PŘEDNÁŠKA 10
Mocninné řady II
Dále uvažujeme funkce jedné reálné proměnné a omezíme se jen základními pojmy. Podrobněji rozebereme důležitý speciální případ řady mocninné.
§ 10.1. Obecné pojmy
Funkční řadou se rozumí nekonečný součet
+00
fl+ f2 + ... = J2fn, (10.1)
n = \
kde fi, f2, ... jsou funkce jedné reálné proměnné. Vypočteme-li hodnoty těchto funkcí v bodě x, dostaneme číselnou řadu
+00
fi(x) + f2(x) + ■■■ = (10.2)
n = \
jež pro toto dané x muže konvergovat či nikoliv.
Definice 10.1. Oborem konvergence funkční řady (10.1) se rozumí množina všech bodů x e R, v nichž konverguje číselná řada fn(x)-
Vztah (10.2) tedy určuje funkci / : M —► R. Otázkou však je, přesně na jaké množině M je táto funkce definována a jaké jsou její vlastnosti, zejména zda je / na M spojitá či diferencovatelná, jsou-li takovými všecky fi, f2, .... Pouhá konvergence řady (10.2) v jednotlivých bodech x G M tyto vlastnosti, obecně řečeno, nezaručuje (viz příklad 10.6); táto implikace vyžaduje jiného — silnějšího — druhu konvergence.
Pro řady funkční rozlišujeme mezi bodovou a stejnoměrnou konvergenci.
Definice 10.2 (bodová konvergence řady). Bodovou konvergencí funkční řady ^2t=i f n se rozumí konvergence jednotlivých číselných řad Ylt=i f n (x) Pro konkrétní body x, t. j. konvergence posloupnosti s„(x) = Yľk=i fk(x)> n — 1, při pevně zvolené hodnotě x.
Pojem konvergence stejnoměrné, jenž je specifický právě pro řady funkční, znamená stej -noměrnou konvergenci posloupnosti částečných součtů.
§ 10.1.1. Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí
Definice 10.3 (stejnoměrná konvergence posloupnosti). Budiž u\, 112, ■ ■ ■ posloupnost funkcí, definovaných na nějakém intervalu I, a M buď nějaká podmnožina /. Řekněme, že tato posloupnost konverguje k nějaké funkci u stej noměrně na M, jestliže k libovolně malému s lze vždy najít JV£ tak, a by pro libovolná n > JV£ a x e M platilo
\un(x) — u(x)\ < s. (10.3) 1
V takovém případe píšeme un      u pro n —► +00 a říkáme, že limita lim^oo existuje stejnoměrně na množině M.
S využitím pojmu nejmenší horní meze lze vlastnost u„     u formulovat takto:
lim   sup — u(x)| =0.
Poznámka 10.4 (o rozdílu mezi bodovou a stejnoměrnou konvergenci). Ze stejnoměrné konvergence w„ u, samozřejmě, plyne bodová konvergence u„ —► u, ovšem opačné tvrzení neplatí. Rozdíl mezi dvěma pojmy ihned poznáme, zapíšeme-li definici konvergence bodové: to, že u„(x) —► u(x) pro x e M bodově, znamená, že pro libovolné x G M k libovolně malému s > 0 existuje dostatečně velké JV£ takové, že pro n > NE platí (10.3). Tedy různým bodům x mohou odpovídat různé hodnoty NE a není zaručeno, že lze NE zvolit jednotným způsobem na celé množině M.
Vzhledem k poznámce 10.4 může být u„      u pouze když bodově a tudíž při
ověřování stejnoměrnosti limity vždy začneme zjištěním limity bodové.
PŘÍKLAD 10.5. Posloupnost funkcí un(x) = cos(^-),n > 1, konverguje k u(x) = 1 stejnoměrně na [—tc, tc].
Vysvětlení. Pro libovolné x platí limH-^+oo cos (^) = cos(0) = 1, t. j. na M = [—tc, tc] posloupnost bodově konverguje ke konstantní funkci u(x) = 1. Zkusme ověřit, zda táto konvergence je stejnoměrná ve smyslu definice 10.3. S pomocí vzorce 1 — cos a = 2 sin2 j dostaneme
cos (^) - 1 = 2 sin2 (^) • (!0-4) Zvolme libovolně malé s > 0. Aby platilo
' < e, (10.5)
<
cos (—^ -\2n'
vzhledem k (10.4) stačí, aby bylo sin2 (^-) < |, tedy | sin (^) | < ^/|, což bude zaručeno při J^j-arcsin ^/|, t. j.
