PREDNÁŠKA 8 Nekonečné číselné řady § 8.1. Motivační úvahy Začněme dvěma známými příklady, u nichž se setkáme se součty o nekonečnem počtu sčítanců. příklad 8.1. Zenonova aporie o Achillovi a želvě, z nichž první běží 10-krát rychleji a na začátku je o 100 metrů pozadu, vede na nekonečný součet 1 1 1 100 + 10 + 1 +--h — + — + 10 102 103 (8.1) Paradox tedy —jenž paradoxem být přestane, dokážeme-li, že hodnota součtuje konečná — spočívá v tom, že Achilles želvu pravděpodobně nikdy nedohoní, neboť suma v (8.1) obsahuje nekonečně mnoho kladných sčítanců. příklad 8.2. Součet obsahů barevných trojúhelníků na obrázku 8.1 by měl být roven = 2 (8.2) jakožto polovina obsahu čtverce o straně s délkou 2. 1111 1 + 2 + 2^ + 2Í + Vzorce (8.1), (8.2) představují aritmetické součty s nekonečným počtem členů, přičemž význam rovnice (8.2) je zřejmý z obrázku 8.1. Není však zcela jasné, v jakém přesně smyslu bychom měli takové součty chápat a do jaké míry lze na ně rozšířit obvyklé techniky práce se součty konečnými. / 1 / 2 Obrázek 8.1 Sčítance v (8.1), (8.2) mají tvar členů geometrické posloupnosti a jejich součet se nazývá řadou geometrickou. i Definice 8.3. Geometrickou řadou se nazývá nekonečný součet tvaru a0 + qa0 + q2a0 + (8.3) kde q je kvocientem řady. Pro řadu geometrickou (8.3), položíme-li s„ = a0 + qa0 + • • • + q"~1a0, při q ^ 1 platí známý vzorec l-q" sn = a0--• (8.4) l-q Je pak přirozené nekonečný součet (8.3) chápat jako limitní hodnotu čísel s„ při n rostoucím nad všechny meze. Jelikož při \q \ < 1 je lim„^+00 q" = 0, z (8.4) je zřejmé, že lim„^+00 s„ = Mimo jiné, při a0 = 1, q = \ bude lim„^+00 s„ = = ^> c°ž odpovídá vztahu (8.2) z příkladu 8.2. Pole uvedených úvah lze zavést obecnou definici pojmu součtu nekonečné posloupnosti čísel, nezávislou na jejím konkrétním tvaru. § 8.2. Pojem číselné řady a základní tvrzení Budiž ci\, 0.2, ... nekonečná posloupnost čísel. Definice 8.4. Formální součet nekonečně mnoha čísel a,\ + a2 + a3 + ■ ■ ■ = ^ a„ (8.5) n = \ se nazývá nekonečnou číselnou řadou. Hodnota a„ je obecným členem řady. Výrazy sn = ci\ + a2 + ■ ■ ■ + an, (8.6) kde n = 1, 2,..., se nazývají částečné součty řady (8.5). Existuje-li vlastní limita lim„^+00 s„ = s, říkáme, že táto řada konverguje ajejím součtem je číslo s. Je-li limita lim„^+00 s„ nevlastní, říkáme, že řada diverguje. Nakonec v případě, když lim„^+00 s„ neexistuje, se říká, že řada součet nemá (anebo osciluje). Nejjednodušším příkladem, v němž lze uvedené pojmy zcela snadno popsat, je řada geometrická. příklad 8.5. Geometrická řada X!^o Qn konverguje jen tehdy, když \q\ < 1. Vysvětlení. Při \q\ < 1 je lim„^+00 q" = 0 a tudíž dle vzorce (8.4) Yľrľ=o Qn = "T-• Při q > 1 je lim„^+00 q" = +oo a proto YlT=o i" = +°°- Při ^ = 1 je taktéž YlT=o 1 = +°°-Nakonec, je-li q < — 1, limita lim„^+00 q" neexistuje1 a tudíž YlT=o Qn soucet nemá. Podobně při q = — 1. □ Tedy např. řady (8.1), (8.2) konvergují, řada 1 + 1 + 1 + ... diverguje, řada 1 — 1 + 1 — ... součet nemá. Poznamenejme, že analýza konvergence řady geometrické jakožto řady nejjednodušší, v