Kapitola XVI,
ZÍEMDŽÍÍ   APLIKACE   URČITÉHO IKTEG&ÍHJ.
Tabulka určitých integrálů,jimiž se řeži základni geometrické a fyzikální aplikace,je na konci této kapitoly.Pro sestaveni příslušných vzorců je zaveden pojem ,,diferenciál, (element) "geometrického útvaru,případně fyzikální veličiny.
§ 42. GEOMETRICKÉ   APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU. '     I. Obsah    rovinné plochy. Základní úloha:
(a_<_b).
Elementem dP uvedené rovinné plochy obsahu F je obdélník,jehož jedním rozměrem je y, druhým diferenciál dx v libovolném bodě intervalu <a , b> .
\ dP = y.dx = ř(x),áx
: b b
• P = j\v.dx =  /f(x).dx , jestliže v intervalu <á , b>  jest f (x) P» O
j a b         a b
! P = - Jy.dx. = -yf (x).dx , jestliže v intervalu <a , b>   jest f (x) < O
i
: (je-li dána krivka implicitní rovnicí F(x,y)= O.vyjádříme z ní y jako
I funkci x)
(155.)
524.cvičení.Obsah plochy omezené obloukem krivky,osou x a přímkami x=a , x=b s a) y= x5- 10x2+ 24x , x=l,x=5;^29^,7     b) y= \ , x=l, x=3 ; ,/fln 3 J
c) y= ln x , x=a,x=b , (1< a<b ) \ /~b,(lnb - 1) - a.(lna - 1) _7
d) y= x.sin x ,x=k^ ,xs(k+l)7; /n(2k+l)#~_7
x -x
e) y= §.( ea + e a ) , a > 0, x= -a, x= a •   fa2,(e - e"1) J Obsah jD.lcch^_omezenéJtí^
• *"""bb" :
j     dP= x.dy = y(y).dy ,     P = fx*<& = J?í7)*&j   , je-li   x>0 '(156)
• (x =f(j)   určíme z rovnice krivky y=ď(x) nebo F(x,y)=0 ) l 325.cvičeni.
a)   xy s 4 , y s 1, y = *i ^~8.1n2_7    b) y = ln x , y= ln a,y= lnbj /"b-a J
£f£SSfe-2l22&ř_25S5£Sé_£2i2H^iS~SŽiY&~Z_ž_ííí2__a_osou_x.
(Meze integrálu tvoří souřadnice průsečíků křivky y= f(x) s osou x) 3?fi.cvičeni.
a) y = 4 - x2, C      -7? b) y = 6x - x2, ^XJí c) y= x2+ 2x-3, <f|-      | .7 i
- 179 -
d) y s x - 3^Vx ,      ^r|_7; e) y = sin x ,/"2 _7; f)y = e~x.sinx, x£ 0,^/5,5217
2Ž2?íi„2Í2£&Z_2225fnÉ„2Ži2ii^£?-ií^':ivii:^ § osou y , 327.cvičení.
a) x. = /(y-l), b) y2= 2x + 4,       i|_7; (Oy2* (*-x)5 , ^"25,6 J/
Protiná-li krivka osu souřadnic ve více bodech,např. osu x v bodech X, , X-> , x, tak,že x^x^Xj ,pak nejprve vyšetrime,ve kterém intervalu jsou funkční hodnoty   f (x) < 0. Je-li např. f (x) > 0   v int.Cx-^Xg) a   f(x) <T 0   v int.Cx^Xj),
určíme součet obsahů ploch součtem integrálů
'? x2
P s     /ř(x)dx    +     Jí(x)áx nebo přímo P
/f(x)dx	1 r*3 ♦ 1 /f(x)dx
J X, X	jx2
xl x3
328.cvlg.eni.a) y = x3- 7x2+ 10x, fil^J;   b) y = x5- 5x3+ 4x , <f  6« „7. 2^a2i„£Í22^_2S£iS?É_^ĚÍZ^2Hj.2£2iJ„?_§„2í!Í2£E2!;.__SS§„*
(Jednu mez určitého integrálu tvoři x-ová souřadnice průsečíku křivky s osou x';
529.cvičení,a) y - arcsin x ,x= - -1 7í b) y = In x, x=e .   /" 1   7 •
■ 2 ~
Obsah plochy omezené křivkou,osou y a přímkou y= a .
