PŘEDNÁŠKA 3 Integrace racionální lomené funkce § 3.1. Racionální lomené funkce Definice 3.1. Racionální lomená funkce je funkce daná předpisem f(x) = ^, (3.1) q(x) kde p je polynom stupně n a q je polynom stupně m. Definičním oborem takové funkce je množina R \ {c\, c2, ■ ■ ■, cm}, kde c\, c2, ■ ■ ■, cm jsou kořeny polynomu q ve jmenovateli vzorce (3.1). § 3.1.1. Ryze a neryze lomené funkce Definice 3.2. Racionální lomená funkce / se nazývá ryze lomená, je-li n < m. V ostatních případech (t. j. jestli m > n) říkáme, že je to funkce neryze lomená. Např. funkce x2+l, *^^j~3 jsou ryze lomené a ^y, ^f^j jsou neryze lomené. VĚTA 3.3. Každou neryze lomenou racionální funkci lze vyjádřit jako součet polynomu a ryze lomené funkce. Toto lze vždy provést dělením polynomů. PŘÍKLAD 3.4. Funkce daná předpisem x i-* ^f^3 je neryze lomená. Vydělíme-li1 polynom 2x3 + 3 polynomem x3 + x: 2x3 +3 x3 + x — 2x3 — 2x 2 - 2x + 3 obdržíme rozklad dané funkce na součet polynomiální a ryze lomené části: 2x3 + 3 3 - 2x —- = 2 + —-. xó + x xó + x § 3.1.2. Parciální zlomky Pro nejjednodušší ryze lomené výrazy se užívá názvu parciální (nebo částečné) zlomky, a to z toho důvodu, že ty slouží jako jednotlivé části rozkladů libovolných ryze lomených výrazů. Uveďme jednoduchý příklad, na němž lze myšlenku snadno pochopit. 1 Připomeňme si, že je postup při dělení polynomů podobný postupu při běžném ručním dělení čísel. Je potřeba oba dva polynomy upravit a seřadit mocniny sestupně. Pak pracujeme s koeficienty polynomů, v podstatě, jako kdyby to byla desetinná místa. PŘÍKLAD 3.5. Zjednodušme lomený výraz 1 x2 - 1 Řešení. Jmenovatelem tohoto ryze lomeného vyřazuje (x — \){x + 1). Lze proto vyslovit hypotézu, že je pravděpodobně lineární kombinací výrazů ^-j-j- a ^-j-j-: 1 1 A B + x2-l (x-l)(x + l) x-1 x + ť Po úpravě na společného jmenovatele je zřejmé, že toto bude platit právě tehdy, když při libovolném x je A(x + l) + B(x-l) = l, (3.2) což znamená rovnost dvou lineárních polynomů. Dva polynomy jsou totožné právě tehdy, když mají stejné koeficienty. Přirovnáním koeficientů dostaneme A + B = O, A — B = la tudíž bude2 A = \, B = -\. Potom 1 1111 (3.3) (x-l)(x + l) 2x-\ 2x + l což je hledaná lineární kombinace výrazů ^-j-j- a ^-j-j-. □ Rovnost (3.3) je příkladem rozkladu ryze lomeného výrazu na součet elementárních ryze lomených výrazů (parciálních zlomků). Tento postup lze zobecnit na libovolné ryze lomené výrazy (věta 3.8). Definice 3.6. Parciální zlomky jsou ryze lomené výrazy následujících tvarů: (1) , Á ,fc,kdefc = 1,2,... (x — c)K Ax+ B , , (2) —--—r, kde k = 1,2,... a polynom x + a x + p má záporný diskriminant (x2 + ax + p)k (t.j.a2-^ <0) PŘÍKLAD 3.7. Příklady parciálních zlomků j sou j^ys, (x2_^+1)2- Naopak, |^|, 2 parciálními zlomky nejsou. Budiž /(x) = ryze