CVIČENÍ 7
egrály, jež se převádí na integrál racionální lomené fun
Integrály typu R(cos x, sin x) d x
Integrály, v nichž je integrand lomenou funkcí členů cos x a sin x:
R(cos x, sin x) dx, (7.1)
kde R(u, v) je racionálně lomená podle u a v, lze s využitím tzv. univerzální trigonometrické
substituce
t = tg
x
2
(7.2)
vždy převést na integrál racionální lomené funkce.
1
Univerzální trigonometrická substituce
Vzorce pro vykonání univerzální trigonometrické substituce:
cos x =
1 − t2
1 + t2
, sin x =
2t
1 + t2
, dx =
2
t2 + 1
dt. (7.3)
Speciální případy
Užití univerzální substituce (7.2) je zpravidla spojeno s pracnějším výpočtem a
proto je vhodné se napřed zamyslet, zda není možné integrál vypočíst snadněji. Často
je užitečná následující rada.
Úvaha 7.1. Je-li integrál ve tvaru (7.1), kde R je racionální lomená funkce dvou
argumentů, mající jednu z vlastností:
R(−u, v) = −R(u, v), R(u, −v) = −R(u, v), R(−u, −v) = R(u, v) (7.4)
pro všechna (u, v), pak lze pro integraci využit jedné ze substitucí t = sin x, t = cos x
resp. t = tg x.
Substituce, doporučená úvahou 7.1, může být v praxi vhodnější než univerzální
trigonometrická substituce.
2
Příklad 7.2. Vypočtěme
sin2
x cos5
x dx.
Řešení. Substituce sin x = t, dt = cos x dx,
sin2
x cos5
x dx = sin2
x(1 − sin2
x)2
cos x dx = sin2
x(1 − sin2
x)2
d(sin x)
= t2
(t − t2
)2
dt = t2
(1 − 2t2
+ t4
) dt = (t2
− 2t4
+ t6
) dt
=
1
3
t3
−
2
5
t5
+
1
7
t7
=
1
3
sin3
x −
2
5
sin5
x +
1
7
sin7
x.
Integrály typu R x, m αx+β
γ x+δ
d x, kde R je racionální
lomená funkce
Integrály tohoto druhu lze převést na integrál racionální lomené funkce zavedením
nové proměnné t s pomocí substituce
tm
=
αx + β
γx + δ
. (7.5)
3
Je-li v integrandu několik výrazů typu αx+β
γx+δ
q1
, αx+β
γx+δ
q2
, . . . , kde q1, q2, . . . jsou racionální
čísla, lze rovněž využít substituce (7.5), v níž zvolíme za m společný jmenovatel
zlomků q1, q2, . . . .
Speciálním případem je integrál tvaru R x, m
√
αx + β dx, kde lze položit αx +
β = tm
.
Příklad 7.3. Vypočtěme x dx
1+ 5√
x+1
.
Řešení. Položme x + 1 = t5
. Pak bude dx = 5t4
dt, x = t5
− 1,
x dx
1 + 5
√
x + 1
= 5
(t5
− 1) t4
t + 1
dt,
což je integrál neryze lomené funkce. Dělením polynomů t9
− t4
a t + 1 dostáváme
t9
− t4
t + 1
= t8
− t7
+ t6
− t5
+ t4
− 2t3
+ 2t2
− 2t + 2 −
2
t + 1
a tudíž
(t5
− 1) t4
t + 1
dt =
t9
9
−
t8
8
+
t7
7
−
t6
6
+
t5
5
−
t4
2
+
2t3
3
− t2
+ 2t − 2 ln |t + 1|.
4
Pro obdržení výsledku poslední výraz vynásobíme pěti a zpětně dosadíme t = (x +
1)
1
5. □
Příklad 7.4. Vypočtěme
√
x
3
√
x + 1
dx.
