l- (x - l)2
1
Obrázek 2.1. f(x) = e~%2
Jelikož
|x|                         X X —x
lim-- =   lim-- = 0;     lim-- =   lim-- = 0,
x^+oo (x — l)2      x^+oo (x — l)2 x^-oo (x — l)2      x^-oo (x — l)2
je vodorovná přímka y = 0 asymptotou v ±oo.
V bodě Oje pravděpodobně porušena hladkost. Vypočtěme derivaci:
d     x      _ (x-l)2-2x(x-l) _ x+l
12  — rr-114
x > 0;
f'(X)=  )dx(x-l)2 (x-1)4 (x_l)3. - 21
)   d      -X      _     X + l n K '
\ dx (x-l)2  -  (x-l)3 ' X < U.
Zbývá případ x = 0. Jelikož dle jednotlivých částí vzorce (2.1) je
lim f'{x) =  lim - X +*   = 1,    lim f'{x) =   lim -,* +*   = -1,
x^0+ x^0+    (x-1)3 x^O- x^0+ (x-1)3
derivace v bodě 0 neexistuje.1
Stacionární body: —1 aO (/'(—l) = 0, /'(O) neexistuje). Vypočtěme druhou derivaci (opět zvlášť na (0, +oo) a (—00,0))):
(__d   x + l    _     (x-l)3-3(x + l)(x-l)2 _ ? x+2 0.
/"(X) =  )      ^ 1)3  - (X-l)6 -Z(X-1)4'     *>U' (22)
)   d     X + l     _        X+2 . rv v '
( dx (x-l)3 _     (x-1)4' X < U.
Vyšetřeme stacionární bod —1 s pomocí /": podle druhého vzorce v (2.2) je /"(—1) = — ^4 < 0, proto v —1 je lokální maximum. Totéž s pomocí znaménka /' v okolí —1: f'(x) > 0 pro x < — 1 a f'(x) < 0 pro — 1 < x < 0 (počítáme podle druhé častí vzorce (2.1) pro záporné hodnoty x). V bodě —1 tedy je lokální maximum o hodnotě /(—1) = \-
Body, podezřelé z inflexe: —2 a 0 (/"(—2) = 0, f"{0) neexistuje).
*Zde ve skutečnosti neexistuje /'(0), avšak máme k dispozici jednostranné derivace fl(0) = — 1 a /+(0) = 1. Geometricky to znamená, že tečny ke grafu funkce v bodě 0 vlevo a vpravo mají různé směrnice (obrázek 2.2). Viz poznámka pod čarou 2, str. 3.
Znaménko /": f "{x) > 0 pro x < —2 a f "{x) < 0 pro —2 < x < 0 (používáme druhý vzorec v (2.2)) a f "{x) > 0 pro x > 0 (podle prvního vzorce v (2.2)). Funkce je tedy konkávni na (—2,0) a konvexní všude jinde. Body —2 a 0 jsou inflexní.
Asymptoty: y = 0 pro x -> +oo ai-^ —oo; x = 1 bez smernice.
Tečna y x = -2: y = f(-2) + f'(-2)(x + 2). Vypočtěme: f(-2) = j-g^ = §, /'(-2) = (12-1)3 = Tľ; rovnice Je y = % + Tf(x + 2), y = ±x + jj.
Obrázek 2.2. f (x)
1*1
(*-D2
úloha 2.3. Vyšetřete průběh funkce
/(x) = (l
Načrtněte graf funkce a tečnu v bodě x — ^.
2
Řešení. Definiční obor: — 1 < x < 1 (musíbýtx? < 1 -o- x2 < 1, protože mocnina 3 je lichá). Funkce je sudá.
Derivace:
Stacionární body 0 a ±1; /'(±1) = 0, /'(x) < 0 pro x e (0,1), tedy na (0,1) klesající (na (-1,0) pak rostoucí kvůli sudosti). Tečna v bodech x = ±1 je vodorovná. (Upozorněni: v případě derivace v 1, což je krajním bodem definičního oboru, se jedná o jednostrannou limitu při x -> 1—, což je fL(X), tzv. jednostranná derivace zleva2; podobně v —1 se jedná o /+(—1)). V bodech x = ±1 se graf dotyká vodorovné osy (a za tyto meze dále nepokračuje).
Jednostranné derivace se definují takto:
,,,   ,      r     /(*) - /(*o)     ,,,   ,      r     /(*) - /(*o) J-(x0) =   lim -,   ý+(x0) =   lim -.
x^x0-        X — Xq x^x0+        X — Xq
Derivace f'(xo) existuje právě tehdy, když existují fL(xo), /+(xo) a je fl(xo) = f+(xo). Jednostranné derivace jsou užitečné právě v případech, podobných zde uvažovanému.
3
Posledním stacionárním bodem je 0. Vzniká otázka, zda existuje /'(O) a, existuje-li, jakou má hodnotu. Pro odpověď vypočtěme jednostranné limity:
lim f'(x)
lim
x^0+
= — oo,
lim f'(x) • i
lim
x^O-
= +00.
IX x^tí- x^tí-        yX
Hodnoty jednostranných derivací3 v 0 jsou nevlastní (vyjadřují „nekonečně rychlý" růst vlevo od 0 a pokles vpravo od 0). V bodě 0 se tedy jedná o svislou tečnu (svislá souřadná osa x = 0).
Rovnice tečny v bodě x = ^ = 2~i\y = f (2~§) + /' (2"^ (x - 2"i);
Vypočtěme: / (2"^ = (l-2-1)5 = 2~i, f'(j) = -(l-2_1)222 = -1; rovnice bude y =
3    / 3 \ 3
2"2 - [x - 2"2 \ , y = -x + 2- 2"2,
y = —x +
1
V!'
Poznámka. Tečnu v bodě x = 2 2 jednoduše sestrojíme, a to bez jakýchkoliv výpočtů, uvědomíme-li
si souměrnost grafu podle přímky y = x: grafem dané funkce totiž je horní část tzv. astroidy o rovnicí
22 _ 3
j3+x3 =la právě při x = 2 2 se graf protíná s přímkou y = x (stačí si všimnout, že je astroida
souměrná podle přímky y = x, jelikož její rovnice zůstává neměnná při záměně x a y).
																									
												1													
												1													
																									
																									
												0 c													
																									
																									
																									
																									
																									
																									
		-					-0	5				0					0	5							
																									
																									
3
Obrázek 2.3. /(x) = (l-x^2
'Viz poznámka pod čarou 2, str. 3.
4
I