Matematická analýza 2 2024/2025 Z
2024-09-26 13:41:09
Předmluva
Obsahem textu jsou poznámky pro přednášky pro kurz Matematická analýza 2 2024/2025 Z. Hlavní probíraná témata jsou okruhy pro závěrečnou zkoušku.
Pořadí kapitol přibližně odpovídá harmonogramu výuky. Číslování všech objektů je pro pohodlnější vyhledávaní průběžné (např. poznámka, následující po větě 3.11, bude mít číslo 3.12).
Řada úvah, vysvětlení (a občas i důkazů), jež výklad doplňují a občas jsou nad rámec kurzu, se uvádí zejména pro lepši pochopení látky a jsou vysázeny drobnějším písmem.
Text je koncipován, v rámci možnosti, pro maximální stručnost a zaměřen k výkladu základů učiva bez nutnosti se obracet k jiným zdrojům. Nenajdete proto zde hlubší výklad Riemannova integrálu ani historické vědomosti (což lze nalézt v literatuře). Dle obsahu daného kurzu se konstrukce integrálu vysvětluje velmi zjednodušenou formou. Také integrál neurčitý se rozebírá před integrálem určitým, i když přirozenějším je pořadí opačné.
Toto je pracovní verze textu, předběžná a nekompletní. Soubor je průběžně upravován. Poznámky a připomínky: ronto@ped.muni. cz
2024-09-26 13:41:09
m
Obsah
Předmluva iii
Kapitola 1.   Pomocné vědomosti 3
1.1 Hyperbolické funkce a inverzní hyperbolické funkce .......... 3
1.1.1 Hyperbolické funkce..................... 3
1.1.2 Inverzní hyperbolické funkce.................. 4
1.2 Polynomy............................ 5
1.2.1 Součin kořenových činitelů.................. 5
1.2.2 Dělení polynomu lineárním jednočleném a Hornerovo schéma..... 6
1.2.3 Technika hledání kořenů polynomů s celými koeficienty....... 7
1.3 Racionální lomené funkce..................... 8
1.3.1 Ryze a neryze lomené funkce.................. 9
1.3.2 Parciální zlomky....................... 9
Kapitola 2.   Integrál neurčitý 13
2.1 Primitivní funkce a integrál neurčitý................. 13
2.2 Vlastnosti integrálu neurčitého................... 14
2.3 Výpočet integrálu neurčitého.................... 14
2.3.1 Tabulky základních integrálů.................. 15
2.3.2 Metoda integrace po částech (perpartes)............. 16
2.3.2.1 Princip integrace po částech.................. 16
2.3.2.2 Jednoduché příklady integrace po částech............. 17
2.3.2.3 Běžné typy integrálů, jež lze vypočítat integrací po částech...... 18
2.3.2.3.1 Integrály / p(x) cos(ax) dx, f p(x) sin(ax) dx a / p(x)eax dx.  ... 18
2.3.2.3.2 Integrály / eax cos(bx) dx, f eax ún(bx) dx........... 18
2.3.2.3.3 Integrály součinů typů / p(x)(lnx)m dx, f p(x)(arctgx)m dx, f />(x)(arcctg x)m dx 18
2.3.3 Metoda integrace s pomocí nové proměnné (substituce)....... 19
2.3.3.1 Princip integrace s pomocí nové proměnné............ 20
2.3.3.2 Způsoby využití metody substituce............... 21
1. způsob 21
2. způsob 21
2.3.3.2.1 Případ lineární substituce................... 22
2.3.3.2.2 Příklady integrace s pomocí nové proměnné............ 22
2.3.3.2.3 Technika zavedení do diferenciálu................ 24
2.4 Integrace některých často se vyskytujících typů funkcí.......... 25
2.4.1    Integrál racionální lomené funkce................ 25
2.4.1.1    Integrace ryze lomené funkce.................. 25
i
2.4.1.2    Integrace parciálních zlomků.................. 27
2.4.1.2.1 Parciální zlomky 1. druhu................... 27
2.4.1.2.2 Parciální zlomky 2. druhu................... 27
Případ k = \ 27
Případ k > 1 28
2.4.2 Integrály typu / i?(cos x, sin x), kde R je racionální lomená funkce   .  . 29
2.4.2.1 Univerzální trigonometrická substituce.............. 29
2.4.2.2 Speciální případy...................... 30
2.4.3 Integrály typu / R[x, T/^f) dx, kde i? je racionální lomená funkce . 32
2.4.4 Integrály typu / i?(x, sjax2 + fix + y),kde i? j e racionální lomená funkce 34
2.4.4.1 Eulerovy substituce...................... 34
2.4.4.2 Některé speciální případy................... 34
2.4.5 Různé příklady....................... 39
Kapitola 3.   Integrál určitý 41
3.1 Integrál neurčitý - opakování.................... 41
3.2 Zavedení určitého integrálu..................... 41
3.2.1 Plocha pod křivkou a integrál kladné funkce............ 41
3.2.2 Integrál funkce libovolného znaménka.............. 42
3.2.3 Existence integrálu určitého.................. 42
3.3 Vlastnosti integrálu určitého.................... 43
3.3.1 Linearita integrálu...................... 43
3.3.2 Newton-Leibnizův vzorec................... 44
3.4 Výpočet integrálu určitého..................... 45
3.4.1 Metoda per partes...................... 45
3.4.2 Metoda substituce...................... 46
3.5 Další příklady určitých integrálů................... 49
3.5.1 Integrál racionální lomené funkce................ 49
3.5.2 Univerzální trigonometrická substituce.............. 49
3.5.3 ............................. 50
3.6 Geometrické aplikace integrálu určitého................ 53
3.6.1    Plochy ohraničené křivkami.................. 53
3.6.1.1 Plocha geometrického útvaru ležícího mezi grafem a osou x..... 53
3.6.1.2 Plochy ohraničené dvěma grafy................. 54
Literatura 61
2
§2
Integrál neurčitý
§ 2.1. Primitivní funkce a integrál neurčitý
Mějme funkci / definovanou a spojitou na nějakém intervalu (a, b). Pojmy primitivní funkce a integrálu neurčitého slouží pro zodpovězení otázky: derivací čeho je výraz f (x) ?
Definice 2.1. Primitivní funkce k funkci / na intervalu (a, b) je taková funkce F, že pro každé x z (a,b) platí F'(x) = fix).
Např. funkce F(x) = |x3 je primitivní funkcí k f (x) = 5x2, neboť F'(x) = | • 3x2 = 5x2 = fix). Navíc všechny primitivní funkce pro fix) = 5x2 mají tvar F(x) = |x3 + C, kde C je libovolná konstanta (toto platí i obecně).
Definice 2.2. Výraz
j f (x) dx = F (x) + C,   x e (a, b), (2.1)
kde F je funkce primitivní k / a C je libovolná konstanta, se nazývá integrálem neurčitým funkce /.
Poznámka 2.3. Jinak se dá říci, že integrálem neurčitým dané funkce je jakákoliv její primitivní funkce, anebo souhrn všech primitivních funkcí. Integrál neurčitý se tedy definuje jednoznačné až na „aditivní konstantu". Pojmy primitivní funkce a integrálu neurčitého jsou vesměs shodné.
Symbol f je označován jako integrační znak, funkce / se nazývá integrandem a formální symbol „dx" slouží k označení proměnné, podle níž daný výraz integrujeme. Zápis čteme takto: „integrál z fix) podle x".
Neurčitý integrál (2.1) zodpovídá otázku: jak vypadají všecky možné výrazy, které po zderi-vování vzhledem k proménné x se proméní na f (x) ? Platí tedy, že
(J f(x) dx) = f{x),        F'(x)dx^ = F{x) + C, (2.2)
kde C je libovolná konstanta. Operace derivování a nalezení integrálu neurčitého jsou v tomto smyslu navzájem inverzní. Konstanta C se nazývá integrační konstantou.
VĚTA 2.4 (o existenci primitivní funkce). Ke každé funkci spojité na intervalu (a, b) existuje na tomto intervalu funkce primitivní a tudíž má funkce integrál neurčitý.
Poznámka 2.5 (o užití diferenciálu). Zápisu f /(x) dx místo logičtějšího //se užívá zejména z důvodů historických (jasnější to je v případě integrálu určitého, kde vystupují určité součty přírůstků funkce, vynásobené přírůstkem argumentu; § 3.2).
13
Toto označení však má svůj smysl a poskytuje určitou výhodu. Nehledě na to, že „dx" v zápisu integrálu je pouze formální symbol, jenž značí proměnnou, podle níž se integruje, v praxi je pohodlné (a z hlediska výpočtů také vhodné) tlumočit výraz ,,f(x) dx" jako ,,f(x) ■ dx" („/(x) krát dx"). Píšeme tedy např. f ^ dx = f ^r-
Všude dále v této kapitole platí
Úmluva 2.6 (o vynechání integrační konstanty). Jelikož integrační konstanta k výsledkům integrace vždy automaticky patří, bez újmy na přesnosti ji občas budeme pro zkrácení zápisu vynechávat.
§ 2.2. Vlastnosti integrálu neurčitého
Základními vlastnostmi integrálu neurčitého jsou relace (2.2). Vzhledem k § 3.1 a vlastnostem derivace platí vlastnost linearity integrálu: pro libovolné spojité funkce fx, f2 a konstanty Aj, A2 je
j(Xifi(x) + X2fi(x)) dx = Ai j fi(x) dx + A2 j f2(x) dx.
Mimo jiné, konstantu lze vždy vytknout před znak integrálu a integrál součtu (rozdílu) dvou výrazů je součtem (rozdílem) příslušných integrálů.
Poznámka 2.7 (důležité varování). Neexistují smysluplné vzorce, které by vyjadřovaly / f(x)g(x) dx nebo /      dx přes / /(x)dxa / g(x) dx!
§ 2.3. Výpočet integrálu neurčitého
„Výpočtem" integrálu neurčitého se rozumí jeho vyjádření s využitím konečně mnoha elementárních funkcí pomocí algebraických operací a operace složení. Např. f (x2 + 5e3x) dx =
^- + |e3x+C (výsledkem je lineární kombinace funkcí mocninné a exponenciální); J xe*2 dx =
\ex2 + C (složení funkcí exponenciální a kvadratické), kde C je libovolná konstanta.5
Derivace konkrétních funkcí vždy vypočítáme podle známých pravidel derivování, to jest výsledek je svým způsobem garantován a k jeho dosažení stačí jen znát základní vlastnosti derivace a tabulku derivací elementárních funkcí. V případě integrace je situace odlišná: může se totiž stát, že neurčitý integrál nějaké funkce zásadně „nelze vypočítat". Toto znamená, že existují elementární funkce, jejichž primitivní funkce již mezi elementární funkce nepatří. Je tomu tak např. pro /(x) = e~x , /(x) = sin(x2) apod.; jsou to funkce, pro něž nelze integrál / /(x) dx žádným způsobem vyjádřit přes funkce elementární (to jest mocninné, exponenciální, trigonometrické, polynomiální, racionální lomené).6
Poznámka 2.8. Na rozdíl od derivací, pro integrál platí, že:
5Kontrola zderivováním:      + |e3x + C)' — \3x2 + |e3x3 — x2 + 5e3x; (e*2)' — 2xe%2. 6Skutečnost, že se nějaký integrál nevyjadřuje ve funkcích elementárních, nikterak nesvědčí o jeho podřadném významu nebo nepoužitelnosti. Například, funkce erfx =      f£ e~r át je důležitá v teorii pravděpodobnosti
(tzv. chybová funkce), funkce Cq{x) = f£ cos (qx2) dx a Sq(x) = f£ sin (qx2) dx jsou tzv. integrály Fresnelovy, jichž se užívá ve fyzice apod.