Řešení. Položme x = t6
. Bude dx = 6t5
dt,
√
x
3
√
x + 1
dx = 6
t3
t2 + 1
t5
dt = 6
t8
t2 + 1
dt = 6 (t6
− t4
+ t2
− 1) dx + 6
1
t2 + 1
dt,
5
protože
t8
t2
+ 1
t6
− t4
+ t2
− 1− t8
− t6
− t6
t6
+ t4
t4
− t4
− t2
− t2
t2
+ 1
1
Vychází
√
x
3
√
x + 1
dx =
6x
7
6
7
−
6x
5
6
5
+ 2
√
x − 6x
1
6 + 6 arctg x
1
6 . □
Příklad 7.5. Vypočtěme
2x + 5
3
√
6x + 1
dx.
6
Řešení 7.5.1. Substituce 6x + 1 = t, 6 dx = dt, dx = 1
6 dt; 2x = 1
3(t − 1),
2x + 5
3
√
6x + 1
dx =
1
3(t − 1) + 5
3
√
t
1
6
dt =
1
18
t + 14
t
1
3
dt =
1
18
t
2
3 dt +
7
9
t−1
3 dt
=
1
18
t
2
3 dt +
7
9
t−1
3 dt =
1
18
·
3
5
t
5
3 +
7
9
·
3
2
t
2
3
=
1
30
t
5
3 +
7
6
t
2
3 =
1
30
(6x + 1)
5
3 +
7
6
(6x + 1)
2
3 .
Řešení 7.5.2 (doporučené). Zavedeme-li proměnnou s vztahem 6x + 1 = s3
, bude 6 dx = 3s2
ds,
dx = 1
2s2
ds, 2x = 1
3(s3
− 1),
2x + 5
3
√
6x + 1
dx =
1
3(s3
− 1) + 5
s
1
2
s2
ds =
1
6
(s3
+ 14)s ds =
1
6
(s4
+ 14s) ds
=
1
6
1
5
s5
+ 7s2
=
1
30
(6x + 1)
5
3 +
7
6
(6x + 1)
2
3 .
Příklad 7.6. Vypočtěme
1
√
x 3
√
x + 1
dx.
7
Řešení. Substituce x = t6
, dx = 6t5
dt,
1
√
x 3
√
x + 1
dx =
1
t3 (t2 + 1)
6t5
dt = 6
t2
t2 + 1
dt = 6
t2
+ 1 − 1
t2 + 1
dt
= 6 1 −
1
t2 + 1
dt = 6t − 6 arctg t = 6 6
√
x − arctg 6
√
x .
Příklad 7.7. Vypočtěme
1
1 + x
1 + x
1 − x
dx.
Řešení. Substituce 1+x
1−x = t, 1+x
1−x = t2
; x = t2−1
t2+1
, 1 + x = 2t2
t2+1
, dx = 4t
(t2+1)2 dt,
1
1 + x
1 + x
1 − x
dx =
t2
+ 1
2t2
· t ·
4t
(t2 + 1)2
dt = 2
1
t2 + 1
dt = 2 arctg t
= 2 arctg
1 + x
1 − x
.
8
Integrály R(eα1 x
, eα2 x
, . . . , eαn x
) d x, kde R je racionální
lomená funkce
Integrály tvaru
R(eαx
) dx
lze vypočíst zavedením nové proměnné t = eαx
. Podobným způsobem lze upravit
integrál tvaru
R(eα1x
, eα2x
, . . . , eαnx
) dx,
v němž R je racionální lomená funkce n proměnných a α1, α2, . . . , αn jsou celá čísla,
položíme-li t = ex
. Jsou-li α1, α2, . . . , αn soudělná, je vhodné položit t = eαx
, kde α
je největší společný dělitel těchto čísel.
Příklad 7.8. Vypočtěme
e6x
+ 3
e3x + 6
dx.
