PŘEDNÁŠKA 6 Integrál určitý Pojmy primitivní funkce a integrálu neurčitého jsme zavedli při popisu operace opačné k derivování. Historicky však pojem primitivní funkce vznikl ve spojení s otázkou určení obsahu plochy rovinného útvaru, což vede na integrál určitý. Nyní se budeme zabývat integrálem určitým. Ukáže se, že oba dva pojmy spolu úzce souvisí, přičemž je dokonce přirozeněji tyto pojmy zavádět v opačném pořadí. Mluvíme-li o obsahu nějaké plochy, v elementární geometrii si obvykle představujeme trojúhelník, obdélník a obecněji různé útvary, jež lze z trojúhelníků sestavit. Jinak tomu je u vzorce pro obsah kruhu, avšak i ten se odvodil s pomocí konstrukce sjednocení „nekonečně úzkých" trojúhelníkových výsečí (byl v tom, samozřejmě, přechod k limitě). Pojem integrálu určitého zobecňuje myšlenku určení obsahu přibližným rozkladem figury na elementární dílce a jeho postupným zjemněním. § 6.1. Primitivní funkce a obsah plochy pod křivkou Odvození známého vzorce pro obsah kruhu s pomocí přiblížení pravidelnými mnohoúhelníky a jejich rozkladu na trojúhelníkové dílce využívá souměrnosti (dílce jsou o stejné ploše). Tyto úvahy selhávají v případě plochy jiného tvaru bez předpokladu její souměrnosti a proto je logické pro takové případy hledat nějakého obecnějšího postupu. Myšlenka, již zde lze využít, vede právě na pojem integrálu určitého. Uvádí ji Barrow a Newton v XVII st. Uvažujme nějakou spojitou funkci / jedné reálné proměnné. Její grafem je souvislá křivka. Položme si otázku určení obsahu plochy rovinného útvaru séSB^Qi, jenž leží pod touto křivkou nad nějakým omezeným intervalem [a, b] (viz obrázek 6.1).1 Takový geometrický útvar se občas nazývá křivočarý lichoběžník. Je-li křivka SS^ lomenou čarou, stačí pro výpočet obsahu plochy séSS^Qi vzorec pro obsah trojúhelníku, protože je taková plocha ve skutečnosti sjednocením konečně mnoha trojúhelníků. Otázkou však je, jak vypočíst obsah plochy s libovolným tvarem hranice SS'-é', přičemž v tomto případě si navíc uvědomíme, že nemůžeme ani přesně říci, co vlastně hledaným obsahem je — byl totiž definován jen pro trojúhelníky a útvary, jež se z ně skládají. I když je intuitivně jasné, že plocha pod souvislou křivkou obsah pravděpodobně má, k přesnější formulaci se dostaneme později. V tomto paragrafu tedy předpokládejme, že je pojem obsahu plochy rovinného útvaru daného typu korektně definován a má přirozeně očekávané vlastnosti: (1) obsah prázdného útvaru je roven 0; (2) pro plochy, tvořené sjednocením trojúhelníků, obdržíme výsledek shodný s obsahem, vypočteným metody elementární geometrie; 1Při pohledu na .jz/3éf£$) se přirozeně nabízí představa pozemku, z jedné strany ukončeného hranicí nepravidelného tvaru (potok, skála apod.). 1 (3) obsah plochy sjednocení dvou disjunktních útvarů je vždy roven součtu obsahů jednotlivých ploch. Budiž S(x) obsah plochy útvaru séSčťio' Qi', jehož pravá mez je na úrovni x (viz obrázek 6.1); definujeme tedy funkci S : [a, b] —► [0, oo). Obsah plochy pod grafem séSS^Qi v mezích a a b pak udává hodnota S(b). Očividně, S (a) = 0. Zvolme libovolné x mezi a a b. Posuneme-li x o nějaké 8 doprava, zvětší se obsah plochy na S(x + 8). Dle Weierstrassovy věty funkce spojitá na omezeném uzavřeném intervalu nabývá v nějakých bodech intervalu [x,x + 8] svých nej větší a nejmenší hodnoty. Z obrázku je zřejmé, že pro přírůstek obsahu S(x + 8) — S(x), což je obsah zašrafované plochy, platí 8m(x, 8) < S(x + 8)- S(x) < 8M(x, 8), kde m(x,8) a M(x, 8) značí nejmenší a nej větší hodnotu / v intervalu [x, x + 8]. Jelikož 8 > 0, lze tuto nerovnici napsat ve tvaru m(x, S) < S(X + *] ~ S(X) < M(x, 8). (6.1) o Budeme-li 8 neustále zmenšovat, díky spojitosti funkce / dostaneme m(x,8) —► f(x) a M(x, 8) —>• /(x) při 8 —>• 0 a tudíž vzhledem k nerovnici (6.1) bude ľ S(x + 8)- S(x) lim---= f(x). 