(Jedau mez tvoří y-cvá souřadnice průsečíku křivky 3 osou y.)
330. cvičení.
a) v2 = 4x, y= 2, f^J\ b) y = x5, y=8 , ^.7; c) y2= x5, y= 8, fl9,2j.
,EÍ22&„2S2S2&á_^íiY^2H_a_2Ěi5^21is (Meze tvoří x-ovó souřadnice průsečíků křivky 3 přímkou.)
331. cvičeni,
a) y - x2*- 4x, y = x 1- 4, /~2o| _7 ;     c) y = 2x - x2, x + y = O, /" | _7 $
b) y2= 2x + 1, x - y - 1* O, C ^1 J< d) x.y = 6, x + y - 7=0,^17,5- 6.1n6_7.
Obsah^loejj^_ame^ í 532.cvičeni.
8) j = |(x2~ lOx + 34 ) , y = |íiO + 18x - 3X2 ) , C 16| J í
b) y2= 2px , x2= 2py ,<fV_7; c) y = -—g- , y = |x2 ,   f£ - \)g ;
d) x2+ y2. 16, y2= €>xtf~}tä-*7r)J; e) y = er,y- e'xa přímkou x»lt^5+e~1-2-7. Obsah gloch^_omezené_křivkou_soum *
Rovnice takové křivky obsahuje y v druhé mocnině,takže každému x z definičního oboru odpovídají dvě y navzájem opačné.Počítáme obsah poloviny plochy ležící , nad oaou x.(Rěkdy ae vyskytnou í vyšší audé mocniny y.) 333.cvičeni.
a) x2 ♦ y2 . r2   , frč J ;        b>   ^ ♦ *§ = 1   ,   ^b J
c) y2 = x2 - x4 ,   C\ J   i        i)   aíy2- x2) + x3 = O ,   <f jfa2 „7 Desítku úloh pro domácí práce možno sestavit z posledních úloh každého cvičení.
- 180 -
Obsah plochy při parametrickém_v^^ááře^_r^ic^3_=_g^£t2x_3_B. V^Ql ,
Do základního integrálu pro obsah plochy dosadíme z daných parametrických
rovaie j ~ "ifít)   a vypoStegé   dx * <f> (t).dt s
r* "k
? . Jj.ôx   .-■   f ¥ (t), f (t) čit zl h
Mesa tlst2 určíme z rovnice x = p(t) po dosazení x1 , x^ , nejeou-li dány, 35»«cvičeni.
a) x = 2t - t2 , y = 2t2 - t5 v intervalu (0, 2) pro t; fj^-J
b) x s a(t- sint) , y a a(l- cost) v intervalu (0, 2ýäľ) pro t; /~?2Ta2_7 (Plocha omezená osou x a obloukem cykloidy.)
Obsah plochyY,,,,PQlámich souřadnicích se určuje buä převedením na parametrické vyjádřeníCužitím transformačních rovnic x=r.cos <p% y=r.sin p?, kde za r dosadíme z polárni rovnice křivky   r = P (cp)J nebo výhodněji vzorcem
P
7x
1 /_2
335.oyiäenl. * ^    T 2
a) Obsah plochy kvadrantu lemniskaty   r   = a£.cos2 (p,(0«^^)jf | J
b) Obsah plochy omezené prvním závieem Archimedovy spirály r s &(£> a osou x,
c) Obsah plochy omezené kardioidcu   r = a(l+ cos y?) ; J> II. Objem    rotačního tělesa.
Základni úloha s
2MS?_£iilžSjJŽŽ_'Z55ifeíl_E2SS£i™2l2£SZ-.S (o&ezené křivkou y=f(x),osou x a přímkami x=a , xsb ) kolem^os^^ ,
Element objemu dV tvoří válec,jehož základna má poloměr y a jehož výška je diferenciál dx.
...................... •..............bj
j     dV = íf/.dx a  ^ff<x)_72dx i     V =    y/y2dx =   jy^ff<x)_72dx 1(157) I                                                             a              a I Při rotaci plochy P kolem osy y má element objemu poloměr základny x a výšku dy. # ( ..,»,.,......................
j.....................................................d-.....'j
Í    dV B J^.dy = rCfíj)ŕäx i    V = J-yfedy = tJ"ty(j)_ŕáj j
• c c :
• /x = jPíy)   vypočteme z explicitní nebo implicitní rovnice       ^'.