podstatě, spočívá ve výpočtu jejího součtu; v jiných případech je to možné zcela výjimečně a tudíž vyšetřování konvergence obecně vyžaduje určité speciální techniky. příklad 8.6. Řada 1 + + h----= J27=i ^ diverguje. ^tačí si všimnou, jak se chovají sudé a liché mocniny: při \q\ > 1, q < 0 je q2m — \q\2m —>- +00, qlm + l _ _|^|2m + l _^ _OQ pro m _^ +00^ 2 Vysvětlení. Jelikož x i-* s/x je funkce rostoucí, pro částečné součty s„ = 1 + + + Platí 1 1 1 + ••• + — = n- — n Jn Jn a tudíž hodnota s„ roste nad všechny meze při n —► +oo. Řada tedy diverguje. □ Definice 8.7. Řada a^+i + + • • • se nazývá zbytkem řady YlT=i a" P° JeJím JV-m členu. věta 8.8. Pro libovolnou řadu Yln^i an platí: (1) řada YlT=i a" konverguje právě tehdy, když konverguje řada Y1T=n+i a" s nějakým N > 1; (2) řada YlT=i a" konverguje právě tehdy, když limN^+00 Y^7=n+i a" = °-Důkaz. Stačí si uvědomit, že J2T=n+i a" = YlT=i a" ~ sn- D Poznámka 8.9. Z výše uvedeného je zřejmé, že odebrání nebo přidání k začátku řady konečně mnoha členů její konvergenci nikterak neovlivní. Lze očekávat, že v případě konvergence řady by se měli její členy neustále zmenšovat, neboť jinak bychom k součtu přičítali. věta 8.10 (nutná podmínka konvergence). Je-li řada Yln^i a" konvergentní, pak nutně musí být lim a„ = 0. (8.7) Důkaz. Budiž YlT=i a" konvergentní. Pak dle definice 8.4 pro posloupnost částečných součtů bude lim„^oo s„ = s, kde — oo < s < oo. Je zřejmé, že rovněž lim„^oo sn-\ = s. Avšak s„ — s„-i = a„ a tudíž musí platit (8.7). □ Podmínka (8.7) je pouze nutná, nikoliv však postačující pro konvergenci řady Yľrľ=i an 0e splněna např. u divergentní řady Yln^i ylz příklad 8.6). věta 8.11. Konvergují-li Y17=\ a", Y^7=i bn, pak konverguje i řada Y^7=i(aan + fib„), kde a, /3 jsou libovolné konstanty. Poslední tvrzení plyne bezprostředně z definice 8.4. § 8.3. Číselné řady s kladnými členy Řadu YlT=i an budeme nazývat řadou s kladnými členy, jsou-li všecky a\, ci2, ■ ■ ■ kladná čísla.2 věta 8.12. Řada s kladnými členy YlT=i a" vždy má součet, přičemž její součet je konečný právě když je odpovídající posloupnost částečných součtů s\, S2, ... shora omezená. Důkaz. Je-li vždy a„ > 0, bude posloupnost částečných součtů Si, s2, ■ ■ ■ neklesající. Tvrzení pak plyne z věty o existenci limity monotónní posloupnosti čísel. □ O konvergenci řady geometrické, jak j sme viděli, lze rozhodnou velice snadno. Nyní uveďme dva příklady jednoduchých řad, jejichž konvergence či divergence již zřejmá není (dále k vyšetření těchto řad získáme pohodlnější prostředky). příklad 8.13. Řada J27=i ^TT) konverguje. 2Pro pohodlí budeme občas užívat tohoto názvu i obecněji, když jsou pouze nezáporná. Vysvětlení. Rozkladem lomeného výrazu , 1. 1X na částečné zlomky je , 1.1X =---f- J J n(n + l) J ■> n(n + l) n n + l a tudíž pro částečné součty s„ = YHk=\ k(k+i) P^a^ lil ll l s» = l---1-----1-----1----= l--. 