8^0 8 Podle definice derivace tento vztah znamená, že /(x) = S'(x), t. j. S je funkcí primitivní k /. Různé primitivní funkce k / se mohou lišit jen o konstantní sčítanec a tudíž, vezmeme-li jakoukoliv funkci F, jež je primitivní k /, pak s nějakým C jistě bude S(x) = F(x) + C (6.2) pro všechna x z daného intervalu. Jelikož S(a) = 0, musí být F(a) + C = 0, t. j. hodnota konstanty C v (6.2) je C = —F{a) a platí S(x) = F(x) - F (a) pro a < x < b. Mimo jiné, obsah plochy pod grafem / v mezích a a b je S(b) = F(b) - F (a). (6.3) Takto jsme odvodili, že pro určení obsahu plochy křivočarého lichoběžníka v mezích a a b stačí nalézt funkci primitivní k / a vypočíst rozdíl jejich hodnot v bodech b a a. Vztah (6.3) je znám pod názvem Newton-Leibnizův vzorec. y M(x, S) m(x,ů) ---1ř ........................................................<éL. S(x) sá Q)1 a x x + S b Obrázek 6.1 2 Z výše uvedeného však stále není jasné, jak matematicky korektně určit, jestli nějaký křivočarý lichoběžník má obsah či nikoliv, a jak pojem jeho obsahu obecně definovat. Dále to upřesníme. § 6.2. Plocha pod křivkou a integrál kladné funkce Myšlenka, vedoucí na způsob výpočtu velikosti plochy pod libovolnou křivkou, spočívá v její přibližném nahrazení jednodušším útvarem s lehce vypočitatelnou plochou, a sice sjednocením malých obdélníků. Touto cestou vzniká definice pojmu velikosti plochy figury obecného tvaru a rovněž i možnost posoudit, zda daná plocha obsah má či nikoliv. Mějme spojitou funkci /, nabývající na [a,b] nezáporných hodnot. Uvažujeme-li „křivočarý lichoběžník", jež ohraničují souvislá křivka o rovnicí y = f (x), vodorovná souřadná osa a svislé přímky s rovnicemi x = a, x = b, k zavedení pojmu obsahu jeho plochy můžeme přistupovat takto. Zvolme v intervalu [a, b] libovolné body X\, X2, ..., xn-\ a zahrneme do ně i koncové body tak, aby bylo a = Xo < X\ < X2 < ■ ■ ■ < xn-\ < x„ = b. Tyto body rozdělí interval [a, b] na subintervaly; nazvěme tuto konstrukci rozdělením intervalu. Nad každým z těchto subintervalů [xk,Xk+i] můžeme sestrojit obdélník o výšce f(xk) (anebo /(x/t+i); vezměme např. vždy /(xk)). Sečteme-li obsahy všech těchto obdélníků, dostaneme n-\ /(**)(**+1 - Xk), (6.4) k=0 což lze považovat za přibližnou hodnotu obsahu křivočarého lichoběžníka (viz obrázek 6.2). Pro velké hodnoty n jsou všechny veličiny xk+i — Xk malé a tudíž sestrojené obdélníky dostatečně dobře kopírují tvar původní plochy. Proto, budeme-li počet bodů, vložených mezi a a b, zvětšovat, bude chyba přiblížení čim dal tím menší. Potom lze obsah křivočarého lichoběžníka chápat jako limitu součtů (6.4), když se počet bodů v rozdělení intervalu neustále zvětšuje. Výsledná limitní hodnota je určitým integrálem funkce / na intervalu [a,b] a se značí b f(x)áx. (6.5) Hodnoty a, b se nazývají dolní a horní meze integrálu. Symbol f, jehož začal užívat Leibniz, pochází z rukopisné podoby písmena S ve slově „Summa", a samotné slovo „integrál" pak zavedl Ioh. Bernoulli (podle lat. „celý"). Myšlenka integrálu se tedy odvíjí od součtů typu (6.4). Integrál určitý tedy udává obsah plochy křivočarého lichoběžníka a je limitní hodnotou součtů (6.4). Je potřeba