336.cvlSeni.Vypočítat! objem tělesa vytvořeného rotaci obrazce,omezeného Čarami t
a) y2 » Spx , x = a , kolem osy x ; C T pa2 _7
b) xy = 4,x = ltx=4-,y = 0, kolem osy x \ £"12TJ
c) y = j( ex + e~x ) , x=a, x=b,y=0, kolem osy x; f g(e2b-e"2b-e2a+e"2a)+f(b-ay
d) y s sin x , osou x pro 0 <x <ff, kolem osy x; £" J
- 181 -
e)   x s a(t- sint) , y - a(l» cost) a osou x,kolem osy x; C 5T28?J 337»cvičeni.Ob.1 em tělesa vytvořeného rotací plochy, omezené křivkou a)   x2 + y2 = 25 , kolem osy x 5 f^TJ
b)
x2
2
1 , kolem osy x ? f ^T&řJ % kolem osy y , C X*"^ J 2 2
c)   x? +   y^ = a^   kolem osy x 5 £~ ^| Ta' _7. 538»Objem tělesa vytvořeného rotaci plochy,omezené křivkami.
a) x2 .y2 = 16 , xy = Víš
, kolem osy x        8arcsin & -
.lnVli 7
b) x2 + 4y2 = 20, y = ^x2 a osou x, kolem osy y ; /" 2^ TJ
c) y2 = x , y = x2 , kolem osy xj      ^ jT7 .
III, Délka     oblouku     rovinné křivky.
Jako element oblouku křivky,tzv.diferenciál oblouku,zavádíme výraz
dS
(dx)2 + (dy)2 ,
jeaož geometrický význam určime snadno z geometrického znázornění diferenciálu funkce.Pro různá vyjádření rovnice křivky dáváme mu různý tvar s
Při explicitním tvaru rovnice křivky   y = f(x) i
ds
)
2dx= /lY
y'2dx
1 + y dx
Při parametrickém vyjádření x= ý?(t), y= 1p (t) t
ds = ^j>2 + dt
Při vyjádření polární rovnicí   r =  <^íf ) >
"dt
ds
d^?
~"2 , _ r a<p
(159)
(16C)
(161)
359.cvičeni. Vypočítejte délku oblouku křivky 1
a) y2
c) y
d) y
e) x
ax*   v intervalu  <0 , x>   j   ^~ |V(~| + axP   - jfa _7 b)   y2 = (x+1)5 ,vyíatého přímkou   x= 4   ;   C  ^7 _7 ln sinx   v intervalu   <£ x * T T>,   ^~ln 3 _7
|( ex+ e_a: )   v intervalu <-l,2;>  ,   ^~ |(e2 + e - e-2- e"1 )_7
t6 t4 _ 1
^— ,   y = 2 - jj-   mezi průsečíky s osami souřadnic ; C ^X J
f)   kardioidy   r = 2a(l~ cos J>)    ; f 16a _7
DESÍTKA   ÚLOH   čís. 7<f   j      Vypočítejte délku oblouku křivky 1
1)     y2 . (2x - l)5    v intervalu    <1 , 2>   ; f^(28^7 - 5VIÔ)_7
2) y2 = g(2 - x)5     vyíatého přímkou   x= -1;    /"   š| _7
3) y   = ^(x-3).Vx    mezi průsečíky s osou x;   <f" 2»^3 _7
4) 7   = f| v intervalu <0,a>        ^|.\/ä2+ p2 + |ln
a,
- 182 -
5) y = ln(l - x2)        v intervalu    <0 , \ >5        f lnj - | J
x -x
6) y = f( ea + e a )   v intervalu    <0 , a>;        f |(e - e~1)_7
2       2 2
7) x? + y^ = a3    ,   interval <0, ^> v 1. kvadr.j    ^" |a _7
2 t   2 ]/""
6)     x = t   , y = j(t - 3)   mezi průsečíky s osou     £~ 4.V3 _7
9)     x = a(t- sint) , y = a(l- cost)   v int.^O.Ž^ \[" 8a _7
10)     jednoho závitu Archimedovy spirály r = a.tf>   ;^ä3sVl+43I2+ |ln(2?+Vl-»4^372) 7
IV. Obsah    rotačni plochy.
Element obsahu rotačni plochy se vyjadřuje jako plaší válce o poloměru y a výšce ds.
j   dS = 2Ty.ds   při rotaci krivky dS=£#xds pri rotaci kolem •
j b kolem osy x; b osy y '
j     S = 2J /y.ds S = 2TJx.ás Í (162)
. ^ a a I
Za diferenciál ds dosadíme jeden z výrazů (159),(160),(161) podle toho,jakou rovnici je řidiči křivka vyjádřena(explicitně,parametricky nebo v polárnich souřadnicich.)
