PŘEDNÁŠKA 1
Neurčitý integrál
§ 1.1. Primitivní funkce a integrál neurčitý
Mějme funkci f definovanou a spojitou na nějakém intervalu (a, b). Pojmy primitivní
funkce a integrálu neurčitého slouží pro zodpovězení otázky: derivací čeho je výraz f(x)?
Definice 1.1. Primitivní funkce k funkci f na intervalu (a, b) je taková funkce F, že
pro každé x z (a, b) platí F′
(x) = f(x).
Např. funkce F(x) = 5
3
x3
je primitivní funkcí k f(x) = 5x2
, neboť F′
(x) = 5
3
· 3x2
=
5x2
= f(x). Navíc všechny primitivní funkce pro f(x) = 5x2
mají tvar F(x) = 5
3
x3
+ C,
kde C je libovolná konstanta (toto platí i obecně).
Definice 1.2. Výraz
f(x) dx = F(x) + C, x ∈ (a, b), (1.1)
kde F je funkce primitivní k f a C je libovolná konstanta, se nazývá integrálem neurčitým
funkce f.
Poznámka 1.3. Jinak se dá říci, že integrálem neurčitým dané funkce je jakákoliv
její primitivní funkce, anebo souhrn všech primitivních funkcí. Integrál neurčitý se tedy
definuje jednoznačné až na „aditivní konstantu“. Pojmy primitivní funkce a integrálu
neurčitého jsou vesměs shodné.
Symbol je označován jako integrační znak, funkce f se nazývá integrandem a formální
symbol „dx“ slouží k označení proměnné, podle níž daný výraz integrujeme. Zápis čteme
takto: „integrál z f(x) podle x“.
Neurčitý integrál (1.1) zodpovídá otázku: jak vypadají všecky možné výrazy, které po
zderivování vzhledem k proměnné x se promění na f(x)? Platí tedy, že
f(x) dx
′
= f(x), F′
(x) dx = F(x) + C, (1.2)
kde C je libovolná konstanta. Operace derivování a nalezení integrálu neurčitého jsou v
tomto smyslu navzájem inverzní. Konstanta C se nazývá integrační konstantou.
Věta 1.4 (o existenci primitivní funkce). Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b)
existuje na tomto intervalu funkce primitivní a tudíž má funkce integrál neurčitý.
Poznámka 1.5. Nehledě na to, že „dx“ v zápisu integrálu je pouze formální symbol,
jenž značí proměnnou, podle níž se integruje, v praxi je pohodlné (a z hlediska výpočtů
také vhodné) tlumočit výraz „f(x) dx“ jako „f(x) · dx“ („f(x) krát dx“). Píšeme tedy
např. 1
x
dx = dx
x
.
1
§ 1.2. Vlastnosti integrálu neurčitého
Základními vlastnostmi integrálu neurčitého jsou relace (1.2). Vzhledem k § 1.1 a
vlastnostem derivace platí vlastnost linearity integrálu: pro libovolné spojité funkce f1, f2
a konstanty λ1, λ2 je
(λ1f1(x) + λ2f2(x)) dx = λ1 f1(x) dx + λ2 f2(x) dx.
Mimo jiné, konstantu lze vždy vytknout před znak integrálu a integrál součtu (rozdílu)
dvou výrazů je součtem (rozdílem) příslušných integrálů.
Poznámka 1.6 (důležité varování). Neexistují smysluplné vzorce, které by
vyjadřovaly f(x)g(x) dx nebo f(x)
g(x)
dx přes f(x) dx a g(x) dx!
§ 1.3. Výpočet integrálu neurčitého
„Výpočtem“ integrálu neurčitého se rozumí jeho vyjádření s využitím konečně mnoha
elementárních funkcí pomocí algebraických operací a operace složení. Např. (x2
+
5e3x
) dx = x3
3
+ 5
3
e3x
+ C (výsledkem je lineární kombinace funkcí mocninné a exponenciální);
xex2
dx = 1
2
ex2
+ C (složení funkcí exponenciální a kvadratické), kde C je
libovolná konstanta. Kontrola zderivováním: x3
3
+ 5
3
e3x
+ C
′
= 1
3
3x2
+ 5
3
e3x
3 = x2
+ 5e3x
;
ex2 ′
= 2xex2
.
Derivace konkrétních funkcí vždy vypočítáme podle známých pravidel derivování, t. j.
výsledek je svým způsobem garantován a k jeho dosažení stačí jen znát základní vlastnosti
derivace a tabulku derivací elementárních funkcí. V případě integrace je situace odlišná:
může se totiž stát, že neurčitý integrál nějaké funkce zásadně „nelze vypočítat“. Toto
znamená, že existují elementární funkce, jejichž primitivní funkce již mezi elementární
funkce nepatří. Je tomu tak např. pro f(x) = e−x2
, f(x) = sin(x2
) apod.; jsou to funkce,
pro něž nelze integrál f(x) dx žádným způsobem vyjádřit přes funkce elementární (t. j.
mocninné, exponenciální, trigonometrické, polynomiální, racionální lomené).
Poznámka 1.7. Skutečnost, že se nějaký integrál nevyjadřuje ve funkcích elementárních,
svědčí pouze o tom, že se s nim pracuje obtížněji. Je sice žádoucí integrál vyjádřit v
elementárních funkcích, jsou však důležité integrály, pro které to možné není. Například,
funkce erf x = 2√
π
x
0 e−t2
dt je důležitá v teorii pravděpodobnosti (tzv. chybová funkce),
funkce Cq(x) = x
0 cos (qx2
) dx a Sq(x) = x
0 sin (qx2
) dx jsou tzv. integrály Fresnelovy,
jichž se užívá ve fyzice apod.