14
(1) ne každý integrál neurčitý „lze vypočítat";
(2) i pokud daný integrál neurčitý vypočítat lze, je potřeba nalézt způsob jak to udělat. Obecně platná metoda pro výpočet libovolných integrálu neexistuje.
Pro integrál, jež explicitně vypočítat lze, můžeme očekávat následující případy:
(1) vzorec pro integrál je znám bezprostředně z tabulek;
(2) po vhodné úpravě lze obdržet integrál, shodný s některým z tabulkových nebo jemu podobný;
(3) na integrál lze (bezprostředně nebo po úpravě) aplikovat jednu z integračních metod (integrace s pomocí nové proměnné nebo po částech; §§ 2.3.2, 2.3.3).
§ 2.3.1. Tabulky základních integrálů
Přečtením tabulky známých derivací elementárních funkcí v opačném směru přirozeně vzniká užitečná tabulka základních integrálů (viz tabulka 2.1).7
n + l
n + 1
ex dx = ex I ax áx = -=—   (a ^ 1) (2.5)
j x" dx = ^—r (n ŕ -1) / — = ln \x\ (2.4)
/
j cos x áx = sinx j sin x áx = — cos x (2.6)
ľ   áx ľ _.
/   1 +x2 = WCÍ%X J -— = (2J)
ľ áx	= ln x
J ~	
1 ax áx	ax = f- 0 lna
sin x áx	= — cos x
f áx	
COS2 X	= tgx
Tabulka 2.1. Integrály některých elementárních funkcí.
Vskutku, máme {xm)' = mxm~l a pak pro m ^ 0 platí xm~l = = (^f) , to jest
F(x) = ^ je primitivní funkcí k f (x) = xm~x. Dále platí (ex)' = ex, (sinx)' = cosx, (cosx)' = — sinx, (arctgx)' = atd. Podobným způsobem se odvodí integrály řády
dalších známých funkcí.
Jiné často využívané vzorce pro integrály nalezneme v tabulce 2.2; jejích odvození však je složitější.
Tyto „tabulkové" integrály v uvedené podobě zpravidla nepotkáme a u konkrétních integrálů je potřeba vymyslet vhodné úpravy.
Pro lepší přehlednost v této tabulce vynecháváme libovolnou aditivní konstantu, která tam, samozřejmě, vždycky patří.
Druhý vzorec v (2.4) chápeme jako přehlednou, avšak neúplné přesnou podobu vzorce (2.3), vyjadřujícího integrál f I když tento vzorec v takovéto zkrácené podobě zcela běžně potkáváme, jeho matematicky precizním zněním je
/áx      \ ln (—x) + Ci   pro x < 0, — =      V    '      1   ť (2.3) x      I ln x + C2       pro x > 0,
kde Ci a C2 jsou libovolné konstanty. Integrační konstanty zde tedy mohou být různé na levé a pravé poloose. Důvodem je fakt, že ln \x \ není v bodě x — 0 definován a tak se definiční obor této funkce dělí na dvě části, na nichž se výraz - integruje zvlášť.
15
/ /
x
dx = arcsin--h C (2.8)
VA2 - x2 A 1
V x2 ± B
dx = ln
x
+ Vx2 ± B
+ C (2.9)
/ /
1 1 x
dx = — arctg - + C (2.10)
A2 + x2 A A
1 1 ,   A + x
dx = — ln
A2 - x2 2A
A- x
+ C (2.11)
Tabulka 2.2. Další často využívané integrály.
příklad 2.9. Integrál f cos2 | dx v tabulkách bezprostředně nenalezneme. Vypočítáme ho však velice snadno pomocí vzorce pro cosinus dvojitého uhlu, jenž nám umožní mocninu snížit:
/j X 1   ľ X      1   ľ x 1
cos — dx = - / (1 + cos x) dx = —I— / d(sinx) = —I— sin x + C. 2 2J v ' 2    2J    v      '     2 2
§ 2.3.2. Metoda integrace po částech (per partes)
Metoda integrace po částech může být vhodná v případech, když je integrand ve tvaru součinu dvou výrazů, z nichž jeden je žádoucí zderivovat a druhý dovedeme integrovat.8
§ 2.3.2.1. Princip integrace po částech
VĚTA 2.10 (o integrací po částech). Pro diferencovatelné funkce u a v platí
j u{x)v'{x) dx = u(x)v(x) — j v{x)u'{x) dx. (2.12)
Důkaz. Mějme dvě diferencovatelné funkce u a v. Pak dle pravidla derivovaní součinu je (uv)' = uv' + u'v, odkud uv' = (uv)' — vu' a proto
j u(x)v'(x) dx = j(u(x)v(x))'dx — j v(x)u'(x) dx. (2.13)
Podle (2.2) platí9 f (u(x)v(x))' dx = u(x)v(x) a proto z (2.13) integrací obdržíme (2.12). □ Poznámka 2.11. Využijeme-li pojmu diferenciálu, můžeme zapsat vztah (2.12) v podobě
j u(x) dv(x) = u(x)v(x) — j v(x)du(x), (2.14)
která je obvykle pohodlnější k zapamatování.
Způsobu výpočtu integrálů, jenž se zakládá na vzorcích (2.12), (2.13), se říká integrace po částech neboli per partes. Využití této metody je vhodné, jestliže bude integrál f v(x)u'(x) dx jednodušší než f u(x)v'(x) dx (to jest zderivování u při současném zintegrování v' zpět na v situaci v nějakém smyslu zlepšuje).
Je to, v podstatě, jediná funkční náhražka chybějícího pravidla integrace součinu.
9Můžeme zde vzít konstantu integrování rovnou 0, protože se v součtu (2.12) vyskytuje další neurčitý integrál, obsahující integrační konstantu.
16
§ 2.3.2.2. Jednoduché příklady integrace po částech
příklad 2.12. Vypočtěme integrál f x cos x dx s pomocí integrace per partes.
Řešení. Oba dva činitele x a cos x se dobře derivují a integrují, avšak pro ten první je x' = 1. Zvolme tedy ve vzorci (2.12) u(x) = x; pak musí být v'(x) = cos x, odkud dostaneme v(x) = f v'(x) dx = f cos x dx = sinx (viz tabulka 2.1) a tudíž dle (2.12)
/u        v' u        v u' v
1^ ■ cos x dx = 1^ • sin x — /   1 • sin x dx = x sin x — / sin x dx.
Integrál f sin x dx je tabulkový (f sin x dx = —cos x až na aditivní konstantu; viz (2.6)) a proto
j x cos x dx = x sin x — j sin x dx = x sin x + cos x + C,
kde C je libovolná konstanta. □
Poznámka 2.13 (o správné volbě členů). Pro úspěšnou integraci po částech je třeba v (2.12) rozumně zvolit u a v'. Položíme-li, např. v f x cos x dx z příkladu 2.12 u (x) = cos x, v'(x) = x, bude u'(x) = — sin x, v (x) = f x dx = \x2 a dostaneme
ľ 1    7 1    ľ J
I x cos x dx = —x cos x H— / x sin x dx, J 2 2J
což je výsledek nevyhovující, jelikož ukol výpočtu integrálu f x2 sin x dx není nikterak snadnější než původní zadání. Nevhodná volba členů tedy způsobí, že při integraci po částech k zjednodušení původního integrálu nedochází (je zřejmé, že by v tomto případě bylo vhodné člen x právě derivovat, nikoliv integrovat).
Metody integrace po částech lze, samozřejmě, využít i opakovaně.
příklad 2.14. Vypočtěme / x2ex dx.
Řešení. Vzhledem ke zkušenosti s příkladem 2.12 budeme derivovat x2 (zjednoduší se) a integrovat ex (umíme to provést). Metodu integrace po částech zde použijeme dvakrát:
2 ix u=x ,       v =e		u=x, v'=ex
ur=2x, v=f ex dx=ex		u' = l, v=ex
		
x2ex dx = x2ex	-2	xex dx =
j x V dx = x V - 2 j xex dx = x V - 2 {xex - j ex dx^J
= x V - 2 (xex -ex) + C = (x2 - 2x + 2)ex + C.
Integrační konstantu stačí přidat až na konci. □
V některých případech integrace po částech nevede přímo na konečný výsledek, avšak po jejím opakovaném využití obdržíme vztah, jenž lze chápat jako rovnici pro určení hodnoty integrálu.
příklad 2.15. Vypočtěme integrály
I(x) = J excosxdx,  J(x) = J e*sinxdx. (2.15)
Řešení. Jelikož (ex)' = ex a derivace sinu a kosinu jsou, až na znaménko, znovu kosinus nebo sinus, očekáváme, že metodou per partes jeden z těchto integrálu převedeme na ten druhý a naopak, přičemž v daném případě není důležité, který z těchto členů budeme derivovat. Vykonáme-li toto dvakrát, dostaneme zase integrál původní a tudíž i vztah pro určení jeho
17
hodnoty. Uvažujme např. J(x) a. proveďme per partes s u(x) = sinx, dv(x) = ex dx; pak bude du(x) = cosx dx, v(x) = f ex dx = ex a tudíž
u dv u       v v Au
J(x) = j sinx ex dx = sinx ex — j ex cosx dx = ex sinx — I(x). (2-16) Vykonáme-li podobné úpravy s I(x), obdržíme
což znamená, že I(x) = ex cos x + J (x). Odvodili jsme tedy, že pro uvažované integrály platí vztahy
I(x) = ex cosx + J(x),  J(x) = ex sin x — /(x), odkud dostaneme I(x) — J(x) = ex cos x + J (x), I(x) + J (x) = ex sin x a tudíž je
/(x) = -e* (sin x + cosx) + C,   J (x) = -e* (sin x — cosx) + C.
Přidali jsme na konci integrační konstantu, jelikož integrál neurčitý má zahrnovat všecky primitivní funkce.
Poznamenejme, že, zajímá-li nás pouze jeden z integrálů (2.15), např. J(x), stačí v (2.16) provést integraci po částech ještě jednou, čímž získáme rovnici pro určení J(x). □
§ 2.3.2.3. Běžné typy integrálů, jež lze vypočítat integrací po částech
Metodu per partes je vhodné použit zejména pro následující často se vyskytující typy integrálů:
§ 2.3.2.3.1. Integrály / p(x) cos(ax) dx, / p{x) sin(ax) dx a / p(x)eax dx
Integrand je ve tvaru součinu polynomu p(x) a funkce, jejíž integrál lze snadno vypočítat. Derivujeme pak ten polynom (u = p(x)), v novém integrandu obdržíme polynom nižšího stupně (per partes aplikujeme několikrát, až se polynom zderivuje na konstantu). Modelem je příklad 2.12.
