PŘEDNÁŠKA 2
Základní metody výpočtu neurčitého integrálu
§ 2.1. Metoda integrace po částech (per partes)
Metoda integrace po částech může být vhodná v případech, když je integrand ve tvaru
součinu dvou výrazů, z nichž jeden je žádoucí zderivovat a druhý dovedeme integrovat.1
§ 2.1.1. Princip integrace po částech
Věta 2.1 (o integrací po částech). Pro diferencovatelné funkce u a v platí
u(x)v′
(x) dx = u(x)v(x) − v(x)u′
(x) dx. (2.1)
Důkaz. Mějme dvě diferencovatelné funkce u a v. Pak dle pravidla derivovaní součinu
je (uv)′
= uv′
+ u′
v, odkud uv′
= (uv)′
− vu′
a proto
u(x)v′
(x) dx = (u(x)v(x))′
dx − v(x)u′
(x) dx. (2.2)
Jelikož platí
(u(x)v(x))′
dx = u(x)v(x)
(integrační konstantu zde lze ignorovat), z (2.2) integrací obdržíme (2.1). □
Poznámka 2.2. Využijeme-li pojmu diferenciálu, můžeme zapsat vztah (2.1) v
podobě
u(x) dv(x) = u(x)v(x) − v(x) du(x), (2.3)
která je obvykle pohodlnější k zapamatování.
Způsobu výpočtu integrálů, jenž se zakládá na vzorcích (2.1), (2.2), se říká integrace
po částech neboli per partes. Využití této metody je vhodné, jestliže bude integrál
v(x)u′
(x) dx jednodušší než u(x)v′
(x) dx (t. j. zderivování u při současném zintegrování
v′
zpět na v situaci v nějakém smyslu zlepšuje).
§ 2.1.2. Jednoduché příklady integrace po částech
Příklad 2.3. Vypočtěme integrál x cos x dx s pomocí integrace per partes.
Řešení. Oba dva činitele x a cos x se dobře derivují a integrují, avšak pro ten první
je x′
= 1. Zvolme tedy ve vzorci (2.1) u(x) = x; pak musí být v′
(x) = cos x, odkud
1Je to, v podstatě, jediná funkční náhražka chybějícího pravidla integrace součinu.
1
dostaneme v(x) = v′
(x) dx = cos x dx = sin x a tudíž dle (2.1)
u
x ·
v′
cos x dx =
u
x ·
v
sin x −
u′
1 ·
v
sin x dx = x sin x − sin x dx.
Integrál sin x dx je tabulkový ( sin x dx = − cos x) a proto
x cos x dx = x sin x − sin x dx = x sin x + cos x + C,
kde C je libovolná konstanta. □
Poznámka 2.4 (o správné volbě členů). Pro úspěšnou integraci po částech
je třeba v (2.1) rozumně zvolit u a v′
. Položíme-li, např. v x cos x dx z příkladu 2.3
u(x) = cos x, v′
(x) = x, bude u′
(x) = − sin x, v(x) = x dx = 1
2
x2
a dostaneme
x cos x dx =
1
2
x2
cos x +
1
2
x2
sin x dx,
což je výsledek nevyhovující, jelikož ukol výpočtu integrálu x2
sin x dx není nikterak
snadnější než původní zadání. Nevhodná volba členů tedy způsobí, že při integraci po
částech k zjednodušení původního integrálu nedochází (je zřejmé, že by v tomto případě
bylo vhodné člen x právě derivovat, nikoliv integrovat).
Metody integrace po částech lze, samozřejmě, využít i opakovaně.
Příklad 2.5. Vypočtěme x2
ex
dx.
Řešení. Vzhledem ke zkušenosti s příkladem 2.3 budeme derivovat x2
(zjednoduší se)
a integrovat ex
(umíme to provést). Metodu integrace po částech zde použijeme dvakrát:
u=x2
, v′
=ex
u′
=2x, v= ex
dx=ex
x2
ex
dx = x2
ex
− 2
u=x, v′
=ex
u′
=1, v=ex
xex
dx = x2
ex
− 2 xex
− ex
dx
= x2
ex
− 2 (xex
− ex
) + C = (x2
− 2x + 2)ex
+ C.
Integrační konstantu stačí přidat až na konci. □
V některých případech integrace po částech nevede přímo na konečný výsledek, avšak
po jejím opakovaném využití obdržíme vztah, jenž lze chápat jako rovnici pro určení
hodnoty integrálu.