lomená. VĚTA 3.8. Vyjádřeme q{x) ve tvaru součinu výrazů typu (x — c)k a (x2 + ax + /3)m, kde a2 < 4/3 (t. j. diskriminant je záporný). Pak platí ^ = S. (3.4) kde S je součet nějakých parciálních zlomků, jejíchž typ a počet se určuje jednotlivými členy rozkladu jmenovatele q(x) takto: (1) obsahuje-li rozklad q(x) člen (x — c)k, pak je potřeba do S přidat vyraz Ai A2 Ak + 7-1TT + ---7--TT-> (3-5) x — c (x — c)2 (x — c)k' Mohli bychom uvažovat i takto: vztah (3.2) má platit pro všechna x a tudíž, mimo jiné, i pro kořeny polynomu ve jmenovateli (čísla —1 a 1). Dosazením do (3.2) x — ±1 dostaneme A + B — O, A — B — 1 atd. 2 (2) obsahuje-li rozklad q (x) člen (x2 + ax + 6)k, pak je potřeba do S přidat vyraz Aix + Bx Akx + Bk x2 + ax + 6 (x2 + ax + 6)k Koeficienty A\, B\, A2, B2 atd. po převedení na společného jmenovatele vypočítáme z podmínky, že má platit (3.4). Věta 3.8 znamená, že, zvolíme-li správně typy parciálních zlomků, jež do rozkladu S patří, pak neznámé koeficienty výpočtem vždy jednoznačně určíme tak, aby platila požadovaná rovnice (3.4). Poznámka 3.9 (o určení koeficientů rozkladu na parciální zlomky). Neznámé hodnoty koeficientů v rozkladu na parciální zlomky vypočítáme řešením odpovídající soustavy lineárních algebraických rovnic. Tyto rovnice získáme jedním z následujících způsobů nebo jejich kombinací: Přirovnáním koeficientů u mocnin. Součet parciálních zlomků převedeme na společného jmenovatele a přirovnáme čitatel k čitateli původního výrazu . Vzniká tak rovnost dvou polynomů, jež platí, jsou-li sobě rovny koeficienty u jednotlivých mocnin x°, x1, x2 atd. Přirovnáme-li odpovídající koeficienty z levé a pravé strany rovnosti, obdržíme soustavu rovnic pro určení hodnot koeficientů. Dosazením kořenů jmenovatele. Soustavu rovnic pro určení hodnot koeficientů lze obdržet i tak, že do rovnosti čitatelů postupně dosadíme nějaké hodnoty x (nejlépe začít u kořenů jmenovatele, neboť tak řada členů ihned zmizí). § 3.1.3. Integrál racionální lomené funkce Jsou to integrály tvaru ľ Pix) dx J q(x) kde p je polynom stupně n a q je polynom stupně m (takový integrand se nazývá racionální lomenou funkcí). Není-li funkce ryze lomená (t. j. n > m), integrand dělením polynomů upravíme na součet polynomu a ryze lomené funkce. Polynomy se integrují velice snadno a tudíž stačí rozebrat pouze případ ryze lomené funkce, když platí n < m. § 3.1.3.1. Integrace ryze lomené funkce Pro integraci ryze lomené funkce dle věty 3.8 vypočítáme její rozklad na součet parciálních zlomků,3 jejichž integrály buď jsou tabulkové nebo se dají na tabulkové zredukovat (podrobněji viz § 3.1.3.2). Připomeneme si princip rozkladu na parciální zlomky. Tvrzení 3.10. Vyjádříme-li jmenovatel q(x) ve tvaru součinu výrazů typu (x — c)k a (x2 + ax + 6)k (kde a2 < 