Meze a,b se vztahuji k proměnné, jejíš. diferenciál obsahuje příslušný diferenciální výraz pro ds. 540.cvičení. Vypočítati obsah plochy vytvořené otáčením oblouku křivky
a) y = ^    v intervalu    <0 , 2>   ;     f ^.(ľ?.Vl7 -1)T_7,(kolem osy x)
b) y = 4 + x  vyEatého přímkou  x= 2;   £" —y&7, (kolem osy x)
c) y = sin x   v intervalu <0 , /" 2#ľ(Víí + ln(l+ V2 (kolem x)
d) x = 2y    vyíatého přímkou   y= | ,kolem osy y;   [~ 'J
e) x2* y^= r2     kolem osy x ; /" 4^r2 _7
f) x2* y2= r2     v intervalu <a,b>   ,kolem osy x;   £~ 2 Tr(b-a) 1
g) x = t2, y = "kt^- 3) mezi průsečíky s osou x,kolem osy x;   /" 3JT 7
h) x = ^—, y = 4- £— mezi průsečíky s osami souř.,kolem osy x;j/~2<;,6Wj k) lemniskaty r2= 2a2cos2cp   ,kolem osy y ; ^~4^"a2V2" _7
DESÍTKA   ÚLOH   čis. 71 Obsah plochy vytvořené otáčením oblouku křivky
__________________________1
x      -x g
1) y = |( ea + e a )     v intervalu ^0, a>   ,kolem osy x; [JT j- (e ~€ + 4)/
2) 9ay2 = x(3a - x)2    mezi průsečíky s osou x,kolem osy x; £3 3Tq2]
3) y = tg x    v interv.   <0, %> .kolem osy x;<fT(V5 -V2 ♦ lnft5
4) 4X2* y2 = 4     kolem osy y ; /" 2^(1 + ^Í)J
2       2 2
5) x? *      ss a*  kolem osy x ; £' -ifj^a2 7
6) x = a(t- sint), y= a(l- cost) v int. <0,2^> ,kolem osy x; f ^T&2 J
- 183 -
7) x = a.cos5t , y = a.sin5t , kolem osy x ; f i|jpa2_7
8) x * e*.8int , y s et.cost y int. <0,f> ,kolem osy x;^" ^/2T{eT~ 2) _7
9) lemniskaty   r2 s 2a2cos2(j> kolem polárni osy ; /"4/a2(2 - V£) _7 10) kardioidy    r = a(l+ cos^ kolem polárni osy ; C ^a2 .7
§ 43. FYZIKÁLNÍ   APLIKACE   URČITÉHO INTEGRÁLU.
Statický    moment    a těžiště.
Statický moment hmotného útvaru U (předpokládáme konstantní specifickou hmotu 1 ) vzhledem k ose p nebo k rovině J3 vyjadřujeme za jistých podmínek určitým integrálem.Pro jeho sestaveni užijeme opět „diferenciálu stat.momentu"dMp nebo díly ,který bude stat.momentem elementu útvaru vzhledem k ose p nebo k rovině ^  .Přitom si uvědomujeme,že těžišti útvaru U přisuzujeme hmotu celého útvaru a že stat.moment útvaru U se rovná stat.momentu jeho těžiště,
Dovedeme-li určit vzdálenost v těžiště elementu útvaru U od osy p nebo od roviny Q ,bude
1 dMp = dU.v nebo diy =   dU.v ,
kde dU při konstantní specifické hmotě 1 zastupuje hmotu elementu útvaru. Pak
b b
tóp =   y"dU.v       nebo = JäĽ.v
a a (Z geometrických aplikaci vime,že dU je vyjádřeno diferenciálem integrační proměnné.)