223 n n + l n + l Pak dostáváme J27=i n(n+i) = lim«^oo s„ = l - ]im„-),00 ^ = l, tedy řada konverguje k hodnotě l. □ Definice 8.14. Harmonickou řadou se nazývá řada ~l l l / - = 1 + ň + ô + •••• ^ n 2 3 n = \ Tvrzení 8.15. Harmonická řada (8.8) diverguje. (8.8) Důkaz. Zapišme nekonečny součet (8.8) ve tvaru 1 + ž + G + i) + G + - + 5) + (5 + - + Í) + kde posledním sčítancem v závorkách je vždy j, ^ atd. Tedy ^ 1 > - = C0 + Cl + c2 + ..., 1 n n = l kde co = l, c\ = j, C2 = j^T + ^2 a obecně výraz v závorkách s posledním sčítancem je 1 1 1 °k ~ 2*-i + 1 + 2*"1 +2 +"' + ¥' V každém c/t nejmenším sčítancem je pravě ten poslední a celkem je sčítanců 2k~l. Proto C2 > \ + \ = \, c~í>\ + \ + \ + \ = \& obecně c/t > 2k~l = j- Tudíž není posloupnost částečných součtů s„ = l + i + -- - + i shora omezená a řada Y^=i \ tedy diverguje podle věty 8.12. □ § 8.3.1. Srovnávací věty Buďte Y^n=i an, Yln^i bn řady s kladnými členy. VĚTA 8.16 (I. srovnávací věta). Je-li a„ < b„ pro všechna n > no, začínaje nějakým no, pak z konvergence řady YlT=i bn plyne konvergence YlT=i a" a z divergence YlT=i a" plyne divergence J27=i bn- Ve větě 8.16 se řada Yln^i bn nazývá majorantou pro Yln^i an a Yln^i an Je Pak rnino-rantou pro YlT=i bn- Důkaz. Je-li Y^=\ b„ = B < +00, vzhledem ke kladnosti členů řady Yln^i an posloupnost jejich částečných součtů A„ = Ylk=i ak> n — 1> Je monotónně rostoucí a omezena shora číslem B. Pak podle věty o limitě monotónní posloupnosti existuje lim„^+00 A„ = Y^T=i ak < +00. Na druhou stranu, je-li YlT=i a" = +°°> pak z nerovnice Ylk=i bk > Ylk=i ak> n — 1' plyne, že i lim„^+00 Yl=i bk = +00, t. j. YlT=i bn rovněž diverguje. □ PŘÍKLAD 8.17. Platí následující: (1) Řada J27=i h konverguje. (2) Řada Eľ=i 7^=ŤŤJ diverguje. Důkaz. Řada Yln=2 n{n-i) konverguje (viz příklad 8.13) a tudíž dle věty 8.16 konverguje Y27=\ ~^2> neboť pro všechna n > 1 je 1 1 1 < n2 nn n(n — 1) Pro řadu Víl, , } , , minorantou je divergentní řada harmonická, neboť pro všechna n ie i—in — i ^/n(n + l) jo r j , * > -7= = i. Pak podle věty 8.16 J27-i , f\u diverguje. □ □ věta 8.18 (II. srovnávací věta). Existuje-li limita lim = X, (8.9) pak: (1) při A < +ooz konvergence řady Yln=i bn plyne konvergence Yln=i a«' (2) při A > 0 z divergence řady X!^=i a« plyne konvergence YlT=i bn; Je-li v (8.9) 0 < X < +oo, pak řady Y27=\ bn a X!^=i a« konvergují nebo divergují zároveň. V (1) je tedy možný případ X = 0 a v (2) pak X = +oo. Důkaz. Buď A v (8.9) konečné kladné číslo. Zvolme libovolně malé číslo e > 0. Dle definice limity se najde n0 takové, že pro n > n0 je y- < X + s, t. j. a„ < (A + s)b„. Konverguje-li Yln=i bn, dle věty 8.11 konverguje i Yln=i + £) bn- Pak dle srovnávací věty 8.16 konverguje rovnez 2^n=la„. V případě, když Yln=i bn diverguje a A > 0, platí r K 1 lim — = — n^+oo an X a tudíž musí divergovat i Yln=i an (jmak podle hořejšího musí konvergovat Yln=i bn)- D Poznámka 8.19 (o tom, žeje kladnost členů podstatná). Při A = 1 vztah (8.9) znamená asymptotickou ekvivalenci těchto dvou posloupností: a„ ~ b„ při n —► +oo. Je proto přirozené očekávat, že řady, jejichž členy se v +oo chovají stejně, mají rovněž stejné vlastnosti konvergence. Tuto skutečnost právě vyjadřuje uvedená věta. Poznamenejme však, že je tvrzení