PŘEDNÁŠKA 5 Integrály, jež se převádí na integrál racionální lomené funkce Zde rozebereme některé typy integrálů, jež lze převést na integrál racionální lomené funkce (tzv. „racionalizovat"). § 5.1. Integrály typu / R(eaiX, eazX, . . . , ea"x) dx, kde R je racionální lomená funkce Integrály tvaru j R(eax)dx, kde R je racionální lomená funkce, lze vypočíst zavedením nové proměnné t = eax. Dostaneme dt = aeax dx, dx = dt = -r dt a tudíž j R(eax)dx = ^ J jR(ť)dt, což je integrálem racionální lomené funkce. Podobným způsobem lze upravit integrál tvaru J R(eaiX,ea2X,...,eanX)dx, v němž R je racionální lomená funkce n proměnných a a.\, a2,..., an jsou celá čísla: položíme-li t = ex, bude dx = j dt, j R(ea'x,ea2X,...,eanX)dx = j jR(tai, ŕ2,..., ŕ") dt, (5.1) kde pak opět integrujeme výraz racionální lomený. Jsou-li cti, ot2, ■■■,&„ soudělná, je vhodné položit t = eax, kde a je nej větší společný dělitel těchto čísel. V případě racionálních cti, cti, ..., a„ po vykonání stejné substituce vzniknou v (5.1) odmocniny t; bude to integrál typu f R(x, m\Jxrx, mZ/xr2,..., m\/xrn) dx, kde nti, ri, m2, ..., m„, rn jsou přirozená čísla (viz § 5.3). příklad 5.1. Vypočtěme C e6x + 3 / ~i-7dx- J e3x + 6 Řešení. Položíme-li t = e3x (neboli, což je totéž, x = | Int), bude dx = ^ dt a tudíž ľ e6x + 3 J 1 ľ t2 + 3 1 1 ľ t2 + 3 J 1 ľ / 2t - 1 \ / —-dx =---dt = - -dt = - 1 - 3- dí, J e3x + 6 3 J t+6 t 3Jt(t + 6) 3J\ t (t + 6) J i Protože ^ = 1 + Rozkladem ^ na částečné zlomky je ^ = -\) + f ^ a proto y ŕ(ŕŕ^5) dř = — | ln |ř | + ln |r + 6|. Po výpočtu a dosazení t = e3x dostaneme / e9X + 3 J 1 1 , , , 13 , , 1 3x 3 13 W 3* ^ dx = -ř + -ln \t\--ln \t +6 = -e3* + -x--ln (e3x + 6). e3x + 9 3 2 1 1 6 ' 3 2 6 § 5.2. Integrály typu / (cos x, sin x), kde je racionální lomená funkce Integrály, v nichž integrand je lomenou funkcí členů cos x a sin x: R(cosx, sinx) dx, (5.2) / lze vždy převést na integrál racionální lomené funkce anebo — v určitých případech — i vypočíst bezprostředně s pomocí elementárních úprav integrandu. § 5.2.1. Univerzální trigonometrická substituce S pomocí univerzální trigonometrické substituce í = tg|, (5.3) kde — ^ < t < integrál tvaru (5.2), kde R je racionální lomenou funkcí podle každého z argumentů, převedeme na integrál racionální lomené funkce. Využité v názvu slovo „univerzální" zdůrazňuje to, že tato substituce je účinná pro jakýkoliv integrál typu (5.2). Univerzální trigonometrickou substituci t = tg | provádíme podle vzorců l-t2 . 2t , 2dř dx =--, (5.4) cosx = --, sinx 1 + ř2' 1+ř2' t2 + 1 2 jež se snadno odvodí takto: x = 2 arctg t, dx = dt, t2+i cos2 f - sin2 f 1 - tg2 f 2 sin f cos f tg f cosx =---= -t4, sinx— — ° cos2 f + sin2 f l+tg2f cos2 f + sin2 f 1 + tg2 §' § 5.2.2. Speciální případy Pro některé často využívané typy integrálů, jež jsou speciální případy (5.2), lze pro integraci doporučit určité specifické techniky. § 5.2.2.1. Speciální trigonometrické substituce Užití univerzální substituce (5.3) je zpravidla spojeno s pracnějším výpočtem a proto je vhodné se napřed zamyslet, zda není možné integrál vypočíst snadněji. Často je užitečná