Příklad 2.6. Vypočtěme integrály
I(x) = ex
cos x dx, J(x) = ex
sin x dx. (2.4)
Řešení. Jelikož (ex
)′
= ex
a derivace sinu a kosinu jsou, až na znaménko, znovu
kosinus nebo sinus, očekáváme, že metodou per partes jeden z těchto integrálu převedeme
na ten druhý a naopak, přičemž v daném případě není důležité, který z těchto členů
budeme derivovat. Vykonáme-li toto dvakrát, dostaneme zase integrál původní a tudíž i
vztah pro určení jeho hodnoty. Uvažujme např. J(x) a proveďme per partes s u(x) = sin x,
dv(x) = ex
dx; pak bude du(x) = cos x dx, v(x) = ex
dx = ex
a tudíž
J(x) =
u
sin x
dv
ex
dx =
u
sin x
v
ex
−
v
ex
du
cos x dx = ex
sin x − I(x). (2.5)
2
Vykonáme-li podobné úpravy s I(x), obdržíme
I(x) =
u
cos x
dv
ex
dx =
u
ex
v
cos x −
v
ex
du
(− sin x) dx = ex
cos x + ex
sin x dx,
což znamená, že I(x) = ex
cos x + J(x). Odvodili jsme tedy, že pro uvažované integrály
platí vztahy
I(x) = ex
cos x + J(x), J(x) = ex
sin x − I(x),
odkud dostaneme I(x) − J(x) = ex
cos x + J(x), I(x) + J(x) = ex
sin x a tudíž je
I(x) =
1
2
ex
(sin x + cos x) + C, J(x) =
1
2
ex
(sin x − cos x) + C.
Přidali jsme na konci integrační konstantu, jelikož integrál neurčitý má zahrnovat všecky
primitivní funkce.
Poznamenejme, že, zajímá-li nás pouze jeden z integrálů (2.4), např. J(x), stačí v (2.5)
provést integraci po částech ještě jednou, čímž získáme rovnici pro určení J(x). □
§ 2.1.3. Běžné typy integrálů, jež lze vypočítat integrací po
částech
Metodu per partes je vhodné použit zejména pro následující často se vyskytující typy
integrálů:
Integrály p(x) cos(ax) dx, p(x) sin(ax) dx a p(x)eax
dx
Integrand je ve tvaru součinu polynomu p(x) a funkce, jejíž integrál lze snadno vypočítat.
Derivujeme pak ten polynom (u = p(x)), v novém integrandu obdržíme polynom nižšího
stupně (per partes aplikujeme několikrát, až se polynom zderivuje na konstantu). Modelem
je příklad 2.3.
Integrály eax
cos(bx) dx, eax
sin(bx) dx
Zde oba dva činitele lze zcela jednoduše integrovat i derivovat. Jelikož (sin x)′
= cos x,
(cos x)′
= − sin x, vychází, že lze eax
cos(bx) dx vyjádřit přes eax
sin(bx) dx a naopak.
Použijeme-li per partes dvakrát (ve stejném směru, abychom se nevrátili na začátek!),
obdržíme vztah, jenž lze považovat za rovnici pro určení daného integrálu (příklad 2.6).
Integrály typů p(x)(ln x)m
dx, p(x)(arctg x)m
dx, p(x)(arcctg x)m
dx
Integrály tohoto typu, kde m je přirozené číslo a p(x) je polynom, lze vypočíst integrací
po částech (derivujeme člen s ln x, arctg x, arcctg x). Společným u těchto integrálu je to,
že derivace ln x, arctg x, arcctg x jsou racionální výrazy, kdežto integrálem polynomu je
opět polynom. Je-li m > 1, integraci po částech provedeme víckrát.
Podobně lze vypočítat p(x)(arcsin x)m
dx, p(x)(arccos x)m
dx.
Příklad 2.7. Vypočtěme arcsin x dx.
Řešení. Integrací po částech obdržíme
v′
1 ·
u
arcsin x dx =
v
x
u
arcsin x −
v
x
u′
1
√
1 − x2
dx = x arcsin x −
1
2
d(1 − x2
)
√
t − x2
= x arcsin x +
1
2
(1 − x2
)−1
2 d(1 − x2
).
Jelikož s 1 − x2
= s, −2x dx = ds je
(1 − x2
)−1
2 d(1 − x2
) = s−1
2 ds = 2s
1
2 = 2 1 − x2
1
2
, (2.6)
3
dostaneme
arcsin x dx = x arcsin x +
√
1 − x2.
Příklad 2.8. Vypočtěme (arcsin x)2
dx.