Poznámka 1.8. Na rozdíl od derivací, pro integrál platí, že:
(1) ne každý integrál neurčitý „lze vypočítat“;
(2) i pokud daný integrál neurčitý vypočítat lze, je potřeba nalézt způsob jak to
udělat. Obecně platná metoda pro výpočet libovolných integrálu neexistuje.
Pro integrál, jež explicitně vypočítat lze, můžeme očekávat následující případy:
(1) vzorec pro integrál je znám bezprostředně z tabulek;
2
(2) po vhodné úpravě lze obdržet integrál, shodný s některým z tabulkových nebo
jemu podobný;
(3) na integrál lze (bezprostředně nebo po úpravě) aplikovat jednu z integračních
metod (integrace s pomocí nové proměnné nebo po částech).
§ 1.3.1. Tabulky základních integrálů
Přečtením tabulky známých derivací elementárních funkcí v opačném směru přirozeně
vzniká užitečná tabulka základních integrálů (viz tabulka 1.1).1
xn
dx =
xn+1
n + 1
(n ̸= −1)
dx
x
= ln |x| (1.4)
ex
dx = ex
ax
dx =
ax
ln a
(a ̸= 1) (1.5)
cos x dx = sin x sin x dx = − cos x (1.6)
dx
1 + x2
= arctg x
dx
cos2 x
= tg x (1.7)
Tabulka 1.1. Integrály některých elementárních funkcí.
Vskutku, máme (xm
)′
= mxm−1
a pak pro m ̸= 0 platí xm−1
= (xm)′
m
= xm
m
′
, t. j.
F(x) = xm
m
je primitivní funkcí k f(x) = xm−1
. Dále platí (ex
)′
= ex
, (sin x)′
= cos x,
(cos x)′
= − sin x, (arctg x)′
= 1
1+x2 atd. Podobným způsobem lze odvodit integrály řády
dalších známých funkcí. Jiné často využívané vzorce pro integrály nalezneme v tabulce
1.2; jejích odvození je však složitější.
1
√
A2 − x2
dx = arcsin
x
A
+ C (1.8)
1
√
x2 ± B
dx = ln x +
√
x2 ± B + C (1.9)
1
A2 + x2
dx =
1
A
arctg
x
A
+ C (1.10)
1
A2 − x2
dx =
1
2A
ln
A + x
A − x
+ C (1.11)
Tabulka 1.2. Další často využívané integrály.
1Pro lepší přehlednost v této tabulce vynecháváme libovolnou aditivní konstantu, která tam, samozřejmě,
vždycky patří.
Druhý vzorec v (1.4) chápeme jako přehlednou, avšak neúplné přesnou podobu vzorce (1.3), vyjadřujícího
integrál dx
x . I když tento vzorec v takovéto zkrácené podobě zcela běžně potkáváme, jeho
matematicky přesným zněním je
dx
x
=
ln (−x) + C1 pro x < 0,
ln x + C2 pro x > 0,
(1.3)
kde C1 a C2 jsou libovolné konstanty. Integrační konstanty zde tedy mohou být různé na levé a pravé
poloose. Důvodem je fakt, že ln |x| není v bodě x = 0 definován a tak se definiční obor této funkce dělí na
dvě části: (−∞, 0) a (0, +∞), na nichž se výraz 1
x integruje zvlášť.
3
„Tabulkové“ integrály v uvedené podobě zpravidla nepotkáme a u konkretních integrálů
je potřeba vymyslet vhodné úpravy.
Příklad 1.9. Vypočtěme integrál
cos2 x
2
dx.
Řešení. Tento integrál v tabulkách bezprostředně nenalezneme. Vypočítáme ho však
velice snadno pomocí vzorce pro cosinus dvojitého uhlu, jenž nám umožní mocninu snížit:
cos2 x
2
dx =
1
2
(1 + cos x) dx =
x
2
+
1
2
d (sin x) =
x
2
+
1
2
sin x + C.
Příklad 1.10. Vypočtěme
1
sin2
x cos2 x
dx.
Řešení. Jelikož platí sin2
x + cos2
x = 1, vzhledem k linearitě integrálu bude
1
sin2
x cos2 x
dx =
sin2
x + cos2
x
sin2
x cos2 x
dx =
1
cos2 x
dx +
1
sin2
x
dx.
Podle tabulky integrálů 1
cos2 x
dx = tg x, 1
sin2 x
dx = − ctg x a tudíž
1
sin2
x cos2 x
dx = tg x − ctg x + C.
§ 1.3.2. Dva obecnější vzorce
Uveďme dvě často využívaná tvrzení, jejichž důkaz lze provést bezprostředním zderi-
vováním.
Tvrzení (o integrálu funkce s lineárně pozměněným argumentem). Je-li známo, čemu
se rovná f(x) dx = F(x), při libovolných α, β (α ̸= 0) bude
f(αx + β) dx =
1
α
F(αx + β). (1.12)
Tohoto tvrzení se užívá zvláště často. Uveďme typický příklad.
Příklad 1.11. e7x
dx = 1
7
eax
+ C.
Příklad 1.12. cos(3x − 8) dx = 1
3
cos(3x − 8) + C.
Tvrzení (o integrálu logaritmické derivace). Má-li funkce f spojitou derivaci na
nějakém intervalu I, přičemž f(x) ̸= 0 pro všechna x ∈ I, pak
f′
(x)
f(x)
dx = ln |f(x)| + C, (1.13)
kde C je libovolná konstanta.
Příklad 1.13. Vypočtěme
1
x ln x
dx.
Řešení. Pro kladná x je
1
x ln x
dx =
1
x
ln x
dx =
(ln x)′
ln x
dx = ln(ln x) + C
4