věty 8.18 dokázáno pro řady s kladnými členy a v případě řady s členy proměnného znaménka, obecně řečeno, neplatí. S pomocí srovnávací věty 8.18 lze snadno odvodit, mimo jiné, výsledky příkladu 8.17, ielikož -4 : 1 —► 1 1 : - —► 1 při n —► +00. Táto věta ie velmi vhodná i v iiných •> n2 n(n + l) ' Jn(n + 1) n r J J J podobných případech, a to zejména když bezprostřední využití I. srovnávací věty 8.16 je méně pohodlné. příklad 8.20. Platí následující: (1) Řada E~i ^+s^+4^ diverguje. (2) J27=iln 0 + i) konverguje. Vysvětlení. Stačívyužit srovnávací věty 8.18. 1. Pro řadu (1) položme a„ = - 1 —4=, bn = \. Takováto volba b„ v (8.9) je zřejmá, jelikož se jmenovatel v a„ skládá jen z mocninných výrazů a | je nejvyšší z mocnin; tedy v (8.9) ihned očekáváme A = 1. Vskutku, v a" v n* v 1 1 lim — = lim —-;-j = lim —;-;-3- = 1, n^+oobn n5 + (« + 1)š + «^+oo n-5 + (n + i^sn-t + 1 5 neboť + (n + 1)5 nls (n+ 1)5 1 lim -5-= lim -j--5- = lim -j-• lim —jy + 1 / 1\* 1 = lim I - I • lim —jy = lim I 1 H— I • lim —jy = 0 rc^+oo \ Ji J n^+oo n2ô n^+oo y n J n^+oo niň jakožto limita součinu dvou veličin majících konečné limity. Podle věty 8.18 řada konverguje. 2. Jelikož je známo, že limř^0 la^1^ = 1, mimo jiné, bude lim^oo ln (l + ^) : ^ = 1. Vezmeme-li tedy a„ = ln(l + , b„ = bude limita (8.9) rovna 1. Řada YlT=i 7č konverguje (příklad 8.17) a tudíž podle věty 8.18 konverguje i Yln=i m 0 + n1)- VĚTA 8.21 (III. srovnávací věta). Připusťme, že při nějakém n o pro všechna n > «o platí ?2±I < *2±I. (8.10) Pak z konvergence Y^=\ plyne konvergence YlT=i a" a z divergence YlT=i a" plyne divergence 127=1 bn- Důkaz. Hodnoty konečných součtů YTn=\ a«' YTn=\ nemají vliv na konvergenci odpovídajících řad a tudíž lze bez újmy na obecnosti předpokládat, že (8.10) platí již začínaje n0 = 1. Pak při libovolném n bude ^ < tt, — < I1, ..., < -r11—, přičemž na obou stranách nerovnic jsou kladná čísla. Vynásobíme-li je navzájem, dostaneme platnou nerovnici 02 03 a„ _ On_ b„ _ K d\ a2" an-\ d\ ~ b\ b2" bn-\ b\ a tudíž lze aplikovat větu 8.16. □ příklad 8.22. Platí následující: (1) y^T-^ r-,Xi ,, diverguje: _, 1, ,, > —)=, věta 8.16 a příklad 8.6; (2) -p konverguje: : ^ = přičemž linWoo = 1; věta 8.18. § 8.3.2. Základní kriteria konvergence Budiž Yln=i an ř&da s kladnými členy. VĚTA 8.23 (odmocninové kriterium (Cauchy)). Existuje-li limita lim ^ = X, (8.11) pak: (1) při A < 1 řada YlT=i a" konverguje; (2) při A > 1 řada YlT=i a" diverguje. Důkaz. Buď A hodnota limity v (8.11), přičemž A < 1. Pak se najde nějaké s > 0 tak, aby bylo A + s < 1. Dle definice limity posloupnosti pro dostatečně velká n > n0 bude A - s < V^ľ < A + e (8.12) a tudíž a„ < (A + e)n. Pak Yln=i a" konverguje dle srovnávací věty 8.16, neboť konverguje geometrická řada Yln=i(^ + e)n• Je-li A > 1, vzhledem k (8.12) pro n > no bude an>(X-s)", (8.13) přičemž X — s > 1, je-li s dostatečně malé. Pak lze opět využít srovnávací věty 8.16 anebo poznamenat, že vzhledem k (8.13) není splněna nutná podmínka konvergence (věta 8.10). □ VĚTA 8.24 (podílové kriterium (ď Alembert)). Existuje-li