§ 2.3.2.3.2. Integrály f eax cos(bx) dx, f eax sin(bx) dx Zde oba dva činitele lze zcela jednoduše integrovat i derivovat. Jelikož (sinx)' = cosx, (cosx)' = — sinx, vychází, že lze f eax cos(bx) dx vyjádřit přes f eax sm(bx) dx a naopak. Použijeme-li per partes dvakrát (ve stejném směru, abychom se nevrátili na začátek!), obdržíme vztah, jenž lze považovat za rovnici pro určení daného integrálu (příklad 2.15).
§ 2.3.2.3.3. Integrály součinů typů / p(x)(ln x)m dx, J p (x) (arctg x)m dx, / p (x) (arcctg x)m dx
Integrály tohoto typu, kde m je přirozené číslo a p(x) je polynom, lze vypočíst integrací po částech (derivujeme člen s ln x, arctg x, arcctg x). Společným u těchto integrálu je to, že derivace ln x, arctg x, arcctg x jsou racionální výrazy, kdežto integrálem polynomu je opět polynom. Je-li m > 1, integraci po částech provedeme víckrát.
Podobně lze vypočítat f />(x)(arcsinx)m dx / />(x)(arccos x)m dx
PŘÍKLAD 2.16. Vypočtěme f arcsinxdx.
18
Řešení. Integrací po částech obdržíme
ľ —--- ^-- f ^      1 1 ľ
I   1 • arcsin x dx = x arcsin x — I  x    , dx = x arcsin x--/
J J      VT^ 2J
1 ľ d(l -x2)
\Jt — x
1    ľ j _1 2
= x arcsin x + - / (1 — x ) 2 d(l — x ). Jelikož s 1 — x2 = s, —2x dx = ds je
/(.-^l-**) = /»"* d, =2,4 =2(1-,>)*.
dostaneme
(2.17)
/
arcsin x dx = x arcsin x + Vl — x2.
PŘÍKLAD 2.17. Vypočtěme /(arcsinx)2 dx. Řešení. Podobně příkladu 2.16
f T /     •    ^ •    Ti /'^2arcsinx
/   1 • (arcsinx) dx = x (arcsinx) — /  x — dx
(2.18)
Ve výsledku opět integrujme po částech s u = arcsin x, v' =   r^-^ (to Jest tak' arjy byl
V 1— x2
zderivován zase člen s arcsin x); dle (2.17) bude v = f 7^-^ dx = f r-^—r d(l — x2) =
J  VI—x2 J  VI—x2
2 V1 — x2 a tudíž
ľ    ~2x   '-*        '   i -^    ľ   i 1
/ arcsin x dx = 2 V1 — x2 arcsin x — / 2 V1 — x2   , dx
J Vl - x2 y Vl - x2
= 2 V1 — x2 arcsin x — 2x.
Dosazením do (2.18) dostaneme
/
(arcsin x)2 dx = x (arcsin x)2 + 2 V1 — x2 arcsin x — 2x.
§ 2.3.3. Metoda integrace s pomocí nové proměnné (substituce)
Metoda integrace s pomocí nové proměnné, jak říká její název, je založena na zavedení nové integrační proměnné, např. t, místo původní proměnné x prostřednictvím určitého vztahu typu x = 0(ř) anebo t = Ý(x) (tzv- substituce). Aplikujeme-li tuto substituci v nějakém integrálu / g(x) dx, po vyloučení původní proměnné x z integrandu g(x) a diferenciálu dx dostaneme jiný integrál podle nové proměnné. Substituci lze hodnotit jako úspěšnou, dostaneme-li ve výsledku integrál v nějakém smyslu jednodušší nebo vhodnější pro další úpravy.10 Po výpočtu pomocného integrálu podle nové proměnné je potřeba se vrátit k proměnné původní.
10A, samozřejmé, v první řadě, je-li vůbec možné danou substituci korektně provést, to jest jsou-li splněné příslušné podmínky.
19
§ 2.3.3.1. Princip integrace s pomocí nové proměnné Derivujeme-li složený výraz tvaru F((f>(t)), dle řetězového pravidla máme
^-F(4>(t)) = F'(4>(t))4>'(t).
dt
Integrací tohoto vztahu (za předpokladu spojitosti funkcí /, 0 a 0') bezprostředně dostáváme
/(0(O) 4>'(t)dt = F(<t>(t)) + C, (2.19)
/
kde / = F'. Jelikož F je funkcí primitivní pro /, platí F(x) = f f (x) dx a tudíž lze vztah
(2.19) zapsat ve tvaru
j fm)cj)\t)dt = j f(x)dx, (2.20)
kde v integrálu na pravé straně po jeho výpočtu za x dosadíme x = 0(0- Připomeneme-li si pojem diferenciálu,11 můžeme tuto skutečnost vyjádřit názornějším vzorcem
j /(0(O) d0(ř) = j f(x)dx, (2.22)
jenž je ekvivalentní s (2.20). Shrnutím uvedených úvah obdržíme takovou větu.
VĚTA 2.18 (o integrací s pomocí substituce). Buďte / funkce spojitá na intervalu (a, b) a 0 funkce definovaná na intervalu (a, /3) a mající v každém jeho bodě derivaci, přičemž 0(0 e (a, b) pro všechna t e (a, /3). Potom pro každé t e (a, /3) platí uvedené výše rovnice
(2.20) , (2.22), dosadíme-li na jejich pravých stranách po výpočtu integrálu x = 0(0-
Toto znamená, že pokud má integrand tvar /(0(O) 0'(O s nějakou diferencovatelnou funkcí 0, pak je výsledek jednoduše integrálem z / s dosazeným místo argumentu výrazem 0(0- Stačí tedy odvodit integrál z /.
Na vzorcích (2.20), (2.22) je založena tzv. substituční metoda vypočtu integrálu. Vztah x = 0(0 vyjadřuje zavedení nové proměnné t, což objasňuje název metody.
PŘÍKLAD 2.19. Vypočtěme / cos3 t sin ŕ dt.
Řešení. Jelikož sin t je derivací výrazu — cos t, lze napsat
cos3 t sin t = cos3 t (— cos t)' = — cos3 t (cos t)',
což má tvar /(0(0) 0'(O s 0(0 = cos ř a f(s) = ~s3- Proto dle vzorce (2.20) je
j cos3 t sin t dt = — j cos3 t (cos t)' dt = — j
s3 ds = --s4 + C, 4
kde s = cos t a C je libovolná konstanta. Integrál je tedy vypočítán a zbývá se jen vrátit k původní proměnné t, to jest v získaném výsledku za s dosadit cos t:
/
cos3 t sin t dt = — cos4 t + C. 4
Téhož výsledku dosáhneme s využitím vzorce (2.22): položíme-li cosř = s, bude ds = d(cos0 = — sinřdř a tudíž sinř dt = — ds a f cos3 t smt dt = — f cos3 t d(cos 0 = — / s3 ds, což vede na již odvozený vzorec. □
11 Jak již víme z počtu diferenciálního, diferenciálem funkce / v bodě x je výraz
df(x) = f'(x) dx. (2.21)
Z hlediska výpočtů je zde pohodlné tlumočit výraz ,,f'(x) dx " jako ,,f'(x) ■ dx". Připomíná to také historické označení derivace: f'(x) — á^f>, z něhož (2.21) obdržíme formálním vynásobením diferenciálem nezávisle proměnné dx. Z diferenciály se pracuje, v podstatě, stejné jako s odpovídajícími derivacemi.
20
§ 2.3.3.2. Způsoby využití metody substituce
Metody substituce, založené na rovnicích (2.20), (2.22), lze užít dvojím způsobem v závislosti na tom, ctěme-li rovnici zleva doprava nebo opačně.
1. způsob
Máme-li vypočíst integrál, jenž se podařilo upravit na tvar f f (0(0) 0'(O dŕ nebo, což je totéž, f f (0(0) d0(O, pak ho s pomocí substituce 0(0 = x převedeme na integrál f f (x) dx, v němž pak po výpočtu zpětně dosadíme x = 0(0- Je-li možné f f (x) dx vypočítat, bude úloha integrace vyřešena.
Úspěch tohoto postupu se určuje tím, zda se podaří výraz pod znakem integrálu vyjádřit ve tvaru /(0(0) d0(O nalezením vhodné funkce 0. Je to obecně nesnadný ukol, vyžadující určité zkušenosti. V některých případech je volba substituce zcela zřejmá (typickým je příklad 2.19), v jiných hledání vhodné substituce vyžaduje úsilí.12
2. způsob
Máme-li vypočíst integrál f f (x) dx, můžeme se pokusit najít vhodnou substituci x = 0(0 tak, aby výsledný integrál podle nové proměnné f f((f> (0) d0 (0 byl v něčem výhodnější než ten výchozí. Jestliže nový integrál dokážeme vypočíst, ve výsledku bude potřeba vykonat zpětnou substituci (vrátit se k původní proměnné x).
Poslední krok se zpětnou substitucí v sobě ukrývá určitou jemnost: ve výsledném integrálu totiž musíme všude vyjádřit t přes x, což není vždy možné, jelikož vykonaná substituce má tvar x = 0(0- Pr° tento případ věta 3.2 vyžaduje upřesnění formou dodatečné podmínky, která požadovanou vlastnost zaručí.13
VĚTA 2.20. Předpokládejme, že 0 ve větě 3.2 zobrazuje (a, /3) na (a,b).u Pak lze integrál / /(x) dx vypočíst s pomocí vzorců (2.20), (2.22), kde vlevo proměnnou t vyjádříme přes x podle rovnice 0(0 = x.
Poznámka 2.21. Dodatečná podmínka věty 2.20 je jistě splněna, je-li 0 monotónně rostoucí nebo klesající (pak bude zpětné vyjádření t přes x jednoznačné: t = 0_1 (x); obecně tomu tak být nemusí). Tento případ se v praxi vyskytuje nejčastěji.
Poznámka 2.22 (o provedení substituce v praxi). V praxi substituci v integrálu
j f{x) dx
provádíme tak, že po zavedení nové proměnné vztahem typu x = 0(0 (anebo t = Ý(x)) původní proměnnou x v integrandu vyjádříme přes novou proměnnou t. Zároveň vyjádříme diferenciál dx přes dt: je-li x = 0(0, bude dx = 0'(O dř; pro substituci typu t = Ý(x) zapíšeme dt = Ý'(x) dx, kde v Ý'(x) rovněž vyjádříme x přes t (v tomto kroku v konkrétních
My se však vesměs zaměříme na některé typické a často se vyskytující případy, kde vhodnou substituci určíme vždy relativně snadno. Dále probereme i zajímavější příklady, v nichž nalezení substituce vyžaduje jistou invenci.