n >-^ (10.6)
2 arcsin ,/ |
Potřebujeme zvolit NB tak, aby pro n > N8 vždy platilo (10.5), a to navíc nezávisle na hodnotě x. Největší hodnotou |jc| pro — tc < x < tc je tc a tudíž nerovnice (10.6) jistě bude platit pro všechna x e [—tc, tc] a libovolné n > NB, položíme-li
N s =-+ 1. (10.7)
2 arcsin J j
Jelikož hodnota (10.7) nezávisí na x, tímto byla dokázána stejnoměrná konvergence un 4 1. □
PŘÍKLAD 10.6. Posloupnost funkcí u„(x) = xn,x e [0,1],« > 1, bodově konverguje k funkci
\ 0 pro 0 < x < 1,
u(x) = ť     - (10.8)
/ 1 pro x = 1.
Konvergence není na [0,1] stejnoměrná.
2
Vysvětlení. Je zřejmé, že při O < x < 1 je him^oo un(x) = liím^oo x" = O a. un(l) = l pro všechna n, tedy un     u bodově. (10.3)
, ,,     \ x" pro 0 < x < 1
l«»W-«WI = \. n ~ (10-9)
/ |jc  — 1|   pro jc = 1.
Z grafu (a rovněž i vzorce (10.9)) je zřejmé, že nejmenší horní mez těchto veličin je 1: sup0<;c<1 \u„(x) — u(x)\ = 1 a tudíž není konvergence stejnoměrná.
Poznamenejme, že, i když všecky funkce u„ jsou na [0,1] spojité, součtem řady YlT=i u" Je nespojitá funkce (10.8). □
§ 10.1.2. Stejnoměrná konvergence funkční řady
Definice 10.7 (stejnoměrná konvergence řady). Funkční řada V^^ľ^/„ konverguje stejnoměrně na množině M, jestliže na M stejnoměrně konverguje posloupnost jejich částečných součtů.
Definice 10.8 (majoranty funkční řady). Platí-li pro všechna x e M an > 1
\fn(x)\ < Cl„,
říkáme, že řada s kladnými členy YlT=i a" Je rnajorantou pro funkční řadu YlT=i fn-
VĚTA 10.9 (Weierstrassovo kriterium). Funkční řada, pro níž na dané množině existuje konvergentní majoranta, konverguje na této množině stejnoměrně.
PŘÍKLAD 10.10. Řada J2T=i ^f"^ konverguje stejnoměrné pro -oo < x < oo.
Vysvětlení. Při —oo < x < oo, n > 1 platí
arctg(nx)
< — 2
-^2, pncemz J2„=i     < +00. Řada pak konverguje stejnoměrně podle věty 10.9. □
V případe stejnoměrné konvergence lze dokázat, že součet řady spojitých (resp. diferencovatelných) funkcí bude rovněž funkcí spojitou (diferencovatelnou). Budiž [a, b] nějaký interval.
VĚTA 10.11 (o spojitosti součtu). Buď J^^lj/„ funkční řada, kde všecky fi, f2, ... jsou na [a, b] spojité. Konverguje-li Yľrľ=i fn na ta> b] stejnoměrně, pak její součet je rovněž spojitou funkcí na [a, b].
Bez předpokladu stejnoměrné konvergence zaručit spojitost součtu nekonečně mnoha funkcí obecně nelze (viz příklad 10.6).
VĚTA 10.12 (o diferencovatelnosti součtu). Buď Yľrľ=i fn funkční řada, kde všecky fi, f2, ... mají na [a, b] spojitou derivaci, přičemž v každém bodě x e [a, b] řada YlT=i fn(x) konverguje a řada YlT=i f n konverguje na [a, b] stejnoměrně. Pak je součet / = Yln^i fn funkcí diferencovatelnou na [a, b] a v každém bodě x e [a, b] platí
/'(*) = E
n = \
Poznámka 10.13. Toto tvrzení lze dokázat v obecnějším tvaru: ve větě 10.12 stačí předpokládat, že všecky fx, f2, ... mají na [a, b] konečnou derivaci a řada Yľrľ=i fn(x) konverguje alespoň v jednom bodě x e [a, b].
§ 10.2. Mocninné řady
Definice 10.14. Mocninnou řadou se nazývá funkční řada
oo
^ c„(x - x0)n = c0 + Ci(x - x0) + c2(x - x0)2 +
n=0
kde Ci, C2, ... je nekonečná posloupnost čísel. Bod Xo se nazývá středem řady.
Po substituci x — Xo = t bez újmy na obecnosti lze uvažovat pouze případ Xo = 0:
00
^ C„X" = C0 + CiX + c2x2 +----
n=0
§ 10.2.1. Konvergence mocninné řady
VĚTA 10.15 (Abel). Konverguje-li řada YlT=o c"x" při x = a (a ^ 0), pak rovněž konverguje pro všechna x s \x\ < a.
důsledek 10.16. Diverguje-li YlT=o c"x" WLX = a> P3^ diverguje i pro všechna x s \x\ > a.
