cvičení 9
Nevlastní integrály
PŘÍKLAD 9.1. Vyšetřeme konvergenci následujícího integrálu (případně vypočtěme jeho hodnotu):
/
J o
—-dx.
x4 + 1
Řešení. Jedná se o nevlastní integrál I. druhu. Uvažujme     x4+l dx pro b > 0. Jelikož x dx =
j d(x2), po substituci x2 = t pro novou proměnnou t dostaneme meze 0, b2 a bude
ŕ   x         i ŕ   x    . „   i ŕ2 1
/   —»-dx = - /   —-d(x2) = - /    —-dt
Jo x4 + l 2J0 x4 + l   v   ;    2J0   í2 + l
= i [arctgř]f = l- (arctg(ô2) - 0) = i arctg(ô2).
Vodorovná přímka v = j je asymptotou funkce x -> arctg x ve směru +oo a tudíž
/•ŕ      x 1 2 7T
,lim   /     4 i i dx = t lim  ô arctg(Ŕ ) = T-
Ď^+ooJo   x   + 1 Ď^+OO 2 4
Integrál /0+°° jc4^)_1 dx tedy konverguje a má hodnotu j. □
PŘÍKLAD 9.2. Vyšetřeme konvergenci následujícího integrálu (případně vypočtěme jeho hodnotu):
""""^ x
í
Jo
: dx.
VxTTT
Řešení. Jedná se o nevlastní integrál I. druhu. Uvažujme integrál f0 ^ x2+l dx pro b > 0 a zaveďme
v něm novou proměnnou t = x2 + 1. Bude dř = 2x dx, x dx = j dt. Meze pro t budou 1 a b2 + 1. Dostaneme
/ Hr = - / —dt = k/f =v/^2+l-l.
Jelikož lim^^+00 Vô2 + 1 = +oo, je
/•+00      x /"* jc
/ - H x =   Hm   / - H r = +oo.
Jo       Vx2 + 1 b^+ooJo   -J X2 + 1
Integrál tedy diverguje. □
PŘÍKLAD 9.3. Vyšetřeme konvergenci následujícího integrálu (případně vypočtěme jeho hodnotu):
sinx dx.
'o
J o
Řešení. Jedná se o nevlastní integrál I. druhu. Pro libovolné b > 0 je
ŕ
I   sin x dx = — [cos x]q = — cos b + 1. Jo
Limita lim^^+00 cos b neexistuje a tudíž neexistuje ani lim^^+00 sin x dx. Integrál /0+°° sin x dx tedy nekonverguje. □
PŘÍKLAD 9.4. Vyšetřeme konvergenci následujícího integrálu (případně vypočtěme jeho hodnotu):
1
dx.
oo
x2 + 9
Řešení. Jedná se o nevlastní integrál I. druhu. Tento integrál konverguje, konvergují-li x2+9 dx, /c+°° ^9 dx Při nějakém c; pak by bylo dx = dx + fc+°° dx.
Uvažujme /_°M        dx, /+00 dx:
f+oc    1 Z10     1 1 r       xý     1 6 ?r
/       2 i qdx = ,hm   /    2 i ^2 dx = ,hm  ä arct§t   =;Lllm arct§ä = t-
Jo       xz + 9 b^+ooJo   xz + 3Z i^+oo 3 L        3 Jo      3 b^+oo 3 6
Pak dle souměrnosti (integrujeme sudou funkci)
ŕ      1              ľ+°°     1 Jt I     —z-dx = / -dx = —.
J_00x2 + 9        Jo     x2 + 9 6
Dostaneme f+°° -±— dx = f + f = f. □
J— oo  x2+9 6   '   6 3
PŘÍKLAD 9.5. Vyšetřeme konvergenci následujícího integrálu (případně vypočtěme jeho hodnotu):
1
^/3-4x
: dx.
Řešení. Funkce x h-> 1 ie neomezená v okolí bodu 4. Jedná se o nevlastní integrál II. druhu. Na všech intervalech [| + £, l], kde £ je malé kladné číslo, je táto funkce spojitá a tudíž existují integrály A1, p 5. 1 dx.
