Příklad. Vyšetřeme konvergenci řády
∞
n=1
n!xn
nn
.(1)
Máme
∞
n=1
n!xn
nn
=
∞
n=1
anxn
,
kde je an = n!
nn . Pak
an+1
an
=
(n + 1)!
(n + 1)(n+1)
nn
n!
=
n!(n + 1)
(n + 1)n(n + 1)
nn
n!
=
n
n + 1
n
.
Jelikož limt→∞ 1 + 1
t
t
= e, platí
lim
t→+∞
1 +
a
t
t
= lim
t→+∞
1 +
a
t
t
a
a
= ea
a proto
lim
n→+∞
an+1
an
= lim
n→+∞
n + 1 − 1
n + 1
n
= lim
n→+∞
1 −
1
n + 1
n
= lim
n→+∞
1 −
1
n + 1
n+1
n
n+1
= e−1
.
Pak pro poloměr konvergence platí 1/R = e−1, R = e.
Vyšetřování konvergence řady v koncových bodech je netriviálním úkolem. Pro x = e
v (1) obdržíme řadu
∞
n=1
n!en
nn
(2)
a dosazením x = −e obdržíme
∞
n=1
(−1)n n!en
nn
.(3)
1. způsob
V literatuře najdeme tzv. Stirlingův vzorec:
lim
n→∞
n!
√
2πn e
n
n = 1,
to jest n! ∼
√
2πn e
n
n
pro n → ∞. Potom
n!en
nn
∼
√
2πn n
e
n
en
nn
=
√
2πn → ∞
a tudíž limn→∞
n!en
nn ̸= 0. Pro řadu ∞
n=1
n!en
nn neplatí nutná podmínka konvergence,
proto řada (2) (a tudíž i (3)) nekonverguje.
1
2
2. způsob
Nechť bn = n!en
nn . Pak
bn+1
bn
=
(n + 1)!en+1
(n + 1)n+1
nn
n!en
= e
n
n + 1
n
=
e
n+1
n
n =
e
1 + 1
n
n > 1,
jelikož pro všechna n platí
(4) 1 +
1
n
n
≤ e.
Nerovnost bn+1
bn
> 1 pro všechna n znamená, že {bn : n ≥ 1} je rostoucí posloupnost
kladných čísel a proto limn→∞ bn ̸= 0. Řady (2) a (3) pak nemohou konvergovat z
důvodu porušení nutné podmínky konvergence.
Nerovnost (4) je součástí důkazu toho, že limn→∞ 1 + 1
n
n
= e. Vskutku, nechť
xn = 1 +
1
n
n
=
n + 1
n
n
,
potom
xn+1
xn
=
n + 2
n + 1
n+1
n
n + 1
n
=
n(n + 2)
(n + 1)2
n
n + 2
n + 1
=
n(n + 1) + n
(n + 1)2
n
n + 2
n + 1
=
(n + 1)(n + 1) + n − (n + 1)
(n + 1)2
n
n + 2
n + 1
= 1 −
1
(n + 1)2
n
1 +
1
n + 1
.
Podle Bernoulliho nerovnosti
(1 + x)α
≥ 1 + αx
pak obdržíme
xn+1
xn
= 1 −
1
(n + 1)2
n
1 +
1
n + 1
≥ 1 − n
1
(n + 1)2
1 +
1
n + 1
= 1 +
1
n + 1
−
n
(n + 1)2
−
n
(n + 1)3
= 1 +
(n + 1)2 − n(n + 1) − n
(n + 1)3
= 1 +
(n + 1)(n + 1 − n) − n
(n + 1)3
= 1 +
(n + 1)2 − n(n + 1) − n
(n + 1)3
= 1 +
1
(n + 1)3
> 1,
to jest xn+1 > xn pro každé n. Jelikož {xn : n ≥ 1} je rostoucí a x1 = 2 > 0, limita
limn→∞ xn = e musí být vetší než xn, což dokazuje (4).