limita lim ^±i = A, (8.14) pak: (1) při A < 1 řada Yľrľ=i an konverguje; (2) při A > 1 řada YlT=i a" diverguje. Důkaz. Stačí uvažovat podobně důkazu věty 8.23: platí-li (8.14)sO 0 bude A + e < 1, přičemž, začínaje nějakým Ne, pro všechna n > NE bude A-e<^±i 0, z (8.15) plyne, že an+\ < (X + s) an < (X + s)2 an-\ < ■ ■ ■ < (A + s)n a\ a tudíž lze s pomocí věty 8.16 řadu Y^n=\ an srovnat s konvergentní řadou geometrickou YlT=o(^ + e)n ■ Je"li A > 1, v (8.15) vezmeme e tak, aby bylo stále A — e > la využijeme tentokrát levé části nerovnice: an+i > {X — e)an> {X — s)2 an-\ > • • • > (A — s)n ax. Z tohoto odhadu je zřejmé, že a„ nemůže konvergovat k 0 při n —► +oo, nutná podmínka konvergence tedy splněna není a řada Yľrľ=i an P3^ diverguje dle věty 8.10. □ U důkazů vět 8.23, 8.24 si můžeme všimnout, že lze odmocninové a podílové kriteria formulovat v poněkud obecnější podobě. VĚTA 8.25 (odmocninové kriterium). Buď J^^j a„ řada s kladnými členy. Existují-li A < 1 a n0 takové, že ^ n0, pak Yľrľ=i an konverguje. Je-li %Jä~n > 1 pro všechna dostatečně velká n, H7=i a" diverguje. VĚTA 8.26 (podílové kriterium). Buď YlT=i a" ^a^a s kladnými členy. Existují-li A < 1 a no takové, že < A (8.17) an pro všechna n > no, pak YlT=i a" konverguje. Je-li ^i-L > 1 pro všechna dostatečně velká n, Pak J27=i an diverguje. Tyto věty jsou obecnější než formulované výše věty 8.23, 8.24, neboť odhady (8.16), (8.17) mohou platit i v případech, když limity (8.11), (8.14) neexistují. Poznámka 8.27 (o nerozhodném případě Cauchyho a ď Alembertova kriterií). Při A = 1 odmocninové ani podílové kriterium na otázku o konvergenci řady žádnou odpověď nedávají, v takových případech musíme hledat jiný způsob, jak o konvergenci či divergenci rozhodnout. VĚTA 8.28 (integrální kriterium (Cauchy-McLaurin)). Je-li v Y^=\ an obecný člen ve tvaru a„ = f (n), kde / je spojitá, kladná a klesající funkce na [1, oo), pak pro konvergenci řady Yľrľ=i a" Je numé a postačující, aby konvergoval nevlastní integrál f^~°° f (x) dx. i Idea důkazu. Buďte sn = Y11=i f(n)> n — 1> částečné součty řady f(n)- Uvažujme křivočarý lichoběžník, omezený křivkou y = f (x) při x > 1 a vodorovnou osou. Vypočteme-li obsah jeho plochy při 1 < x < n + 1, dostaneme hodnotu f"+1 f(x) dx, přičemž -i " f(x)dx 1} je shora omezená a tudíž existuje limH-^+oo s„ < +oo. Naopak, konverguje-li řada f(n)> vzhledem k (8.18) musí rovněž konvergovat integrál f^~°° f (x) dx. □ důsledek 8.29. Zobecněná harmonická řada (8.20) oo 1 e- n = \ konverguje právě při a > 1. Důkaz. Stačí použít větu 8.28 s f(x) = x~a. Integrál x~a dx konverguje právě v případe, když a > 1. □ Zobecněné harmonické řady z důsledku 8.29 lze často využít jako vzoru při srovnání s jinými řadami. Příklad 8.30. Platí: (1) řada J27=i 2^-n-3 konverguje; (2) řada J27=i jrl/Ž diverguje. Vysvětlení. Stačí tyto řady srovnat s zobecněnou harmonickou řadou (8.20). Jelikož 2n3 — n — 3 ~ 2n3 při n —► +oo, chová se an = 2n3"n_3 v +oo stejně jako j^j = ^ = bn, přičemž dle důsledku 8.29 YlT=i ^ < +°°- Pak limrc^+oo f0- = 1 a lze použít