J4+s V3-4x
Pro libovolně malé e > 0 uvažujme /i+e s^1 ^ dx. Po substituci t = 3 — 4x, dř = —4dx dostaneme
dx = — ^ dř a dolní a horní meze pro novou proměnnou: 3 — 4(| + e) = —4e a 3 — 4 = —1. Bude
Cl         1                 1 f~1   1             1  Z"-1    1           1   5 r 4-1-1         5 / 4\ / Hr = — /     — dř = — /    ř"šdř =----řš       =--(l-(4e)3).
4
4
Jelikož lim£^o+ £5 = 0, dostaneme
ŕ         1 5 lim   / - H r =--.
^04-J|+£ ^/3_4x 16
Integrál tedy konverguje a platí f 3       ^ dx = — j^. □
PŘÍKLAD 9.6. Vyšetřeme konvergenci následujícího integrálu (případně vypočtěme jeho hodnotu):
1 x
= dx.
o VT
Řešení. Funkce x h-> 2 je neomezená v okolí bodu 1, jedná se o nevlastní integrál II. druhu. Uvažujme ff?   , x    dx, kde b < 1, a vykonejme substituci 1 — x2 = t, dt = —\x dx; meze pro ř budou 1
u  VI— x2 z
a 1 -b2:
ŕb                                t    r-l-b2   t r-l-b2 -,1-b2
/ Hr =--/ —dř = - / dv7 = -   VF =\--J\-b2.
Jo VT^2 2J1     y/i        Ji L Jl
Pak snadno dostáváme
"b
ŕ    x ŕ
I dx =  lim /
JO   Vl -X2 b^l-Jo
X
dx = 1 - lim Vl -62 = 1,
Vl -x2
tedy integrál L1   , *    dx konverguje. □
PŘÍKLAD 9.7. Vyšetřeme konvergenci následujícího integrálu (případně vypočtěme jeho hodnotu):
1
—. dx. 'o  7(1 -x)3
Jo
Řešení. Funkce x h->    , 1     je neomezená v okolí bodu 1, jedná se o nevlastní integrál II. druhu.
Pro malé e > 0 uvažujme f0l £   , 1 dx:
v (l x)
/ Hr = - /      (1 -xpdíl -x) = 2 (1 -x)"2 =2(£-2-l).
io   V(i-*)3       Jo lv    7 Jo      v J
Avšak lim£^o+ -7= = +00, integrál [}   , 1     dx tedy diverguje. □
PŘÍKLAD 9.8. Vyšetřeme konvergenci následujícího integrálu (případně vypočtěme jeho hodnotu):
* 1
dx.
Jo  x ln2 x
Řešení. Funkce x h-> X^2X Je neomezen^ v okolí bodu 0, jedná se o nevlastní integrál II. druhu. Pro - 1
malé £ > 0 uvažujme fee 2^ dx a zaveďme v něm novou proměnnou t = lnx. Bude dt = x dx, meze pro t budou lnealne-1 = —1. Dostaneme
re 1       rl 1    r n-1    r n-i
/ -^—dx= /     -zát=  —      =-[ř-1l1 =1
h   xln2x        Jln£ f2        L  řJin,       L Jln£
lne
lne
1
Při £ -> 0+ je ln £ -> —00 a tudíž lim£^o+ j^: = 0- Integrál tedy konverguje a platí f0e dx = 1. □
In x
ln x
1 -s 1
Obrázek 9.1
příklad 9.9. Vyšetřeme konvergenci následujícího integrálu (případně vypočtěme jeho hodnotu):
1
i x\n3x
dx.
Řešení. Funkce x h->
t 3   je neomezená v okolí bodu 1, jedná se o nevlastní integrál II. druhu.
i
Pro malé s > 0 uvažujme J\
lil. jc
dx a zaveďme v něm novou proměnnou t = ln x. Bude dt =
x 1 dx, meze pro t budou ln \ = ln 1 — ln 2 = — ln 2 a ln (1 — e). Dostaneme
l-e
2
/ln(l-e)   i ŕ
x ln3 x
dx
ln(l-e)
ln2
dř =
1 [ř_2]ln(l-£)
-ln2
ln22 ln2(l-£)'
Při £ -> 0+ bude ln(l — s) -> 0, přičemž ln(l—s) < 0, neboť pro malé kladné s je ln(l—s) záporné vzhledem k tomu, že 1 — £ < 1. Proto lim£^o+ in(i_£) = ~oc (yiz obrázek 9.1) a tudíž lim£^o+ ,„2/1     = +°°-
Integrál f_
i i
lnz(l-£)
x ln x
dx tedy diverguje.