však upřesnit detaily, tykající se zmíněného limitního přechodu. § 6.3. Integrální součty a definice integrálu Uvažujme funkci na [a, b] a nějaké libovolné rozdělení tohoto intervalu a = Xo < X\ < x2 < ■ ■ ■ < x„-i < x„ = b, (6.6) přičemž zde již vypustíme předpoklad o nezápornosti a spojitosti funkce. Hodnotu největší vzdálenosti mezi sousedními body A = max (xk+i - xk) 0 0: lim S = I, (6.8) jestliže k libovolně malému s > 0 lze najít 8E > 0 tak, aby při libovolném rozdělení intervalu o jemností A < 8E bylo \S -I\ < e, a to nezávisle na volbě bodů £0> £i> • • • ■ Totéž lze vyjádřit jazykem posloupností rozdělení intervalu. Uvažujeme-li posloupnost rozdělení intervalu o jemnostech A1; A2 atd. takovou, že je limm^+00 Xm = 0, můžeme rovnost (6.8) chápat tak, že pro libovolnou takovou posloupnost rozdělení intervalu konvergují odpovídající hodnoty součtu Si, S2, ... k / nezávisle na volbě bodů £0, £l5 .... Konečné číslo / v (6.8) se nazývá integrálem určitým f (x) dx. Funkce, pro níž existuje limita (6.8) a tudíž je korektně definován integrál (6.5), se nazývá integrovatelná v daném intervalu. Tvrzení 6.2. Funkce integrovatelná na omezeném intervalu musí být na tomto intervalu omezená. Důkaz. Vezměme libovolné rozdělení intervalu [a,b]. Je-li / neomezená na [a, b], pak je neomezená na nějakém subintervalu [xk, X/t+i] zvoleného rozdělení. Toto znamená, že existuje posloupnost bodu r1; r2, ... taková, že x^ < rm < Xk+i pro všechna m a limm^+00 /(rm) ■ +oo. Zvolíme-li postupně %k = ri, Šk = r2 atd., zjistíme, že konečná limita součtů (6.7) existovat nemůže. □ § 6.4. Horní a dolní součty Uvažujme součty 71 — 1 7! —1 S = J] Mk(xk+i - xk), o = mk(xk+i - xk), (6.9) k=0 k=0 kde Mjt, m/t značí největší (resp. nejmenší) hodnotu / na subintervalu [xk,Xk+i]. Jelikož předpokládáme spojitost funkce /, nabývá tato funkce svých extremálních hodnot v nějakých bodech subintervalu (v obecném případě bychom definovali Mk, nik jako její nejmenší horní a největší dolní meze). Součty (6.9) se nazývají horní a dolní součet (také součty Darboux). Je zřejmé, že S > a. Porovnáme-li vzorce (6.9) a (6.7), lze dokázat, že S, a jsou nejmenší horní a největší dolní meze všech možných integrálních součtů (6.7), uvažujeme-li libovolné způsoby volby bodů £0> £i> • • • ■ Platí tedy a < S < U. Tvrzení 6.3. Přidáme-li k rozdělení intervalu další body, hodnota a se nezmenší a S se nezvětší. Důkaz. Přidejme mezi Xk a Xk+i bod z. Obdržíme nové rozdělení, jemuž odpovídají určité hodnoty součtů a' a Součty S a £' se liší pouze u členů, odpovídajících subintervalu [xk,Xk+i]: S = ■■■ + Mk(xk+i -xk) + ..., E' = ■ ■ ■ + M'k(z - xk) + M^(xk+1 - z) + ..., kde M'k, M'k' značí horní meze / na [xk,z], [z, Xk+i]. Je zřejmé, že M'k < Mk, M'k < Mk a tudíž M'k{z - xk) + Mg(xk+i -z) < Mk(xk+i - xk), což dokazuje, že je X" < S. Podobně bude ď > a. □ Tvrzení 6.4. Vždy platí a < Z, (6.10) a to i v případech, když se a, S počítají podle různých rozdělení intervalu. Důkaz. Buďte ai, Si součty, odpovídající libovolně zvolenému rozdělení intervalu. Zvolme nějaké jiné rozdělení a sestrojme příslušné horní a dolní součty cr2, iľ2. Sjednotíme-li zvolená dvě rozdělení, obdržíme nové rozdělení, jemuž odpovídají součty cr3, X"3. Pak dle tvrzení 6.3 ^3 < ŽJi, 03 > 0\ a rovněž E3 < X"2, a3 > cr2. Jelikož a3 < X"3, dostaneme a tudíž 0\ < E2. □ VĚTA 6.5. Funkce / je integrovatelná na [a,b] právě tehdy, když lim(iľ -a) = 0. VĚTA 6.6. Funkce spojitá na omezeném intervalu je na něm integrovatelná. 5