13Podrobnější vysvětlení lze nalézt v [1], kap. III, § 4.
14Toto znamená, že (a, b) je právě množinou všech hodnot (p(t) pro / e (a,y6),tojestprokaždýbodx e (a,b) platí x — (p(t) s nějakým / e (a, fí). Taková zobrazení se nazývají surjekce.
21
případech může být výhodnější postupovat trochu jinak; pozorně se podívejte na příklad 2.29). Oboji pak formálně dosadíme do f f (x) dx. Po výpočtu se má provést substituce zpětná.
Samotná volba substituce je otázkou zkušenosti a v nemalé míře rovněž intuice. Pro vhodnost substituce x = 0(ř) může hovořit přítomnost v integrálu výrazu 0'(r) dt nebo podobných členů.
PŘÍKLAD 2.23. Vypočtěme integrál /(5x - 2)30 dx.
Řešení. Položíme-li 5x — 2 = t, dostaneme dt = d(5x — 2) = 5 dx, dx = | dt a proto
/(SX - 2)3» <U = / ,30 > d, = 1 f ,30      = 1 £ + C = J_ (5x _ 2)„ + C.
Poznamenejme, že užití substituce nám ušetřilo značné úsilí, jež bychom museli vynaložit při výpočtu tohoto integrálu roznásobením závorky a integrací jednotlivých členů příslušného polynomu stupně 30: /(5x — 2)30 dx = f (530 • x30 + ...) dx atd. □
§ 2.3.3.2.1. Případ lineární substituce V praxi zvláště často potkáme integrály typu
/
f(ax + b) dx,
kde f f (x) dx = F (x) dovedeme vypočíst.15 Takovýto integrál snadno vypočteme s pomocí lineární substituce ax + b = t, a dx = dt, dx = - dt:
f f(ax + b)dx = - f f (ť) dt = -F (t) + C = -F(ax + b) + C. J aj a a
Důvod pro zvolení této lineární substituce je zřejmý: diferenciály původní a nové proměnných se liší jen konstantním činitelem.
§ 2.3.3.2.2. Příklady integrace s pomocí nové proměnné
Princip metody substituční si lépe vysvětlíme, když s jeho využitím vypočteme několik konkrétních integrálů.
PŘÍKLAD 2.24. Vypočtěme integrál / a^x2, kde a > 0.
Řešení. V běžných tabulkách (viz např. tabulka 2.1) vidíme vzorec pro jiný, avšak podobný integrál:
dx
-^ = arctgx. (2.23)
/
1 + x'
Zkusme původní integrál upravit tak, aby se dal použit vzorec (2.23). Máme:
/dx ľ        dx 1   ľ    dx 1   ľ dx
a2 + x2= J fl2(l + i|) = ^J 1 + $=^J i + (|)
2 -
(2.24)
Zaveďme v (2.24) novou proměnnou
t = -. (2.25) a
15S tímto se setkáváme téměř v každém běžném integrálu; viz např. příklady 2.23, 2.24, 2.28.
22
Pak dle (2.21) bude dt = d(^x) = (\x)' dx = \ dx, to jest dt = \ dx, odkud dostaneme vyjádření diferenciálu původní proměnné x přes diferenciál nové proměnné t:
dx = a dt. (2.26)
Dosadíme-li (2.25) a (2.26) do (2.24):
ľ    dx    _ 1   ľ     dx     _ 1   ľ adt   _ a   ľ   dt    _ 1  ľ dt J a2 + x2 ~ a2 J i _|_ (íý ~ a2 J 1 + t2 ~ a2 J 1 + t2 ~ a J 1 + t2'
s využitím vztahů (2.23), (2.25) ihned obdržíme výsledek:
ľ    dx        1  ľ    dt        1 1 x
/   2 ,   2 = - / —-t = - arctg t + C = - arctg —h C. (2.27)
J a2 + x1    a J 1 +12     a a a
Dokázaný vzorec lze chápat jako zobecnění vzorce (2.7) z tabulky 2.1. Jedná se o speciální případ lineární substituce (§ 2.3.3.2.1). □
PŘÍKLAD 2.25. Vypočtěme / 3*3+5 dx.
Řešení 2.25.1. Čitatel x2 připomíná derivaci výrazu x3, proto lze zkusit t = x3, dt = 3x2 dx, x2 dx = | dt,
,2
Í —t-dx = - f —i— dt.
J 3x3 + 5 3 J 3t + 5
V posledním integrálu položíme 3t + 5 = s, ds = 2 dt, dt = | ds, což dává f -^-^ dt = | / j ds = | ln \s |. Pak po zpětných substitucích dostaneme
/x2               1   ľ     1 1 1 1
—.-dx = - / -dř = - ln Ií I + C = - ln\3t + 51 + C = - ln |3x3 + 51 + C. 3x3 + 5         3 J 3t + 5        9    1 1 9    1 1 9    1 1
Řešení 2.25.2. Po zpětném pohledu na řešení 2.25.1 je zřejmé, že se výpočet zjednoduší, zavedeme-li novou proměnnou vzorcem 3x3 + 5 = t. Pak dř = 9x2 dx, x2 dx = \ dt,
/x2 1   C 1 1 1
—--dx = - / -dř = -ln|ř| + C = -ln|3x3 + 51 + C. 3x3 + 5        9 J t        9   11 9   1 1
PŘÍKLAD 2.26. Vypočtěme / j^rfp: dx.
Řešení. Položíme-li x — 1 = t, bude dx = dř, x = t + 1,
-3 r ít _l n3
J (x-1)2        J ř2
Integraci racionální funkce jsme tedy zredukovali na integraci součtu několika mocninných funkcí:
(ř + 1)3     ř3 + l + 3ř + 3 1 3
2     - 2 =ř + - + - + 3, (2.28)
t2 t2 t2 t
a tudíž bude
/
X      dx = — - - + 3 ln\t | + 3t = ——----l---h 3 ln |x - 11 + 3(x - 1).
(x-1)2 2     t 11 2 x-1
Poznamenejme, že výpočet (2.28) je poněkud přehlednější, než bezprostřední dělení polynomů x3 a (x — l)2. □
V následující úloze odvodíme vzorec, jehož se v praxi užívá velmi často, aniž by byl explicitně zmíněn (je však součástí některých tabulek).
23
Úloha 2.27. V příslušném definičním oboru dokažme vzorec16
/
dx = ln|/(x)| + C, (2.29)
/(*)
kde C je libovolná konstanta.
Řešení. Je zde zřejmá volba substituce t = f (x); pak bude dt = f'{x) dx a tudíž /■$£d* = /-Id/ = ln|ř|. □
§ 2.3.3.2.3. Technika zavedení do diferenciálu
Jedná se pouze o poněkud jinou podobu vypočtu dle § 2.3.3.1, když se substituce provádí implicitně (nezapisujeme ji). Touto technikou pro jednodušší substituce (zejména pro substituci lineární) docílíme kratšího zápisu. Praktický postup je zřejmý z příkladů.
příklad 2.28. Pro / eax dx, kde a ^ 0, máme
f eax dx = - f eax d(ax) = -eax + C. J a J a
Vykonaná úprava znamená, že integrál přepíšeme na tvar f f (Ý (x)) dÝ(x) a v duchu vypočteme f f(s)ds,\ němž ihned dosadíme s = Ý(x)- Tímto způsobem např. výpočet integrálu (2.24) z příkladu 2.24 zapíšeme stručněji takto:
ľ    dx 1   ľ     dx 1       f   d (f)       1        x ^
/ -= — / -~ =--a -^-r = - arctg - + C,
J a2 + x2     a2 J l + (i)2    a2    J 1 + (i)2    a     6 a
substituce at = x je totiž dosti jednoduchá a můžeme ji provést implicitně s použitím (2.21), aniž bychom ji explicitně zapisovali. Takto operovat s diferenciály je pohodlné i v mnoha jiných případech.
příklad 2.29. Vypočtěme integrál
/
xe 3x dx.
Řešení. Je zřejmé, že d(x2) = 2x dx, d(—3x2) = — 3 • 2x dx = —6x dx, odkud x dx -i d(-3x2). Pak bude17
j e~3x2x dx = j e"3*2 (^-^j d(-3x2) = ~j xe~ix~ d(-3x2) = ~e~^ + C.
Poznamenejme, že zde bylo z praktického hlediska vhodné pro vyloučení proměnné x vyjádřit rovnou výraz x dx, nikoliv zvlášť x a dx. Jinak bychom museli vyjádřit x přes t: x2 = —\t, x = ± \J ~h = ±    V—t a použit tento vztah pro výpočet diferenciálu dx:
dx = ±4= d (= ±4= (dt = ±4=—7=(~1) dí>
16Vzorec (2.29) chápeme jako zkrácenou verzi dvou vzorců, vznikajících v závislosti na znaménku výrazu pod znakem logaritmu; viz poznámka pod čarou 7, str. 15.
17 9 1
Provádíme-li odpovídající substituci explicitne, vychází / = —3x, dt = —6x dx, x dx — —^ dt,
[ e-3x\ dx = -- [ e1 dt = --e1 + C — —-t J 6 J 6 6
e-3x2 + C.
24
kde znaménko v ± bereme stejné jako ve vzorci pro x. Pak bude
x dx = ±-L V11' ■ ( ±-L—r= I (-1) dt = -- dt,
což jsme již dříve odvodili mnohem rychleji. Tento výpočet je však zcela zbytečný, neboť jsme potřebovali vyjádření pouze pro výraz x dx (jiné členy v integrálu totiž nejsou). □
§ 2.4. Integrace některých často se vyskytujících typů funkcí
Uveďme několik nejrozšířenějších typů integrálu, pro něž lze formulovat jistý obecný postup vypočtu.
§ 2.4.1. Integrál racionální lomené funkce
Jsou to integrály tvaru
/
P(x)
dx,
q(x)
kde p je polynom stupně n a q je polynom stupně m (takový integrand se nazývá racionální lomenou funkcí). Není-li funkce ryze lomená (to jest n > m), integrand dělením polynomů upravíme na součet polynomu a ryze lomené funkce. Polynomy se integrují velice snadno a tudíž stačí rozebrat pouze případ ryze lomené funkce, když platí n < m.
§ 2.4.1.1. Integrace ryze lomené funkce
Pro integraci ryze lomené funkce dle věty 1.16 vypočítáme její rozklad na součet parciálních zlomků,18 jejichž integrály buď jsou tabulkové nebo se dají na tabulkové zredukovat (podrobněji viz § 2.4.1.2). Připomeneme si princip rozkladu na parciální zlomky.
Tvrzení 2.30. Vyjádříme-li jmenovatel q(x) ve tvaru součinu výrazů typu (x — c)k a (x2 + ax + 6)k (kde a2 < 46), rozkladem podílu      na parciální zlomky bude součet výrazů
typu -^L + y~zt\2 + • • • / °_k\k^ odpovídajících každému výskytu v rozkladu členu (x — c)k, a
X    C \X    C) yX    C)
výrazů typu xf*+xB+'fi +■■■+ {Jfa^)k,}^ odpovídají členům (x2 + ax + p)k.
