CVIČENÍ 7
Integrály, jež se převádí na integrál racionálni lomené funkce
Integrály typu / iř(cos x, sin x) dx
Integrály, v nichž je integrand lomenou funkcí členů cos x a sin x:
R(cosx, sinx) dx, (7.1)
/
kde R(u,v) je racionálně lomená podle u a v, lze s využitím tzv. univerzální trigonometrické substituce
ř=tg| (7.2) vždy převést na integrál racionální lomené funkce.
Univerzální trigonometrická substituce
Vzorce pro vykonání univerzální trigonometrické substituce:
l-t2 2t 2
cosx =---,  sinx =---,  dx — —--dt. (7.3)
1 + t2 1 + t2 t2 + 1
Speciální případy
Užití univerzální substituce (7.2) je zpravidla spojeno s pracnějším výpočtem a proto je vhodné se napřed zamyslet, zda není možné integrál vypočíst snadněji. Často je užitečná následující rada.
ÚVAHA 7.1. Je-li integrál ve tvaru (7.1), kde R je racionální lomená funkce dvou argumentů, mající jednu z vlastností:
R(-u, v) = -R(u, v),  R(u, -v) = -R(u, v),  R(-u, -v) = R(u, v) (7.4)
pro všechna (u, v), pak lze pro integraci využit jedné ze substitucí t — sin x, t — cos x resp. t = tg x.
Substituce, doporučená úvahou 7.1, může být v praxi vhodnější než univerzální trigonometrická substituce.
PŘÍKLAD 7.2. Vypočtěme
sin2 x cos5 x dx.
Řešení. Substituce sin x = t, dt = cosxdx,
/'■y c 10 0 0 i O 0 0
sin xcos xdx= / sin x(l — sin x) cosxdx = / sin x(l — sin x) d(sinx)
-/,»C,-,»)»d,./,»Cl-2,» + ,*)d,./(,»-2<* + ,«)dí
1    t 2    ^ 1    *y 1 j 2 c 1 *j
= -t--t H—t   = - sin x--sin x H— sin x.
3       5       7        3 5 7
Integrály typu / R (^x, "ý^ dx, kde iř je racionálni lomená funkce
Integrály tohoto druhu lze převést na integrál racionálni lomené funkce zavedením nové proměnné t s pomocí substituce
r = 2í±f <7.5)
y x + ô
Je-li v integrandu několik výrazů typu ^^ , (^f+f ) » • • •» kde í/i, q2, ■ ■ ■ jsou racionální čísla, lze rovněž využít substituce (7.5), v níž zvolíme za m společný jmenovatel zlomků q\, q-i,
Speciálním případem j e integrál tvaru f R ^x, \jax +     dx, kde lze položit ax + (3 — tm. PŘÍKLAD 7.3. Vypočtěme / ^5^—.
Řešení. Položme x + 1 = t5. Pak bude dx = 5tA dt, x — t5 — 1,
J 1 + ^/xTT     y    ř + 1
což je integrál neryze lomené funkce. Dělením polynomů ř9 — ř4 a ř + 1 dostáváme
ŕ-ŕ 2 = ŕ -11 + t6 - ŕ + ŕ - 2t3 + 2t2 - 2t + 2
ŕ + 1 í + 1
a tudíž
/
(ŕ-\)ŕ       t9   ŕ   t1   t6   t5   ŕ   2t3    , ,
---—dt =----1-----1-----1---r + 2t -2ln \t + 1
ř + 1 9876523 11
Pro obdržení výsledku poslední výraz vynásobíme pěti a zpětně dosadíme t — (x + i)s. □
PŘÍKLAD 7.4. Vypočtěme
/
x + 1
dx.
Řešení. Položme x = t6. Bude dx = 6í5 dt,
,3
í ..2r , dx = 6 í        - í5 dt = 6 í dt = 6 í (í6 - f4 + t2 - 1) dx + 6 í -
y ^/jč+i       jí2 + i        jí2 + i       J J t2 + i
dt,
protože
ř6
ř8-řf
ř2 + 1
ř6-ř4 + ř2-l
ř6 + ř4
ř4
ř4-ř2
ř2
ř2 + 1
Vychází
/— 7 5
/Vx            6x6     6x6 j_ / i\
—=-dx =----h 2 V*- 6x6 + 6arctg i« . □ Vx + 17        5 V /
PŘÍKLAD 7.5. Vypočtěme
/
2x + 5 J
dx.
V^x + 1
Řešení 7.5.1. Substituce 6x + l = ř,6dx = dř,dx = ^ dř; 2x = j(t — 1),
/"  2x + 5            /" 4(ř - 1) + 5 1 1   r ř + 14 1   Z1 2        7 /" i
/ dx = / ^—-=--dř = — / —— dt = — / ř3 dř + - / f-3 dř
; ^/6xTT    ; 6    i8 y a      is 7 9]
líz        1 f _i 13s 73a
= — / f 3 dř + - / ř 3 dř =---ř3 -|----ř3
18 J 9J 18  5       9 2
1  5    7 2      1 5    7 2
= —ř3 + -ř3 = —(6x + 1)3 + -(6x + 1)3. 30       6        30v        '      6 '
Řešení7.5.2 (doporučené). Zavedeme-li proměnnou s vztahem 6x + 1 =s3,bude6dx = 'is1ds, dx = ±s2ds, 2x = ±(s3 - 1),
f 2x + 5 fUs3-l) + 5l ,        1  f  , 1 /" 4
= i(?5 + 7s2) = š)(6-i + 1)f + i(6-I + 1)Í PŘÍKLAD 7.6. Vypočtěme
/ yi (^/i +1)dx'
Řešení. Substituce x = ř6, dx = 6ř5 dř,
í         1                   /"l          s           /"    ř2              /" ř2 + 1 - 1 /    ^, --dx = / ——--6r dř = 6 / -z-dř = 6 / —r-dř
; v^(^+i)    ; ř3(ř2 + i)        J ř2 + i     ;  ř2 + i
= 6y ^1 - f2 + 1 ) dř = 6ř - 6arct§ř = 6 (^/x - arctg .