46), rozkladem podílu na parciální zlomky bude součet výrazů typu -^L + y~zt\2 + • • • / Dk\ki odpovídajících každému výskytu v rozkladu členu (x — c)k, a X C \X C) yX C) výrazů typu +■■■+ odpovídají členům (x2 + a x + 6)k. Koeficienty se v různých parciálních zlomcích liší a jejich hodnoty je třeba vypočítat z podmínky, že všechny vypsané členy mají v součtu dávat původní funkci (převedeme vše na společného jmenovatele a zajistíme, aby byl čitatel rovný p(x)). 3Parciální zlomky jsou nejjednodušší ryze lomené funkce typů ^x^k nebo ^i^^^k» kde k — 1,2,... a polynom x2 + ax + P má záporný diskriminant (t. j. a2 — 4/3 < 0); viz § 3.1.2. Poznamenejme, že jmenovatelé (x — c)k a (x2 + ax + /3)k zde popisují všechny možné typy členů v rozkladu polynomu na součin kořenových činitelů, když ho zapisujeme bez použití komplexních čišel. 3 Dovedeme-li nalézt kořeny polynomu ve jmenovateli ryze lomeného výrazu, jeho integraci pomocí tvrzení 3.10 můžeme vždy zredukovat na integraci parciálních zlomků. PŘÍKLAD 3.11. Vypočtěme integrál dx x2 — a2 Řešení. V příkladě 3.5 jsme odvodili, že pro integrand platí rozklad (3.3) a tudíž dx lil 1 ľ 1 f dx = 1 [ j_dx_ 1 [ J x2-\ 2J x-l X 2 J x + 1 dx 1 , , 1 , - In x — 1--ln x + 1 2 1 1 2 1 1 1 -ln 2 x 1 (3.7) x + 1 Vzorec (3.7) platí v intervalech, neobsahujících body 1 a —1. Pak dle (3.7) ľ dx 1 ľ dx _ 1 ľ d(f) _ 1 1 J x2-a2 'ä2 J (L)2- i ~ ä/ (*)2 _ i ~ ä 2 ln d(g) Poslední rovnost platí v intervalech, neobsahujících a a —a. PŘÍKLAD 3.12. Vypočtěme integrál dx £_ 1 a £ + 1 a 1 = — ln 2a x — a x + a □ / xM 1 Řešení. Jedná se o integraci ryze lomené funkce, využijme tedy rozkladu integrandu na parciální zlomky dle tvrzení 3.10. Rozklad polynomu ve jmenovateli na součin reálných kořenových činitelů je (x2 — l)(x2 + 1) = (x — l)(x + l)(x2 + 1) a proto dle tvrzení 3.10 lze zvolit příslušné konstanty tak, aby platilo 1 1 + B + Cx + D x4-l (x - l)(x + l)(x2 + 1) x-l x + 1 x2+l Po převedení výrazů vpravo na společného jmenovatele obdržíme, že pro všechna x musí být l=A(x+ l)(x2 + 1) + B(x - l)(x2 + 1) + (Cx + D)(x - l)(x + 1). (3.8) Dosadíme-li5 do této rovnosti kořeny jmenovatele x = lax = —1, obdržíme rovnice 1 = 4 A, 1 = —4B, odkud ihned A = |, B = — |. Zbývá tedy určit hodnoty C, D. Jelikož to, že pro všechna x platí (3.8), znamená rovnost dvou polynomů, musí tyto polynomy mít stejné koeficienty. U polynomu na pravé straně rovnice (3.8) koeficient u x° je A — B + D a koeficient ux1 je A + B — C 1. Parciální zlomky 2. druhu U parciálních zlomků 2. druhu , 2^c+'la\k^ k = 1,2,..., bývá integrace technicky složitější, ovšem také je vždy možná. V praxi zvláště často potkáváme rozklady na parciální zlomky, skládající se z členů typů a x2^+xB+fi ■ Případ k = 1 Jedná se o parciální zlomek ^*+B,R , kde je diskriminant