9
Řešení. Položíme-li t = e3x
(neboli, což je totéž, x = 1
3 ln t), bude dx = 1
3t dt a tudíž
e6x
+ 3
e3x + 6
dx =
1
3
t2
+ 3
t + 6
1
t
dt =
1
3
t2
+ 3
t (t + 6)
dt =
1
3
1 − 3
2t − 1
t (t + 6)
dt,
protože t2+3
t2+6t
= 1 + 3−6t
t2+6t
. Rozkladem 2t−1
t(t+6) na částečné zlomky je 3t−1
t(t+9) = −1
6
1
t + 13
6
1
t+6 a proto
2t−1
t(t+6) dt = −1
6 ln |t| + 13
6 ln |t + 6|. Po výpočtu a dosazení t = e3x
dostaneme
e9x
+ 3
e3x + 9
dx =
1
3
t +
1
2
ln |t| −
13
6
ln |t + 6| =
1
3
e3x
+
3
2
x −
13
6
ln e3x
+ 6 .
Vypočtěme některé určité integrály podobných typů. Připomeňme si věty o integrací
s pomocí nové proměnné.
Věta 7.9. Má-li funkce φ na (a, b) spojitou derivaci, pro každou spojitou funkci
f platí
b
a
f(φ(x))φ′
(x) dx =
φ(b)
φ(a)
f(t) dt. (7.6)
10
Vztah (7.6) znamená, že v případě integrálu
b
a f(φ(x))φ′
(x) dx se jedná, vlastně,
o integrál f(t) dt v mezích φ(a) a φ(b). Novou proměnnou t tedy zavadíme vztahem
t = φ(x).
Metodu substituce občas používáme v alternativní podobě, a sice tak, že se vzorec
(7.6) přečte „v opačném směru“.
Věta 7.10. Nechť [α, β] a [a, b] jsou uzavřené intervaly a funkce ψ : [α, β] → [a, b]
je taková, že ψ(α) = a, ψ(β) = b. Má-li funkce ψ na [α, β] spojitou derivaci, pak pro
každou spojitou funkci f platí
b
a
f(x) dx =
β
α
f(ψ(s))ψ′
(s) ds. (7.7)
V tomto případě novou proměnnou s zavadíme implicitně s pomocí vztahu ψ(s) = x.
Poznámka 7.11 (o praktickém využití metody substituční). V praxi
zavedení nové proměnné v určitém integrálu provádíme tak, že — po ověření splnění
11
předpokladů — do integrandu a diferenciálu dosazujeme t = φ(x) resp. x = ψ(s) a
oboje vyjadřujeme s pomocí nové proměnné. Dále výpočtem hodnot, odpovídajících
koncovým bodům původního integračního intervalu, zjistíme meze, ve kterých se mění
nová proměnná. Obdržíme pak nový integrál, jehož hodnota je shodná s hodnotou
původního integrálu (přičemž není potřeba zpětné substituce).
Příklad 7.12. Vypočtěme
4
0
1
1 +
√
x
dx.
Řešení.
√
x = t, x = t2
, dx = 2t dt; x = 0 ⇒ t = 0, x = 4 ⇒ t = 2;
4
0
1
1 +
√
x
dx =
2
0
1
1 + t
2t dt = 2
2
0
t + 1 − 1
t + 1
dt = 2
2
0
dt −
2
0
1
t + 1
dt
= 2 2 − [ln(t + 1)]2
0 = 4 − 2 ln 3.
12
Příklad 7.13. Vypočtěme
π
2
0
sin3
x dx.
Řešení. V integrandu je lichá mocnina výrazu sin x. Je vhodné zavést novou proměnnou vztahem
cos x = t, dt = − sin x dx; meze budou: x = 0 ⇒ t = 1, x = π
2 ⇒ t = 0;
π
2
0
sin3
x dx =
π
2
0
(1 − cos2
x) sin x dx = −
0
1
(1 − t2
) dt =
1
0
(1 − t2
) dt =
2
3
.
Příklad 7.14. Vypočtěme
√
e
1
1
x 1 − (ln x)2
dx.
13
Řešení. Je zřejmé, že zde je vhodné položit ln x = t, pak bude dt = 1
x dx; meze budou: x = 1 ⇒
t = 0, x =
√
e ⇒ t = 1
2;
√
e
1
1
x 1 − (ln x)2
dx =
1
2
0
1
√
1 − t2
dt = [arcsin t]
1
2
0 = arcsin
1
2
− arcsin 0 =
π
6
.
14