Koeficienty se v různých parciálních zlomcích liší a jejich hodnoty je třeba vypočítat z podmínky, že všechny vypsané členy mají v součtu dávat původní funkci (převedeme vše na společného jmenovatele a zajistíme, aby byl čitatel rovný p(x)).
Dovedeme-li nalézt kořeny polynomu ve jmenovateli ryze lomeného výrazu, jeho integraci pomocí tvrzení 2.30 můžeme vždy zredukovat na integraci parciálních zlomků.
příklad 2.31. Vypočtěme integrál
dx
x2 — a2
Řešení. V příkladě 1.13 jsme odvodili,19 že pro integrand platí rozklad (1.19) a tudíž
J x2-l     2J x-1        2J x^
1 ,            1 ,1 - In \x — 1--ln \x + 1 = - ln
2 1       1    2    1        1 2
dx
X + 1 (2.30)
x - 1
X + 1
^Parciální zlomky jsou nejjednodušší ryze lomené funkce typů ^x^k neb° TJ^f^TÍ^F, kde k — 1,2,... a polynom x2 + ax + P má záporný diskriminant (to jest a2 — 4/3 < 0); viz § 1.3.2.
Poznamenejme, že jmenovatelé (x — c)k a (x2 + ax + /3)k zde popisují všechny možné typy členů v rozkladu polynomu na součin kořenových činitelů, když ho zapisujeme bez použití komplexních čišel.
19Mohli bychom, samozřejmé, i bezprostředně rozložit na parciální zlomky x2\a2 ■
25
Vzorec (2.30) platí v intervalech, neobsahujících body 1 a —1. Pak dle (2.30)
í    dx    = 1 í     dx     = I í   d(^)   = II J x2-a2    a2] (íÝ-l     aJ  (-Ý-1 a2
*_ 1
a
£ + 1
1
= — ln
2a
x — a
x + a
Vzorec platí v intervalech, neobsahujících a a—a. □ PŘÍKLAD 2.32. Vypočtěme integrál
dx
x4 - 1
Řešení. Jedná se o integraci ryze lomené funkce, využijme tedy rozkladu integrandu na parciální zlomky dle tvrzení 2.30. Rozklad polynomu ve jmenovateli na součin reálných kořenových činitelů je (x2 — l)(x2 + l) = (x — l)(x+ l)(x2 + 1) a proto dle tvrzení 2.30 lze zvolit příslušné konstanty tak, aby platilo
1 1 A B       Cx + D
+ -7 +
x4-l       (x - 1)(x + 1)(x2 + 1)       x-l      x+l x2+l
Po převedení výrazů vpravo na společného jmenovatele obdržíme, že pro všechna x musí být
l=A(x + l)(x2 + 1) + B(x - l)(x2 + 1) + (Cx + D)(x - l)(x + 1). (2.31)
Dosadíme-li20 do této rovnosti kořeny jmenovatele x = lax = — 1, obdržíme rovnice 1 = 4 A, 1 = —4B, odkud ihned A = |, B = — |. Zbývá tedy určit hodnoty C, D.
Jelikož to, že pro všechna x platí (2.31), znamená rovnost dvou polynomů, musí tyto polynomy mít stejné koeficienty. U polynomu na pravé straně rovnice (2.31) koeficient u x° je A — B + D a koeficient ux1 je A + B — C (je-li členů více, můžeme pro pohodlí tohoto výpočtu závorky roznásobit). Na levé straně (2.31) však je konstanta 1, což je polynom stupně 0. Proto musí být A — B + D = 0, A + B — C =0. Dosadíme-li již vypočtené hodnoty A, B, dostaneme | + D = 0, —C = 0 a tudíž D = — |,C=0. V rozkladu na parciální zlomky (2.31) jsou tedy známy všecky koeficienty, což umožňuje integrál převést na součet jednodušších integrálů
j i4-l     A J x-l     A J x + l 2Jx2+l
= — ln I x — II--ln I x + II--arctgx.
4    1       1    4    1        1    2 6
Poznamenejme, že místo shrnutí členů se stejnou mocninou bychom mohli rovnice pro C, D
obdržet dosazením do (2.31) nějakých čísel, i když další reálné kořeny jmenovatele k dispozici
nemáme (žádné členy s kořenovými činiteli v tomto případě nezmizí). Např. při x = 2 bude
1 = 15A + 5B + 3(2C + D). Dosazením 0 vždy dostaneme rovnost konstantních členů; zde
bude 1 = A — B — D, pročež D = A — B — 1 = i — 1 = —i. Dosadíme-li nalezené A, B, D
do předchozí rovnice, dostaneme 1 = | + 6C — |, C = 0. □
Poznámka 2.33 (o způsobu určení neznámých koeficientů u parciálních zlomků). Koeficienty vždy můžeme vypočíst tak, že přirovnáme koeficienty u jednotlivých mocnin na obou stranách rovnosti (v případe, kdy polynom ve jmenovateli má komplexní kořeny, se tomu nevyhneme; viz např. příklad 2.36). Dosazení kořenů jmenovatele výpočet urychluje (typickým je příklad 2.32).
90
Jelikož má daný vztah platit pro všechna x, pak zcela jisté i pro kořeny polynomu ve jmenovateli. Dosazení těchto kořenuje výhodné, samozřejmě, proto, že se takto odstraní všechny členy s příslušnými kořenovými činiteli.
26
§ 2.4.1.2. Integrace parciálních zlomků
Podle hořejšího lze výpočet integrálu ryze lomené funkce převést na integraci příslušných parciálních zlomků, dokážeme-li rozložit jmenovatel na součin kořenových činitelů; pak lze považovat úlohu integrace za vyřešenou. Je tedy potřeba umět integrovat jednotlivé parciální zlomky.
§ 2.4.1.2.1. Parciální zlomky 1. druhu
Integrace parciálních zlomků 1. druhu ,    .k (definice 1.14) je vždy jednoduchá:
/
dx
(X-C)k
A ln \x — c\ pro k = 1;
(x - c)k )Af(x-c)k d(x - c) = YZfr(x - c)1 k   pro k > 1.
§ 2.4.1.2.2. Parciální zlomky 2. druhu
U parciálních zlomků 2. druhu (x2+at+p)k' ^ = 1 > 2> • • • > bývá integrace technicky složitější, ovšem také je vždy možná. V praxi zvláště často potkáváme rozklady na parciální zlomky, skládající se z členů typů a x2^+xB+fi ■
Případ k = 1
Jedná se o parciální zlomek 2A*+B,o > kde je diskriminant polynomu x2 + a x + B záporný:21 a2 < 4/3 a polynom proto lze převést na tvar součtu čtverců. Standardními úpravami dostaneme22
x2 + ax + p = (x + Š)2 + r]2,
kde je £ = ^a, r\ = y P — \®2, a integrál zapíšeme ve tvaru
ľ    Ax + B    dx _ f    Ax + B ^ J x2 + ax + p  X ~ J (x + %)2 + t]2 X' Ve jmenovateli je polynom kvadratický a v čitateli — polynom lineární. Upravme tedy lomený výraz tak, aby v čitateli vznikla derivace jmenovatele ((x + £)2 + r]2) = 2(x + £) = 2x + a:
Ax + B        A    2x + 2f        A2x + a + ^ -a
(x + ^)2 + r]2     2(x + ^)2 + r]2     2   (x + Š)2 + r]2 Při integrací dostaneme součet dvou integrálů
dx
ľ    Ax + B _ A ľ     2x + a A Í2B      \ ľ
J (x + Š)2 + ri2  X ~ 2 J (x + Š)2 + ri2  % + 2 \~Ä ~ " J j (x + £)2 + r?' přičemž dle příkladů 2.27, 2.24 obojí dovedeme vypočítat:
/ 7-^-1 dx = / —,-^-T~ dx = ln ((x + £) + r\)
J (x + £)2 + í?2        J    (x + £)2 + í?2 v ' '
a
í        dx        _ ľ    d(x +1)    _ 1 arct x + £
J  (x + £)2 + ľ]2      J  (x + £)2 + ľ]2      ľ]      g ľ]
Integrál f x2A^xB+^ dx tedy je lineární kombinací členů s logaritmem jmenovatele a arcus tangens posunutého argumentu.
91
V opačném případě bychom dovedli tento polynom dále rozložit na součin reálných kořenových činitelů a tím úlohu zredukovat na předchozí případ parciálních zlomků 1. druhu.
22x2 + ax + P = x2+2-x-\a + P = x2 + 2-x-\a + \a2 +   - \a2 = (x - \af +   - \a2.
27
Případ k > 1
V případě, když k > 1, je výpočet integrálu j (x2+*x+p)k ^x technicky složitější (pro komplikované výpočty se takovými případy zabývat nebudeme; vzorce však lze dle potřeby nalézt v literatuře).
Výpočet takového integrálu lze provést tak, že podobně předchozímu případu přepíšeme kvadratický polynom ve jmenovateli na součet čtverců
ľ      Ax + B      d  - ľ        Ax + B J (x2 + ax + B)k   X ~ J
(x2 + ax + P)k        J (,   ,ix2, ,\'
dx,
kde tj = y p — \a2, a vykonáme substituci x + jtx = t, počemž dostaneme ľ        Ax + B ľ At + B - \aA
J ((x + \af + r,2)*        J     [<2 +
= A ľ d(t2 + r]2) + (B_ \aA\ f-
2 J   (f2 + v2)k       V 2      J J   (t2 + v2)k
kde první z integrálů se vypočte snadno23 a ten druhý je shodný s //t (f) z úlohy 2.34. Úloha 2.34. Dokažme, že pro integrály
dx
(x2~a2)k
kde k je přirozené číslo, platí rekurentní formule
IkW = / z T~~^ZT• (2-32)
Řešení. Při /: = 1 máme integrál z příkladu 2.24. Budiž k > 1. Integrací po částech obdržíme
í (x2 + a2) fc • 1 dx = —   1        x - í (-2fcx (x2 + a2) U) i dí 7 (x2 + a2)k J
r. ľ        x2 x ľ x2 + a2 — a2
+ 2k I —---—r—r- dx = —--—;--h 2k I —--„ , , ^ dx
J (x2 + a2)k+1 (x2 + a2)kxf J
(x2 + a2)k        J (x2 + a2)k+1 (x2 + a2)kxf        J (x2 + a2)k+l
x
+ 2k í    „ 1 „ , dx - 2ka2 í —-*   , , dx,
J (x2 + a2)k J (x2 + a2)k+1
(x2 + a2)k        J (x2 + a2)k J (x2 + a2)k+l
což vzhledem k (2.32) znamená, že platí
x
Ik^ = , 7 :   r-,k + 2kIk(x) ~ 2ka2Ik+l. (x2 + a2)K
z tohoto vztahu úpravou obdržíme rekurentní vzorec (2.33). □ důsledek 2.35. Platí
/
dx 1 x
arctg —h
(x2 + a2)2     2íí3     ba     2a2(x2 + a2)'
Důkaz. Uvažovaným integrálem je l2Íx). z formule (2.33) při k = 1 dostaneme
1 x h(x) = ^h(x) +
2a2 2a2(x2 + a2Y
a zbývá jen využít vzorce (2.27) pro I\ (x). □
3Dle vzorce pro integraci mocninné funkce bude f (/2 + r]2)    d(/2 + r\2) = j_z^(t2 + f]2)1 k.