3
PŘÍKLAD 7.7. Vypočtěme
/
1 + x
ax.
1 + x V 1 — x
Řešení. Substituce A/I±| = f, I±| = f2; x = í+x = -^L, dx = (f2^f1)2 df,
ľ    1       í+x ľ t2 + í 4ř 1
/ -\ -dx = / -—      —--dt=2—-dř=2arctgř
J 1+xVl-x J    2t2        (ř2 + l)2 ř2 + l B
lí+x
= 2arctgVT37-
Integrály / R(eUlX, e"2*, . . . , ea«x) dx, kde iř je racionální lomená funkce
Integrály tvaru
J R(eax)dx
lze vypočíst zavedením nové proměnné t — eax. Podobným způsobem lze upravit integrál tvaru
R(eaiX,ea2X,...,ea"x)dx,
I
v němž R je racionální lomená funkce n proměnných a a.\, a.2, ■ ■ ■, <xn Jsou celá čísla, položíme-li t — ex. Jsou-li ofi, ci2, ..., a„ soudělná, je vhodné položit t — eax, kde a je největší společný dělitel těchto čísel.
PŘÍKLAD 7.8. Vypočtěme
e6x + 3
dx.
e3x + 6
Řešení. Položíme-li t = e3x (neboli, což je totéž, x = ^ lnř), bude dx = ^ dt a tudíž
ľ e6x + 3         1  ľ t2 + 3 1         1  ľ t2 + 3          í  ľ f        2t - í \ / -5-dx = - /--dt = - / -dt = -      1 - 3- df,
J e3x + 6 3 J   t+ 6 t        3 J t (t + 6)        3J\       t (t + 6) J
Protože JT^h = 1 + Rozkladem na částečné zlomky je = -\l + itlTě a Proto
/ f2ff~^ df = —g ln |ř| +     ln |ř + 6|. Po výpočtu a dosazení t = e3x dostaneme
/
e9x + 3 í      1    , ,    13 ,     1 ,y    3      13    , ,y ,
-5-dx = -t + - ln ř--ln f + 6 = -eix + -x--ln (eix +6)
e3x + 9 3     2    1 1     6    1       1     3 2      6V ;
Vypočtěme některé určité integrály podobných typů. Připomeňme si věty o integrací s pomocí nové proměnné.
VĚTA 7.9. Má-li funkce (p na (a, b) spojitou derivaci, pro každou spojitou funkci / platí
/   /(</>(*))</>'(*) dx= /      f(t)dt. (7.6)
Ja J 4>(a)
4
Vztah (7.6) znamená, že v případě integrálu f f{(p{x))(p'{x) dx se jedná, vlastně, o integrál f f (t) dt v mezích (j){a) a<p(b). Novou proměnnou t tedy zavadíme vztahem t — (j){x).
Metodu substituce občas používáme v alternativní podobě, a sice tak, že se vzorec (7.6) přečte „v opačném směru".
VĚTA 7.10. Nechť [a, (3] a[a,b] jsou uzavřené intervaly a funkce Ý '■ [o;, fí\ —> [a,b] je taková, že ý(cc) = a, ý((5i) — b. Má-li funkce ý na V^fi] spojitou derivaci, pak pro každou spojitou funkci / platí
V tomto případě novou proměnnou s zavadíme implicitně s pomocí vztahu ý(s) — x.
Poznámka 7.11 (o praktickém využití metody substituční). V praxi zavedení nové proměnné v určitém integrálu provádíme tak, že — po ověření splnění předpokladů — do integrandu a diferenciálu dosazujeme t — <p(x) resp. x — Ý(s) a oboje vyjadřujeme s pomocí nové proměnné. Dále výpočtem hodnot, odpovídajících koncovým bodům původního integračního intervalu, zjistíme meze, ve kterých se mění nová proměnná. Obdržíme pak nový integrál, jehož hodnota je shodná s hodnotou původního integrálu (přičemž není potřeba zpětné substituce).
PŘÍKLAD 7.12. Vypočtěme
(7.7)
Řešení. */x = t, x
f2, dx
2t dř; x = 0 =>• t = 0, x = 4 =>• t = 2;
Jo  1 + Jx
dx
2řdř =
2 t + 1 - 1 t + 1
dř = 2
a
2
dř
PŘÍKLAD 7.13. Vypočtěme
Řešení. V integrandu je lichá mocnina výrazu sinx. Je vhodné zavést novou proměnnou vztahem cosx = ř, dř = — sinxdx; meze budou: x = 0=>ř = l,x = j=>ř=0;
3 I 2
sin xdx= /   (1 — cos x)sinxdx =
2
3
5
PŘÍKLAD 7.14. Vypočtěme
: dx.
í;
Xy/l- (lnx)2
Řešení. Je zřejmé, že zde je vhodné položit ln x = t, pak bude dř = — dx; meze budou: x = 1 0, x = Je =>• ř = ^;
r^š 1 /-i       1 li jj-
/ - — H r = /    — Hf = [arcsinřln = arcsin--arcsinO = —.
h     xVl-(lnx)2 Jo   yr^ř1 0 2 6
6