Řešení. Podobně příkladu 2.7
v′
1 ·
u
(arcsin x)2
dx =
v
x
u
(arcsin x)2
−
v
x
u′
2 arcsin x
√
1 − x2
dx.
(2.7)
Ve výsledku opět integrujme po částech s u = arcsin x, v′
= −2x√
1−x2
(t. j. tak, aby byl
zderivován zase člen s arcsin x); dle (2.6) bude v = −2x√
1−x2
dx = 1√
1−x2
d(1 − x2
) =
2
√
1 − x2 (s implicitní substitucí 1 − x2
= s) a tudíž
v′
−2x
√
1 − x2
u
arcsin x dx =
v
2
√
1 − x2
u
arcsin x −
v
2
√
1 − x2
u′
1
√
1 − x2
dx
= 2
√
1 − x2 arcsin x − 2x.
Dosazením do (2.7) dostaneme
(arcsin x)2
dx = x (arcsin x)2
+ 2
√
1 − x2 arcsin x − 2x.
§ 2.2. Metoda integrace s pomocí nové proměnné (substituce)
Metoda integrace s pomocí nové proměnné, jak říká její název, je založena na zavedení
nové integrační proměnné, např. t, místo původní proměnné x prostřednictvím určitého
vztahu typu x = φ(t) anebo t = ψ(x) (tzv. substituce). Aplikujeme-li tuto substituci
v nějakém integrálu g(x) dx, po vyloučení původní proměnné x z integrandu g(x) a
diferenciálu dx dostaneme jiný integrál podle nové proměnné. Substituci lze hodnotit jako
úspěšnou, dostaneme-li ve výsledku integrál v nějakém smyslu jednodušší nebo vhodnější
pro další úpravy (je-li možné substituci provést). Po výpočtu pomocného integrálu podle
nové proměnné je potřeba se vrátit k proměnné původní.
§ 2.2.1. Princip integrace s pomocí nové proměnné
Derivujeme-li složený výraz tvaru F(φ(t)), dle řetězového pravidla máme
d
dt
F(φ(t)) = F′
(φ(t)) φ′
(t).
Integrací tohoto vztahu (za předpokladu spojitosti funkcí f, φ a φ′
) bezprostředně dostá-
váme
f(φ(t)) φ′
(t) dt = F(φ(t)) + C, (2.8)
kde f = F′
. Jelikož F je funkcí primitivní pro f, platí F(x) = f(x) dx a tudíž lze vztah
(2.8) zapsat ve tvaru
f(φ(t) φ′
(t) dt = f(x) dx, (2.9)
kde v integrálu na pravé straně po jeho výpočtu za x dosadíme x = φ(t). Připomeneme-li
si pojem diferenciálu, můžeme tuto skutečnost vyjádřit názornějším vzorcem
f(φ(t)) dφ(t) = f(x) dx, (2.10)
4
jenž je ekvivalentní s (2.9).
Diferenciálem funkce f v bodě x je výraz
df(x) = f′
(x) dx. (2.11)
Z hlediska výpočtů je zde pohodlné tlumočit výraz „f′
(x) dx“ jako „f′
(x)· dx“. Připomíná
to také historické označení derivace: f′
(x) = df(x)
dx
, z něhož (2.11) obdržíme formálním
vynásobením diferenciálem nezávisle proměnné dx. Z diferenciály se pracuje, v podstatě,
stejné jako s odpovídajícími derivacemi.
Shrnutím uvedených úvah obdržíme takovou větu.
Věta 2.9 (o integrací s pomocí substituce). Buďte f funkce spojitá na intervalu (a, b)
a φ funkce definovaná na intervalu (α, β) a mající v každém jeho bodě derivaci, přičemž
φ(t) ∈ (a, b) pro všechna t ∈ (α, β). Potom pro každé t ∈ (α, β) platí uvedené výše rovnice
(2.9), (2.10), dosadíme-li na jejich pravých stranách po výpočtu integrálu x = φ(t).
Toto znamená, že pokud má integrand tvar f(φ(t)) φ′
(t) s nějakou diferencovatelnou
funkcí φ, pak je výsledek jednoduše integrálem z f s dosazeným místo argumentu výrazem
φ(t). Stačí tedy odvodit integrál z f.
Na vzorcích (2.9), (2.10) je založena tzv. substituční metoda vypočtu integrálu. Vztah
x = φ(t) vyjadřuje zavedení nové proměnné t, což objasňuje název metody.