Vyjádříme-li rovnost statických momentů útvaru U a jeho těžiště T rovnici
lip =   U.v nebo M^, =   U.v ,
obdržíme pro vzdálenost v těžiště od osy p nebo od roviny C rovnice
v
= nebo v =
»
kde M   nebo líp a velikost útvaru U nahradíme určitým integrálem. Jestliže osa p je totožná se souřadnicovou osou xfpřípadně y, nebo rovina J3 se souřadnicovou rovinou v prostorové analytické geometrii,pak vzdálenost v je jednou ze souřadnic těžiště.V dalším budeme uvažovati jen takové případy.
Statick^momentjslochj omezené křivkou y=f(x) ,y>0,osou x a přímkami x=a,x=bt
.....		*2			• ■
■ l a) vzhledem k ose xt	vi	J^áx , což plyne z		= J.ydx	• • • • •
« •					: (163) •
• ; b) vzhledem k ose yi • • •	M = y	/xy dx, což plyne z xl	dMy	= x.ydx	0 • • • • «
Statický moment součtu (rozdílu) ploch se rovná součtu (rozdílu) stat.momentů.
y"xy dx í
— ?--£--v-
a a :
- 184 -
541.cvičani. Vypočtěte souřadnic© těžiště plochy omezené
a) křivkou   y = -^as2 , osou x a přímkou x= a ? £~( |a , ^ ) 7
b) čtvrtkružnici   (v l.kvadrantě ) ; C^JJF * W"^ 7
c) půlkružnici      (v l.a 2.kva&rancě) ; £"( o , ^) 7
d) křivkami   y2 = 4x ,   x2 = *y ; | t | >7
e) obloukem cykloidy x=a(t- sint), j s a(l- COBt) ;            £~{T& , |e)_7
ř) obloukem Árchimadovy spirály r = a.(p a průvodičem   /-(6a^-jf2 ^aí^-č))?
v intervalu <0» ,T>; - '    ^2 -
DESÍTKA   ÚLOH   čís. ?2   j    Vypočtěte souřadnice těžiště plochy omezené
1) křivkou   y2 = x, osou x a přímkou   x = a ; ^" ( |a , |i/ä ) _7
2) obloukem elipsy a osami souřadnic (v l.kvadrantě);^" í ^r-,        ) _7 5) křivkou   y = 4- - r"   a osou x 5                               /" ( 0 , | ) _7
^) křivkou  Vx +      e Veí   a osami souřadnic; /~ ( | , f ) _7
5) krivkami   y2 = x , y = x? i /"(       ^ ) _7
6} obloukem elipsy,kružnic3 a osou y (v 1,kvadrante)-,/~ ( ^^fy^ 5 _7
7) křivkou  y a sin x    a osou x ; í~ < £ t p )_7
8) obloukem asteroidy   x - a.oos^t , y a a.sin^t •      /" ( 256a      256a   ) 7 a osami souřadnic v l.kvadrantě
9)   kardioidou   r s a(l + coscp),    í"( §* » 0) J
i/l
10)   obloukem spirály r s ey a přímkami <f*0, <f x £; ľf/ ■r7"??* ,H^ř~~T J
'      '    - l5Ce - 1)   15(e -jl)
Poznámka.Při parametrickém vyjádřeni křivky dosadime do vzorců Cl6j)»(l64-) za x,y   a dx   z parametrických rovnic.
Při vyjádřeni polárními souřadnicemi dosazujeme do těchže vzorců za x,y   z rovnic transformačních  x=r.cos <p*y=r.sin y?,kde za r dosadíme z polární rovnice. Někdy jsou výhodnější přímé vzorce pro polární souřadnice s
. Iji?.8±n<páy>, My = 5/ ^'Cos^d^ (165)
Staticky moment rotačních těles (při rotaci kolem osy x)vzhledem k roviněJJ-i-x :
i'''4-"* • " r
: r2 :
•     Mjo =   jFy xy^dx   , což plyne z   dMp a J^áx.x   5        li^   =   0      '• (166)
i x, :
1 m :
;     Souřadnice těžiště s   ^ =  — ,     V =   0   ,   kde   V   je objem. '.
^ „--------------—    )       v :
34-2.cvičení. Vypočtěte souřadnice těžiště
a) polokoule |r, 0 ) 7 5 b) rotačního kužele o poloměru r a výšce v ;
~fí Jv , ô) _7
c) úseče paraboloidu o výšce v,vzniklého rotací paraboly 2
y2 = 2px   kolem osy x . i"C jv , 0) 1
- 185 -
i    Ľ   ŕ- 4-
' • 9 a ■ » e o i
i • t> • « « «
a) vzhledem k ose x s b
a
což plyne z
b) vzhledem k ose y i b
r
My = yx.ds ,
a
což plyne z   dM   a dsex
Souřadnice těžiště
' f-.
s
7=
, kde s je délka oblouku.
