CVIČENÍ 8
Geometrické aplikace integrálu určitého
příklad 8.1. Vypočtěme obsah plochy S útvaru ohraničeného grafem funkce /(x) — x3 — 6x2 + 1 Ix — 6, osou x a přímkami x — 0, x — 3.
Řešení. Platí /(x) — (x — i)(x — 2)(x — 3). Graf této funkce je znázorněn na obrázku 8.1. Funkce na [0, 3] střída znaménko v bodech 1, 2 a 3, přičemž 3 je již krajní bod intervalu. Funkce je kladná na intervalu (1,2) a záporná na (0,1) a (2, 3). Požadovaný obsah je součtem obsahu třech barevně vyznačených obrazců. Pro 1 < x < 2 je /(x) > 0, obsah plochy odpovídajícího obrazce je roven     f (x) dx. Pro 0<x<la2<x<3je/ (x) < 0 a tudíž obsahy odpovídajících obrazců
Jsou fo \f(x)\dx = io1 (-/(*)) dx' íl dx = fi(-f(x))dx- Proto je obsah plochy
S = - ľ f (x) dx + ľ f (x) dx - ľ /(.
J0 Jl J 2
x)dx — —. ' 4
Pro výpočet je vhodné zapsat integrál neurčitý
F (x) = j f (x) dx = X-x* - 2x3 + y x2 - 6x.
Pak bude S = - [F (x)]1, + [F (x)]2, - [F(x)]32 = -F(l) + F(0) + F (2) - F (í) - F (3) + F (2) = -2F(1) + 2F(2) - F(3). Stačí tedy jen vypočíst F(l), F(2), F(3). □
příklad 8.2. Vypočtěme obsah plochy S útvaru ohraničeného grafem funkce /(x) — s/x a přímkami y — |, x — 4.
Řešení. Sestrojme graf (obrázek 8.2). Přímka y = \ protíná křivku y = ^fx v bodě ^. Obsah plochy bude
příklad 8.3. Vypočtěme obsah plochy S uzavřeného geometrického útvaru, ohraničeného
2
grafy funkcí f (x) — (x — l)2, g (x) — f + 1 v intervalu (—1,3).
Řešení. Po načrtnutí schematického grafu (viz obrázek 8.3) zjistíme, že se potřebný útvar určuje kořeny rovnice
(* " l)2 = í + 1
nebo, což je totéž,
Obrázek 8.1
Obrázek 8.2
x
-x = 0.
(8.2)
Kořeny rovnice (8.2) jsou 0 a |. V intervalu (0, |) leží graf funkce g nad grafem funkce /. Proto obsah jimi ohraničené plochy je
	/   x dx +			dx-	(x	-l)2	d(x -	1)
2 ,	/o		lo	Jo				
1		5 2 5 1		r(x-i)3i	5 2	65	35	125
2	_ 2 _	«+2		3	0	~ 16	~ 24	
příklad 8.4. Vypočtěme obsah plochy S útvaru ohraničeného grafy y — sin x, y — cos x a
přímkou y — 0 při 0 < x
<
2 -
Řešení. Sestrojme graf (obrázek 8.4). Křivky y = sin x, y = cos x se v daném intervalu protínají v jeho středu (t. j. při x =      Dle souměrnosti obsah plochy bode
Jo
sinx dx = — [cosx]q
I
7!
1=2 1
1
7!
= 2 - V2.
2
Obrázek 8.4
příklad 8.5. Vypočtěme objem rotačního tělesa vzniklého otáčením grafů y — 4x — x2, y — x podle vodorovné osy.
Řešení. Body průniku křivek y = 4x — x2, y = x jsou x = 0, x = 3;
V = ní ((4x - x2)) dx - n í x2dx = ní (15x2-8x3+x4)dx Jo Jo Jo
příklad 8.6. Vypočtěme délky oblouku křivky o rovnicí y — ln(sinx), odpovídajícího hodnotám j < x <
Řešení. Pro f(x) = ln(sinx) je f'{x) = ^^cosx = cotgx. Proto délka oblouku křivky je
V posledním integrálu je vhodné zavést novou proměnnou vztahem cos x = ř; pak dř = — sin x dx. Dolní a horní meze pro t budou cos j = j a cos §■ = 0. Dostaneme
ň     i ŕ   i i
/--^— sinx dx = - /--T df = /--^ dí.
J f  l-cos2x Ji 1-ř2        Jo 1-ř2
Rozkladem výrazu        na částečné zlomky je        = \ (jzy + 1^7) a tudíž
' = U"(T±7 + TT7)dt = í[-1°|1-'l + 1°|1+'ll»=5
ln
1 +t
? 1
= -ln3. o 2
4