28
§ 2.4.2. Integrály typu / R (cos x, sin x), kde R je racionálni lomená funkce
Integrály, v nichž integrand je lomenou funkcí členů cos x a sin x, lze s využitím tzv. univerzální trigonometrické substituce vždy převést na integrál racionální lomené funkce.
§ 2.4.2.1. Univerzální trigonometrická substituce
Pro integrály tvaru
i?(cos x, sin x) dx, (2.34)
/
kde R je racionální lomenou funkcí podle každého z argumentů, lze využit univerzální trigonometrické substituce
kde t značí novou proměnnou.24 Jelikož (2.35) je ekvivalentní s rovností x = 2arctgř, pro diferenciály platí vztah25 dx = jnpí dř. Vzhledem k tomu, že platí
cos2 | - sin2 |     1 - tg2 | . 2 sin | cos | tg *
cosx =---r^- =-irzr,      sinx =---=— = 2
cos2 f + sin2 f     l+tg2f cos2 f + sin2 f l+tg2f
integrál tak převedeme na integrál racionální lomené funkce, a to pomocí následujících vzorců.
Vzorce pro vykonání univerzální trigonometrické substituce t = tg |:
1-í2     . 2t 2dt
cosx = --,   sinx = --,   dx = —-. (z.Jo)
1+t2 1 + t2 t2+l
Z (2.36) ihned plyne, že26 tg x = yz72,ctgx = ^7-, sec x = j^acscx = ^f-, to jest po zavedení nové proměnné t substitucí (2.35) převedeme všecky výskyty trigonometrických funkcí v integrandu na racionální lomené výrazy proměnné t, přičemž podobný výraz vznikne i po přepočtu diferenciálu. Po vypočtu upraveného integrálu použijeme (2.35) a vrátíme se k původní proměnné x.
PŘÍKLAD 2.36. Vypočtěme
sinx — 1
/
dx.
cos x + 2
Řešení. Použijeme-li substituci (2.35), podle vzorců (2.36) obdržíme
2t-(l+t2) 1
J cosx+ 2 J ±zt± + 2t2 + l J 1-
_7 + 2t2 + l J \-t2 + 2(\ + t2)t2+\
1+t2 1
dt
'2   ">* 1 1    1 ľ    t2 -It + 1
dř.
ľtz-2t + l    1 ľ
= -2 / -ň--ň-dt = -2
J     3 + t2    t2 + \ J
(t2 + X)(t2 + 3)
V integrandu je ryze lomená funkce, již můžeme dále rozložit na součet příslušných parciálních zlomků (§ 1.3.2):
t2-2t + l        At + B + Ct + D     (At + B)(t2 + 3) + (Ct + D)(t2 + 1)
(t2 + \)(t2 + 3)      t2 + 1       t2 + 3 (t2 + \)(t2 + 3)
24Samozřejmě, v příslušném oboru: — § + 2jzk < j < j + 2jzk, teZ, přičemž vždy vyloučíme nulové body jmenovatele.
25Tentýž vztah lze obdržet i přímo z (2.35): dř = d tg f = -^r^ \ dx = \ (l + tg2 f) dx = \ (l + ř2)) dx. 26Připomeňme, že funkce sekans a kosekans se definují vzorci secx — —l—, cscx — J—.
ť ' J cosx' sinx
29
Potřebujeme tedy, aby pro libovolné t platilo
(At + B)(t2 + 3) + (Ct + D)(t2 + 1) = t2 - 2t + 1. Přirovnáním koeficientů uř0,/1,^2 ař3 obdržíme podmínky27
3B + D = \, 3A + C = -2, B + D = \, A + C = 0,
odkud vypočítáme A = — 1, B = 0, C = — 1, D = 1. Pak
ŕ2 -2í + 1     , /*   -t    ,        /* í + 1
-2 / -m-7 dt =-2--dt -2
J (t2 + \)(t2 + 3) J t2 + \ J
dt t2+ 3
dt
= Í ~^r— dt - f dt-2 í
J t2+\       J t2+ 3 J
t2+ 3
Máme / 45 = I arctg(-^), f & át = f ^ = ln(í2 + 1), / dt = ln(t2 + 3), až na aditivní konstantu, jíž k výsledku přidáme později. Potom
t2 -2t + 1     ,     , , ,    _    , , ,     ,     2 / ř '
/
dí = ln(r + 1) - ln(r + 3)--— arctg
(t2 + l)(t2 + 3) v        7      v        7    V3 VV3
ř2 + 1     2 / í \
Teď již zbývá jenom dosadit do (2.37) vyjádření t přes x ze substituce (2.35) a přidat integrační konstantu. Ve výsledku dostaneme:28
sinx - 1 tg2f + 1      2 / 1 x\
dx = ln-- - —= arctg  — tg -   + K. (2.39)
/
cosx + 2 tg2f + 3    VŠ        VVŠ 2,
§ 2.4.2.2. Speciální případy
Poznámka 2.37 (o speciálních případech trigonometrické substituce). Užití univerzální substituce (2.35) je zpravidla spojeno s pracnějším výpočtem a proto je vždy vhodné si rozmyslet, zda není možné integrál vypočítat snadněji. Často je užitečná následující rada.
Úvaha 2.38. Je-li integrál ve tvaru (2.34), kde R je racionální lomená funkce dvou argumentů, mající jednu z vlastností:
R(—u, v) = —R(u, v),  R(u, —v) = —R(u, v),  R(—u, —v) = R(u, v)
pro všechna (u, v), pak lze pro integraci využit jedné ze substitucí t = sin x, t = cos x resp. t = tg x.
Substituce, doporučená úvahou 2.38, může být vhodnější než substituce univerzální.
97 n
První podmínku, jež odpovídá koeficientům u t", lze vždy odvodit také dosazením hodnoty / = 0. 28Často se stává, že výsledky integrace při použiti poněkud odlišných úprav se zdánlivě liší. Např. všimneme-li si, že dle (2.35) í2 + 1 = tg2 f + 1 = —W, obdržíme
v        ' °   2 cosz íŕ
tg2# + 1 ~^šr 1 / x\
ln -A-?-       = ln —:-^— = ln-— = ln 1 - ln (1 + 2cos2- ) = - ln(cos x + 2)
tg2f + 3        -^ + 2        l+2cos2f V 2/ V '
°   2 cos2 § 2
a proto lze výsledek integrace (2.39) přepsat do tvaru
sin x — 1 , 2 ( \ x\
-— dx = -ln(cosx + 2) - — arctg   — tg -   + K. (2.38)
cosx + 2 V3        \V3 2/
/
30
PŘÍKLAD 2.39. Vypočteme integrál
cos2 x sin3 x dx.
Řešení 2.39.1. Využití univerzální substituce t = tg | dle vzorců (2.36) vede na integrál
<2\2    *<*       ^ At_^[t^(\-t^
ľ    2      3           ľfl-t2Y    8ř3       2 ľ I cos x sin x dx = /-- -7—-dř = 16 /
i i Vi + í2/ (i + t2ft2 + i        J  (i + t2)
6
dř.
Dostáváme tedy integrál neryze lomené funkce, přičemž i po vyčlenění ryze lomené části zůstává úloha výpočetně náročnou jakožto integrace parciálního zlomku s vysokým stupněm jmenovatele bez reálných kořenů. Zkusme proto raději najít jinou cestu.
Řešení 2.39.2. Daný integrál má tvar (2.34) s R(u,v) = u2v3. Funkce R je lichá podle v a tudíž dle úvahy 2.38 použijme substituci t = cos x. Dostaneme dt = — sin x dx, x sinx = — dř,
2dt
— at
j cos2 x sin3 x dx = j cos2 x sin2 x sinx dx = — j t2 (l — t2) dt = j t4 dt — j t
1   5      1   3        1        5 1 3
= -t--1  = - cos x--cos x,
5       3       5 3
což je výrazné jednodušší než příslušná integrace v řešení 2.39.1. □
Uvedená výše úvaha 2.38 tedy může navrhnout postup vhodnější než využití obecné trigonometrické substituce. Avšak ani toto řešení nemusí být vždy optimální; při integrací bychom měli, pokud možno, uvažovat různé možnosti, z nichž zvolíme tu nejpohodlnější.
PŘÍKLAD 2.40. Vypočtěme integrál
cos4 x dx.
/
Řešení 2.40.1. Využijeme-li univerzální trigonometrické substituce t = tg | pro —^ + nk < x < j + irk, k G Z, dle vzorců (2.36) obdržíme
ľ     4 /V 1 -12\4 2dt ľ (1 -t2)4
/ cos4x dx = /------ = 2 / ^-^ dř,
J J VI + t2J  t2 + 1       J (1 + t2)5
čímž zadání zredukujeme na výpočet integrálu racionální lomené funkce. Funkce je navíc ryze lomená a tudíž lze aplikovat postup z § 2.4.1. Jedná se však o technicky složitější případ, vyžadující hodně únavných výpočtů (jmenovatel má jen imaginární kořeny, a to vysoké násobností). Je tedy vhodné zkusit pohledat nějaké jiné řešení.
Řešení 2.40.2. Funkce u i-* u4 je sudá. Dle úvahy 2.38 pro — ^ + 2nk < x < ^ + 2nk, k G Z, zaveďme novou proměnnou t = tg x. Pak bude dř = dx. Ze vzorce 1 + tg2 x = —\— plyne, že —\- = (l + tg2 x)3 a tudíž
COS2 X  ť J       ' COS° X V       1     o /
/cos4xdx= / cos6x—\—dx = /-^——át. J          cos2x        J (1 + ř2)3
31
Výsledný integrál je sice jednodušší než v řešení 2.40.1, nicméně i zde integrace vyžaduje poměrně hodně výpočtů.29
Řešení 2.40.3. Přepišme integrál ve tvaru f cos3xcosx dx a použijme metodu per partes s u(x) = cos3 x, v'(x) = cos x. Pak bude u'(x) = —3 cos2 x sin x, v (x) = sin x:
j cos4xdx = j cos3 x čos x dx = cos3 x sin x — j (—3 cos2 x sin x) sinxdx
r
= sinxcos3x + 3 / sin2 x cos2 x dx,
přičemž v posledním integrálu po úpravě opět vzniká původní integrál f cos4 x dx:
/ Si„> x cos* x dx = / (l - CM**) C«* x dx = / cos* x dx - / coS< x dx.
