PŘEDNÁŠKA 4 Integrál racionální lomené funkce a integrály, jež se na něj převádí Z neryze lomené funkce lze dělením polynomů vyčlenit polynomiální část, ve zbytku pak obdržíme funkci ryze lomenou. Výpočet integrálu ryze lomené funkce lze převést na integraci parciálních zlomků, dokážeme-li rozložit jmenovatel na součin kořenových činitelů; pak lze považovat úlohu integrace za vyřešenou. Je tedy potřeba umět integrovat jednotlivé parciální zlomky. § 4.1. Integrace parciálních zlomků Parciální zlomky 1. druhu Integrace parciálních zlomků 1. druhu , .k je jednoduchá: / (x-c)k A \ A ln \x — cl pro£ = l; dx — ' (x - c)k )Af(x-c)k d(x - c) = YZfr(x - c)1 k pro k > 1. Parciální zlomky 2. druhu U parciálních zlomků 2. druhu ^2^^"+^)fc' ^ = 1 > 2> • • • > bývá integrace technicky složitější, ovšem také je vždy možná. V praxi zvláště často potkáváme rozklady na parciální zlomky, skládající se z členů typů ^x^k a x^^xB+p • Případ k = 1 Jedná se o parciální zlomek ^_*+B,R , kde je diskriminant polynomu x2 + ax + záporný:1 a2 < 4/3 a polynom proto lze převést na tvar součtu čtverců. Standardními úpravami dostaneme2 x2 + ax + p = (x + Š)2 + yf, kde je £ = ^a, r\ = y j3 — \ct2, a integrál zapíšeme ve tvaru ľ Ax + B _ ľ Ax + B J x2 + ax + p X ~ J (x + %)2 + t]2 X' Ve jmenovateli je polynom kvadratický a v čitateli — polynom lineární. Upravme tedy lomený výraz tak, aby v čitateli vznikla derivace jmenovatele ((x + £)2 + r]2) = 2(x + £) = 2x + a: Ax + B A 2x + 2f Alx + a + ^-a (x + £)2 + ľ]2 2(x + £)2 + ľ]2 2 (x + £)2 + ľ]2 1V opačném případě bychom dovedli tento polynom dále rozložit na součin reálných kořenových činitelů a tím úlohu zredukovat na předchozí případ parciálních zlomků 1. druhu. 2x2 + ax + = x2 + 2 ■ x ■ \a + = x2 + 2 ■ x ■ \a + \a2 + - \a2 = (x - \a)2 + - \a2. 1 Při integrací dostaneme součet dvou integrálů ľ Ax + B _ A ľ 2x + a A Í2B \ ľ dx J (x + Š)2 + ri2 X ~ 2 J (x + Š)2 + ri2 % + 2 \ T ~ " J j (x + + f' přičemž obojí dovedeme vypočítat: / 7-^-1 dx = / —,-^-T~ dx = ln ((x + £) + r\) J (x + Š)2 + r]2 J (x + Š)2 + r]2 v a í dX - í d^X + ^ - - arct X + ^ J (x + Š)2 + t]2 ~ J (x + Š)2 + t]2 ~ t] WC 8 ľ] Integrál f x2A^xB+p dx íedy Je lineární kombinací členů s logaritmem jmenovatele a arcus tangens posunutého argumentu. Případ k > 1 V případě, když k > 1, je výpočet integrálu f (x2+ax+p)k dx technicky složitější (pro komplikované výpočty se takovými případy zabývat nebudeme; vzorce však lze dle potřeby nalézt v literatuře). Vyčleníme-li v Ax + B derivaci (x2 + ax + fi)' = 2x + a, můžeme integrál / 2x + a dx (x2 + ax + p)k vypočíst substitucí x2 + ax + /3 = t. Při úpravě však vzniká také integrál tvaru = f í il 2,kdx-J (x2 + r\2)k Pro tyto integrály lze odvodit rekurentní formuli, vyjadřující 7/t(x) přes I^-i (x). PŘÍKLAD 4.1. Odvoďme vzorec pro 1 / dx. (x2 + a2)2 Řešení. Integrací po částech v / x2\a2 dx dostaneme x x2 + a2 x /l ľ 1 1 ľ '- - 2 —;-z dx = I —-- • 1 dx = —-- '"P — / (—2x (x2 + a2) ) '"P dx x2 + a2 J x2 + a2 x2 + a2 J v v ' ' /x2 x f x2 + a2 — a2 ;-r-r dx = —-- + 2 / —--—— dx (x2 + a2)2 x2 + a2 J (x2 + a2)2 + 2 í -r^—r dx - 2a2 f , „ 1 „x„ dx, J x2 + a2 J (x2 + a2)2 xz + az odkud / (x2 + a2)2 dX 2a2 (x2 + a2 + / x2 + a2 dX) 2a2 (x2 + a2 + a ^ (a)) " Příklady PŘÍKLAD 4.2. Vypočtěme integrál / 3x3 + x2 - 9x - 3 ■ dx. X2 + X + 1 Řešení. Dělení polynomů 3x3 + x2 - 9x - 3 — 3x3 — 3x2 — 3x X2 + X + 1 3x-2 2x2 - 12x - 3 2x2 + 2x + 2 - lOx - 1 dává 3x3 + x2 - 9x - 3 lOx + 1 3x -2- X2 + X + 1 X2 + X + 1 Pak bude /• 3x3 + x1 - 9x - 3 ľ , /• lOx + 1 /---dx = I (3x — 2) dx — I —-dx J x2 + x + l J J x2 + x + l = -x2 — 2x — I 2 J 10x + 1 dx. X2 + X + 1 Polynom x2 + x + 1 má záporný diskriminant a se převádí na součet čtverců: x2 + x + 1 = x2 + 2x\ + \ + | = (x + \)2 + f. Derivací x2 + x + 1 je (x2 + x + 1)' = 2x + 1, proto poslední integrál upravme takto: lOx + 1 , f 2x + i , _ /" 2x + 1 - 1 + i /" 10x + 1 /" 2x + i r / ^-dx = 5 / —-5— dx = 5 / j x2 + x +1 yx2 + x + i y X2 + X + 1 4 dx ľ 2x + 1 ľ -| 5 / —-dx + 5 / —-5--dx yx2 + x + i yx2 + x + i ľd(x2 + x + l)_ľ_1_dx J x2 + x + l Jx2 + x + l = 5 ln(x2 + x + 1) - 4 f-^-T dx. J (x + i)2 + | Pro / (x+i)2+i dx bude ľ 1 /" 1 / 1\ 2 / 2 / 1\\ / -í-r dx = / -^ d x H— = —= arctg —= x H— . J (x + i)2 + | i(x + i)2 + ^2 v V 73 Hvšv Využili jsme vzorce / ~r~;—2dx = - arctg (-)' y x1 + a2 a Vo/ ienž se dokáže velice snadno: f 7} 7 dx = \ f —\—dx = - f —\—d(-) (substituce J J x2+a2 a2 J (x^2_|_! a J íx\2^-i ^a' i = t, dx = adt). □ Obsahuje-li rozklad jmenovatele na součin více kvadratických polynomů se záporným diskriminantem (což znamená, že má násobné komplexní kořeny), je rozklad na parciální zlomky obtížnější. Takové případy pro zdlouhavé technické výpočty rozebírat nebudeme. Na ukázku uveďme jeden příklad, na kterém získáme i obecnou představu o těchto integrálech. PŘÍKLAD 4.3. Vypočtěme integrál dx f x4 + 1 Řešení. Výraz v integrandu je ryze lomený, ve jmenovateli je polynom sudého stupně x 4 + 1, jenž reálné kořeny nemá. Jeho rozklad na součin v reálném oboru tedy je x4 + 1 = (x2 + axx + Pi) (x2 + a2x + f}2), kde kvadratické polynomy v závorkách mají záporné diskriminanty. Přirovnáním koeficientů u x3, x° dostaneme ai+a2 = 0, /3i/32 = 1. Koeficienty u x2 jsou f>\ + fi2 + 0l\0l2 = 0. Nakonec, přirovnáme-li koeficienty u x1, dostaneme a.\f}2 + a2/3i = 0. Jelikož a2 = —1, /3i/32 = 1, musí být fii = fi2 = 1. Pak a\ = 2f$\ = 2. Zvolme ot\ = \/2, pak bude a2 = —\p2 a tudíž x4 + l = (x2 + 4lx + l) (x2 - V2x + l) . Rozkladem daného lomeného výrazu na parciální zlomky tedy bude 1 Aix + Bi A2x + B2 x4 + 1 x2 + V2x + 1 x2 - V2x + 1 Pro všechna x musí platit (Axx + #i) (x2 -