následující rada. Úvaha 5.2. Je-li integrál ve tvaru (5.2), kde R je racionální lomená funkce dvou argumentů, mající jednu z vlastností: R(-u, v) = -R(u, v), R(u, -v) = -R(u, v), R(-u, -v) = R(u, v) (5.5) pro všechna (u, v), pak lze pro integraci využit jedné ze substitucí t = sinx, t = cosx resp. t = tg x. Substituce, doporučená úvahou 5.2, může být v praxi vhodnější než univerzální trigonometrická substituce (5.3). příklad 5.3. Vypočtěme integrál / dx cos x Uveďme tři způsoby řešení (všimněme si různých tvarů výsledků!). Řešení 5.3.1. Integrand je racionální funkcí výrazu cosx a tudíž lze využit obecnou trigonometrickou substituci t = tg |. Dle vzorců (5.4) obdržíme í Jí_ = 11+JÍ2 f j COSI J 1 -t2 t2 + 1 J 1 -t2 U integrálu f rozkladem na částečné zlomky dostáváme -^—^ = ~ 2F+T' f dt 1 f 1 1 f 1 /--= - / -dt-- -dř J t2-\ 2] t-\ 2J t + 1 1 , , 1 , -ln ř - 1--ln \t + 1 2 1 1 2 1 1 1 -ln 2 t - 1 t + 1 (5.6) a tudíž / dx 1 - = 2- ln cosx 2 ř + 1 = ln tgf+ 1 = ln sin f + cosf t - 1 tgf - 1 sin f -cos f = ln ln (sin ^ + cos f): sin2 f - cos2 I 1 + sinx cosx ln = ln 1 sin2 I + cos2 I + 2 sin I cos cos2 I - sin2 I cosx + tgx Řešení 5.3.2. Po vynásobení čitatele a jmenovatele členem cos x vzniká myšlenka zavést novou proměnnou vztahem s = sin x. Tuto substituci doporučuje i úvaha 5.2, jelikož R(u, v) = l/u je lichou funkcí podle u. Bude /dx ľ cosx ľ cosx ľ d (sin x) ľ ds cos x J cos2 x JI - sin2 x J 1 - sin2 x J 1 - s2' Pro poslední integrál použijme (5.6): / -= - ln I sin x — 11--ln | sin x + 11 = - ln cosx 2 2 2 sinx 1 sin x + 1 příklad 5.4. Vypočtěme integrál cos2 x sin3 x dx. Řešení 5.4.1. Využití univerzální substituce t = tg | dle vzorců (5.4) vede na integrál í 2 ■ 3 A ľ íl-t2\2 *t3 2 A ,£ f I cos x srn xdx = /-- -7 —--dř = 16 / ŕ(\-t2ý (i + t2r dt. Dostáváme tedy integrál neryze lomené funkce, přičemž i po vyčlenění ryze lomené části zůstává úloha výpočetně náročnou jakožto integrace parciálního zlomku s vysokým stupněm jmenovatele bez reálných kořenů. Zkusme proto raději najít jinou cestu. Řešení 5.4.2. Daný integrál má tvar (5.2) s R(u, v) = u2v3. Funkce R je lichá podle v a tudíž dle úvahy 5.2 použijme substituci t = cos x. Dostaneme dt = — sin x dx, + sin x = —dt, -dr j cos2 x sin3 xdx = j cos2 x sin2 x sin x dx = — j t2 (l — t2) dt = j ŕ dt — j t2 1 5 1 3 1 5 1 3 = -t--1 = - cos x--cos x, 5 3 5 3 což je výrazné jednodušší než příslušná integrace v řešení 5.4.1. □ § 5.2.2.2. Integrály f sin"x cosmx dx, kde n, m jsou celá čísla Integrály z příkladů 5.3, 5.4 jsou typu sin x cos x dx, dt f kde n, m jsou celá čísla. Je to speciální případ integrálu (5.2) a tudíž lze pro takový integrál vždy využít univerzální trigonometrické substituce. V některých případech však lze najít méně náročné a tudíž i lepší řešení. Mimo jiné, lze často využit speciální trigonometrické substituce dle úvahy 5.2. Případ, když jedno z čísel n, m je liché Je-li n = 2k + 1, lze napsat sin" x = sin2kx sin x = (l — cos2x)k sin x a zavést substituci t = cosx. Dostaneme dt = — sin x dx, sin x dx = — dt, -dr j sin2fc+1x cosmxdx = j (l - cos2x)fc cosmx sinx dx = j (\-t2)ktmdt, kde integrandem