CVIČENÍ 10
Číselné řady
Příklad 10.1. Vyšetřeme konvergenci řady
∞
n=1
1
n(n + 1)
.
Řešení. Rozkladem lomeného výrazu 1
n(n+1) na částečné zlomky je 1
n(n+1) = 1
n − 1
n+1 a tudíž pro
částečné součty sn = n
k=1
1
k(k+1) platí
sn = 1 −
1
2
+
1
2
−
1
3
+ · · · +
1
n
−
1
n + 1
= 1 −
1
n + 1
.
Pak dostáváme ∞
n=1
1
n(n+1) = limn→∞ sn = 1 − limn→∞
1
n+1 = 1, tedy řada konverguje k hodnotě 1.
1
Příklad 10.2. Vyšetřeme konvergenci řady
∞
n=1
1
n2
.
Řešení. Platí 1
n2 ≤ 1
(n−1)n a podle předchozího ∞
n=1
1
(n−1)n konverguje.
Jiný způsob: integrální kriterium.
Příklad 10.3. Vyšetřeme konvergenci řady
∞
n=1
1
n2 − 3n + 7
.
Řešení. 1
n2−3n+7
∼ 1
n2 anebo 1
n2−3n+7
≤ 1
n2−3n
= 1
n(n−3) ≤ 1
(n−3)2
Příklad 10.4. Vyšetřeme konvergenci řady
∞
n=1
1
n(n + 2)
2
Řešení. Lze použít srovnávací kriterium v limitním tvaru: 1√
n(n+2)
∼ 1√
nn
= 1
n, 1√
n(n+2)
: 1
n → 1 při
n → ∞, kde ∞
n=1
1
n = +∞ anebo 1√
n(n+2)
> 1√
(n+2)2
= 1
n+2. Řada diverguje.
Příklad 10.5. Vyšetřeme konvergenci řady
∞
n=1
n3
2n
Řešení. Máme ∞
n=1 an s an = n3
2n . Použijme d’Alemebertovo podílové kriterium:
an+1
an
=
(n + 1)3
2n+1
2n
n3
=
1
2
n + 1
n
3
=
1
2
1 +
1
n
3
→
1
2
při n → ∞. Je tedy limn→∞
an+1
an
= 1
2 < 1, řada konverguje.
Mohli bychom použít i Cauchyho odmocninové kriterium:
n
√
an =
n n3
2n
=
n
√
n3
2
=
1
2
( n
√
n)3
→
1
2
3
při n → ∞, neboť limn→∞
n
√
n = 1 (protože n
1
n = eln n
1
n
= e
1
n ln n
a limn→∞
1
n ln n = 0 podle l’Hôpitalova
pravidla).
Příklad 10.6. Vyšetřeme konvergenci řady
∞
n=1
5n
n!
.
Řešení. Použijme d’Alemebertovo podílové kriterium: pro an = 5n
n! bude
an+1
an
=
5n+1
(n + 1)!
n!
5n
= 5
n!
n!(n + 1)
=
5
n + 1
a proto limn→∞
an+1
an
= 0 < 1. Řada konverguje.
Příklad 10.7. Vyšetřeme konvergenci řady
∞
n=1
n!
nn
.
4
Řešení. Použijme d’Alemebertovo podílové kriterium: pro an = n!
nn bude
an+1
an
=
(n + 1)!
(n + 1)n+1
nn
n!
= (n + 1)
n
n + 1
n 1
n + 1
=
n
n + 1
n
=
n + 1 − 1
n + 1
n
= 1 −
1
n + 1
n
= 1 +
−1
n + 1
n+1
n
n+1
.
Jelikož limn→∞ 1 + a
n
n
= ea
, bude limn→∞
an+1
an
= e−1
< 1. Řada konverguje.
Příklad 10.8. Vyšetřeme konvergenci řady
∞
n=1
n
n + 1
n
.
Řešení. Pro an = n
n+1
n
je
an =
n
n + 1
n
=
n + 1 − 1
n + 1
n
= 1 +
−1
n + 1
n+1
n
n+1
→
1
e
při n → ∞. Tedy limn→∞ an = 1
e ̸= 0, t. j. není splněna nutná podmínka konvergence řady.
5
Příklad 10.9. Vyšetřeme konvergenci řady
∞
n=1
Příklad 10.10. Vyšetřeme konvergenci řady
∞
n=1
1
n
ln 1 +
1
n
.
Řešení. Platí limt→0
ln(1+t)
t = 1 a tudíž limn→∞
ln(1+1
n)
1
n
= 1, tedy ln 1 + 1
n ∼ 1
n při n → ∞. Pak
pro an = 1
n ln 1 + 1
n je
an ∼
1
n
1
n
=
1
n2
při n → ∞. Položíme-li bn = 1
n2 , bude limn→∞
an
bn
= 1. Jelikož ∞
n=1
1
n2 konverguje, pak dle srovnávacího
kriteria konverguje i ∞
n=1
1
n ln 1 + 1
n .
6
Příklad 10.11. Vyšetřeme konvergenci řady
∞
n=1
ln n
n2
.
Řešení. Pro n → ∞ roste ln n pomaleji než jakákoliv odmocnina z n: je-li 0 < α < 1, podle
l’Hôpitalova pravidla
lim
n→∞
ln n
nα
= lim
n→∞
1
n
αnα−1
=
1
α
lim
n→∞
1
nα
= 0.
Mimo jiné, limn→∞
ln n√
n
= 0. Pak pro dostatečně velká n bude ln n ≤
√
n a tudíž
ln n
n2
≤
√
n
n2
=
1
n
3
2
.
Jelikož ∞
n=1
1
n
3
2
konverguje, pak dle srovnávacího kriteria konverguje i ∞
n=1
ln n
n2 .
7