» o • * »
Za ds dosadíme jeden z výrazů (159)t(160),(161) podle vyjádřeni křivky. ?43„cvičení. Určití souřadnice těžiště a) čtvrtkružnice se středem v počátku ;
2r
/"Y ᣠ   2r \
)
b) půlkružnice     se středem v počátku 1
x -x
c) oblouku řetězovky   y = w.( ea + e a mezi body x^= -a,x-=u 5
d) oblouku cykloidy   x~ a(t~ sint), y= a(l~ eoat);
3T
7
7
,-v,    a(e + 4e - 1) 4e<7- 1)
e) oblouku asteroidy x= a.cos- t ,
y= a.ain^t
{"iT&, *a   ) 7
-•2 2 /""( 15a, j»a   ) _/
f) oblouku kardioidy r = a(l+ cos<p) v int.  <0, /"( t»a, %a.   ) _7
sÍ^i£S™S2S§9£_í"2.J£äšSi£S_£Í££^ä-»ílliiíá (při rotaci kolem osy x )vzhleáem k rovině p J_ x    a procházející počátkem i
-   « i  'ä  *   '   * --f  % ^ <ŕ *  *  *  *  * * b 1   *   ŕ   »   -  .   - *  ^   .   .:   „      ■.   u *  -  i  -   t   c   t   n .   «      -  *   -> v  t   e ■   b   í-  1.   «   s * * e o •
b
V.
xy ds   , což plyne z    dU« = 23ryds.x 1     M,„ s G
(168)
Souřadnice těžiště:
0 s kde S je obsah plochy,
Za de dosadíme jeden z výrazů (159) , (160) , (161) podle vyjádřani křivky. 344.cvičeni. Vypočítat! souřadnice těžiště
a) pláště přímého kužele o poloměru r a výšce v ; f~{ yv , 0)_7 _
b) poloviny plochy kulové 5 " /"( jr1" » 0)_7«
Pozná
k a
k definici   určitého integrálu
PriSciE_Žel!Í31i£e_2EĚiÍá&2_iS$ěS£Éi2 funkce   f(x)   uvedeme stručně v pěti bodech
Operace
Zápis
1 # • * a
. v JDílčí bodys x (is0,l,2,.,.,n)
:   na n dílčích intervalů.     :Délka dil.inter.txH-x^.f= dx*
:2.Volba_bodu £k v každém díl±
l čím intervalu a určení hod-:   noty funkce v tomto bodST":
:3.Vytvořeni součinu hodnoty : Í   funkce f(fk) a veličinydxk:
* m * « * a
•4•Xl*S2ŽH4i£i-S£HŠ£Í :   (Integrálni součet)
f(^k) • £*k
B   ■   ■*   9   i ■
k:
í-   • f
y
f(x) dx
:5.PostU£n^*^emňovéní rozdě-j ^
• lani intervalu <a,b > .       : limOf(fk)<d :   Limita^o8loup_n2gti vytvo-:
♦ řujících součtů. :4v*o Příslušný obrazec najde posluchač v učebnici K-B-P-R,Matematika II,str.176.
Geometrický význam
Úsečka AB na ose x je
rozdělena na n úseček.
yk je souřadnice y pří*
slušného bodu na křivce   y s f(x) .
Obsah obdélníka o rozměrech ŕ(ŕk) t <dxk
Obsah plochy stupňovitého mnohoúhelníka.
Pro f(x)> 0 obsah plochy omezená osou x,scu radnicemi f(a) , f(b) a příslušným obloukes křivky   y = f(x) .
- 186
3
Pro aplikace určitého integrálu mé vysnem jeho vyjádřeni užitím limity vytvořujících (integrálních) součtů při označeni   dx^   pro délku k-tého dílčího intervalu a   x^   pro libovolný bod tohoto intervalu l
J =    /f(x)dx ^ J a
u» 2 řCxk)axk *
dx^ O K-i
lim >co &r-»0
íx-^dx^ + f(a^)dsj, +.....+ f(xk)dXj£ +..«....+ f(xn)dxri _/
Necht jistý jev probíhá tak, že síávíslost dvou jeho proměnných veličin x, y   je dána rovnicí   y - f (x) , které vyjadřuje funkci v intervalu <^a,b!> ohraničenou.Má-11 v tomto Jevu smyslí a) rozdílení intervalu <&,b> na dilči intervaly délky   dx^ ,   b) součic   f(xk)ôXjr   a   e) součet těchto součinů ,pak limitu těchto součtů,
pokud existuje,lze pro   n-e»oo   a   dx^-» O   vyjádřit určitým integrálem   J .