Jelikož podobně příkladu 2.9 f cos2 x dx = | f (1 + cos2x) dx = | + j f cos2x dx = | + j f cos2x d(2x) = | + ^ sin2x (implicitní substituce 2x = t), dostáváme vztah
/cos4 x dx = sin x cos3 x + 3 (—I—sin2x — f cos4xdx) V2    4 J J
f
3x 3
= sin x cos3 x H---1— sin 2x — 3 / cos4 x dx,
2     4 '
jenž je rovnicí pro f cos4 x dx. Zbývá tedy tuto rovnici vyřešit:
/
3x     1 3 3x     1 3
cos4 x dx =--1— sin x cos3 x H--sin 2x =--1— sin x cos3 x H— sin x cos x.
8     4 16 8     4 8
K výsledku pak, samozřejmě, přidáme integrační konstantu. □
§ 2.4.3. Integrály typu f R (x, "jdx, kde R je racionálni lomená funkce
Integrály tohoto druhu lze převést na integrál racionálni lomené funkce zavedením nové proměnné t s pomocí substituce
r = ^±4. (2.40)
y x + S
Pro realizaci substituce potřebujeme sestrojit i substituci zpětnou, to jest vyjádřit x přes t: tm (yx + 8) = ax + p, (ytm - a) = p - 8tm,
p-8tm
x =
ytm — a
(O_řfffl \ f ytm_a J dt,
-m8tm-\ytm -a)-(P- 8tm)ymtm~x aS-^y x
dx =---—-dt = m--—t dt.
(ytm-a)2 (ytm-a)2
Substituci lze provést, je-li a8 ^ /3y (v opačném případě |- = j = X, = ^fsx+s =
[čtx+J
8 1
což znamená, že se jedná o integrand, v němž y        fakticky není).
29Vskutku, rozklad na parciální zlomky v tomto případě má tvar
1      _ Ait + Bi     A2t + B2     A3t + B3
(1+72)3 =     1 +ř2     + (1 +ř2)2 + (1 +ř2)3
a vyžaduje určení 6 neznámých koeficientů bez možnosti dosazení reálných kořenů.
32
PŘÍKLAD 2.41. Vypočtěme / 1+*sgq-j--
x = t5
Řešení. Dle doporučeného vzorce (2.40) položme x + 1 = t5. Pak bude dx = 5t4 dt, 1,
x dx        _ C {ŕ - 1) ŕ
/x dx ľ 1 + Žfx~+ \ ~ J
t + 1
dí
Dělením polynomů t9 — t4 a t + 1 dostáváme
30
ť - r t +1
ŕ -t7 + ŕ -t5 + ŕ - 2ŕ + 2t2-2t + 2-
t +1
a tudíž
/
(t5-\)ŕ      ŕ   ŕ   t7   ŕ   ŕ   ŕ   2ŕ    , ,
---—dí =----1-----1-----1---r+ 2í-21n í + 1 .
ř + 1 9876523 11
Pro obdržení výsledku poslední výraz vynásobíme pěti a zpětně dosadíme t = (x + l)s. □ Podobným způsobem lze integrovat některé obecnější výrazy, obsahující více členů s radikály. Je-li v integrandu několik výrazů typu ^"^^ ^  , kde qx, q2,... jsou racionální čísla, pro určení vhodné mocniny m v substituci (2.40) použijeme společný jmenovatel zlomků qi.
PŘÍKLAD 2.42. Vypočteme
s/x dx
Řešení. Zaveďme t vztahem x = t6 (aby se „umocnilo" jak l/x, tak i *Jx). Pak bude dx = 6t5 dt, -s/x = t3, l/x = t2, a obdržíme integrál racionální lomené funkce proměnné t:
f V^dx        f   t3    5        , [   t% A / -= 6 / —-ŕ dt =6    —-dř
y^+i   J t2 + \       J t2 + \
Výraz -^-^ není ryze lomený, proto z něj dělením vyčleníme polynomiální část:
r-ŕ
t2+l
ŕ-ŕ + t2-l
-ŕ
ŕ + ŕ
r-v
t2 + l
a obdržíme
t2+i
ŕ-ŕ + t2-\ +
t2+i
. Pak bude
ľ   ŕ /" / fi    d    7    x       ľ   dt      t7   ŕ ŕ
/ —-dt = / (ŕ-ŕ + ŕ-l)dt+ / —-=----1---ŕ + arctgŕ.
J t2 + l        J V 7        J t2 + 1     7     5     3 S
Po návratu k proměnné x dostaneme f = 6
2 - 1 i i if-f+ íf-xH arctgxs
30
Pro děleni zde lze využit Homérova schématu.
□
33
§ 2.4.4. Integrály typu / R(x, y/ccx2 + fix + y), kde R je racionálni lomená funkce
Případ a = 0 odpovídá integrálům z § 2.4.3. Pro a ^ 0 je vhodné převést kvadratický polynom na součet nebo rozdíl čtverců: a x2 + fix + y = a ((x + £)2 ± r]2) v závislosti na tom, zda je jeho diskriminant kladný nebo záporný. V případě součtu čtverců a a > 0 po lineárni substituci místo y/ax2 + fix + y) obdržíme člen \Jt2 + á2 (při a < 0 nemá integrand smysl); v případě rozdílu pak dostaneme integrál s ■s/t2 —a2 anebo ■s/a2 — t2. Výpočty jsou založeny na sofistikované substitucí a jsou poměrně složité (§ 2.4.4.1).
Dále uvádíme jen několik často se vyskytujících integrálu tohoto typu. Některé z nich se vyskytují v rozsáhlejších tabulkách integrálů (příklady 2.44, 2.45, 2.46); u jejich důkazů lze dobře vyzkoušet různé techniky integrace.
§ 2.4.4.1. Eulerovy substituce
V obecném případě lze tyto integrály zredukovat na integrály racionální funkce s pomocí zajímavých Eulerových substitucí.
Integrály, obsahující výraz typu \/x2 + a2
Obsahuje-li integrand ^/x2 + a2, zaveďme novou proměnnou s vzorcem
y/x2 + a2 = x-s. (2.41) Pak po umocnění bude x2 + a2 = x2 — 2xs + s2, 2xs = s2 — a2 a proto
* = !('-;)• dH(1 + :?)ds- (2-42)
Jelikož rovnice v (2.42) obsahují jen racionální výrazy, bude integrál f R(x, \J x2 + a2) dx takto zredukován na integrál racionální lomené funkce proměnné s.
Poznámka 2.43. Elegantní myšlenka Eulerovy substituce (2.43) spočívá v tom, že takto vyjádření x = Ý(s) vzniká řešením lineární rovnice podle x (a to právě díky sčítanci s x, jenž se v (2.43) po umocnění odečte od x2 na levé straně).
Integrály, obsahující výraz typů Vx2 — a2, Va2 — x2
Je-li v integrandu přítomen výraz tvaru \Jx2 — a2 = y/(x — a)(x + a), lze novou proměnnou s zavést vzorcem
Vx2 - a2 = s(x-a), (2.43)
a to opět proto, abychom vyjádření x = Ý(s) získali řešením lineární rovnice podle x; po umocnění totiž bude (x — a)(x + a) = s2(x — a)2, x + a = s2(x — a), x(s2 — 1) = as2 + a a tudíž
s2 + 1    J      2s(s2 - 1) - (s2 + 1)2* J s
x=a—ť dx = —íš^w—ds = -4w^ds-
§ 2.4.4.2. Některé speciální případy PŘÍKLAD 2.44. Vypočtěme
/
dx
■s/x2 — a2
kde a > 0. Definičním oborem integrandu je množina {x : |x| > a}.
Řešení 2.44.1. Funkce je sudá; uvažujme x > a. Vykonejme substituci x = a sec t, kde t e (0, ^) (připomeňme, že sec t =      a 0 < cos x < 1 pro t e (0, |-)). Pak
a2
Vx2 — a2 = Va2 sec21 — a2 = J —---a2 = a J\ + tg2t — 1 = a tg t
cos2 t
34
(pro t e (0, f) je tg t > 0) a dx = dt = ^dt,
/dx ľ    1   a tg t ľ
-Jx2 - a2    J a tg t cos t J
dt cos t
Jelikož tg2ŕ + 1 = —Vr a dle substituce       = -, platí tg t = J —tt — 1 = - Vx2 —
° cosz / cos x       a' r        ° y cosz / a
Pro J      využijme výsledek příkladu 2.51, řešení 2.51.1; pak obdržíme
J Vx2 - a2     J cos t        \cost )
= ln [ - + -Vx2 -a2 ) + C = ln(x + Vx2 - a2) + V<3    a )
kde ^ (^ = C — ln a) je libovolná konstanta. Tento vzorec jsme dokázali pro x > a.
Jelikož funkce v integrandu je sudá, pro x < —a místo F(x) = ln(x + Vx2 — a2) její primitivní funkce bude31 — F(—x) = — ln(—x + Vx2 — a2). Úpravou obdržíme:
-F(-x) = -ln(-x + Vx2 - a2) = ln 1 - ln(-x + Vx2 - a2)
1 Vx2 — a2 + x
i-=-= m—ň—;--
Vx2 - a2 - x x2-\-x'
= ln   t - = ln —----— = ln(—x — Vx2 — a2).
Sjednocením dvou posledních rovností obdržíme vzorec platný pro všechna x s |x| > a:
dx
f
Vx2^
= lnlx + Vx2 -a2\ + K.
Řešení 2.44.2. Funkce v integrandu je sudá a tudíž se můžeme omezit případem, kdy x je kladné, to jest x > a. Vzhledem k vlastnostem hyperbolických funkci32 (viz (2.44)) je zde vhodné provést substituci
x = a coshř, (2.45)
pak Vx2 — a2 = V a2 cosh2 t — a2 = a V cosh2 t — 1 = a V sinh2 t = a sinh t a diferenciál bude dx = a sinh t dt :
ľ     dx ľ     1 ľ
I    , = / -a sinh ŕ dt = I dt = t.
J Vx2 - a2    J asinht J
Zbývá tedy jen vykonat inverzní substituci a vrátit se k původní proměnné x.
Vztah x = a cosh t znamená (viz pozn. 32), že x = |(eř + e~'), to jest e2t — ^-e' + 1 = 0, což je kvadratická rovnice s2 — —s + 1=0 pro s = e'. Vyřešíme-li tuto rovnici, obdržíme
31Zde využijeme takové věty:
VĚTA. Buďte / sudá funkce a F její primitivní funkce na [0, +oo). Pak je funkce F(x) — —F(—x), x < 0, primitivní funkcí pro / na (—oo, 0].
Důkaz. Vskutku, pro x < 0 máme F'(x) = -±F{-x) = -F'(-x) = -f(-x) = f(x). □
32Připomeňme, že hyperbolické kosinus a sinus (§ 1.1) se definují jako coshx = ^(ex + e~x), smhx = \(ex — e~x) a platí (smhx)' = coshx, (coshx)' = sinhx,
cosh2 x - sinh2 x — 1. (2.44)
35
s = ^ ± \ Vx2 — a2, kde vezmeme znaménko „+", protože s = el a tudíž musí být s > 0 (navíc uvažujeme x > a). Jelikož ř = lnx, obdržíme
t = ln ( — H—Vx2 — a2 | = ln(x + Vx2 — a2) — lna
a proto dostaneme vzorec
/
dx
ln(x + Vx2 - a2) + C,
což je v souladu s výsledkem řešení 2.44.1. PŘÍKLAD 2.45. Vypočtěme
/
kde a > 0.
