CVIČENÍ 5 Integrál racionální lomené funkce Integrál racionální lomené funkce: / P (x) q (x) dx, kde p, q jsou polynomy. Stačí umět integrovat ryze lomenou funkci. Rozklad ryze lomené funkce na součet parciálních zlomků TVRZENÍ. Vyjádříme-li jmenovatel q (x) ve tvaru součinu výrazů typu (x — c)k a (x2 + ax + fi)k (kde a2 < 4/3, t. j. diskriminant je záporný), lze podíl zapsat ve tvaru součtu parciálních zlomků p(x) q(x) S, , °_k,k, odpovídající každému výskytu v (X c) " ' + (x2+at+hk' jeŽ odpovídají členům kde do součtu S přidáme výrazy typu + , Dl.2 + rozkladu q{x) členu (x — c)k, a výrazy typu ^2!^+^ (x2 + ax + fi)k. Integrace parciálních zlomků Výrazy , ,fc se snadno integrují podle vzoru mocninné funkce. (X c) Z parciálních zlomků II. druhu se zvláště často setkáme s ^+B,ň, což odpovídá dvojici kom-plexně sdružených kořenů násobnosti 1. Při integrací f x^^+^ dx vznikají člen tvaru arctg a (bx + c) a člen s ln(x2 + ax + P). Postup integrace je zřejmý z následujících příkladů. PŘÍ KLAD 5.1. Vypočtěme / X2 + X dx. Řešení. Polynom x2 — x + 1 má záporný diskriminant a nelze ho v reálném oboru rozložit na součin. Jedná se o parciální zlomek. Úpravou na součet čtverců x2 — x + 1 dostaneme = x2 2xi + I + | = (x-I) + /^tt^tdx = / 1 ■ dx -i dt s t = x — (bude dt = dx). Tento integrál je typu f x2+ai dx a lze ho snadno vypočíst substitucí x = as; bude dx = a ds,1 ľ 1 ľ 1 1 ľ 1 1 1 /*\ J xz + az J a1 (s2 + 1) aj sz + l a a \a/ Dostaneme / ^tt^tdx = 7=3arctg (tiO = 7=3arctg (t! (x 4)) ■ Tyto integrály, kde se polynom ve jmenovateli díky zápornému diskriminantu upraví na součet čtverců, jsou typu arctg. Podobným způsobem vypočteme, např. f 9x2+x+l dx: ľ 1 ľ 1 / t;—ô--dx — / -~-dx J 9x2 + x+l J (3x + n2 + A (3-+r+á atd. PŘÍKLAD 5.2. Vypočtěme / 18x + 1 dx. 9x2 + x + 1 Řešení. Zde v čitateli je 18x + 1, což je (9x2 + x + 1)'. Proto substitucí 9x2 + x + 1 = t dostaneme ľ 18x + 1 ľ (9x2 + x + 1)' ľ 1 , , , / -dx = / -—r--dx = / -dt = ln t = ln(9x2 + x + 1). J 9x2 + x + 1 7 9x2 + x + 1 j í M V ; Tyto příklady ukazují dva možné typy, podle nichž se integruje f xŕ+ax+p ^ obecném případě obdržíme kombinaci těchto dvou. PŘÍKLAD 5.3. Vypočtěme 6x — 5 / dx. 9x2 + x + 1 Řešení. Upravíme-li výraz tak, aby v čitateli vzniklo 18x + 1 = (9x2 + x + 1)': ľ 6x-5 1 ľ 18x-15 1 M8X + 1-16 / —~-dx = - / —r-dx = - / —r-dx J 9x2 + x + 1 3 J 9x2 + x + 1 3 J 9x2 + x + 1 1 Z" 18x + 1 16 f 1 = - / —~-dx--/ —r-dx, 3 J 9x2 + x + 1 3 J 9x2 + x + 1 dostaneme integrály, které jsme již řešili. Integrace f ^x2^.^č+p)k dx s k > 1 je zdlouhavější; vzorce lze nalézt v literatuře. *Lze uvažovat i takto: /x2+fl2dX /fl2^£)2+1\dX a f ^!)2 + 1\d(J f S2 + lá 2 Úlohy PŘÍKLAD 5.4. Vypočtěme integrál / X A dx. x3-6x2+ llx-6 Řešení. Integrandem je ryze lomená funkce. Koeficienty polynomu ve jmenovateli jsou celá čísla a tudíž celý kořen lze hledat v množině {±1, ±2, ±3, ±6} (dělitele čísla 6). Dosazením s pomocí Hornerova schématu nalezneme kořeny 1, 2, 3 a tudíž je x3 — 6x2 + llx — 6 = (x — l)(x — 2)(x — 3). Všecky kořeny jsou reálné a jednoduché, proto