V geometrických a fyzikálních aplikacích   nazveme ílec vytvořujícího součtu f(xfc).dXj£   diferenciálem (elementem) veličiny,kterou užitím určitého integrálu vyjadřujeme;nspř. diferenciál (element) plochj dP,objemu dV,délky oblouku ds,povrchu dS,statického momentu dM.   apod.Označlme-li jej pro kterýkoli bod intervalu^,b> bez indexů pouze   f(x)«dx, pak pro ůtvar(veličinu) U zapisujeme t
ľ(x)»dx
ft (x).dx
J
Z fyzikálních aplikací uvedeme jen takové,které souvisí s aplikacemi geometrickýmii
statický moment      útvaru U vzhledem k ose x,8tat,moment Utvára U vzhledem k ose y,stať.moment Uc útvaru D vzhledem k rovině jí J_ x   a polohu těžiště. Následující tabulka jje jen návodem, jai. sestavovat příslušné r?ta~ hy z elementu útvaru,který je uveden v druhém sloupci.
Geom. útvar U	Element útvaru dU	Velikost útvaru
Plocha		b b ŕ f
obrazce	dP=y.dx=f(x).dx (obdélník)	P= /f(x)äx= /y.dx a a
P=obsah		
plochy		
	V parám.vyjádřeni x=«»(t) , y=^(t) dPáy(t).ýí(t).dt	f2      ' • p= yv(t).<p(t)dt
elementu útvaru vzhledem k ose x (y), vzhledem k rovine S> j_x
dJ;'x.-dP.^-y. &x .ijK jjr»dx
dU _adP.x=y.dx.x=xy ,dx.
dM
dt
Souřadnice tešistť
Statický momen celého útvaru
vzhlfcdem k ose x(y)l     TCf ,%, vzhledem k rovine p \f~ Jí/ííä , s
M,= é /y*dx v V
a
b
ra /xy.dx
- tx
6Í a P,
K,. P
Geom. útvar
U
Obsah plochy (pokrac)
Element útvaru
dU
V param.vyjádření; x= fit) , -j=lf> (t)
V polár.souřad. :
r - pí j> ) dP= j.r .dp
Velikost útvaru
Statický moment- elementu útvaru vzhledem?
a) k ose x,přip, y ,
b) k rovin! e J.x,pr.C-Ly
dMy= ý? . y • ýŕ>.dt
Statický moment celého útvaru vzhledem k ose x(y). vzhledem k roviněp
r
My=J Cp- ¥• o?.dt<
r*
'r5.sin a?.d
Souřadnice těžiště útvaru o hmotě M j
Arn
<p*df
H
M
1
Oblouk křivky
s=délka oblouku
ds
= l/(dx)2 +
(dyr
= 1/  1   + y'2dx
V parám.vyjádření t
ds= VfZ+ y .dt
V polar.souřad. :
1 + y' .dx
a
ds
= ^7^:df
Objem
V
rotač. tělesa
Při rotaci kolem x dV=T y2.dx
Při rotaci kolem y dV=Tx2.dy
s
= /l/^2+p2.dt /ft__
=ýY72T72.d5
dSLa y.ds=y.VT+y7'?.dx
dM = x.ds=x. ,dx
M   = /y.Vl+Y'2.dx
a -
II   = /x.Vl+y'*.
dx
M ,
— s
09
dx
dllf xdV.x r ÍTxy^dx
M =0 ,
x b
•t) _ _x
S
IL.
ImVi
0
V s 2T       .dy      Příslušné vztahy vznikají záměnou proměnných x a y.
o
p>
o
1-3 » M
O
Obsah S
rotač. plochy
Při rotaci kolem x dS= 2#y.ds
Při rotaci kolem y dS = 27Tx.ůh
b
* 2T h.V:
dx dt%=&e.x=2írxy„ds
M„ = 0 ,
x d
dx
•     s ŕ
Q