(2.46)
□
dx
sjx2 + a2'
Řešení. Připomeňme si vzorec tg2 x + 1 = a zaveďme substituci x = a tg ŕ,
/c dx
í e (-f, f). Pak Vx2 + a2 = Ja2tg2t + a2 = aJtg2t + 1 = ^- a dx =
dt, odkud
/dx f   ^      a    dt f
dt cos ŕ
Integrál f lze vypočítat různými způsoby (§ 2.4.5, příklad 2.51). Zde je pohodlné využit řešení 2.51.3
/
dř cos t
= ln
1
cos t
+ tgř
+ K = ln
V7! + tg2ř + tgř
a tudíž
/
dx
= ln
ln
/       x2 x	+ K = ln
	
V      a1 a	
x       1 /
- + -V.
a a
x2 + az
+ K
x
+ Vx2 + a2
+ C,
kde C = K — lna.
Z (2.46) a (2.47) obdržíme tabulkový integrál (2.9):
dx
/
Vx2 ± a2 PŘÍKLAD 2.46. Vypočtěme
ln(|x + Vx2 ±a2\) + C.
(2.47)
□
(2.48)
j Vx2 — a2 dx,
kde a > 0.
Řešení. Zde lze využit výsledku (2.48) z příkladu 2.45. Vskutku, aplikujme metodu per partes s u (x) = Vx2 — a2, í/(x) = 1 a vzorec (2.48):
/(x) := y Vx2 — a2 dx = xVx2 — a2 — j %
x-
V.
dx
x^ — a*
= xVx2 — a2
f
x2 — a2 + a2
Vx2^
dx
= xVx2 — a2 — í Vx2 — a2 dx — a2 f , J J
36
dx
= xVx2 - a2 - I(x) -a2ln(|x + Vx2 - a2\), odkud nalezneme I(x) a obdržíme
/
1     i—z-r a
2
Vx2 -a2dx = -x Vx2 -a2-— ln(|x + Vx2 - a2\) + C. (2.49)
PŘÍKLAD 2.47. Mějme
/
y/x2 + a2 dx,
kde a > 0. Vypočítejme tento integrál různými způsoby.
Řešení 2.47.1. Daný integrál lze vypočítat metodou per partes podobně příkladu 2.46 s volbou u(x) = \Jx2 + a2, v'(x) = 1 a využitím vzorce (2.48):
I(x) := j y/x2 + a2 dx = x\Jx2 + a2 — j x t  * = dx
Vx^T
2
x2 + a2 — a2
x\Jx2 + a2— I — - dx
Vx2 + a2
y/x2 + a2 - j
= x J x2 + a2 — í J x2 + a2 dx + a2 f ,
J J Vx^
+ a2
dx
= xyjx2 + a2 - I(x) + a2ln(|x + Vx2 -a2\). Poslední vztah je rovnici pro nalezení I(x), odkud dostáváme
/l a2 Vx2 - a2 dx = -x Vx2 - a2 + — ln(|x + Vx2 - a2\) + C. (2.50)
Řešení 2.47.2. Vzhledem k vlastnostem hyperbolických kosinu a sinu (§ 1.1.1) lze zavést substituci
x = a sinhř, (2.51)
pak dx = acoshř dt. Jelikož dle (1.4) cosh2 t = sinh2 t + 1, cosh2ř = cosh2 t + sinh2ř, cosh2 t = |(cosh(2ř) + 1) a f sinhř dt = coshř, máme
j \J x2 + a2 dx = j ay/ a2 sinh21 + a2 cosh t dt = a2 j a \/ sinh2 t + 1 cosh t dt
/a2  ľ a2 a2
cosh2 tát = —    (cosh(2ř) + 1) dt = — sinh(2ř) + —t,
kde integrační konstantu přidáme až na konci výpočtů. S využitím vzorce (1.6) pro inverzní funkci arsinh = sinh-1 z (2.51) obdržíme
x
t = arsinh — = In | —
a
a proto dle vzorce pro sinh dvojitého uhlu (1.4) a vztahu a2 cosh21 = a2 sinh21 + a2
2 2 2 2 1 2
a a       a a       1 a
— sinh(2ř) H--1 = —2 sinh t cosh t H--1 = -a sinh t ■ a cosh t H--1
4 2       4 2       2 2
= -a sinh t ■ \/a2 sinh2 t + a2 H--1
2 2
= -x J x2 + a2 + — ln (x + \/ x2 + a2) — —lna. 2 2    v ; 2
37
Obdrželi jsme tedy vzorec
/
y _ q2
Vx2 + a2 dx = -x y/x2 + a2 + — ln(x + Vx2 + a2) + C, (2.52)
Sjednocením rovností (2.49) a (2.50) obdržíme vzorec
/
1    /—z-r a
2
Vx2 ± a2 dx = -xVx2 ± a2 T — ln(|x + Vx2 ± a2\) + C. (2.53)
Vzorců, odvozené v předchozích příkladech, lze využít po převedení kvadratického polynomu s libovolnými koeficienty na součet nebo rozdíl čtverců.
PŘÍKLAD 2.48. Vypočtěme integrál f V4x2 - 4x - 7 dx.
Řešení. Jelikož 4x2 - 4x - 7 = (2x)2 - 2 • 2x • 1 + 1 - 8 = (2x - l)2 - 8, platí j V4x2 - 4x - 7 dx = j \j(2x- l)2 - 8 dx = ^J x](2x - l)2 - 8 d(2x - 1)
= j yj(2x- 1)2-(VŠ)2 dx,
odkud substitucí 2x — 1 = t obdržíme integrál tvaru f Vt2 — a2 dt (viz příklad 2.46). □ PŘÍKLAD 2.49. Vypočtěme integrál
dx
/
(2.54)
V3 + 2x - x2
Řešení. Jelikož pro polynom ve j menovateli platí vyj ádření
3 + 2x - x2 = -(x2 - 2x - 3) = -(x2 - 2-1-X+1-1-3)
=-((x-l)2-4) = 4-(x - l)2 (2.55)
obdržíme
/dx f dx 1 f dx
V3 + 2x - x2 ~ J y/A-ix- l)2 ~ 2 J    L (x-pi
f    d(^l)            . (x-l\ = I = = arcsin - + C.
J .í^I^Ý     v 2 ;
PŘÍKLAD 2.50. Pro integrál
dx
/
Vx2 — 2x — 3
jenž se liší od (2.54) pouze znaménkem polynomu, dle (2.55) obdržíme integrál typu (2.48):
d(x - 1)
/dx ľ dx ľ
Vx2 - 2x - 3 ~ J J(x — l)2 — 4 ~ J
Vx2 - 2x - 3    J V'(* - l)2 - 4    y  V(x - l)2 - 4 = ln(|x - 1 + y/(x- 1)2-4|) + C = ln(|x - 1 + Vx2-2x-3|) + C.
38
§ 2.4.5. Různé příklady
Volba způsobu zavedení nové proměnné, samozřejmě, není jednoznačná. PŘÍKLAD 2.51. Vypočtěme integrál
dx
f
COS X
Uveďme tři způsoby řešení (všimněme si různých tvarů výsledků!).
Řešení 2.51.1. Integrand je racionální funkcí výrazu cosx a tudíž lze využit obecnou trigonometrickou substituci t = tg | (§ 2.4.2.1). Dle vzorců (2.36) obdržíme
>2 2
ľ dx ľ 1 J cos x     J 1
+ v
dt
dt
cosx     J  í-t2t2 + l J \-t2
Integrál f      byl vypočítán v příkladu 2.32, použijme proto již odvozený vzorec (2.30):
/
-ÍL = 2lln
cosx 2
t +1	+ C = ln	tgf+ 1	+ C = ln	sin f	+ cosf
t -1		tgf-1		sin f	-cos f
+ c
= ln = ln
(sin f + cosf)'
sin2 | - cos2 |
+ C = ln
sin2 | + cos2 | + 2 sin | cos |
cos2 | - sin2 |
+ C
1 + sinx
cosx
	1
+ C = ln	+ tgx cosx
+ c.
Řešení 2.51.2. Po vynásobení čitatele a jmenovatele členem cosx lze zavést substituci s = sin x:
/dx        ľ cosx ^        ľ    cosx    ^        /* d(sinx)       ľ ds cos x     J cos2 x ] 1- sin2 x J 1 — sin2 x     J \ - s2'
Pro poslední integrál použijme (2.30):
/
dx *i i ■ íl -= - ln | sin x — 11
cosx 2
1    , , 1
- ln sin x + 1 + C = - ln
sinx — 1
sinx + 1
Řešení 2.51.3. Jiný způsob ie založen na vzorcích (—!— Y =--
J    r J V cosx/ coszx
X
í dx _ í  1      + tgx dx = í     + dx
7   COS X       7   COS X + tg X 7     —--h tg X
+ c.
¥- a (tgx)'
COSX       ./   COS X —--h tg.
/
ln
1
COS X
+ tgx
dl + tg*
PŘÍKLAD 2.52. Vypočtěme integrály
I(x) = j sin(lnx)dx,   J(x) = j cos(lnx)dx.
+ C = ln | sec x + tg x | + C.
(2.56)
Řešení 2.52.1. Vzhledem k definičnímu oboru logaritmu má smysl integrály uvažovat pouze pro x > 0, což nadále předpokládáme.
Vykonejme substituci lnx = t; pak x = e' (uvažujeme kladná x) a dx = e' dt:
j sin (lnx) dx = / C< sin, d,,  / cnS (lnx) dx = / C< cos, d,
39
Použijeme-li teď výsledky příkladu 2.15, obdržíme
/ /
1 f x
sin (lnx) dx = —e (sin ŕ — cos t) + C = — (sin (lnx) — cos (lnx)) + C, (2.57)
1 x
cos (lnx) dx = -eř(sinř + cos ť) + C = — (sin (lnx) + cos (lnx)) + C. (2.58)
Řešení 2.52.2. Lze využit metody per partes i bezprostředně v (3.5):
I(x) = j 1 • sin (lnx) dx = x sin (lnx) — j x cos (lnx) — dx = x sin (lnx) — J(x),
J(x) = j 1 • cos (ln x) dx = x cos (ln x) + j x sin (ln x) — dx = x cos (ln x) + I(x), což dává
J{x) + I{x) = x sin (ln x),   J{x) — I{x) = x cos (ln x). (2.59)
Vztah (3.6) můžeme vyřešit jako lineární nehomogenní soustavu vzhledem k J(x) a I(x). Ve výsledku po přidání integrační konstanty obdržíme vzorce (2.57), (2.58). □
40
Literatura
[1] V. Jarník. Integrální počet. I. Academia, Praha, 6 edition, 1984.
61
62