VĚTA 10.17 (o poloměru konvergence). Pro mocninnou řady Yln^o c"x" se středem v 0 vždy existuje R (0 < R < +oo) takové, že:
(1) pro všechna x e (-R, R) řada konverguje absolutně;
(2) při \x\ > R řada diverguje.
Je-li R = +oo, oborem konvergence je (—oo, oo); pro R = 0 konverguje řada jen ve svém středu (oborem konvergence je tedy množina jednoprvková).
Číslo R ve větě se nazývá poloměrem konvergence mocninné řady.
Poznámka 10.18. Při \x\ = R může řada konvergovat neabsolutně, popř. divergovat.
VĚTA 10.19 (o stejnoměrné konvergenci mocninné řady). Buď i? poloměr konvergence mocninné řady Yln^o cnx" ■ P&k:
(1) v každém uzavřeném intervalu [—r, r], kde 0 < r < R, konverguje řada YlT=o c"x" stejnoměrně;
(2) diverguje-li řada YlT=o c"x" při x = i?, pak její konvergence na [0, R) není stejnoměrná (podobné v bodě —R).
Z věty 10.19 (1) vzhledem k Weier straš sově větě 10.9 plyne, že součet mocninné řady uvnitř intervalu konvergence vždy představuje spojitou funkci. Spojitost v bodech R, —R pak záleží na tom, zda v tomto bodě řada konverguje.1
příklad 10.20. Vyšetřeme konvergenci řady Yln^o l^x"•
Řešení. Použijme podílové kriterium pro řadu z absolutních hodnot X!^=o 7^\x\" '•
1 i.n + l n2"  =      n     M _^ W
(n + 1)2"+1 \x\n     « + 12 2
při n —► +oo. Řada YlT=o ^2"\x\" teíty konverguje při \x\ < 2 a diverguje při \x\ > 2. V intervalu (—2,2) řada Yln^o     x" konverguje absolutně.
*V bodech R, —R mluvíme o spojitosti zleva resp. zprava.
4
Při x = 2 je J2Zo Úpx" řadou harmonickou: £~ 0 ^2" = £~ 0 i a tudíž diverguje. Při x = -2 je to řada alternující £~ 0 ^(-1)"2" = £~ 0 Jež konverguje podle Leibnizova kriteria. □
S pomocí podobných úvah lze dokázat následující užitečné vzorce pro určení poloměru konvergence.
věta 10.21. Buď R poloměr konvergence mocninné řady J2T=o c"x"• Existuje-li
Cn + l
lim
A,
pak    = A.
věta 10.22. Buď R poloměr konvergence mocninné řady J2T=o cn x" • Existuje-li
lim y/\cn\ = A,
pak    = A.
§ 10.2.2. Taylorova řada
Připomeňme si větu o Taylorově vzorci.
věta 10.23 (Taylorův vzorec). Buď / funkce, jež má v bodě x0 spojité derivace do řádu n včetně. Pak pro x v okolí bodu x0 je
f(x) = f(x0) + ^-(x - x0) + í^(x - XoÝ + ■■■ + ^^(* - *o)" + Ux), kde pro zbytkový člen rn(x) platí
lim    rÁx)    = o. (10.10)
x^xq (x — x0)"
věta 10.24 (Lagrangeův tvar zbytku Taylorova vzorce). Pro libovolné x v okolí xo platí
rn(x) = J.  ^,í\x-x0)n+1, (10.11) (n + 1)!
kde £ je jistý bod, nacházející se mezi x0 a x. Mocninná řada
f (x) = f(x0) + (x - x0) +      —(x - x0) + • • • + ——-(x - x0) + ...
je Taylorovou řadou pro funkci /. Speciálními případy jsou rozvoje
ex = l+x + ^- + --- + ^- + ..., 2! ni
x2    x4 x2n
»» = 1-ä + ¥-" + (-1,"(S)T + ""
X3        -v- 5 i,- 2 ľi 1
^ = x-- + --- + (-yy +
ln(l +x) = x- — + — - ••• + (-1)"-1— + • • • 2      3 n
(poslední pro x e (—1,1]).
§ 10.2.3. Operace s mocninnými řadami
věta 10.25. Mocninnou řadu uvnitř jejího intervalu konvergence lze člen po členu derivovat: je-li, YlT=o c"x" = f(x) Př* \x\ < R> platí
oo
f'(x) = Yjncnxn-\
n = \
6