PŘEDNÁŠKA 7 Integrál určitý II Integrál určitý nezáporné funkce udává obsah plochy křivočarého lichoběžníka, ohraničeného grafem této funkce, vodorovnou osou a mezními hodnotami argumentu. Definice integrálu jako limity integrálních součtů umožňuje rozšířit tento pojem na funkce libovolného znaménka. Dále lze definici rozšířit tak, aby bylo možné uvažovat fba f (x) dx pro a < b; pak podle definice f f(x)dx = - f f(x)dx. (7.1) Jb Ja Ve speciálním případě, když a = b, podle definice je f J a f (x) dx = 0. (7.2) Tvrzení 7.1 (nutná podmínka existence integrálu). Aby existoval integrál f (x) dx, musí být funkce / na intervalu [a, b] omezená. Integrál f£ f (x) dx existuje ne pro každou omezenou funkci /; existují tedy omezené, avšak neintegrovatelné funkce. Nejdůležitější třídu integrovatelných funkcí tvoří funkce spojité. VĚTA 7.2. Pro funkci /, jež je spojitá (anebo alespoň po částech spojitá) na omezeném intervalu [a,b], existuje f (x) dx. Výraz „po částech spojitá" znamená, že je funkce spojitá všude na daném intervalu, vyjma konečně mnoha bodů. Všude dále se zabýváme zejména případem spojité funkce. § 7.1. Vlastnosti integrálu určitého Tvrzení 7.3. Je-li f(x) = c konstantní na [a,b], platí -b f (x) dx = c {b — a). J a Důkaz. Stačí uvažovat integrální součet pro libovolné rozdělení a = Xo < X\ < X2 < ■■■ < x„-i < x„ = b: J2l=l /(&)(**+1 - xk) = cJ2l=l(xk+i ~ Xk) = c(x„ - xo) = c(b-a). □ Platí tedy 1 dx = f% dx = b — a. Tvrzení 7.4. Existuje-li f(x) dx, pak existuje i f£ f(x) dx, kde a > a, P < b. Tedy funkci integrovatelnou na [a, b] lze integrovat i na všech subintervalech [a, /3] C [a, b]. Tvrzení 7.5. Existují-li fi(x)dx a f2(x) dx, pak existují také (fi(x) + f2(x))d. a fa fi(x) f2{x) dx. V případě, když f2 ^ 0 a je -jr omezená, existuje i fa dx. Tvrzení 7.6 (linearita). Existují-li f\(x) dx a f2(x) dx, pro libovolné konstanty Al5 A 2 platí nb nb nb / (X1Mx)+X2f2(x))dx = Ai / Mx)dx + X2 f2(x)dx. (7.3) ./a ./a ./a Mimo jiné, konstantní činitel lze vždy vytknout před znak integrálu. Relace (7.3) vyjadřuje stejnou vlastnost linearity, jíž má integrál neurčitý. Tvrzení 7.7 (aditivita). Je-li c libovolný bod ležící mezi a a b a existuje-li f (x) dx, pak í f(x)dx= í f(x)dx+í f(x)dx. (7.4) J a J a J c Úmluvy (7.1), (7.2) umožňují v (7.4) uvažovat hodnoty a, b, c, umístěné na ose libovolným způsobem (t. j. např. b < c < a), přičemž rovnost (7.4) bude zachována. Tato vlastnost se nazývá aditivita podle intervalu, neboť (7.4) znamená, že integrál funkce na sjednocení navzájem disjunktních intervalů je součtem integrálů též funkce na jednotlivých intervalech. Je to vlastnost velmi přirozená vzhledem k tomu, že určitý integrál kladné funkce má význam velikosti plochy geometrického útvaru. Všude dále budiž a < b. Tvrzení 7.8 (monotonie). Existují-li f (x) dx, g(x)dx a je-li f(x) > g(x) pro a < x < b, platí nb nb / f(x)dx > / g(x)dx. J a J a Mimo jiné, je-li / nezáporná na [a, b] a existuje-li f (x) dx, platí b f(x)dx > 0. Tvrzení 7.9. Integrál f (x) dx existuje právě když existuje \ f (x) \ dx, přičemž platí í f(x)dx < í \f(x)\dx. J a J a Tvrzení 7.10. Existuje-li f (x) dx a je-li m < f (x) < M při všechna a < x < b, platí m(b-a)<í f(x)dx < M(b-a). (7.5) Pro kladnou funkci / má nerovnost (7.5) očividný geometrický význam: obsah plochy pod křivkou lze odhadnout shora a zdola obsahy příslušných obdélníků, odpovídajících největší a nejmenší hodnotám funkce v daném intervalu. Tvrzení 7.11. Je-li / spojitá na [a, b], existuje £ e [a, b] takové, že /(É) = t-!— ľ f(x)dx. b-a Ja Důkaz. Podle Weierstrassovy věty spojitá funkce / nabývá na uzavřeném omezeném intervalu [a, b] svých nejmenší a největší hodnot m, M. Vzhledem k tvrzení 7.10 bude 1 ŕ m<-- / f(x)dx 0 lze najít SE > 0 tak, aby bylo \f(t) — f (x) | < s, je-li \t — x | < SE. Proto při t dostatečně blízkých k x (t. j. splňujících \t — x \ < SE) bude (f (t)- f{x))át <-] \f(t)-f(x)\dt<-J eát=e, což vzhledem k libovolnosti s znamená, že {f{t)-f{x))át = 0. i r lim - / h^o h Jx 1-Vzorec (7.6) může sloužit i jako definice integrálu f£ f (x) dx spojité funkce /. 2Zde si znovu využijeme linearity a vytkneme před znak integrálu konstantní člen /(x), jenž je na integrační proměnné / zcela nezávislý: fX+h i px+h i px+h 1 nX-t-n 1 nX-t-n 1 n A - / f (x) dt = -f (x) / ldt = -f (x) / ldt = f (x), h Jx h Jx h Jx jelikož f*+h 1 dt — h. Využijeme-li tohoto v (7.8), podle definice derivace dostaneme F(x+h)-F(x) f{x) = lim--- = F ix), h^o h pročež je F skutečně funkcí primitivní k /. Teď si stačí jen uvědomit, že podle definice funkce F pomocí (7.7) je F(7j) = f% J(f) dí a F'(a) = 0, což vede na (7.6). Bude-li místo F použita jiná primitivní funkce, vztah (7.6) bude pořad zachován, neboť se dvě různé primitivní funkce liší pouze aditivní konstantou. □ § 7.3. Výpočet integrálu určitého Vzhledem k Newton-Leibnizovu vzorci (věta 7.12) i pro integrál určitý základními nástroji jsou stále metoda substituce a metoda per partes, jež je třeba v tomto případě poněkud uzpůsobit. § 7.3.1. Metoda integrace po částech Metoda integrace po částech pro integrál určitý se formuluje téměř stejným způsobem jako v případě integrálu neurčitého. Mějme dvě funkce u a v, jež mají v daném intervalu spojité derivace. Pak (uv)' = uv' + u'v, odkud uv' = (uv)' — vu' a proto nb nb nb I u(x)v'(x)dx = I (u(x)v(x))'dx — l v(x)u'(x)dx. (7.9) J a J a J a Funkcí primitivní k derivaci součinu (uv)' je, samozřejmě, součin uv. Vzhledem k Newton-Leibnizovu vzorci (7.6) pro libovolnou funkci g se spojitou derivaci platí -b g'(x)dx = g(b)-g(a) (7.10) nebo, což je totéž, Proto b dg(x) = g(b)-g(a). (7.11) J a *b (u(x)v(x))' dx = u(b)v(b) — u (a) v (a) (7.12) ' a a z (7.9) obdržíme nb nb I u(x)v'(x) dx = u(b)v(b) — u (a) v (a) — I v(x)u'(x)dx. (7.13) J a J a Integrace per partes pro určitý integrál spočívá v užití vzorce (7.13), jenž se často zapisuje ve zkráceném tvaru nb nb / u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)fa - / v(x)u'(x)dx. (7.14) J a J a Případy vhodného využití této metody pro integrál určitý jsou tytéž jako v případě integrálu neurčitého. Integrace po částech je vhodné využit, jestliže ve výsledku bude integrál / v(x)u'(x) dx jednodušší než f u(x)v'(x) dx (t. j. zderivování u při současném zintegrování v' zpět na v situaci zlepšuje). Vzpomeneme-li si teď na pojem diferenciálu funkce, pro lepší zapamatování můžeme rovnost (7.14) zapisovat ve tvaru nb nb I u(x) dv(x) = [u(x)v(x)]ba — I v(x)du(x). (7.15) J a J a 4 JT_ PŘÍKLAD 7.13. Vypočtěme JQ2 xsinxdx. Řešení. Jelikož (cosx)' = — sinx, pak sinx = v'(x) pro v(x) = — cosx. Vezmeme-li dále u(x) = x, platí u'(x) = 1 a podle vzorce (7.14) obdržíme n 71 nit n7Z I xsinxdx = —/ x (cosx)'dx = [xcosx]q — / 1 • (— cosx)dx Jo Jo Jo n7Z n7Z — 0 cos 0 + / cosxdx = — 7t + I cosxdx Jo Jo + I (sinx)'dx = — 7t + [síiix]q = — tc + sirur — sinO = — n. Jo 71 cos 71 = —71 V posledních řádcích jsme použili základní vlastnost integrálu (7.10). § 7.3.2. Metoda substituce Substituční metoda je založená na vzorci3 -b /(0(x))d0(x) = F( P] -► b] je taková, že Ý(a) = a, Ý(P) = b- Má-li funkce Ý na [a> P] spojitou derivaci, pak pro každou spojitou funkci / platí nb n/3 / /(x)dx= / f(Ý(s))Ý'(s)ds. (7.17) J a J a Máme-li vypočíst f (x) dx, rovnice (7.17) nám umožňuje tento integrál upravit na jiný tvar f f(Ý(s))Ý'(s) ds; zavadíme tedy novou proměnnou s vztahem Ý(s) = x- Vhodnost volby substituce Ý(s) = x se snažíme posoudit podle tvaru diferenciálu dÝ(s) = Ý'(s) ds. Tento vztah je přímým důsledkem metody substituce pro neurčitý integrál a Newton-Leibnizova vzorce (7.6). Metoda substituce pro neurčitý integrál je důsledkem pravidla derivovaní složené funkce. 5 Poznámka 7.16. Vzorce metody substituční znamenají rovnost hodnot integrálů určitých, což jsou čísla. Po převedení integrálu na jiný tvar s pomocí substituce tedy není potřeba se vracet k původní proměnné. V praxi výpočty provádíme nejčastěji tak, ze vzorec explicitně nezapisujeme a pokračujeme přímo k záměně proměnné. Přitom vykonáme následující kroky: (1) vyšetříme výraz pod integrálem a zkusíme nalézt vhodnou substituci; (2) zavedeme novou proměnnou, dosadíme do integrandu a původní proměnnou z inte-grandu a diferenciálu zcela vyloučíme; (3) vypočítáme nové integrační meze. PŘÍKLAD 7.17. Mějme integrál r. x dx -i *Jx + 2 Řešení 7.17.1. Integrand obsahuje dva lineární členy: x a x + 2, oba dva mají stejný diferenciál.4 Proto zaveďme substituci x + 2 = t. Pak x = t — 2 a dř = d(x + 2) = dx. Jelikož se proměnná x mění v mezích od — 1 k 3, potom t = x + 2 se mění od—1+2 = lk3 + 2 = 5. '3 xdx ŕ(t-2)dt r5*A* r5 /xdx ľ--í \/x + 2 Ji *Jt r tát r dt Ji Ví Ji Ví 2 dt -2 t 2 dt = ~\5 t2' Hi j i ~\5 j1 5Í 1 5* --2— ^(v/5)3-4v/5 + y. Řešení 7.17.2. Jinak bychom mohli také zavést substituci \Jx + 2 = 5. Pak x = s2 — 2 a proto dx = 2s ds.5 Dále jelikož — 1 < x < 3, pak 1 < x + 2 < 5 a vzhledem k monotónnosti funkce x i-* V* + 2 platí 1 < ■s/x + 2 < \fŠ. Dosazením do integrálu obdržíme, samozřejmě, stejný výsledek: ŕ xdx _ ľ J-i \/x + 2 Ji (s2-2)-2sds /-v/5 />\/5 s2ds-A j ds = 2 (s2 - 2) dí j 1 -4(V5- 1) = -(V5)3 - 4V5 + —. 3 3 PŘÍKLAD 7.18 (substituce a integrace/?erpartes). Vypočtěme ^2 ^0 x5ex^ dx. Řešení. Můžeme si všimnout, že platí d(x3) = 3x2 dx a proto je přirozené zavést substituci t = X" (7.19) 4Zde využijeme pojmu diferenciálu funkce jedné proměnné. Diferenciálem funkce / v bodě x se nazývá výraz d/(x) = /'(*) dx, (7.18) kde ,,f'(x) dx " tlumočíme jako ,,f'(x) ■ dx ". Připomíná to také označení pro derivaci ve tvaru f'(x) = , odkud obdržíme (7.18) formálním vynásobením výrazem dx (jemuž se říká diferenciál nezávisle proměnné). S diferenciály se pracuje stejné jako s odpovídajícími derivacemi. 5Mohli bychom také odvodit ds — d(s/x + 2) = 2V*+2 dx, pak dx = 2^/x + 2 ds = 2s ds. Potom máme dt = 3x2 dx a tudíž x2 dx = | dt. Dále, jelikož se x mění v mezích od 0 k 2: 0 < x < 2, pak t podle (7.19) je v mezích 0 až 1? = 8: 0 < t < 8. Dosaďme toto do integrálu: ľ2 ľ2 ľ2 1 \ ľ8 / x5ex3dx= x3ex'-x2dx= x3e*3 • - d(x3) = - / tel dt (7.20) J o Jo Jo 3 3 Jo a pro výpočet J08 t e1 dt použijme metodu per partes: p8 p8 p8 p8 / tetdt=\ t(et),dt = (tet)\l- 1 • e< dt = 2e2 - 0e° - / e< dt = 2e2 - [e'^ Jo Jo Jo Jo = 2e2-(e8-e°) = 2e2 - e8 + 1. Dosazením tohoto výrazu do (7.20) obdržíme í x e dx 'o příklad 7.19. Vypočtěme • 2 2 5^ , 2e2-e8 + l x(2 — x ) dx. i Řešení 7.19.1. Ihned na první pohled je zřejmé, že se jedná o integrál polynomu, pro jehož výpočet stačí výraz v integrandu algebraicky upravit a následně integrovat podle vzoru mocninné funkce. Mnohem jednodušší je ale vykonat vhodnou substituci (řešení 7.19.2), jelikož v tomto případě nemusíme zdlouhavě upravovat polynom stupně 15. □ Řešení 7.19.2. Můžeme si všimnout, že se ten nejsložitější výraz (2 — x2)1 zjednoduší, jestli zavedeme novou proměnnou t = 2 — x2. Pak bude (2 — x2)1 = t1 a dt = —2x dx. Navíc dále vypočítávat dx (dx = — |^,x2 = 2 — t) není potřeba vzhledem k přítomnosti členu „x", jenž můžeme k diferenciálu přiřadit, a tak stačí mít vztah xdx = —| dt. Vypočtěme nové meze integrovaní: x = — 1=W = 2 — x2=l,x = 2=W=2 — x2 = 2 - 4 = -2 6 Pak obdržíme j x(2-x2)1 dx = j (2-x2)1 -xdx = j t1 ■ (-^ dř) = ~ j t1 dt \r~\~2 1 255 -- =--((-2)8-l) = - —. 2 8 Jj 16u ' ' 16 Poznamenejme, že nové meze integrovaní 1 a —2 vychází opačně uspořádané: dolní mez je vetší než ta horní, 1 > —2. Není to chyba; důvodem je skutečnost, že na intervalu (—1,2) není funkce x i—► 2 — x2 rostoucí. 7