polynomu x2 + ax + záporný:6 a2 < 4/3 a polynom proto lze převést na tvar součtu čtverců. Standardními úpravami dostaneme7 x2 + ax + p = (x + Š)2 + r]2, kde je £ = ^a, r\ = y P — \®2, a integrál zapíšeme ve tvaru ľ Ax + B _ ľ Ax + B J x2 + ax + p X ~ J (x + %)2 + t]2 X' Ve jmenovateli je polynom kvadratický a v čitateli — polynom lineární. Upravme tedy lomený výraz tak, aby v čitateli vznikla derivace jmenovatele ((x + £)2 + r]2) = 2(x + £) = 2x + a: Ax + B _ A 2x + 2f _ A2x + a + -a (x + ^)2 + r]2 2(x + ^)2 + r]2 2 (x + Š)2 + r]2 6V opačném případě bychom dovedli tento polynom dále rozložit na součin reálných kořenových činitelů a tím úlohu zredukovat na předchozí případ parciálních zlomků 1. druhu. 7x2 + ax + = x2 + 2 ■ x ■ \a + = x2 + 2 ■ x ■ \a + \a2 + - \a2 = (x - \a)2 + - \a2. 5 Při integrací dostaneme součet dvou integrálů dx ľ Ax + B _ A ľ 2x + a A Í2B \ ľ (x + £)2 + í?2' přičemž obojí dovedeme vypočítat: J (x + Š)2 + r]2 J (x + Š)2 + r]2 vv ,; a dx ľ d(x + £) 1 x + i- f dx _ ľ d(x +1) _ 1 J (x + Š)2 + ri2 J (x + Š)2 + ri2 r)WCg r\ Integrál f X^^XB+^ dx tedy je lineární kombinací členů s logaritmem jmenovatele a arcus tangens posunutého argumentu. Případ k > 1 V případě, když k > 1, je výpočet integrálu j (x2+ax+p)k dx technicky složitější (pro komplikované výpočty se takovými případy zabývat nebudeme; vzorce však lze dle potřeby nalézt v literatuře). Vyčleníme-li v Ax + B derivaci (x2 + ax + fi)' = 2x + a, můžeme integrál 2x + a dx (x2 + ax + p)k vypočíst substitucí x2 + ax + /3 = t. Při úpravě však vzniká také integrál tvaru = f ( 2 1 i\káx-J (x2 + ľ]2)k Pro tyto integrály lze odvodit rekurentní formuli, vyjadřující 7/t(x) přes Ik-i (x). PŘÍKLAD 3.14. Vypočtěme integrál 3x3 + x2 - 9x - 3 / x2 + x + 1 Řešení. Dělení polynomů 3x3 + x2 - 9x - 3 — 3x3 — 3x2 — 3x dx. x2 + x + 1 3x-2 - 2x2 -\2x - 3 2x2 +2x + 2 dává Pak bude - lOx - 1 3x3 + x2 - 9x - 3 10x+l = 3x-2 x2 + x + 1 x2 + x + 1 3x3 + x2 - 9x - 3 , /* x , f 10x + l ľ 3xó + x1 - 9x - 3 C N f /---dx = (3x-2)dx- J x2 + x + l J K ' J = ^x2 -2x- j x2 + x + 1 lOx + 1 dx x2 + x + 1 dx. Polynom x2 + x + 1 má záporný diskriminant a se převádí na součet čtverců: x2 + x + 1 = x2 + 2x± + \ + | = (x + \)2 + f. Derivací x2 + x + 1 je (x2 + x + 1)' = 2x + 1, proto poslední integrál upravme takto: lOx + 1 , , ľ 2x + i , ^ ľ 2x + 1 - 1 + i /" 10x + 1 /" 2x + i ľ / -dx = 5 / —-^dx = 5 / 7x2 + x + l J x2 + x + 1 J x2 + x + 1 4 dx r ľ 2x + 1 r ľ -f = 5 / —-dx + 5 / —---dx y x2 + x +1 y x2 + x +1 = 5 r d(x2 + x + i) r i J x2 + x + 1 J dx = 5 ln(x2 + x + 1) - 4 j -— ^ ^ dx. x2 + x + 1 1 (x + f)2 +3 Pro / (x+ľ)2+3 dx bude f (x + \)2+37dX = f 1\ 2 ( 2 / 1 d x H— ) = —= arctg —-= x H— (x + i)2 + I i (x + i)2+(f)2 V 27 73 &VV^ í 2 1 2 = ~ (~) • J x2 + a2 a \a/ V 2 / Využili jsme vzorce 7