je racionální lomená funkce (při kladných k, m polynom). Podobně tomu v případě lichého m využijeme substituce t = sin x. Případ, když obě čísla n, m jsou sudá nebo lichá V tomto případě dle úvahy 5.2 lze aplikovat substituci t = tg x (anebo t = cotg x). Jsou-li n, m sudá, integrand obsahuje jen sudé mocniny kosinu a sinu, přičemž každá z nich — a rovněž i diferenciál dt = dx = (l + tg2x) dx — se racionálně vyjadřují přes tg x s pomocí vzorců COS jc V / 2 1 • 2 1 tg2* /c^ coszx =--—, sin x =--— =--—. (5.7) 1 + tg^x 1 + cotg^x 1 + tg^x V případě, když jsou obě čísla n, m lichá kladná, má integrand tvar sin xcos T x = sin x cos x sin x cos x = sin x cos x tgx cos x, kde lze opět využít vzorců (5.7).Je-li jedno z čísel n, m záporné, lze v integrandu vyčlenit výraz anebo £21*. Coi rovněž vede na hořeiší substituci. ros; r siin r 7 Případ, když n, m jsou sudá a nezáporná V tomto případě se integrand skládá z přirozených mocnin výrazů sin2 x a cos2 x. S pomocí vzorců cos2 x = - (1 + cos 2x), sin2 x = - (1 — cos 2x) dx (5.8) lze tyto mocniny snížit o polovinu, což další výpočty zjednoduší. Případ záporných n, m Je-li n = —k, m = —l s kladnými k a /, lze mocniny členů ve jmenovateli snížit úpravou /l /" sin2 x + cos2x /"l /"l —k-dx = I -t-dx = I —t—z-dx + I —r-dx. sin xcos'x J sin xcos'x J sin xcos'x J sin xcos/_2x § 5.3. Integrály typu / R (^x, "ýy^J^) kde ^ Je racionální lomená funkce Integrály tohoto druhu lze převést na integrál racionální lomené funkce zavedením nové proměnné t s pomocí substituce f = (5.9) yx + o Pro realizaci substituce potřebujeme sestrojit i substituci zpětnou, t. j. vyjádřit x přes t: tm (yx + S) = ax + p, (ytm - a) = p - 8tm, p-8tm x ytm - a a vypočíst diferenciál: d x = (j^áz^j dt, -m8tm~\ytm - a) - (J3 - 8tm)ymtm~x ^ aS-^y x dx =---—-dt = m--—t dt. (ytm-a)2 (ytm-a)2 Substituci lze provést, je-li a8 ^ /3y (v opačném případě j = j = X, = ^fsx+s = f znamená to však, že se jedná o integrand, v němž i^f^f fakticky není). příklad 5.5. Vypočtěme / x a dx. ?/x~ + 1 Řešení. Dle doporučeného vzorce (5.9) položme x = t3. Pak bude dx = 3t2 dt, t = Ifx, í —zž-dx = í ——3t2dt = 3 í ——dř, J 4/5Č+ 1 J t + l J t + l ' což je integrálem nery ze lomené funkce. Dělením polynomů t5 a t + 1 dostaneme t5 1 a proto / = ŕ -ť + tz-t + l t + l t + l * dx = 3 f (ŕ-ŕ + t2-t + 1--l-7)dt Vx + 1 J V t + lj = -t5 - -ŕ + ŕ - -t2 + 3t — 31n |ř + II 5 4 2 3 3 3 = -v/x?--v/xI + x--v/x2 + 34/x-31n|4/x + II. 5 4 2 Podobným způsobem lze integrovat některé obecnější výrazy, obsahující více členů s radikály. Je-li v integrandu několik výrazů typu ^ , (y^+g ) , ■ ■ - , kde q\, q2,... jsou racionální čísla, lze rovněž využít substituce (5.9), v níž zvolíme za m společný jmenovatel zlomků qx, q2, 5 příklad 5.6. Vypočtěme / s/xdx Řešení. Zaveďme ř vztahem x = ř6 (aby se „umocnilo" jak l/x, tak i *Jx). Pak bude dx = 6t5 dt, -s/x = ř3, l/x = ř2, a obdržíme integrál racionální lomené funkce proměnné ř: f Vx~dx Jí3 5j £ f ŕ / -T7=-= 6 / —-1 dt = 6 / —-dř. 74^+1 J ř2+l J t2 + \ Výraz -^-^ není ryze lomený, proto z něj dělením vyčleníme polynomiální část: -r - r t2+ 1 ř6-ř4 + ř2-l ř6 + ř4 ř4-ř2 - V t2 + \ a obdržíme ŕ-ŕ + t2-\ + t2+i . Pak bude ľ t , ľ / 6 d 7 , /" dř t7 t5 ŕ / —-dř = / (ř6 - ř4 + t2 - 1) dř + / —-=----1---t + arctg ř. J t2 + l J V ; i ř2 + 1753 S Po návratu k proměnné x dostaneme f 3^-^* = 6 í ^ 2 - 1 i i 16 + *f -xs + arctgX6 □ § 5.3.1. Integrály typu / R(x, y/ccx2 + fix + y) dx, kde R je racionálni lomená funkce Integrály tohoto typu se často vyskytují, jejich výpočet však je složitější. Pro a ^ 0 je vhodné převést kvadratický polynom na součet nebo rozdíl čtverců: ax2 + fix + y = a ((x + £)2 ± a2) v závislosti na tom, zda je jeho diskriminant kladný nebo záporný. Proto stačí umět pracovat s integrandy, obsahujícími členy typu ■s/x2 + a2, \Ja2 — x2, Vx2 — a2. K úpravě a výpočtu těchto integrálů lze využit různých způsobů, jejichž podrobnější popis dle potřeby nalezneme v odborné literatuře. Pro obecnou představu zmiňme se stručně o jednom z možných postupů, jenž je založen na trigonometrických substitucích. Integrál / R ^x, Vx2 + a2^j dx Zavedeme-li proměnnou ř vztahem x = atgř, bude x2 + a2 = d x = ^jdř a dostaneme integrál typu f i?(cos ř, sin ř) dř. PŘÍKLAD 5.7. Vypočtěme / dx s/x2 + a2' kde a > 0. Řešení. Připomeňme si vzorec tg2 x + 1 = —\— a zaveďme substituci x = atgt, t e (— §,§) Pak Vx2 + a2 = Ja2tg2t + a2 = a Vtg2í + 1 = -2- a dx = —dí, odkud COS £ cos / í dX - í 1 a dt - í át J Vx2 + a2~ J ^cos2í _7 cosi' Pro y využijme řešení 5.3.1 příkladu 5.3: ľ dt _ J cos í 1 — + tgí + K = ln cos t 1 + tg2í + tg í + K a tudíž /" dx J Vx2 + a2 ln ' x2 x 1 + —+ - az a + K = \a - + - V*2 + a2 lni x + yjx2 -\- a2\ + C, kde C = — lna. (5.10) □ Integrál / R ^x, \Ja2 — x2^ dx Vezmeme-li x = a sin ŕ, podobně hořejšímu dostaneme dx = acosřdř, a2 — x2 — a2 sin2 t = a2 cos2 t a dostaneme integrál typu f R(cos t, sin ť) dt. PŘÍKLAD 5.8. Pro a > 0 vypočtěme integrál j *Ja2 — x2dx. (5.11) Řešení. Integrál má smysl pro |x| < a. Položme x = a siní, kde —j- < f < §■. Bude dx acosfdf, Vx2 — a2 = y a2(l — sin2 f) = v'a2 cos2 t = a cosi (a > 0 a rovněž cosi > 0 pro —§ < t < j) a dostaneme j *Ja2 — x2 dx = j a cosi • a cosi dí = a2 j cos2 t dt = — j (1 + cos2f) dí 2 4 ,2 a2 a2 T a2 a2 a2 a2 —í H--/ cos2í d(2í) = —t -\--sin2í = —t H--siní cosi 2 4 7 ' 2 A 22 a l . r~->—i ■ i a ■ íx\ 1 —t —í H—a smí v az — az sin í = — arcsm — H—xwaz — xz. 2 2 2 W 2 Integrál / R {^x, Vx2 — a2^j d x V tomto případě lze položit x = Pak bude x2 dostaneme integrál typu f R(cost, sinť) dt. = a2tg21 + a1, dx = a^-dt a ° cos^ / PŘÍKLAD 5.9. Vypočtěme / Vx2 — a2 dj kde a > 0. Řešení. Položme x = Bude x2 = a2 tg2 t + a2, dx = a^Í-át, COS/ & ' > cos2/ /^-r-- ľ sin f 2 ľ sin f 2 T sin2 í v x1 — a1 dx = a j tg t ■ a-— dt = a j tg t-— dt = a j -r— dt J cos21 J cos21 J cos-31 2 ľ sin21 2 f sin21 = a I -— cosídí = a / -=-d (sin í) J cos4 í J (l-sin2í)2 = a2fjY^V2ás-a2frh-2^ kde po substituci sin í = s jsme dostali integrály parciálních zlomků. Integrál se takto podařilo racionalizovat. Vzhledem k nutnosti pracovat s parciálními zlomky v druhé mocnině je však pro výpočet tohoto integrálu vhodnější využít jiného postupu. Ve výpočtech tedy pokračovat nebudeme. 8