CVIČENÍ 3
Výpočet integrálu s pomocí tabulky a elementárních úprav
V následujících úlohách v příslušném oboru vypočtěme integrál neurčitý. úloha 3.1. Vypočtěte
/
Řešení.
x + x , dx.
j a/v^J" x dx = j ||i2J2 + x^j x 2 dx = j       + x) x 2 dx = j (x 4 + x^ dx
+ i-        = -x* +
x"i+1     x2+1     4  3 2
-i + i   * + l    3 3 Úloha 3.2. Vypočtěte
/
2x2 + l J
x2(x2 + 1) Řešení.
2+1
1
ľ   2xz + 1 /" xz + xz + 1 ľ     1 /" _2
/    t, -77 dx = /    o/ o-77" dx = / -7 dx + / x    dx = arctgx +
J x2(x2 + 1) J   x2(x2 + 1) y x2 + 1 J
= arctg x Úloha 3.3. Vypočtěte
/
2*32* dx.
Řešení.
j 2X • 32x dx = j (2 • 32)X dx = j (2 • 9)x dx = j 18* dx =
1
Úloha 3.4. Vypočtete
ľ 1
dx.
2x2
Řešení. Úpravou dostaneme
r      i 1  r 1
dx.
/ V3 - 2x2 dX    /   /2 (3 _ x2) ^     V2 /
Je to integrál tvaru /   , 1     , který lze vypočíst po úpravě
v    —X
ľ    1 1 /• 1
/    , dx = — / — dx
y  Va2 - x2 a y    /, _ /£\2
(I)
s pomocí vzorce pro integrál funkce s lineárně pozměněným argumentem
OL
kde F(x) = f f (x) dx. Dostaneme
j f{ax + P)dx = -F(ax + jJ>). (3.1)
r     i i    . x   /■    i i r i
/ —, dx = — arcsin —,    / = dx = - / —, dx = arcsin
(ir    -    " ' Vfl -* v1-^)
a tudíž
f^J^dx^arcsmL/^
úloha 3.5. Vypočtěte
x
2 a
f
vT
dx.
xz arcsin x
Řešení.
/I                      ľ      1           1               /" yXTT2   ,        /" (arcsin x)' . -dx = /    ; -dx = / -yJ-JL- dx = /--- dx VI-x2 arcsin x         J  Vi-x2arcsmx         J arcsin x         J    arcsin x
Dle vzorce
f ZMdx=ln|/(x)| (3.2)
y /(*)
bude
í_i
J vT^T2
dx = ln I arcsin x I.
arcsinx
Úloha 3.6. Vypočtěte
/
dx.
(x + 2)2
2
Řešení.
f      x f x +2-2 f   x +2 f 1
J j^TW^ = J -j7TWdx = J i^TWdx-2J (*Wdx
j    ^ 2 dx - 2 j (x + 2) 2 dx = ln\x + 2| + 2
x + 2
Úloha 3.7. Vypočtěte
kde coshx = \ (ex + e~x). Řešení. Úpravou obdržíme
/
(cosh2x)2 dx,
j(cosh2x)2 &x = \j {e2x + e~2x)2 dx = i j {eAx + 2e2xe~2x + e~Ax) dx
= I J       + 2 + e"4*) dx = l-(^J e4x dx + 2 j dx + J e"4* dx) .
Dle vzorce
í f(ax + P) dx = -F(ax + 0), J a
kde i7(x) =   f (x) dx, bude
/
y (cosh2x)2 dx = — ^
1 ' V* + 2x-V4*
Proto
/ (cosh 2rNl2 dr =    . ,
4 V4 4
Úloha 3.8. Vypočtěte
J tg2(ax) dx,
kde a je konstanta.
Řešení. Nechť a ^ 0. Funkce v integrandu je definovaná a spojitá v intervalech, neobsahujících body + k^, k e Z (protože nesmí být ax v bodech nespojitosti funkce x      tgx: ax ^ j + kjt). Platí
1 + tg2 x = —\— a tudíž
í tg2(ax)dx= í (-^—--l|dx = í-^—-dx - í dx = í-^—- dx - x.
J J \cosz(ax)     /        J cosz(ax)        J J cosz(ax)
Jelikož / CgS2x = tgx, dle vzorce (3.1) bude
1
'■(ax) a
a dostaneme
í-T}—T dx = - tg(ax)
J cosz(r
j tg2(ax) dx = — tg(ax) — x + C
v každém intervalu, neobsahujícím body 2- + k^, k e
1
a
__r-.-l
2a 'a'
3
Úloha 3.9. Vypočtěte
/
dx.
sin x
Řešení. Integrand je definován pro x 7^ kjt, k e Z. Výrazy v integrandu upravme podle známých identit pro goniometrické funkce:
j sin x ^X    j 2 sin f cos f ^     2 ,/
2 2
2 X
sin2 I + cos2 j sin I cos I
dx
1 /"    sin^ f            1  /"    cos2 f            1 /" sin f 1  ľ cos ± = ~ /   ■   v      v dx + - /   .       2    dx = - / -§■ dx + - / —-|- dx
2 J srn ^ cos ^ 2 J srn § cos § 2 J cos ^ 2 J  srn ^
-i sin f
íÍ^ídx = - í i   siní y
(cos f)'
srn f
cos f
x     dx + COS f
Integrály na pravé straně jsou ve tvaru f Jý-^ dx a tudíž lze aplikovat (3.2):
(cos §)'
dx +
/
(sinf)'
sin f
dx.
/ /
dx = ln
cos
x
(sinf)'
dx = ln
cos ■
x
sin —
2
pro x 7^ fcjr, Ä: e
pro x 7^ 2/:7T, Ä: e
Dostáváme, že na každém intervalu (a,     neobsahujícím čísla x 7^ fcjr, k e Z, platí 1
/
dx = — ln
smx
kde C je libovolná konstanta.
X		X		sin i		X
cos —	+ ln	sin —	+ C = ln		+ C = ln	tg —
2		2		cos f		& 2
+ c,
4