Příklad 2.10. Vypočtěme cos3
t sin t dt.
Řešení. Jelikož sin t je derivací výrazu − cos t, lze napsat
cos3
t sin t = cos3
t (− cos t)′
= − cos3
t (cos t)′
,
což má tvar f(φ(t)) φ′
(t) s φ(t) = cos t a f(s) = −s3
. Proto dle vzorce (2.9) je
cos3
t sin t dt = − cos3
t (cos t)′
dt = − s3
ds = −
1
4
s4
+ C,
kde s = cos t a C je libovolná konstanta. Integrál je tedy vypočítán a zbývá se jen vrátit
k původní proměnné t, t. j. v získaném výsledku za s dosadit cos t:
cos3
t sin t dt = −
1
4
cos4
t + C.
Téhož výsledku dosáhneme s využitím vzorce (2.10): položíme-li cos t = s, bude
ds = d(cos t) = − sin t dt a tudíž sin t dt = − ds a cos3
t sin t dt = − cos3
t d(cos t) =
− s3
ds, což vede na již odvozený vzorec. □
§ 2.2.2. Způsoby využití metody substituce
Metody substituce, založené na rovnicích (2.9), (2.10), lze užít dvojím způsobem v
závislosti na tom, ctěme-li rovnici zleva doprava nebo opačně.
1. způsob
Máme-li vypočíst integrál, jenž se podařilo upravit na tvar f(φ(t)) φ′
(t) dt nebo,
což je totéž, f(φ(t)) dφ(t), pak ho s pomocí substituce φ(t) = x převedeme na integrál
f(x) dx, v němž pak po výpočtu zpětně dosadíme x = φ(t). Je-li možné f(x) dx
vypočítat, bude úloha integrace vyřešena.
Úspěch tohoto postupu se určuje tím, zda se podaří výraz pod znakem integrálu
vyjádřit ve tvaru f(φ(t)) dφ(t) nalezením vhodné funkce φ. Je to obecně nesnadný ukol,
5
vyžadující určité zkušenosti. V některých případech je volba substituce zcela zřejmá
(typickým je příklad 2.10), v jiných hledání vhodné substituce vyžaduje úsilí.
2. způsob
Máme-li vypočíst integrál f(x) dx, můžeme se pokusit najít vhodnou substituci
x = φ(t) tak, aby výsledný integrál podle nové proměnné f(φ(t)) dφ(t) byl v něčem
výhodnější než ten výchozí. Jestliže nový integrál dokážeme vypočíst, ve výsledku bude
potřeba vykonat zpětnou substituci (vrátit se k původní proměnné x).
Poslední krok se zpětnou substitucí v sobě ukrývá určitou jemnost: ve výsledném
integrálu totiž musíme všude vyjádřit t přes x, což není vždy možné, jelikož vykonaná
substituce má tvar x = φ(t). Pro tento případ věta 2.9 vyžaduje upřesnění formou
dodatečné podmínky, která požadovanou vlastnost zaručí.
Věta 2.11. Předpokládejme, že φ ve větě 2.9 zobrazuje (α, β) na (a, b).2
Pak lze integrál
f(x) dx vypočíst s pomocí vzorců (2.9), (2.10), kde vlevo proměnnou t vyjádříme přes
x podle rovnice φ(t) = x.
Poznámka 2.12. Dodatečná podmínka věty 2.11 je jistě splněna, je-li φ monotonně
rostoucí nebo klesající (pak bude zpětné vyjádření t přes x jednoznačné: t = φ−1
(x);
obecně tomu tak být nemusí). Tento případ se v praxi vyskytuje nejčastěji.
Poznámka 2.13 (o provedení substituce v praxi). V praxi substituci v integrálu
f(x) dx
provádíme tak, že po zavedení nové proměnné vztahem typu x = φ(t) (anebo t =
ψ(x)) původní proměnnou x v integrandu vyjádříme přes novou proměnnou t. Zároveň
vyjádříme diferenciál dx přes dt: je-li x = φ(t), bude dx = φ′
(t) dt; pro substituci typu
t = ψ(x) zapíšeme dt = ψ′
(x) dx, kde v ψ′
(x) rovněž vyjádříme x přes t (v tomto kroku v
konkretních případech může být výhodnější postupovat trochu jinak; pozorně se podívejte
na příklad 2.15). Oboji pak formálně dosadíme do f(x) dx. Po výpočtu se má provést
substituce zpětná.
