CVIČENÍ 6
Integrál racionální lomené funkce a některé podobné integrály
Integrály typu / iř(cos x, sin x) dx
Integrály, v nichž je integrand lomenou funkcí členů cos x a sin x:
R(cosx, sinx) dx, (6.1)
/
kde R(u,v) je racionálně lomená podle u a v, lze s využitím tzv. univerzální trigonometrické substituce
ř=tg| (6.2)
vždy převést na integrál racionální lomené funkce anebo v určitých případech i vypočíst s pomocí elementárních úprav integrandu.
Univerzální trigonometrická substituce
Vzorce pro vykonání univerzální trigonometrické substituce:
l-t2 2t 2
cosx = --,  sinx = --,  dx — —-dt. (o.i)
l + t2 l + t2 t2+\
Speciální případy
Užití univerzální substituce (6.2) je zpravidla spojeno s pracnějším výpočtem a proto je vhodné se napřed zamyslet, zda není možné integrál vypočíst snadněji. Často je užitečná následující rada.
ÚVAHA 6.1. Je-li integrál ve tvaru (6.1), kde R je racionální lomená funkce dvou argumentů, mající jednu z vlastností:
R(-u, v) = -R(u, v),  R(u, -v) = -R(u, v),  R(-u, -v) = R(u, v) (6.4)
pro všechna (u, v), pak lze pro integraci využit jedné ze substitucí t — sin x, t — cos x resp. t = tg x.
Substituce, doporučená úvahou 6.1, může být v praxi vhodnější než univerzální trigonometrická substituce.
PŘÍKLAD 6.2. Vypočtěme
1
-dx.
sinx l
Řešení 6.2.1. Po úpravě lze využít substituce cos x = ř:
/l             f   1   siní           f sinx           f sinx -dx = /--dx = / —t—dx= /--5—dx sinx         j smi sinx         J sin x         ./  1 — cosz x
r     i ci i /•  i       i r i
: - / -— d(cos x) = / -=-dř = - /-- dř--/--
J l-cos2x V      7    J t2-l 2/ f-1        2 J ř + 1
dř
= | ln |ř - 1| - | ln |ř + 1| = |ln
f - 1
f + 1
= -ln
2
cos x — 1
Řešení 6.2.2. Po úpravě lze využít substituce tg | = ř, dř =
2 cos2 f
COSX + 1
dx:
/—— dx = - í-J--rdi = - í C0S x2 dx = - ( —^-r^dx sinx         2J sin | cos |         2J   £!Hx         2J tg § cos2 §
COS 5
X
tg2
Příklad 6.3. Vypočtěme
/
1
sinx + 1
dx.
Řešení. Dle vzorce tg2x + 1 = —— bude
° COS^ X
í---dx = í--—-—--dx = í
J sin x + 1 J 2 sin § cos § + 1 J
Paktgf =ř,dř = ^iT?dx,
s2f
2tg# H--tx
b 2      cos2 f
dx
cos2 4-
2tgf +tg2f + 1
dx.
/itgf+tg2f+ ldX    2/2tgf +tg2f + 12cos2f dX    /tg2f+2tg| + ld(tg2)
= 2 í--í-dt = 2 í-i—- dt = 2 í-—r d(ř + 2)
i ř2 + 2ř + i    y (ř + 2)2    y (ř + 2)2
ř + 2       tg § + 2
příklad 6.4. Vypočtěme
/
1
2 sin x — cos x + 3
dx.
2
Řešení. Položme ř = tg ^; dle (6.3) bude
Cl                      C            1               2               ľ 1 / -dx = / -;----dt =2---
J 2sinx-cosx+3 J iJM.__l=í£ + 3 ř2 + 1 J 4ř - 1 + ř2 + 3
1+í2    1+í2 ^
= 2Í-J----dř = í——i-dt
J 4ř-l+ř2 + 3(ř2 + l)        J 2ř2 + 2ř+2
= ^2arctg2 (t + 5) = arct§ (2t§ f + l) ■
PŘÍKLAD 6.5. Vypočtěme
" sin x + cos x
/
cosx + 1
Řešení 6.5.1. Elementární úpravou obdržíme
dx.
/sin x + cos x           f    siní              ľ    cos x -dx = / -dx + / -dx cos x + 1           J cos x + 1         J cos x + 1
/(cosx + 1)' ľ cosx + 1 — 1 ---^dx + / COS X + 1 J
COS X + 1
dx
= — ln(l + cosx) + f dx — í-dx.
J J cos x + 1
3S 2x + 1 =2 cos2 x a tudíž
/ c^7TTdx = / 2^f dx = / c^fd(f) = tgf ■
Ježto cos x — sin x = cos 2x, bude cos 2x + 1 = 2 cos x a tudíž
Pak dostaneme
sin x + cos x x ■ dx = x — ln(l + cos x) — tg —.