při nějakých A, B, C bude x x ABC +-r +-~ x3-6x2 + llx-6 (x - l)(x - 2)(x - 3) x-1 pro všechna x. Úpravou na společného jmenovatele obdržíme x _A{x- 2)(x - 3) + B(x - l)(x - 3) + C(x - l)(x - 2) (x - l)(x-2)(x-3) ~ (x - l)(x - 2)(x - 3) ' Toto platí pro každé x z definičního oboru zlomku na levé straně právě tehdy, když x = A(x- 2)(x - 3) + B(x - l)(x - 3) + C(x - l)(x - 2) pro všechna x. Dosazením za x hodnot 1, 2, 3 (anebo přirovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin poněkud pracnější) dostaneme 1 =2A, 2 = -B, 3 = 2C, odkud A = \, B = -2, C = |. Pak bude dx /x 1 ľ dx ľ dx 3 ľ x3 -6x2 + llx - 6 X~2J x - 1 ~ J x-2 + 2J = 1 ľ d(x - 1) 2 ľájx-2) | 3 /• 2J x-1 J x-2 2J x — 3 d(x - 3) x 1 3 = -ln|x- 1| -21n|x-2| + -ln|x-3| + pro x v intervalech, neobsahujících čísla 1,2, 3 (K značí libovolnou konstantu). □ PŘÍKLAD 5.5. Vypočtěme integrál /* 3x + 1 J 3 Řešení. Integrandem je ryze lomená funkce. Polynom x2 — x + 1 = [x — + | má záporný diskriminant, jedná se o parciální zlomek II. typu. Úpravou obdržíme ľ 3x + l 3 ľ 2x + \ 3 ľ 2x -1 + 1 + 1 / —-dx = - I —--—dx = - I J x2 - x + 1 2 J x2 - x + 1 2 J X2 - X + 1 dx 3 ľ 2x - 1 5 /" 1 = - / -dx H— / —-dx 2 J x2 - x + 1 2 J x2 - x + 1 = 3 ľ (x2 - x + íy 5 /• 1 2 j x2-x + l X 2 j 3 5 /" - = - ln(x2 - x + 1) + - / -—-—-= dx 2 2 J - • -> z/^x2 (x - iy + d(^-é) (*-*)2+(^y dx 3 , 5 1 / x \ = -i„(^_j: + i) + _._arctg^_j kde je libovolné. Využili jsme vzorce dx 1 /x\ T—^ = -arctg - (5.1) xz + az a \a/ pro a ^ 0 (dokažte ho!). □ / PŘÍKLAD 5.6. Vypočtěme integrál 2x2 - x + 1 / x3 — x2 — X + 1 dx. Řešení. Jelikož x — x — x + 1 = x (x — 1) — (x — 1) = (x + 1) (x — 1) , s nějakými A, A\, A^_ bude 2x2-x + l _ A A\ A2 x3 - x2 - x + 1 _ x + 1 + x - 1 + (x - l)2' Pak pro všechna x musí platit 2x2 - x + 1 = A(x - l)2 + Ai{x + l)(x - 1) + A2(x + 1). Dosazením x = 1, x = — 1 obdržíme 2A2 = 2, 4A = 4, t. j. A2 = l, A = 1. Přirovnáním koeficientů u x2 dostaneme 1 + A\ = 2, t. j. A\ = 1. Pak bude /" 2x2 - x + 1 _ dx /" dx /" dx _ /" 2x2 - x + 1 J x3 - x2 - x + 1 X_x + l+ Jx-l+J(x-l)2_Jx3-x2-x + l X = ln|x + 1| + ln|x - 1| + j (x -2)"2dx = m|x2_il__L + jř, x — 2 kde je libovolná konstanta. □ 4 PŘÍKLAD 5.7. Vypočtěme x2 + 4x - 1 / x4 -x3 + 4x2 - 4x dx. Řešení. Ve jmenovateli x — x + 4x — 4x = x(x — x + 4x — 4) = x(x (x — 1) + 4(x — 1)) = x(x — l)(x2 + 4) a proto s nějakými A, B, C, D bude x2 + 4x - 1 _ x2 + 4x - 1 _ A B Cx + D x4 - x3 + 4x2 - 4x _ x(x - l)(x2 + 4)_x+x-l + x2 + 4' Potřebujeme tedy, aby pro všechna x bylo x2 + 4x - 1 = A(x - l)(x2 + 4) + 5x(x2 + 4) + (Cx + D)x(x - 1). Dosazením bodů 0 a 1 dostaneme — 1 = —4A, 4 = 55, odkud A = B = |. Přirovnáním koeficientů u x3 dostaneme 0 = A + B + C, C = -A- B = -\ - | = U x2 koeficienty jsou 1 = —A + D — C, odkud D=v4 + C + l = ±- §± + l = |j = ±Pak ľ x2 + 4x - 1 _ 1 ľ dx 4 ľ dx 1 /" 21x - 4 J x4 - x3 + 4x2 - 4x X~4J ~ + 5 J x - 1 ~ 20 J x2 + 4 X 1 , , 4 , , 1 f2íx-4 -lnx +-lnx-l--/ —z- 4 11 5 1 1 20 J x2 + 4 V x2+4 dx vyčleníme v čitateli derivaci jmenovatele (x2 + 4)' = 2x: /•21x-4 fx-Tx 21 C2x-^r 21 ľ 2x 21 ľ A / —5-dx = 21 / . 