Samotná volba substituce je otázkou zkušenosti a v nemalé míře rovněž intuice. Pro
vhodnost substituce x = φ(t) může hovořit přítomnost v integrálu výrazu φ′
(t) dt nebo
podobných členů.
Příklad 2.14. Vypočtěme integrál (5x − 2)30
dx.
Řešení. Položíme-li 5x − 2 = t, dostaneme dt = d(5x − 2) = 5 dx, dx = 1
5
dt a proto
(5x − 2)30
dx = t30 1
5
dt =
1
5
t30
dt =
1
5
·
t31
31
+ C =
1
155
(5x − 2)31
+ C.
Poznamenejme, že užití substituce nám ušetřilo značné úsilí, jež bychom museli
vynaložit při výpočtu tohoto integrálu roznásobením závorky a pak integrací a úpravou
jednotlivých členů příslušného polynomu stupně 30:
(5x − 2)30
dx = (530
· x30
+ . . . ) dx = 931322574615478515625 ·
x31
31
+ . . .
2Toto znamená, že (a, b) je právě množinou všech hodnot φ(t) pro t ∈ (α, β), t. j. pro každý bod
x ∈ (a, b) platí x = φ(t) s nějakým t ∈ (α, β). Taková zobrazení se nazývají surjekce.
6
atd. □
Příklad 2.15. Vypočtěme integrál
xe−3x2
dx.
Řešení. Je zřejmé, že d(x2
) = 2x dx, d(−3x2
) = −3 · 2x dx = −6x dx, odkud
x dx = −1
6
d(−3x2
). Pak bude3
e−3x2
x dx = e−3x2
−
1
6
d(−3x2
) = −
1
6
xe−3x2
d(−3x2
) = −
1
6
e−3x2
+ C.
Poznamenejme, že zde bylo z praktického hlediska vhodné pro vyloučení proměnné x
vyjádřit rovnou výraz x dx, nikoliv zvlášť x a dx. Jinak bychom museli vyjádřit x přes t:
x2
= −1
3
t, x = ± −t
3
= ± 1√
3
√
−t a použit tento vztah pro výpočet diferenciálu dx:
dx = ±
1
√
3
d
√
−t = ±
1
√
3
√
−t
′
dt = ±
1
√
3
1
2
√
−t
(−1) dt,
kde znaménko v ± bereme stejné jako ve vzorci pro x. Pak bude
x dx = ±
1
√
3
√
−t · ±
1
√
3
1
2
√
−t
(−1) dt = −
1
6
dt,
což jsme již dříve odvodili mnohem rychleji. Tento výpočet je však zcela zbytečný, neboť
jsme potřebovali vyjádření pouze pro výraz x dx (jiné členy v integrálu totiž nejsou). □
§ 2.2.3. Příklady
Příklad 2.16. Vypočtete
(arcsin x)3
√
1 − x2
dx.
Řešení. Výraz upravme takto:
(arcsin x)3
√
1 − x2
dx = (arcsin x)3
(arcsin x)′
1
√
1 − x2
dx.+
Nabízí se myšlenka položit t = arcsin x, pak bude dt = 1√
1−x2
dx a tudíž
(arcsin x)3
√
1 − x2
dx = t3
dt =
1
4
t4
+ C =
1
4
(arcsin x)4
+ C.
Příklad 2.17. Vypočtěme
1
(1 + x2)3
dx.
Řešení. Připomeňme si goniometrický vzorec
1 + tg2
x =
1
cos2 x
. (2.12)
3Provádíme-li odpovídající substituci explicitně, vychází t = −3x2
, dt = −6x dx, x dx = −1
6 dt,
e−3x2
x dx = −
1
6
et
dt = −
1
6
et
+ C = −
1
6
e−3x2
+ C.
7
Zaveďme novou proměnnou t vztahem x = tg t. Bude dx = d(tg t) = 1
cos2 t
dt, (1 + x2)3
=
(1 + tg2
t)
3
2
= 1
(cos2 t)
3
2
= 1
cos3 t
a dostaneme
1
(1 + x2)3
dx = cos3
t
1
cos2 t
dt = cos t dt = sin t.
Nyní potřebujeme vykonat zpětnou substituci a se vrátit k původní proměnné. Vyjádřeme
tedy sin t přes x s pomocí vzorce (2.12): 1
1+tg2 t
= cos2
t = 1 − sin2
t,
sin2
t = 1 −
1
1 + tg2
t
=
tg2
t
1 + tg2
t
=
x2
1 + x2
.
Ve výsledku obdržíme
1
(1 + x2)3
dx =
x
√
1 + x2
+ C.
8