/
cosx + 1 2 Řešení 6.5.2. Položíme-li tg j = ř,bude
/sin x + cos x           ľ T7T2 + í,! 2    2                f        2ř + 1 — t2 -Z-dx = / -i±í—--dř = 2 / -^---dt cosx + 1           J    -2t   +1   ř2 + l          J (2ř + ř2 + l)(ř2 + 1)
7 (M
1+í2
f2 - 2t - 1
dř,
(ř + l)2(ř2 + 1)
což vyžaduje rozkladu na několik částečných zlomků. Preferujeme tedy předešlé řešení.
PŘÍKLAD 6.6. Vypočtěme integrál
/
cos2 x sin3 x dx.
Řešení 6.6.1. Využití univerzální substituce t = tg ^ dle vzorců (6.3) vede na integrál
i-ř2\2   8ř3      2 rt3(i-t2)2
ľ   2  • 3 ,     /Y1-' V   8ř      2  ,    ^ /"ř (
/ cos x sin xdx = /-- I--dř = 16 / —
J J   \l+t2)    (1+ř2)3ř2 + l J (1+,2)<
dř.
Dostáváme tedy integrál neryze lomené funkce, přičemž i po vyčlenění ryze lomené části zůstává úloha výpočetně náročnou jakožto integrace parciálního zlomku s vysokým stupněm jmenovatele bez reálných kořenů. Zkusme proto raději najít jinou cestu.
Řešení 6.6.2. Daný integrál má tvar (6.1) s R(u, v) = u2v3. Funkce R je lichá podle v a tudíž dle úvahy 6.1 použijme substituci t = cos x. Dostaneme dt = — sin x dx, sin xdx = —dt,
-dt
j cos2 x sin3 x dx = j cos2 x sin2 x sin x dx = — j t2 (l — f2) dt = j f4 dt — j t2 dt
1  5      1  3       1       5 1 3
= -t--1   = - COS x--cos x,
5       3        5 3
což je výrazně jednodušší než příslušná integrace v řešení 6.6.1. □
PŘÍKLAD 6.7. Vypočtěme
/
sin2 x cos5 x dx.
Řešení. Integrand obsahuje lichou mocninu výrazu cos x. Substituce sin x = t,dt = cosxdx, sin xcos xdx= / sin x(l — sin x) cosxdx = / sin x(l — sin x) d(sinx)
-/,»C,-,»)»d,./,»Cl-2,» + ,*)d,./(,»-2<* + ,«)dí
= -t--1 H—t   = - sin x--sin x H— sin x.
3
PŘÍKLAD 6.8. Vypočtěme
tg4 x dx.
f
Řešení. Integrand tg4 x = ^"4^ se nemění při současném nahrazení cos x a sin x výrazy — cos x a sinx. Položme tgx = t. Bude dt = —\— dx = (1 + tg2 x) dx = (1 + ř2) dx, dx =    * 2 dt,
COS   JC i. \~T
/tg4xdx = /^Tdř ř2 + 1
ŕ
-ŕ-t2
-t2 t2 +1
i
Obvyklým způsobem pak dostaneme f tg4 x dx = | tg3 x — tg x + x. PŘÍKLAD 6.9. Vypočtěme
ľ e2x
dx.
í
e3x + 1
4
Řešení. Položíme-li ex = t, bude dř = ex dx, dx = j dt,
n2x c     ti     1 ľ (2
ľ   ezx C   t1   1 ľ
J ^TTdx = J ^TT7dí = i
dt.
t (t + l)(f2-f + 1)
Rozklad na částečné zlomky bude ve tvaru f^+1^ff2_f+ 1) = 7 + 7^7 + fí^+i > P° výpočtu
ř2 ř + 1 1
ř(ř + l)(ř2-ř + 1) 3(ř2-ř + l)    3 (ř + 1)
a tudíž
/• t2 1 í    t + 1 1  /" 1
/ -=-dt = -    -7T-dř--/ -dř.
; ř(ř + i)(ř2-ř +1)     3jř2-ř + i    3y ř +1
Integrace částečného zlomku II. typu dává
f    ř + 1            1 /"   2ř +2          1 /" 2ř- 1 + 3 / -dř = - / -dř = - / -dř
Jř2-ř + l        2Jř2-ř + l        2Jř2-ř + l
1 f (ř2 - ř + IV       3 f 1 = - / ^--dř + - / -z-dř
2J   ř2-ř + l 2J ř2-ř + 1
1     7 3 Z1 1
- + 1> + 2/p^7jd' = Iln(t2-t + 1) + |^arctg(^(,_I
= ^ ln(ř2 - ř + 1) + V3 arctg ^^J-^ .
Po dosazení do (6.5) dostaneme
/
ř2 1     , 1 /2ř-l\    1 ,
dř = - ln(ř2 - ř + 1) + — arctg ——--ln |ř +
(6.5)
ř(ř + l)(ř2-ř + 1)        6   v 41       V V3 ) 3
= iln(^_e« + 1) + _Larct8(?ílri)_Iln(e- + 1).
5