větu 8.18.3 Pro Y^L-t —wr je —h= : - = —► 1, n —► +oo. Stačí tedy použít srovnávací větu 8.18 a divergenci harmonické řady Y^=\ \- ^ Poznamenejme, že odmocninové a podílové kriteria ve své podstatě srovnávají danou řadu s nejjednodušší řadou geometrickou, jež konverguje (nebo diverguje) rychle. Existuje rovněž řada dalších podmínek konvergence jemnějšího charakteru, jejich důkaz a využití jsou ovšem složitější. Poznamenejme, že využití srovnávací věty 8.16 by zde bylo méně pohodlné a více závislé na charakteru výrazu v součtu; např. při n > 3 lze napsat odhady n n n 1 1 1 < 2«3 — n — 3 2«3 — n — n 2«3 — 2« 2(n2 — 2) 2(n2 — n) 2n(n — \) 8 § 8.4. Řady členů proměnného znaménka Vyšetřování konvergence řad Yľrľ=i an> kde znaménko hodnoty a„ není stálé, je mnohem složitější. My se omezíme jen jednoduššími tvrzeními. § 8.4.1. Některé obecné věty VĚTA 8.31. Pro konvergenci řady Yľrv= i a" Je nutné a zároveň postačující, aby k libovolně malému s > 0 existovalo NE takové, že pro libovolné m > 1 l^rc + l + Cln + \ + " " " + Cln+m\ < (8.21) jakmile je n > NE. Důkaz. Podle známé věty je existence limity posloupnosti částečných součtů s„ = Ylk=i ak> n = 1,2,..., ekvivalentní s Bolzano-Cauchyovou podmínkou:" ke každému malému s > 0 se najde NE takové, že pro všechna n > NE, m > NE je \sn — sm\ < s. Vezmeme-li m > NE ve tvaru m = n + m', kde m' > 1, dostaneme nerovnost (8.21). □ VĚTA 8.32. Konverguje-li řada YlT=i \a"I' P3^konverguje i X!^=i a«- Důkaz. Jestliže konverguje řada X^Li \an\, pak je pro ní splněná podmínka věty 8.32, přičemž místo nerovnice (8.21) je |«rc+i| + + ••• + \an+m\ < s. Avšak + an+i + ■ ■ ■ + an+m\ < l^rc+i I + l^rc+i ! + ■■■ + \an+m \ a tudíž je podmínka věty 8.32 splněna i pro Y1T= ian- ^ V souvislosti s větou 8.32 přirozeně vzniká pojem absolutní konvergence řady. Definice 8.33. Rada Y^n=\an konverguje absolutně,jestliže konverguje Y^n=\ la«l Jelikož je v Y^=\ \an I vždy \a„ \ > 0, lze absolutní konvergenci vyšetřovat s pomocí vět o konvergenci řad s kladnými členy. Definice 8.34. Přerovnáním řady Yl^Li an rozumějme řadu tvaru Yl^Li a4>(n)^ kde

(n) rovněž absolutně konvergentní a platí oo oo an = ^ a4>(n)-n=\ n=\ § 8.4.2. Rady alternující Důležitým speciálním případem obecné řady Y^=\ an je řada alternující Co — C\ + C2 — ■ ■ ■, "Číselná posloupnost {xn : n > 1} splňuje Bolzano-Cauchyovu podmínku, jestliže ke každému libovolně malému kladnému e lze najít Ne takové, že pro všechna n,m > Ne platí \xn — xm\ < s. 9 kde c0, Ci, c2, ... jsou kladná čísla. VĚTA 8.36 (Leibnizovo kriterium). Alternující řada J]^=0(—l)"c„, kde c0, Ci, c2, ... je klesající posloupnost kladných čišel s lim„^oo c„ = 0, konverguje. P Ř í KL A D 8.37. Řady X!ľ^=i ^V-' konvergují, přičemž druhá z nich kon- verguje absolutně. Vysvětlení. Jelikož je : n > 1} klesající posloupností s limitou rovnou 0, lze využít věty 8.36. Táto řada konverguje neabsolutně, neboť harmonická řada Yľrľ=i n diverguje. V případě YlT=i ^~nl/Ti ^ac^a z absolutních hodnot členů má tvar YlT=i = YlT=i ~~T a tudíž konverguje podle důsledku 8.29. □ 10