□
příklad 9.10. Vyšetřeme konvergenci následujícího integrálu (případně vypočtěme jeho hodnotu):
/
j—í
xe xdx.
Řešení. Jedná se o nevlastní integrál I. druhu. Pro a < 0 uvažujme    xe x dx a integrujme po částech:
/  xe~x dx = /  Te~x dx =-[xe~x]°a + / e~x
J a J a J a
dx
= ae~a - [e~x]°a = ae~a - 1 + e~a = {a + l)e~a - 1.
Při a -> —oo bude e_a -> +oo, (a + l)e_a -> —oo (při záporném a s velkým \a \ je e_a = e'a' a násobí se záporným číslem a + 1, přičemž —a = |a| -> +oo). Dostáváme lima^-oo f£ xe~x dx = —oo. Integrál xe~x dx tedy diverguje. □
4
PŘÍKLAD 9.11. Vyšetřeme konvergenci následujícího integrálu (případně vypočtěme jeho hodnotu):
-1 1 — dx.
xz
Řešení. Funkce x h-> --j je neomezená v okolí bodu 0, jenž leží uvnitř integračního intervalu. Jedná se o nevlastní integrál II. druhu, jehož hodnotu chápeme ve smyslu rovnosti
ŕ   1 ŕ  1 ŕ 1
L*áx=L*áx+h ~^
konvergují-li integrály na pravé straně. Pro libovolné 0 < s < 1
ľ1 1 m1 1     [-* 1
/   —=áx = —  -    =-1 + -,    /     — dx =
Je   Xz \_t\e £     J_! x2
= -1 + -
a tudíž
ŕ i ŕ i ŕ i /—8 i
/   — dx =  lim   /   — dx = +oo, /   — dx =  lim   /     — dx = +
Jo   x2 £->0+JE   X2 J-l x2 £^0+y_! x2
Integrál dx tedy diverguje.
□
Poznámka 9.12. Pokusíme-li se v příkladě 9.11 užít Newton-Leibnizova vzorce bezprostředně, obdržíme zcela chybný výsledek
-i i
= -2,
1 1 —rdx
1 x2
J-l
jenž nedává smysl ani z hlediska geometrického (integrandem je kladná funkce, hodnota integrálu tedy má udávat velikost plochy pod grafem). Zdrojem chyby je neoprávněné využití Newton-Leibnizova vzorce (v integrandu je funkce v bodě 0 neomezená).
PŘÍKLAD 9.13. Vyšetřeme konvergenci následujícího integrálu (případně vypočtěme jeho hodnotu):
• i
x \nxdx.
'o
Jo
Řešení. Funkce x h-> x ln x je neomezená v okolí bodu 0, jedná se o integrál nevlastní II. druhu. Pro libovolné 0 < £ < 1 je
/■'X^     ir,   ni  i r1 ,i       i ,     i í1
/    x ln x dx = - [x ln xJg--/   x — dx = —£hi£--/ xdx
Je 2 2 J£      x 2 2 J£
= --£2hl£- - ľx2]1 = --£2hl£- - (1 -£2) . T /|LJ£ o /iV /
(9.1)
2 4 2 4
Potřebujeme tedy vyšetřit, jak se obdržený výraz chová při s -> 0+. Uvažujme napřed limitu lim£^o+ £ ln £-Dle l'Hôptialova pravidla je
e   = - lim £ = 0
hi£
lim £hi£ =   lim —t— = lim
£^0 + £^0+    i £^0+ —4r
£ p2
£^0 +
a tudíž i lim£^o+ £ ln £ = 0. Pak dle (9.1)
1
lim   /   x ln x dx =
tedy integrál konverguje. □
PŘÍKLAD 9.14. Vyšetřeme konvergenci následujícího integrálu (případně vypočtěme jeho hodnotu):
,2 x
Í —-Ť-zdx.