21 dx = — / . 21 dx = — / —-dx--/ 21 dx Jx2 + 4 0 pro libovolné x a tudíž tento polynom 4. stupně reálné kořeny nemá. Má tedy dva páry komplexně sdružených kořenů a jeho rozklad na součin kořenových činitelů v reálném oboru je součinem dvou kvadratických polynomů se zápornými diskriminanty: x4 + 3x2 + 2 = (x2 + aix + /8i)(x2 + a2x + fi2) s nějakými a i, a2, fii, jejichž hodnoty lze určit přirovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin. V daném případě je zřejmé, že musí být a\ = a2 = Oa | /? 11 + \/32\ ^ 0, poněvadž v opačném případě vzniká na levé straně člen s x. Navíc si můžeme všimnout, že je to polynom bikvadratický: x4 + 3x2 + 2 = (x2)2 + 3x2 + 2 = t2 + 3t + 2 s t = x2. Kořeny polynomu ř2 + 3ř + 2 jsou -1 a -2 a tudíž t2 + 3ř + 2 = (ř + l)(ř + 2). Proto x4 + 3x2 + 2 = (x2 + l)(x2 + 2). Ryze lomený výraz 4 1 2 potom je součtem dvou parciálních zlomků II. typu 1 Aix + Bi A2x + B2 x4 + 3x2 + 2 x2 + 1 x2 + 2 Po převedení na společného jmenovatele dostaneme, že pro všechna x musí platit (AlX + 50(x2 + 2) + (A2x + 52)(x2 + 1) = 1. Mimo jiné, při x = 0 je 2Bi + B2 = 1. Přirovnáním koeficientů u x, x2 a x3 dostaneme 2A\ + A2 = 0, Bi+ B2= 0, Ai + A2 = 0. Pak Ai = A2 = 0, Bi = 1, B2 = -1 a tudíž dle (5.1) ľ 1 ľ 1 /" 1 1 ( x \ I —a-^-dx = / —-dx — / —-dx = arctg x H--— arctg —— I + K, J x4 + 3x2+2 J x2 + l J x2+ 2 V2 VV27 kde K je libovolná konstanta. □ PŘÍKLAD 5.10. Vypočtěme / dx. x4 + 1 Řešení. Integrandem j e neryze lomená funkce. Dělením obdržíme X5 x4 + 1 — x5 — X X — X 6 atudíž^ = x-^, /•x3 ľ ľ x x2 1 ľ 2x x2 1 ľ 1 ~ / —,-dx = / x dx — / —-dx =---/ —r—-dx =---/ ——r-d(x ) Jx4 + 1 J Jx4 + 1 2 2 J (x2)2 + l 2 2 J (x2)2 + l V ; x2 1 y - - arctg(x2) + K. Zde po substitucí x2 = ŕ je / d x = f f2d^1 = arctgř = arctg(x2). (x2)2 PŘÍ KLAD 5.11. Vypočtěme / y/X - 1 — dx. Řešení. Výraz s radikálem je tentýž v čitateli a jmenovateli. Pro „umocnění" lze zkusit substituci dř x = t2. Bude dx = 2t dř, /".v/jč-l /"ř-1 ft2-t ft2 + t-2t f f t / -dx = 2 / --ř dř = 2 /--dř = 2 /---dř = 2 / dř - 4 /-- J Jx + x J t + t2 J t2 + t J t2 + t J J t2 + t = 2t - 4 j ^yydř = 2ř - 4 j j-^jdit + 1) = 2ř -41n|ř + 1| = 2Vx - 41n(Vx + 1) + K. Zde, jako obvykle, v neryze lomeném výraze vyčleníme polynomiální část (v tomto případě i bez explicitního dělení polynomů) a pak integrujeme jednotlivé parciální zlomky. □ PŘÍKLAD 5.12. Vypočtěme / eAx - 1 dx. e8x _|_ 1 Řešení. Položme e4* = ř. Bude dř = 4e4* dx = 4ř dx, dx = ^ dř, /" e4x - 1 1 /" ř-1 / —z-dx = - / —r-dř. J e*x + l 4 J ř(ř2 + l) Rozklad na parciální zlomky: ř-1 _ A Bt + C ř(ř2 + l) ř ř2 + l Musí platit ^(ř2 + 1) + (Bt + C)ř = ř - 1. Při ř = 0 bude ^ = -1. Koeficienty u ř2, ř jsou ,4 + 5=0, C = 1 a tudíž 5 = 1, /"ř-1 H ľ t + 1 , , l ľ 2t ľ l / "T^-7Tdř = - / ~dř + / -5-7dř = ~ln ř + ~ / -5-7dř + / ~5-7dř J ř(ř2 + l) j í J ř2 + l 2 J ř2 + l J ř2 + 1 -ln | ř | + ^ln(ř2 + 1) + arctgř = -lne4* + ^ ln(e8x + 1) + arctgé'4* -4x + ^ln(é>8x + 1) + arcige4*. Pak dostaneme / e4* — 1 1 1 -s-dx = -x + -ln(e8x + 1) + -aictge4x. e8x + 1 8 v 7 4 6 7