Jo
x2 - 4x
Řešení. Integrační interval obsahuje bod 1, v jehož okolí je funkce x h-> x2—4x+3 = (x-i)(x-3) neomezená. Jedná se o integrál nevlastní II. druhu, jenž chápeme ve smyslu rovnosti
f2        1 ľ1        1 ľ2 1
/   —z-dx = /   —-dx + /   —-dx,
Jo jc2-4j+3 Jo  x 2 - 4x + 3        Jx  x2 - 4x + 3
konvergují-li integrály na pravé straně. Rozložme x2_lx+3 na částečné zlomky: x2_lx+3 = ]^4y + 3f~~3-A(x - 3) + B(x - 1) = 1, A = -j, B = \. Dostáváme
/
2' " — 2-
■ dx = - ln |x — 31--ln I x — II
x2-4x + 3""     2'"'" 2 a tudíž vzhledem k přítomnosti výrazu ln |x — 11 budou integrály divergovat. Vskutku,
1        dx = — [ln |jc — 3|]J — — [ln |jc —      = - [ln |x - 3|]^ - - lim [ln|x-l|]^"£
o  x2-4x+3 2 u    2 u     2 u 2^0+'
1 2 1
= - ln---lim ln£ =+oo.
2 3    2 £^o+
Z podobných důvodů diverguje rovněž integrál     x2_\x+3 dx. □
PŘÍKLAD 9.15. Vyšetřeme konvergenci následujícího integrálu (případně vypočtěme jeho hodnotu):
1
/
j —<
x2 + 2x + 2
dx.
Řešení. Jedná se o nevlastní integrál I. druhu. Tento integrál chápeme ve smyslu rovnosti -oo i rc i r+oo j
ľ+oc     l r      1 ľ
/      —z-dx = /     —z-dx + /
J-oo  xz + 2x + 2 J-oo xz + 2x + 2 Jc
s nějakým c, existují-li integrály na pravé straně.
Uvažujme /* x2+x2x+2 dx = f o (x+ip+i dx pľ° libovolné b > 0:
- dx
c      xz + 2x + 2
/ 2^0 , o dx = / ( , n2 , i d(x + !) = [arct§ (* + l)lo = arct§ * Jo x2 + 2x + 2        Jo  (x + l)2 + 1
a tudíž
f+°°         1 fb         l , jt
I      —z-dx =   lim   /   —z-dx =   lim  arctgo = —.
Jo       x2 + 2x + 2 b^+ooJo   x2 + 2x + 2 b^+oo 2
6
f°       1 í° 1
/ 2,0 , o dx = / T~TaT7 d(x + 1} = [arct§(x + = arctSb J-b x1 + 2x + 2 J-b (x + IV + 1
a tudíž
Podobně předešlému '° _1
-bx2 + 2x + 2~~"     J_b(x + l)2 +
í° 1 Z"0 1 ,      , TT
/     —-dx =   lim   /   —-dx =   lim  arctgí — a) = —.
J.oo x2 + 2x + 2 Ja  x2 + 2x + 2 ov 2
Pak bude /_+--^i-^dx = § + § = *. □
PŘÍKLAD 9.16. Vyšetřeme konvergenci následujícího integrálu (případně vypočtěme jeho hodnotu):
1
-dx.
00 c
Řešení. Uvažujme podobně příkladu 9.15. Pro libovolné b > 0 je fb       1 fb     1 fb 1
/ -dx = /   —-ex dx = /---dex = [arctge^l
Jo e^r1        Jo e2x + l J0  (ex)2 + 1 L    s J
a tudíž
/
Jo
h 0 h , h 7t
= arctg e — arctg e  = arctg e — arctg 1 = arctg e  — —
1 u      TT       TT      TT TT
ex + e x b->-+oo Jelikož lima^-oo arctg ea = 0, bude1
dx =   lim   arctg eb--=---= —.
/I                                      í            1                                     r             ^-.0 a -dx =   lim   / -dx =   lim    arctg e     =--lim  arctg e   = —. -00 e% +e x          a^~°°Ja  ex + e x          a^-ooL           sa      4 4
Pak dostaneme f+°° x} _x dx = f + f = #. □
J—00 ex+e x 4      4 2
Mohli bychom také využit souměrnosti grafu sudé funkce /(x) = eX+e-x dx: substituce x = —/, dx = — dt dává 00 o
[ f(x)dx = -í   f(-x)dx = -í   f(x)dx = [ a f{x)áx
Ja J—a J—a Jo
atd.